La ley de Benford para el segundo dígito y los resultados electorales en México Luis Horacio...

La ley de Benford para el segundo dígito y los

resultados electoralesen México

Luis Horacio Gutiérrez UAM-Iztapalapa

Emiliano CalderónFacultad de Ciencias, UNAM

Ley de Benford

• Prueba estadística que permite descubrir números fabricados

• Utilizada por administraciones tributarias para revisar declaraciones de impuestos

• Recientemente se ha extendido su aplicación al análisis de resultados electorales

• Se basa en un análisis de la frecuencia de utilización de cada dígito, del 0 al 9

• Todos suponemos que, en cualquier conjunto de números, cada dígito aparece con la misma frecuencia. Sin embargo, esto no es así

Ley de Benford

Distribución logarítmica del primer dígito de varias cantidades que ocurren naturalmente y que son resultado de operaciones aritméticas

Hill, 1995

Ley de Benford

Hill, 1995

Distribución logarítmica del segundo dígito de varias cantidades que ocurren naturalmente y que son resultado de operaciones aritméticas

Distribución generalizada

Hill, 1995

Diekmann, 2004

Probabilidades predichas por la ley de Benford paradígitos hasta de cuarto orden

Diekmann, 2004

Distribución del primer dígito para datos no fabricados

Diekmann, 2004

Distribución del segundo dígito para datos no fabricados

Para resultados electorales:

• La distribución del primer dígito no cumple con la ley de Benford. Esto se debe a que el número de candidatos es limitado y mucho menor que el número de votantes

• La distribución de los dígitos de orden superior (segundo, tercero, etc.) sí tiene que cumplir con la ley de Benford. Estos números sólo se derivan de operaciones aritméticas comunes

• El conteo del segundo dígito a nivel sección debe ajustarse a la distribución de Benford

• La bondad del ajuste de los datos observados con respecto a la distribución esperada se determina mediante la función

(ji^2, ji cuadrada)

• Los valores observados serán confiables si ji cuadrada es menor que el valor crítico 16.91

Mebane, 2006a

Valores de ji^2 para el conteo de votos en las eleccionesmexicanas de 2006

Los valores de ji^2 superiores a 16.91son preocupantes

(Conteo de dígitos anivel sección.)

Mebane, 2006a

Valores de ji^2 para el conteo de votos en las eleccionesmexicanas de 2006

(Conteo de dígitos anivel casilla.)


Valores de ji^2 parael conteo de votospor distrito


Distritos con alteraciones graves

Mebane, 2006b

Estados que presentananomalías en el conteode votos.Se consideran las elecciones de presidente, senadoresy diputados.

8_2; N=895; chiB=39.32

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Segundo dígito

Fre

cuen

cia

IFE Benford

Distribución de dígitos para el distrito 2 de Chihuahua

PAN;8_2; N=252, chiB=13.49

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Segundo dígito

Frec

uenc

ia

IFE Benford


APM; 8_2; N=251; chiB=18.68

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Segundo dígito

Frec

uenc

ia

IFE Benford


PBT; 8_2; N=252; chiB=4.94

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Segundo dígito

Fre

cuen

cia

IFE Benford


NA; 8_2; N=40; chiB=26.11

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Segundo dígito

Fre

cuen

cia

IFE Benford


ASCD; 8_2; N= 100; chiB=22.87

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Segundo dígito

Fre

cu

en

cia

IFE Benford


La distribución del segundo dígito en numerosos distritos no se ajusta a la ley de Benford

Número de anomalías Número de distritos

0 90

1 111

2 52

3 34

4 8

5 4

6 1

Total de distritos con anomalías 210

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Nulo[state == "AGUASCALIENTES"]

P_

P_

pe

r[st

ate

==

"A

GU

AS

CA

LIE

NT

ES

"]

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

-0.5

0.0

0.5

Nulo[state == "CHIHUAHUA"]

P_

P_

pe

r[st

ate

==

"C

HIH

UA

HU

A"]

Aguascalientes Chihuahua

Takahashi, 2006

Diferencia porcentual Calderón-AMLO contra porcentaje de votos anulados

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

-0.5

0.0

0.5

Nulo[state == "DISTRITO FEDERAL"]

P_

P_

pe

r[st

ate

==

"D

IST

RIT

O F

ED

ER

AL

"]

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

-0.5

0.0

0.5

Nulo[state == "GUANAJUATO"]

P_

P_

pe

r[st

ate

==

"G

UA

NA

JUA

TO

"]

Takahashi, 2006

Distrito Federal Guanajuato

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Nulo[state == "NUEVO LEON"]

P_

P_

pe

r[st

ate

==

"N

UE

VO

LE

ON

"]

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

Nulo[state == "MORELOS"]

P_

P_

pe

r[st

ate

==

"M

OR

EL

OS

"]

Morelos Nuevo León

Takahashi, 2006

• En estados como Chihuahua, Guanajuato y Nuevo León, el porcentaje de votos nulos es mayor cuando la diferencia Calderón-AMLO es menor

• El porcentaje de representantes de casillas de la coalición PBT era muy baja en los estados arriba mencionados

• Es posible que en esos estados se haya anulado un porcentaje inusualmente elevado de votos correspondientes a PBT

Conclusiones

• El conteo del segundo dígito para la votación se aparta significativamente de la distribución de Benford

• Es posible que haya habido alteraciones en el conteo de votos que induzcan valores de ji^2 excepcionalmente elevados para numerosos distritos

• Es necesario hacer un recuento de todos los votos para verificar los datos proporcionados por el IFE.

• Universidad de Cornell:

W. R. Mebane

Y. Takahashi

• Universidad de Berkeley:

J. Sekhon

Agradecimientos

Referencias• Diekmann, A. (2004) Not the First Digit! Using Benford’s

Law to Detect Fraudulent Scientific Data

• Hill, T. P. (1995) A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law. Statistical Science 10 (4), 354-363

• Mebane, W. R. (2006a) Election Forensics: Vote Count and Benford’s Law. 2006 Summer Meeting of the Political Methodology Society

• Mebane, W. R. (2006b) Comunicación personal

• Takahashi, Y. (2006) Comunicación personal

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