la resistencia en materiales

7/26/2019 la resistencia en materiales

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TECSUP PFR Resistencia de Materiales

NDICE

Unidad I: ESTTICA DE LA PRTICULA

1. Representacin vectorial de fuerzas..................................................................12. Operaciones vectoriales ...................................................................................2

2.1. Suma y resta de dos vectores................................................................22.2. Mtodos geomtricos............................................................................2

2.2.1. Por Triangulacin ..................................................................22.2.2. Mtodo del paralelogramo......................................................3

2.3. Mtodos Analticos................................................................................32.4. Descomposicin vectorial ......................................................................42.5. Suma de tres o ms vectores ................................................................5

3. Primera condicin de equilibrio - bidimensional .................................................64. Primera condicin de equilibrio- tridimensional..................................................7

Unidad II: EQUILIBRIO DE CUERPOS RGIDOS

1. Sistema equivalente de fuerzas ...................................................................... 212. Principio de Transmisibilidad ..........................................................................22

2.1. Producto vectorial de dos vectores.......................................................222.2. Producto vectorial expresado en trminos de componentes rectangulares23

3. Momento de una fuerza respecto a un punto .................................................. 243.1. Componentes rectangulares del momento de una fuerza ......................25

3.1.1. Momento de un par ............................................................. 263.1.2. Sistema fuerza par............................................................27

4. Reacciones en los apoyos .............................................................................. 295. Segunda condicin de equilibrio .....................................................................316. Equilibrio de un cuerpo rgido.........................................................................317. Anlisis por planos......................................................................................... 328. Ejercicios ...................................................................................................... 33

Unidad III: DIAGRAMA DE FUERZAS INTERNAS1. Diagrama de fuerzas internas......................................................................... 372. Fuerzas en elementos rectos sometidos a la accin de dos fuerzas...................373. Caso de un elemento que no es recto sometido a la accin de dos fuerzas .......384. Fuerzas en elementos sometidos a la accin de varias fuerzas .........................395. VIGAS...........................................................................................................45

5.1. Diferentes tipos de cargas y apoyos.....................................................455.2. Fuerza cortante y momento flector en una viga ....................................465.3. Diagrama de Fuerza cortante (DFC) y de Momento flector (DMF) ..........47

6. Reglas prcticas para la construccin de los diagramas de fuerzas internas.......51


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Resistencia de Materiales TECSUP PFR

Unidad IV: ESFUERZO

1. Esfuerzo....................................................................................................... 53

1.1. Esfuerzo normal ................................................................................. 541.2. Esfuerzo cortante ............................................................................... 551.3. Estado general de esfuerzo................................................................. 551.4. Unidades ........................................................................................... 56

2. Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente ........................... 562.1. Suposiciones...................................................................................... 572.2. Distribucin del esfuerzo normal promedio........................................... 592.3. Equilibrio ........................................................................................... 602.4. Esfuerzo normal promedio mximo ..................................................... 61

3. Esfuerzo cortante promedio........................................................................... 663.1. Cortante simple.................................................................................. 68

3.2. Cortante doble ................................................................................... 683.3. Equilibrio ........................................................................................... 694. Esfuerzo Permisible....................................................................................... 77

4.1. Diseo de conexiones simples............................................................. 794.2. rea de la seccin transversal de un conector sometido a cortante ....... 804.3. rea requerida para resistir aplastamiento........................................... 814.4. rea requerida para resistir el cortante causado por carga axial ............ 81

5. Problemas propuestos ................................................................................... 886. Propiedades mecnicas de los materiales ....................................................... 967. Pruebas de tensin y compresin................................................................... 968. El diagrama de esfuerzo-deformacin unitaria ................................................ 98

8.1. Comportamiento elstico .................................................................... 998.2. Fluencia........................................................................................... 1008.3. Diagrama real de esfuerzo-deformacin unitaria ................................ 101

9. Relacin de Poisson .................................................................................... 1039.1. El diagrama de esfuerzo-deformacin unitaria en cortante.................. 106

10. Deformacin elstica de un miembro cargado axialmente.............................. 11110.1. Carga y rea transversal constantes .................................................. 11110.2. Convencin de signos....................................................................... 112

