LA REPRESENTACIÓN Y EL SIGNIFICADO DE LOS NUMEROS.

EL PRICIPIO DE VALOR RELATIVO PARA LOS NÚMEROS NATURALES

Angela Fons SabaterBerta Calero Gil

MºCarmen Moya HerasAna Játiva Mosquera

Pilar Tierraseca

El aprendizaje de los números es un proceso lento por el que se va aprendiendo lo que representa un número y su cantidad gráfica. Es normal que a los niños les cueste aprender números mayores que diez. Los escuchan a diario pero no saben realmente su significado, simplemente tienen la idea de que un número mayor que diez es ¨mucho¨ y menor ¨poco¨.

BROWNWELL (1941): aprecia que los niños de 5 años saben contar hasta 20 por lo general.

FUSON (1980): dice que los niños de 5 y 5 años y medio saben contar hasta 44, llegando a 84 en niños de 5 años y medio y 6 años.

GINSBURG(1977): pone como ejemplo a Paul, un niño que sabe contar hasta un millón con solo 5 años.

Ginsburg dice que los niños aprenden a contar números grandes por repetición verbal.

Cita el caso de Rebecca (4 años) una niña que que sabe contar hasta 9 pero al llegar a dicho número tienen que decirle el que va después (el 10) para que ella pueda seguir contando. Si no se lo dicen, ella misma se inventa el nombre de tal número, por ejemplo:¨dicienta¨.

PRINCIPIO DE VALOR RELATIVO: es el procedimiento que usamos para registrar números. Se clasifica en unidades, decenas, centenas, unidades de millar…

Este sistema se funda a partir del principio de agrupación sucesiva: las unidades se agrupan en decenas, 10 decenas es una centena, 10 centenas es un millar y así sucesivamente.

De izquierda a derecha: 342 es trescientos cuarenta y dos.

Evaluar, primero de todo su tamaño. 19930Los adultos agrupan por tríos mientras

que los niños tardan en adquirir esa técnica.BROWN

19930 como “mil, noventa y nueva, treinta”. Evaluarlo de derecha a izquierda (al contrario de lo habitual).

GINSBURG tres fases en el desarrollo de la comprensión del

valor relativo:

1ºfase el niño escribe correctamente los números pero no tiene ni idea de por qué.

2º fase el niño comprende que otras formas de escribir un numero son erróneas, por ejemplo escribir 31 para denotar 13.

3º fase el niño es capaz de relacionar la notación escrita de los números con el principio de valor relativo, por ejemplo un niño de 7 años a la pregunta de por qué había escrito 1 seguido de un 3 para decir 13 contesto que el 1 representa 10 y el 3 expresa 3, luego diez más trece son tres. Pocos niños alcanzan la fase 3 en educación primaria.

La capacidad de tratar con números en forma simbólica queda superada por su capacidad aritmética informal. El niño tiene que asimilar la simbolización del número según lo que ya sabe.

NÚMERO DICTADO NÚMERO ESCRITO

Diecinueve 19

Cuatrocientos setenta y dos

472

tres 3

Seis mil veintitrés 600,023

Setenta y un mil ochocientos cuarenta y cinco

710,00845

Cincuenta y seis 56DICKSON trescientos tres a “3003”Confusión con el 0.LEEB-LUNDBERG100, 110 y 1010 era “nada de algo”.El papel del 0 no era obvio para ellos.BROWNUn niño de 13 años sabía leer correctamente el número 521400, pero el número 8030 era “ochenta cientos treinta”. Mentalmente dio respuestas verbales correctas a la suma de diez más 3597 pero escribió la escribió como 367.

El estudio “concepts in secondary mathematics and science “ de BROWN:

Escribir con cifras “cuatrocientos mil setenta y tres”.

Dificultad con números mayores que mil. No familiarizados con los nombres posicionales

de las cifras que están a la izquierda de los millares.

LURIYA acalculia :deficiencia en el concepto de numero

y calculo provocada por un cierto tipo de enfermedad cerebral localizada( afecta a la faceta semántica del habla). los aspectos más difíciles son los que primero se lesionan.

Ejemplos: leían 22100 como 22 y 100. Algunos asignaban a 71 y a 17 el mismo valor

y significado. Tenían por mayor 489 que 701 porque se

fijaban solo en las cifras individuales.

ORDENACIÓN

BERDNARZ Y JANVIER

El 40% uso estrategia posicional, solo usaban el digito en una cierta posición si este era mayor que el que ya la ocupaba.

El 10% comprendió bien el principio de valor relativo:

Seleccionaron el primer 5 y cantaban “Gané” tras colocarlo en la casilla de la izquierda.

