La resolución de problemas y el uso de tareas en la enseñanza de las matemáticas

8/6/2019 La resolucin de problemas y el uso de tareas en la enseanza de las matemticas

1/38

Disponible en: http://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=40516672004

RedalycSistema de Informacin Cientfica

Red de Revistas Cientficas de Amrica Latina, el Caribe, Espaa y Portugal

Seplveda Lpez, Armando; Medina Garca, Cynthia; Seplveda Juregui, Diana Itzel

La resolucin de problemas y el uso de tareas en la enseanza de las matemticas

Educacin Matemtica, vol. 21, nm. 2, agosto, 2009, pp. 79-115

Santillana

Distrito Federal, Mxico

Cmo citar? Nmero completo Ms informacin del artculo Pgina de la revista

Educacin Matemtica

ISSN (Versin impresa): 1665-5826

[email protected]

Santillana

Mxico

www.redalyc.orgProyecto acadmico sin fines de lucro, desarrollado bajo la iniciativa de acceso abierto
http://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=40516672004http://redalyc.uaemex.mx/principal/ForCitArt.jsp?iCve=40516672004http://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/IndArtRev.jsp?iCveNumRev=16672&iCveEntRev=405http://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=40516672004http://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/HomRevRed.jsp?iCveEntRev=405http://redalyc.uaemex.mx/http://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/HomRevRed.jsp?iCveEntRev=405http://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=40516672004http://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/HomRevRed.jsp?iCveEntRev=405http://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=40516672004http://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/IndArtRev.jsp?iCveNumRev=16672&iCveEntRev=405http://redalyc.uaemex.mx/principal/ForCitArt.jsp?iCve=40516672004http://redalyc.uaemex.mx/


2/38

L eolun e oble

y el uo e te en l enenze l tetano selve Lez, cynth men g

y dn itzel selve Jueu

reuen:En este artculo se analizan algunos aspectos que ha tenido el desa-rrollo de la resolucin de problemas en la educacin matemtica y algunas de las

acciones cruciales que conducen a su solucin. Se informa el trabajo realizado porestudiantes de bachillerato cuando se enfrentaron a un conjunto de problemaso tareas que involucraron diferentes mtodos de solucin en un escenario deinstruccinbasadoenresolucindeproblemas.Durantesuimplementacin,losestudiantes trabajaron en pequeos grupos, presentaron y defendieron sus ideasfrente al grupo completo y revisaron sus intentos de solucin como resultado decrticas y opiniones que se dieron durante sus presentaciones y discusiones enclase. En este contexto, los estudiantes exhibieron diferentes niveles de entendi-miento que les permitieron ir comprendiendo las ideas fundamentales asociadas

con la solucin y, finalmente, resolvieron las tareas.Palabras clave: resolucin de problemas, tareas, comprensin, ciclos de

entendimiento, instruccin.

poble olvn n the ue of tk n the tehn of thet

abtt:Inthisarticlesomeaspectsrelatedtothedevelopmentoftheresolutionofproblemsinthemathematicaleducationareanalyzedaswellassomeofthecrucialactionsthatleadtotheirsolutions.Itisreportedtheworkcarriedoutbyhighschoolstudentswhentheyconfrontedasetofproblemsortasksinvolvingdif -

ferent methods of solutions in an instructional environment focused on the resolu-tionofproblems.Duringtheimplementation,thestudentsworkedinsmallgroups,presentedtheirideastotheclassanddefendedthem,andtheyrevisedtheirownattempts of solution as a result of the critics and opinions that occurred throughtheirpresentationsanddiscussionsinclass.Inthiscontext,thestudentsexhibiteddifferentlevelsofunderstandingthatallowedthemtocomprehendthefundamen-talideasassociatedwiththesolutionand,eventually,theysolvedthetasks.

Fechaderecepcin:5deseptiembrede2008.

Educacin MatEMtica, vol. 21, nm. 2, agosto de 2009, pp. 79-115 79


3/38

80 Educacin MatEMtica, vol. 21, nm. 2, agosto de 2009


Keywords:resolution of problems, tasks, understanding, understanding cycles,instruction.

introduccin

Sin duda, la resolucin de problemas es la lnea sobre la que se han centrado elmayor nmero de esfuerzos, tanto por lo escrito sobre el tema como por el desa-rrollodeproyectosdeinvestigacinenlosltimos30aosy,enconsecuencia,la que mayor impulso ha proporcionado a la educacin matemtica. Quizs larazn sea que se nutre de los aspectos esenciales del quehacer matemtico: los

problemas y las acciones tpicas del pensamiento que intervienen en el procesode solucin. El estudio e incorporacin de estos aspectos, as como la puesta enclaro de cmo realizar acciones que contribuyan a la resolucin de los problemas,se debe a George Polya que, debido al acostumbrado fracaso de sus estudiantes enel aprendizaje de las matemticas, se propuso disear un mtodo que pudieraservirles para aprender a resolver problemas, al cual denomin Cmo resolverlo?(Polya,1945),marcandoasunnuevorumboenelestudiodeproblemasrela-cionados con la enseanza y el aprendizaje de las matemticas.

Esapartirdeladcadade1970cuandosereconoceplenamenteeltrabajo

de Polya y surgen estudios, artculos y libros que buscan dar explicaciones a susplanteamientos desde diferentes ngulos. Algunos de ellos son: nctm(1980,2000),Schoenfeld(1985),Santos(2007),Leshet al.(2000),LesteryKehle(2003),sincitar a otros investigadores que se ubican dentro del constructivismo.

Aqu se destacan dos importantes planteamientos surgidos de estos estudios: elprimero se relaciona con el diseo de problemas o tareas que resulten tilesen la enseanza de las matemticas, y el segundo tiene que ver con la imple-mentacin de una forma de instruccin que combine el trabajo colectivo de losestudiantes, en pequeos grupos y en toda la clase, con el individual (Balanced

AssessmentPackagefortheMathematicsCurriculum,1999,2000;nctm, 2000).En este contexto se ubica el presente trabajo; las tareas fueron diseadas paraque los estudiantes expresen lo que saben y estn dispuestos a investigar lo quedesconocen mediante la discusin y el intercambio de experiencias. Nos interesadocumentar el cambio en las maneras de pensar de los estudiantes cuandose enfrentan a problemas de matemticas escolares que involucran diferentesmodos de solucin, mediante una forma particular de instruccin.

Algunas preguntas que guan el desarrollo del estudio son: Qu formas de


4/38

Educacin MatEMtica, vol. 21, nm. 2, agosto de 2009 81

Armando Seplveda Lpez, Cynthia Medina Garca y Diana Itzel Seplveda Juregui

comprensin matemtica y mtodos de solucin aparecen durante los procesosde resolucin de problemas? Qu formas de instruccin favorecen el aprendiza-

je de los estudiantes? Cul es el papel del profesor durante el desarrollo de lassesiones de aplicacin de las tareas? Qu significa que los estudiantes aprendanmatemticas?

Marco terico

ImportancIadelaresolucIndeproblemas

Si bien es cierto que el desarrollo del conocimiento matemtico se debe, en granparte, a la resolucin de los problemas que matemticos y otros cientficos se hanplanteado a lo largo de la historia, no es sino hasta los trabajos de George Polya,en 1945, cuando esta actividad comienza a considerarse importante en la edu-cacin matemtica. Preocupado por el fracaso de la mayora de sus estudiantes

y con la idea inicial de establecer un mtodo que pudiera servirles para aprendermatemticas, Polya (1945) propuso un mtodo que puede ser interpretado comouna propuesta de enseanza, o bien, de aprendizaje. Los argumentos esgrimidosen este mtodo se convirtieron en un paradigma que trajo consecuencias impor-

tantes para la enseanza y el aprendizaje de las matemticas.En efecto, sus planteamientos tericos y metodolgicos se convirtieron en la

lnea de investigacin que mayor progreso y desarrollo han procurado a la edu-cacin matemtica. Pero esto no ocurri inmediatamente, no fue sino hasta ladcada de 1970 cuando empez a reconocerse ampliamente el trabajo de Polya,una vez que la naciente comunidad de educadores matemticos vio en su mto-do una metodologa til para la enseanza y el aprendizaje de las matemticas,estableciendo as una nueva lnea de investigacin y desarrollo. Adems, a Polyase debe la incorporacin de los procesos heursticos y el monitoreo y control

como ingredientes fundamentales en la resolucin de problemas y, por tanto, enla educacin matemtica.

