LA MATRIZ DE LEONTIEF

FACULTAD DE TURISMO Y FINANZAS

GRADO EN FINANZAS Y CONTABILIDAD

ESTUDIO DEL ANÁLISIS INPUT-OUTPUT Y LA MATRIZ DE LEONTIEF Trabajo Fin de Grado presentado por Rafael María Daza León, siendo tutora del mismo la profesora María del Carmen Domínguez Herrero Vº. Bº. de la tutora: Alumno: D. D.

Sevilla. Junio de 2015

GRADO EN FINANZAS Y CONTABILIDAD FACULTAD DE TURISMO Y FINANZAS

TRABAJO FIN DE GRADO

CURSO ACADÉMICO [2014-2015]

TÍTULO: LA MATRIZ DE LEONTIEF AUTOR: RAFAEL MARÍA DAZA LEÓN TUTOR: DOÑA MARÍA DEL CARMEN DOMÍNGUEZ HERRERO DEPARTAMENTO: ECONOMÍA APLICADA I ÁREA DE CONOCIMIENTO: MÉTODOS CUANTITATIVOS RESUMEN: El análisis Input-Output fue creado por Wassily Leontief en el año 1941. Con el paso de los años este hecho supuso un gran acontecimiento económico. Su función es analizar la interdependencia de industrias en una economía, para ello, Leontief constituye una tabla en la que nos indica la producción bruta necesaria para satisfacer la demanda final prevista. Para llegar esta conclusión, Leontief utiliza una matriz, denominada la matriz de Leontief, y unos coeficientes técnicos. PALABRAS CLAVE: Leontief; Análisis Input-Output; Tabla; Sectores; Matriz de Leontief; Coeficientes técnicos.

TFG-FICO.EL ANALISIS INPUT-OUTPUT Y LA MATRIZ DE LEONTIEF

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ÍNDICE

1.CONTEXTO HISTÓRICO DE LA MATRIZ DE LEONTIEF ......................................... 1

1.1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................... 1

2.ANÁLISIS INPUT-OUTPUT ...................................................................................... 3

2.1. CONCEPTO DEL ANÁLISIS INPUT-OUTPUT ......................................... 3 2.2. CARACTERÍSTICAS DEL ANÁLISIS INPUT-OUTPUT ............................ 4

3. LA TABLA INPUT-OUTPUT ...................................................................................... 7

3.1. LA TABLA INPUT-OUTPUT Y SUS COMPONENTES ............................. 7 3.2. LA UTILIZACIÓN DE LA TABLA .............................................................. 9 3.2.1. LA UTILIZACIÓN DE LOS COMPONENTES EN LA TABLA ........ 9 3.3. ECUACIONES DE LA TABLA ................................................................ 10

4. EL COEFICIENTE TÉCNICO.................................................................................. 15

4.1. CONCEPTO DEL COEFICIENTE TÉCNICO ......................................... 15 4.2. ECUACIONES DEL COEFICIENTE TÉCNICO ...................................... 15 4.3 .INCONVENIENTES DEL ANÁLISIS INPUT-OUTPUT Y SU TABLA ...... 19

5. EL ANÁLISIS INPUT-OUTPUT EN LA SOCIEDAD.. .............................................. 21 5.1. UTILIZACIÓN DEL ANÁLISIS INPUT-OUTPUT EN LA SOCIEDAD.. .... 21 5.2. UTILIDAD E INTERÉS DE LA TABLA EN LA ECONOMÍA .................... 22 6. EJEMPLO MATEMÁTICO ...................................................................................... 23

6.1. DATOS DE LA TABLA ........................................................................... 23 6.2. EL MODELO DE LEONTIEF .................................................................. 24

6.3. LA INVERSA DE LEONTIEF .................................................................. 25 7. CONCLUSIONES ................................................................................................... 29

TFG-FICO. ESTUDIO DEL ANALISIS INPUT-OUTPUT Y LA MATRIZ DE LEONTIEF

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CAPÍTULO 1

CONTEXTO HISTÓRICO DE LA MATRIZ DE LEONTIEF 1.1 INTRODUCCIÓN

El modelo de Input-Output se originó en los trabajos del profesor Wassily Leontief, en un estudio que realizó sobre la economía de Estados Unidos, por lo que la concepción del modelo input-Output se gesta a partir de estudios empíricos. Todo su planteo y formalización posterior están dirigidos a posibilitar su utilización en la práctica, sea con fines descriptivos o de planificación.

Uno de los antecedentes históricos del modelo de insumo producto es de François Quesnay con su Tableau Économique (publicado en 1758) que fue el primero en ocuparse del estudio de las interrelaciones que se dan entre los distintos sectores productivos, por lo cual es considerado el primer antecedente en los estudios Input-Output; posteriormente los trabajos modernos en este campo se inician con León Walras (1926), seguido por Wassily Leontief en 1936 y 1941, quien realmente sintetiza estos enfoques, para elaborar un modelo que permitiera realizar trabajos empíricos, denominado Modelo Input-Output. (López, JC., 2010)

Wassily Leontief nació el 5 de agosto de 1905 en San Petersburgo y falleció el 15 de febrero de 1999 en Nueva York. Su vida comprende el "siglo XX corto" (1914-1991) en el que suceden todas las tensiones políticas y las disputas intelectuales. Cuatro fueron las etapas académicas de su larga vida, que se pueden dividir en: juventud (1925-1931), madurez (1932-1948), plenitud (1949-1989), senectud (1990-1999).

La primera abarca desde su graduación como economista hasta su breve período en el National Bureau of Economic Research en Nueva York. El motivo fue que Su capacidad sobresaliente en economía estadística había trascendido y el Bureau quería aprovecharla. Su paso por Nueva York fue efímero ya que la Universidad de Harvard le ofreció la posición de catedrático y consiguió que le otorgaran un pequeño fondo para poder formar una tabla que mostrara las transacciones entre las industrias.

La segunda comienza con su carrera como profesor en Harvard y culmina con la publicación del Harvard Economic Research Project on the Structure of American Economy (HERP). En esta publicación se comprendía la teoría y el método del análisis de Input-Output y se recopilan los cuadros que sirven para practicar dicho análisis.

La tercera comprende desde la implantación de ese importante proyecto hasta los años de la fundación de la Asociación Internacional de Input-Output y de su revista. La última etapa corresponde a los años finales y siempre productivos de su vida en la que siguió produciendo y reflexionando sobre su propia obra. (Punchet, A.,2001)

A lo largo de su vida Leontief hizo campaña contra "supuestos teóricos y los hechos no observados" (título de un discurso que pronunció cuando fue presidente de la American Economic Association, 1970-1971). Según Leontief demasiados economistas se mostraron reacios a trabajar con hechos empíricos . Para ello Wassily Leontief hizo mucho para que los datos cuantitativos sean más accesibles y más indispensables para el estudio de la economía.


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El análisis Input-Output, desde su formalización de manos de Wasily Leontief en el año 1936, ha supuesto una valiosa herramienta para el estudio de los sistemas productivos. Este tipo de análisis no es exclusivo de la Economía, utilizándose en otros campos científicos como la Ingeniería y el Medio Ambiente.

Este análisis muestra el amplio proceso por el cual los ingresos en salidas de los productos en una industria, producen la entrada de productos en otra industria. La matriz ideada por Leontief se utiliza a menudo para mostrar el efecto que produciría un cambio en la producción con el efecto de la demanda.

En el momento de la primera obra de Leontief con el análisis de Input-Output, todo el álgebra matricial requerido se hizo utilizando las calculadoras de mano y tenacidad. Desde entonces, las computadoras han simplificado enormemente el proceso, y éste análisis, que ahora se llama "análisis interindustrial," es ampliamente utilizado. Las Tablas de Leontief son comúnmente utilizados por el Banco Mundial, las Naciones Unidas, y el Departamento de Comercio de EE.UU.

