8/4/2015 Fundamentos de Lógica Digital: 1: La numeración binaria

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LU N E S , 1 9 D E N O V I E MB RE D E 2 0 0 7

1: La numeración binaria

Desde que el hombre aprendió a hacer uso de razón, se vió en lanecesidad de contar de alguna manera los objetos que le rodeaban y,muy en especial, los que poseía. El florecimiento del comercio en lostiempos antiguos agravó aún más la necesidad de utilizar un sistemanumérico preciso y fácil de utilizar.

De esta manera, el hombre empezó a contar de diez en diez (que es loque hoy conocemos como el sistema decimal) influenciado por el hechode que poseía diez dedos. Conforme ascendía la numeración, cadaunidad numérica recibía un símbolo diferente (por ejemplo, 3, 4, 5 en lanumeración arábiga). Después del nueve, se tomaba el símbolo querepresentaba la menor cantidad de unidades (el 1) y se le agregaba uncero, con lo cual se obtenía la cantidad décima. La operación empezabade nuevo su conteo ascendente hasta llegar a diecinueve, después de locual se aumentaba la cifra a la izquierda en una unidad poniéndose uncero a la derecha de la misma, repitiéndose el proceso indefinidamente.Podemos observar que, sin el cero, se habría requerido un símbolodiferente para cada número mayor que nueve (por ejemplo, el símbolo Apara el diez, el símbolo B para el once, el símbolo C para el doce, etc.).En efecto, sin el cero, cualquier sistema numérico resultaextremadamente complejo e impráctico (podemos imaginar losproblemas que padecían los romanos cuando en su sistema denumeración romana trataban de multiplicar una cantidad por otra,cuando trataban de multplicar algo como XXIII por LIV en vez de lo quepara nosotros es 23 por 54). No en vano se ha proclamado la invencióndel cero como uno de los más importantes avances en la historia de lahumanidad.

Nuestra atención se vuelve ahora hacia un problema filosófico.Supongamos que el hombre en vez de tener cinco dedos en cada mano

A RC H I V O D E L B LO G

2007 (33) noviembre (33)

Prefacio a la publicación enInternet

Prólogo al libro

Contenidos

1: La numeración binaria

1: Problemas resueltos

2: Las tres funciones lógicasbásicas

2: Problemas resueltos

3: El álgebra Boleana

3A: Problemas resueltos

3B: Problemas resueltos

4: El mapa de Karnaugh

4: Problemas resueltos

5: El flipflop RS. Memorias.Multivibradores

5: Problemas resueltos

6: El flipflop JK. Contadores

6A: Problemas resueltos

6B: Problemas resueltos

7: Tópicos Especiales

7: Problemas resueltos

8: Lógica Multivaluada

8: Problemas resueltos

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Fundamentos de Lógica Digital

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hubiese tenido tres. ¿Cuál habría sido nuestra forma de contar?

Un momento de reflexión nos indica que nuestro sistema numérico ental caso no habría sido muy diferente del sistema decimal queconocemos en la actualidad. Al tener tres dedos en cada mano, nuestrainclinación natural habría sido contar de seis en seis, de la mismamanera en que el hombre moderno con cinco dedos en cada manocuenta de diez en diez. Al contar de seis en seis, la numeraciónascendería de la manera siguiente (empezando con cero, el siguientenúmero es 1, el siguiente número es 2, el siguiente número es 3, elsiguiente número es 4, el siguiente número es 5, como lo muestra laprimera columna con fondo de color ciano; pero el siguiente número noes 6 sino 10; tras lo cual el siguiente número es 11, tras lo cual elsiguiente número es 12, el siguiente número es 13, el siguiente númeroes 14, el siguiente número es 15, como lo muestra la segunda columna;pero el siguiente número no es 16 sino 20, el siguiente número es 21, yasí sucesivamente, moviéndonos de este modo de izquierda a derecha deuna columna a otra en el registro del conteo ascendente):