Polya (1945) establece que la resolucin de problemas es una caractersticaesencial que distingue a la naturaleza humana y cataloga al hombre como elanimal que resuelve problemas. Siendo un matemtico productivo, se preocuppor el mal desempeo de sus estudiantes en el aprendizaje de las matemticas,particularmente al resolver problemas. Crea que era posible llevar al saln declases su experiencia como matemtico cuando se encontraba resolviendo


5/38



problemas y, de esta manera, ayudar a los estudiantes (Santos, 2007). Analizlos dilogos que regularmente realizaba consigo mismo, cuando se encontrabainmerso en el proceso de solucin y sistematiz un mtodo que puede ser til alos estudiantes al resolver problemas.

Con l, pretenda dar las herramientas necesarias para incursionar, con sen-tido, en la realizacin de acciones y reflexiones que condujeran a los estudiantesa encontrar la solucin. Propuso que el profesor apoye y oriente inicialmente alos estudiantes a desarrollar los procesos de resolucin de problemas en los queintervienen la heurstica y la reflexin, con la intencin de que despus los estu-diantes puedan seguir por s mismos estos procesos.

Polya (ibid.) distingue cuatro fases en la resolucin de problemas: comprender

el problema, disear un plan; ejecutar el plan y examinar la solucin obtenida.Adems, establece que existen dos tipos de problemas: rutinarios y no rutinarios.Los problemas rutinarios son aquellos que, teniendo inters en resolverlos, el quelos enfrenta encuentra el camino de solucin de manera casi inmediata, no requie-ren un esfuerzo mental extraordinario para visualizar el mtodo, el trazo, el algorit-mo o el lugar donde puede consultarse una idea para su solucin. En cambio, losproblemas no rutinarios requieren esfuerzo y meditacin antes de que se vislumbrealguna idea para la solucin. Esta clasificacin es relativa, pues para algn estu-diante resolver un problema puede significar un esfuerzo demasiado grande, para

otro puede ser menor el esfuerzo realizado, y puede significar un acto de simplerecordatorio para un matemtico talentoso o un estudiante con entrenamiento.

Las acciones fsicas o mentales que contribuyen a encontrar pistas o ideasque ayudan a resolver los problemas fueron identificadas por Polya (ibid.) comoprocesos heursticos; algunas veces son trazos, toma de valores extremos, aplica-cin de resultados conocidos, comparaciones, visualizaciones, descarte de posibili-dades, etc., los cuales necesariamente se combinan con los procesos de reflexin(autorreflexin).

Schoenfeld (1985) profundiza y complementa el trabajo de Polya; incorpora y

justifica la dimensin cognitiva en el proceso de resolucin de problemas. Llamametacognitivos a los procesos de reflexin que estn asociados a las accionesmentales de monitoreo y control que actan implcita y continuamente mientrasse resuelven problemas; es una habilidad que se va desarrollando y ayuda a iden-tificar desviaciones y contradicciones que se cometen en el camino de solucin.Para Schoenfeld, las indicaciones que permiten avanzar en el mtodo propuestopor Polya equivalen a hacer un inventario de lo que el estudiante sabe y de lamanera en la que adquiri los conocimientos.


6/38



Adems, Schoenfeld considera que, para entender el proceso llevado a cabopor quienes resuelven problemas matemticos e incidir en la instruccin, esnecesario considerar la disciplina, la dinmica del saln de clases y el aprendizaje

junto con el proceso de pensar, es decir, se necesita incorporar el conocimientode los matemticos, profesores de matemticas, educadores y especialistas de lasciencias cognitivas.

En diferentes documentos del nctm (1980, 2000) se destaca la importancia deconsiderar la resolucin de problemas como el eje central de las matemticasescolares y se promueve el desarrollo de estudios e investigaciones relacionados conla enseanza y el aprendizaje de las matemticas. Se propone la resolucin deproblemas como una actividad fundamental que los estudiantes deben realizar

de manera individual y colectiva, pues propicia un ambiente para lograr unaprendizaje significativo que implica la intervencin de otros procesos de pensa-miento como son: la bsqueda de conexiones, el empleo de distintas represen-taciones, la necesidad de justificar los pasos dados en la solucin de un problema

y comunicar los resultados obtenidos.Con este tipo de actividades, se espera que los estudiantes desarrollen ciertas

habilidades para el estudio y entendimiento de las matemticas, las cuales estnvinculadas con los aspectos caractersticos del quehacer de las matemticas, esdecir, con acciones cotidianas que realiza una persona que se encuentra inmersa

en resolver problemas. Schoenfeld (1992) identifica estas acciones como las carac-tersticas del pensamiento matemtico: tomar casos particulares, plantear conjetu-ras, descubrir patrones y relaciones, hacer generalizaciones y justificar resultados.

Tambin reconoce que el aprendizaje de las matemticas es un proceso continuoque se ve favorecido en un ambiente de resolucin de problemas, donde los estu-diantes tienen oportunidad de desarrollar modos de pensar consistentes con elquehacer de la disciplina.

As, el reto en la instruccin matemtica es generar condiciones de aprendi-zaje para los estudiantes en las que se reflejen valores propios relacionados con

el desarrollo de la disciplina. En particular, el saln de clases debe promover acti-vidades y hbitos consistentes con la prctica real de la disciplina (Schoenfeld,1992, p. 345).

Para desarrollar los hbitos apropiados y la disposicin para interpretar yencontrar sentido a las ideas matemticas y el desarrollo de modelos apro-piados de pensamiento matemtico, la comunidad de prctica en donde losestudiantes aprenden matemticas debe soportar y desarrollar las maneras de


7/38



pensar de la prctica matemtica. Esto es, el saln de clases debe ser comu-nidades en las que el encontrar sentido a las ideas debe ser lo que se esperaque los estudiantes practiquen.

En este contexto, resulta relevante que los estudiantes adquieran una manerade pensar propia del mtodo inquisitivo. Postman y Weingartner (1969, p. 23)afirman:

El conocimiento se produce en respuesta a preguntas Una vez que [el estu-diante] ha aprendido cmo preguntar preguntas relevantes, apropiadas ysustanciosas, el estudiante ha aprendido cmo aprender y ya nadie lo puede

detener en el camino de seguir aprendiendo lo que necesite y quiera conocer.

En el proyecto curricular del nctm (2000) Principios y estndares para lasmatemticas escolares, se asigna especial inters al estndar de resolucin deproblemas. Cuando los estudiantes aprenden a resolver problemas, desarrollanprocesos de pensamiento ordenados que, poco a poco, se van convirtiendo enuna habilidad para encontrar estrategias adecuadas para determinado tipo deproblemas, lo cual permite el desarrollo de nuevas comprensiones matemticas.Se debe animar e involucrar a los estudiantes en la resolucin de problemas, se debe

propiciar el espritu de aferrarse a encontrar y formular una solucin cuandointentan resolver un problema complejo.

Para aprender a resolver problemas en matemticas, los estudiantes debenadquirir formas de pensamiento, hbitos de persistencia, curiosidad y confianzaen sus acciones para explorar situaciones desconocidas. Esto contribuye a undominio de situaciones similares y a la adquisicin de la capacidad de exteriori-zar ideas matemticas.

La resolucin de problemas no es una parte aislada de la educacin mate-mtica y de los programas de las materias, es una parte fundamental para todo

aprendizaje matemtico (nctm, 2000).El contexto de los problemas puede variar de experiencias que son familiares a

los estudiantes hasta aplicaciones involucradas con las ciencias. La idea es queen los problemas se involucren los conceptos matemticos importantes del cu-rrculo y, si se hace una buena eleccin respecto al nivel y familiaridad con losestudiantes, se pueden lograr avances en el aprendizaje matemtico que, poste-riormente, ser el soporte para atacar y resolver problemas ms complejos. A losprofesores les toca representar el importante papel de elegir problemas que


8/38



valgan la pena, pues su resolucin debe ser til para ayudar a los estudiantes adesarrollar dominios de contenidos con tcnicas especficas.

