La teoría de Piaget sobreel desarrollo del conocimientoespacial

Esperanza Ochaíta AldereteUniversidad Autónoma de Madrid

I. CONSIDÉRACIONESGENERALES

Piaget dedica dos extensos volúmenesal estudio del desarrollo del conocimientoespacial, basados en la realización de unostreinta experimentos diferentes 1 . El pri-mero de los libros, publicado en 1947 encolaboración con Inhelder y titulado Larepresentación del espacio en el niño, se ocupade conocer cómo surgen en el desarrolloontogenético las relaciones espaciales to-pológicas, proyectivas y euclidianas. Enla segunda obra, llevada a cabo en 1948por Piaget, Inhelder y Szeminska con eltítulo La geometría espontánea en el niño, seestudia la génesis de la geometría eucli-diana, esto es, cómo surgen en el niño laconservación y la medición de la longi-tud, la superficie y el volumen. Vamos areferirnos, preferentemente, a la primerade las obras citadas.

Antes de entrar directamente en ladescripción de los experimentos corres-pondientes a los espacios topológico, pro-

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yectivo y euclidiano, debemos aclarar tresaspectos centrales en la teoría piagetianadel conocimiento espacial:

. En el marco teórico piagetiano, elespacio no viene dado «a priori» surgien-do de la mera percepción, sino que ha deirse elaborando poco a poco, jugando unpapel decisivo la actividad del sujeto. Elconocimiento del espacio proviene al prin-cipio de la actividad sensoriomotriz y,posteriormente, a un nivel representativo,la actividad —real o imaginada— iráflexibilizando, coordinando y haciendoreversibles las imágenes espaciales paraconvertirlas en operaciones. Por tanto,para Piaget, tal conocimiento no deriva,sin más, de la percepción visual, sino queconstituye el producto final de una largay ardua construcción evolutiva que co-mienza con el nacimiento y no terminahasta la adolescencia, y en la que laactividad perceptiva juega un papel abso-lutamente imprescindible.

2. Se establecen tres tipos de relacio-nes espaciales: topológicas, proyectivas y

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Estudioseuclidianas. Las relaciones topológicas tie-nen en cuenta el espacio dentro de unobjeto o figura particular, y comprendenrelaciones de proximidad, separación, or-den, cerramiento y continuidad. Por elcontrario, los espacios proyectivo y eucli-diano consideran los objetos y sus repre-sentaciones, teniendo en cuenta las rela-ciones entre esos objetos de acuerdo consistemas proyectivos (espacio proyectivo),o de acuerdo con ejes coordenados (espa-cio euclidiano o métrico). Dentro de lateoría que nos ocupa, el desarrollo onto-genético de estas relaciones sigue un or-den inverso al desarrollo epistemológico,ya que el niño elabora primero el espaciotopológico, tanto en el nivel de la accióncomo en el de, la representación. Lasrelaciones proyectivas y euclidianas sedesarrollan paralelamente, aunque el equi-librio de las segundas se consigue mástarde.

3. Como en el resto de los aspectosdel desarrollo intelectual, también en loreferente al conocimiento espacial nosencontramos con tres grandes períodos oestadios: período sensoriomotor, períodode las operaciones concretas (que se sub-divide, a su vez, en un subperíodo preo-perativo y otro de operaciones concretaspropiamente dichas), y período de lasoperaciones formales 2.

En el período sensoriomotor, que seextiende desde el nacimiento hasta el arioy medio o dos arios, momento en que elpensamiento comienza a interiorizarse, elniño va a ir elaborando un conocimientopráctico del espacio comenzando por lasrelaciones topológicas y elaborando des-pués las proyectivas y euclidianas. Entreel nacimiento y los cuatro o cinco mesesel bebé es capaz de percibir, únicamente,relaciones topológicas de dificultad cre-ciente, pero al no existir todavía coordi-nación entre los distintos espacios senso-riales, sobre todo entre la visión y laprensión, no percibe los objetos comopermanentes, ni los tamaños y las formas

como constantes. Posteriormente, entrelos 4-5 y io-iz meses, se coordinan lavisión y la prensión, construyéndose nu-merosos esquemas manipulativos bajocontrol visual, los cuales llevan al niño apercibir relaciones euclidianas (los obje-tos adquieren un tamaño constante conindependencia de los cambios de distan-cia), y proyectivas (los objetos tienen unaforma constante independientemente delos cambios de posición). Por último,durante el segundo ario, el niño va a sercapaz de relacionar unos objetos conotros en el espacio elaborando, a nivelpráctico, un «grupo» de desplazamientos,lo cual le lleva a descubrir, por ejemplo,que puede alcanzar un punto en el espa-cio por dos caminos diferentes y que,cuando retrocede al punto de partida, elcambio de lugar se anula en cierto sentido.

Durante el período de las operacionesconcretas, y en su primer subestadio, quese extiende desde los comienzos del pen-samiento interiorizado hasta los siete uocho arios, el niño ha de ir reelaborandoa nivel representativo todas las adquisi-ciones que, a nivel práctico, ya tenía en elestadio anterior, comenzando por las re-laciones topológicas y sólo más tarde conlas proyectivas y euclidianas. En conse-cuencia, durante el subestadio de las ope-raciones concretas propiamente dichas(desde los siete u ocho años hasta losonce o doce), el niño irá considerandoprogresivamente las relaciones proyecti-vas y euclidianas, gracias a que su pensa-miento operatorio le facilita la flexibiliza-ción y reversibilidad del espacio.

