La geometría descriptiva.docx

7/25/2019 La geometra descriptiva.docx

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La geometra descriptivaes la ciencia que estudia la representacin de los elementos delespacio sobre el plano.

Utiliza unos mtodos, llamados sistemas de representacin, que se basan en el concepto de

proyeccin desde un punto sobre el plano para reducir las tres dimensiones del espacio a lasdos dimensiones del plano. Los sistemas de representacin han de cumplir el principiode reversibilidad, es decir, que utilizando un sistema de representacin podamos representarun cuerpo del espacio sobre el plano, y partiendo de dicha representacin lo podamosreconstruir en el espacio.

Del concepto de proyeccin desde un punto sobre el plano, se derivan los tres tipos deproyecciones que utilizan los distintos sistemas de representacin. Si el punto desde el que seproyectan los elementos del espacio sobre el plano es propio, el tipo de proyeccin es cnica,y cilndrica, si es impropio. La proyeccin cilndrica puede ser ortogonal u oblcua dependiendode que el rayo proyectante sea perpendicular u oblcuo al plano de proyeccin.

ig !

"n Sistema Didrico se proyectan los elementos del espacio, utilizando la proyeccin cilndricaortogonal, sobre dos planos que se cortan perpendicularmente #ormando un didro rect$ngulo%ig. &'.

(ara que las proyecciones de los elementos del espacio queden representadas sobre un)nico plano de proyeccin, que coincida con el plano del dibu*o, se abate el plano +orizontal

hasta hacerlo coincidir con el ertical %ig. -'. De esta manera, tendremos representado elespacio tridimensional sobre un )nico plano.


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ig. &

El punto

Un punto del espacio se representa por sus dos proyecciones ortogonales sobre los planos deproyeccin. "n la #igura , el punto / del espacio queda representado por sus proyecciones asobre el plano +orizontal, y a0 sobre el plano ertical.

/l abatir el plano horizontal, alrededor de la lnea de tierra, sobre el vertical, la proyeccin adel punto se traslada con el plano, de manera que las proyecciones a1a0 quedan situadassobre la misma perpendicular a la lnea de tierra %ig. 2'. 3uando hacemos coincidir los planosabatidos con el plano del dibu*o, slo nos queda la L4 y las proyecciones del punto, pero no elpunto del espacio.


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ig.

ig. 2

Conceptos de cota y alejamiento

La cota es la distancia del punto del espacio al plano horizontal, y se representa en el sistemadidrico, como la distancia de la proyeccin vertical a0 a la lnea de tierra. "l ale*amiento es ladistancia al plano vertical y quedara representado por la distancia de la proyeccin vertical ala lnea de tierra %ig. 5'.


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ig. 5

ig. 6

Si un punto del espacio se encuentra por encima del plano horizontal, su cota es positiva y enel sistema didrico su proyeccin vertical estar$ por encima de la lnea de tierra. "lale*amiento de un punto es positivo si el punto en el espacio se encuentra por delante delplano vertical. La proyeccin horizontal de un punto con ale*amiento positivo siempre estar$por deba*o de la lnea de tierra.

Los planos de proyeccin dividen el espacio en cuatro cuadrantes. "l primer cuadrante es el

espacio que se encuentra por encima del plano horizontal y por delante del plano vertical, porlo que un punto del !er cuadrante tiene cota y ale*amiento positivos y se representa con laproyeccin horizontal por deba*o de la lnea de tierra y la proyeccin vertical por encima %ig.6'.

Si un punto del espacio se encuentra sobre uno de los planos de proyeccin, la cota elale*amiento ser$n nulos y la proyeccin correspondiente se encontrar$ sobre la lnea de tierra.


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Alfabeto del punto

"l al#abeto del punto es la representacin del punto en las distintas posiciones que puedeocupar en el espacio respecto a los planos de proyeccin y a los planos bisectores. Losplanos bisectores son los que dividen los cuadrantes en dos diedros iguales. 3on losbisectores, el sistema queda dividido en ocho octantes %igs 7 y !8'.

ig. 7

ig. !8

Los puntos contenidos en los planos bisectores equidistan de los planos de proyeccin, por loque tendr$n la misma cota que ale*amiento. Si son del mismo signo, las proyecciones delpunto equidistan de la L49 y si son de distinto signo, stas quedar$n superpuestas %ig. !8'.