En general, se acepta que las matemticas nos ayudan a organizar y ordenarnuestros pensamientos, nos hacen competentes tanto para el desarrollo de diver-sas actividades intelectuales como hacia los dems. Sin embargo, a pesar de estospuntos destacables, la mayora de las personas tienen dificultades y muestrandeficiencias en el aprendizaje de las matemticas; algunas de las posibles razonesson: los alumnos no tienen la oportunidad de entender la importancia de lo quesignifica aprender matemticas, el currculo que se ofrece es demasiado rgido y losestudiantes no estn comprometidos con el aprendizaje de las matemticas.

Por su parte, Lester y Kehle (2003) hacen una revisin sobre el uso y el efecto

de la resolucin de problemas en Estados Unidos de 1980 a 2000, y concluyenque estn muy lejos de lograrse los objetivos y metas trazadas por el nctm en 1980,en el sentido de considerar la resolucin de problemas como el eje central de lasmatemticas escolares. Establecen que la naturaleza de la literatura sobre resolu-cin de problemas ha ido cambiando por las contribuciones de Kilpatrick, Silver

y Schoenfeld y se han logrado avances en cuatro aspectos fundamentales:

1. Antes de la dcada de 1980, el enfoque principal de la investigacin secentraba en la determinacin de la dificultad de los problemas conside-

rados aisladamente. Hoy se reconoce que la dificultad, adems de lascaractersticas del problema, tambin depende de la disposicin, creencias

y actitudes que tienen los estudiantes, as como de sus antecedentes yexperiencias.

2. La distincin entre las personas exitosas y las no exitosas para resolverproblemas. En qu se diferencian unas de otras? Schoenfeld (1985) dauna caracterizacin de las personas exitosas para resolver problemas(citado por Lester y Kehle, 2003, p. 507):a) conocen las matemticas de manera diferente de las que no son exitosas;

sus conocimientos estn conectados y compuestos de ricos esquemas;b) suelen enfocar su atencin en las caractersticas estructurales de los

problemas;c) son ms conscientes de sus debilidades y fortalezas para la solucin

de los problemas;d) son mejores para monitorear y regular sus esfuerzos en la resolucin

de problemas, ye) suelen preocuparse ms por obtener soluciones elegantes.


9/38



3. La necesidad de atender la instruccin mediante la resolucin de pro-blemas, ya que sta se ha ido desarrollando por el folklore de ensearmatemticas y no necesariamente de la investigacin. Aqu se destacancinco resultados que valoran este tipo de instruccin (ibid, p. 508):a) los estudiantes deben resolver muchos problemas para desarrollar sus

habilidades;b) la habilidad de resolucin de problemas se desarrolla lentamente en

un periodo prolongado;c) los estudiantes deben creer que la resolucin de problemas es impor-

tante para su maestro;d) la mayora de los estudiantes se benefician de una instruccin planea-

da y sistemtica sobre resolucin de problemas, ye) ensear a los estudiantes estrategias, heursticas y fases de la resolucinde problemas les proporciona habilidades para resolver problemasmatemticos en general.

4. El estudio de la metacognicin en la resolucin de problemas, la cualtiene dos componentes relacionados: el conocimiento propio del individuoes un proceso de pensamiento, y la regulacin y monitoreo (o autocontrol) esuna actividad intrnseca durante el proceso de resolucin de problemas.

Aunque la metacognicin se considera la estrategia naturalmente utiliza-

da en la resolucin de problemas, no se ha resuelto el grado en que ellacontribuye a la solucin de los problemas.

Finalmente, Lester y Kehle (ibid. p. 509) argumentan que la resolucin deproblemas es una actividad del comportamiento humano extremadamente com-pleja, que involucra un esfuerzo que va ms all de recordar hechos o de laaplicacin de procedimientos bien aprendidos; las habilidades involucradas sedesarrollan lentamente en un largo periodo. La resolucin de problemas pareceser funcin de varias categoras de factores interdependientes, como la adqui-

sicin y utilizacin de conocimientos, control, creencias y contextos sociales yculturales.

elusodetareasenlaenseanzadelasmatemtIcas

En los Principios y estndares para las matemticas escolares (nctm, 2000)se plantea como una aspiracin de ese proyecto curricular que los estudiantes se


10/38



ocupen de la resolucin de problemas planteados por el profesor, que debe tenerun conocimiento profundo de las matemticas involucradas, y que ste los ayudea plantear conjeturas interviniendo en momentos clave sin que proporcione ideasque eliminen el reto que representa la tarea. La enseanza y el aprendizaje delas matemticas implican un comportamiento complejo que requiere reflexin

y esfuerzo continuo del profesor para lograr una disposicin de los estudiantes ainvolucrarse en los procesos de resolucin de problemas mediante la utilizacinde tareas. En este sentido, el nctm (2000, pp. 18, 19) plantea:

En la enseanza efectiva, se emplean tareas que poseen cualidades paraintroducir ideas matemticas importantes y para comprometer y retar inte-

lectualmente a los estudiantes. Las tareas seleccionadas pueden despertar lacuriosidad de los estudiantes y atraerlos hacia las matemticas, ya que pue-den ser conectadas con experiencias del mundo real de los estudiantes, y ellopuede originarse en contextos que son puramente matemticos... La solucinde tales tareas puede hacerse desde distintos caminos... Pero estas tareaspor s solas no son suficientes para una enseanza efectiva. Los profesorestambin deben decidir cules aspectos de una tarea deben resaltarse, cmoorganizar y orquestar el trabajo de los estudiantes, cules preguntas haceral considerar una variedad de experiencias y cmo apoyar a los estudiantes

que no han realizado los procesos de pensamiento sin eliminar el reto quecontiene la tarea.

El aprendizaje de las matemticas involucra el desarrollo de cierta disposicinde los estudiantes para explorar e investigar relaciones matemticas, empleardistintas formas de representacin al analizar fenmenos particulares, usar distintostipos de argumentos y comunicar resultados. Esta disposicin matemtica resultarelevante en los procesos de refinar los acercamientos iniciales de los estudiantes.

En esta perspectiva, el nctm (2000) sugiere la importancia de que los estu-

diantes construyan sus conocimientos matemticos al resolver distintos tipos deproblemas que los motiven a expresar lo que saben, los alienten a estar dispues-tos a investigar lo que desconocen e impliquen contenidos fundamentales delcurrculo. Tambin es importante que los profesores ayuden a los estudiantesa plantear conjeturas y apoyen a quienes lo necesitan sin eliminar el reto quecontiene la tarea.

Es decir, implcitamente se adopta una posicin constructivista del apren-dizaje. El sujeto construye su conocimiento en la medida en la que tiene con-


11/38



tacto con los objetos de aprendizaje y adapta sus nuevas experiencias con lasanteriores, lo cual genera una readaptacin de sus estructuras mentales que setraducen como cambios en la manera de pensar sobre dichos objetos y que,necesariamente, se manifiestan a travs de representaciones externas.

Adems, se reconoce que los estudiantes exhiben ciclos o episodios de com-prensin en las distintas fases de resolucin de problemas, lo que les permiterefinar constantemente sus modelos de solucin (Lesh et al., 2000). Esto es,en sus acercamientos, los estudiantes incorporan una diversidad de formasde representacin y generan ciclos de entendimiento que evolucionan a travs desus interpretaciones iniciales, intermedias y finales de las tareas. En general, altrabajar los problemas, los estudiantes muestran varios ciclos de modelacin en

los que sus acercamientos iniciales, descripciones, explicaciones y prediccionesse refinan gradualmente, y se revisan o se rechazan con base en la retroalimen-tacin y discusin de sus ideas dentro de una comunidad.

