“AÑO DE LA CONSOLIDACION DEL MAR DE GRAU”

UNIVERSIDAD PRIVADA SAN JUAN BAUTISTA

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN FORMATIVA

PLAN DE TRABAJO: LA LOGICA EN LA VIDA COTIDIANA, LAS

MATEMATICAS EN LA INGENIERIA DE COMPUTACION Y SISTEMAS

PRESENTADO POR LOS ESTUDIANTES

DE INGENIERIA DE COMPUTACION Y SISTEMAS

CICLO I

DOCENTE ASESOR

LIC. RUBEN PUMAYAURI ROJAS

TURNO TARDE

ICA-PERÚ

2016

ESTUDIANTES

- Maldonado Quintana, Enmanuel Jesús

- Hernández Cancho, Leonardo Martin

- Maldonado Pozo, Ángel Oswaldo

- Vásquez Chumpitaz, Jesús AdhilsonJhair

- Arias Aburto, Ayrthon Isidro

- AstocazaCanchari, Pablo Rigoberto

- Castro Garcia, Willy

- Chumbiauca García, Ángel Renato

- Cupe Soto, Alan Diego

- DallorsoYntimayta, Jhordan Alonso

- Espinal Sauñe, Humberto Enrique

- Lagos Morón, Jesús Gonzalo

- Mayuri Quispe, José Fernando

- Moreno Tipismana, Walther Daniel

- Oquendo Alfaro, Richard Jahir

- Peña Chacaltana, Alexander Alberto

- Peña García, Luis Ángel

- Pereyra Donayre, FransuawtFarid

- Pizarro Cucho, Raquel Esther

- Reyes Guerra, Jean Pierre

- Tacas Misayco, Yovana Marisol

- Villamares Huamán, Juan Carlos

I

Este trabajo de investigación está

dedicado a nuestros padres por

depositar su confianza en

nosotros, y por darnos el valor

suficiente para alcanzar nuestras

metas juntos.

II

AGRADECIMIENTOS

Primeramente agradecer a Dios por darnos la vida y el cuidado

permanente, que gracias a él nos mantenemos con salud y con ello poder

lograr nuestras metas diarias, Además estamos agradecidos con nuestros

profesores de antropología, metodología y matemática por guiarnos en el

proceso del desarrollo del presente tema, el cual nos permitió culminarlo

con éxito.

A la prestigiosa Universidad Particular “San Juan Bautista “por darnos la

oportunidad de pertenecer a la emblemática Escuela de Ingeniería de

sistemas haciendo accesible a todos los alumnos de tener la posibilidad

de prepararse para un futuro de éxito.

III

Índice de Contenidos

Tema Pág.

Dedicatoria.............................................................................................................. I

Agradecimiento ..................................................................................................... II

Índice de Contenidos ...........................................................................................III

Introducción .......................................................................................................... V

CAPITULO I: Marco Teórico:.............................................................................. 6

1.1. Antecedentes de la Investigación: ...................................................... 6

1.2. Marco Histórico: ..................................................................................... 8

CAPITULO II: Marco Conceptual:.................................................................... 12

2.1. Definición: ............................................................................................. 12

2.2. El Pensar:.............................................................................................. 13

2.3. Razonar: ................................................................................................ 15

2.4. El Razonamiento Lógico:.................................................................... 16

2.5. Los Juicios: ........................................................................................... 17

2.6. La Lógica Informal o cotidiana:.......................................................... 18

2.7. La Lógica Formal o Simbólica: .......................................................... 20

2.7.1. Las Proposiciones: ....................................................................... 23

2.7.2. Valor de una Proposición: ........................................................... 25

2.7.3. Proposiciones Simples o Compuestas: .................................... 27

2.7.4. Los conectivos Lógicos: .............................................................. 30

2.7.5. Tablas de Verdad: ........................................................................ 38

2.7.6. Tautología, Contradicción y Contingencia:............................... 41

2.7.7. Leyes de la Lógica: ...................................................................... 42

2.8. Algebra Booleana: ............................................................................... 43

2.8.1. Magnitudes Analógicas y Digitales: ........................................... 44

IV

2.8.2. Señales Digitales: ......................................................................... 45

2.8.3. Funciones y Variables Lógicas: ................................................. 46

2.8.4. Propiedades del Algebra de Boole: ........................................... 47

2.8.5. Operaciones Lógicas: .................................................................. 50

2.8.6. Compuertas Lógicas: ................................................................... 51

2.8.7. Compuertas Lógicas Integradas: ............................................... 56

CAPITULO III: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES: ..................... 59

3.1. CONCLUSIONES: ............................................................................... 59

3.2. RECOMENDACIONES:...................................................................... 60

Fuentes de Información:.................................................................................... 61

Glosario de Términos:........................................................................................ 62

Anexos: ................................................................................................................ 63

V

Introducción

Desde sus orígenes, con Aristóteles, a mediados del siglo IV a. C., la lógica

formal o simbólica ha venido alcanzando paulatinamente un elevado nivel

de desarrollo que hoy le permite intervenir en casi cualquier campo de la

actividad humana. En la actualidad es prácticamente imposible concebir

siquiera la idea de la existencia de una rama de las matemáticas que no

emplee, al menos de una manera relacionada, los principios fundamentales

de la lógica formal. Pero, y esto es lo más llamativo del asunto, las

matemáticas no monopolizan los beneficios de tales aplicaciones: la lógica

formal es también utilizada por las ciencias humanas y sociales, siendo

particularmente el derecho una de ellas. El asunto adquiere una relevancia

significativa cuando se comprueba que la lógica formal ha influido

notablemente en la vida diaria del ser humano. Sin embargo, la lógica

formal parte del estudio de las proposiciones y estas por cierto o son

verdaderas o falsas, pero jamás diremos lo mismo de las normas.

La presente investigación, busca mostrar el beneficio que la lógica ejerce

diariamente y como es su funcionamiento directo e indirecto en la sociedad,

así como también, para ejercer una regulación directa de la conducta del

hombre respecto a sus acciones y con sus semejantes.

6

1. CAPITULO I: Marco Teórico:

1.1. Antecedentes de la Investigación:

Lord Acton En: Popper Karl Raimundo. La lógica de la

investigación científica. Madrid, Tecnos, (1962). p.15: “La

lógica es la ciencia que provee a las demás ciencias con un

instrumento fundamental: el método para alcanzar la verdad,

el orden, el sistema y la posibilidad de demostrar la validez,

tanto del conocimiento como de la realidad.”

Según Lord Acton explica que la lógica es el instrumento de

importancia total que se debe tener en cuenta si se quiere

llegar o alcanzar de manera valida la verdad y el

conocimiento.

Morado Estrada Raymundo. “¿Para quién la lógica?”

Cuaderno del Seminario de Pedagogía

Universitaria UNAM, (2005): “La lógica nutre nuestra mente

como las vitaminas y el ejercicio nutren nuestro cuerpo.