Por último, durante el estadio de lasoperaciones formales, que comienza a losonce o doce arios y culmina en la adoles-cencia, las operaciones espaciales puedenser totalmente separadas de la acción real,de forma que los individuos son capacesde considerar un universo total de posi-bilidades espaciales y comprender cuestio-nes tales como, por ejemplo, la idea deinfinito.

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EstudiosHemos de hacer notar que Piaget y sus

colaboradores, en sus trabajos sobre elconocimiento del espacio, al igual que enotras investigaciones sobre temas especí-ficos del desarrollo cognitivo, clasificanlos resultados en una serie de etapas que,integradas en los períodos a que acaba-mos de referirnos, tienen la función deofrecer una sistematización de los resulta-dos experimentales. Así proponen cuatroetapas: la primera (I) comprende desdelos tres arios (momento en que comienzaa ser posible entrevistar a los niños),hasta los cuatro o cuatro y medio; lasegunda (II) desde los cuatro y mediohasta la edad del comienzo de las opera-ciones concretas (seis, siete u ocho años);la etapa tercera (III), comenzando a laedad en que termina la anterior, coincidecon el subperíodo de completamiento delas operaciones concretas; y, por último,la etapa cuarta (IV) comienza sobre losonce o doce años, con el pensamientoformal. Cada una de estas etapas se sub-divide, asimismo, en dos subetapas: «A»y «B».

A continuación se pasa a revisar lagénesis de los conceptos topológicos, pro-yectivos y euclidianos en el niño. De losnumerosos experimentos que Piaget y suscolaboradores nos describen a lo largo desus dos obras, se analizan con mayordetalle aquellos más conocidos y los quehan dado lugar a mayor número de revi-siones.

II. EL ESPACIO TOPOLOGICO

La primera de las tres partes en que sedivide la obra de Piaget e Inhelder (1947)está dedicada al espacio topológico. Losdos primeros experimentos que se descri-ben, percepción «háptica» y dibujo, cons-tituyen la prueba más directa de la hipó-tesis a que nos hemos referido anterior-mente, según la cual, las diferenciacionestopológicas preceden en el desarrollo on-

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togenético a las proyectivas y euclidianas.Las restantes se ocupan de estudiar lasrelaciones topológicas específicas de or-den, cerramiento o cierre y continuidad.

A) La percepción «háptica». Con esteexperimento los autores tratan de com-probar que la concepción adulta del espa-cio es fruto de la construcción activa delpropio sujeto y no deriva, sin más, de lapercepción. Aunque Piaget e Inhelder noestaban interesados, primariamente, en elestudio del tacto, llevaron a cabo unexperimento de exploración «háptica» deformas geométricas, para demostrar elpapel que la actividad perceptiva cumpleen la ontogénesis de la percepción de lasformas, y para investigar si las relacionestopológicas preceden a las proyectivas yeuclidianas en la exploración de esas for-mas. Al considerar muy difícil el estudiodel desarrollo de la percepción visual enlos bebés 3 , decidieron abordar la evolu-ción de la percepción «háptica» en niñosmás mayores. En una primera etapa, losniños son capaces de hacer discriminacio-nes topológicas pero no euclidianas (en-tre dos y cuatro arios). En la siguiente, lasformas se exploran más activamente, loque permite una progresiva estimación delas relaciones euclidianas tales como án-gulos, paralelismos, etc. (cuatro a sieteaños). A partir de los seis o siete arios, losniños son capaces de reconocer todas lasformas, mediante un método operacionalde dirigir la exploración.

B) El dibujo. La segunda de las inves-tigaciones del espacio topológico estádedicada al análisis del dibujo infantil. Denuevo, se trata de probar cómo la transi-ción de la percepción a la representaciónmental implica la reconstrucción de lasrelaciones topológicas, en primer lugar, yluego de las proyectivas y euclidianas,todas ellas perfectamente elaboradas ya anivel práctico. Se analiza tanto el desarro-llo del dibujo espontáneo, como el de lacopia de figuras geométricas.

Al estudiar el dibujo espontáneo, Pia-

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Estudiosget e Inhelder relacionan las etapas deevolución del dibujo propuestas por Lu-quet (1923) con el desarrollo del conoci-miento espacial. En la etapa de «incapaci-dad sintética», que coincide con la I dePiaget e Inhelder (entre dos y cuatroarios) el niño, que comienza a poderexpresarse gráficamente, no tiene en cuen-ta las relaciones euclidianas (proporcionesy distancias), ni las proyectivas (perspec-tivas con proyecciones y secciones), con-siderando solamente las topológicas. Asípues, los fallos que encontramos en losdibujos de los niños de esta edad, no sedeben a una ineptitud técnica de caráctermotor, sino a la falta de relaciones eucli-dianas y de perspectiva, La etapa siguien-te, denominada por Luquet «realismointelectual», se caracteriza por unos dibu-jos en los cuales las relaciones proyectivasy euclidianas están comenzando a surgir,pero todavía no hay coordinación generalde los puntos de vista ni coordenadasgenerales. Por último, a partir de los sieteu, ocho arios, el pensamiento operatorioconfigura la etapa de «realismo visual» enla que la representación gráfica se esfuer-za por tener en cuenta perspectivas, pro-porciones y distancias. •