En la resolucin de problemas, siempre es posible observar varios niveles ytipos de respuesta, una de las cuales es la mejor, dependiendo del propsito y lascircunstancias, y los estudiantes deben adquirir la capacidad de juzgar su valorrelativo o buscar formas alternativas de pensar el problema. De otra manera, elestudiante no tiene modo de saber que debe ir mas all de la forma inicial depensar el problema y tampoco tiene manera de juzgar las ventajas y desventajas

de un modo alternativo de pensar.

cualIdadesasocIadasalosproblemas

A fin de contribuir al diseo de tareas que sirvan para promover el aprendizaje,un grupo de investigadores se ha dedicado a establecer las bases y principiospara su diseo. En los Paquetes de Evaluacin Balanceada (Balanced AssesmentPackage for the Mathematics Curriculum, 1999, 2000), proyecto dirigido por

Schoenfeld, se propone una metodologa para el diseo y la implementacin delas tareas. stas deben tener ciertas cualidades: deben ser fciles de entender yatractivas para los estudiantes de modo que, al tener contacto con ellas, expre-sen lo que saben y estn dispuestos a investigar lo que desconocen mediantela discusin y el intercambio de experiencias; adems, deben incluir contenidosfundamentales del currculo y, por su diseo, debe ser posible recuperar losprocesos de pensamiento realizados por los estudiantes en sus intentos desolucin.


12/38



El diseo de cada tarea contempla varios componentes que orientan a profe-sores y estudiantes respecto al papel que tendrn antes o durante su aplicacin.

As, los componentes de las tareas son: panormica; descripcin de la tarea; ante-cedentes; elementos centrales de ejecucin y condiciones para su empleo.

Por su parte, Lesh establece los principios para la creacin de actividades depensamiento revelador o de generacin de modelos (Lesh et al., 2000). Estasactividades tienen la cualidad de permitir a los estudiantes revelar sus ideasiniciales, despus se presenta un proceso de evolucin que es producto de su in-teraccin con la tarea, con el medio ambiente o con otros compaeros de su salnde clases y el profesor. De esta manera, se extienden sus ideas y las expresan atravs de modelos que son la base de un entendimiento matemtico profundo,

las cuales son incorporadas, de alguna manera, en una diversidad de formas derepresentacin.Es decir, se generan ciclos de entendimiento que evolucionan a travs de sus

interpretaciones iniciales, intermedias y finales, con lo cual se puede percibir elnivel de matematizacin que los estudiantes estn logrando. La identificacinde estos ciclos en trminos de los recursos matemticos, estrategias y represen-taciones genera informacin til para analizar los acercamientos de los estu-diantes en la resolucin de problemas. En particular, Lesh y Kelly (2000) handocumentado que, cuando los estudiantes tratan con tareas o problemas que

les son significativos, desencadenan ideas matemticas fundamentales. Adems,a menudo sus soluciones van ms all de la situacin escolar y, a la larga, cons-truyen modelos para resolver las tareas. De la observacin y anlisis de su trabajosurge un mejor entendimiento de las fortalezas y debilidades de los estudiantes, loscuales capacitan a los profesores para la toma de decisiones instruccionales quecontribuyan a lograr una enseanza ms efectiva.

As, es deseable que los problemas o tareas incluyan cualidades en su diseo,que permitan observar distintos niveles de entendimiento, tanto por los grados deinterpretacin y tipos de acercamiento realizados por los estudiantes como por

el manejo de los recursos y conceptos matemticos. De esta manera, uno de lospropsitos fundamentales de la implementacin de estos problemas o tareas esdesarrollar el poder matemtico de los estudiantes descrito en el nctm (1989, p. 5)como un aspecto que incluye habilidades de los estudiantes para explorar, con-

jeturar y razonar lgicamente, as como la habilidad para usar efectivamente unavariedad de mtodos matemticos en la resolucin de problemas no rutinarios.

Adems, cuando los estudiantes se enfrenten a las tareas, se espera la intervencin y desarrollo de algunos de los procesos descritos por el nctm (2000):


13/38



resolucin de problemas, razonamiento y prueba, comunicacin, conexiones,y representacin, que los conduzcan a resolver dichas tareas y logren as el domi-nio de los temas de matemticas involucrados. Asimismo, se busca fomentar laadquisicin de las habilidades bsicas identificadas como: particularizar, gene-ralizar, descubrir patrones y relaciones, hacer conjeturas y justificar resultados(Schoenfeld, 1992).

En relacin con las caractersticas que deben reunir los problemas, Santos(1997, pp. 283, 284) sugiere algunos criterios sobre su diseo para que ofrezcanun potencial matemtico en el saln de clases:

1. los problemas, sin ser fciles, deben ser accesibles a una gran variedad de

estudiantes con diferentes antecedentes o recursos matemticos;2. los problemas deben demandar de los estudiantes un plan de reflexin,es decir, que no puedan resolverse instantneamente;

3. los problemas deben involucrar varias formas de solucin;4. las soluciones de los problemas pueden permitir y facilitar el uso de las

ideas matemticas;5. los problemas deben servir de plataformas para realizar diversas explora-

ciones matemticas;6. cuando un alumno resuelva un problema, deber ser posible identificar

los procesos y operaciones empleadas, y7. los problemas deben situarse en contextos donde los estudiantes puedan

utilizar o tener acceso a las experiencias y recursos matemticos previa-mente estudiados, con cierta naturalidad...

Metodologa

Este trabajo forma parte de un estudio amplio que se lleva a cabo en el estado

de Michoacn como parte del proyecto de investigacin sobre la implementacin deun conjunto de tareas en las que se promueve la participacin de los estudiantesde bachillerato en procesos de resolucin de problemas. Los primeros resultadosfueron comunicados en Seplveda y Santos (2004). Con el propsito de mostrarel tipo de anlisis al que conduce la implementacin de este tipo de tareas, aquse da cuenta de dos de ellas (Balanced Assessment Package for the MathematicsCirriculum, 1999, 2000): Ordenar un taxi, aplicada a un grupo escolar de 24estudiantes de alrededor de 17 aos de la Escuela Preparatoria Jos Mara


14/38



Morelos; yAzulejos en la cocina, aplicada a un grupo de 20 estudiantes de 16aos del cbtis 149, aplicadas en sesiones de dos horas de clase. El desarrollodel proyecto consta de tres etapas:

Etapa de aplicacin. sta tiene que ver con la instruccin. Varias propuestascurriculares coinciden en sealar la conveniencia de utilizar formas de instruc-cin que combinen el trabajo colectivo de los estudiantes, en pequeos grupos

y en el grupo completo, con el individual, cuya base terica y metodolgica estasociada al aprendizaje cooperativo de Hagelgans et al. (1995).

En este contexto, se utilizar la forma particular de instruccin propuesta porSeplveda y Santos (2006, p. 1394), la cual consta de cinco pasos:

Actividad previa. El profesor da al grupo una breve introduccin a la tarea,con el propsito de ubicar a los estudiantes en contextos similares al dela tarea; destacando la importancia que representa su participacin en eldesarrollo de la sesin.

Trabajo en equipos. Los estudiantes se organizan en equipos de tres, procuran-do que en cada uno haya estudiantes con distintos niveles de desempeoque tengan la posibilidad de interactuar entre ellos y los dems equipos, ascomo de expresar y comunicar sus ideas. Al concluir el periodo de tiempo

asignado al trabajo por equipos, cada uno de ellos entrega su informe desolucin.

Presentaciones. Cada equipo presenta a toda la clase su solucin a la tarea,permitiendo que los miembros de los dems equipos pregunten libremen-te a quienes exponen.

Discusin colectiva. El profesor promueve la discusin colectiva entre losestudiantes, con la idea de analizar ventajas y desventajas de los diferentesmtodos de solucin presentados y, cuando es necesario, realiza una siste-matizacin de las ideas e identifica posibles extensiones del problema.

Trabajo individual. Enseguida, a partir de la discusin colectiva, los estu-diantes tienen la posibilidad de volver a la actividad y aplicar los nuevosentendimientos que se generaron como producto de la interaccin yabordan individualmente la tarea.

Etapa de entrevistas. Como resultado de la observacin del trabajo en equi-pos, de las presentaciones y de la discusin colectiva, se entrevist a algunosestudiantes que mostraron un comportamiento de inters para la investigacin.


15/38



Las entrevistas fueron del tipo no estructurada y se abordan aspectos en los que losestudiantes tuvieron dificultad o bien, en los que mostraron ideas relevantes quepareca pertinente explorar.