11. Problemas propuestos ................................................................................. 119

Unidad V: FLEXIN

1. Deformacin por flexin de un miembro recto .............................................. 1211.1. La frmula de la flexin .................................................................... 125

2. Problemas propuestos ................................................................................. 138

Unidad VI: COLUMNAS

1. Introduccin ............................................................................................... 1432. Razn de esbeltez....................................................................................... 143

2.1. Longitud real, L................................................................................ 1442.2. Factor de fijacin de los extremos, K ................................................. 144

2.3. Longitud efectiva, Le. ....................................................................... 1462.4. Radio de giro, r ................................................................................ 1463. Resumen del mtodo para calcular la razn de esbeltez ................................ 148


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4. Razn de esbeltez de transicin ................................................................... 1484.1. Cundo se considera larga una columna? ......................................... 1484.2. Frmula de Euler para columnas largas.............................................. 150

4.3. Frmula de J. B. Johnson para columnas cortas.................................. 1514.4. Factores de diseo para columnas y carga permisible ......................... 1514.5. Resumen-mtodo de anlisis de columnas ......................................... 152

5. Perfiles eficientes para secciones transversales de columna ........................... 157

Unidad VII: CRCULO DE MOHR Y CRITERIOS DE FALLA

1. Crculo de Mohr esfuerzo plano .................................................................... 1631.1. Ecuaciones del crculo de Mohr.......................................................... 1631.2. Dos formas del crculo Mohr .............................................................. 1651.3. Construccin del crculo de Mohr ....................................................... 166

1.4. Esfuerzos sobre un elemento inclinado............................................... 1681.5. Esfuerzos principales......................................................................... 1711.6. Esfuerzos cortantes mximos ............................................................ 1721.7. Convencin alternativa de signos para los esfuerzos cortantes ............ 1731.8. Comentarios generales sobre el crculo .............................................. 174

2. Teoras de falla ........................................................................................... 1762.1. Cargas repetidas y fatiga................................................................... 176


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1

Unidad I

EESSTTTTIICCAADDEELLAAPPAARRTTCCUULLAA

1. REPRESENTACIN VECTORIAL DE FUERZAS

Las FUERZAS se pueden representar a travs de VECTORES los cules sonentidades matemticas que poseen:

Norma o Mdulo del Vector: es la magnitud o tamao de la flecha. Direccin: es el ngulo que forma la lnea de accin del vector con respecto a

un eje de referencia. Sentido: es la orientacin de la flecha.

Es importante indicar que el punto donde se origina el Vector se llama PUNTO DEAPLICACIN.

Figura 1.1

Las operaciones que se pueden realizar con los Vectores son las siguientes:

1. Suma y Resta Vectorial2. Descomposicin Vectorial3. Producto de un Escalar por un Vector4. Producto Escalar de Vectores (tambin llamado producto punto)5. Producto Vectorial de Vectores (tambin llamado producto cruz)

Todas estas operaciones tienen aplicaciones en la Mecnica. La suma, resta ydescomposicin vectorial se utilizan al aplicar la primera condicin de equilibrio.

5 Kg.

0


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El producto de un vector por un escalar y el producto cruz se utilizan al aplicar lasegunda condicin de equilibrio a cuerpos rgidos sea en esttica tridimensional.Y finalmente el producto escalar de vectores se utiliza para determinar el trabajo

realizado por una partcula en una trayectoria curvilnea.

Es importante que el alumno aprenda las operaciones vectoriales bsicas parapoder aplicar estas tcnicas en problemas reales. La ventaja de la mecnicavectorial es que es un mtodo generalizado bajo las reglas operativas entrevectores, lo cual puede despojar de los complejos ropajes que un problemapuede llevar y permite que veamos la esencia del mismo. Si bien los vectoresson entes matemticos abstractos sus aplicaciones son muy tiles a situacionesprcticas como ya se ver ms adelante.

2. OPERACIONES VECTORIALES

2.1. SUMA Y RESTA DE DOS VECTORES

Se define la suma vectorial como el reemplazo de un conjunto devectores que se estn "sumando" por otro nico vector al cual se ledenomina "resultante" y que fsicamente produce el mismo efecto que losvectores sumados. Existen varios mtodos para determinar la resultante,geomtricos y analticos.