Notamos que el sistema numérico basado en seis dedos, el sistemanumérico base seis, nunca utiliza el símbolo 6, de la misma maneraque en el sistema númerico base diez (o sistema decimal) no existeningún símbolo especial para representar el número diez. Notamostambién que el conteo ascendente en el sistema numérico base seisprocede en forma similar al conteo ascendente en el sistema numéricobase diez. Al llegar al 5, se toma el símbolo que representa la menorcantidad de unidades (el 1) y se le agrega un cero, obteniéndose así lasiguiente cifra. El proceso se repite indefinidamente de modo similar alproceso utilizado en el sistema decimal. El número que sigue a 555, porejemplo, sería 1000. Nótese que una colección de ocho objetos en elsistema decimal se representa con el número 8 mientras que en el

Suplemento # 1: Las familiaslógicas

Suplemento # 2: Elmicroprocesador µP

Suplemento # 3: Cómo trabajael microprocesador

Suplemento # 4a: Lasinstrucciones del µP 8086

Suplemento # 4b:Programación delmicroprocesador

Suplemento # 5: Lascomunicacionesasíncronas

Suplemento # 6: Elamplificador operacional

Suplemento # 7: Eltemporizador 555

Suplemento # 8: El PLC.Diagramas de Escalera

Suplemento # 9: MáquinasMoore. Máquinas Mealy.

Bibliografía

Indice (enlaces)

D A TO S P E R S O N A LE S

ARMANDO MARTÍNEZTÉLLEZ

VER TODO MI PERFIL

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sistema numérico base seis se representa con el número 12 (estaequivalencia se representa simbólicamente como 810 = 126).

Por extraño que el sistema numérico base seis nos parezca, debemosrecordar que éste no nos sería tan extraño si tuviésemos tres dedos encada mano.

Vemos pues, que la única razón por la cual contamos de diez en diez esporque tenemos diez dedos en ambas manos. Vemos también que sonigualmente posibles otros sistemas numéricos, no sólo el sistemanumérico base seis, sino también el sistema numérico base cuatro, elsistema numérico base siete, etc.

Podemos convertir un número cualquiera de nuestra base decimal a unabase menor (por ejemplo, un número en sistema decimal a suequivalente en sistema base tres) por el método de la divisiónsucesiva. Este método se lleva a cabo de la siguiente manera:

(1) Se divide el número decimal dado entre la base al cual queremosconvertir al número, y se destaca el residuo obtenido.

(2) El cociente obtenido de la división anterior se vuelve a dividirnuevamente entre la base a la cual queremos convertir el número, y sedestaca el residuo así obtenido.

(3) El procedimiento anterior se repite hasta que ya no es posible seguirdividiendo sin obtener una fracción con punto decimal. Al llegar a estaetapa, se destacan el dividendo obtenido así como el residuo.

(4) El número correspondiente a la base menor se obtiene escribiendocomo el primer dígito el dividendo obtenido en el último paso anterior, yponiendo como el segundo dígito (a su derecha) el residuo obtenido deltambién del último paso anterior.

(5) Para el tercer dígito, escribimos a la derecha del resultado anterior elresiduo obtenido de la penúltima división.

(6) El paso anterior se repite hasta que se hayan agotado todos losdígitos.

Para convertir un número en una base menor al sistema decimal (porejemplo, un número en el sistema base siete a su equivalente en sistemadecimal), se multiplica la primera cifra del número por la base menor.Al producto resultante se le agrega la segunda cifra del número y sevuelve a multiplicar por la base menor. El procedimiento se continúahasta agotar las cifras, después de lo cual se tendrá el número decimal.

De un interés especial para nosotros es el sistema numérico base dos o

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sistema binario.

