La Parabola 2013 1

Facultad de estudios de la Empresa Semestre 2013-1

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SEMANA-12

CURSO: MATEMÁTICA BÁSICA ADM.

Tema :

LA PARÁBOLA

Definición: Una parábola es el lugar geométrico de todos los puntos P en el plano cuya

distancia a un punto fijo F (foco), es igual a su distancia a una recta fija l (directriz).

Elementos de una parábola:

1. Vértice: (V) Es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría.

2. Foco: Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetría a p unidades del vértice.

3. Eje de simetría ( 1l ) recta perpendicular a la directriz l y que pasa por el vértice y foco.

4. Cuerda (CE) Es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola.

5. Directriz ( l ) Recta fija, perpendicular al eje de simetría.

6. Cuerda focal (AB) Segmento de recta que une dos puntos de la parábola pasando por el

foco.

7. Lado Recto (LR) (Latus rectum). Es una cuerda focal perpendicular al eje de simetría.

8. Radio Vector (PF): Segmento de recta que une el foco con un punto de la parábola.

LA PARÁBOLA Y SUS APLICACIONES


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FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA

Eje de simetría paralelo al eje x )(4)( 2 hxpky

(Horizontal)

- Vértice: ( , )V h k

- Foco: ( , )F h p k

- Directriz :l x h p

- Eje de simetría 1 :l y k

- Lado recto: 4LR p

Ejemplo: Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola 2( 2) 8( 1)y x

Solución:

Sean 1, 2h k

Luego: 4 8p

2p

0p Se abre hacia la izquierda.

- Vértice

- Foco

( 1,2)

- Directriz phxl :

1 ( 2)x

3x

Eje de simetría paralelo al eje y )(4)( 2 kyphx

(Vertical)

- Vértice

- Foco

- Lado recto 4 p

- Directriz :l y k p

- Eje de simetría 1 :l x h


3

Ejemplo: Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola 2( 1) 4( 4)x y

Solución: 1, 4h k

4 4p

1p

0p Se abre hacia arriba

- Vértice

- Foco

- Directriz :l y k p

: 4 1

3

l y

y

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

02 FEyDxy Eje horizontal

02 FEyDxx Eje vertical

Ejemplo1: Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola 05462 yxx

Solución:

Completando cuadrados tenemos: 05462 yxx

0542

6

2

622

yx

05433 22 yx

054932

yx

04432

yx

4432

yx

)1(432

yx

(Es vertical)

Tenemos:

3h 1k

44 p , entonces 1p - Vértice : - Foco

- Directriz: :l y k p


4

1 1y

2y

Ejemplo2: Hallar la ecuación de la parábola con y foco

Solución:

Como y el vértice es (0,0) a ecuación de la

parábola es de la forma

2 4y px

Foco donde

Entonces 2p

Por lo tanto la ecuación es:

2 4( 2)

8

y x

x

Ejemplo3: Hallar la ecuación de la parábola cuya directriz es la recta y su foco es

Solución:

Del gráfico )(4)( 2 hxpky

Como : 6l x h p

6h p ……..(1)

Foco

0h p ……..(2)

y 0k

De (1) y (2) tenemos

3h , 3p

Entonces: 2 12( 3)y x

VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA PARÁBOLA

Se ha visto anteriormente que la ecuación

…… (1)


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Puede escribirse (completando cuadrados) en la forma (2) y

representa una parábola cuyo eje focal es vertical, abierta hacia arriba (p > 0) ó hacia abajo (p <

0).

Cuando la ecuación aparece en la forma (1), el signo de a (coeficiente de x2), determina si la

parábola se abre hacia arriba o hacia abajo y también determina si el vértice es un punto

máximo o mínimo de la curva.

(a)

(b)

Si como en la fig. (a), la parábola se abre hacia abajo, el vértice V (punto más alto de la

curva) es llamado el punto máximo de la parábola. El valor de la ordenada correspondiente

es el valor máximo de la función que ella representa.

Similarmente, si la parábola se abre hacia arriba (fig. (b)), el vértice V es llamado el punto

mínimo de la parábola; y el correspondiente valor de y, es el valor mínimo de la función.

Toda función cuadrática, tiene un valor máximo o un valor mínimo, pero no ambos.

Ejemplo 1. (Decisiones sobre fijación de precios) La demanda mensual x de cierto artículo al

precio de p dólares por unidad está dada por la relación

El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $5 por unidad

y los costos fijos son de $ 2000 al mes. ¿Qué precio por unidad p deberá fijarse al consumidor

con la finalidad de obtener una utilidad máxima mensual?

Solución: EL costo total C (en dólares) de producir x unidades al mes es

C=Costos variables + Costos fijos = 5x + 2000

La demanda x está dada por x= 1350 – 45p

Sustituyendo en C, resulta:

C=5(1350 – 45p)+2000=8750 – 225p

x

y

x

y


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El ingreso (en dólares) obtenido por vender unidades a dólares por unidad es

(Precio por unidad)(Número de unidades vendidas) = –

–

La utilidad U (en dólares) está dada por:

–

– – –

– –

La utilidad es una ecuación cuadrática y por el signo del término cuadrático su gráfica es una

parábola que se abre hacia abajo, y la utilidad máxima se alcanza en el vértice.

