La Lógica Proposicional Estudia las Proposiciones€¦ · La lógica, al igual que las...

Universidad Politécnica Territorial “José Antonio Anzoátegui” El Tigre, Estado Anzoátegui PNF: Ingeniería Informática

Docente: MSc. Liyuan Suárez ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

LÓGICA PROPOSICIONAL

La lógica es el estudio de los métodos y los principios usados para distinguir el correcto

razonamiento del erróneo. El razonamiento es un tipo especial de pensamiento en el cual se realizan

inferencias; es decir, en el que se derivan conclusiones a partir de premisas. La lógica, al igual que

las matemáticas, estudia las relaciones abstractas formales.

PROPOSICIÓN

Una proposición en lógica es un enunciado que puede ser falso o verdadero, pero no ambas cosas a

la vez. Consideremos en primer lugar, que a toda expresión u oración del lenguaje se le denomina

enunciado. A continuación se tienen algunos ejemplos de un enunciado:

1) Una fracción está formada por un numerador y un denominar

2) En la expresión 23, el número 3 se le llama potencia

3) Caracas es la capital de Venezuela

4) ¿Cuándo es el I Parcial de Matemática?

5) ¡Viva la Matemática!

6) No ensucie las paredes de la universidad

OBSERVACIONES IMPORTANTES

Las PROPOSICIONES no son más que ENUNCIADOS

No todos los ENUNCIADOS SON PROPOSICIONES

Los ENUNCIADOS se denotan con las letras p, q, r, s, …

La Lógica Proposicional Estudia las Proposiciones

V

F

V

No son Proposiciones

porque no se puede

saber si es “V” o “F”

ENUNCIADO: Es cualquier frase u oración que expresa una idea

V

F



LOS ENUNCIADOS PUEDEN SER:

ABIERTOS (V---F) CERRADOS (V)

Él es un escritor Latinoamericano El Tigre pertenece al Municipio Simón Rodríguez

( )

x+1=2

CLASES DE PROPOSICIONES

SIMPLES: una proposición simple es aquella que no es posible descomponer en dos proposiciones.

Ejemplos:

1) 9 es un número impar

2) Uno más uno es dos

3) Juan estudia

4) Seré un buen profesional en Ingeniería en Informática. (Aquí el sujeto está tácito y es “Yo”)

5) 3+8 es mayor que 2+10

En la proposición, “Juan estudia” la podemos representar por la variable p, de tal forma que resulta

que:

COMPUESTA: una proposición compuesta es la que se forma con dos o más proposiciones simples

mediante conectivos lógicos como son: y, o, si… entonces… si y solos si entre otros.

Ejemplo:

1. Juan estudia y trabaja ⟶

2. Carlos está en la universidad o en el trabajo

p

Juan estudia y trabaja

q

p

Juan estudia



LAS SIGUIENTES DEFINICIONES SON PROPOSICIONES COMPUESTAS:

PROPOSICIÓN CONJUNTIVA: Resulta de unir dos proposiciones mediante el conectivo conjunción

(˄): p ˄ q (se lee como “p y q”). La conjunción es verdadera si ambas p y q son verdaderas; cualquier

otro caso, p ˄ q es falsa.

PROPOSICIÓN DISYUNTIVA: Surge de unir dos proposiciones con el conectivo disyunción (∨):

p ∨ q (se lee como “p o q”). La disyunción p ∨ q es verdadera si p, q o ambas son verdaderas, y p ∨ q

es falsa sólo si p y q son falsas.

PROPOSICIÓN CONDICIONAL: Es el resultado de unir dos proposiciones mediante el conectivo

condicional (⟹): p ⟹ q; (se lee como “si p entonces q”), donde p es la hipótesis (o antecedente) y q

es la conclusión (o consecuente). La proposición condicional es falsa si la hipótesis es verdadera y la

conclusión es falsa.

PROPOSICIÓN BICONDICIONAL: Es consecuente de juntar dos proposiciones con el conectivo

bicondicional (⟺): p ⟺ q; (se lee como “p si y sólo si q”). Esta afirmación se considera verdadera

precisamente cuando p y q poseen los mismas valores de verdad (es decir, cuando p y q son ambas

verdaderas o ambas falsas).

PRINCIPALES CONECTIVOS LÓGICOS

CONECTIVOS LÓGICOS SIMBOLO SE LEE

NEGACIÓN ~ No…/ no es cierto

CONJUNCIÓN ˄ … y …

DISYUNCIÓN ∨ … o …

CONDICIONAL ⟶ Si … entonces

BICONDICIONAL ⟷ … si y solo si …

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA … o … o



TABLAS DE VERDAD

Las tablas de verdad son esquemas en los que se representan todos los valores de verdad que

pueden asumir una fórmula lógica. Estos esquemas nos ayudan a determinar si un razonamiento es

o no válido.

Una proposición lógica puede ser:

TAUTOLOGICA, cuando es verdadera siempre

CONTRADICTORIA, cuando es falsa siempre

CONTINGENCIA, cuando contiene valores verdaderos y falsos.