Aceptaban 0 y 1 y los ponían en posición central o derecha cuando la casilla de la izquierda tenía un 5.

Usaban 4 para ponerlo a la izquierda cuando las condiciones eran favorables, cuando ya se tiene un 3, 4 y 5 en posición central.

4 2 3

Brown en el estudio CSMS percibió que algunos niños sabían aproximadamente el valor posicional de los números. Hacía falta calar en el aprendizaje.• Ejemplo contador de personas en un campo de fútbol.

0 6 3 9 9

1/3 niños de 12 años dieron una respuesta errónea.

Shakkel (12 años)

Raimon (12 años)

1

0 6 3 1 00

0 6 4 9 90 6 3 9 9

La descomposición numérica es fundamental para la comprensión del valor relativo.

Estudio de Flournoy, Brandt y McGregor. Estudio de la APU. Las dificultades de comprensión de la

descomposición de un número revisten particular importancia para la sustracción.

El valor relativo se funda en la agrupación: decenas, decenas de decenas…

… 10000 1000 100 10 1 Encuesta APU de Enseñanza Primaria Estudio de Fournoy, Brandt y McGregor Dickson realizó estudios sobre:

- el rendimiento de niños con bajas cualificaciones.

- la idea de “cuantas veces”

Es probable que la enseñanza deje de hacer tanto hincapié en el cálculo con lápiz y papel, y lo haga en técnicas para usar eficazmente la calculadora, como la estimación y la aproximación.

La capacidad de estimación depende del valor relativo. Experimento de Ginsburg. 6 79 163 940 2342 15700

Sumar: 1056 + 672

- Tendencia al redondeo por defecto en lugar de por exceso.

- Estaban tratando de usar los métodos tradicionales de lápiz y papel, pero comenzando de izquierda a derecha.

- Los niños no estaban aproximando, sino tratando de verificar que cada dígito es correcto.

Para comprobar que una solución es razonable debemos aprender primero los principios de valor relativo.

Ronshausen:1. El niño debe conocer la cardinalidad de los

números de 0 a 9. 2. Sabe contar de uno a diez tanto rutinaria como

racionalmente. 3. Sabe leer los símbolos de 0 a 9.4. Ser capaz de asociar los símbolos con conjuntos. 5. Saber escribir los símbolos de 0 a 9 cuando oye

sus nombres o cuando ve un conjunto. Tras esto, se le puede presentar al niño la noción de

“diez” en sentido cardinal, oral y simbólico.

1. Formar haces de lápices en decenas y unidades.2. Unir objetos en decenas y unidades. 3. Actividades con aparatos estructurales, como los

bloques Dienes Base 10.4. Trabajar con objetos que representan una

decena, pero que no vienen diferenciados en unidades.

5. Distinguir las decenas de las unidades, bien si unas se colocan en el lado derecho o en el izquierdo.

6. El niño se encuentra preparado para utilizar un ábaco.

Es necesario que el niño pase por todas estas etapas para que pueda entender el significado del valor relativo.

Consecuencias para la didáctica-Actividades más avanzadas.

compresión dígitos 0-9 para cada uno de los lugares (valor relativo)

- Utilización de diversas bases de numeración.

Representación números en base 10 y otras distintas (multibase)

5 3 9

Ordenar.Números entre 100-1000 359,395,539,593,935,953.Formar.Número más alto 953 Más bajo 359Comprendidos Mayores 400 y menores 950 539,593,935.

0 unos 1 uno 7 unos 10 unos 12 unos

1 diez 4 dieces 5 dieces 7 dieces 8 dieces

Unidades

Decenas

20 dieces 45 dieces 60 dieces 4 cientos 6 cientos Centenas

Tengo un número comprendido entre 401 y 507.

-4 cientos, 5 dieces, 7 unos.- 40 dieces, 5 dieces, 7 unos.- 45 dieces, 7 unos.

- ¿ …….. ?

Sistema base 10 unidades se agrupan en decenas; (decenas),decenas de decenas (centenas), etc.

2547: (2 x 1000)+ -( 5 x 100)+(4 x 10)+( 7 x 1).

Sistema numeración distinto base 10. Por ej. Base 3

-2547: (2 x 27)+( 5 x 9)+ (4 x 3)+( 7 x 1).

-Diennes(1960) Bloques aritméticos multibase

Niños primera comprensión valor absoluto del número.

-Correcta comprensión del valor relativo ofrece muchas facetas.

-Materia en base distinta 10 menos comprendida. -Errores de concepto: comprensión incompleta. Proceso larga duración, no se limita a unas pocas

lecciones. -Trabajar con sistemas de posición como bloques

multibase, regletas, ábacos y otras actividades.