Por lo • que se refiere a la copia defiguras geométricas simples (cuadrado,triángulo, rombo, cruz, etc.), los resulta-dos obtenidos con niños de entre dos ysiete años son muy similares a los de laprueba de percepción «háptica», habién-dose encontrado las mismas etapas. En laetapa primera (dos-cuatro años) el niñocomienza a discriminar y, por tanto, acopiar, figuras geométricas diferentes, so-bre la base de aspectos puramente topo-lógicos tales como dentro y fuera, conti-nuo y discontinuo, etc. En la etapa segun-da (cuatro-seis años), se empieza a distin-guir éntre figuras rectas y curvas, siendoal principio el niño capaz de dibujar uncuadrado, luego un triángulo y, solamen-te al final de la etapa, un rombo; lasrelaciones proyectivas y euclidianas están

comenzando a surgir, pero la composi-ción de la figura se hace todavía por«ensayo y error», sin una imagen mentalanticipada que guíe el dibujo. A partir delos seis o siete arios (etapa tercera), laconstrucción de la forma se hace opera-cional, porque los niños ya no procedenpor autorregulaciones de ensayo y error,sino que abstraen la forma y despuésdibujan de modo coordinado y reversiblede acuerdo con un esquema mental previo.

De todo esto concluyen Piaget e Inhel-der: «El espacio geométrico no es simple-mente un calco hecho sobre un espaciofísico desarrollado simultáneamente...»«La abstracción de la forma implica unareconstrucción completa del espacio físi-co hecha sobre la base de las propiasacciones del sujeto y basada originalmen-te sobre un espacio sensoriomotor y,últimamente, sobre uno mental o repre-sentacional determinados por la coordina-ción de esas acciones» 4 .

C) La relación de orden. Para los auto-res que nos ocupan, el orden o secuenciaes la tercera relación topológica básicadespués de las de proximidad y separa-ción. En las cinco técnicas con que estu-dian el orden lineal y circular encuentran,de nuevo, tres etapas. Entre los tres ycuatro arios el niño sólo es capaz de teneren cuenta relaciones topológicas simplescomo «junto a», pero no puede conside-rar las proyectivas de «izquierda-derecha».Durante la * etapa segunda (cuatro-sietearios), comienza a ser capaz de reproducirun orden dado, pero solamente cuandopuede establecer una correspondencia vi-sual entre el modelo y su propia copia; alfinal de esta misma etapa ya no necesitatal correspondencia y comprende la rela-ción «entre». A partir de los seis o sieteaños,, en la etapa tercera, el niño es capazde invertir un orden gracias a una opera-ción reversible de pensamiento.

D) La relación de «cercamiento» 5 . Elexperimento en un estudio de la compren-sión de los nudos por parte de los niños,

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Estudios 97comprensión que implica una compleji-dad considerable al suponer un «cerra-miento» complejo en tres dimensiones.Los niños de tres, cuatro e incluso cincoaños (etapa I) ni siquiera entienden cómose forma un nudo, de tal modo que nopueden imitarlo cuando alguien lo hacejunto a ellos; posteriormente, pueden des-cribir verbalmente lo que hay que hacer,pero, en la práctica, son incapaces depasar del aro (que supone dos dimensio-nes) al nudo; al final de esta etapa consi-guen hacer un nudo, pero en seguida loolvidan. Desde los comienzos de la etapaII, el niño puede copiar un nudo sinayuda, pero basta que éste se apriete oafloje para que deje de reconocerlo, tam-poco puede diferenciar los nudos verda-deros y los falsos, porque, si bien en elplano de la acción es capaz de pasar de unespacio bidimensional a uno tridimensio-nal, en el plano de la representación susimágenes no tienen aún la movilidadnecesaria. A partir de los siete arios, sinembargo, el niño establece perfectamentelas semejanzas y diferencias entre losdistintos tipos de nudos, valiéndose deimágenes dinámicas dirigidas por opera-ciones reversibles.

E) La relación de continuidad. Para es-tudiar esta última relación topológica,Piaget e Inhelder plantean a los niñoscuatro problemas que suponen la com-prensión del resultado final de la subdivi-sión máxima de una figura y la seriaciónde tamaños hasta llegar a la figura másgrande y a la más pequeña posibles. Eneste caso se encuentran cuatro etapas.Durante las dos primeras y hasta los sieteu ocho arios, los niños sólo pueden teneren cuenta lo directamente perceptible,con una falta total de movilidad operacio-nal, por lo que son incapaces de imaginaruna figura geométrica, tal como un cua-drado, concentrada en pocos milímetroso expandida en toda la hoja, siendo tam-bién incapaces de reducir las figuras apuntos. A partir de los siete años (eta-

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pa III), el niño puede realizar las opera-ciones de seriación y subdivisión, por loque comprende bien los problemas rela-tivos a las figuras reales más pequeñas ymás grandes y los que suponen subdivi-siones de líneas y de superficies, perosiempre que esté operando con un mate-rial real y concreto. Solamente en la etapaIV, a partir de los once o doce arios, elniño podrá operar con material posible y,gracias al pensamiento hipotético deduc-tivo, trascender la idea de subdivisionesposibles y puntos perceptibles para acce-der a la noción de infinito.

