La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O=(o1,o2) como:

Si la hipérbola tiene su centro en el origen, O=(0,0), su ecuación es:

Además, los puntos de una hipérbola son los que cumplen la ecuación general de la hipérbola:

siendo A, B, C, D y E escalares (números reales) y necesariamente debe cumplir que los coeficientes de x2 e y2 (A y C) son no nulos y tienen diferente signo.

Ejemplo 1

Hallar la ecuación de una hipérbola sabiendo que su centro es O=(1,2), un vértice es V2=(5,2) y un foco F2=(6,2).

Los parámetros serán:

Semieje real: a=5-1=4. Semidistancia focal: c=6-1=5. Dado que:

El semieje imaginario es:

Aplicando estos valores a la ecuación de la hipérbola, tendremos:

Ejemplo 2

Hipérbola de centro O=(1,-2), semieje real a=3 y semieje imaginario b=4.

Ejemplo 3

Hipérbola de centro O=(0,0), semieje real a=1 y semieje imaginario b=3.

Ejemplo 4

Hipérbola de centro O=(0,0), semieje real a=1 y semieje imaginario b=3.

Ecuación reducida de eje vertical de la hipérbola

Ejemplo

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(0, 5), de vértice A(0, 3) y de centro C(0, 0).

Ecuación de la hipérbola de eje vertical

Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(x0, y0+c) y F'(x0, y0− c). Y la ecuación de la hipérbola será:

F'(0, −c) y F(0, c)

La ecuación será:

Ejemplo

Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen signos opuestos.

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(-2, 5), de vértice A (-2, 3) y de centro C(-2, -5).