Estudiar lógica es como tomar vitaminas para la mente. […]

El ejercicio intelectual requiere entrenamiento y planificación,

requiere que sepamos qué herramientas están disponibles,

cuál es nuestro estado actual, cuántas vitaminas y ejercicios

necesitamos y para qué.”

7

Raymundo Estrada afirma que el uso de la lógica es fuente

vital para el desarrollo de nuestra inteligencia, que debe ser

utilizada correctamente y practicada consecutivamente a

través de nuestra vida diaria.

Sergio Augusto Cardona torres. Lógica y matemática

para ingeniería de sistemas y computación. Colombia,

Armenia, Quindío, (2010): Pretende guiarnos a través de los

métodos y técnicas de enseñanza sobre lógica y

matemáticas, para que los estudiantes de ingeniería de

sistemas puedan comprender los elementos de un problema

lógico mediante teorías y ejercicios.

8

1.2. Marco Histórico:

1.2.1. Edad Antigua:

Aristóteles de Estagira (384a.c. –322 a.c) considerado

como creador de la Lógica, sin embargo sus

predecesores desarrollaron y cultivaron la inferencia y

la prueba en los diferentes debates que por aquel

tiempo realizaban los filósofos.

En el plano sintáctico y semántico del lenguaje

Protágoras fue el primero en estudiar las oraciones,

Platón en su obra Sofista trató también las

afirmaciones y las negaciones, introduce la noción del

método axiomático que más tarde fue completado por

Aristóteles cuyo mérito radica el haber sistematizado la

lógica formal codificando las formas de argumentación

correcta que es donde radica la naturaleza de la lógica

como ciencia. Los escritos lógicos de Aristóteles están

contenidos en su libro Órganon que significa

“instrumento” para pensar correctamente

(propedéutica o metodología), este libro contiene los

cinco tratados siguientes: las categorías, las

proposiciones, los analíticos, (primeros y segundos) los

tópicos y las refutaciones sofísticas. Los analíticos es

el tratado que contiene la naturaleza de la lógica y el

9

Silogismo que trata del razonamiento lógico aristotélico

usando proposiciones categóricas.

Aristóteles aporta a la lógica la introducción del uso de

variables, las proposiciones por su cantidad y su

cualidad, el raciocinio deductivo, las formalizaciones de

la Lógica y el desarrollo silogístico.

Más adelante Teofrasto y Eudemo aportaron los

silogismos hipotéticos condicionales perteneciente a la

lógica de las proposiciones los Megariacos plantean el

significado de las proposiciones “Si - entonces” los

Estoicos desarrolla la lógica Verdadero – Falso de las

proposiciones.

1.2.2. Edad media:

La Lógica Medieval se basa en el trabajo de Aristóteles,

es recogida por los sacerdotes y cultivado mayormente

en los conventos, escuelas y universidades de Europa

Occidental.

Los estudios de los lógicos profesionales estuvo

dirigido al comentario del Órganon destacando Pedro

Hispano y Juan Buridán estableciendo que “de Dos

premisas contradictorias, se puede deducir cualquier

conclusión”.

10

1.2.3. Edad Moderna:

La época moderna marca el inicio de la Lógica

Matemática. El precursor de esta lógica es Guillermo

G. Leibniz quien introdujo el cálculo lógico llamado

“Mathesis Universalis” que fuese operacionalmente

mecánico, inequívoco y no cuantitativo que permitiera

acabar con todas las disputas y controversias. También

desarrolló el cálculo de la Lógica Proposicional. Euler

es otro de los precursores de la Lógica Matemática,

introdujo los diagramas que llevan su nombre para

ilustrar geométricamente los silogismos.

1.2.4. Edad Contemporánea:

El siglo XIX se caracteriza por el nivel de abstracción

que alcanza la lógica matemática destacando Hamilton

sobre la cuantificación de todo o alguno. Augusto de

Morgan considera que la base, común de la lógica

radica en las relaciones de inclusión o exclusión parcial

o total entre clases; George Boole construye la Teoría

de Clases. Venn aclara los procedimientos de Boole

representando los procesos algebraicos en los

diagramas de Venn.

Giussepe Peano da a la lógica el nombre de lógica

matemática creando un lenguaje simbólico para las

11

demostraciones matemáticas propuso el uso de los

puntos auxiliares y un modo de simbolizar los

cuantificadores. Bertrand Russell en su obra “Los

Principios de la matemática” propone que las

matemáticas puedan reducirse a una rama de la lógica

generando en su obra investigaciones sobre la

inferencia y sus respectivas aplicaciones.

En el siglo XX la lógica simbólica, que tanto debía a la

matemática había desembocado, desde principio del

siglo, en cuestiones irresolubles. Esto produjo un

paulatino alejamiento de la lógica con respecto a la

matemática, así como un deslindamiento de las

competencias respectivas. Por un lado, la lógica,

alejándose del excesivo formalismo y simbolismo,

empieza a ocuparse y preocuparse de problemas

semánticos, es decir de las relaciones entre los

símbolos y lo que expresan. Se producen así un

acercamiento de la lógica a la lingüística y a la

epistemología. Filósofos como L. Wittgenstein, R.

Carnap inicialmente bajo la influencia formalista y

logicista, dan un viraje en su filosofar orientándose

hacia preocupaciones lógico - semántica.

12

2. CAPITULO II: Marco Conceptual:

2.1. Definición:

Stephanie Peñaranda Leyte, “Lógica en la Vida Cotidiana”,

(2015) define que: La Lógica se entiende como la disciplina

que estudia el pensamiento en cuanto a sus formas mentales

(concepto, juicio y raciocinio) con la finalidad de elaborar

razonamientos correctos y verdaderos. Y es que existe una

gran diferencia entre lo que es correcto y lo que es verdadero,

pues en Lógica lo correcto se refiere a la estructura de los

razonamientos, a su forma; es decir a la manera en cómo

están construidos, pero no al contenido de verdad o falsedad

de los mismos.

En este sentido, hay razonamientos que pueden estar

perfectamente bien estructurados o construidos, pero que al

analizar su contenido de verdad resultan falsos. Por ejemplo,

he aquí un razonamiento correcto pero completamente falso:

“Ninguna mujer piensa, María es mujer, por lo tanto, María no

piensa”. Este silogismo es correcto porque su conclusión

“María no piensa” se deriva por necesidad de 2 premisas

previamente planteadas, pero es falso porque tiene como

punto de partida una premisa falsa: “Ninguna mujer piensa” y

por lo tanto, su conclusión también es falsa. Vemos así como

a la Lógica Formal, que es una especie de primera parte en el

13

estudio de la Lógica, no se interesa por la verdad o falsedad

de los razonamientos, sino sólo de su estructura o forma.

2.2. El Pensar:

Pensar es un complejo proceso que se inicia con la creación

de imágenes mentales en nuestro cerebro. Estas imágenes

las integramos, emparejamos, proyectamos o asociamos con

nuestros conceptos o esquemas que tenemos memorizados,

representándonos las situaciones del mundo y de nosotros

mismos en un proceso simbólico que necesitamos estructurar

en secuencias sintácticamente, esto es, lógicamente,

organizadas.