Desde el principio, se utilizó el análisis de Input-Output para estimar el impacto de la conversión, en la economía, de la producción de guerra a la producción civil después de la Segunda Guerra Mundial. También se ha utilizado para entender el flujo de comercio entre los países. De hecho, un artículo de 1954 por Leontief muestra, utilizando éste análisis, que las exportaciones de Estados Unidos fueron relativamente intensivas en mano de obra en comparación con las importaciones estadounidenses. Esto fue lo contrario de lo que los economistas esperaban en el momento, dado el alto nivel de los salarios de los Estados Unidos y la supuesta alta cantidad de capital por trabajador en los Estados Unidos. Los hallazgos de Leontief se denominan la paradoja de Leontief. Desde entonces, la paradoja se ha resuelto. Los economistas han demostrado que la abundancia de capital en relación con el trabajo no implica que la intensidad de capital de las exportaciones deba ser superior a la de sus importaciones. (Library economics liberty., 2008).

Antes de analizar el método de Input-Output, vamos a entender el significado de los términos, "input" y "output". Según el profesor JR Hicks (1904 – 1989), una entrada es "algo que se compra para la empresa", mientras que una salida es "algo que se vende por ella."

En el análisis se obtiene una entrada, pero se produce una salida. Así la entrada representa el gasto de la empresa, y la salida sus ingresos. La suma de los valores monetarios de las entradas es el coste total de una empresa y la suma de los valores monetarios de la salida es el de sus ingresos totales.

El análisis Input-Output nos dice que hay interrelaciones industriales e interdependencias en el sistema económico en su conjunto. Los inputs de una industria son los outputs de otra industria y viceversa, por lo que en última instancia, sus relaciones mutuas conducen al equilibrio entre la oferta y la demanda en la economía en su conjunto.

El lado de la oferta se compone de grandes flujos entre industrias de productos intermedios y la demanda de los bienes finales. En esencia, el análisis Input-Output implica que en equilibrio, el valor monetario de la producción agregada de toda la economía debe ser igual a la suma de los valores del dinero de las entradas entre las industrias y la suma de los valores monetarios de las salidas entre industrias. (Chand, S., 2015)


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CAPÍTULO 2

ANÁLISIS INPUT-OUTPUT 2.1. CONCEPTO DEL ANÁLISIS INPUT-OUTPUT

Para llegar a conocer en profundidad la economía, es necesario un análisis de su estructura productiva. Éste análisis supone de gran ayuda para la toma de decisiones y un requisito indispensable y previo a las tareas de predicción en un contexto empresarial. El estudio de una economía puede abordarse desde muy diversas ópticas, una de las cuales es el análisis Input-Output.

Análisis Input-Output es el nombre dado a un sistema analítico desarrollado por Wassily Leontief. Se habla a menudo del modelo de Leontief cuando nos referimos a este sistema. Tiene una larga tradición y recorrido tanto por contar con poco más de medio siglo de existencia, como por haber estado sometido a constante debate.

El propósito fundamental del análisis Input-Output es analizar la interdependencia

de industrias en una economía. Ésta, es una manera de describir la asignación de recursos en una economía multisectorial. Los datos utilizados son los flujos de bienes y servicios que provienen de las estadísticas medidas en la actividad económica.

El análisis Input-Output se ha desarrollado a partir de una idea básica de gran sencillez: todas las transacciones, que involucran la venta de productos o servicios dentro de una economía durante un período determinado, indican los sectores a los que se entrega el producto o servicio y los sectores por los que recibe el producto o servicio.

Este sistema es muy útil para examinar los cambios en la estructura de una economía con respecto al paso del tiempo. Se centra con atención en los flujos de entradas y salidas entre los diversos sectores del sistema. Los flujos de entrada y salida están formados por las conexiones (unidireccionales) de un sistema que relacionan los elementos del sistema con su entorno. Normalmente hay más de una entrada y salida en un sistema. Mientras que las entradas representan influencias desde el entorno hacia el sistema, las salidas representan los efectos del sistema sobre su entorno. Se utiliza con frecuencia como una ayuda en la planificación económica regional o nacional, ya que es capaz de revelar los impactos que suceden al tomar alguna decisión.

Los sectores de la economía están relacionados entre sí. La producción de muchos bienes finales requiere no sólo los factores primarios del trabajo y del capital, sino también los bienes intermedios. Por ejemplo, la fabricación de automóviles requieren bienes intermedios como neumáticos y faros, los cuales, a su vez, requieren de los de caucho y vidrio, respectivamente. Por lo tanto, la demanda total de cualquier producto, (por ejemplo, los neumáticos), será igual a la suma de todas las demandas intermedias (por ejemplo, los consumidores y las empresas que compran directamente los neumáticos). y de la demanda final (por ejemplo, los consumidores y las empresas que compran el automóvil).

El análisis normalmente genera la constitución de una tabla en la que: cada fila describe cómo el producto total de una industria se divide entre varios procesos de


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producción y nos indica la demanda final del producto o servicio, y en cada columna se registran tanto las compras realizadas como los factores primarios de producción (mano de obra, intereses y beneficios e importaciones).

2.2 CARACTERÍSTICAS DEL ANÁLISIS INPUT-OUTPUT

Este análisis tiene como características:

- Cada sector o industria se caracteriza por una función de producción de coeficientes fijos. Es decir, hay una relación fija o inflexible entre el nivel de salida de cualquier sector y los niveles de entradas requeridas.

- La producción de salida en cada sector se caracteriza por rendimientos constantes a escala. Es decir, un aumento (disminución) de producción en la salida de un sector requiere un de aumento (disminución) de producción de todas las entradas. La producción en un sistema de Leontief opera bajo lo que se conoce como rendimientos constantes a escala.

- Cada industria produce sólo un producto homogéneo. (En sentido amplio no se permiten dos o más productos siempre y cuando se produzcan con una proporción fija entre sí.)

- Distribuye el producto de cada sector en dos partes: el sector exógeno que sirve como insumo a la industria y el sector endógeno que va al consumo doméstico, a la construcción de nuevas plantas para la producción, a las exportaciones y a todo uso que no esté incluido como insumo para los sectores industriales.

- Si el producto de cada sector queda agotado por las compras de los sectores endógenos y exógenos en el período analizado, esto nos quiere decir que, el producto

del sector 𝑖 es igual a la demanda de los sectores endógenos más la de los sectores exógenos. (Ramírez y Tanaka, 1992 y 2013).

La cantidad de esfuerzo requerido para estimar la producción de cada sector, y para distribuirla entre los sectores que lo utiliza, es grande. La especificación completa de todas las transacciones industriales se encarga de informar de las cuentas de Input-Output de la renta y de productos de las cuentas nacionales y ayuda a salvar los componentes sectoriales de la economía. La doble contabilización en las cuentas de Input-Output proporciona información detallada para fines de análisis y planificación.

Una de las normas principales de este análisis es que los gastos totales de una industria (el total de los elementos de una columna) debe ser igual a la producción total de las ventas de la producción de todos los usuarios intermedios y finales (el total de los elementos de la fila para la industria respectiva). Las diferencias entre estos dos totales ayuda a identificar los problemas que van ocurriendo con solo observar los datos básicos recogidos por las encuestas, censos y otros medios.

Otra norma principal debe de ser que la suma de todos los ingresos ganados por los factores de producción (ingreso bruto recibido) debe ser igual a la suma de todos los gastos realizados por los usuarios finales (producto interior bruto). El trabajo en la economía del análisis Input-Output puede llegar a ser puramente descriptiva, ya que trata sólo con la preparación de sus tablas pero también puede ser puramente teórica, porque las relaciones formales se pueden derivar en las diversas suposiciones de las ecuaciones que acabamos de mencionar. O puede ser una


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mezcla, utilizando tanto los datos empíricos y las relaciones teóricas en el intento de explicar o predecir la evolución real.