(ara representar las diecisiete posiciones del punto en el sistema didrico, podemosayudarnos del esquema de la #ig. !8, donde se puede observar claramente los valores de lascotas y ale*amientos del punto. (or e*emplo, el punto /%a1a0' tiene ale*amiento positivo %a por


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deba*o de L4' por estar por delante del plano vertical y cota nula %a0 en L4' por encontrarse enel horizontal.

Siguiendo este procedimiento podemos representar las dem$s posiciones %ig. !!'.

La Recta

Dos puntos del espacio determinan una recta. (or lo tanto, para representarla en el sistemadidrico bastar$ con conocer las proyecciones de dos puntos cualesquiera de ella / y :.Uniendo las proyecciones homnimas, es decir a con b y a0 con b0, se obtienen las

proyecciones horizontal r y vertical r0 de la recta %ig. !&'.

ig. !&


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ig. !-

Trazas de la recta

Una recta tambin puede de#inirse por sus trazas. Las trazas de una recta son los puntos deinterseccin de la recta con los planos de proyeccin.

La interseccin de una recta con el plano horizontal es un punto + del plano horizontal, y portanto con cota nula, lo que implica que su proyeccin vertical h0 se encuentre en la lnea detierra.

La traza vertical , por tener ale*amiento nulo, tendr$ su proyeccin horizontal v, en la lnea detierra.

Partes vistas y ocultas

"n este sistema el espectador se sit)a en el primer cuadrante, por ello, slo ser$n vistos loselementos situados en l, representandose con lnea continua.

(ara determinar las partes vistas y ocultas de una recta debemos considerar la posicin de lastrazas. Si, por e*emplo, una recta tiene su traza vertical %v1v0' en el plano vertical superior ysu traza horizontal +%h1h0' en el plano horizontal anterior, el segmento comprendido entre lastrazas pertenece al primer cuadrante, la semirrecta a partir de la traza vertical pertenece alsegundo y la semirrecta a partir de la traza horizontal al tercero.


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ig. !

ig. !2

Trazas con los bisectores

Las trazas con los bisectores son los puntos que tienen igual cota que ale*amiento ypertenecen a la recta. "l segundo bisector pasa por los cuadrantes que tienen cota yale*amiento de distinto signo, por tanto, la traza :& con el segundo bisector es el punto deinterseccin de las proyecciones de la recta. ; al contrario, la traza con el primer bisector :!es el punto cuyas proyecciones equidistan de la L4. "ste se halla trazando la recta simtrica

de una de las proyecciones hasta cortar la otra proyeccin %ig. !2'.

Alfabeto de la recta


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ig. !5

/'


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ig. !6

El plano

Alfabeto del plano

"l plano se representa por sus trazas. Las trazas de un plano son las rectas de interseccindel plano con los planos de proyeccin vertical y horizontal.

Las distintas posiciones del plano con respecto a los planos de proyeccin con#orman elal#abeto del plano.

ig. !A

A Plano !orizontal"es paralelo al plano horizontal de proyeccin, por lo que slo tiene unatraza con el plano vertical que es paralela a la lnea de tierra. Los elementos contenidos en lse proyectan en verdadera magnitud sobre el plano horizontal.

# Plano $rontal"el paralelo al plano vertical. Slo tiene traza horizontal paralela a la L4.


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C Plano de canto o proyectante vertical"es perpendicular al plano vertical y oblicuo alhorizontal. /l ser perpendicular al plano vertical, los elementos contenidos en el se proyectansobre la traza con dicho plano.

% Plano vertical o proyectante !orizontal" es perpendicular al plano horizontal. Su trazavertical es perpendicular a la L4. ; su traza horizontal oblicua.

E Plano gen&rico"es oblicuo a los dos planos de proyeccin.