Tras ello podemos prever lo que sucederá, evaluar las

consecuencias de nuestros actos, anticipar para evitar

episodios desfavorables y promocionar los que más nos

beneficien. Naturalmente este curso de pensamiento puede

verse influido por nuestras emociones y por factores físicos o

sociales que modulan, habitúan, prejuzgan nuestras maneras

de representarnos las cosas del mundo.

Los filósofos racionalistas, sin embargo, al situar el origen de

la reflexión filosófica en la conciencia, aportaron, a través del

desarrollo del análisis como método científico del pensar, los

temas que van a marcar el desarrollo de la lógica formal.

14

Son de especial importancia la idea de descartes de una

Mathesis universalis y de Leibniz que, con su Characteristics

Universalis supone la posibilidad de un lenguaje universal,

especificado con precisión matemática sobre la base de que

la sintaxis de las palabras debería estar en correspondencia

con las entidades designadas como individuos o elementos

metafísicos, lo que haría posible un cálculo o computación

mediante algoritmo en el descubrimiento de la verdad.

Aparecen los primeros intentos y realizaciones de máquinas

de cálculo, (Pascal, Leibniz) y, aunque su desarrollo no fue

eficaz, sin embargo la idea de una Mathesis Universal o

Característica Universal, es el antecedente inmediato del

desarrollo de la lógica simbólica a partir del Siglo XX.

La palabra lógica ha sido utilizada como lógica trascendental

por Kant, en el sentido de investigar los conceptos puros a

prioridad del entendimiento o categorías trascendentales.

Hegel considera la lógica dentro del Absoluto (metafísica)

como proceso dialéctico del Absoluto, entendido éste como

Principio Absoluto, Espíritu Absoluto, y Sujeto, como Sujeto

Absoluto. La lógica, la epistemología y la ontología van unidas

y son expuestas en la filosofía entendida ésta como Sistema

Absoluto.

Constantemente pensamos, eso significa que construimos

secuencias temporalizadas de imágenes o conceptos que

15

representan simbólicamente cosas o eventos y que podemos

poner en movimiento para producir –simbólicamente - lo que

aún no ha acontecido. Ese poner en movimiento, que necesita

naturalmente no sólo una memoria en funcionamiento, sino

también una conciencia de lo que estamos pensando, es a lo

que podemos denominar razonamiento.

2.3. Razonar:

José Antonio Marina, “Teoría de la Inteligencia Creadora”.

Anagrama. Barcelona, (1993). Afirma que: La razón no es una

facultad especial: es un proyecto de la inteligencia, decidida a

saber si hay evidencias más fuertes que las privadas, a

evaluarlas y a aceptarlas si llegara el caso. Por eso es más

correcto usar el adjetivo «racional».

Hay una inteligencia racional, que es un paso más en la larga

historia que comenzó con una inteligencia computacional

capaz de auto determinarse. Pero ya he dicho que el

conocimiento de la realidad es sólo una delas funciones de la

inteligencia.

También es tarea suya inventar nuevas posibilidades y

también en esta tarea se deja seducir desde la lejanía porla

idea de racionalidad. Recordará el lector que la inteligencia se

definía por sus proyectos y que su proyecto de mayor

16

envergadura era el de un sujeto inteligente o de una vida

inteligente. Pues bien, ese proyecto se concreta en un sujeto

universalizado por la razón dispuesta a plegarse ante el

argumento más poderoso o ante el valor más alto que no sería

sino la mejor posibilidad pensable.

2.4. El Razonamiento Lógico:

El razonamiento lógico es entonces un conjunto de juicios que

mantienen entre sí relaciones lógicas de tal forma que

partiendo de algunos juicios dados a los que denominados

premisas podemos llegar deductivamente a un juicio que no

teníamos y que denominamos conclusión.

La obtención de la conclusión, si procedemos lógicamente,

asegura la validez de la misma por la propia estructura lógica

de los juicios que componen las premisas. Por ejemplo, si

partimos como premisas de los siguientes juicios:

Si llueve entonces me mojo

y llueve

¿Qué podemos concluir?

Evidentemente, que me mojo.

Esto es una inferencia o razonamiento deductivo, en el cual

si las premisas fueran verdaderas, la conclusión también lo

sería. La ciencia que estudia qué tipos de esquemas de

17

inferencia aseguran la validez de las conclusiones es la

Lógica.

2.5. Los Juicios:

La relación de dos conceptos da lugar a la formulación de un

juicio. Si se da entre ambos una relación de conveniencia

decimos que el juicio es afirmativo, y en caso contrario,

negativo.

El sujeto del juicio es el concepto del que se afirma o niega

algo; el predicado es el concepto que se afirma o niega del

sujeto. Aristóteles distingue en los juicios la materia y la forma.

La materia o contenido del juicio son los conceptos que se

relacionan; la forma es la relación que se establece entre ellos

a través del verbo ser. Aristóteles representa el sujeto del

juicio con un signo (S) y el predicado con otro (P) para intentar

separar la materia de la forma: así, la forma del juicio "Juan

es alto" se representaría como "S es P", y la forma del juicio

"Juan no es alto" como "S no es P".

Los juicios se clasifican en varios grupos, atendiendo a la

cantidad (según la extensión del sujeto: universales,

particulares, singulares), la cualidad (según la cualidad de la

cópula: afirmativos y negativos), la relación (según la relación

entre el sujeto y el predicado: categóricos, hipotéticos y

18

disyuntivos) y la modalidad (según el modo en que expresan

la relación entre el sujeto y el predicado: apodícticos,

asertóricos y problemáticos).

2.6. La Lógica Informal o cotidiana:

En el Lenguaje cotidiano, expresiones como lógica o

pensamiento lógico, aporta también un sentido alrededor de

un pensamiento lateral comparado, haciendo los contenidos

de la afirmación coherentes con un contexto, bien sea del

discurso o de una teoría de la ciencia, o simplemente con las

creencias o evidencias transmitidas por la tradición cultural.

Del mismo modo existe el concepto sociológico y cultural de

la lógica de las mujeres, lógica masculina, que podríamos

considerar como lógica cotidiana, también conocido como

sentido común, o en la lengua vulgarismo. En estas áreas la

lógica suele tener una referencia lingüística en la pragmática.

Un argumento en este sentido tiene su lógica cuando resulta

convincente, razonable y claro; en definitiva cuando cumple

una función de eficacia. La habilidad de pensar y expresar un

argumento así corresponde a la retórica, cuya relación con la

verdad es una relación probable.

El texto siguiente destaca la presencia de la lógica en la vida

diaria. Su contenido se hará más claro al lector a medida que

19

avance en el estudio de este libro y se familiarice con

conceptos y usos de la lógica:

“La lógica no es una alternativa por la que podamos

optar; no podemos decidir si vamos a emplearla o no.