2.2. MTODOS GEOMTRICOS

2.2.1. POR TRIANGULACIN

a. Suma:

b. Resta:

Figura 1.2

A

-BR = A + (-B)

A

B

A

B

R = A + B

A

B


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3

2.2.2. MTODO DEL PARALELOGRAMO

a. Suma:

b. Resta:

Figura 1.3

2.3. MTODOS ANALTICOS

a. Suma:

Figura 1.4

R2= A2+ B2 2AB Cos (180 - )Cos (180 - ) = - cos R2= A2+ B2+ 2AB Cosb. Resta:

R

2

= A

2

+ B

2

2AB CosFigura 1.5

A

B R = A + B

A

B

A

BR = A -B

A

B

A

B

R

180

A

B

R

A

A

- B


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2.4. DESCOMPOSICIN VECTORIAL

La descomposicin vectorial es la operacin inversa a la suma de dos

vectores. Es decir que consiste en separar o descomponer un vector endos vectores tales que sumados vectorialmente den como resultado elvector que se quiere descomponer. La descomposicin de un vector endos dimensiones se puede realizar sobre cualquier par de rectas noparalelas.

Figura 1.6

Pero la descomposicin que cobra importancia es aquella cuando entre las rectas

de descomposicin existe un ngulo recto de separacin; a este tipo dedescomposicin se le llama DESCOMPOSICIN EN COMPONENTESRECTANGULARES.

Figura 1.7

P = F

Q = F

VECTOR: F= Fx i+ Fyj

COMPONENTE EN EL EJE "x": Fx = FcosCOMPONENTE EN EL EJE "y": Fy = Fsen

MDULO: FDIRECCIN: ( medido siempre desde "+x")

VECTOR UNITARIO EN "X": iVECTOR UNITARIO EN "Y": j


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2.5. SUMA DE TRES O MS VECTORES

Cuandose suman tres o ms vectores se procede de la siguiente manera:

1. Se descomponen todos los vectores en sus componentesrectangulares. La direccin siempre se debe tomar respecto al eje"+x".

2. Se suman algebraicamente las componentes a lo largo de cada eje.As se tienen las resultantes a lo largo de cada eje:

3. La resultante Vectorialmente es:

4. El mdulo y direccin de este vector son:

EJEMPLO:Determine la resultante de los siguientes vectores.

Figura 1.8

--

A

B

C

x

y

Rx = Vx

Ry = Vy

F= Rx i+ Ry

22

RyRxR +=

Rx

Ryarctg=


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Paso 1 Descomponer en las componentes rectangulares.

A = Ax i+ Ayj= A cos i+ A sen j

B = Bx i+ Byj= B cos i + B sen j C = Cx i+ Cyj= C cos (-)i+ C sen (-)j

Paso 2 Sumar algebraicamente las componentes.

Rx = Ax + Bx +Cx Ry = Ay + By + Cy

Paso 3 La resultante vectorial es:

R= Rx i + Ryj

Paso 4EL mdulo y direccin son:

22RyRxR +=

Rx

Ryarctg=

3.

PRIMERA CONDICIN DE EQUILIBRIO - BIDIMENSIONAL

Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio esttico la suma de todas lasfuerzas que actan sobre l debe ser nula. A este criterio se le conoce comoPRIMERA CONDICIN DE EQUILIBRIO. Est condicin es necesaria pero nosuficiente cuando se analizan cuerpos rgido cuyas fuerzas no son concurrentesen un mismo punto, sino son fuerzas en un mismo plano. Para cuerpos rgidosen donde todas las fuerzas se aplican en un mismo punto, se dice que se leconsidera como una PARTCULA y la primera condicin de equilibrio en esoscasos es suficiente para lograr el equilibrio esttico.

La Primera condicin de equilibrio en forma Vectorial es:

La cual para aplicaciones prcticas se descompone en el plano en:

F = 0

Fx = 0

F = 0


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Figura 1.9a Fuerzas Concurrentes Figura 1.9b Fuerzas en el Plano

Figura 1.9

4. PRIMERA CONDICIN DE EQUILIBRIO- TRIDIMENSIONAL

La forma vectorial de la primera condicin de equilibrio es la ms apropiada enel caso de problemas tridimensionales. El procedimiento es el siguiente:

Paso 1:determine el vector de direccin de la fuerza. Utilice las medidas de la

geometra del problema.