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CAPÍTULO 3

LA TABLA INPUT-OUTPUT

3.1 LA TABLA INPUT-OUTPUT Y SUS COMPONENTES

La tabla Input-Output describe los flujos intersectoriales y registra las compras y ventas en los sectores de la economía durante un período determinado . Supongamos

que un sistema económico o región tiene un total de 𝑛 sectores productivos.

La salida de un bien o servicio de un determinado sector es utilizado por los demandantes intermedios y por los demandantes finales.

A continuación, Se presenta una tabla de transacciones de una economía como en la Figura 3.1, que representa un modelo básico de Input-Output con importaciones no competitivas. Las importaciones no competitivas incluyen productos que no son producibles o que todavía no se han producido en el país. El valor de los bienes importados se registra como un fila separada en la transacción de una matriz.

OUTPUT INPUT

1 2 … 𝑗 … 𝑛

𝐶 𝐼 𝐺 𝐸

𝐹

𝑋

1

2

⋮

𝑖

⋮

𝑛

𝑥1,1 𝑥1,2 … 𝑥1,𝑗 … 𝑥1,𝑛

𝑥2,1 𝑥2,2 … 𝑥2,𝑗 … 𝑥2,𝑛

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑥𝑖,1 𝑥𝑖,2 … 𝑥𝑖,𝑗 … 𝑥𝑖,𝑛

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑥𝑛,1 𝑥𝑛,2 … 𝑥𝑛,𝑗 … 𝑥𝑛,𝑛

𝐶1 𝐼1 𝐺1 𝐸1 𝐶2 𝐼2 𝐺2 𝐸2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝐶𝑖 𝐼𝑖 𝐺𝑖 𝐸𝑖 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝐶𝑛 𝐼𝑛 𝐺𝑛 𝐸𝑛

𝐹1

𝐹2

⋮

𝐹𝑖

⋮

𝐹𝑛

𝑋1

𝑋2

⋮

𝑋𝑖

⋮

𝑋𝑛

𝑊

𝑅

𝑀

𝑊1 𝑊2 … 𝑊𝑗 … 𝑊𝑛

𝑅1 𝑅2 … 𝑅𝑗 … 𝑅𝑛

𝑀1 𝑀2 … 𝑀𝑗 … 𝑀𝑛

𝑊𝐶 0 𝑊𝐺 0 0 0 0 0

𝑀𝐶 𝑀𝐼 𝑀𝐺 0

0 0 0

𝑊

𝑅

𝑀

𝑋

𝑋1 𝑋2 … 𝑋𝑗 … 𝑋𝑛

𝐶 𝐼 𝐺 𝐸

𝐹

𝑋

Tabla 3.1: Tabla Input-Output

Fuente: Elaboración propia a partir de Tanaka, F.,(2013,pp.44)


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𝑋𝑖 = valor de la producción del sector 𝑖 (𝑖 = 1…𝑛) 𝑋𝑗 = valor de la producción del sector 𝑗 (𝑖 = 1…𝑛)

𝑥𝑖𝑗 = las ventas del sector 𝑖 al sector 𝑗, o el valor de los insumos del sector 𝑖 que solía

producir la salida del sector 𝑗 (𝑖 = 1 … 𝑛; 𝑗 = 1 … 𝑛), es decir, representa la cantidad del

sector 𝑖-ésimo utilizado por el sector 𝑗-ésimo para producir su salida.

𝑊𝑗 = salarios en el sector 𝑗(𝑗 = 1 …𝑛). Representa el uso de mano de obra en la

producción del producto 𝑗-ésimo.

𝑅𝑗 = intereses y beneficios en el sector 𝑗 (los pagos a los dueños del capital en el

sector 𝑗).

𝑀𝑗 = importaciones del sector 𝑗.

𝐶𝑖 = gastos de consumo personal en la salida del sector 𝑖.

𝐼𝑖 = gastos de inversión para la salida del sector 𝑖.

𝐺𝑖 = gastos del gobierno en la salida del sector 𝑖.

𝐸𝑖 = exportaciones de la salida del sector 𝑖.

𝑊𝐶 y 𝑊𝐺 = Pagos de los salarios al personal y al gobierno.

𝑀𝐶 ,𝑀𝑟 y 𝑀𝐺 = importaciones de bienes finales por los consumidores, las empresas y el gobierno, respectivamente.


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3.2. UTILIZACIÓN DE LA TABLA

En la construcción de una tabla Input-Output , las entradas pueden ser en unidades físicas (por ejemplo, kilogramos o horas de servicio) o en términos de valor monetario (por ejemplo, dólares o euros). Se usará el valor monetario y se asumirán los precios unitarios constantes para entradas y salidas con el fin de tener relaciones fijas entre valores monetarios y las cantidades físicas. Si esto se logra, se facilita en gran medida la interpretación de la tabla y la derivación de las relaciones Input-Output.

La tabla Input-Output se puede dividir verticalmente según el tipo de demanda (demanda intermedia y demandas finales) y horizontalmente de acuerdo con el tipo de entrada (bienes intermedios, factores primarios de producción y las importaciones). La demanda interindustrial es aquella generada por el comercio que tiene lugar entre diferentes industrias.

Si sumamos sumamos horizontalmente, o por filas, siempre será posible ya que representa las ventas de un mismo sector destinadas a satisfacer las necesidades de todos los sectores, incluido él mismo, y por lo tanto se expresa en una misma unidad de medida. Si hacemos la suma verticalmente, o por columnas, también sería posible si las compras de todas las transacciones se expresasen en la misma unidad de medida, sino, no sería posible. (Oviedo, J.,2011).

3.2.1. LA UTILIZACIÓN DE LOS COMPONENTES EN LA TABLA Cuando hay dos subíndices unidos, 𝑥𝑖,𝑗, las transacciones interindustriales son

indicadas. Como dijimos anteriormente, el primer subíndice, 𝑖 indica el sector de origen (el proveedor de insumos), y el segundo subíndice, 𝑗, indica el sector de destino (el usuario de las entradas). Por lo tanto, 𝑥𝑖,𝑗 son las ventas realizadas por el sector 𝑖 al

sector 𝑗, o el valor de las entradas del sector 𝑖 utilizado para producir la salida del sector 𝑗 (𝑖 = ⋯𝑛; 𝑗 = 1…𝑛).

Se utilizan insumos primarios, como el trabajo, 𝑊,que es el uso de mano de obra, y

el capital, 𝑅, como los intereses o beneficios producidos. Ambos se describen en las filas inferiores de la tabla.

En las filas de la tabla se describen la cantidad total de entregas del producto o la

entrada principal para todos los usos, tanto productos intermediarios como finales. Por ejemplo, si tomamos el sector 1, podemos obeservar en la primera fila que, la producción bruta de 𝑋1 indica el total del producto o servicio producido y 𝑥1,1 indica el

total utilizado para su autoconsumo. Una cantidad de 𝑥1,2 debe ser entregado al sector

2, 𝑥1,𝑖 se entregan al sector 𝑖, 𝑥1,𝑛 al sector 𝑛, y 𝑋1 son los productos consumidos por

los usuarios finales.

Las columnas de la tabla se describen los Inputs requeridos para llegar a alcanzar el

total de la producción bruta. Por lo tanto, para producir 𝑋1 de productos alimenticios o servicios es necesario 𝑥1,1 de productos o servicios, junto con 𝑥2,1 unidades de salida

del sector 2, 𝑥𝑖,1 del sector 𝑖, 𝑥𝑛,1 del sector 𝑛, 𝑊1 horas de mano de obra y 𝑅1 euros

del capital.

La acción de que se produzca una entrada de 0 en una de las celdas de la tabla indica que ninguno de los productos o servicios de un sector representado en la fila


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son necesarios en relación al sector representado en la columna. Es decir, si un sector no vende es porque otro sector no tiene necesidad de compra.