Si el hombre hubiera tenido tan solo un dedo en cada mano, entoncespara ir contando “hacia arriba de uno en uno” en el sistema base dos osistema binario, y tomando en cuenta que así como en el sistemadecimal o sistema base diez al que estamos acostumbrados no existe unsímbolo especial para representar el número diez tampoco en el sistemabinario existirá un símbolo especial para representar el número dos, elconteo binario ascendente "hacia arriba" procedería de la manerasiguiente:

El número binario 110 que se ha destacado con fondo de color amarilloes el que se utiliza para identificar con el símbolo “6” lo que nosotros porcostumbre llamamos un sexto objeto o una colección de seis cosas. Enuna canasta de manzanas, el objeto, que podría ser la sexta manzana,sigue siendo el mismo independientemente de los símbolos que usemospara identificarlo. Lo único que cambia es nuestra forma derepresentarlo, que como hemos visto es hasta cierto punto arbitraria.(En esta lista de números binarios se ha destacado también, con fondocolor ciano, el número binario que representa a un onceavo objeto.) Yasí, en el sistema binario, tal vez al ir al mercado a comprar unasnaranjas le diríamos a la encargada del puesto algo como “por favordeme 101 naranjas”. Y si esto nos parece raro, hay que meditar que paralos individuos de una civilización alienígena que tuviesen siete dedos encada mano, dando un total de 14 dedos (con lo cual su sistema denumeración seguramente sería base 14), nuestro sistema de contardecimal tal vez les parecería sumamente extraño. Todo es cuestión de

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perspectiva.

Podemos representar de la siguiente manera con un archivo gráficoanimado un conteo ascendente en el sistema numérico binario desde el1 (decimal) hasta el 24 (decimal), mostrándose del lado izquierdo (encolor azul) el número decimal, y mostrándose del lado derecho suequivalente en numeración binaria:

Decimal Binario

¿Y por qué es de tanto interés para nosotros el adentrarnos en unsistema numérico como el sistema binario, como si no tuviéramos yasuficientes problemas con el sistema decimal?

Al tratar de utilizar circuitos eléctricos para llevar a cabo operacionesmatemáticas (o bien, operaciones de control), nos encontramos con elhecho de que existen únicamente dos estados posibles que se puedenutilizar para llevar a cabo procesamiento de información. Uno es elestado de encendido, lo cual podemos representar con el número uno(“1”). El otro es el estado apagado, el cual representamos como cero(“0”).

Imaginemos una hilera de cinco focos, en la cual el primer foco (a laizquierda) está apagado, los dos focos siguientes encendidos, el cuartofoco apagado y el quinto foco encendido. Representando los focosencendidos con un “1” cada uno y los focos apagados con un “0” cadauno, obtenemos la siguiente representación:

01101

Este número representa el número 13 en el sistema decimal. Cada dígitodel número binario, encendido o apagado, se conoce como bit (en lalengua inglesa, la palabra bit significa “pedacito”). Una serie de variosbits en sucesión como la arriba mostrada se conoce comunmente comopalabra binaria o simplemente palabra. Así pues, siguiendo lacostumbre legada de los árabes sarracenos, en la numeración binaria,al igual que en la numeración decimal en la cual conforme se vacontando hacia arriba las cifras de magnitud creciente correspondientesa las unidades, las decenas, las centenas, etc. se van escribiendo haciala izquierda, también en la numeración base 2 se acostumbra escribirlos números binarios creciendo hacia la izquierda, y al hacer esto el“bit” de menor magnitud que es puesto en el extremo derecho esconocido como el bit menos significativo (en inglés: LeastSignificant Bit ó LSB), mientras que el “bit” de mayor magnitud espuesto en el extremo izquierdo y es conocido como el bit más

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significativo (en inglés: Most Significant Bit ó MSB).

A continuación se muestra una tabla conocida como tabla deequivalencias:

Usando tablas como ésta es posible acortar la conversión de un númeroen sistema binario a sistema decimal y viceversa. Por ejemplo, si sedesea encontrar el equivalente decimal de la palabra 10110, notamosque:

10110 = 10000 + 100 + 10

= 16 + 4 + 2

= 22

Veamos esto mismo desde otro punto de vista, desde el punto de vista dela representación de un número usando potencias de dos. La tablaanterior de equivalencias puede ser representada usando potencias delnúmero dos (en donde por definición una exponenciación a la potenciacero es tomada como la unidad):

20 = 1

21 = 2

22 = 2×2 = 4

23 = 2×2×2 = 8

24 = 2×2×2×2 = 16

25 = 2×2×2×2×2 = 32, etc.