Paso 2:Determine el vector unitario de direccin de la fuerza.

Vector de Direccin AB= dx i+ dyj+ dz k

Medida en el eje "x": dx

Medida en el eje "y": dy

Medida en el eje "z": dz

Vector Unitario de Direccin AB= . AB .AB

Vector de Direccin: ABMdulo del Vector Direccin: AB= dx + dy + dz

RA RB

BA

FL/2 L/2


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Paso 3:La fuerza en forma vectorial ser:

Paso 4:Aplique la PRIMERA CONDICIN DE EQUILIBRIO en forma vectorial.

Normalmente despus de aplicar la primera condicin de equilibrio, queda unsistema de 3 ecuaciones con tres incgnitas el cul se puede resolver porcualquier mtodo algebraico o matricial.

Problema 01

Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho mostrado en la figura.Sabiendo que P tiene un valor de 60 libras y Q tiene un valor de 25 libras,determine grficamente la magnitud y direccin de su resultante usando:

la ley del paralelogramo. la regla del triangulo.

Figura 1.10

F = 0

Fuerza Vector: F =FAB

Mdulo de la Fuerza: F

Vector Unitario de Direccin: AB


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Problema 02

La fuerza de 200 N se descompone en componentes a lo largo de las lneas a-a y

b-b.

Determine que la componente a lo largo por trigonometra el ngulo sabiendo que la componente a lo largo de b-b es de 120 N.

Determinar el valor correspondiente de la componente a lo largo de a-a.

Figura 1.11

Problema 03

Un cable telefnico se fija en A al poste AB. Sabiendo que la tensin T1 en laparte izquierda del cable es de 800 libras, determinar:

La tensin T2requerida en la parte derecha del cable si la resultante Rde lasfuerzas ejercidas en A debe ser vertical.

La magnitud correspondiente de R.

Figura 1.12


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Problema 04

Los elementos estructurales A y B estn remachados al apoyo mostrado en la

figura. Si se sabe que ambos elementos estn en compresin y que la fuerza enel elemento A es de 15 kN, y en el elemento B es de 15kN, determine portrigonometra la magnitud y direccin de la resultante de las fuerzas aplicadas alapoyo por los elementos A y B.

Figura 1.13

Problema 05

Determine las componentesxyyde acuerdo a la figura mostrada.

Figura 1.14


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Problema 06

Determine las componentesxyyde acuerdo a la figura mostrada.

Figura 1.15

Problema 07

El elemento CB de la prensa de banco mostrada en la figura, reejerce sobre elbloque B una fuerza P dirigida a lo largo de la lnea CB. Si se sabe que lacomponente horizontal de P tiene una magnitud de 1200 N, determinar:

La magnitud de la fuerza P. La componente vertical.

Figura 1.16


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Problema 08

El elemento BD ejerce una fuerza P sobre ele elemento ABC la cual esta dirigida

a lo largo de BD. Sabiendo que P debe tener una componente vertical de 240libras, determine:

Magnitud de la fuerza P. Componente vertical.

Figura 1.17

Problema 09

Sabiendo que tiene un valor de 35, determinar la resultante de las tresfuerzas mostradas.

Figura 1.18


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13

Problema 10

Sabiendo que tiene un valor de 40, determinar la resultante de las tres

fuerzas mostradas

Figura 1.19

Problema 11

Sabiendo que tiene un valor de 20, determinar:

La pensin en el cable AC. La cuerda BC.

Figura 1.20


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Problema 12

Sabiendo que tiene un valor de 55 y que el mstil AC ejerce sobre la

articulacin C una fuerza dirigida a lo largo de la lnea AC, determinar:

la magnitud de esta fuerza. la tensin en el cable BC.

Figura 1.21

Problema 13

La conexin soldada de la figura se encuentra en equilibrio sometida a la accinde cuatro fuerzas. Sabiendo que Fa tiene un valor de 8kN y Fb tiene un valor de16kN, determinar la magnitud de las otras fuerzas.

Figura 1.22


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Problema 14

Para la figura del problema anterior la conexin soldada se encuentra se

encuentra en equilibrio, sometida ala hacino de cuatro fuerzas. Sabiendo que fatiene un valor de 5kN y Fd tiene un valor de 6 kN, determinar la magnitud de lasotras fuerzas.