La matriz 𝑛 x 𝑛 en el cuadrante superior izquierdo de la tabla Input-Output representa las transacciones interindustriales o las ventas de bienes intermedios, 𝑥𝑖,𝑗, 𝑖 = 1…𝑛; 𝑗 = 1…𝑛. En este cuadrante se describen todos los flujos intermedios

entre los sectores necesarios para mantener la producción. Todo se centra en la naturaleza interdependiente de la producción.

Entonces la matriz 𝑛 x 4 en el cuadrante superior derecho representa las demandas finales para la producción del sector 𝑖: los gastos por el consumo personal (𝐶𝑖), gasto por las inversiones (𝐼𝑖), gastos del gobierno (𝐺𝑖), y los gastos por las exportaciones

(𝐸𝑖). En él se describe el consumo final de bienes y servicios producidos. Así que registra las ventas de cada sector a los mercados finales para su producción, tales como las compras de consumo personal, las ventas al gobierno, etc. La demanda de estas unidades externas que no se utilizan como entrada a un proceso de producción industrial, son generalmente a las demandas finales.

La matriz 3 x 𝑛 en el cuadrante inferior izquierdo representa el valor añadido de otros (no industriales) insumos para la producción. Se compone de: los pagos de mano de obra (𝑊𝑗), los dueños del capital (𝑅𝑗), y los pagos a los extranjeros para la

importación (𝑀𝑗). Todas estas entradas (valor añadido y las importaciones) suelen

agruparse como las compras de lo que se denomina el sector de pagos.

Por último, el cuadrante inferior derecho, con relativamente pocas entradas, explica el consumo final del trabajo (por ejemplo, el servicio doméstico contratado por los

hogares, 𝑊𝑐, y los empleados del gobierno, 𝑊𝐺), y las importaciones de bienes finales por los consumidores (𝑀𝑐), empresas (𝑀𝐼) y el gobierno (𝑀𝐺). En las filas de importaciones y las columnas de demanda final son, por ejemplo, 𝑀𝐺 que representa las compras gubernamentales de los productos importados. (Tanaka, F.,2013).

3.3 ECUACIONES DE LA TABLA

A continuación, la lectura a través de cualquiera de las primeras 𝑛 filas muestra cómo la salida de un sector se asigna a través de los usuarios como una entrada en la

producción de los sectores 𝑛 de las columnas y para las demandas finales. Por ejemplo, la producción total del sector 𝑖, es decir, la asignación de la salida del sector

𝑖-ésimo se puede escribir como:

𝑋𝑖 =∑𝑥𝑖,𝑗

𝑛

𝑗=1

+ 𝐹𝑖 (1) 𝑖 = 1…𝑛

Donde ∑ 𝑥𝑖,𝑗

𝑛𝑗=1 es la producción total de la salida del sector 𝑖 necesarios para la

producción de los productos de los sectores 𝑗,es decir, las ventas del sector 𝑖 a los 𝑛 sectores.

𝐹𝑖 representa la demanda final total de la producción del sector 𝑖.

𝐹𝑖 = 𝐶𝑖 + 𝐼𝑖 + 𝐺𝑖 + 𝐸𝑖 (2)


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𝐶𝑖: Son los gastos en bienes y servicios realizados por las familias (entes de

consumo privado) para satisfacer sus necesidades. Los determinantes del consumo

son:

- El ingreso de las familias:

El nivel de ingreso disponible es el principal determinante del consumo de las

familias. En general conforme más alto sea el ingreso mayor será el consumo, y

viceversa, es decir a menor ingreso se tenderá a un menor consumo.

- La disponibilidad crediticia:

El acceso al crédito puede permitirle a las familias un mayor nivel de consumo. Así

una economía puede consumar más si existe un adecuado sistema financiero (bancos,

financieras, cooperativas de ahorro y crédito, etc.) que obtengan crédito suficiente a

través de distintos medios como son los préstamos o tarjetas de crédito.

- La tasa de interés:

Esta puede verse desde dos perspectivas.

Si no se dispone de recursos para consumir, la tasa de interés representará el coste de endeudarse

Si se poseen recursos suficientes, la tasa de interés representa el beneficio por ahorrar y no consumir.

Mientras más alta sea la tasa de interés, menor será el estímulo a consumir, y a menores tasas de interés se podrá tener un mayor consumo.

𝐼𝑖: Representan las compras de bienes finales que adquieren las empresas para realizar la producción (bienes de capital) y las variaciones de las existencias de mercaderías. Incluye la inversión empresarial en equipos, la construcción de una nueva fábrica, la compra de maquinaria y equipos, etc.

𝐺𝑖:Se refiere a las compras de bienes y servicios que el gobierno realiza para

producir bienes públicos. Incluye los sueldos de los funcionarios públicos, la compra de armas para los militares, así como los gastos de inversión por un gobierno. No incluye los pagos de transferencia, tales como la seguridad social o prestaciones por desempleo.

𝐸𝑖: Refleja la cantidad de producción, incluidos los bienes y servicios producidos

para el consumo de otras naciones. (Mejía,J.,2013)

La tabla Input-Output se puede describir matemáticamente como un conjunto de ecuaciones que debe ser satisfecha simultáneamente por la producción bruta de cada sector para poder equilibrar la demanda intermedia y final de su producto. Si se permite que cada término de la ecuación (1) sea representado por una celda de la

tabla de transacciones, entonces la ecuación representa la fila 𝑖 de la tabla. Hay 𝑛 ecuaciones similares a (1), uno para cada sector de la producción en el sistema económico.


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Unas filas más abajo tenemos el total de pagos de la mano de obra y los propietarios.

𝑊 =∑𝑊𝑗

𝑛

𝑗=1

+ (𝑊𝑐 +𝑊𝐺) (3)

Donde ∑ 𝑊𝑗

𝑛𝑗=1 es el pago de los salarios por la mano de obra en los sectores 𝑗.

𝑊𝑐 y 𝑊𝐺: representa los pagos de salarios al personal y al gobierno por algún trabajo realizado.

𝑅 =∑𝑅𝑗

𝑛

𝑗=1

(4)

Donde ∑ 𝑅𝑗

𝑛𝑗=1 es el pago a los dueños de los capitales en los sectores 𝑗, por

ejemplo, mediante el pago de intereses o amortizaciones financieras.

La siguiente fila indica el valor total de las importaciones en la economía: las importaciones de los insumos (∑ 𝑀𝑗

𝑛𝑗=1 ), además de las importaciones de bienes y

servicios finales por los consumidores, las empresas y el gobierno (𝑀𝑐 ,𝑀𝑟 y 𝑀𝐺 respectivamente).

𝑀 =∑𝑀𝑗

𝑛

𝑗=1

+ (𝑀𝑐 +𝑀𝑟 +𝑀𝐺) (5)

Donde ∑ 𝑀𝑗

𝑛𝑗=1 son las importaciones a los sectores 𝑗.

𝑀𝐶 ,𝑀𝑟 y 𝑀𝐺 son las importaciones de bienes finales por los consumidores, las empresas y el gobierno, respectivamente.

Si se lee la tabla por cada una de las 𝑛 columnas se obtiene las necesidades de los diferentes sectores para producir el sector 𝑗. Por ejemplo, el valor de la producción del

sector 𝑗 está formado por el valor de los insumos adquiridos de los sectores 𝑛 más el valor añadido por el trabajo y el capital, además de las importaciones.

