LA METACOGNICIÓN EN EL APRENDIZAJEDE LA MATEMÁTICA

Curotto, M. M. : La Metacognición en el Aprendizaje de la Matemática

Revista Electrónica Iberoamericana de Educación en Ciencias y Tecnología — Volumen 2, Número 2, Noviembre 2010. Página 11 —

LA METACOGNICIÓN EN EL APRENDIZAJE

DE LA MATEMÁTICA

Curotto, María Margarita

Facu l tad de C ienc ias Exac tas y Natura les , Un ivers idad Nac iona l de Catamarca curo t [email protected]

Metacognition in mathematical learning

Summary

Metacognition is conceived as a product of knowledge, as what we know about our own cognitive functioning; and as a cognitive process to the activities of planning, supervision and regulation of learning. Using metacognitive strategies in mathematical studies allows for our own comprehension to be controlled, errors to be detected and previous knowledge and learning to be regulated.

Among metacognition‐developing strategies there are planning, revision and regulation. Planning organizes and makes study material easier to be understood; revision requires a comparative standard for the reaching of goals. They act over attention and speed of learning and make decisions taken possible to be corrected in time. Regulation revises comprehension and makes choices on what instruments to use when thinking about such comprehension.

We teachers frequently use teaching methodologies oriented to make erroneous students’ ideas false and to originate a cognitive conflict in the teaching of specific issues. However, sometimes students do not recognise a conflict between their previous ideas and mathematical concepts used in the activities proposed to them, thus solving problems with inferences of their own that do



not have much to do with the discipline. It is necessary for students to develop strategies which make them conscious of their abilities, of the value of the tasks, and the selection of variables and procedures adequate to learning.

In this work proposes an analysis to priori of teaching strategies, which intention is to develop metacognition in Mathematics students, strategies that allow to form to the students in the control of their epistemological conceptions, in the one of their own comprehension, formulating questions, solving problems, regulating and evaluating their own learning.

Key words: Metacognition; Teaching strategies; Mathematical learning.

Resumen

Se concibe la metacognición como producto del conocimiento que se refiere a lo que sabemos sobre nuestro propio funcionamiento cognitivo; y como proceso cognitivo a las actividades de planificación, supervisión y regulación del aprendizaje. La utilización de estrategias metacognitivas en el estudio de la matemática, permite que se controle la propia comprensión, que se detecten errores y se controlen los saberes previos y se regule el aprendizaje.

Entre las estrategias de proceso que hacen al desarrollo de la metacognición, se encuentran la planificación, la revisión y la regulación. La planificación permite organizar y comprender más fácilmente el material de estudio; la revisión requiere de un estándar de comparación que guía el proceso para alcanzar la meta. Ellas actúan sobre la atención y la velocidad del aprendizaje y permiten tomar decisiones que pueden ser corregidas a tiempo. La regulación revisa la comprensión y decide los instrumentos a utilizar para pensar sobre la misma.

Los profesores utilizamos con frecuencia metodologías de enseñanza destinadas a falsear ideas erróneas de los alumnos y originar el conflicto cognitivo en la enseñanza de temas específicos. Sin embargo, en ocasiones los alumnos no reconocen un conflicto entre sus ideas previas y los conceptos matemáticos que utilizan en las actividades propuestas, solucionando los problemas con inferencias propias que poco tiene que ver con la disciplina. Es necesario que los estudiantes desarrollen estrategias que los hagan conscientes de sus capacidades, del valor de las



tareas y de la selección de variables y procedimientos más adecuados para el aprendizaje.

En este trabajo se propone un análisis a priori de estrategias docentes cuya intención es desarrollar la metacognición en los alumnos en clases de matemática, estrategias que permitan formar al alumno en el control de sus concepciones epistemológicas, en el de la propia comprensión, formulando preguntas, resolviendo problemas, regulando y evaluando su propio aprendizaje.

Palabras clave: Metacognición; Estrategias de enseñanza; Aprendizaje de la matemática.

Introducción

En diferentes proyectos de articulación: de cátedras en

la universidad (Coronel, Curotto, 2008), de niveles (Curotto, Proyecto

PIDOS, 2006), de mejoramiento de la enseñanza (Curotto, Coronel,

2005) hemos observado que los contenidos matemáticos, tanto en la

escuela Primaria, Secundaria como en la Universidad se tratan como

contenidos puntuales, separados de otros contenidos matemáticos o

de otras asignaturas. La desconexión existente parece mostrar a los

alumnos una matemática completamente separada en ramas, alejada

de la realidad y poco útil para el estudio de ella misma y de otras

disciplinas. Este fenómeno mundial, informado por muchos

investigadores del área (Schöenfeld, 1985; Gascón, 2001; Peralta, 2005)