III. EL ESPACIO PROYECTIVO

La segunda parte de la obra de Piagete Inhelder (1947) es la dedicada al espacioproyectivo. Puede subdividirse, a su vez,en tres apartados: el primero de ellos seencarga de estudiar cómo se representa elniño la perspectiva de un objeto simple;el segundo aborda la investigación de lacomprensión de la perspectiva de ungrupo de objetos; el tercero estudia lasrelaciones entre las operaciones proyecti-vas y euclidianas mediante experimentosde secciones geométricas y rotación • desuperficies.

La diferencia más importante entre lasrelaciones topológicas, por un lado, y lasproyectivas y euclidianas, por otro, estáen la forma en que los diferentes objetos,figuras o partes de éstos se relacionanentre sí. Mientras que las relaciones topo-lógicas son internas dentro de una figurau objeto, o constituyen relaciones bicon-tinuas simples entre dos o más figuras, lasproyectivas y euclidianas pueden tener encuenta las relaciones entre los objetos ysus representaciones, de acuerdo con sis-temas proyectivos o ejes coordenados.

A) Perspectiva de objetos aislados

Piaget e Inhelder llevan a cabo tres

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Estudiospruebas diferentes para determinar cómose representan los niños los cambios apa-rentes de forma y tamaño de los objetosaislados, según el punto de vista desde elque se observan. Describimos muy bre-vemente esos experimentos a conti-nuación.

A. i. Construcción de la línea recta pro-yectiva. Se parte de la base de que dibujaro imaginarse una línea recta supone teneren cuenta unas relaciones proyectivas (unsistema de puntos de vista), o unas rela-ciones euclidianas (un sistema de despla-zamientos, distancias y medidas). El expe-rimento consiste en pedir a los niños quehagan una línea recta con una serie depalos colocados sobre unas bases de plas-tilina encima de una mesa cuadrada orectangular. Al principio (etapa I, hastalos cuatro arios, aproximadamente), losniños pueden percibir y reconocer unalínea recta, pero son incapaces de cons-truirla; posteriormente construyen la lí-nea recta paralela al borde de la mesa, sinpoder neutralizar la influencia de eseborde cuando la línea no es paralela a él;por último, sobre los siete arios, los niñosson capaces de organizar una línea rectaen cualquier sitio, mediante una técnicaproyectiva o euclidiana.

A.2. Perspectiva de objetos diversos. Seinvestiga la forma en que el niño serepresenta ciertos objetos aislados vistosen perspectiva en términos de sus despla-zamientos y en relación con un observa-dor. Se le pide que imagine la forma quepresentará un objeto, tal como un palo oun disco, cuando se coloque en ciertonúmero de posiciones diferentes, es decir,tal como lo vería un muñeco colocado enun punto de vista diferente al suyo. Pri-meramente, los niños ignoran las diferen-cias entre las figuras y, más aún, laperspectiva geométrica (hasta los cuatroarios). Después, van a ir dándose cuentade que la apariencia de un objeto cambia

con su orientación y lo expresan median-te el reconocimiento. Solamente entre lossiete y los nueve arios van pudiendoexpresar las diferencias de perspectivacon sus propios dibujos.

A. 3 . La proyección de las sombras. Eneste caso, los autores que nos ocupanpiden a los niños que dibujen o reconoz-can la forma que tomarán diversos obje-tos, colocados en diferentes inclinacionesentre una lámpara y una pantalla vertical,separadas entre sí unos pocos centímetros.Este experimento viene definido por lasmismas leyes que el anterior, si bien,mientras el anterior depende únicamentede las posiciones relativas de objeto ysujeto, el que ahora comentamos implicaimaginar las posiciones relativas de dosobjetos: el que produce la sombra y lapantalla. Los resultados muestran quepara las sombras de los objetos simples(lápiz, disco y triángulo), las etapas coin-ciden con las descritas para la prueba A.2.Por el contrario, en el caso de las figurascomplejas (como el cono y la canilla), ladificultad es mayor porque comprendensecciones variables con la necesidad deintegrar las más pequeñas en las másgrandes, por lo que sólo se dibujan per-fectamente hacia los once años, en elinicio del estadio de las operaciones for-males.

B) Coordinación de perspectivas

Se trata ahora de analizar el desarrollode la representación de la perspectiva oapariencia que toman un grupo de obje-tos, considerando sus posiciones relativasentre sí y respecto al observador. Piagete Inhelder estudian este problema con unsolo experimento que se describe a conti-nuación.

El material está formado por una car-tulina de un metro cuadrado de lado y de12 a 3 0 centímetros de altura, represen-

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Estudiostando tres montañas de diferentes alturasy colores, io tarjetas de 20 X 28 centíme-tros, que representan, en dos dimensio-nes, las montañas desde los distintos

puntos de vista, y tres piezas de cartulinarepresentando las montañas. Se disponetambién de un muñeco de dos o trescentímetros de altura.