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Teniendo esto en mente, podemos construír una tabla de potencias dedos como la siguiente:

Esta tabla, basada en las potencias del número dos (en donde pordefinición la exponenciación a la potencia cero es tomada como igual ala unidad) se utiliza de la siguiente manera: supóngase que queremosconvertir el número decimal 59 a su equivalente en sistema binario. Estenúmero es mayor que 32 pero es menor que 64, de modo tal que la

primera cantidad que formará parte del mismo será 25 = 32. Si le

sumamos el siguiente número inferior de la tabla, 24 = 16, la cantidadcumulativa será 48, la cual no excederá el número decimal 59, de modo

tal que podemos agregar 24 al sumando cumulativo. Y si le sumamos el

siguiente número inferior de la tabla, 23 = 8, la cantidad cumulativaserá 56, la cual tampoco excederá el número decimal 59, de modo tal que

podemos agregar 23 al sumando cumulativo. Sin embargo, no podemos

agregar 22 = 4 porque la suma cumulativa excedería el número decimal

59, de modo tal que descartamos 22 = 2 como posible componente de lasuma cumulativa. Procediendo de esta manera hasta agotar la tabla,vemos que el número decimal 59 se puede representar en potencias dedos de la manera siguiente:

59 = 32 + 16 + 8 + 0 + 1 + 1

59 = 25 + 24 + 23 + 0 + 21 + 20

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Con esto, la representación del número 59 en ambas bases (la basedecimal y la base 2) procede de manera inmediata consultando la tabla:

5910 = (100000)2 + (10000)2 + (1000)2 + (0)2 + (10)2 + (1)2

5910 = 1110112

Este resultado puede ser corroborado con el método de la divisiónsucesiva.

Para el procedimiento inverso, esto es, convertir un número de ciertabase a su equivalente en sistema decimal, podemos hacer tal cosa demanera sencilla llevando a cabo la expansión del número a través de larepresentación en las potencias del número en su base orignal. Porejemplo, si queremos convertir el número binario 101001 a suequivalente en sistema decimal, la expansión sobre las potencias de dosse llevará a cabo de la siguiente manera:

1010012 = (1)25 + (0)24 + (1)23 + (0)22 + (0)21 + (1)20

1010012 = 32 +0 + 8 + 0 + 0 + 1

1010012 = 4110

Ahora bien; podemos sumar, restar, multiplicar y dividir en el sistemabinario de la misma manera en la cual llevamos a cabo dichasoperaciones en el sistema decimal.

Existe una forma especial de representar los números decimales usandoel sistema binario, para que estos se parezcan un poco más a lanumeración que usamos (aunque no es notación binaria pura). Cadadígito decimal se representa por su equivalente por separado, sin llevar acabo conversión alguna. Por ejemplo, el número 3497 se representacomo sigue:

Esta forma de representación se conoce como el código decimalcodificado binario BCD (del inglés Binary Coded Decimal).

Ahora nos plantearemos otra dilema filosófico un poco diferente alproblema con el cual comenzamos este capítulo: Supóngase que elhombre en vez de tener cinco dedos en cada mano hubiese tenido ocho.¿Cuál habría sido nuestra forma de contar? (El caso no es tan hipotético

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como pudiera creerse; hay personas que de nacimiento son portadorasde una falla genética que produce en ellas algo conocido comopolidactilismo, lo cual es una expresión médica para designar lapresencia de más de cinco dedos ya sea en las manos o en los pies; yaunque pudiera parecer que existe alguna ventaja en poseer una mayorcantidad de dedos en ambas manos o pies que los cinco que actualmentetenemos, la evolución por alguna razón no ha favorecido una cantidadmayor de dedos).