$ Plano paralelo a la LT' "es oblicua a los planos de proyeccin y perpendicular a los planosde per#il9 se puede considerar un proyectante de per#il, lo que implica que todo lo contenido enl se proyecte sobre su traza de per#il.

( plano )ue pasa por LT' "sus trazas se con#unde en la L4., por lo que se necesita un puntodel mismo para de#inirlo. 4ambin es proyectante de per#il.

* Plano de perfil"es paralelo al plano de per#il y perpendicular al vertical y al horizontal.Sobre ambas trazas se proyectan los elementos contenidos en l, los cuales se proyectan enverdadera magnitud en el plano de per#il de proyeccin.

ig. !7

Relaciones de pertenencia

Un punto pertenece a una recta, si sus proyecciones est$n contenidas en las proyecciones

homnimas de la recta %ig. &8'.


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ig. &8

ig. &!

Una recta pertenece a un plano, si sus trazas est$n contenidas en las trazas homnimas delplano %ig. &!'.

Un punto pertenece a un plano, si est$ contenido en una recta que a su vez pertenece alplano %ig. &!'.

Rectas notables del plano

Rectas horizontales:son las rectas horizontales que pertenecen al plano. Su

Traza -V(v-v')- est sobre la traza -P'- del plano y su proyeccin horizontal es

paralela a la traza P (i!. "").

Rectas Frontales:Su #nica traza -$(h-h')- pertenece a -P- y la proyeccin -%'- es

paralela a la traza vertical -P'- del plano (i!. "&).


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ig. &&

ig. &-

Recta de mxima pendiente:s la recta que perteneciendo al plano %ora

ayor n!ulo con el plano horizontal (i!. ").

Recta de mxima inclinacin:s la recta del plano que %ora ayor n!ulo con

el plano vertical (i!. "*).


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ig. &

ig. &2

La recta de m$Bima inclinacin tiene, al contrario que la r.m.p., La proyeccin verticalperpendicular a la traza homnima del plano. /mbas rectas son su#icientes para de#inir unplano. Si, por e*emplo, se nos da un plano de#inido por su recta de m$Bima pendiente, laperpendicular por la traza 1h1 a la proyeccin horizontal 1r1 de la recta es la traza horizontal delplano. La traza vertical 1(01 la trazamos uniendo el origen del plano con la traza vertical 1 v01.

%eterminacin de las trazas de un plano

Un plano puede quedar determinado por los siguientes elementos=

+os rectas que se cortan (i!s. ", " y "/).

Tres puntos no alineados (i!. &0).

1na recta y un punto que no le pertenezca.(i!. &2)


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+os rectas paralelas (i!. "3).

ig. &5

ig. &6

Los casos en que nos dan dos rectas que se cortan o dos rectas paralelas se resuelvenhallando las trazas de ambas rectas y trazando por ellas las trazas homnimas del plano.


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ig. &A

ig. &7

3uando nos dan tres puntos no alineados, podemos trans#ormar el caso en el de dos rectasque se cortan si trazamos las rectas /: y /3, que se cortar$n precisamente en el punto /.

"l caso de una recta y un punto eBterior tambin se trans#orma en el primero si situamos en larecta un punto cualquiera, ?, y lo unimos con el punto dado, los cuales de#inen una recta Sque se corta con la recta dada en el punto ?.


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ig. -8

ig. -!

+ntersecciones

+nterseccin entre planos

La interseccin entre dos planos es una recta com)n a ambos. (ara determinarla seguiremoslos siguientes pasos= trazamos dos planos auBiliares, en la ig. !a se han trazado dos planoshorizontales. La interseccin del plano %+' con %(' es la recta


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Si consideramos como planos auBiliares los planos de proyeccin, las intersecciones de stoscon %(' y %C', son precisamente sus trazas (1(0 y C1C0 %ig. !b'.


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ig. -

ig.