Etapa de anlisis. Interesa distinguir si hay una evolucin en el nivel deentendimiento de los estudiantes, as como identificar los momentos crucialesque contribuyeron a ese cambio. El anlisis se realiz en tres partes. Primera:se analizan el trabajo de los estudiantes en pequeos grupos, los cambios enlas interpretaciones de los problemas, el tipo de cantidades y relaciones queutilizaron, el tipo de razonamiento matemtico y expresiones de generalizacin.Segunda: se enfoca en describir las variaciones en los diferentes modelos que

desarrollaron los estudiantes en cada tarea como resultado del uso de distintasrepresentaciones de los problemas. Tercera: se analizan las transcripciones delos equipos que contribuyeron con ideas para la solucin de los problemas, ascomo de los estudiantes que participaron en la discusin durante las presenta-ciones o en las entrevistas.

Nuestras fuentes de informacin para el anlisis son: a)los informes escritosde los estudiantes, tanto del trabajo en equipos como del individual; b)las tras-cripciones de las grabaciones de audio y video realizadas; y c)las observacionesde los investigadores. En las sesiones hubo grabacin de audio y video, de modo

que las copias del trabajo de los estudiantes, los informes del trabajo de campo y las transcripciones de las discusiones en equipos y en el grupo completoconforman el cuerpo de datos de nuestro estudio. Para organizar a los estu-diantes en equipos de tres, denominados por las letras A, B, C, etc., se tomaronen consideracin: el desempeo mostrado durante las primeras sesiones, antesde la aplicacin de las tareas, su comportamiento en el grupo y las opinionesexpresadas por sus anteriores profesores de matemticas.

Presentacin de resultados

ordenaruntaxI

Es una tarea que implica la toma de decisiones basada en la comparacin dedos conjuntos de datos. Se pretende evaluar y promover el aprendizaje de lasnociones bsicas de la estadstica. Se sugiere a los estudiantes que usen grficas

y realicen clculos para contestar lo que se pregunta.


16/38



Sara quiere comparar dos compaas de taxi rivales Taxis Amarillos y TaxisAzules basndose en su puntualidad para decidir cul de las dos es mejor. Paraello, solicit en 20 ocasiones el servicio a cada una de las compaas para ir asu trabajo y registr los tiempos de llegada: antes o despus de la hora citada(cuadro 1).

1. Con base en los registros de los tiempos de llegada, temprano o tarde,decide qu compaa de taxis es mejor.

cuadro 1 Tiempos registrados por Sara

taxis amarillos taxis azules

3 min 30 seg temprano 3 min 45 seg tarde45 seg tarde 4 min 30 seg tarde

1 min 30 seg tarde 3 min tarde


45 seg temprano 2 min 15 seg tarde

2 min 30 seg temprano 2 min 30 seg tarde

4 min 45 seg tarde 1 min 15 seg tarde

2 min 45 seg tarde 45 seg tarde

30 seg tarde 3 min tarde

1 min 30 seg temprano 30 seg temprano





30 seg temprano 5 min 30 seg tarde


30 seg tarde 4 min 15 seg tarde



3 min tarde 4 min 45 seg tarde


17/38



2. Escribe un argumento en el que Taxis Amarillos es la mejor compaa.3. Escribe un argumento en el que Taxis Azules es la mejor compaa.4. Cul de los dos argumentos que escribiste es ms convincente? Por qu?

Los informes escritos de los pequeos grupos muestran acercamientos dis-tintos:

i. El equipo A utiliz diagramas de barras para representar los datos (figura 1);llam T1 al nmero de veces que los taxis de cada compaa llegarontemprano y T2 al nmero de veces que llegaron tarde y, basndose en lafrecuencia, respondi cul es mejor.

ii. H utiliz dos histogramas con la variable tiempo en el eje de las x, y lafrecuencia en el ejey; Taxis Amarillos hacia arriba del eje xy Taxis Azuleshacia abajo (figura 3). Calcul medias y medianas para cada compaa yexpres argumentos que involucran la frecuencia.

iii. Los equipos B, C, D, E y F hicieron uso de histogramas no usuales, colocandoel nmero de registro o de taxi en el eje xy en el ejeyel tiempo de lle-gada, temprano o tarde, y calcularon los promedios de llegada para cadacompaa. B, D y F basaron su decisin en la media: la frecuencia figuraen sus argumentos. C consider los rangos y medianas, mientras que E

(figura 2) se bas en los rangos y promedios de ambas compaas.iv. G utiliz polgonos de frecuencias superpuestos: coloc en el eje x el

nmero de registro y en el eje yel tiempo, sin tener en cuenta tiemposnegativos; calcul promedios y as tom su decisin.

Siete equipos concluyeron que Taxis Amarillos era la mejor compaa; cincode ellos coincidieron en dar como argumento (figura 2): esos taxis hacen queSara llegue ms temprano y eso es lo que se busca. El equipo E fue el nicoen afirmar que Taxis Azules es mejor porque no llega ni muy temprano ni muy

tarde. Si se pide a una hora es porque a esa hora se necesita, y Taxis Amarilloses menos constante, llega o muy tarde o muy temprano. Ntese que en esteargumento implcitamente estn presentes los rangos y promedios de llegada decada una de las compaas.

Durante las presentaciones, Alejandra (del equipo E) mostr a todo el grupola hoja que contena el dibujo que hicieron y anot en el pizarrn las medianasque obtuvimos (dijo). Ante comentarios del profesor e integrantes del equipoF, Alejandra corrigi y precis que eran las medias o promedios. Cuando se le


18/38



Figura 1 Respuestas del equipo A en Ordenar un taxi


19/38



Figura 2 Respuestas del equipo E en Ordenar un taxi


20/38



Figura 2 Respuestas del equipo E en Ordenar un taxi(continuacin)


21/38



pregunt dnde quedaban ubicados esos promedios, tuvo dificultades para res-ponder; slo mencion que eran minutos y deban quedar en el ejey. Alejandra

concluy su presentacin argumentando que los Azules eran mejores taxis,porque los Amarillos son menos constantes y corres el riesgo de algn da llegartarde. Adems, si lo pides a una hora es porque a esa hora se necesita; estomotiv el cuestionamiento de la mayora de los estudiantes, pues iba en contrade lo que haban obtenido en sus equipos.

Cuando Alejandro (equipo C) present la solucin de su equipo, dijo que susdibujos eran similares a los de Alejandra y anot sus clculos. Para los Taxis

Amarillos: rango -5.45 min y mediana 2.55 min; para los Taxis Azules: rango

Figura 3 Respuestas del equipo H en Ordenar un taxi


22/38



-5.30 min y mediana 3.20 min. Concluy que los Amarillos eran mejores porquellegan ms temprano. El profesor pidi que explicara cmo haba obtenido lamediana y dnde quedaba ubicada. Alejandro tuvo dificultades.

Figura 3 Respuestas del equipo H en Ordenar un taxi(continuacin)


23/38



Fabin (equipo A) dijo que tenan una solucin diferente. Pas al pizarrn,dibuj los diagramas de barras que haban construido basados en las frecuenciasde llegada, T

1

temprano y T2

tarde, para cada una de las compaas (figura 1) yentonces argument que si el inters es llegar temprano, los Taxis Amarillosson mejores, porque llegaron ms veces temprano. Esta forma de solucin fuecuestionada por los equipos B, E y H, ya que ignora la magnitud del tiempo queun taxi llega tarde; un retraso de pocos segundos se considera igual que unode varios minutos. Posteriormente, Yib (equipo A) y Core (equipo F) presen-taron las soluciones de sus equipos, reforzaron la conclusin de que los Taxis

Amarillos eran los mejores. A continuacin transcribimos parte de la interaccinque se dio entre la presentacin de Fabin y la de Core (la participacin de

Victoria (equipo E) es clave):

Fabin: ms o menos tenemos que, como los Taxis Amarillos llegaronms veces temprano [seala las barras correspondientes a los Amarillos]entonces son los mejores

ProFesor: A ver, tienen preguntas? Victoria, quieres hacer preguntas ocomentarios?