Nuevamente, un momento de reflexión nos indica que nuestro sistemanumérico en tal caso no habría sido muy diferente del sistema decimalque conocemos en la actualidad, excepto que estaríamos contando dedieciseis en dieciseis. Pero esto nos lleva a un problema. Para el conteoen el sistema decimal, tenemos a nuestra disposición diez símbolosdiferentes (1, 2, 3, etcétera, más el cero que sirve para continuaradelante con el conteo sin tener que recurrir a nuevos símbolos pararepresentar lo que para nosotros es el número 10, el número 11, elnúmero 12, etcétera). Pero en el caso en el que hubieramos tenido másde cinco dedos en cada mano, aún teniendo el cero a nuestradisposición (como lo tuvieron los antiguos Mayas en su sistema denumeración Maya) forzosamente habríamos tenido que inventar nuevossímbolos para acomodarnos al conteo ascendente de más de nueveobjetos o cosas. Los nuevos símbolos podrían ser algo como lo muestrala siguiente tabla que nos da las equivalencias entre cada símbolo nuevode un sistema de numeración hexadecimal y su equivalente en nuestrosistema de numeración decimal :

Sin embargo, esta alternativa de tener que inventar nuevos símbolospara poder trabajar con sistemas de numeración de bases mayores a labase decimal se antoja poco apetecible por sus obvios inconvenientes.Debe de haber una alternativa más sencilla.

¿Y por qué no utilizar para un sistema de numeración hexadecimalsímbolos que ya nos son conocidos y con los cuales estamosampliamente familiarizados? Símbolos tales como las letras de nuestro

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alfabeto.

Al tener una abundancia de dedos en ambas manos, muy posiblementehabríamos inventado algún símbolo único como el símbolo numérico Apara representar en dicho sistema numérico base16 lo que hoydenotamos como diez con dos símbolos (10). Para representar elequivalente del número decimal 11 nuestro doceavo dedo se podría haberrepresentado con otro símbolo nuevo, como el símbolo numérico B. Deeste modo, habríamos tenido un símbolo diferente para representar cadanúmero hasta antes de llegar al número 16 (decimal), de acuerdo a lasiguiente tabla de conversión:

Y al llegar a lo que vendría siendo el equivalente del número 16 decimal,se tomaría el símbolo que representa la menor cantidad de unidades (el1) y se le agregaría un cero, obteniéndose así la siguiente cifra. Elproceso se repite indefinidamente de modo similar al proceso utilizadoen el sistema decimal. Un conteo ascendente en este sistema numéricohexadecimal procede de la siguiente manera:

Base 10_____Base 16

0__________01__________12__________23__________34__________45__________56__________67__________78__________89__________910__________A11__________B12__________C

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13__________D14__________E15__________F16__________1017__________1118__________1219__________1320__________1421__________1522__________1623__________1724__________1825__________1926__________1A27__________1B28__________1C29__________1D30__________1E31__________1F32__________20

Podemos representar de la siguiente manera con un archivo gráficoanimado un conteo ascendente en el sistema numérico hexadecimaldesde el 1 (decimal) hasta el 50 (decimal):

Decimal Hexadecimal

Obsérvese con cuidado lo que está sucediendo en este conteo dinámico.Al ir contando hacia arriba, y al llegar al número 99 hexadecimal, elsiguiente número no es 100 sino 9A, el que le sigue es 9B, y asísucesivamente. Del mismo modo, en el caso del número 9999hexadecimal, si le sumamos 1 el siguiente número no es 10000 sino999A, el que le sigue es 999B, y así sucesivamente.