En resumen, la producción bruta total de toda la economía, 𝑋𝑗 es:

𝑋𝑗 =∑𝑥𝑖,𝑗

𝑛

𝑖=1

+𝑊𝑗 + 𝑅𝑗 +𝑀𝑗 (𝑗 = 1…𝑛) (6)


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Este mismo valor se puede encontrar en (1) sumando a través de la fila; es decir,

𝑋𝑖 = (𝑋𝑖,1 + 𝑋𝑖,2 +⋯+ 𝑋𝑖,𝑗 +⋯+𝑋𝑖,𝑛) + 𝐶𝑖 + 𝐼𝑖 + 𝐺𝑖 + 𝐸𝑖.

Las cuatro próximas columnas dan el valor de las demandas de los consumidores finales, inversiones de la empresa, las compras gubernamentales, y las exportaciones a los extranjeros:

𝐶 =∑𝐶𝑖

𝑛

𝑖=1

+𝑊𝑐 +𝑀𝑐 (7)

En esta ecuación, se suman los gastos totales por el consumo personal en los sectores 𝑖, y los pagos por mano de obra al personal y al gobierno.

𝐼 =∑𝐼𝑖

𝑛

𝑖=1

+𝑀𝐼 (8)

La suma de los elementos de la siguiente columna representa los gastos totales por

la inversión en los sectores 𝑖 y las importaciones en inversiones.

𝐺 =∑𝐺𝑖

𝑛

𝐼=1

+𝑊𝐺 +𝑀𝐺 (9)

De la misma manera, 𝐺 = ∑ 𝐺𝑖

𝑛𝐼=1 +𝑊𝐺 +𝑀𝐺 representa la suma de los gastos por

las compras del gobierno en los sectores 𝑖, los pagos por la mano de obra al gobierno y las importaciones del gobierno.

𝐸 =∑𝐸𝑖

𝑛

𝐼=1

(10)

Por último,𝐸 = ∑ 𝐸𝑖

𝑛𝐼=1 se resuelve mediante el sumatorio de las exportaciones de los

sectores 𝑖. Cuando se obtengan todos los datos de la tabla, se podrá comprobar que, el valor de la demanda total de la salida de cualquier sector debe ser igual al valor de la oferta total. Esto se debe a que la suma de cada fila debe de ser igual a la suma de su correspondiente columna.

En conclusión, la tabla Input-Output se puede describir matemáticamente como un conjunto de ecuaciones que debe satisfacer la producción bruta de cada sector para llegar a equilibrar la demanda intermedia y final de su producto. Esto se debe a que la suma de cada columna debe de ser igual a la suma de su correspondiente fila.


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CAPÍTULO 4

EL COEFICIENTE TÉCNICO

4.1 CONCEPTO DEL COFICIENTE TÉCNICO

Los coeficientes de la matriz insumo-producto han sido objeto de amplios y profundos estudios. En el análisis Input-Output, un supuesto fundamental es que el proceso fluye desde 𝑖 hasta 𝑗. Recordemos que estos son para un período determinado, por

ejemplo, un año depende única y exclusivamente de la producción total del sector 𝑗 para ese mismo período de tiempo.

La matriz de coeficientes técnicos, segunda matriz fundamental del análisis Input-Output, muestra la cantidad de bienes requeridos de cada industria para producir el valor de una unidad monetaria de producto de cualquier industria dada. Si asumimos una función de producción lineal, se supone que el coeficiente técnico es un requisito de entrada fija por cada unidad de producción en el sector 𝑗. (Junta de planificación de

Puerto Rico.,1991).

Se define como coeficiente técnico 𝑎𝑖,𝑗 =𝑥𝑖,𝑗

𝑋𝑗≥ 0, ya que 𝑥𝑖,𝑗 ≥ 0 y 𝑋𝑗 > 0; 𝑎𝑖,𝑗 es el

cociente entre la cantidad de producto que el sector 𝑖 emplea en el sector 𝑗, dividido

por el output total del sector 𝑗, y representa el input necesario del bien 𝑖 −ésimo para producir cada unidad del bien 𝑗 −ésimo. Es decir, la producción de una unidad del bien

𝑗 −ésimo, necesita cantidad 𝑎1,𝑗 del primer bien, 𝑎2,𝑗 del segundo bien…, 𝑎𝑛,𝑗 del

𝑛 −ésimo bien. Begines, F; Busto, G; Domínguez, C; Nadal, P; Velasco, F (1996).

Una de las aplicaciones más importantes para el análisis Input-Output, como se ha citado anteriormente, es calcular el nivel de equilibrio de producción o salida en cada industria de la economía. Las salidas se encuentran en equilibrio si la demanda iguala a la producción de cada industria. De este modo, si una industria de la demanda final quisiera comprar más, comenzaría una reacción en cadena que incrementaría la producción a lo largo de todo el proceso. Con la tabla de coeficientes técnicos es posible seguir esta reacción en cadena. 4.2 ECUACIONES DEL COEFICIENTE TÉCNICO Por definición, podemos decir:

𝑥𝑖,𝑗 = 𝑎𝑖,𝑗𝑋𝑗 (11)

Recorriendo la columna 𝑗-ésima, podemos escribir el valor de la salida del sector 𝑗 como:

𝑋𝑗 =∑𝑥𝑖,𝑗 +𝑊𝑗

𝑛

𝑖=1

+ 𝑅𝑗 +𝑀𝑗 (𝑗 = 1…𝑛) (6)


-16-

Dividiendo en la ecuación (6) por el valor de la salida del sector 𝑗, (𝑋𝑗) obtenemos:

1 =∑𝑥𝑖,𝑗

𝑋𝑗+𝑊𝑗

𝑋𝑗

𝑛

𝑗=1

+𝑅𝑗

𝑋𝑗+𝑀𝑗

𝑋𝑗 (12)

Sustituyendo 𝑥𝑖,𝑗

𝑋𝑗= 𝑎𝑖,𝑗 en la ecuación (12), obtenemos:

1 =∑𝑎𝑖,𝑗

𝑛

𝑗=1

+𝑊𝑗

𝑋𝑗+𝑅𝑗

𝑋𝑗+𝑀𝑗

𝑋𝑗 (𝑗 = 1…𝑛) (13)

Los coeficientes técnicos 𝑎𝑖,𝑗 indican la parte de la producción del sector 𝑗 que

surgen debido a los insumos comprados en el sector 𝑖. El coeficiente técnico, 𝑎𝑖,𝑗,

verifica que 0 <𝑎𝑖,𝑗 <1. ). El motivo por el que 𝑎𝑖,𝑗 tiene que ser menor que 1 se debe a

que 𝑥𝑖,𝑗 es menor que 𝑋𝑗, ya que 𝑋𝑗 es el valor total de la producción en el sector 𝑗. El

motivo por el que 𝑎𝑖,𝑗 es mayor que cero, lo citamos anteriormente.

Por ejemplo, si 𝑎1,3 = 0,15, entonces el 15% del valor de la producción del sector 3

se debe a, o es contribuido por, los insumos comprados en el sector 1. Los

coeficientes de Input-Output se igualan 0, (si no hay entradas desde el sector 𝑖 se utilizan en la producción del sector 𝑗), pero debe ser inferior a 1 (si hay un valor

añadido por el trabajo y el capital en la producción de la producción del sector 𝑗

𝑊𝑗

𝑋𝑗,𝑅𝑗

𝑋𝑗 𝑦

𝑀𝑗

𝑋𝑗, indican la proporción de los salarios (pagos de mano de obra), intereses

y beneficios (pagos a los dueños del capital) y las importaciones (pagos a extranjeros) en la salida del sector 𝑗.