Problema 15

Las fuerzas P y Q se aplican al componente de una pieza de ensamble de unavin, como se muestra en la figura. Sabiendo que P tiene un valor de 500 librasy Q de 650 libras, y que la pieza de ensamble se encuentra en equilibrio,

determine las magnitudes de las fuerzas que actan sobre las barras A y B.

Figura 1.23

Problema 16

Para la figura del problema anterior, las fuerzas P y Q se aplican al componentede una pieza de ensamble de un avin, si se sabe que la pieza de ensamble se

encuentra en equilibrio y que las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre lasbarras A y B son Fa de 750 libras y Fb de 400 libras, determinar las magnitudesde P y Q.

Problema 17

Dos cables se amarran juntos en C y se cargan como se muestra en la figura.Sabiendo que Q es 60 libras, determinar:

la tensin en el cable AC. La tensin en el cable BC.


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Figura 1.24

Problema 18

Dos cables se amarran en C y se cargan como se muestra en la figura. Sabiendoque la pensin mxima permisible en cada cable es 800N, determine:

la magnitud de la mxima fuerza P que puede ser aplicada en C. el valor correspondiente de .

Figura 1.25

Problema 19

El collarn A esta conectado a una carga de 50 libras y se puede deslizar sinfriccin sobre la barra horizontal, de acuerdo a la figura adjunta. Determine lamagnitud de la fuerza P requerida para mantener al collarn en equilibrio cuandox tiene un valor de 4.5 pulgadas y cuando x tiene un valor de 15 pulgadas.


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Figura 1.26

Problema 20

Una carga de 160 kilogramos esta sostenida por el sistema de poleas y cuerdasmostradas en la figura. Sabiendo que tiene un valor de 20, determine lamagnitud y la direccin de la fuerza P que debe aplicarse en el extremo libre dela cuerda para mantener al sistema en equilibrio.

Figura 1.27

Problema 21

Una caja de madera de 600 libras esta sostenida por varios arreglos de poleas ycuerdas, como se muestra en la figura. Determinar para cada arreglo la pensinen la cuerda.


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Figura 1.28

Problema 22

El tirante de una torre esta anclado por medio de un perno en A. La tensin endicho cable es de 2500 N, determine:

las componentes Fx, Fy, Fzde la fuerza que acta sobre el perno. Los ngulos x, y, z, que definen la direccin de dicha fuerza.

Figura 1.29


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Figura 1.30

Problema 23

Un cilindro de 200 kilogramos esta colgado por medio de dos cables AB y AC, loscuales estn unidos a la parte superior de una pared vertical. Una fuerzahorizontal P, perpendicular a la pared, mantiene al cilindro en la posicinmostrada. Determine la magnitud de P y la tensin en cada cable.

Figura 1.31


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20

Figura 1.32

Problema 24

La caja que se muestra en el problema pesa 800lb. Determine las tensiones encada una de las cuerdas.

Figura 1.33


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Unidad II

EEQQUUIILLIIBBRRIIOODDEECCUUEERRPPOOSSRRGGIIDDOOSS

1. SISTEMA EQUIVALENTE DE FUERZAS

Las fuerzas que actan sobre un cuerpo rgido se pueden separar en 2 grupos:

Fuerzas internas, mantienen unidas las partculas que conforman el cuerpo

rgido.

Si el cuerpo rgido est constituido estructuralmente por varias partes, las fuerzasque mantienen unidas a dichas partes tambin se definen como fuerzas internas.Ejemplo: para los elementos de madera, las fuerzas internas son RB,RC,RE.

Figura 2.1

Fuerzas externas, representan la accin que ejercen otros cuerpos sobre elcuerpo rgido bajo consideracin. Causarn que el cuerpo se mueva oasegurarn que ste permanezca en reposo.

Figura 2.2


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2. PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD

De acuerdo a este principio, el efecto de una fuerza externa sobre un cuerpo

rgido permanece invariable si dicha fuerza se traslada a lo largo de su lnea deaccin.

Las dos fuerzas (F y F) de la figura, tienen el mismo efecto sobre el cuerporgido si es que tienen la misma magnitud, la misma direccin, el mismo sentidoy la misma lnea de accin. Aquellas fuerzas se dice que son equivalentes.