Casos particulares

La interseccin entre dos planos cuyas trazas concurren en un mismo punto de la lnea detierra, se determina con el auBilio de un plano horizontal que corta a los planos %(' y %C'seguacute9n dos rectas horizontales. La interseccin de dichas rectas es el vrtice del triedro#ormado por los planos %(', %C' y %+'. Uniendo dicho punto con el punto donde concurren lastrazas de los planos dados, obtenemos la recta interseccin %ig. 2'.


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ig. 2

ig. 5

La interseccin de dos planos paralelos a la lnea tierra es una recta paralela a la lnea detierra. (or ser los planos perpendiculares al plano de per#il, la interseccin de sus trazas en elplano de per#il es la proyeccin de per#il de la recta interseccin. / partir de dicha proyeccinobtenemos las proyecciones didricas. %ig. 5'

+nterseccin entre recta y plano

La interseccin entre una recta y un plano es el punto com)n a ambos, para determinarloprocedemos de la siguiente manera= contenemos la recta en un plano proyectante auBiliar %C'.La interseccin entre %(' y %C' es una recta S que corta a < en el punto @ de interseccin. %ig.6'.

La interseccin de una recta < con un plano dado por dos rectas que se cortan S y 4, se hallaconteniendo la recta < en un plano proyectante, el cual corta el plano de#inido por las rectas S


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y 4, seg)n la recta /: coplanaria con ambas. La interseccin de la recta < con la recta /: esel punto @ de interseccin de < con el plano dado. %ig. A'

ig. 6

ig. A

Paralelismo y Perpendicularidad' %istancias

Paralelismo

Dos rectas son paralelas si tienen sus proyecciones homnimas paralelas.

Las rectas de per#il pueden no ser paralelas en el espacio a)n sindolo sus proyeccionesdidricas, en este caso es necesario que sus proyecciones de per#il tambin lo sean %ig. 7'.


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ig. 7

ig. !8

Una recta es paralela a un plano si lo es a una recta cualquiera contenida en el plano.

(ara trazar por un punto / una recta < paralela a un plano ( dado, dibu*amos una rectacualquiera S contenida en el plano y por el punto / dado, trazamos la paralela < a la recta S%ig. !8'.

"l problema inverso, es decir, trazar por un punto un plano paralelo a una recta < dada, se

resuelve trazando por el punto una recta S paralela a


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ig. !!

ig. !&

Las intersecciones de dos planos paralelos con un plano cualquiera son dos rectas paralelas,

de aqu que los planos paralelos tengan sus trazas homnimas paralelas.

Los planos proyectantes de per#il deben tener paralelas sus trazas de per#il para ser paralelosen el espacio %ig. !&'.

(ara trazar por un punto un plano C, paralelo a un plano ( dado, podemos auBiliarnos de un

recta horizontal o #rontal. Si elegimos una recta horizontal, trazamos su proyeccin horizontalpor la proyeccin horizontal del punto dado paralela a la traza horizontal del plano (.3onteniendo la traza de la recta horizontal, trazamos C0, paralela a (0, y por el origen del planoobtenido sobre la lnea de tierra, la traza C paralela a (. %ig. !!'.

Perpendicularidad


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Si una recta es perpendicular a un plano, lo es a todas las rectas del plano, pasen o no por el

punto de interseccin."n la igura !-a, la recta < es perpendicula a S, 4, , ...

ig. !-

Teorema de las tres perpendiculares',Si dos rectas R y S son perpendiculares en elespacio, y una de ellas, la R por ejemplo, es paralela a un plano de proyeccin (ig. !"#$ o

est% contenida en &l (ig. !"c$, am#as rectas se proyectan perpendiculares so#re dicho plano.

3onsiderando el plano proyectante de#inido por el haz de rectas perpendiculares a < en unpunto, resulta que todas la rectas del haz se proyectan sobre su traza. Si la recta 4, de dichohaz, es paralela al plano de proyeccin, el $ngulo #ormado por < y 4 se proyecta sinde#ormacin.%ig. !-b'

perpendicularidad entre recta y plano

Si una recta es perpendicular a un plano lo es a todas sus rectas, por tanto, si la recta < esperpendicular al plano %(', lo es a su traza (. (or el teorema de las tres perpendiculares,siendo < y ( perpendiculares y estando contenida la traza ( del plano en el plano deproyeccin, las proyecciones de < y ( deben mostrarse ortogonales. De lo dicho deducimosque si una recta es perpendicular a un plano, sus proyecciones son perpendiculares a lastrazas de dicho plano %igs ! y !2'.