(FIGURA 1: Coordinación de perspectivas)

Utilizan tres métodos de interrogatoriodiferentes. En el primero se le dan al niñolas tres piezas de cartulina que represen-tan las montañas, pidiéndosele que recons-truya la «fotografía» que podría tomarsedel grupo desde las posiciones A, B, C yD, en que se coloque el muñeco y quesuponen los cuatro lados iguuales de lacartulina. En el segundo, el experimenta-dor muestra al niño los grabados y éstedebe elegir el que corresponda al puntode vista en que está colocado el muñeco.Por último, en el tercer método se le dauna de las tarjetas, debiendo el niñocolocar el muñeco en el lugar que corres-ponde para ver las montañas según esa

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tarjeta. También en esta prueba se encuen-tran tres etapas, que describimos seguida-mente.

Durante la etapa I, aproximadamentehasta los cuatro años, los niños ni siquie-ra pueden comprender las preguntas quese les hacen. En la etapa II, desde loscuatro a los siete u ocho arios, los niñosson incapaces de imaginar las transforma-ciones debidas al cambio de posición,considerando su punto de vista, como elúnico posible. Esta fijación en su propiopunto de vista al que Piaget denomina«error egocéntrico», no se debe a unaincapacidad perceptiva, sino a un error derazonamiento que reproduce, a nivel re-

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Estudiospresentativo, los problemas de constanciaperceptivas que encontramos en el bebéde siete u ocho meses. Durante la subeta-pa II B, intentan dejar a un lado suegocentrismo para tener en cuenta elpunto de vista del observador, sin darsecuenta de que los cambios de punto devista llevan consigo una inversión de lasrelaciones izquierda-derecha, delante-atrás, dentro de las montañas. En conse-cuencia, con el primero de los métodos aque nos referimos anteriormente, el niñoes incapaz de tener en cuenta las relacio-nes internas al grupo de objetos; con elsegundo, igualmente, están los niños tanconvencidos de que las relaciones entrelas montañas son rígidas e inmutables,que solamente consideran uno de losaspectos implicados, el punto de vista delmuñeco, sin tener en cuenta las relacionesproyectivas que se dan entre el grupo demontañas. Respecto al tercero de losmétodos descritos, Piaget e Inhelder nosdicen que, a pesar de que los niños se dancuenta de que hay una posición definidapara cada punto de vista, no identificancorrectamente las relaciones entre posi-ción y perspectiva.

Para estos autores, los errores egocén-tricos, así como los que consisten enconsiderar al grupo de montañas comoalgo invariable, se deben a que los niñosrazonan mediante preconceptos incapacesde ser agrupados dentro de un sistema detransformaciones recíprocas. Como mástarde veremos, el concepto de «erroregocéntrico» ha sido uno de los másdiscutidos dentro de la teoría que nosocupa.

En la primera parte de la etapa III,gracias al pensamiento operatorio concre-to, el niño descubre que las relacionesizquierda-derecha, delante-atrás, inheren-tes al grupo de montañas, varían deacuerdo con el punto de vista del obser-vador. No obstante, al elaborar él mismola perspectiva del conjunto, según el pri-mero de los métodos, aún comete errores

por la influencia de su propia perspectiva,sobre todo al considerar las posicionesizquierda-derecha. Al elegir las tarjetascorrespondientes a la perspectiva (méto-do segundo), los niños, al no poderelaborar su propia construcción, estánmás retrasados, siendo frecuentes los erro-res debidos a considerar las montañascomo un bloque.

C) Relaciones entre operacionesproyectivas y euclidianas

Piaget e Inhelder diseñan dos pruebas,una de secciones geométricas y otra derotación y desarrollo de superficies, paraestudiar la génesis paralela en el desarro-llo ontogenético, de las operaciones eucli-dianas y proyectivas.

C. i. Secciones geométricas. La compren-sión de las secciones geométricas puedeelaborarse tanto desde la geometría pro-yectiva como desde la euclidiana. La sec-ción . euclidiana se pone de manifiestocuando uno se imagina cómo quedaráuna figura geométrica al ser cortada me-diante un cuchillo; la proyectiva nos llevaa imaginar la representación de la secciónde una figura geométrica proyectada anteuna pantalla luminosa. El experimentoconsistió en pedir a los niños que mirasenuna serie de objetos de plastilina (cilin-dro, prisma, cono, paralelepípedo, pelotahueca y varios objetos complejos), e ima-ginasen cuál sería la forma que se produ-ciría al cortar el sólido con un cuchillopor diferentes planos. Los resultados sedistribuyen en cuatro etapas: durante laprimera, los niños ni siquiera son capacesde distinguir unas formas de otras. Alcomienzo de la segunda, se produce unaconfusión entre la sección y la forma totaldel objeto, mientras que posteriormentese va produciendo una diferenciación pro-gresiva entre la sección y la forma exter-na, que sólo se consigue en la etapa III

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Estudios IOI

para las formas más simples, y en el iniciodel estadio de las operaciones formales,en el caso de las formas complejas.

C.2. Rotación y desarrollo de superficies.Piden a los niños que imaginen desarro-llados en un plano una serie de objetosque se les muestran (cilindro, cono, cuboy tetraedro). La técnica de respuesta es,como siempre, doble: dibujo y/o recono-cimiento. Los resultados son muy seme-jantes a los descritos en el experimentoanterior, tanto para las figuras más sim-ples como para las más complejas.

