La regla de la falsa posición

Tema 1: El Álgebra Árabe: Al-Jwarizmi, Ibn Quarra y Omar Jayyam © FMC

I Seminario sobre Historia de las Matemáticas. Algunos hitos en el avance de las Matemáticas. CPR Lorca

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5. La regla de falsa posición1

La célebre regla de falsa posición fue ideada por los indios, sin que pueda precisarse quién fue

su inventor.

No la conocía Aryabhata ni Brahmagupta, luego se inventó después del siglo VII. Rabbi ben

Ezra, del siglo XI, dice que es de origen indio, y Bhaskara la utiliza en el siglo XII.

La falsa posición puede ser sencilla y doble.

Muy usada por indios, árabes y judíos desde el siglo XII, pasó a Occidente, y a partir del siglo

XV las Aritméticas italianas y españolas hicieron de la regla de falsa posición un verdadero

abuso, y muchas veces un uso indebido.

Actualmente ya no se explica en Aritmética, aunque su fundamento sirva hoy de explicación

para la obtención de valores aproximados de una función y = f(x).

Juzgada históricamente la regla de falsa posición doble, es decir, situándose en el ambiente

matemático del siglo XII, supone un ingenio extraordinario, en una época en que se desconocía

el simbolismo del Álgebra.

La regla sencilla o de una sola posición se aplica a problemas del tipo

a x = b

donde a puede ser una expresión numérica complicada. Se hace una suposición de x = m y

resultará:

a m = b'

Se establece la proporción

'x bm b

=

y se obtiene el valor

1 Adaptado de SANCHEZ PÉREZ, A.: Aritmética en Roma, en India y en Arabia, Madrid-Granada, 1949



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'b mx

b⋅

=

Ejemplo. — En un poblado había cinco hornos en los que se coció el mismo número de

panes. Al mediodía, dos de los hornos habían vendido todos los panes, el tercer horno

vendió la mitad, el cuarto horno vendió la tercera parte y el quinto vendió la cuarta

parte. Se habían comprado 296 panes. ¿Cuántos panes coció cada horno?

Para la falsa posición se toma un valor cualquiera, múltiplo de 2, 3 y 4, por ejemplo, 12, y se

dice: con 12 panes en cada horno se hubieran vendido 12 + 12 + 6 + 4 + 3 = 37.

Si resultan 37 cociendo 12, para que salgan 296 se necesitarán x, deduciendo este valor de la

proporción

37 29612 x

=

o sea que cada horno coció 96 panes.

Comprobación: 96 + 96 + 48 + 32 + 24 = 296.

La regla de posición doble o de dos suposiciones se aplica a problemas que, pareciendo

complicados, podrían reducirse a la forma

f(x) = K

siendo f(x) una función de primer grado.

Se hace una primera suposición x = m y resulta:

f(m) = K’ = K + α1

Se hace una segunda suposición x = n y se obtendrá:

f(n) = K” = K + α2

Como es natural, ni los indios ni los árabes emplean el simbolismo anterior y daban la

disposición siguiente:

Debe resultar K.

Primera posición:

Con el valor m salen de más α1



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Segunda posición:

Con el valor n salen de más α2

Escriben el esquema:

Y dan la regla siguiente:

El valor de x será

2 1

2 1

m nx

⋅ α − ⋅ α=

α − α

si los valores obtenidos en las dos posiciones salen a la vez de más o a la vez de menos.

Pero si uno de los valores α1, α2 saliera de más, y el otro de menos, el valor buscado sería:

2 1

2 1

m nx

⋅ α + ⋅ α=

α + α

Ejemplo. — Por 30 monedas se han comprado tres piezas de tela. La segunda pieza

cuesta doble que la primera más 4 monedas. La tercera pieza cuesta triple que la

segunda menos 7 monedas. ¿Cuánto vale cada pieza?