Para destacar un número como un número que está basado en el sistemahexadecimal, utilizamos una letra h ya sea al final del número o alprincipio del número o como subscripto del número. Así, el número 19hexadecimal se vendría destacando con una de las siguientesrepresentaciones:

19h

19h

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Por extraño que nos parezca, este sistema numérico hexadecimal es muyutilizado en el área de las ciencias computacionales. La razón de suenorme utilidad radica en el hecho de que existe una relación sencillaentre las representaciones de un número binario puro y su equivalenteen sistema hexadecimal cuando el número binario es un múltiplo decuatro bits:

aaaaaBinario___Hexadecimal

0000________00001________10010________20011________30100________40101________50110________60111________71000________81001________91010________A1011________B1100________C1101________D1110________E1111________F

lo cual simplifica enormemente la conversión de un sistema numérico aotro. Por ejemplo, si queremos encontrar el equivalente hexadecimal delsiguiente número binario:

11000101000001101000000101011000

todo lo que tenemos que hacer es “separar” el número binario en gruposde cuatro bits conocidos como nibbles (la palabra inglesa nibble setraduce al castellano como “mordisquito”; dos nibbles forman un octetode bits conocido como byte, en donde la palabra byte es un homófono dela palabra inglesa bite que significa “mordisco”):

1100 0101 0000 0110 1000 0001 0101 1000

tras lo cual podemos convertir directamente cada grupo individual en suequivalente hexadecimal:

C 5 0 6 8 1 5 8

Para convertir un número hexadecimal a binario, simplemente

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aplicamos el procedimiento inverso. Si queremos convertir el númerohexadecimal AF37 a su equivalente binario, lo hacemos tomando encuenta que A=1010, F=1111, 3=0011 y 7=0111. Así, el númerohexadecimal de este ejemplo es igual a:

1010 1111 0011 0111

o en forma más abreviada (aunque un poco menos clara):

1010111100110111

Puesto que se requiere de muchos bits para poder representar un númerode tamaño moderado, al leer un número de 32 bits almacenado en unregistro como el siguiente:

1010 1111 0101 0111 0110 0001 0001 1011

es mucho más rápido y fácil para un humano escribir o leer:

AF57611B

que el número binario mostrado.

Al igual que en la numeración decimal existen y se manejan confrecuencia los números negativos, precedidos por un signo menos ()puesto a la izquierda de los mismos, en la numeración binaria tambiénexisten y se manejan con frecuencia los números negativos. Sinembargo, en la numeración binaria para distinguir un número negativode uno positivo no se acostumbra hacerlo con un signo de menos ().Una forma de llevar a cabo algún tipo de distinción es antecediendo lacifra binaria con un “0” si la cifra es positiva (+) ó con un “1” si la cifraes negativa (). Si reservamos el primer bit hacia la izquierda pararepresentar el signo del número binario, entonces los siete bits restantesen una palabra binaria de un “byte” no son suficientes para codificarnúmeros decimales con suficiente precisión, y en tal caso se requierenpor lo menos dos bytes para poder representar números decimales hasta32 mil. Bajo la convención universal del signo que acabamos de dar:

00000001 representa al número decimal 1

10000010 representa al número decimal 2

Una desventaja de esta representación es que los números binarios designos distintos no pueden sumados en la forma usual como seacostumbra hacerlo, ya que si sumamos los dos números binariosanteriores el resultado será 10000011, o sea 3, lo cual es incorrecto (larespuesta correcta debería ser 1). De cualquier modo, mantendremosesta representación hasta que encontremos en capítulos posteriores otraque nos permita llevar a cabo en forma correcta operaciones aritméticas

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con números de signos distintos en el sistema binario obteniendosiempre la magnitud correcta con el signo correcto. De cualquier modo,lo que no cambiará será el uso del primer bit reservándolo para denotarel signo de la cantidad.

Hemos hablado del uso de la numeración binaria para poder ircontando números enteros de uno en uno en el sistema base2. Esposible que aquí haya algún lector que se pregunte: ¿será posible utilizartambién el sistema binario para contar y medir fracciones, cantidadesmenores que la unidad, tal y como lo hacemos en el sistema decimal? Larespuesta es afirmativa, y para poder lograrlo tenemos que introducir enla numeración binaria el mismo artificio que usamos para distinguirnúmeros enteros de números menores que la unidad: el punto, que eneste caso en vez de ser el punto decimal será el punto binario.