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ig. !

ig. !2

(ara trazar por un punto ?, una recta < perpendicular a un plano ( dado, basta con trazar porlas proyecciones del punto las proyeciones homnimas de la recta, perpendiculares a lastrazas del plano. %ig. !2'

"l problema inverso podemos resolverlo con el auBilio de una recta horizontal que, pasandopor el punto, tenga su proyeccin horizontal perpendicular a la traza horizontal del plano dado.

Perpendicularidad entre planos

Si una recta < es perpendicular a un plano %(', cualquier plano %C' que contenga a la recta irada la proyeccin horizontal de


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tendr$ la misma cota. Uniendo el origen del plano con v0!, obtenemos la nueva traza verticaldel plano %ig. !'.

ig. !-

ig. !

Cambios de planos

"n los abatimientos y en los giros los elementos del espacio cambian de posicin respecto alos planos de proyeccin, sin embargo, en los cambios de planos son stos los que cambian

mientras que los elementos del espacio permanecen inmviles.

El punto en los cambios de plano

(odemos sustituir uno de los planos de proyeccin por otro plano cualquiera siempre que seaperpendicular al plano que permanece. Si cambiamos el plano vertical, el nuevo plano ser$ unproyectante vertical sobre el que obtendremos una nueva proyeccin vertical a0! del punto /del espacio. La proyeccin horizontal es la misma en los dos sistemas al no cambiar el plano


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horizontal, y por la misma razn, la cota del punto tambin es la misma en los dos sistemas."sto implica que las distancias de las proyecciones verticales a sus respectivas lneas detierra sean iguales. %igs. !2 y !5'

ig. !2

ig. !5

la recta en los cambios de plano

(ara hallar las nuevas proyecciones de una recta tras un cambio de plano hallaremos las

nuevas proyecciones de dos de sus puntos, normalmente sus trazas. Si realizamos un cambiode plano horizontal, las proyeciones verticales de sus trazas h0 y v0 permanecen, obteniendosela nuevas proyeciones horizontales de dichos puntos h! y v! trasladando sus cotas a partir dela nueva lnea de tierra. "l punto tiene cota cero en los dos sistemas, por lo tanto, siguesiendo la traza vertical en el nuevo sistema %ig. !6'.

(odemos trans#ormar una recta oblcua en vertical realizando dos cambios de planosucesivos. (rimero la trans#ormamos en #rontal mediante un cambio de plano vertical y


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posteriormente realizamos un cambio de plano horizontal para trans#ormarla en vertical. (aratrans#ormarla en #rontal tenemos que trazar la nueva lnea de tierra paralela a la proyeccinhorizontal y para trans#ormar sta en vertical la lnea de tierra debe ser perpendicular a suproyeccin vertical %ig !A'.

ig. !6

ig. !A

El pano en los cambios de plano

Si realizamos un cambio de plano vertical, el vrtice /, de#inido por la interseccin de los dosplanos verticales con el plano %(', pertenece a los dos sistemas. "ste punto se proyecta con lamisma cota en cada uno de los sistemas y pertenece a las trazas verticales del plano enambos sistemas.%igs. !7 y &8'


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ig. !7

ig. &8

.ngulos

(ara determinar el $ngulo que #orman dos rectas que se cruzan trazamos por un punto de unade ellas una paralela 4 a la otra. %ig. !a'

"l $ngulo que #orma una recta con un plano es el que #orma la recta con su proyeccin sobredicho plano. (ara determinar la proyeccin de una recta sobre un plano cualquiera, distinto a

los de proyeccin, trazamos por un punto de la recta una perpendicular al plano y hallamos suinterseccin con l. Uniendo este punto con el punto @ de interseccin de la recta dada con elplano tambin dado obtenemos la proyeccin de < sobre %('. %ig. !b'


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ig. !