Una vez que hemos estudiado las ecuaciones que interrelacionan los elementos de la matriz Input-Output, a continuación tratamos de calcular cual es la producción bruta

necesaria para satisfacer la demanda del sector 𝑖. Para ellos, consideramos de nuevo la ecuación (1):


𝑛

𝑗=1

+ 𝐹𝑖 (𝑖 = 1…𝑛) (1)

Si se expande la ecuación, se llega a obtener este sistema de ecuaciones:

𝑖 = 1 𝑋1 = 𝑥1,1 + 𝑥2,2 +⋯+ 𝑥1,𝑛 + 𝐹1 𝑖 = 2 𝑋2 = 𝑥2,1 + 𝑥2,2 +⋯+ 𝑥2,𝑛 + 𝐹2 (14) ⋮ 𝑖 = 𝑛 𝑋𝑛 = 𝑥𝑛,1 + 𝑥𝑛,2 +⋯+ 𝑥𝑛,𝑛 + 𝐹𝑛


-17-

O en términos matriciales:

(

𝑋1𝑋2⋮𝑋𝑛

) = (

𝑥1,1 𝑥1,2 … 𝑥1,𝑛𝑥2,1 𝑥2,2 … 𝑥2,𝑛⋮ ⋮ … ⋮𝑥𝑛,1 𝑥𝑛,2 … 𝑥𝑛,𝑛

)(

1111

) + (

𝐹1𝐹2⋮𝐹𝑛

) (15)

Sustituyendo 𝑥𝑖,𝑗 = 𝑎𝑖,𝑗𝑋𝑗 en la ecuación (1) , obtenemos:

𝑋𝑖 =∑𝑎𝑖,𝑗𝑋𝑗

𝑛

𝑗=1

+ 𝐹𝑖 (𝑖 = 1…𝑛) (16)

Desarrollando la ecuación, para los diferentes valores de 𝑖 obtenemos:

𝑖 = 1 𝑋1 = 𝑎1,1𝑋1 + 𝑎1,2𝑋2 +⋯+ 𝑎1,𝑛𝑋𝑛 + 𝐹1 𝑖 = 2 𝑋2 = 𝑎2,1𝑋1 + 𝑎2,2𝑋2 +⋯+ 𝑎2,𝑛𝑋𝑛 + 𝐹2 (17)

⋮ 𝑖 = 𝑛 𝑋𝑛 = 𝑎𝑛,1𝑋1 + 𝑎𝑛,2𝑋2 +⋯+ 𝑎𝑛,𝑛𝑋𝑛 + 𝐹𝑛

En términos matriciales se expresaría como:

(


) = (

𝑎1,1 𝑎1,2 … 𝑎1,𝑛𝑎2,1 𝑎2,2 … 𝑎2,𝑛⋮ ⋮ … ⋮𝑎𝑛,1 𝑎𝑛,2 … 𝑎𝑛,𝑛

)(


)+(

𝐹1𝐹2⋮𝐹𝑛

) (18)

La matriz A=(

𝑎1,1 𝑎1,2 … 𝑎1,𝑛𝑎2,1 𝑎2,2 … 𝑎2,𝑛⋮ ⋮ … ⋮𝑎𝑛,1 𝑎𝑛,2 … 𝑎𝑛,𝑛

) es conocida como la matriz de coeficientes

técnicos. Sacando factor común en sistema de ecuaciones (17) y agrupando convenientemente, se llega a obtener:

(1 − 𝑎1,1)𝑋1 − 𝑎1,2𝑋2 −⋯−𝑎1,𝑛𝑋𝑛 = 𝐹1

−𝑎2,1𝑋1 + (1 − 𝑎2,2)𝑋2 −⋯− 𝑎2,𝑛𝑋𝑛 = 𝐹2 (19)

⋮ −𝑎𝑛,1𝑋1 − 𝑎𝑛,2𝑋2 −⋯+ (1 − 𝑎𝑛,𝑛)𝑋𝑛 = 𝐹𝑛


-18-

Este sistema de 𝑛 ecuaciones lineales con n incógnitas (𝑋1, … , 𝑋𝑛) se puede escribir en notación matricial como:

(𝐼 − 𝐴)𝑋 = 𝐹 (20)

Donde 𝐼 es la matriz identidad de 𝑛 x 𝑛, 𝐴 es la matriz de 𝑛 x 𝑛 de los coeficientes técnicos, 𝑋 es la matriz de 𝑛 x 1 (vector) de las salidas sectoriales, y por último 𝐹 es la

matriz 𝑛 x 1 (vector) de las demandas finales.

Este sistema de ecuaciones funciona a partir de una serie de supuestos:

- Los coeficientes técnicos son constantes. - Cada sector produce un solo bien o servicio el cual es homogéneo. - Cada producto o servicio es producido por un solo sector. - Cada sector opera bajo rendimientos constantes a escala.

A pesar de lo útil que resulta el empleo de la matriz de coeficientes técnicos al mostrar los efectos directos que genera o recibe un sector, no proporciona una visión completa de las distintas relaciones que se dan en una economía, al no considerar los efectos indirectos que se producen vía demanda inducida, efectos que serían cuantificados a través de la matriz inversa de Leontief que veremos a continuación. Moral, L.,(2014).

La matriz (𝐼 − 𝐴) es conocida como la matriz de Leontief. La solución para el sistema, (𝐼 − 𝐴)𝑋 = 𝐹, se consigue al multiplicar ambos lados de la ecuación por la

inversa de la matriz de Leontief. La matriz (𝐼 − 𝐴)−1 generalmente se conoce como la matriz de multiplicadores, o la matriz inversa de Leontief.

(𝐼 − 𝐴)−1(𝐼 − 𝐴)𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1𝐹 (21)

Por lo tanto:

𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1 𝐹 = 𝐴𝑑𝑗 (𝐼 − 𝐴)𝑡

|𝐼 − 𝐴|𝐹 (22)

Para que exista solución, el determinante de la matriz de Leontief debe ser distinto de 0, es decir, |𝐼 − 𝐴| ≠ 0. Si se da el que caso de que |𝐼 − 𝐴| = 0, entonces la inversa no existiría. La matriz inversa de Leontief recoge por columnas los requerimientos directos e indirectos de producción necesarios para obtener una unidad del bien correspondiente. Esta matriz es básica para identificar aquellos coeficientes técnicos (y por tanto, aquellos puntos de la estructura productiva del sistema económico) más importantes,


-19-

ya que el ‘poder productivo’ de dichos coeficientes se transmitirá, a través de esta matriz, hasta la producción de las distintas ramas de actividad. Un coeficiente cuya mínima variación provoque, mediante el recalculo de la matriz inversa de Leontief, profundos cambios en la producción de las ramas de actividad, deberá ser considerado necesariamente como importante, y su localización constituirá una característica básica de la economía a la que representa. El modelo Input-Output, sólo se produce si todos los elementos en el vector de

salidas, 𝑋, son mayores que cero, y si todos los elementos en el vector de demanda final, 𝐹, son mayores o igual a cero. Después de todo, si la producción bruta de un sector fuera igual o menor que cero, no sería sector productivo en absoluto. Si algún elemento de 𝐹 fuera negativo, el sistema no sería auto sostenible, ya que necesitaría ayudas del exterior.

Cuando obtengamos los resultados de la producción bruta obtenida en la matriz

inversa de Leontief (𝑋) se compara con la producción bruta que teníamos anteriormente en la tabla (𝑋0).

∆𝑋 = 𝑋 − 𝑋0 (23) Con este resultado podemos decir que para llegar a satisfacer los incrementos previstos de la demanda final (∆𝐹) se debe generar en el sistema de producción los incrementos de producción bruta (∆𝑋) que hemos obtenido anteriormente. (Márquez, W.,2006)

3.4 INCONVENIENTES DEL ANÁLISIS INPUT-OUTPUT Y SU TABLA.

Como citamos anteriormente el análisis Input-Output ha sido sometido a un

constante debate. El motivo ha sido: - Dificultad para la construcción tanto de la tabla como de la matriz. - Donde llegar a ubicar algunos sectores y establecer los coeficientes técnicos era en ocasiones complicado. - Sus cuadros no proporcionan una representación precisa de los hechos debido a que hay múltiples simplificaciones. - Como los coeficientes técnicos son constantes no se podría considerar la posibilidad de cambios que les afecte. Márquez, W.,(2006).