Desde luego la incógnita es el coste de la primera pieza. Actualmente, cualquier alumno de

enseñanza secundaria sabría plantear:

2 4 6 12 7 309 21

21 79 3

x x xx

x

+ + + + − ==

= =

Según el método indio se harían dos posiciones o suposiciones y se observaría si las

diferencias eran por defecto o por exceso para operar sumando o restando. Pongamos los

cuatro casos:

Primer caso:

Primera Pieza Las tres piezas Comparación con 30

1ª Posición 2 27 3 de menos 2ª Posición 4 45 15 de más



4

2 15 4 3 42 715 3 18 3

x ⋅ + ⋅= = =

+

Segundo caso:


1ª Posición 3 36 6 de más 2ª Posición 2 27 3 de menos

3 3 2 6 21 73 6 9 3

x ⋅ + ⋅= = =

+

Tercer caso:


1ª Posición 1 18 12 de menos 2ª Posición 2 27 3 de menos

2 12 1 3 21 712 3 9 3

x ⋅ − ⋅= = =

−

Cuarto caso:


1ª Posición 6 63 33 de más 2ª Posición 5 54 24 de más

5 33 6 24 21 733 24 9 3

x ⋅ − ⋅= = =

−

La regla de falsa posición constituía uno de los capítulos de todas las Aritméticas durante los

siglos XVI al XVIII. A mediados del siglo XIX dejó de citarse del todo en los libros por

considerarla completamente inútil.

En cambio, es curioso observar que el mismo fundamentó y la misma fórmula, se encuentra en

la obtención de raíces de la ecuación f(x) = 0.

Se sabe hoy por la geometría analítica que si f(x) es de primer grado la función y = f(x)

representa una recta. Se sabe también que el sistema

( )0

y f xy=⎧

⎨ =⎩



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nos dará la abscisa x del punto de intersección de la recta con el eje de las x.

Y se sabe, por fin, que si (x1, y1) e (x2, y2) son dos puntos de la recta, su ecuación es

2 11 2 1

2 1

( )y y

y y x xx x

−− = −

−

en la que haciendo y = 0 y despejando x se obtiene

1 2 2 1

2 1

x y x yx

y y−

=−

que es la misma fórmula de la regla de falsa posición en la que x1 x2 son los dos valores

supuestos de x y en la que y1 y2 son las diferencias positivas o negativas, con respecto a y=0.

Ni en las Aritméticas indias ni en sus comentadores aparece la explicación y la justificación de

la regla práctica de falsa posición, pero las Aritméticas árabes confirman que el razonamiento

para obtener la regla fué el siguiente (traduciendo las fórmulas a palabras).

Si en los problemas se conoce el valor K de la relación

P · x = K

al dar un primer valor x1 se tendrá

P · x1 = K1 = K + α1

y al dar un segundo valor x1 se obtendrá

P · x2 = K2 = K + α2

Es evidente que se verifican las igualdades

1 1 1 2

2 2 1 2

( ) o bien

( )P x xP x x x x x x⋅ − = α ⎫ α α

=⎬⋅ − = α − −⎭

y de esta proporción ya se deduce



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1 2 1 2 1 2

1 2 2 1 1 2

1 2 2 1

1 2

( )x x x xx x x

x xx

α ⋅ − α ⋅ = α ⋅ − α ⋅

α ⋅ − α ⋅ = ⋅ α − α

α ⋅ − α ⋅=

α − α

Regla de la falsa posición doble o de los platillos de la balanza

Regla de la falsa posición en el libro Magrebí

En esta zona se le conoce como él método de los platillos Ibn Qunfudh (m. 1407) : Hatt an-niqâb ôan wujûh a ômâl al-hisâb

[El descenso del velo sobre las formas de las operaciones del cálculo]

De la explicación que dan los textos árabes resulta lo siguiente: Una ecuación con una

incógnita es como una balanza en que los platillos representan los miembros de la ecuación. Si

en la ecuación se sustituye el verdadero valor de x, la ecuación se convierte en una identidad; y

si estos valores se consideran como pesos colocados en los platillos, la balanza quedará en el

fiel. Al dar dos valores inexactos de x en la ecuación, o al poner dos pesos cualquiera en un

platillo, ni se verificará la igualdad ni se equilibrará la balanza, y podrá ocurrir que los dos

valores supuestos sean a la vez por defecto, a la vez por exceso, o uno por defecto y otro por

exceso.

Por esto los árabes, al aplicar la falsa posición, comienzan por dibujar una especie de X,

horizontal y alargada,



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que representa el esquema de una doble balanza, con el punto de apoyo en el centro.