"l $ngulo de un diedro #ormado por dos planos %(' y %C', es el lineal correspondiente,

determinado por la seccin producida sobre el diedro por un plano perpendicular a su arista.%ig. !c'.

.ngulo de dos rectas

(ara hallar la verdadera magnitud del $ngulo #ormado por dos rectas que se cortan podemosabatir el plano que las contiene sobre uno de los planos de proyeccin. "n la #igura & hemosabatido el $ngulo sobre un plano horizontal utilizando como charnela la recta horizontal quecorta a los lados del $ngulo en los puntos ? y . "n este caso, el radio del abatimiento delvrtice / es la hipotenusa de un tri$ngulo rect$ngulo cuyos catetos son la distancia de laproyecin del punto a la charnela y la direrencia de cotas entre el punto y la recta horizontal

ig. &


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ig. -

.ngulo de una recta y un plano

;a hemos visto en la #igura &b que el $ngulo que #orman una recta y un plano es el #ormadopor la recta y su proyeccin ortogonal sobre el plano. 4ambin hemos estudiado losprocedimientos previos para hallar la proyeccin de la recta sobre el plano.

"n el sistema didrico hallamos el punto de interseccin @ de la recta < con el plano %('. (orun punto cualquira ? de la recta


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ig. 2

.ngulo de una recta con los planos de proyeccin

"l $ngulo que #orma una recta con el plano horizontal de proyeccin es el que #orma la rectacon si proyeccin horizontal. (ara obtener la verdadera magnitud basta abatir planoproyectante horizontal que contiene tanto a la recta como a su proyeccin horizontal.%ig. 2'

La recta < y su proyeccin vertical r0, estan contenidas en un plano proyectante vertical, siabatimos dicho plano alrededor de su traza vertical obtenemos la verdadera magnitud del$ngulo que #orma la recta con el plano vertical.%ig. 2'

.ngulo de un plano con los planos de proyeccin

"l $ngulo que #orma un plano con el plano horizontal de proyeccin es el que #orma su rectade m$Bima pendiente con el plano horizontal. /batiendo la recta de m$Bima pendiente sobreel plano horizontal se obtiene la verdadera magnitud del $ngulo. %ig. 5'

"l $ngulo que #orma un plano con el vertical de proyeccin es el que #orma su recta dem$Bima inclinacin con el plano vertical. %ig. 6'


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ig. 5

ig. 6

Poliedros regulares

Los poliedros son los cuerpos geomtricos limitados por polgonos. (oliedros regulares sonaquellos que tienen caras, aristas y $ngulos iguales.


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ig. !

Tetraedro

"l tetraedro tiene cuatro caras que son tri$ngulos equil$teros y seis aristas.

Representacin del tetraedro

amos a representar el tetraedro apoyado por una de sus caras sobre cualquier tipo de plano.Si la cara apoyada est$ contenida o es paralela a uno de los planos de proyeccin se proyectaen verdadera magnitud. De lo contrario, ser$ necesario dibu*arla sobre el plano abatido ydespus desabatirlo.

ig. &


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ig. -

"n la #ig. & se ha representado el tetraedro apoyado por una cara en el plano horizontal de

proyeccin. "l tetraedro queda determinado por la magnitud de la arista, la altura se obtieneabatiendo el tri$ngulo rect$ngulo #ormado por la arista, su proyeccion ortogonal sobre la basey la propia altura %ig. !'.

La cara apoyada est$ en verdadera magnitud, y se representa por tanto, como un tri$nguloequil$tero de lado igual a la arista del tetraedro. "l vertice se proyecta en el centro de lacara apoyada y est$ contenido en una recta vertical. La proyeccin vertical de se obtiene altrasladar la altura obtenida por abatimiento, sobre la recta vertical.