De estos dos experimentos, concluyennuestros autores que la noción de unsólido desarrollado no es una consecuen-cia ' directa de la percepción. Entre lapercepción de un sólido y la imagen desu representación en el plano; encontra-mos la imagen de una acción no realiza-da; esta imagen activa y reversible capazde anticipar una acción y, por tanto,regida por las operaciones, está ausenteen los niños pequeños y, sin embargo,presente en el pensamiento dé los niñosen el período de completámiento de lasoperaciones concretas.

IV. EL ESPACIO EUCLIDIANO

La tercera parte de la obra, tantas vecescitada (Piaget e Inhelder, 1947), está de-dicada a la génesis del espacio euclidianoen el niño y también a la transición de losconceptos proyectivos a los euclidianos.Así pues, se tratan en esta parte lasnociones euclidianas básicas de paralelis-mo y semejanza, los ejes coordenados dereferencia horizontales y verticales y lasrelaciones entre los espacios proyectivo yeuclidiano en la elaboración de sistemascartográficos. Además, en su libro Lageometría espontánea en el niño, Piaget, In-helder y Szeminska (1948) abordan elestudio de la capacidad que los niñostienen para conservar,. medir y, en gene-

ral, tomar en cuenta entidades de la geo-metría euclidiana, como la distancia, lalongitud, las coordenadas rectilíneas, elángulo, la superficie y el volumen. Expo-nemos a continuación los experimentoscontenidos en la tercera parte de la obrade 1947, y sólo una de las pruebas dellibro de 1948, la denominada «mediciónespontánea» que puede considerarse co-mo la más representativa y conocida delmismo.

A) Transformaciones afinitivas delrombo y conservación de las.paralelas

Antes de pasar al espacio euclidianopropiamente dicho, mediante, el estudiodel desarrollo de los sistemas coordena-dos de referencia, nuestros autores anali-zan las nociones de paralelismo y propor-ciones, esenciales para el establecimientode esos sistemas de referencia y encontra-das ambas en los dibujos espontáneos delos niños.

Para estudiar la conservación del para-lelismo se utiliza una figura geométrica,el rombo, que al tranformarse conservasus lados paralelos, pero no sus ángulosrectos. Esta propiedad es denominadapor los geómetras «afinidad» y está amedio camino entre los conceptos proyec-tivos y las semejanzas. Como muestra lafigura z, el dispositivo empleado en elexperimento consiste en una especie detenacillas con una serie de barras cruza-das, de tal modo, que cuando la tijera seabre las barras se separan formando unaserie de rombos, al principio, estrechos,luego más y más anchos y, al fin, denuevo estrechos pero en el sentido con-trario.

La técnica consiste en mostrar al niñoel aparato cerrado y pedirle que predigay dibuje lo que sucederá cuando las tije-ras se abran; después al experimentar abreun poco el mecanismo y pide al sujeto

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Estudios

-(FIGURA 2: Transformaciones afinitivas del rombo y conservación de las paralelas.)

que dibuje (o construya con una serie derombos que se le proporcionan), cómovan a ser los rombos a medida que se vanabriendo las tijeras. Los resultados sedistribuyen en las tres etapas ya clásicas.Solamente en la tercera de ellas, a partirde los siete años, pueden los niños dibu-jar los rombos correctamente, conservan-do el paralelismo de sus lados y el tamañocorrecto de los mismos.

B) Semejanzas y proporciones

Se investiga la forma en que el niñollega a comprender la similariedad o se-mejanza de figuras geométricas inscritassobre la base del paralelismo de sus ladosy/o de la igualdad de sus ángulos. Utili-zan dos tipos de problemas: el primero,diseñado para hacer comprender al niñoel paralelismo, presenta dos triángulosinscritos con sus lados paralelos; el segun-do proporciona a los niños triángulosdiferentes de cartulina (equilátero, isósce-les, etc.), para que los clasifiquen por sussemejanzas formales. Con este último mé-

todo se deja al niño libertad para utilizarel criterio de igualdad de ángulos o el deparalelismo entre los lados, en sus com-paraciones. Los resultados muestran quehasta los siete arios, aproximadamente,los niños no son capaces de considerariguales aquellos triángulos cuyos ladosson paralelos, ni de suponer espontánea-mente las figuras de cartón, descubriendoa esta edad que los triángulos pueden seriguales, con independencia del tamaño desus lados. Pero sólo hacia los once añosvan a poder pasar de los juicios de seme-janza puramente cualitativos a la expre-sión de la proporcionalidad mediantecálculos y proporciones numéricas.

C) Sistemas de referencia ycoordenadas horizontales yverticales

Para Piaget e Inhelder un sistema dereferencia no es una simple red compues-ta de relaciones de orden entre variosobjetos, sino que se aplica tanto a las

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Estudios 103posiciones dentro de la red como a losobjetos que ocupan dichas posiciones,posibilitando que se mantengan invaria-bles e independientes del desplazamientopotencial de los objetos. En este sentido,un sistema de referencia constituye unespacio euclidiano cuando es usado comoun contenedor, independiente de los ob-jetos que contiene, justamente como coor-dinación proyectiva de la totalidad de lospuntos de vista potenciales. Así, dentrodel marco teórico piagetiano, los espaciosproyectivo y euclidiano son sistemas com-prensivos, en contraposición con el espa-cio topológico que considera las relacio-nes internas a cada objeto como algoaislado en sí mismo. En consecuencia,estudian la manera en que los niñosadquieren esos sistemas de referencia queles proporciona el mundo físico en formade ejes horizontales y verticales.