CONECTIVOS LÓGICOS Y LAS TABLAS DE VERDAD

NEGACIÓN (~): “No es cierto que Rodrigo sea Maestro”

p ~p

V F

F V

CONJUNCIÓN (˄):

“Juan es futbolista y Ana es voleibolista”

p q p ˄ q

V F V

V F F

F V F

F F F

OBSERVACIONES 1) Establecer el número de filas (líneas) de

la tabla de verdad. 2) Este número de filas depende del

número de proposiciones de la expresión.

3) Por medio de la siguiente formula: Número de filas = 2

n

n: es el número de variables o proposiciones

No es cierto que Rodrigo sea Maestro

p

Número de filas = 2n

= 21

= 2

V

F

p

Juan es futbolista y Ana es voleibolista

q

Número de filas = 2n

= 22

= 4

2V

V

F

2F

V

F



DISYUNCIÓN (∨): “Raúl es Profesor o Raúl es Ingeniero”

p q p ∨ q

V F V

V F V

F V V

F F F

CONDICIONAL (⟶): “Si Carla estudia entonces ingresará a la Universidad”

p q p ⟶q

V F V

V F F

F V V

F F V

BICONDICIONAL (⟷): “Ana ira a la fiesta si y sólo si tiene amigas”

p q p ⟷q

V F V

V F F

F V F

F F V

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ( ): “O bien Manuel juega o bien estudia”

p q p q

V F F

V F V

F V V

F F F

p

Raúl es Profesor o Raúl es Ingeniero

q

p

Si Carla estudia entonces ingresará a la Universidad

q

p

Ana ira a la fiesta si y sólo si tiene amigas

q

p

O bien Manuel juega o bien estudia

q



EJERCICIOS RESUELTOS

I PARTE. Simboliza las siguientes proposiciones

1) No tenía dinero, pero era feliz.

2) Ni tenía dinero ni era feliz.

3) No es cierto que tuviese mucho dinero y fuese feliz.

4) Tenía mucho dinero aunque no era feliz.

5) No bailo ni canto.

6) O no lo sabes hacer o no leíste bien las instrucciones.

7) Si no supieras cocinar, entonces no te habría quedado sabrosa la comida.

8) Canta y o bien tararea o suena con armonía la música.

9) O está cantando y tarareando o está sonando la música con armonía.

10) Mariana hará el doctorado de educación cuando y solamente cuando obtenga la licenciatura.

II PARTE. Simboliza.

1) Si p, entonces q:

2) No es el caso que p y q:

3) P solamente si q y no –r:

4) p o no –q:

5) Si p y q, entonces no –r o s:

6) Si p, entonces q, y si q, entonces p:

~𝒑 ˄ 𝐪

~𝒑 ˄ ~𝐪

~(𝒑 ˄ 𝐪)

𝒑 ˄ ~𝐪

~𝒑 ˄ ~𝐪

𝒑 ∨ 𝐪

~𝒑 → ~𝐪

𝒑 ˄ (𝐪 ∨ 𝐫 )

(𝒑 ˄ 𝐪) ∨ 𝐫

𝒑 ↔ 𝐪

𝒑 → 𝐪

~(𝒑 ˄ 𝐪)

𝒑↔ (𝒒 ˄ ~𝐫)

𝒑 ∨ ~ 𝐪

(𝒑 ˄ 𝐪) → (~𝒓 ∨ 𝐬)

(𝒑 → 𝐪) ˄ (𝒒 → 𝐩)



EJERCICIOS PROPUESTOS

I PARTE: Determine cuáles de las siguientes oraciones son proposiciones:

1) De Madrid al cielo

2) X + 5 es un entero positivo

3) ¡Si todas las tardes fuesen tan lluviosas como esta!

4) Siete es un número impar

5) Si Luis reprueba esta asignatura, sus padres se enfadarán

6) ¿Qué día es hoy?

7) En 1990, George Bush era presidente de los Estados Unidos

II PARTE.

1) Sean p y q las proposiciones siguientes:

p: Hace frío

q: Llueve

Escribe las siguientes proposiciones utilizando p y q y los conectivos lógicos.

2) Sean p, q y r las proposiciones siguientes:

p: Has obtenido un sobresaliente en el examen final

q: Has hecho todos los ejercicios de este libro

r: Has obtenido un sobresaliente en esta asignatura

Escribe las siguientes proposiciones utilizando p, q y r y los conectivos lógicos.

III PARTE. Construir la TABLA DE VERDAD de las siguientes proposiciones y determina si es

una tautología, contradicción o Contingencia:

1) ~ ∨ q 2) ( ∨ ) ∨ ( ˄ q )

3) ˄ ( ∨ ~p ) 4) ( ↔ ) ↔ [( → ) ˄( → )]

5) ( ↔ ) ↔ [( → ~ ) ˄(~ ∨ )] 6) → ( ∨ q)

7) ( → ) ↔ ( ˄ ~q ) 8) ~[~p ˄ q] →

9) ( ˄ q) → 10) ( → q) ˄ (~ ∨ q)

11) [( ∨ q) → ] ↔ 13) ( → ) →

14) ( → ) ↔ (~ ∨ q ) 15) ~[( ˄ q)] ↔ ( ˄ q)

16) [( → ) ˄ q] → 17) [( ˄ q) → ( ∨ ~r)] ↔

18) [( → ) ∨ (~ ˄ r )] ↔ ( → )

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