Resulta inevitable y está presente en cada frase que

pronunciamos, ya que continuamente estamos

enunciando proposiciones lógicas. Cuando decimos,

por ejemplo, que algo es necesario,que una cosa

depende de otra, que un evento es causa de otro,

cuando indicamos una contradicción o una

imposibilidad, una implicación o una dependencia,

estamos haciendo lógica, aunque no seamos

conscientes de ello” Zuleta, 1996, p. 16.

El estudio de la lógica permite identificar, en los argumentos

cotidianos, ciertas estructuras válidas de razonamiento

utilizadas por los seres humanos. Tales estructuras son

usadas generalmente en forma espontánea, sin que nos

detengamos a analizar la estructura utilizada.

Por ejemplo: no ponemos las manos en el fuego porque

hacerlo nos causa quemaduras. (Y como no estamos

dispuestos a causarnos quemaduras, ¡pues no ponemos las

manos en el fuego! Es así de simple).

20

2.7. La Lógica Formal o Simbólica:

Se interesa por el razonamiento correcto, que es lo mismo

que decir coherente y ordenado. Un razonamiento de esta

naturaleza es posible si la conclusión que se obtiene se deriva

por necesidad de otros pensamientos previamente

planteados llamados premisas. Esto es, todo razonamiento o

argumento está estructurado con premisas y conclusión.

La lógica podemos definirla como la ciencia de los principios

de la validez formal de la inferencia. Analicemos esta

definición. Ya sabemos lo que es una inferencia o

razonamiento deductivo, no debemos confundir ahora el

proceso psicológico con el resultado de este proceso.

Ahora sólo nos interesa el resultado, independientemente de

quién lo piense o de cómo se haya producido.

La lógica solamente se ocupa de razonamientos como

productos o resultados. ¿Qué significa eso de la validez

formal? En parte ya ha sido explicado anteriormente, usemos

ahora algunos ejemplos:

(1) Si llueve entonces se me seca la ropa y llueve.

Luego, se me seca la ropa

(2) Si llueve entonces me mojo

y me mojo.

Luego llueve.

21

El razonamiento (1) parece falso, pues no ocurre en la

experiencia que cuando llueva se seque la ropa, por el

contrario (2) parece verdadero, pues efectivamente si me

mojo puede ser porque llueva. Sin embargo este análisis

responde a lo que denominamos Verdad material. La verdad

material es un asunto de experiencia, podría ser que

efectivamente cuando llueva se nos seque la ropa, pero en

este mundo ocurre lo contrario.

La verdad material es un asunto que investiga las ciencias

empíricas o experimentales que necesitan acudir a la

experiencia para determinar la verdad de sus teorías.

La Lógica no se ocupa de este tipo de verdad, sino de la

validez o verdad formal. En ese sentido prescinde de los

contenidos de los juicios para ocuparse de la mera forma

lógica. Eliminemos mediante un proceso de formalización el

contenido de (1) y de (2). Este proceso de formalización va a

consistir en asignar a cada proposición u oración una letra

minúscula a partir de la letra p, por convención. De esta

manera, vamos a tratar con variables proposicionales.

Una variable proposicional, como la 'x' o la 'y' de las

ecuaciones matemáticas, es algo que puede estar por

cualquier oración, con cualquier contenido. La noción de

variable es precisamente algo que admite instancias de

22

sustitución dentro de un dominio especificado. En este caso,

si vamos a tratar con variables proposicionales, será porque

el dominio de sustitución será el conjunto de las oraciones.

Procedamos entonces a formalizar nuestras inferencias:

(1) sea p: llueve

sea q: se me seca la ropa

y simbolicemos la relación condicional

si...entonces mediante el signo →, que usaremos

de forma infija

Entonces:

p → q

p

q

(2) sea p: llueve

sea q: me mojo

Entonces la formalización quedaría

p → q

q

p

Visto así la lógica nos dirá que (1) es un esquema de

inferencia válido, mientras (2) no lo es. Es decir, que todo

razonamiento que tenga la estructura lógica de (1) asegura la

23

validez de las conclusiones obtenidas, o como lo

expresábamos anteriormente, si las premisas fueran

verdaderas, la conclusión también sería verdadera. A esto es

a lo que denominamos validez formal de las inferencias.

2.7.1. Las Proposiciones:

Una proposición matemática es un enunciado, frase o

expresión que tiene un significado determinado y que

mediante un criterio definido puede ser clasificado

inequívocamente como verdadero o falso.

En lenguajes naturales tales como el español, alemán,

inglés, entre otros, las proposiciones no pueden ser

imperativas o interrogativas, únicamente pueden ser

declarativas.

De acuerdo a lo anterior las siguientes oraciones u

enunciados son proposiciones:

Los profesores van a la actividad deportiva.

La ciudad está progresando.

Julián es estudiante de Doctorado.

Java es un lenguaje de programación.

5 es un número impar.

9 es un número compuesto.

24

La proposición está asociada directamente a su

significado, por ejemplo si se tienen las oraciones:

Está llorando el niño.

El niño está llorando.

Se tiene en este caso que ambas oraciones tienen el

mismo significado y son consideradas como proposiciones

iguales, pero las oraciones son diferentes.

Hay oraciones o enunciados que no son proposiciones,

teniendo en cuenta que no es posible que se evalúen como

verdaderas o falsas y a que su objetivo no es especificar

hechos. Ejemplo de enunciados que no son proposiciones

pueden ser:

¿Quién soy?

¡Hola amigo!

¿Qué hora es?

¡Por favor estudia!

¿Cuál es tu fecha de nacimiento?

En la lógica proposicional se puede determinar la validez

de las expresiones únicamente desde el punto de vista de

su estructura, sin tener en cuenta el significado semántico

de tales expresiones. Por ejemplo si se tiene la expresión:

25

Rasputín habita en Armenia.

En esta expresión no se sabe si Rasputín es una persona,

es un animal o cualquier otro concepto. Analizando la

expresión podemos dar el valor de verdad o falsedad a

esta, pero el significado de ella no lo consideraremos

relevante, otros ejemplos son:

Liliana le dio la vuelta a Argelia.

Los liberales son los ganadores del torneo.

Orlando está de fiesta.

2.7.2. Valor de una Proposición:

Las proposiciones de forma tradicional se representan con

letras minúsculas del alfabeto, para nuestro libro se

representarán comúnmente con las letras p, q, r, s, t,...,

cada una de estas letras recibe el nombre de átomo.

La forma de representación para proposiciones será

mediante un átomo seguido de: (dos puntos) y

posteriormente el enunciado.

p: enunciado o proposición

Los siguientes corresponden a representación de

proposiciones según la notación:

26

p: Armenia tiene 120 años

q: Egipto está ubicado en Asia

r: 7 < 3

t: 3x + 4z = 8

u: Las leonas no son las campeonas

Cuando se dice que una proposición matemática es

verdadera o falsa se establece su valor de verdad, y por lo

tanto se le da una interpretación a la proposición. Es por

ello que es común asignar valores de verdad a los

enunciados.