La prueba para el estudio de los ejeshorizontales consiste en proporcionar alniño dos botellas, una con los ladosrectos y paralelos, y otra de lados redon-deados, llenas en su cuarta parte de aguacoloreada, pidiéndosele que dibuje lo queve. Para el estudio de los ejes verticalesse utilizan varios métodos: en uno deellos se coloca una línea de plomo suspen-dida en una jarra vacía y el niño debepredecir su colocación cuando la jarra seinclina de diferentes modos; en otros, leproporciona una montaña de juguetes yse le pide que coloque en su ladera y ensu cima, postes en posición «derecha».

Los resultados muestran que en laetapa I, los niños son incapaces de distin-guir planos como tales, teniendo en cuen-ta solamente aspectos topológicos como«en», «dentro de», etc. Así representan elagua como una especie de pelota dentrode la jarra y los postes tendidos horizon-talmente sobre los lados de la montaña.Entre cuatro y cinco años y medio, elniño dibuja siempre el nivel del aguaparalela al borde de la jarra, porque esincapaz de relacionarlo con un punto fijo

como el borde de la mesa. Posteriormen-te (entre cinco y medio y siete años), yaimaginan que el líquido se mueve enrelación con la inclinación de la jarra,pero al no tener un marco de referenciaestable, lo dibujan como una línea obli-cua trazada entre las esquinas de la jarra.En este momento ya colocan los postesen posición vertical, pero en los dibujospermanecen perpendiculares a la montaña.

Por último, a partir de los siete arios,el niño comienza a dominar, de formagradual, sistemas de referencia generales.Al principio sólo consigue dibujar correc-tamente el nivel del agua cuando la jarraestá tumbada sobre uno de sus lados;después se construyen los ejes horizonta-les y verticales, mediante ensayo y errorpara todas las posiciones; y, por fin, hacialos nueve arios, las coordenadas se formu-lan en términos operacionales, aplicándo-se directamente a todas las situaciones.«El rasgo distintivo de esta subetapa final(III B) es la coordinación general detodos los ángulos y paralelas para todo elcampo de objetos que se considere. Eseste proceso el que capacita al niño paradescubrir la constancia física del nivelhorizontal del agua y de los postes verti-cales, un concepto que es eventualmenteindependiente de la observación experi-mental» 6.

De estos experimentos concluyen Pia-get e Inhelder que los sistemas de referen-cia no son innatos, sino que se constru-yen a lo largo del desarrollo y que, lejosde constituir el punto de partida de laconsideración espacial, constituyen la cul-minación de todo el desarrollo psicológi-co del espacio euclidiano.

D) Trazados diagramáticos y el planode un pueblo

Con los dos experimentos que se resu-men a continuación se trata de compro-bar que los conceptos proyectivos (coor-dinación general de los puntos de vista)y los euclidianos (construcción de los

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.104

Estudiosmarcos de referencia físicos) son mutua-mente interdependientes y se desarrollanjuntos.

Di. Colocación de un muñeco en un mode-lo de aldea. Se muestran al niño dosmaquetas iguales que representan un pue-blecito, semejantes a la que muestra lafigura 3, y se le pide que, teniendo éste

una maqueta y otra el experimentador,coloque su muñeco en el mismo sitio yde la misma forma que el experimenta-dor, bien con ambos modelos colocadosen la misma posición, bien rotando el delniño 1800. El muñeco se sitúa en 15posiciones diferentes de distintos gradosde dificultad.

(FIGURA 3: Colocación de un muñeco en un modelo de aldea)

Durante la primera etapa se localizanlas posiciones mediante relaciones topo-lógicas de proximidad, rodeamiento ocerramiento, sin tener en cuenta las pro-yectivas de izquierda-derecha, arriba-aba-jo, delante-detrás, ni las relaciones y dis-

tancias euclidianas. Entre los cuatro y loscinco arios, al comienzo de la etapa II,empiezan a establecerse ciertas relacionesreferenciales, pero aún no están coordina-dos los distintos puntos de vista, colocán-dose el muñeco, ya no en relación con un

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Estudios 1-01

único punto de vista simple, sino respec-to a dos o tres objetos. Es así como losniños empiezan a establecer relaciones deizquierda-derecha, delante-detrás, peroaún sin relacionarlas con el punto devista, por lo que no comprenden losefectos de la rotación de uno de losmodelos. En la segunda parte de estaetapa II, consiguen ir corrigiendo, porensayo y error, los fallos de colocacióndel muñeco en el modelo rotado, peroguiados de un método intuitivo, todavíano operacional. A partir de los siete años(etapa III), la rotación del modelo noafecta a la precisión del niño, que tiene encuenta el sistema de referencia que leproporciona la maqueta.