(ara representar el tetraedro apoyado en un plano proyectante, se abate el plano y se dibu*ala cara en verdadera magnitud. Desabatiendo el tri$ngulo obtenemos las proyecciones

didricas de la cara apoyada. La altura es una perpendicular la plano desde el centro delti$ngulo, que resulta una #rontal si el plano es de canto. 3omo las proyecciones verticales delas rectas #rontales est$n en verdadera magnitud, trasladamos la altura del tetraedro sobre ellapara obtener el vrtice . %ig. -'


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ig.

3uando la cara del tetraedro se apoya sobre un plano oblcuo a los dos planos de proyeccin,la altura es tambin oblcua. (ara obtener el vrtice , podemos girar la altura alrededor de une*e que pase por el centro de la base para situarla en posicin #rontal. De esta manera,trasladamos la altura del tetraedro en verdadera magnitud sobre la recta girada yposteriormente deshacemos el giro %ig. '.

/ecciones planas

3omo norma general, para hallar la seccin que produce un plano sobre un poliedro se hallala interseccin del plano con cada una de las arista, obteniendose as, los vrtices delpolgono seccin.

La seccin que produce un plano secante sobre un tetraedro es un tri$ngulo. Si el plano eshorizontal o #rontal una de las proyecciones de la seccin ser$ un segmento contenido en latraza del plano y la otra estar$ en verdadera magnitud.

"n la #igura 2 se ha obtenido la seccin con un plano horizontal. La traza del plano corta lasaristas del tetraedro en los vrtices de la seccin. La proyeccin horizontal se obtiene hallandolas proyecciones horizontales de estos vrtices sobre las aristas respectivas.


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ig. 2

ig. 5

Si el plano es vertical o de canto, una de las proyecciones de la seccin sigue estando sobrela traza del plano, pero en este caso la otra proyeccin no est$ en verdadera magnitud, siendonecesario abatirla para obtener su verdadera #orma

3uando el plano es oblicuo a ambos planos de proyeccin, hallamos un primer vrtice de laseccin resolviendo el problema de la interseccin entre una recta y un plano, siendo la rectauna cualquiera de las aristas. Los restantes vrtices podemos hallarlos sabiendo que la base y

la seccin son #iguras homlogas en una homologa de e*e la charnela, o bin, aplicando elmismo mismo procedimiento por el que hemos hallado el primer vrtice, para las restantesarista.


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ig. 6

(ara obtener la verdadera magnitud de la seccin, la abatimos sobre uno de las planos deproyeccin. "l abatimiento lo podemos resolver sabiendo que la proyeccin de la seccin y suabatimiento son #iguras homologas en la a#inidad de e*e la charnela.%ig. 6'

+nterseccin de una recta con un tetraedro

"l procedimiento general para hallar la interseccin de una recta con un slido consiste encontener la recta en un plano, hallar la seccin que produce dicho plano en el slido y,posteriormente, hallar la interseccin de dicha seccin con la recta. Los puntos de interseccindel polgono seccin con la recta son los puntos de entrada y salida de sta en el slido.

"n el caso del tetraedro conviene trazar el plano de#inido por la recta y el vrtice de maneraque el polgono seccin sea un tri$ngulo cuyos vrtices son dos puntos de la base y el propiovertice del tetraedro %ig. A'


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ig. A

ig. 7

"n la #igura 7, hemos trazado una recta S que pasa por y corta a < en el punto ?. Lasrectas < y S determinan el plano %(', cuya traza horizontal (, hemos determinado pasando porlas trazas homnimas de las rectas < y S. Los puntos de interseccin de la traza ( con lasaristas de la cara apoyada en el plano horizontal son dos de los vrtices de la seccin, eltercero es el propio vrtice del tetraedro. La interseccin de < con los lados de la seccindeterminan los puntos / ; :.

Poliedros regulares

*e0aedro

"l heBaedro tiene seis caras, que son cuadrados, doce aristas y ocho vrtices.

Representacin del !e0aedro


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Si situamos una de las caras del heBaedro contenida en el plano horizontal, la cara opuesta seproyecta coincidente con ella y las cuatro restantes son proyectantes respecto al planohorizontal.