La forma en la cual representaremos la interpretación de

la proposición cuando se utilicen átomos, será mediante la

letra minúscula v seguida de un átomo entre paréntesis y

posteriormente la asignación del valor de la verdad.

v (átomo) = valor de verdad

En la lógica proposicional los valores posibles son:

verdadero (V)

o Falso (F)

v (átomo) = V

v (átomo) = F

27

A continuación se muestran ejemplos de asignación de

valor a las proposiciones.

p: Todos los números impares son primos

v (p)= F, a la proposición p se le asignó el valor de

falso.

q: 9 es un número compuesto.

2.7.3. Proposiciones Simples o Compuestas:

La lógica estudia fórmulas proposicionales simples o

compuestas. Se considera que una proposición en su

forma más sencilla, se llama atómica o simple, y una

proposición con más de un verbo, o varios sujetos u

objetos, se denomina compuesta.

Una proposición es simple si expresa una sola idea sobre

algo. Las proposiciones simples son aquellas donde no es

posible encontrar otras proposiciones.

Ejemplos de proposiciones atómicas o simples:

p: El cuadrado es un paralelogramo.

q: María no quiere a Juan.

r: 7 es un número primo.

s: Canadá es una ciudad.

28

t: 17 no es un número compuesto.

u: 5 + 3 * 2 < 4 + 15

Las proposiciones compuestas están conformadas de

varias proposiciones simples unidas a través de

conectores lógicos. Los conectores lógicos más conocidos

son:

Si… entonces…, si y sólo si…, y, o.

Un conectivo lógico es por lo tanto, un elemento que

permite la unión de proposiciones simples. Una

proposición es compuesta si relaciona dos o más

proposiciones simples por medio de un conectivo lógico.

A continuación se muestran ejemplos de proposiciones

compuestas:

m: 13 es un número impar y 22 es un número par.

n: 22 es divisible por 2 o por 11.

o: x2− 16 = 0 si y sólo si x = 4.

p: El árbol es de color verde o el árbol es de color

café.

q: Mauricio y Martha son mayores de edad.

r: Mario gana la materia si y sólo si estudia el fin de

semana.

29

s: La vaca es un animal mamífero y cuadrúpedo.

t: 18 es múltiplo de 9 y divisor de 54, o 18 es divisible

por 3.

Por ejemplo si tenemos las siguientes proposiciones

simples:

o: El carro es costoso.

p: El repuesto es de color blanco.

q: El parqueadero es pequeño.

r: La renta es mensual.

Es posible construir enunciados compuestos que denotan

proposiciones más complejas para su análisis.

En este caso se utilizarán los conectores lógicos:

y, o, si... entonces..., si y sólo si...

s: El carro es costoso y el repuesto es de color blanco.

t: La renta es mensual si y sólo si el carro es costoso.

u: Si el parqueadero es pequeño entonces el carro es

costoso.

v: La renta es mensual o el carro es costoso.

30

2.7.4. Los conectivos Lógicos:

Las proposiciones compuestas se unen por medio de

conectivos lógicos, los cuales son operadores que

permiten combinar proposiciones para formar otras

proposiciones. Estos operadores que permiten la unión de

enunciados o proposiciones se llaman operadores

binarios. Las proposiciones compuestas tienen mucha

capacidad de expresión dentro de la lógica. A continuación

se muestran los principales conectivos lógicos cada con su

respectivo símbolo.

A continuación se hará un análisis de cada uno de los

conectivos lógicos.

31

2.7.4.1. La Negación:

Supongamos que el átomo p representa la afirmación

p: Isabel es calculista. Entonces cualquiera que de las

afirmaciones:

“Isabel no es calculista”,

“es falso que Isabel es calculista”,

“es un hecho que Isabel no es calculista”,

“no es el caso que Isabel es calculista”.

Entonces se entiende la negación como expresar lo

contrario de lo que es verdad, existen formas de negar

la afirmación inicial, se representa con la fórmula ¬p.

La Formula bien formada ¬p, que leeremos “no p”

representa la negación de p.

2.7.4.2. La Disyunción:

El conectivo lógico que representa la disyunción

inclusiva es el símbolo (v). La proposición p v q es

llamada la disyunción inclusiva entre las proposiciones

p y q. Se considera la proposición p v q falsa,

únicamente cuando la proposición p y la proposición q

son falsas a la vez.

32

Algunas frases en las que aparece la disyunción son

los siguientes:

p o q

p o q o ambos al menos p o q

mínimo p o q

Algunas frases de representación en lenguaje natural

en los cuales se utiliza la disyunción son las siguientes:

El parcial estaba difícil o mal redactado

Hizo frío o la persona es nerviosa.

El Pueblo es grande o había demasiado tráfico.

Para pagar el crédito al menos se debe tener

cuenta corriente o cuenta de ahorros.

2.7.4.3. La Conjunción:

De acuerdo a la anterior tabla, el conectivo lógico

conjunción se representa mediante el símbolo ^. Sean

p y q dos proposiciones, entonces la proposición p ^ q

es llamada la conjunción entre la proposición p y la

proposición q. Algunas frases en las que aparece la

conjunción son los siguientes:

33

p y q

p amenos q

p igualmente q

La proposición p ^ q es verdadera únicamente cuando

p es verdadera y q es verdadera, es decir, cuando

ambas proposiciones son verdaderas a la vez.

Algunos ejemplos de representación en lenguaje

natural en los cuales se utiliza la conjunción son los

siguientes:

En Haití hay inflación y no hay crecimiento

económico.

El gobernador tiene buenas intenciones sin

embargo no tiene presupuesto.

La oferta es alta no obstante la demanda es

muy poca.

2.7.4.4. La Condicional:

Considera la siguiente proposición: "Si obtienes una A

en lógica, entonces te voy a comprar un Mustang

amarillo." Esta parece ser compuesta en dos oraciones

más simplemente:

34

p: "Obtienes una A en lógica," y

q: "Te voy a comprar un Mustang amarillo."

La proposición original quiere decir lo siguiente: Si p es

verdad, entonces q es verdad, o, más simple, si p,

entonces q. También podemos escribir la frase como p

implica q, y escribimos p→q.

Ahora supongamos por el bien de la discusión de que

la proposición original: "Si obtiene una A en lógica,

entonces te voy a comprar un Mustang amarillo," es

verdad. Esto no significa que tú obtendrás una A en

lógica; lo único que quiere decir es que si tú lo haces,

entonces te voy a comprar un Mustang amarillo.

Si Pensamos en esto como una promesa, la única

manera que pueda ser rota esta promesa es si ganas

una A pero no te compro un Mustang amarillo. En

general, usamos esta idea para definir la proposición

p→q.

La proposición p→q es falsa si la primera proposición

(antecedente) es verdadera y la segunda proposición

(consecuente) es falsa.