Calculando el vértice para la ecuación utilidad:

U = –45(p2 – 35p) – 8750

U = –45(p – 17,5)2 + 5031,25

Vértice:

En consecuencia, se debe fijar un precio al consumidor de p= $ 17,5 por unidad, con el

propósito de obtener una utilidad máxima que será de $ 5031,25 al mes.

Ejemplo 2: (Decisiones sobre fijación de alquileres) El señor Alonso es propietario de un

edificio de departamentos de 60 habitaciones. Él puede alquilar todas si fija un alquiler mensual

de $ 200 por habitación. Con un alquiler más alto, algunas habitaciones quedarían vacías. En

promedio, por cada incremento de alquiler de $ 5, una habitación quedaría vacía sin la

posibilidad alguna de alquilarse. ¿Qué alquiler mensual maximizaría el ingreso total? ¿Cuál es

éste ingreso máximo?

Solución: Sea x el número de unidades vacías. El número de departamentos alquilados es

entonces 60 – x, y el alquiler mensual por habitación es (200 + 5x) dólares. Si I denota el

ingreso mensual total (en dólares), se sigue que

– –

El ingreso mensual está determinado por la ecuación cuadrática donde su gráfica es una

parábola que se abre hacia abajo y por lo tanto el ingreso máximo será el vértice de ésta

parábola.

– – – – –


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El vértice es

En consecuencia, si 10 unidades están desocupadas, los ingresos son máximos. El alquiler por

habitación es entonces de (200 + 5x) dólares o $ 250 y el ingreso total es de $ 12500 al mes.

Ejercicios

1. En las siguientes ecuaciones de parábolas, hallar su vértice, foco y ecuación de la recta

directriz.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

2. Determinar el vértice, y la ecuación de la recta directriz de las siguientes ecuaciones:

a) d)

b) e)

c)

3. Encuentre una ecuación para la parábola que tiene su vértice en el origen y satisface la

condición dada:

a) Foco F(0,2)

b) Foco F(0,-1/2)

c) Foco F(-8,0)

d) Directriz x=2

e) Directriz y=-10

f) Directriz x= -1/8

4. Resuelva los siguientes problemas

a) El ingreso mensual por concepto de la venta de x unidades de cierto artículo está dado por

dólares. Determine el número de unidades que deben venderse cada

mes con el propósito de maximizar el ingreso. ¿Cuál es el correspondiente ingreso

máximo?

b) La utilidad obtenida por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por

. Determine el número de unidades que deben producirse y venderse con

el objetivo de maximizar la utilidad. ¿Cuál es ésta utilidad máxima?


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c) Una empresa tiene costos fijos mensuales de $ 2000 y el costo variable por unidad de su

producto es de $ 25. EL ingreso I obtenido por vender x unidades está dado por

Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo que

maximice el ingreso. ¿Cuál es éste ingreso máximo?, ¿cuántas unidades deben producirse y

venderse al mes con el propósito de obtener una utilidad máxima?, ¿cuál es ésta utilidad

máxima?

d) El costo por unidad (en dólares) de cierto artículo es

¿Qué número de unidades producidas minimizarían el costo? ¿Cuál es el correspondiente

costo mínimo?

e) Un granjero tiene 500 yardas de cerca con la cual delimitará un corral rectangular. ¿Cuál es

el área máxima que puede cercar?

f) La ecuación de la demanda para un producto es , donde p es el precio (en

dólares) por unidad cuando los consumidores demandan q unidades (por semana).

Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del productor, y determine

este ingreso.

g) La ecuación de demanda para el fabricante de un producto es , donde p es el

precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana). Encuentre el

nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.

h) La ecuación de demanda para la línea de reglas de plástico de una compañía de artículos de

oficina es , donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando los

consumidores demandan q unidades (diarias). Determine el nivel de producción que

maximiza el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.

i) La ecuación de demanda para una compañía de lap – tops de una compañía electrónica es

, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando los consumidores

demandan q unidades (semanales). Encuentre el nivel de producción que maximiza el

ingreso total del fabricante y determine este ingreso.

j) Una compañía de marketing estima que n meses después de la introducción del nuevo

producto de un cliente, “y” miles de familias lo usarán, donde


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Estime el número máximo de familias que usarán el producto.

k) La utilidad diaria proveniente de la venta de árboles en el departamento de jardinería de

una tienda está dada por , donde x es el número de árboles

vendidos. Determine la utilidad diaria máxima.

l) Uno de los pronósticos de los precursores de la psicología relaciona la magnitud de un

estímulo, x, con la magnitud de una respuesta, y, lo cual se expresa mediante la ecuación

, donde es una constante del experimento. En un experimento sobre

reconocimiento de patrones, Determine el vértice de la ecuación y haga la gráfica

(suponga que no hay restricción sobre x).

m) Ciertos biólogos estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas

con una dieta que contenía 10% de proteína, la cual consistía en levadura y harina de maíz.

Al variar el porcentaje p de levadura en la mezcla, el grupo de científicos estimó que el

peso promedio (en gramos) que una rata había aumentado durante un período fue

. Encuentre el peso máximo aumentado.

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