Victoria: Yo digo que los Taxis Azules son mejores, porque de nada sirveque los Taxis Amarillos lleguen extremadamente temprano si no los

vamos a necesitar a esa hora, es como tiempo perdidoYib: [en el pizarrn bosqueja sus grficas, tiempo en el ejey] como la media

de los Taxis Amarillos es menor que la de los Azules, y vimos que losAmarillos llegaron cinco veces temprano y los Azules solamente una vez,entonces los Taxis Amarillos son mejores aunque s es cierto, tenemosun rango muy grande [seala el rango].

alejandra: Por eso decimos que no convienen los Amarillos, porque sonmenos constantes y te pueden hacer quedar mal, en cambio con los

Azules puedes calcular cunto tiempo van a tardar

core: La mediana la sacamos al ordenar los datos, es el tiempo que seencuentra en la mitad de la lista; y las medias fueron stas Taxis

Amarillos son los mejores.

En ese momento, Karla y Andrs (equipo H) sealaron que la mayora estabamal por haber puesto el tiempo en el eje y; ah siempre debe ir la frecuencia.Desde su lugar, Andrs mostr sus histogramas (figura 3) y explic que el tiempodebe ir en el eje x; concluy que Taxis Amarillos era la mejor compaa porque


24/38



llegaba ms veces temprano y seal las medias en su grfica. Esto motiv laaceptacin de la mayora de los estudiantes; sin embargo, Victoria (equipo E)manifest estar de acuerdo con Andrs respecto a los histogramas, pero no consu conclusin. Entonces se origin la siguiente discusin:

Victoria: cuando tu pides un taxi es porque a esa hora lo necesitas y losTaxis Azules son ms constantes que los Amarillos, entonces basta conque los pidas unos minutos antes.

andrs: Nosotros obtuvimos los promedios de x=2930 (tarde) para Amarillosy x=3915 (tarde) para Azules, entonces los Amarillos s son mejores.

ProFesor: Solamente debes tomar en cuenta el promedio? [Andrs se

queda callado].Victoria: Debe tomarse en cuenta qu tan temprano o qu tan tarde pue-den llegar y ver cules son ms constantes, por eso nos quedamos conlos Azules.

alejandra: [remarca] los pides unos minutos antes y ya.

Despus de haber escuchado estos ltimos argumentos de Victoria y Alejandra,la mayora de los estudiantes del grupo manifestaron estar de acuerdo con ellas.stas, a su vez, aceptaron la manera de hacer histogramas que explic el equi-

po H. El profesor aprovech la ocasin para hacer una sistematizacin.En el trabajo individual: 21 estudiantes representaron los datos mediante

histogramas o polgonos de frecuencia, con el tiempo en el eje xy la frecuenciaen ely. En la conclusin final, dos dieron una respuesta ambigua depende delos intereses de la persona, siete mantuvieron su posicin Taxis Amarillos esla mejor compaa, y 15 contestaron que Taxis Azules eran mejores. En lasfiguras 4 y 5 se puede ver los trabajos individuales de Erick (equipo F) y de Karla(equipo H). Esta ltima modific la manera de graficar los datos.

AzulejosenlAcocinA

Esta tarea fue adaptada y reformulada de su versin original. Es una tarea queinvolucra el descubrimiento de un patrn y la obtencin de un modelo. Se tratade cierta disposicin de azulejos en una cocina y predecir el nmero de azulejos decada color necesarios para cubrir cualquier nivel que se pida. El enunciado vaacompaado de una serie de figuras formadas por azulejos de colores:


25/38



Figura 4 Trabajo individual de Erick (equipo F) en Ordenar un taxi

Figura 5 Histograma conjunto de Karla en Ordenar un taxi


26/38


27/38



Durante el trabajo en pequeos grupos se observ que los estudiantes distin-guieron un incremento proporcional en la segunda columna. Sin embargo, hubodistintos acercamientos para encontrar la frmula que se pide en la pregunta 1. Losequipos A y D intentaron establecer una regla de tres y encontrar una relacinentre la segunda y primera columnas sin lograrlo. El equipo E, despus de variosintentos, logra establecer una regla de tres, al parecer como resultado de analizarlos nmeros en cada una de las columnas, pero no completaron la solucin.

El equipo B complet oralmente la tabla hasta el borde siete (la sesin fueaudiograbada) para encontrar el nmero de azulejos. Luego, basndose en eldibujo, notaron que, para calcular el primer borde, necesitaban multiplicar 4 por 2

y agregarle los dos azulejos de los extremos. Sin embargo, esa frmula no les

permita encontrar el nmero de azulejos para los dems bordes y tuvieron difi-cultades con el manejo de las variables. Despus de un periodo aproximado de15 minutos, encontraron la frmula NA= 4(NB) + 2 + 4, donde NArepresentaal nmero de azulejos y NBel nmero de borde. Por ltimo, comprobaron susresultados con los datos de la tabla. A continuacin se muestra parte del di-logo del equipo B cuando discutieron la pregunta 1. Integrantes: Omar, Wendy,

y Dulce.

dulce: Yo digo que las vayamos sacando al mismo tiempo, porque si sacas

primero sta[se refiere a encontrar primero la frmula para la pregunta 1], note va a dar con sta[se refiere a la pregunta 2] y tiene que ser la misma[comenta esto mientras su compaero trabaja].

WendY: Ah est!, ah est!dulce: Es que viene siendo lo mismo del doble.WendY: No, ah est!, mira, 3 por 4 que es la primera [se refiere a la fila

inicial] ms dos, ms cuatro, 18. Entonces, es que no es el doble, es elnmero de la primera, por el nmero de bordes ms 2, ms 4.

omar: Qu no era lo que tenamos?

dulce: Pues ms o menosWendY: OK, entonces sera, el nmero de azulejos es igual a 4 que es el de

la principal[nmero inicial de azulejos] por el nmero de borde ms dosde las laterales ms cuatro de los extremos.

dulce: Que es la variable [se refiere al incremento en cada borde].

Comprueban su resultado, considerando el tercer borde y obtienen el 18;festejan.


28/38



Observemos cmo un integrante del equipo supone que las preguntas 1 y 2se encuentran relacionadas, es decir, intenta ver una generalizacin respecto alnmero inicial de azulejos. Sin embargo, su compaero sugiere que se centrenprimero en responder la primera pregunta. La figura 6 muestra que, al parecer,la frmula propuesta provino de buscar relaciones entre la primera y la segundacolumna de la tabla y luego se le dio el significado a cada constante basndoseen el dibujo.

Figura 6 Trabajo realizado por el equipo B en la pregunta 1


29/38



El equipo C, en cambio, observ el dibujo y not que para el primer borde sedobla el nmero de la fila (4) y luego se le suman 2 azulejos (los que estn en losextremos), obteniendo la frmula nx+2 =y, donde x= 4 (fila inicial de azulejos),

yes el nmero de azulejos y n es el nmero de bordes ms 1. Para la pregunta 2,elaboraron la tabla y propusieron inmediatamente la frmula n5 + 2 =y; conside-raron que slo bastaba con cambiarle el nmero inicial de azulejos a la frmula dela pregunta 1, pero al hacer las comprobaciones con los datos de su tabla notaronque la frmula no era correcta, como se muestra en la figura 7. En el equipo C,integrado por Jessica, Guadalupe y Mariana, se dio el siguiente dilogo:

jessica: En cada uno se va aumentando 4.

GuadaluPe: El 2 se lo puse, porque va arriba de 4 y abajo del 4, son 4 ms4 nos da 8, ms 2 de las dos orillas nos day,xla puse comox= 4, luegoen la siguiente, como son 3

mariana: Qu no seran 4 ms? aumenta una arriba y una abajo, o seaque en total son 4.

GuadaluPe: Tres para que le siga, porque es el que sigue consecutivamente3 porxson 12 ms dos, 14 y nos day, en la siguiente sera 4 por 4, 16,ms dos nos da 18

jessica: Ms bien, nada ms pon 7x+ 2.