dificulta enormemente la utilización de estrategias complejas de

resolución de problemas, dado que dicha construcción requiere

combinar técnicas y saberes provenientes de diferentes sectores y

hasta diferentes áreas del currículum de matemáticas. En este sentido,

Schöenfeld (1985) explicita que esta ausencia de articulación entre los

conocimientos, herencia de la práctica tradicional, descompone el

saber matemático en pequeñas porciones y asigna a los estudiantes un



papel pasivo en la construcción y utilización de los métodos de

resolución de problemas, papel que no favorece desarrollar

construcciones integradas de conocimiento. La actividad matemática

es un proceso de construcción del saber disciplinar, en la que el

conocimiento y los problemas son su origen natural, los aspectos

metacognitivos aparecen como inseparables de ella.

Las consideraciones anteriores dan pie a la propuesta

que se realiza en este trabajo: explorar las estrategias metacognitivas

que puedan acompañar la construcción del conocimiento, el desarrollo

de estrategias cognitivas, la integración de saberes y que los docentes

utilicen en todos los niveles. Los problemas que se consideran, están

pensados para la escuela media. Son ejemplos que expresan formas

posibles de desarrollo de estas estrategias, más que la discusión sobre

en qué nivel o año puedan utilizarse.

Cognición y metacognición, aspectos relacionados

La metacognición es el conocimiento sobre los propios

procesos y productos cognitivos y también el conocimiento sobre las

propiedades de la información, sobre los datos relevantes para el

aprendizaje o cualquier cosa relacionada con procesos y productos

cognitivos (Flavell, 1976). Otros autores, relacionan la metacognición

con el conocimiento sobre las capacidades cognitivas y la regulación de

las mismas (Baker, 1985) y sostienen que existe una dimensión

metacognitiva en todas las estrategias (Paris, Lipson y Wixson, 1983).

La categorización de las estrategias de aprendizaje ha

sido abordada por diversos autores (Beltrán, 1993; Cano y Justicia,

1993; Pozo, 1990), y en líneas generales suele existir un cierto acuerdo



en diferenciar entre estrategias metacognitivas, estrategias cognitivas

y estrategias de apoyo. Las estrategias cognitivas, como señala Beltrán

(1995), son una especie de reglas o procedimientos intencionales que

permiten al sujeto tomar las decisiones oportunas de cara a conformar

las acciones que caracterizan el sistema cognitivo. Las dos tareas

cognitivas más elementales conciernen a la adquisición y al

procesamiento de la información. Las estrategias metacognitivas,

Brown (1987) son aquellas que intervienen en la regulación y control de

la actividad cognitiva del individuo, optimizando los recursos cognitivos

disponibles; se destacan tres principales: la planificación, la regulación

y la evaluación. Se trata de tres procesos altamente interactivos,

superpuestos y recurrentes.

Las estrategias metacognitivas y las cognitivas tienen

mucho en común, en ocasiones no es sencillo distinguirlas, Swanson

(1990). También, muchas estrategias cognitivas son útiles para

proporcionar los medios necesarios para controlar el éxito de los

esfuerzos del estudiante (Baker, 1991). Esto significa que proporcionar

a los alumnos los medios para desarrollar estrategias metacognitivas,

permite también considerar aspectos cognitivos del aprendizaje.

Son ejemplo de estrategias metacognitivas la

identificación de las propias dificultades durante el aprendizaje y su

explicitación como problema, la autoevaluación del grado actual de

comprensión de un texto, el autocuestionamiento para comprobar en

qué medida se domina un tema concreto, la evaluación de las

probables dificultades al responder las preguntas de un examen

(Campanario y otros, 2000).



Desarrollo

En lo que sigue se presentan caracterizaciones y

ejemplos de posibles desarrollos de estrategias metacognitivas.

1• La resolución de problemas como pequeñas investigaciones

Esta mirada a la resolución de problemas aporta

recursos para operar menos mecánicamente disminuyendo los datos

numéricos. También promueve la expresión en lenguajes matemáticos

diferentes, el estudio y la discusión cualitativa, la formulación de

hipótesis y la propuesta de estrategias para encontrar la solución.

Permite analizar los resultados, con lo que se fomenta la revisión de las

hipótesis formuladas.

Tareas de enseñanza

El profesor, al plantear estos problemas permite que el

alumno tenga una idea más acertada de su actuación cognitiva en el

área, lo aleja de la repetición de algoritmos y lo acerca a la reflexión

sobre los saberes previos que necesita para resolver lo que se le

plantea, sobre su propia actuación en discutir con sus compañeros los

métodos aplicados a las soluciones encontradas.