35

Algunos ejemplos de representación en lenguaje

natural en los cuales se utiliza el condicional son los

siguientes:

Si p entonces q

p implica q

p es suficiente para

No p a menos que q

p en consecuencia q

p se deduce q

p por ende q

A continuación se muestran pares de

proposiciones y se analizará su valor de verdad,

recordando que el condicional es falso únicamente el

antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

p: 5 + 5 = 10 (V)

q: 5 × 2 = 10 (V)

El condicional de p → q es: Si 5 + 5 = 10 entonces 5×2

= 10 Entonces como p y q son verdaderas, el

condicional es verdadero.

w: 8 es un número par (V)

z: 8 no es divisible por 2 (F)

36

El condicional de w→ z es: Si 8 es un número par

entonces no es divisible por 2 Entonces como

w es verdadera y z es falsa, el condicional es falso.

2.7.4.5. La Bicondicional:

Ya vimos que p → q no es lo mismo que q → p. Puede

ocurrir, sin embargó, que ambos p → q y

q → p son verdaderas. Por ejemplo: Si p: "0=1" y q:

"1=2". Entonces p → q y q → p ambas son verdaderas

porque p y q ambas son falsas.

La proposición p ↔ q se define como la proposición (p

→ q) (q → p). Por esta razón, la flecha de doble cabeza

↔ se llama el bicondicional.

El bicondicional es verdadero únicamente cuando tanto

p como q tienen los mismos valores de verdad.

Algunos ejemplos de representación en lenguaje

natural en los cuales se utiliza el bicondicional son los

siguientes:

p si y sólo si q

p es necesario y suficiente para q

p es equivalente a q

p cuando y sólo cuando q

p entonces y sólo entonces q

37

La proposición p ↔ q es verdadera sólo cuando las dos

proposiciones son ambas verdaderas o falsas.

Algunos ejemplos en lenguaje natural en el cual se

tiene un condicional son los siguientes:

Juan ve si y sólo si no es ciego

5 + 5 = 10 si y sólo si 5 × 2 = 10

28 es par si y sólo si es divisible por 2

Un número es compuesto si y sólo si tiene más

de dos divisores.

A continuación se muestran pares de proposiciones y

se analizará su valor de verdad, recordando que el

bicondicional es verdadero únicamente cuando las

proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

p: 10 no es número par (F)

q: 10 >= 8 (V)

El bicondicional de p ↔q es falso, teniendo en cuenta

que p es falso y q es verdadero.

q: 28 es un número perfecto (V)

r: 28 no es un número impar (V)

El bicondicional de q↔ r es verdadero, teniendo en

cuenta que q es verdadero y r es verdadero.

38

2.7.5. Tablas de Verdad:

Un método para analizar los v alores de certeza de las

proposiciones es el de poner todas las posibilidades de

certeza o falsedad en forma de una tabla, estas tablas

básicas indican si una proposición molecular es verdadera

o falsa y de esta forma analizar cada una delas

posibilidades que aparecen en ella. Este algoritmo es

llamado el método de las tablas de verdad porque puede

ser ordenado en forma tabular.

El primer paso en la construcción de una tabla de verdad

para una fórmula es conocer cuántas posibles

combinaciones de la fórmula hay, es decir, en cuántas

formas diferentes pueden combinarse los valores de

verdad asignados a las fórmulas atómicas que las

componen.

Si p es una fórmula atómica, p sólo tiene dos

combinaciones posibles (V) o (F). Si p tiene dos fórmulas

atómicas, existen cuatro combinaciones posibles. Si p

tiene tres fórmulas atómicas, sus valores de verdad se

pueden combinar de ocho formas diferentes, y así

sucesivamente. Así si p tiene n fórmulas atómicas, habrá

2n combinaciones posibles veamos:

39

1. v (p) = V o v (p) = F Según el átomo p representa

una proposición verdadera o falsa, respectivamente.

2. v (¬A) = F si v(A) = V y v (¬A) = V, si v(A) = F.

3. v (A^B) = V, si v(A) = v (B) = V; v(A^B) = F,

en cualquiera otro caso.

4. v (A v B) = F, si v(A) = v (B) = F; v(A v B) = V, en

cualquiera otro caso.

5. v (A→B) = F si v(A) = V y v (B) = F; v(A→B) = V, en

cualquiera otro caso.

6. v (A↔B) = V si y sólo si v (A) = v(B).

Con la posible excepción del condicional en la línea 5, los

valores definidos en la lista anterior reflejan el uso y

significado de los conectivos. Por ejemplo, sobre la base

del significado de la conjunción “y” es natural, como se

hace en la línea 3, asignar a A ^ B el valor V si (y sólo sí)

ambas fórmulas tienen el valor V. Este hecho se expresa

usualmente como “La conjunción A ^ B es verdadera si y

sólo si A y B son verdaderas”. Esto, porque las constantes

V y F se han escogido teniendo presentes los significados

de “verdadero” y “falso” respectivamente.

De igual manera, es natural asignar los valores de verdad

para ¬A y para A v B como aparecen en las líneas 2 y 4.

Sin embargo, el lector puede preguntarse: ¿con qué

40

criterio se han asignado los valores de verdad para el

condicional como aparecen en la línea 5? ¿Por qué

cuando el antecedente es falso el condicional tiene valor

verdadero? Los valores de verdad para las proposiciones

compuestas definidos anteriormente se recogen en el

siguiente cuadro, para el caso en que A y B son átomos.

Observe que las dos primeras columnas contienen las 4

posibles combinaciones de valores de verdad de los

átomos p y q, que intervienen en las fórmulas. En forma de

lista ordenada donde el primer elemento es el valor de

verdad de p y el segundo es el de q, estas 4 combinaciones

son: V-V, V-F, F-V y F-F.

La tabla se construye escribiendo en cada casilla el valor

de verdad del átomo o de la fórmula A que encabeza la

columna correspondiente. Cada columna es la “tabla de

verdad” del conectivo que la encabeza. Por ejemplo: Usted

debe memorizar esta tabla, para usos futuros.

TABLAS DE VERDAD

41

2.7.6. Tautología, Contradicción y Contingencia:

Tautología: Es una expresión lógica que resulta

verdadera para cualquier interpretación; es decir, para

cualquier asignación de valores de verdad. La

construcción de una tabla de verdad es un método efectivo

para determinar si una expresión cualquiera es una

tautología o no.

Contradicción: Una proposición es una contradicción, si

es falsa para todos sus valores de verdad.

42

Contingencia: Una proposición es una contingencia si no

es ni verdadera ni falsa independientemente de los

valores de verdad de las proposiciones simples que la

componen.

2.7.7. Leyes de la Lógica:

Teorema: Si dos fórmulas lógicas son equivalentes

entonces la fórmula que se obtiene al operarlas con la

bicondiconal es una tautología.

43

2.8. Algebra Booleana:

Hacia 1850, el matemático y lógico irlandés George Boole

(1851-1864), desarrolló un sistema matemático para formular

proposiciones lógicas con símbolos, de manera que los

problemas pueden ser escritos y resueltos de una forma

similar al álgebra tradicional.

El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo

centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un

operador binario “ º “ definido en éste juego de valores acepta

un par de entradas y produce un solo valor booleano, por

ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas

booleanas y produce una sola salida booleana. Para cualquier

sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales,

de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y

otras propiedades del sistema.