Figura 2.3

En el caso de cuerpos rgidos, el punto de aplicacin de una fuerza no esimportante, siempre y cuando su lnea de accin permanezca inalterada. Estasfuerzas se representan por una clase de vector diferente, el vector deslizante.Ejemplo: F = F.

Figura 2.4

2.1. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

El producto vectorial de dos vectores P y Q se define como el vector V,que satisface las siguientes condiciones:

Figura 2.5

V= P x Q

P

Q


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La lnea de accin deVes perpendicular al plano que contiene a Py aQ.

La magnitud deVest dada por la siguiente relacin:

V= PQsen ; 180.

Expresin matemtica:V= Px Q

El sentido de V se obtiene a partir de la regla de la mano derecha.(Cierre su mano derecha de tal manera que estando ubicado sobre elpunto de aplicacin deV, pueda observar el alineamiento del vector Pcon el vector Q, a travs de la rotacin del ngulo en sentidoantihorario).

Figura 2.6

Los tres vectores P, Qy V-tomados en ese orden- forman una triada aderechas.

El producto vectorial no cumple la propiedad conmutativa:Q xP= -(Px Q)

El producto vectorial cumple la propiedad asociativa:Px (Q1+Q2) = Px Q1+ Px Q2

El producto vectorial no cumple la propiedad distributiva:(Px Q) x SPx (Qx S)

2.2. PRODUCTO VECTORIAL EXPRESADO EN TRMINOS DECOMPONENTES RECTANGULARES

Partiremos recordando el producto vectorial de los vectores unitarios:

i x i=jxj= kx k= 0ixj= k , jx k= i , kx i=j , i x k= - j , jx i= - k, kxj= - i.El producto de 2 vectores unitarios ser positivo si stos se siguen

uno a otro en sentido antihorario y ser negativo si stos se siguen en

sentido horario.

ik

j


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Las componentes rectangulares del producto vectorialVde 2 vectores PyQse determinan como sigue:Dados:

P= Pxi+ Pyj+ Pzk; Q= Qxi+ Qyj+ QzkTenemos: V= Px Q= (Pxi+ Pyj+ Pzk) x (Qxi+ Qyj+ Qzk)Resolviendo: V= (PyQz- PzQy)i+ (PzQx- PxQz)j+ (PxQy- PyQx)k

Pudiendo expresarse tambin como determinante:

V= Px Q=

zyx

zyx

QQQ

PPP

kji

Componentes rectangulares: V= Vxi+ Vyj+ VzkDonde: Vx= PyQz- PzQy

Vy= PzQx- PxQzVz= PxQy- PyQx

3. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO

El momento de una fuerza Frespecto a un punto Oes el producto vectorial de

dos vectores, el vector de posicin r que multiplica al vector Fuerza F,o sea:

..... (1)

El vector momento Mo es otro vector,perpendicular al plano formado por los vectores ryF. El sentido del vector momento est dado por laregla de la mano derecha.

Figura 2.7Para calcular el vector momento se hace uso del siguiente determinante:

...... (2)

Mo=rx F

i j k

Mo= rx ry rz

Fx Fy Fz


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Donde:

i, j, k: vectores unitarios de los ejes x, y, z respectivamente.

rx, ry, rz: componentes del vector de Posicin.Fx, Fy, Fz: componentes del vector Fuerza.

La magnitud del momento de la fuerza Frespecto al punto Opuede expresarsecomo:

...... (3)

Donde des la distancia perpendicular desde el punto Oa la lnea de accin de F.

3.1.

COMPONENTES RECTANGULARES DEL MOMENTO DE UNAFUERZA

Las componentes rectangulares del momento Mode una fuerza Fpuedenescribirse en forma de determinante:

Figura 2.8

Donde: Mx= yFz- zFyMy= zFx- xFzMz= xFy- yFx

En el caso ms general, para calcular el momento respecto a un punto Bde una fuerza Faplicada enA, se debe reemplazar el vector de posicin rpor un vector trazado desde B hasta A. Este vector es el vector de

posicin de Arelativo a By se representa por rA/B, el mismo que puedeobtenerse restando rBde rA.