-20-


-21-

CAPÍTULO 5

EL ANÁLISIS INPUT-OUTPUT EN LA SOCIEDAD

5.1. LA UTILIDAD DEL ANÁLISIS INPUT-OUTPUT EN LA SOCIEDAD -En materia de las decisiones empresariales:

Como ya sabemos, el análisis Input-Output ofrece una descripción detallada del origen y destino de los bienes y servicios hasta llegar a la demanda final. Con esta información, el empresario puede saber cuál es el bien o servicio más demandado y como consecuencia podrá tomar la decisión de invertir en un sector u otro. -Políticas de empleo:

Al igual que el análisis Input-Output puede medir los impactos directos e indirectos en la producción como consecuencia de cambios en la demanda final, también puede medir los impactos con respecto a las decisiones de reducción de empleo. Por ejemplo, si se produce una expansión en un determinado sector, se podrá cuantificar las necesidades de empleo con el uso de la matriz de Leontief. -Proyecciones de comercio exterior:

En circunstancias en que la balanza de pagos impone restricciones a la política económica, el nivel de importaciones puede ser correctamente determinado a través de la matriz de Leontief. De esta manera se puede obtener la demanda directa de importaciones así como la demanda indirecta de todos los sectores involucrados directa o indirectamente. A la vez con la matriz de Leontief puede realizarse un análisis entre las exportaciones y los insumos directos e indirectos que requieren para satisfacer la demanda. -Análisis de precios y costes:

El análisis Input-Output permite determinar el efecto en el nivel general de los precios de la economía ya sea como consecuencia de la modificación de alguno de los precios de los bienes o servicios (nacionales e importados), así como de la modificación de las tasas tributarias al ofrecer una completa interrelación entre los sectores productivos. -Análisis de la energía y el medio ambiente:

El análisis de la energía se puede hacer calculando el contenido energético de los diferentes productos en la demanda intermedia y final, y con ello las necesidades directas e indirectas de energía, las cuales se expresan en términos físicos o en términos de valor. Por otra parte, para analizar el medio ambiente, el análisis Input-Output permite la determinación de las fuentes directas e indirectas de contaminación al relacionar datos sobre emisiones en términos físicos en la tabla Input-Output. De esta manera se puede calcular el contenido de “contaminación” de la demanda final.


-22-

-Finalidad estadística:

El análisis Input-Output otorga un marco de consistencia para afirmar que las estimaciones que provienen de las distintas fuentes son fiables. Como por ejemplo: encuestas industriales, encuestas de gastos de los hogares, estadísticas de comercio exterior, etc. (Burgos, K.,2008).

3.5.1. UTILIDAD E INTERÉS DE LA TABLA EN LA ECONOMÍA

Podemos sintetizar que estas tablas tienen su principal utilidad e interés para la investigación y la política económica, en los siguientes aspectos:

- Ofrecen una representación de la tecnología de producción y las estructuras de costes de las diferentes actividades. Las variables recogidas en las tablas permiten un análisis de la caracterización de las actividades productivas de una economía: variables de producción (producción, consumos intermedios, valor añadido), variables de renta primaria generada en el proceso de producción (remuneración de asalariados, excedente bruto de explotación, impuestos netos sobre la producción), variables de la cuenta de capital (formación de capital, variación de existencias) variables de empleo (del factor trabajo).

- Permiten examinar de manera coherente e integrada la oferta y la demanda de los distintos tipos de productos. Por columnas, la tabla recoge la estructura de costes, y por agregación de dicha columna, la oferta; por filas, la tabla recoge las distintas utilizaciones de los productos en el sistema, bien como productos intermedios, bien como productos destinados a la demanda final. Por lo tanto, las tablas permiten analizar de forma simultánea el origen y el destino de los medios y de los servicios producidos y/o transferidos en una economía.

- Diferencian los flujos de oferta y demanda según el origen de los productos. Por un lado, se recogen los flujos resultantes de la producción interior; por otro, los resultantes de la importación. Cada casilla de las matrices de demanda intermedia y de demanda final contiene una desagregación según el origen del producto interior, o importado, de forma que cabría hablar prácticamente de dos tablas, una para cada origen de los flujos.

- Permiten construir modelos explicativos del funcionamiento de la economía, basados en los sistemas de relaciones entre las variables contenidas en las tablas (básicamente, equilibrios de demanda y oferta, y funciones de producción). A partir de éstos se pueden realizar simulaciones y predicciones del comportamiento futuro de la economía y de sus componentes mediante la tablas y los coeficientes técnicos. (Muchapasta.,2015).


-23-

CAPÍTULO 6

EJEMPLO MATEMÁTICO

6.1. DATOS DE LA TABLA

Ahora, supongamos que tenemos sólo tres sectores de la economía, por ejemplo, la agricultura, la manufactura y los servicios. Tenemos dos entradas principales, el trabajo y el capital en el sector de valor añadido. Supondremos una economía cerrada (no hay importaciones o exportaciones), y considerar el nivel de demandas finales, 𝐹𝑖, utilizando los componentes individuales , que en este caso serían 𝐶, 𝐼 y 𝐺. También, podemos encontrar los pagos de los salarios de los hogares y al gobierno.

OUTPUT INPUT

1 2 3

𝐶 𝐼 𝐺 𝐸

𝐹

𝑋

1

2

3

20 50 25 30 65 35 60 25 20

75 0 30 0 60 20 40 0 5 10 0 0

105

120

15

200

250

120

𝑊

𝑅

𝑀

50 70 30 40 40 10 0 0 0

4 0 6 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

160

80

0

𝑋

200 250 120

144 30 76 0

570

Si leemos en la tabla a través de la fila de cualquier sector, el resultado será el valor de la demanda total. Por ejemplo, la demanda total de la producción del sector 2, es de 250 millones de euros, que provienen de 130 millones de euros en demandas interindustriales (los sectores 1, 2 y 3, que tienen respectivamente, 30 millones de euros, 65 millones de euros, y 35 millones de euros en la producción del sector 2 como insumos en sus producciones) y 120 millones de euros en demandas finales.

Si leemos en la tabla a través de la columna de cualquier sector, el resultado será el valor de la producción total. Por ejemplo, el valor de producción del sector 2 es de 250


-24-

millones de euros y está compuesto por 50 millones de euros, 65 millones de euros, y 25 millones de euros en la compra de insumos de los sectores 1, 2 y 3, respectivamente. Los 70 millones de euros son en pagos de salarios, y los 40 millones de euros en los pagos a los dueños del capital.

En esta tabla también debemos de tener en cuenta que la suma de las demandas finales (240 millones de euros) es igual a la suma de los pagos por la mano de obra (160 millones de euros) y el capital (80 millones de euros).

Por último podemos observar que hay un pago de salarios al personal por 4 millones de euros y otro pago salarial al gobierno de 6 millones de euros.

6.2. EL MODELO DE LEONTIEF Como ya sabemos la producción bruta de cada sector es igual a la suma de las ventas

de demanda intermedia y las ventas de la demanda final. En este caso utilizaremos la

ecuación (1) explicada anteriormente.


𝑛

𝑗=1

+ 𝐹𝑖 (𝑖 = 1…𝑛)

O en términos matriciales:

(𝑋1𝑋2𝑋3

) = (

𝑥1,1 𝑥1,2 𝑥1,3𝑥2,1 𝑥2,2 𝑥2,3𝑥3,1 𝑥3,2 𝑥3,3

)(111) + (

𝐹1𝐹2𝐹3

)

Para seguir la cadena de reacciones directas e indirectas que tienden a modificar todo el flujo de transacciones interindustriales, debemos elaborar una la matriz de coeficientes técnicos.

Resolveremos el coeficiente técnico de cada sector para llega a obtener la matriz 𝐴 .