Las preguntas explicitadas en los ítemes pueden variar

de acuerdo a lo que el docente observe en el desarrollo de la clase, de

manera que los alumnos puedan tener una idea más acertada de su

actuación cognitiva.

1.1‐ Discute con tu compañero qué es mayor: Un número entero elevado

al cuadrado más 5; un número, al que se le suma 5 al cuadrado; ó



un número más 5, al cuadrado. ¿Puedes escribir las expresiones en

símbolos?

El problema permite conversar sobre la escritura de las

operaciones con números, el reconocimiento de propiedades y afianzar

el concepto de número entero. Generaliza la idea de número e inicia en

el uso de la escritura de ecuaciones.

1.2‐ La edad de los hijos de María suman su edad: 53 años. Uno de

ellos tiene más de 9 años, cuántos puede tener el otro?

Realiza un gráfico para representar el problema. ¿Podrías

decir si hay datos en el problema que no utilizaste para

resolverlo?

Con este problema se generaliza la noción de ecuación,

se relacionan contenidos como son la operatividad de las ecuaciones,

los datos numéricos con el álgebra y el lenguaje gráfico. Permite

observar que hay problemas con más de un resultado y que en acuerdo

al campo numérico las soluciones varían.

1.3‐ José fue al cajero automático a extraer dinero pero no se

acordaba la clave que tiene 4 dígitos. Sólo se acuerda que

son dos cincos, un tres y un dos. ¿Cuántas veces tendrá que

probar como máximo hasta dar con la clave? ¿Qué debías

saber sobre el tema Combinatoria para encontrar la solución?



Es un problema que pone a prueba la construcción de

los diagramas de árbol u otra representación del tema y las expresiones

de combinatoria de los alumnos. Ayuda a desestructurar las

concepciones de los conceptos de probabilidad y azar. Es un

intermedio entre la combinatoria y las ideas probabilísticas.

1.4‐ ¿Corresponde la ecuación y = 2x + 4 a la recta graficada?

Justifica tu respuesta.

Gráfico 1

Explica qué operaciones tuviste que realizar para

resolver la pregunta. ¿Hay datos en el gráfico que no has usado?,

explica porqué.

Este problema promueve la aplicación de conocimientos

a nuevas situaciones, fomenta el uso de diferentes lenguajes



matemáticos e incentiva la argumentación en las respuestas. Este tipo

de problemas puede construirse a partir de las ideas y preguntas de los

alumnos y desarrollarse luego para cubrir parte de los contenidos

curriculares.

2• Preguntas cortas para contestar por escrito

Consiste en explicar una experiencia realizada, en

resolver un problema cualitativo ó analizar un proceso. Es

especialmente útil en clases numerosas. Requiere poco tiempo y

proporciona al profesor información relevante sobre el avance de los

alumnos (Campanario y otros, 1998).


El profesor, en la clase, incentiva a los alumnos a que

observen sus errores, detecten los conceptos que les producen

problemas de comprensión y aspectos de la matemática que no

dominan. Son oportunidades de que salgan a la luz las ideas erróneas

de los alumnos y de que ellos puedan conscientemente corregir. La

discusión entre pares es sumamente enriquecedora en este aspecto.

2.1‐ Un ángulo es suplementario de otro, ¿puede ser igual a su

mitad? ¿Y a su tercera parte?

2.2‐ José le contó a Miguel que multiplicar no siempre agranda, a

veces achica. ¿Podrías explicar lo que dijo José? Encuentra al

menos tres ejemplos.



3• Realización de actividades de materialización

Se conciben como tareas de comparación, son

importantes para que los alumnos relacionen la realidad con la

interpretación matemática. Corresponden al planteamiento de

ecuaciones, a la manipulación de las mismas, y a la obtención de

resultados numéricos. Es una actividad especial para familiarizarse con

estimaciones reales de las magnitudes que se manejen en la

Matemática aplicada.


El profesor puede proponer a sus alumnos problemas

cuyas soluciones impliquen valores irreales o imposibles, también

sugerir a sus alumnos que se apoyen con un gráfico de ser productivo.

La reflexión sobre estos temas ayuda a observar al alumno qué conoce

acerca de la aproximación, de los valores posibles y de la utilización de

los diferentes lenguajes matemáticos.

3.1‐ Dos triángulos rectángulos tienen hipotenusas que miden √15

y 4 cm respectivamente. ¿Puede saberse cuál de ellos tiene

mayor área?

3.2‐ Un plano tiene la siguiente ecuación: x/a + y/3 + z/4 = 1. Este

plano corta a los planos coordenados en rectas. Explora que

sucede con esas rectas cuando cambia el valor de a. Explica a

—



tu compañero tus conclusiones, luego escríbelas como

justificación de lo que hallaste.