Mo=rFsen = Fd

i j k

Mo= rx F= x y z = Mxi+ Myj+ Mzk

Fx Fy Fz


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Figura 2.9

Donde:rA/B= xA/Bi+ yA/Bj+ zA/Bk

con: xA/B= xA- xB yA/B= yA- yB zA/B= zA- zB

3.1.1. MOMENTO DE UN PAR

Se dice que 2 fuerzas F y -F que tienen la misma magnitud,lneas de accin paralelas y sentidos opuestos forman un par ocupla. Obviamente, la suma del as componentes de las 2fuerzas en cualquier direccin es igual a cero. Sin embargo, la

suma de los momentos de las 2 fuerzas con respecto a unpunto dado no es cero. Aunque las 2 fuerzas no originarn unatraslacin del cuerpo sobre el que estn actuando, stas sitendern a hacerlo rotar.

El momento Mde una cupla es independiente del punto en elcual se aplica, es un vector libre.

Su magnitud est dada por: M = Fd;donde des la distancia perpendicular entrelas lneas de accin de Fy -F.

i j k

MB= rA/Bx F= xA/B yA/B zA/B = (rA-rB) x F

Fx Fy Fz

A(x A, yA, z A)

x

y

Fx i

Fzk

Fyj

O

r

z

B(x B, yB, z B)


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Figura 2.10

(a) fuerzas que forman el par o cupla.(b) el momento Mes un vector perpendicular al plano queContiene las 2 fuerzas.

(c) el punto de aplicacin de Mpuede ser desplazado sinAfectar su magnitud.

(d) el momento Mse puede descomponer en sus componentesRectangulares.

3.1.2. SISTEMA FUERZA PAR

Cualquier fuerza Fque acte sobre un cuerpo rgido puede sertrasladada a un punto arbitrario O siempre y cuando seagregue un par cuyo momento sea igual al momento de Fconrespecto a O. El sistema fuerza-par obtenido consta de unvector de fuerza Fy de un vector de par Moperpendicular a F.

Figura 2.11

Por el contrario, cualquier sistema fuerza-par que conste de unafuerza F y de un vector de par Mo que sean mutuamenteperpendiculares, puede ser reemplazado por una sola fuerzaequivalente. Esto se logra moviendo la fuerza F en el planoperpendicular hacia Mohasta que su momento con respecto a

O, sea igual al momento del par que se desea eliminar.


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Ejemplo: Determine el momento de la tensin TCD= 343 N dela figura respecto al apoyo "B".

Figura 2.12


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4. REACCIONES EN LOS APOYOS

Todo punto de apoyo de un cuerpo rgido por accin del peso propio o de cargas

externas, produce fuerzas de reaccin en virtud de la tercera ley de Newton. Esmuy importante poder reconocer de acuerdo al tipo de apoyo, las reacciones queestarn presentes.

Figura 2.13 APOYOS Y CONEXIONES BIDIMENSIONALES.


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Figura 2.14 APOYOS Y CONEXIONES TRIDIMENSIONALES.


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5. SEGUNDA CONDICIN DE EQUILIBRIO

En la unidad 01 se desarroll la primera condicin de equilibrio como una

condicin necesaria pero no suficiente en el caso de fuerzas en el plano o en elespacio. Para garantizar el equilibrio en un cuerpo rgido tambin se debe cumplircon LA SEGUNDA CONDICIN DE EQUILIBRIO que fundamenta que para que uncuerpo se encuentre en equilibrio esttico la suma de todos los momentos queactan sobre l debe ser nula.

...... (4)

Esta expresin vectorial se puede descomponer en tres expresiones equivalentes:

...... (5)

6. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RGIDO

Un cuerpo rgido para estar en equilibrio esttico completo debe cumplir con lasdos condiciones de equilibrio:

Las cuales se pueden descomponer en seis ecuaciones equivalentes (ylgicamente el mximo de incgnitas que pueden existir son seis):

Existe una desventaja aparente en el momento de realizar el anlisis de laesttica en forma vectorial, porque quedar un sistema de 6 ecuacionessimultneas con 6 incgnitas y eso puede ser engorroso y llevarnos a erroresdurante el procedimiento de clculo si se hacen las operaciones en forma

manual; pero si se hace uso de una calculadora para resolver el sistema en

M = 0

Mx = 0

My = 0

My = 0

M = 0F = 0

Mx = 0My = 0

My = 0

Fx = 0Fy = 0

Fz = 0


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forma directa entonces el mtodo vectorial realmente mostrar toda su potenciay simplicidad.