Para conseguirlo se utiliza esta fórmula : 𝑎𝑖,𝑗 =𝑥𝑖,𝑗

𝑋𝑗, explicada anteriormente.

𝑎1,1 =𝑥1,1

𝑋1=

20

200= 0,1 𝑎1,2 =

𝑥1,2

𝑋2=

50

250= 0,2 𝑎1,3 =

𝑥1,3

𝑋3=

25

120= 0,21

𝑎2,1 =𝑥2,1

𝑋1=

30

200= 0,15 𝑎2,2 =

𝑥2,2

𝑋2=

65

250= 0,26 𝑎2,3 =

𝑥2,3

𝑋2=

35

120= 0,29

𝑎3,1 =𝑥3,1

𝑋1=

60

200= 0,3 𝑎3,2 =

𝑥3,2

𝑋2=

25

250= 0,1 𝑎3,3 =

𝑥3,3

𝑋3=

20

120= 0,17


-25-

𝑎𝑖,𝑗 = 𝐴 =

(

20

200

50

250

25

12030

200

65

250

35

12060

200

25

250

20

120)

= (0,1 0,2 0,210,15 0,26 0,290,3 0,1 0,17

)

Con los datos que obtenemos en la matriz 𝐴, se llega a esta conclusión : - Para producir una unidad del bien 𝑋1 se necesitan 0,1 céntimos del primer bien, 0,25

céntimos del segundo bien y 0,05 céntimos del tercer bien. - Para producir una unidad del bien 𝑋2 se necesitan 0,25 céntimos del primer bien, 0,10 céntimos del segundo bien y 0,15 céntimos del tercer bien.

- Para producir una unidad del bien 𝑋3 se necesitan 0,33 céntimos del segundo bien y 0,25 céntimos del tercer bien.

La matriz de coeficientes técnicos de insumo-producto, denominada como 𝐴

representa las relaciones entre las industrias del Sector 1, Sector 2, y el Sector 3. Como podemos observar, la matriz A es una matriz cuadrada, con el mismo número de filas y columnas.

Como 𝑥𝑖,𝑗 = 𝑎𝑖,𝑗𝑋𝑖 entonces:

𝑋𝑖 =∑𝑎𝑖,𝑗𝑋𝑗

𝑛

𝑗=1

+ 𝐹𝑖

Que se puede escribir matricialmente así:

(𝑋1𝑋2𝑋3

) = (

𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3

)(𝑋1𝑋2𝑋3

) + (𝐹1𝐹2𝐹3

)

O en forma simbólica:

𝑋 = 𝐴𝑋 + 𝐹 6.3. LA INVERSA DE LEONTIEF Hemos supuesto que los coeficientes 𝑎𝑖,𝑗 no varían durante un cierto período de

tiempo. Ello nos permite utilizar la matriz inversa de Leontief es conocida, como citamos anteriormente, por esta ecuación:

𝑋 = 𝐴𝑋 + 𝐹


-26-

Con esta ecuación se determina el nivel de producción bruta que se requiere en cada sector para satisfacer la demanda final prevista para el periodo siguiente. Supongamos que se trata de satisfacer un aumento en la demanda final para el próximo año de actividad de 20 unidades en el sector agricultura, 50 unidades en el sector industrial y 5 unidades en el sector servicios, y se pregunta:

¿Cuáles deben ser los valores 𝑋1, 𝑋2 y 𝑋3 que permitirán satisfacer esos incrementos? Este problema se resuelve utilizando la matriz inversa de Leontief:

𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1𝐹

(𝐼 − 𝐴) = (1 0 00 1 00 0 1

) − (0,1 0,2 0,210,15 0,26 0,290,3 0,1 0,17

) = (0,9 −0,2 −0,21−0,15 0,74 −0,29−0,3 −0,1 0,83

)

Para calcular (𝐼 − 𝐴)−1, utilizaremos esta fórmula: 𝐴𝑑𝑗 (𝐼−𝐴)𝑡

|𝐼−𝐴|

|𝐼 − 𝐴| = (0,552 − 0,0174 − 0,00315) − (0,0466 + 0,0249 + 0,0261) = 0,434

𝐴𝑑𝑗 (𝐼 − 𝐴) = (0,585 0,212 0,2370,187 0,684 0,150,213 0,293 0,636

)

𝐴𝑑𝑗 (𝐼 − 𝐴)𝑡 = (0,585 0,187 0,2130,212 0,684 0,2930,237 0,15 0,636

)

(𝐼 − 𝐴)−1 =1

0,434(0,585 0,187 0,2130,212 0,684 0,2930,237 0,15 0,636

) = (1,348 0,431 0,4910,488 1,576 0,6750,546 0,356 1,465

)

Tomando en cuenta los incrementos previstos en la demanda final, se tiene que satisfacer para el año próximo los niveles:

𝐹 = (10512015) + (

20505) = (

12517020)

Sustituimos en la ecuación:

𝑋 = (𝐼 − 𝐴)−1𝐹 = (1,348 0,431 0,4910,488 1,576 0,6750,546 0,356 1,465

)(12517020) = (

251,6342,4158,1

)

Esto significa que para satisfacer la demanda final prevista de 125 unidades de productos del sector agricultura, 170 unidades del sector productos industriales y 20 unidades de servicios, se debe generar una producción bruta de 251,6 unidades en el sector agricultura, 342,4 unidades en el sector industrial y 158,1 unidades en el sector servicios.


-27-

Comparamos este vector : 𝑋 = (251,6342,4158,1

) con el anterior 𝑋𝑎 = (200250120

)

Se obtienen las cifras del incremento de producción de cada sector, necesarios para satisfacer el incremento previsto en la demanda final:

∆𝑋 = 𝑋 − 𝑋0 = (251,6342,4158,1

) − (200250120

) = (51,692,438,1

)

Esto significa que para satisfacer los incrementos previstos de demanda final

sectorial de: (20505) se debe generar en el sistema de producción los siguientes

incrementos de producción bruta: (51,692,438,1

)


-28-


-29-

CAPÍTULO 7

CONCLUSIONES

Tras un amplio estudio acerca del análisis Input-Output podemos decir que, desde su creación en 1941 hasta entonces, ha supuesto un gran avance en los diferentes sectores de la economía. En los cincuenta años que lleva funcionando el modelo de Leontief en la ciencia económica, ha sufrido un constante debate acerca de su funcionamiento. Por este motivo se han ido introduciendo mejoras, aunque el modelo apenas haya variado desde sus inicios.

Sin duda, la situación en la economía ha mejorado con la incorporación oficial de las matrices de Leontief, pero a pesar de ello es evidente que el volumen de información requerido plantea problemas a las empresas que le proporcionan situaciones que son de difícil solución a pesar del progreso de la informática.

Es evidente que el esfuerzo estadístico de obtener coherencia a partir de informaciones de diversa índole siempre será lento, poco transparente, y, está inspirado con frecuencia por consideraciones intuitivas.

Estas características de la información Input-Output, de las que el investigador es consciente en cuanto intenta efectuar análisis comparativos entre tablas, es algo que requiere una atención especial cuando se pasa del análisis descriptivo a los fundamentos teóricos.

Estas observaciones sobre la calidad de la información Input-Output no infieren una necesidad de frenar la modelización o las aplicaciones, al contrario. A pesar de sus debilidades, el material estadístico Input-Output es indispensable para el análisis en la economía. En consecuencia, casi toda interpretación científica de la economía que pasa por la observación cuantificada en un proceso sintético tiene que recurrir al análisis Input-Output. Esto explica que la investigación en un modelo Input-Output haya progresado en los últimos años y siga siendo un campo prioritario para las actividades investigadoras vinculadas a la economía aplicada. (Fontela, A.,2002).


-30-


-31-

Bibliografía

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LA MATRIZ DE LEONTIEF

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