El Álgebra de Boole se aplica en el análisis y el diseño de los

sistemas digitales.

Una variable booleana es cualquier símbolo que en un

instante determinado sólo puede tomar uno de dos valores:

0 y 1.

Existen varios tipos de circuitos lógicos que se utilizan para

implementar funciones lógicas u operaciones lógicas. Estos

44

circuitos son los elementos básicos que constituyen los

bloques sobre los que se construyen sistemas digitales más

complejos, como por ejemplo una computadora.

2.8.1. Magnitudes Analógicas y Digitales:

Los circuitos electrónicos se dividen en dos categorías:

digitales y analógicos.

La electrónica digital utiliza magnitudes digitales que

toman valores discretos.

Representación de los valores muestreados

(cuantificación) de la magnitud analógica temperatura.

Cada valor representado por un punto puede digitalizarse,

representándolo como un código digital que consta de una

serie de 1s y 0s.

45

La electrónica analógica emplea magnitudes analógicas

que toman valores continuos.

Gráfica de una función analógica (temperatura en función

del tiempo)

En las aplicaciones electrónicas, los datos digitales se

pueden procesar de forma más fiable que los datos

analógicos. Cuando es necesario su almacenamiento, el

ruido (fluctuaciones de tensión no deseadas) no afecta a

las señales digitales tanto como a las señales analógicas.

2.8.2. Señales Digitales:

La información binaria que manejan los sistemas digitales

aparece en forma de señales digitales que representan

secuencias de bits.

Cuando la señal está a nivel ALTO, se representa con 1

binario, mientras que si la señal está a nivel BAJO, lo

indica un 0 binario.

46

Cada bit dentro de una secuencia ocupa un intervalo de

tiempo definido denominado periodo del bit.

En los sistemas digitales, todas las señales se sincronizan

con una señal de temporización básica de reloj.

El reloj es una señal periódica en la que cada intervalo

entre impulsos (el periodo) equivale a la duración de 1 bit.

Ejemplo de una señal de reloj sincronizada con la señal A

2.8.3. Funciones y Variables Lógicas:

Variables Lógicas: Representa un suceso o magnitud

que toma valores entre dos posibles. Estos dos valores

son excluyentes entre ellos, se expresan mediante

proposiciones. Las proposiciones se pueden clasificar

como verdaderas o como falsas.

47

Funciones Lógicas: Cuando se combinan proposiciones

se forman funciones lógicas o proposiciones lógicas.

Por ejemplo: “si la bombilla no está fundida y el interruptor

está dado, la luz está encendida”. Las dos primeras

proposiciones son las condiciones de las que depende la

proposición “la luz está encendida”. Ésta es cierta sólo si

las dos primeras lo son.

Por tanto, una función lógica calcula el valor de una

variable (dependiente) a partir de otra u otras variables

(independientes).

2.8.4. Propiedades del Algebra de Boole:

Un álgebra booleana es una estructura algebraica formada

por un conjunto B en el cual se han definido dos

operaciones cerradas en B, llamadas “suma” y

“multiplicación”, que representaremos con los símbolos (+)

y (.) y que satisfacen las propiedades 1-5 que se describen

a continuación.

Que sean operaciones cerradas en B significa que los

resultados de sumar y de multiplicar cada dos elementos

de B son también elementos de B.

48

1. Las dos operaciones son conmutativas, es decir,

cualesquiera sean a, b є B,

i) a+b = b+a y

ii) a.b =b.a

2. Las dos operaciones son asociativas, es decir,

cualesquiera sean a, b, c є B,

i) a+(b+c) =(a+ b)+c y

ii) a. (b.c) =(a.b).c

3. Existe, para cada una de las operaciones, un elemento

neutro. Denotando con 0A el elemento neutro de la

suma y con 1A el elemento neutro de la multiplicación,

se tiene entonces que, para cada aєB,

i) a+0A = 0A+a = a

ii) a.1A = 1A.a = a

Hemos utilizado los símbolos 0A y 1A para denotar “el

cero del álgebra” y “el uno del álgebra”

respectivamente. Esto, porque no son los conocidos 0

y 1 del conjunto de los números reales, sino elementos

de B que se comportan como ellos en sus respectivas

49

operaciones; de ahí sus nombres. No sobra anotar que

los elementos neutros son distintos, 0A ≠1A.

4. Para cada elemento a є B existe un elemento único, ā,

llamado el complemento de a, caracterizado por estas

propiedades:

i) a+a= 1A

ii) a.a= 0A

Sobre la base de lo anterior, para que un elemento de

B sea el complemento de a debe satisfacer dos

condiciones: la primera es que al sumar a con el posible

complemento, ā, el resultado debe ser el “uno del

álgebra”, 1A. La segunda, es que el producto de a con

el posible ā debe ser igual al “cero del álgebra”, 0A.

5. Cada una de las operaciones (+) y (.) es distributiva

con respecto a la otra, es decir, para elementos

arbitrarios a, b y c en B,

i. a. (b+c) = (a.b) + (a.c)

ii. a+(b.c) = (a+b) . (a+c)

50

Aunque las propiedades asociativas pueden deducirse

de las restantes de la lista anterior, es frecuente

incluirlas entre las propiedades básicas de la definición.

2.8.5. Operaciones Lógicas:

Las operaciones lógicas pueden representarse a través de

símbolos gráficos y de tablas de verdad.

Las líneas conectadas a la izquierda de cada símbolo son

las entradas (input) y las líneas a la derecha son las salidas

(output).

El funcionamiento de las puertas, operaciones y funciones

lógicas se describe con las tablas de verdad.

51

Son representaciones tabulares que especifican la salida

de la puerta o función lógica para todas las posibles

combinaciones de entradas.

2.8.6. Compuertas Lógicas:

Son circuitos que aceptan valores lógicos a la entrada y

producen valores lógicos a la salida. Un circuito que realiza

una operación lógica determinada (NOT, AND, OR) se

llama puerta lógica.

Lógica Combinatoria: Cuando en un circuito lógico el

estado de las salidas depende sólo del estado de las

entradas, es decir combinaciones de diferentes valores

lógicos a la entrada de un circuito lógico hacen que

aparezcan distintos valores lógicos a la salida.

Lógica Secuencial: Si el estado de la salida depende del

estado delas entradas y también del estado anterior del

circuito.

Con relación a un circuito, consideraremos sólo los

controles incorporados a él para impedir o permitir el paso

de la corriente por sus diferentes caminos. Estos controles

son los interruptores o switches, de funcionamiento tipo

on-off.

52

En la imagen se presenta el caso de un único interruptor.

Cuando está en posición on (cerrado) permite el paso de

corriente; cuando está en posición off (abierto) no hay

paso de corriente.

Compuerta AND: Es una de las puertas básicas con la

que se construyen todas las funciones lógicas. Tiene dos

o más entradas y una única salida, realiza la operación que

se conoce como multiplicación lógica y tiene un símbolo

lógico estándar:

Compuerta OR: Es otra de las puertas básicas con las

que se construyen todas las funciones lógicas.