GuadaluPe: No pero sera8x+2= y [notaron que deben agregarle uno alnmero de borde pedido], en el sptimo borde hay 34 azulejos [despusdiscuten la manera en la que deben escribir la frmula para la segundapregunta].

mariana: Ms bien,xrepresenta el nmero de cuadritos que estn fijos porel nmero de filas [se refiere al nmero de bordes] ms dos [sustituyeron5 (el nmero de cuadritos fijo) en la frmula propuesta y comprobaronpara el primer borde de la pregunta 2, obteniendo un resultado distintoal de la tabla].

GuadaluPe:Era demasiado bueno para ser verdad.

El dilogo muestra el problema del manejo de las variables y constantes. Esimportante notar que este equipo, a diferencia del equipo B, empieza su anlisisbasndose en el dibujo.

Durante las presentaciones, el equipo A se propuso encontrar el nmerode azulejos en un determinado borde, elaborando una tabla hasta llegar a l.Comentaron que ello da la solucin a dicha pregunta.


30/38



Figura 7 Trabajo mostrado por el equipo C


31/38



Hubo opiniones a favor y en contra hasta que Wendy , integrante del equipoB, expuso la frmula obtenida por su equipo NA= 4(NB) + 2 + 4, explic cmollegaron a ella y qu representa cada variable y cada constante. Esta frmulaconvenci a la mayora del grupo como una respuesta correcta.

El equipo C manifest que tenan una solucin distinta; propusieron en elpizarrn la expresin 2x+ 2 =y, aclarando que el primer 2 es para calcularel borde 1 y para calcular determinado borde se tendr que sustituir el nmero deborde requerido ms uno, para as encontrar el nmero de azulejos buscado.

Adems, la xequivale al nmero inicial de azulejos (en el caso de la pregunta 1,x= 4). Es claro que las integrantes de este equipo tienen una confusin en eluso de variables y constantes, lo cual gener discusin en toda la clase.

El profesor intervino para ver si era posible que los estudiantes asignarancorrectamente las variables y constantes. Con la intervencin del equipo B, entreotros, la frmula presentada por el equipo C se transform en (x+ 1) 4 + 2 =y;un integrante del equipo E hizo notar ante el grupo que esa expresin corres-ponde a la misma frmula que la presentada por el equipo B, salvo por lamanera de escribirla.

Para la pregunta 2, en la que se inicia con cinco azulejos, un estudiantedel equipo E propuso la frmula y= 4x+ 8 y justific que las figuras sonparecidas a las de la pregunta 1, pero agregndole dos azulejos. Esto lo lleva concluir que sera la misma frmula ms 2. Enseguida, una integrante delequipo C pas al pizarrn y aclar la idea de su compaero; escribi la frmula(x+ 1) 4 + 2 + 2 =y. El grupo se convence y genera su curiosidad por predecirla frmula variando el nmero inicial de azulejos. Cabe mencionar que en la pre-gunta 2, el equipo C, en su trabajo inicial en pequeos grupos, propuso la frmulan5 + 2 =y, la cual no les result al hacer comprobaciones numricas.

En esta tarea fue notable el avance que tuvo la mayora de los estudiantes;inicialmente tenan problemas de entendimiento de la tarea, despus de laspresentaciones y discusin colectiva la resolvieron y mostraron inters por labsqueda de relaciones entre los datos. El trabajo individual muestra que losestudiantes lograron dar una respuesta correcta a las dos preguntas. En susexplicaciones hay claridad de lo que se pide en los enunciados y se incorporanlas reflexiones generadas en el grupo completo; incluso, algunos se plantearonpreguntas que van ms all de lo requerido en la tarea, como se muestra en lafigura 8. Obsrvese cmo Jessica fue capaz de realizar una extensin de la tarea(en la nota); estableci verbalmente una generalizacin de la regla que permitecalcular el nmero de azulejos para cada borde, iniciando con distinto nmerode azulejos, lo cual est relacionado con las funciones de dos variables.


32/38



Discusin

Con las presentaciones de los equipos, prcticamente inici la discusin colecti-va, la cual se convirti en una plataforma para tratar asuntos relacionados conel entendimiento del problema, el uso de distintas representaciones, relacionesmatemticas y la solucin de los problemas. En los primeros acercamientos seaprecian conocimientos fragmentados, ideas incompletas o incorrectas; sin embar-go, cuando los estudiantes tuvieron oportunidad de discutir y explorar sus ideas

con otros estudiantes, mejoraron sus acercamientos iniciales para proponermaneras ms robustas y sofisticadas de resolver la tarea. Las ideas fundamen-tales que surgieron en el trabajo de los estudiantes involucran el uso de figuras,clculo de medidas estadsticas, aplicacin de proporcionalidad y la bsqueda deuna relacin entre el nmero de borde y el nmero de azulejos.

Como resultado de la discusin, algunos estudiantes modificaron sus puntos devista y otros reafirmaron sus conjeturas. Los estudiantes mostraron inters porparticipar en la actividad y, despus de la introduccin de cada tarea, manifestaron

Figura 8 Trabajo realizado por Jessica, del equipo C


33/38



entusiasmo y disposicin para contestar cada pregunta, sin que esto quiera decirque todos las respondieron correctamente. En el trabajo en equipos fue posibleidentificar contribuciones que muestran distintas cualidades matemticas y,cuando los estudiantes hicieron sus presentaciones, compartieron y criticaronfortalezas y limitaciones de los mtodos de solucin de los dems.

La forma de trabajo en el aula y las cualidades asociadas a las tareas per-miti que los estudiantes desarrollaran procesos de resolucin de problemas ypracticaran los pasos establecidos en el mtodo de Polya (1945): tanto en losequipos como en el grupo completo, la discusin gir en torno al esclarecimientode qu es lo que se pregunta, cules son los datos, etc.; surgi un plan de ataqueal problema, a veces de manera individual o colectiva; se llev a cabo el plan

utilizando distintos recursos matemticos que incluyen trazos, arreglos numri-cos, operaciones, aplicacin de frmulas, etc.; y obtuvieron resultados que fueroncomprobados o revisados para ver su pertinencia como solucin.

As, las exposiciones de los estudiantes resultaron relevantes para discutirasuntos relacionados con:

La importancia de comprender el problema. Qu es lo que se pideen cada problema?, cules son los datos?, qu tipo de nmeros estninvolucrados?, con qu problemas parecidos se han enfrentado anterior-

mente?El empleo de representaciones del problema. Cmo se pueden repre-

sentar los datos?, se pueden utilizar histogramas?, es posible reproducirla tabla que contiene el nmero de azulejos?, se puede identificar algunaoperacin en las columnas de Alfredo?

La bsqueda de relaciones matemticas. Qu medidas estadsticaspodemos calcular en los tiempos de llegada de los taxis?, qu relacionespodemos establecer entre los datos?, cmo relacionar el nmero deborde con el nmero de azulejos?

El anlisis de relaciones particulares. Qu significado tienen el rango,la media o mediana para los datos de Sara?, qu tipo de proporcionalidadexiste entre el borde y los azulejos?, qu tipo de grfica le corresponde ala relacin del borde con el nmero de azulejos?

Solucin del problema. Cmo combinar la representacin grfica y losclculos para tomar la decisin?, qu es lo ms importante para la tomade decisiones en el contexto de las compaas de taxi?, qu significaexpresar una relacin de proporcionalidad mediante una frmula?


34/38



Verificacin de la solucin. Cmo comprobar que la solucin correspon-de a lo que se pide en cada uno de los problemas?

Extensin del problema. Qu ocurre si se calculan otras medidas esta-dsticas?, y si se incluyera una tercera empresa de taxis?, qu pasa siEmma inicia con kazulejos?

comentarios Finales

El desarrollo de este proyecto se sustenta en la visin del nctm (2000) y delgrupo Balanced Assessment Package for the Mathemacis Curriculum (1999,

2000) para promover el aprendizaje de las matemticas mediante la utilizacinde tareas diseadas bajo ciertos principios: atractivas y fciles de entender, concontenidos fundamentales del currculo, y que su diseo permita recuperarlos procesos de pensamiento utilizados por los estudiantes en sus intentos desolucin. Definitivamente, esto rompe con el punto de vista tradicional de laestructura rgida de las asignaturas y, aunque fue posible implementar las tareasaqu informadas, un reto importante es conseguir grupos escolares donde seaposible contar con condiciones ad hoc para realizar este tipo de investigacionesen educacin matemtica.