Ejemplo: Un letrero de 480lb est apoyado en una rtula en "A" y sujetado pordos cables como se muestra en la figura. Determine la reaccin en "A" y lastensiones en los cables.

Figura 2.15

7. ANLISIS POR PLANOS

Una forma de realizar el anlisis esttico de un cuerpo rgido sin recurrir almtodo de la mecnica vectorial es realizar un anlisis por planos y luego sumarlos efectos conjuntos de las reacciones aplicando el teorema de Pitgoras.

Ejemplo 1: Un rbol se apoya dos cojinetes en "A" y "D" Los carretes en "B" y"C" tienen 40mmy 55mm de radio respectivamente. Si sabe que la tensin TB=150N, determine la tensin Tc y las reacciones en los cojinetes "A" y "D".

Figura 2.16


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8. EJERCICIOS

Problema 1

Un tensor AB se usa para tensar cables a un poste. Sabiendo que la tensin en elcable BC es de 1040N y que la longitud d es de 1,90m determine el momentocon respecto al punto D, de la fuerza ejercida por el cable en C mediante ladescomposicin en sus componentes horizontal y vertical de la fuerza aplicadaen:

El punto C. El punto E.

Figura 2.17

Problema 2Tres trabajadores tratan de mover una caja de madera de 1x1x1,2m aplicandolas 3 fuerzas horizontales mostradas en la figura.

Si P = 240N, reemplace las 3 fuerzas por un sistema equivalente fuerza-paren A.

Reemplace el sistema fuerza-par del inciso a) por una sola fuerza resultante ydetermine en qu lugar del lado AB se debe aplicar.

Determine la magnitud de P, de tal forma que las 3 fuerzas puedan serreemplazadas por una sola fuerza resultante aplicada en B.

Figura 2.18


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Problema 3Un mecnico est reemplazando el sistema de escape de un automvil sujetandofirmemente el convertidor cataltico FG a los soportes de sujecin ubicados en H

e I para aflojar el ensamble del mofle y el tubo de escape. Para colocar el tuboterminal AB, el mecnico lo empuja hacia adentro y hacia arriba en A mientrastira hacia abajo en B.

Reemplace el sistema de fuerzas dado por un sistema equivalente fuerza-par

en D.

Determine si el tubo CD tiende a rotar a favor o en contra del movimiento delas manecillas del reloj relativo al mofle DE, tal y como lo ve el mecnico.

Figura 2.19

Problema 4Un carretn se emplea para mover dos barriles con 40kg de masa cada uno. Sintomar en cuenta la masa del carretn, determnese:

La fuerza vertical P que debe aplicarse en el manubrio del carretn paramantener el equilibrio cuando =35.

La reaccin correspondiente en cada una de las 2 ruedas.

Figura 2.20


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Problema 5Una mnsula movible se mantiene en reposo mediante un cable unido a E y losrodillos sin friccin mostrados en la figura. Sabiendo que el ancho del poste FG

es ligeramente menor que la distancia entre los rodillos, determnese las fuerzasejercidas sobre el poste por cada rodillo cuando =20.

Figura 2.21

Problema 6Determnense las reacciones en A y B cuando =50.

Figura 2.22

Problema 7Dos bandas de transmisin pasan sobre discos soldados a un eje que se sostienemediante cojinetes en B y D. Si el disco en A tiene un radio de 2,5in y el disco enC tiene un radio de 2in y si se conoce que el sistema gira con una velocidadangular constante, determnese:

La tensin T. Las reacciones en B y D. Supngase que el cojinete en D no ejerce ninguna

fuerza de empuje axial e ignrese el peso del eje y de los discos.


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Figura 2.23

Problema 8

La placa ABCD, de 50kg de peso se sostiene por medio de visagras a lo largo dellado AB y mediante un alambre CE. Sabiendo que la placa es uniforme,determnese la tensin en ele alambre.

Figura 2.24

Problema 9Una fuerza P se aplica sobre la barra doblada ABC la cual puede sostenerse en 4

formas diferentes como se muestra en la figura. De ser posible, determnense lasreacciones en los apoyos para cada caso.

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