53

Tiene dos o más entradas y una única salida, realiza la

operación que se conoce como suma lógica:

Compuerta NOT: Realiza la operación denominada

inversión o complementación, Cambia el nivel lógico al

nivel opuesto. En términos de bits cambia:

– Un 1 por un 0.

– Un 0 por un 1.

Compuerta NAND: Es un elemento lógico popular debido

a que se puede utilizar como puerta universal:

Se pueden combinar para implementar las operaciones de

las puertas AND, OR y del Inversor.

54

El término NAND es una contracción de NOT-AND e

implica: Una función AND con la salida complementada

(negada).

Compuerta NOR: Al igual que la puerta NAND, es un

elemento lógico útil porque también se puede emplear

como puerta universal: Se pueden usar combinadas para

implementar las operaciones AND, OR y del Inversor.

El término NOR es una contracción de NOT-OR e implica:

Una función OR con la salida complementada (negada).

55

Puertas XOR y XNOR: Las puertas OR-exclusiva (XOR)

y NOR-exclusiva (XNOR) se forman mediante la

combinación de otras puertas ya vistas.

Debido a su importancia fundamental en muchas

aplicaciones, estas puertas se tratan como elementos

lógicos básicos con su propio símbolo único.

Compuerta X− OR: La puerta XOR tiene sólo dos

entradas:

La salida es un nivel ALTO si:

La entrada X está a nivel BAJO y la entrada Y está a nivel

ALTO o, si la entrada X está a nivel ALTO y la entrada Y

está a nivel BAJO.

Compuerta X−NOR: La puerta XNOR, al igual que la

XOR, sólo tiene dos entradas:

La salida es un nivel BAJO si:

56

La entrada X está a nivel BAJO y la entrada Y está a nivel

ALTO o si la entrada X está a nivel ALTO y la entrada Y

está a nivel BAJO.

2.8.7. Compuertas Lógicas Integradas:

Existen varias tecnologías de circuitos integrados digitales

que se usan para implementar las puertas lógicas básicas.

Las más extendidas:

– CMOS

– TTL

Para aplicaciones más especializadas:

– ECL

La función de las puertas lógicas básicas es la misma

independientemente de la tecnología de circuitos

integrados que se utilice.

57

Características:

•CMOS (Complementary Metal-Oxide Semiconductor)

Se implementa con un tipo de transistor de efecto de

campo.

•TTL (Transistor-Transistor Logic)

Se implementa mediante transistores bipolares.

•ECL (Emitter-CoupledLogic)

También se implementa mediante la tecnología bipolar.

CMOS y TTL sólo difieren en el tipo de componentes de

circuito y los valores de los parámetros, y no en las

operaciones lógicas básicas.

•Una puerta AND CMOS realiza la misma operación lógica

que una puerta AND TTL.

•La diferencia entre ambas se encuentra en las

características de funcionamiento, tales como: La

velocidad de conmutación (retardo de propagación), a

disipación de potencia y la inmunidad al ruido.

58

2.8.7.1. CMOS:

Es la tecnología utilizada en los circuitos de gran escala

de integración y microprocesadores. La cual es la más

popular en la actualidad y su mayor ventaja reside en

ofrecer mucha menor disipación de potencia.

2.8.7.2. TTL:

Es una tecnología de circuitos integrados muy popular,

su mayor ventaja reside en las grandes velocidades de

conmutación y también ofrece una enorme variedad

de dispositivos.

59

3. CAPITULO III: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:

3.1. CONCLUSIONES:

- Como hemos podido examinar en todos los temas

expuestos en la presente investigación sobre la lógica

podemos concluir que la lógica es una herramienta muy

importante y útil para el desarrollo del estudiante de

ingeniería de sistemas, que gracias a ella, la tecnología tanto

en computadoras y la tecnología móvil ha podido dar pasos

importantes en la historia, para la mejora del desarrollo de

sistemas de comunicación y administración, que son

utilizados para el beneficio y desarrollo de la sociedad.

- La lógica ayuda a pensar con claridad, orden, profundidad

y coherencia, a hilvanar ideas y elaborar pensamientos

racionales. En la búsqueda de la verdad.

- Tras el estudio de las nombradas funciones matemáticas,

podemos concluir en que son muy importantes especial en la

ingeniería de sistemas ya que se pudo observar a lo largo del

desarrollo los diferentes usos de la lógica en la vida diaria

modelo que podemos aplicar frente a cierta problemática.

60

3.2. RECOMENDACIONES:

Se recomienda a los futuros estudiantes de cualquier rama de

la ingeniería, aplicar y practicar los conocimientos y leyes de

la lógica y del algebra booleana si lo que se quiere, es aportar

nuevos conocimientos importantes en las tecnologías de la

información además de los sistemas informáticos en este

mundo globalizado, las cuales serán una herramienta de

mucha ayuda para su desarrollo.

A todos a aquellos que desean ahondar y aportar sobre el

tema expuesto en el presente escrito, les recomendamos

sintetizar y ejemplificar lo más posible la cantidad excesiva de

información que abunda en la red y en las bibliotecas.

61

Fuentes de Información:

Bibliografía:

1. Lord Acton En: Popper Karl Raimundo. La lógica de la investigación

científica. Madrid, Tecnos, (1962).

2. Morado Estrada Raymundo. ¿Para quién la lógica? Cuaderno del

Seminario de Pedagogía Universitaria UNAM, (2005).

3. Sergio Augusto Cardona torres. Lógica y matemática para ingeniería

de sistemas y computación. Colombia, Armenia, Quindío, (2010).

4. José Antonio Marina, “Teoría de la Inteligencia Creadora”.

Anagrama. Barcelona, (1993).

5. Stephanie Peñaranda Leyte, “Lógica en la Vida Cotidiana”, (2015)

6. Fundamentos de Sistemas Digitales. T. L. FLOYD. (Prentice Hall,

2000).

7. F. García Merayo, Matemática Discreta. Editorial Thomson, 2a

Edición, (2005).

8. R. P. Grimaldi, Matemáticas discreta y combinatoria. Editorial

Addison Wesley Iberoamericana, (1997).

62

Glosario de Términos:

Magnitudes:

Es una propiedad que poseen los fenómenos o las relaciones entre ellos,

que permite que puedan ser medidos (expresados por números reales no

negativos y usando la unidad pertinente). Dicha medida, es representada

por una cantidad.

Digital:

Se aplica al aparato o instrumento de medición que suministra la

información mediante dígitos o elementos finitos o discretos.

Bit:

En informática y otras disciplinas, unidad mínima de información, que

puede tener solo dos valores (cero o uno).

CMOS:

Es la tecnología utilizada en los circuitos de gran escala de integración y

microprocesadores.

TTL:

Es una tecnología de construcción de circuitos electrónicos digitales

63

Anexos:

ARISTOTELES

GEORGE BOOLE

64

CONSTRUCCION DE UN CIRCUITO LOGICO CON EL ALGEBRA DE BOOLE

SISTEMAS APLICADOS EN LA INGENIERIA DE SISTEMAS