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Tio Petros

Este blog es una invitación a dar un paseo por la matemática. Intentarécomentar los aspectos más bellos y si es posible menos tópicos de lamisma. En todo caso, es tan sólo un paseo que debe darse como se haceen una soleada tarde de verano: con placer.

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La función de Dirichlet

Viene de aquí.

Trataremos en este post de ver cómo existen situaciones relativamente sencillaspara las cuales la integral de Riemann no es aplicable.

Adelantamos que en ciertas situaciones aparecen funciones que no son riemann-integrables, y pusimos como ejemplo un problema de cálculo de probabilidades:

¿Cuál es la probabilidad de que eligiendo un punto del intervalo [0,1] alazar el punto elegido sea irracional?

Sea una función real de variable real definida en el intervalo [0,1], de la manerasiguiente:

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Esta función recibe el nombre de función de Dirichlet.

La función vale la unidad para todo punto de [0,1] irracional, y cero para todopunto racional de dicho intervalo. Por lo tanto, la función está definida para todopunto de [0,1].

La representación gráfica de esta función es un poco difícil: entre dos puntosracionales cualesquiera de [0,1] hay infinitos puntos irracionales, y la recíprocatambién es cierta, así que la gráfica de la función consta de una nube lineal depuntos de ordenada unidad y otra nube lineal de puntos de ordenada nula.

Cuál es el valor esperado de dicho experimento? Un uno es que hemos obtenidoun irracional y un cero lo contrario. Cuando hablamos de la insoportable levedaddel conjunto Q explicamos que a pesar de la aparente reciprocidad entre Q yR-Q (entre dos irracionales siempre hay infinitos racionales y viceversa), ambostenían propiedades cardinales muy diferentes: Q es numerable y R-Q tiene lapotencia del continuo. Los irracionales contenidos en [0,1] forman un conjuntoincomparablemente mayor que los racionales, y esto nos legitima "de algunamanera" a concluir que la probabilidad de que resulte elegido un racional esnula.

Este "de alguna manera" es una vaga invocación a la ley de Laplace de casosfavorables entre casos posibles, si bien entre dos conjuntos infinitos la cosa dejamucho de estar clara aunque la intuición resulta (esta vez) ser correcta.

Veamos que la integral de Riemann no nos sirve de gran ayuda en este aspecto.Intentemos integrar la función de Dirichlet por medio de las sumas superiores einferiores definidas en el post anterior.

A poco que pensemos, vemos que en cualquier elemento de una partición delintervalo [0,1], por muy fina que sea habrá dos clases de puntos: los que tienenla función igual a uno y los que la tienen igual a cero.

Por lo tanto las sumas superiores suman la unidad, mientras que las inferioresson una suma de sumandos nulos, que es nula. No hay por tanto convergenciade las I(f,P) con las S(f,P) del post anterior.

Tenemos que I(f,P)=0 y S(f,P)=1 para cualquier partición P. Por ello I*(f) = 1≠ 0 = I*(f) y por lo tanto la función no es Riemann integrable. Como intuimos, lasolución a este inconveniente vendrá desde la teoría de la medida...

20/11/2005 19:25 #. sin tema

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Autor: Engineer

Excelente. Tío Petros, consigue usted que espere con impaciencia la próximaentrega, cual culebrón frijolitesco.

Fecha: 22/11/2005 09:26.

Autor: mtb

Complimenti!Maria Teresa Bianchi

Fecha: 22/11/2005 14:06.

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