La proyeccin horizontal es un cuadrado de lado igual a la arista del cubo. Las carashorizontales se proyectan sobre el plano vertical en dos segmentos paralelos a la L.4. a unadistancia igual a la arista. %ig. !8'

ig. !8

ig. !!

(ara representar el heBaedro apoyado por una cara sobre un plano proyectante vertical, seabate primero ste sobre uno de los planos de proyeccin y posteriormente se dibu*a la caraen verdadera magnitud. Las aristas perpendiculares a la base lo son tambin al planoproyectante

3uando el heBaedro se apoya por una de sus caras sobre un plano oblicuo, abatimos el planopara construir la cara apoyada en verdadera magnitud. 4ras desabatir la cara, levantamos


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perpendiculares al plano por los vrtices de la misma. (ara obtener las medidas en proyeccinde las aristas perpendiculares a la base, realizamos el giro de una cualquiera de ellas parasituarla paralela a uno de los planos de proyeccin.Una vez obtenida y sabiendo que elparalelismo es un invariante de la proyeccin cilndrica, trazamos la cara paralela a la base.%ig. !&'

ig. !&

/ecciones planas

Fbtener las secciones planas producidas sobre cualquier poliedro por planos proyectantes notiene gran di#icultad y la manera de proceder no di#iere entre ellos, por lo que podemosremitirnos a lo eBplicado para el tetraedro.

Sin embargo, para la seccin con un plano oblicuo, hemos pre#erido contener las aristasverticales en planos #rontales, los cuales cortan al plano oblicuo seg)n rectas #rontales. Lasintersecciones de estas rectas con las aristas verticales son los vrtices de la seccin. "n la#igura !-, una de las rectas #rontales corta a la arista en su prolongacin, #uera del slido, eneste caso se une el punto de interseccin con los vrtices contiguos de la seccin paraobtener los vrtices correspondientes en la cara opuesta a la base.

La verdadera magnitud de la seccin se obtiene por a#inidad.


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ig. !-

+ntersecciones

"l procedimiento general consiste, en hallar los puntos de interseccin de la recta, con laseccin que produce en el poliedro un plano cualquiera que contenga a la recta dada. "n estecaso hemos optado por contener la recta en un plano perpendicular a la base, de manera que

la seccin obtenida sea un cuadri$tero proyectante. G y !H

ig. !


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ig. !2

Poliedros regulares

1ctaedro

Representacin del octaedro

3uando un octaedro se representa apoyado por un vrtice y con una de sus diagonalesperpendicular al plano horizontal de proyeccin, el contorno aparente de la proyeccinhorizontal es un cuadrado de lado igual a la arista en verdadera magnitud. Los lados de estecuadrado son cuatro aristas horizontales que se proyectan en verdadera magnitud sobre elplano horizontal.Las ocho aristas restantes son oblicuas y se proyectan sobre las diagonalesdel cuadrado.

Las cotas de los vrtices, eBtremos de la diagonal vertical, son cero y la magnitud de ladiagonal respectivamente, y los cuatro vrtices restantes se encuentran en el plano medio deoctaedro, que es horizontal, a una distancia igual a dI& %ig. !5'


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ig. !5

ig. !6

/ecciones planas

La seccin plana que produce un plano proyectante sobre el octaedro se obtiene directamentesobre la traza oblicua al cortar sta las aristas del poliedro y despus se re#ieren los puntosobtenidos sobre las respectivas aristas en la otra proyeccin. %ig. !6'

La verdadera magnitud de la seccin se obtiene abatiendo el plano.

Si el plano secante es oblicuo, se puede tras#ormar en proyectante por medio de un cambio deplano. "n la #igura !A, se ha trans#ormado el plano %(' en proyectante vertical y se ha obtenido

la nueva proyeccin vertical de octaedro para obtener la seccin.


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ig. !A

+nterseccin con recta

La interseccin de una recta < con un octaedro se obtiene conteniendo la recta en un planoproyectante %(' y hallando la interseccin de < con la seccin producida en el slido por elplano %('. %ig. !7'

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