Una fracción representa una división. Al igual que como ocurre en elsistema decimal, las fracciones en el sistema binario pueden ser escritascon un numerador y un denominador separados con una barritahorizontal:

En el sistema decimal las fracciones pueden ser escritas con un puntodecimal. Ejemplo de ello son:

Del mismo modo, las fracciones en el sistema binario también puedenser escritas utilizando un punto para ello, aunque en lugar de hablar deun punto decimal estamos hablando de un punto binario. Así:

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Dicho de otra manera, para poder representar fracciones en el sistemabinario, el principio sigue siendo el mismo. Los símbolos decimalespara cantidades fraccionarias son construídos a base de décimas,centésimas (décimas de décimas), milésimas (décimas de décimas dedécimas), diezmilésimas, y así sucesivamente. Los símbolos binarios seconstruyen a base de mitades, mitades de mitades, mitades de mitadesde mitades, y así sucesivamente. Esto nos permite construír la siguientetabla de equivalencias:

y así sucesivamente. Otras fracciones pueden ser representadas comocombinaciones de estos números clave que aparecen en la tabla deequivalencias. Así:

.11 = 1/2 + 1/2 = 3/4

.101 = 1/2 + 1/3 = 5/3

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Estos resultados los podemos corroborar de la siguiente manera,representando la fracción como el cociente de dos enteros binarios:

.11 = 11/100 = 3/4

.101 = 101/100 = 5/3

Además del sistema de numeración binaria, del sistema BCD, y delsistema hexadecimal, existen otros sistemas numéricos, entre los cualestiene cierta prominencia el sistema octal o sistema base8. Para finescomparativos, a continuación se dá un listado de los primeros dieznúmeros en su equivalente decimal, su equivalente octal, y suequivalente binario:

El papel que desempeña el sistema octal en el desarrollo de sistemasdigitales basados en circuitos binarios tiene que ver con la relaciónsencilla que existe entre los símbolos binarios y los símbolos octales.Para poder apreciar mejor esta relación, examínese los siguientessímbolos equivalentes para cantidades un poco mayores:

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Para una mejor visualización, cada equivalente binario ha sidoseparado en grupos de tres dígitos (siguiendo un orden de derecha aizquierda), lo cual nos permite descubrir que cada grupo de tres dígitosse corresponde con el dígito octal equivalente en la misma posición.De este modo, un número binario como 10001001 puede ser separadoen grupos de tres dígitos como 10 001 001, lo cual nos permitedeterminar de inmediato a su equivalente octal como 211. El númerobinario 10001001 equivale al número decimal 137, y podemos verificarque el número octal 211 también equivale a este número decimal por latáctica usual de asignarle a cada dígito octal su valor posicional en elsistema decimal:

2118 = 2(82) + 1(81) + 1(80)

2118 = 2(64) + 1(8) + 1(1)

2118 = 128 + 8 + 1 = 13710

El propósito de la numeración octal (al igual que la numeraciónhexadecimal) es tender un puente entre el sistema de numeracióndecimal que nos es tan familiar y el menos entendible sistema binario.Los símbolos decimales constituyen nuestro medio cotidiano de trabajopara cálculos aritméticos, pero el lenguaje de “unos” y “ceros” es ellenguaje natural con el cual trabajan las máquinas. La desventaja de losnúmeros binarios es que se requiere una serie larga de “unos” y “ceros”para poder representar una cantidad que en el sistema decimal se puederepresentar de manera más compacta, como el número 10001001 queequivale al número decimal 137. La ventaja de utilizar símbolos octales

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es que son abreviaturas convenientes de símbolos binarios, y el utilizarnúmeros octales en lugar de los más familiares números decimalesrepresenta un paso natural para acortar la distancia que separa a unacomputadora “humana” acostumbrada a trabajar en el sistema decimaly la máquina.

PUBLICADO POR ARMANDO MARTÍNEZ TÉLLEZ EN LUNES,

NOVIEMBRE 19 , 2007

ETIQUETAS: BASE 2 , BCD , B INARIO , B IT, HEXADECIMAL, LSB , MSB ,PALABRA

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