Adems, el nctm resalta la importancia de contemplar en la instruccindiferentes escenarios de aprendizaje, en los que los estudiantes tengan la opor-tunidad de combinar el trabajo colectivo, ya sea en pequeos equipos o en elgrupo completo, con el trabajo individual; lo cual va de acuerdo con las teorasconstructivistas y del aprendizaje cooperativo (Hagelgans, et al., 1995). Se esperaque los estudiantes aprendan a exponer y defender pblicamente las ideas queutilizaron en sus intentos por resolver los problemas, as como a comunicar susresultados. Para lograr estos propsitos, se requiere la participacin del profesoren momentos precisos que contribuyan a destrabar posibles controversias, de

manera que se logre un avance en el aprendizaje de los estudiantes. Sus inter-venciones van con el sentido de alentar cambios en la manera de pensar de losestudiantes sobre determinados aspectos de los problemas, los cuales significanun mayor entendimiento de la situacin, sin que ello quiera decir eliminar elreto de la tarea.

El desarrollo del aprendizaje de los estudiantes se entiende como una evo-lucin en sus ciclos de entendimiento (Lesh et al., 2000), que se traduce en unmanejo ms robusto y sofisticado de las estrategias y recursos para resolver


35/38



problemas, lo que se logra cuando los estudiantes realizan prcticas que sonconsistentes con el quehacer de las matemticas: tomar casos particulares,descubrir patrones y relaciones, plantear conjeturas, hacer generalizaciones, y

justificar resultados.Las tareas Ordenar un taxiy Azulejos en la cocina, as como la forma de

instruccin utilizada para su aplicacin, parecen favorecer el aprendizaje de losestudiantes:

a) Mantuvieron la atencin y participacin de los estudiantes durante eltrabajo en pequeos grupos, as como en las presentaciones, la discusincolectiva y el trabajo individual. Fue factible llevar a cabo el anlisis de

los procesos utilizados por los estudiantes en sus intentos de solucin.Esto significa que las tareas resultaron ser atractivas para los estudiantes,motivaron su participacin y fue posible recuperar sus procesos de pen-samiento.

b) La forma de instruccin permiti que en cada una de las tareas los estu-diantes expusieran y defendieran sus ideas y propici que algunos lasmodificaran parcial o totalmente. Tambin, se pudo observar que algunosestudiantes cambiaron sus puntos de vista con facilidad.

c) Se gener un ambiente en el aula que propici el aprendizaje en los estu-

diantes, quizs a diferente grado, que haban mostrado distintos nivelesde desempeo escolar. Esto se manifest por el hecho de que la mayorarealiz intentos y se esforzaron por hacer afirmaciones con sentido paraatacar los problemas planteados.

d) En ambos casos, hay respuestas ms completas en el informe del trabajoindividual que el correspondiente al trabajo por equipos. Esto no significa,desde luego, que todos los estudiantes hayan respondido correctamenteen el informe individual.

e) Todo ello ilustra la evolucin en los niveles de entendimiento de los

estudiantes en las tareas en asuntos que, al principio, les resultaban pro-blemticos en el trabajo por equipos, lo cual se refleja en el manejo derecursos matemticos y en el uso de estrategias propias del pensamientomatemtico para resolver problemas.

En relacin con las cualidades, en mayor o menor grado, las tareas: i)resultanatractivas para los estudiantes y admiten diferentes formas de solucin; ii)inclu-

yen contenidos fundamentales del currculo: la toma de decisiones basada en


36/38



un conjunto de datos, el desarrollo de patrones, variacin y el establecimientode una relacin; iii)promueven el desarrollo de habilidades para comunicar yargumentar la solucin de problemas, y iv)su diseo permite recuperar las ideasde los estudiantes.

Las principales dificultades que se presentaron durante la implementacin,algunas de ellas quizs insalvables, fueron: mantener el inters de los integrantesde los equipos cuando trabajaron en pequeos grupos; las deficiencias en elmanejo de lenguaje por parte de los estudiantes (dificultad intrnseca en el pro-ceso de aprendizaje); habituarse a la forma de trabajo propuesta, que involucra

varios escenarios de aprendizaje, lo cual puede inhibir la participacin de losestudiantes, pues rompe con las creencias que tienen sobre lo que es la mate-

mtica y los papeles que deben desempear tanto ellos como el profesor.

RefeRencias bibliogRficas

Balanced Assessment Package for the Mathematics Curriculum, (1999, 2000),High School Assessment Package 1 & 2, White Plains, Nueva York, DaleSeymours Publications.

Hagelgans, N. L., B. E. Reyolds, K. Schwingendorf, D. Vidakovic, E. Dubinsky,

M. Shahin y G. J. Wimbish Jr. (eds.) (1995),A Practical Guide to CooperativeLearning in Collegiate Mathematics, Mathematical Association of America,

Washington, DC, maa Notes, nm. 37.Lesh, R., M. Hoover, B. Hole, A. Kelly y T. Post (2000), Principles for Developing

Thought-Revealing Activities for Students and Teachers, en Antony E. Kelly yRichard Lesh (eds.), Handbook of Research Design in Mathematics Education,pp. Mahwah, New Jersey, Lawrence Erlbaum Associates, pp. 591-645.

Lesh, R. y A. Kelly (2000), Multitiered Teaching Experiments, en A. E. Kelly yR. Lesh (eds.), Handbook of Research Design in Mathematics Education,

Mahwah, Nueva Jersey, Lawrence Erlbaum Associates, pp. 197-230.Lester, F. y P. Kehle (2003), From problem solving to modeling. The evolution of

thinking about research on complex mathematical activity, en R. Lesh (ed.),Beyond constructivism, models and modeling perspectives on mathematicsproblem solving, learning and teaching, Lawrence Erlbaum Associates.

National Council of Teachers of Mathematics (1980), An Agenda for Action:Recommendations for School Mathematics for the 1980s, Reston, Virginia.,National Council of Teachers of Mathematics.


37/38



(2000), Principles and Standards for School Mathematics, Reston Va.,National Council of Teachers of Mathematics.

Polya, G. (1945), How to solve it, Princeton, Princeton University Press.Postman, N. y Weingartner (1969), Teaching as a subversive activity, Nueva

York, A Delta Book.Santos, M. (1997), La formulacin de problemas para una instruccin y eva-

luacin matemtica balanceada, en G. Waldegg y D. Block (eds.), Estudiosen Didctica, Consejo Mexicano de Investigacin Educativa, Mxico, GrupoEditorial Iberoamrica.

Santos, T., L. M. (2007), La resolucin de problemas matemticos. Fundamentoscognitivos, Mxico, Trillas.

Schoenfeld, A. (1985), Mathematical Problem Solving, Orlando, Florida,Academic Press. (1992), Learning to think mathematically: Problem solving, metacogni-

tion, and sense making in mathematics, en D. A. Grows (ed.), Handbook ofresearch on mathematics teaching and learning, Nueva York, Macmillan,pp. 334-370.

Seplveda, A. y M. Santos (2004), Developing Understanding in MathematicalProblem-Solving. A Study with High School Students, en D. E. McDougall

y J. A. Ross (eds.), Proceedings of the twenty-sixth annual meeting of the

North American Chapter of the International Group for the Psychology ofMathematics Education, Toronto, oise/ut, pp. 499-506.

(2006), Sobre el desarrollo de episodios de comprensin matemticaque exhiben estudiantes de bachillerato en procesos de resolucin de pro-blemas, Revista Mexicana de Investigacin Educativa, nm. 31, octubre-diciembre de 2006.

Datos De los autoRes

Armando Seplveda Lpez

Facultad de Ciencias Fsico Matemticas,Universidad Michoacana de San Nicols de Hidalgo, [email protected]


38/38


Cynthia Medina Garca


Diana Itzel Seplveda Juregui


La resolución de problemas y el uso de tareas en la enseñanza de las matemáticas

Documents

Transcript of La resolución de problemas y el uso de tareas en la enseñanza de las matemáticas