Reproduciré textualmente la exposición de las Aritméticas de Ibn Al-Banna (Abu'l-Abbas

Ahmad ibn Muhammad ibn Uthman al-Azdi Al-Bana Al-Marrakusí) y Al-Amulí.

Dice Al-Banna:

Es por arte geométrico y el método es éste. Toma dos balanzas de esta forma:

coloca lo conocido y propuesto sobre el centro. Coloca sobre uno de los dos platillos el

número que quieras. Efectúa encima lo que es propuesto por adición, rebaja u otra

operación. Después compara el resultado con lo que está sobre el centro. Si has caído

en lo justo, este platillo es el número desconocido. Si has caído en falso, marca el error

sobre el platillo, si es por exceso; o debajo del platillo, si es por defecto. Después pon

sobre el otro platillo el número que quieras, distinto del primero, y procede con él como

has procedido con el primero. Después multiplica el error de cada platillo por el supues-

to como verdadero del otro. Después examina: si los errores son los dos positivos o los

dos negativos, resta el error menor del mayor y el menor de los dos productos del

mayor y divide el resto de los dos productos por el resto de los dos errores; en cambio,

si uno de los dos errores es por exceso y el otro por defecto, divide la suma de los dos

productos por la suma de los dos errores.

Dice Al-Amulí:

Toma para la incógnita el número que quieras; llámalo primera suposición y opera

conforme al enunciado. Si se verifica la igualdad, ésa es la incógnita. Si se desvía (la

balanza) en más o en menos, llama a la diferencia primera desviación. Toma otro

número para la incógnita y será la segunda suposición. Resultará, en general, la

segunda desviación. Multiplica la primera suposición por la segunda desviación y llama

al producto primer resultado (R1). Después multiplica la segunda suposición por la

primera desviación y dará el segundo resultado (R2). Si las dos desviaciones son por

exceso o las dos por defecto, divide la diferencia de R1 y R2 por la diferencia de las dos

desviaciones. En caso contrario (una por exceso y otra por defecto), divide la suma de

R1 y R2 por la suma de las desviaciones. El cociente será el número buscado.

Ejemplos de problemas resueltos por doble falsa posición

El séxtuplo de un número, más el séptuplo del mismo número, es igual a 25. ¿Cuál es

el número?



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Este problema, propuesto por Abu`l Hasan Ibn Ali al-Qalasadi (nacido en Baza en 1412 – murió

en Bugía (Túnez) en 1486) en su Aritmética, es tan sencillo, que no merece aplicarle la regla de

falsa posición; pero es posible que por ser tan sencillo lo haya escogido Al-Qalasadí para que

resulte más clara la aplicación de la regla:

Primera posición 6 Primera desviación 53 de más

Segunda posición 1 Segunda desviación 12 de menos

Cálculo de la primera posición: 36 + 42 = 78 = 25 + 53

Cálculo de la segunda posición: 6 + 7 = 13 = 25 – 12

Número buscado 6 12 53 1 125 2553 12 65 13⋅ + ⋅

= = =+

Al- Amulí presenta los dos ejemplos que siguen, que se corresponden, respectivamente, con los casos de aplicar el signo + y el signo –.

¿Qué número, aumentado en sus dos tercios más una unidad, da como resultado 10?

Primera posición 9 Primera desviación 6 de más

Segunda posición 6 Segunda desviación 1 de más

Cálculo de la primera posición: 9 + 6 +1 = 16 =10 + 6

Cálculo de la segunda posición: 6 + 4 + 1 = 11 = 10 + 1

Número buscado 6 6 9 1 276 1 5⋅ − ⋅

= =−

¿Qué número, más su cuarto, más los tres quintos de la suma, menos cinco, es igual al mismo número?

Primera posición 4 Primera desviación 1 de menos

Segunda posición 8 Segunda desviación 3 de más

Cálculo de la primera posición: 34 1 5 5 3 4 15

+ + ⋅ − = = −



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Cálculo de la segunda posición: 38 2 10 5 11 8 35

+ + ⋅ − = = +

Número buscado 4 3 8 1 20 53 1 4⋅ + ⋅

= = =+

Práctica Diseña dos enunciados textuales de problemas extraídos de la vida cotidiana que sean

resolubles por el método de la falsa posición o de la doble falsa posición y resuélvelos.

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