3.3‐ Halla el valor de b en la ecuación x/(‐2) + y/b = 1 que

corresponde al gráfico siguiente:

Gráfico 2

Explica cómo encontraste el valor de b. ¿Cuáles fueron

las operaciones algebraicas que tuviste que realizar? ¿Hubo datos que

no utilizaste?, ¿por qué?

3.4‐ ¿Podrías decir cuánto valen los ángulos de un paralelogramo

conociendo uno solo? Escribe un ejemplo de lo que piensas.



¿Cuáles propiedades de los paralelogramos utilizaste para

resolver la pregunta?

3.5‐ ¿Podrías construir un prisma con un cartón de 40 x 40 cm2 si

sus lados miden 8, 12 y 20 cm respectivamente? ¿Y uno con

otras medidas? Explora la situación y da ejemplos con las

medidas de otros lados.

4• Preguntas que realiza el profesor sobre la solución de algún

problema


El profesor puede preguntar al alumno que explique

una solución que haya realizado. Lleva al alumno a expresar sus

dificultades en la resolución de algún problema, secuencia ó ítem

determinado. Permite que el estudiante reflexione sobre su propia

comprensión. Los alumnos también detectan lagunas de comprensión,

sus errores conceptuales y la necesidad de insistir en aspectos que no

dominan.

4.1‐ Dibuja un gráfico que corresponda a la siguiente ecuación:

y – 2 = (x + 4)2. Explica las operaciones algebraicas que

realizaste para resolverlo.

4.2‐ Al revisar una prueba. Se puede pedir a los alumnos que

expliquen por qué resolvieron un determinado problema con



esa metodología, o explicar qué sucedió cuando cometieron

un error determinado.

5• Formulación de preguntas por parte de los alumnos

Es una estrategia importante de autoregulación

cognitiva (Palincsar y Brown, 1984) pues obliga a los alumnos a

concentrarse en el contenido y a representar mentalmente la situación

con más profundidad. También aporta a la sistematización de los

conocimientos y a contrastar los propios con lo que debería saber para

poder formular las preguntas.


Wong, en 1985, señala que enseñar a los alumnos a

formular preguntas puede ayudarlos a prestar atención a los puntos

importantes de un texto y a controlar el estado de su propia

comprensión.

5.1‐ Realiza preguntas sobre el siguiente gráfico que te puedan dar

pistas sobre la ecuación de la curva representada. Luego

intenta con tu compañero responderlas y propone una

ecuación.



Gráfico 3

Pueden agregarse las coordenadas de un punto en el

gráfico para facilitar la determinación de los parámetros de la ecuación

u otro dato adicional, pero la discusión sobre la “forma” de la misma, la

especulación sobre los posibles valores de los parámetros o la

necesidad de otros datos permite desarrollar procesos de pensamiento

cognitivos y metacognitivos como lo mencionados arriba.

5.2‐ José encontró una hoja de su compañera Susana. En ella

estaba escrito:

y = 3x + a

5 = 3×1 + a

5 – 3 = a

2 = a

y = 3x + 2

¿Qué le preguntarías para saber de qué se trata?

¿Puedes enunciar un ejercicio que responda a lo escrito?



5.3‐ Dos compañeros discuten sobre un problema que se les

plantea: el profesor les pidió que encuentren el valor de a en

la ecuación y = ax2 + 2, y les proporcionó el siguiente gráfico:

Gráfico 4

José dice que a vale 4 y María, que no está de acuerdo,

sostiene que es ‐4. ¿Podrías encontrar el valor de a justificando tu

respuesta? Da una explicación del valor correcto del parámetro a.

Reflexiones

Los recursos anteriores proporcionan una muestra de

cómo desarrollar capacidades metacognitivas en los alumnos. Algunas

no son recursos nuevos, sino miradas desde una óptica diferente en su

utilidad en la enseñanza. Otras estrategias de enseñanza que aportan



también al desarrollo de las metacognitivas son: problemas con

soluciones contraintuitivas, empleo de autocuestionarios, elaboración

de un diario, uso adecuado de la bibliografía, Diagramas V, mapas

conceptuales.

El profesor en el aula, puede utilizar muchos recursos

para fomentar el uso de estrategias metacognitivas por los alumnos.

Estos recursos relacionan los conceptos entre sí, sobre todo aquellos

que parecen no tener conexión; ayudan a los alumnos a darse cuenta

de sus procesos de aprendizaje; fomentan la reflexión sobre el

conocimiento y las propias actitudes respecto de él. Son aspectos

importantes para mejorar el aprendizaje de la matemática.



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