Da, El plano de un pueblo. Esta pruebatiene una dificultad mayor que la anterior,puesto que consiste en poner sobre unamesa un cierto número de objetos repre-sentando un pueblecito y pedir a losniños que dibujen su colocación en unahoja de papel, tal y como se ven desdearriba en línea recta o en un ángulo de45 0. En los niños pequeños el dibujo sesustituye por la construccion real. Deacuerdo con Piaget e Inhelder, el dibujarel plano implica, en la práctica, tres difi-cultades: 1°) la selección de un punto devista particular, que supone problemasproyectivos; 20) la elaboración de unsistema de coordenadas euclidianas conlíneas rectas y ángulos; 3 0) la reducción auna escala menor con los consiguientesproblemas de semejanzas y proporciones.

Los resultados se distribuyen en cuatroetapas: durante la primera no hay corres-pondencia espacial ni correspondencia tér-mino a término entre los elementos (lógi-co-matemática). A partir de los cuatroarios y hasta los siete aproximadamente,se encuentra un cierto avance hacia lacoordinación de grupos de objetos, aun-que las relaciones no sean todavía gene-rales; la relación lógico-matemática quedaya establecida, pero la relación espacialaún se rige por aspectos topológicos, sin

tener en cuenta el marco de referencia, nilas dimensiones proyectivas. En la etapaIII los niños son capaces de copiar per-fectamente el modelo con el método deconstrucción real, pero aún cometen erro-res en el dibujo hasta los nueve o diezaños, edad en que consiguen establecercorrectamente las relaciones de semejanzay proporción, la medición de las distan-cias y la consideración simultánea detodas las relaciones del plano. Por último,a partir de los once años, el niño puededejar de utilizar como referencia las coor-denadas naturales que le proporciona laexperiencia, para servirse de coordenadasconvencionales abstractas; son, por tanto,las operaciones formales las que capacitanal niño para comprender los mapas y ejescoordenados abstractos que le pide eltrabajo escolar.

E. La medición espontánea. Como yadijimos anteriormente, la obra de Piaget,Inhelder y Szeminska (1948), está dedica-da al estudio . de la ontogénesis de lageometría euclidiana. También este librose divide en tres partes. La primera deellas se ocupa de la conservación y medi-ción del espacio en una dimensión, conexperimentos tales como la longitud y ladistancia. La segunda estudia estas opera-ciones de conservación y medición en elespacio bidimensional, con experimentosde medida de ángulos y triángulos, laconstrucción de lugares geométricos, etc.Por último, en la tercera parte, los auto-res revisan la ontogénesis de la medida delos sólidos o del espacio tridimensional,estudiando la conservación y medida deáreas y volúmenes y el concepto de frac-ción. Exponemos seguidamente la pruebamás conocida: medición espontánea de lalongitud.

Se presenta a los niños una torre de 8ocm. hecha con 12 bloques de diferentesdimensiones (cubos y paralelepípedos) ycolocada sobre una mesa. Se les pide queconstruyan otra «igual» o «igual de larga»sobre una mesa más baja que la anterior,

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106 futudiospara lo que se les proporcionan bloquesen mayor número del necesario y elemen-tos susceptibles de ser utilizados comounidad de medida, tales como varillas ytiras de papel. Los resultados se distribu-yen en tres etapas, si bien se encuentranseis tipos de medición siguiendo el pro-ceso evolutivo.

Durante la primera etapa, los niños seconforman con hacer una comparaciónperceptiva entre el modelo y la copia,método al que Piaget y sus colaboradoresdenominan «transferencia visual»; no hayuna medida común para las dos torres ylas comparaciones de altura se hacen res-pecto a la línea de visión, sin tener encuenta las alturas diferentes de las mesas.A partir de los cuatro años y medioaproximadamente (subetapa II A), en-cuentran nuestros autores lo que denomi-nan «transferencia manual», puesto quelos niños intentan transportar una de lastorres para, de nuevo, hacer una compa-ración visual entre ellas. Posteriormente,hacia los seis años, ya en la subetapa II B,se encuentra un avance interesante en lautilización del propio cuerpo (las manoso los brazos) como medida: «transferen-cia corporal».

En el momento de transición entre lasetapas II y III, hacia los seis arios ymedio, los niños son capaces de usar unobjeto externo, como una tercera torre ouna varilla, pero con la condición de quetenga la misma longitud del modelo. Asíencontramos ya una transferencia o des-plazamiento de carácter operativo y tran-sitivo (A=B, B.C, luego A =C). Apartir de los siete arios, en la etapa III A,los sujetos son capaces de utilizar unaregla más larga que el modelo, y solamen-te a partir de los ocho pueden llegar amedir como los adultos utilizando comounidad una regla más corta que transpor-tan un cierto número de veces para com-parar la torre original y la copia. Es asícomo en la etapa de las operacionesconcretas los niños son capaces de medir

de forma operatoria haciendo una síntesisentre la partición y el desplazamiento, esdecir, colocando la unidad de medida elnúmero de veces preciso en el objeto amedir.

V. IMPORTANCIA YREPERCUSIONES DEESTA TEORIA

Muchos de los autores estudiosos de lapsicología evolutiva del conocimiento es-pacial (Hart y Moore, 191 7 ; Dows y Stea,1973; Hart, 1979), coinciden con nosotrosen que Piaget ha sido el único autor queha estudiado seriamente el espacio desdeel punto de vista evolutivo. En estesentido afirman Hart y Moore: «En unarevisión sistemática de la literatura poste-rior a la primera parte del siglo, noshemos impresionado, e intentamos mos-trarlo, por el hecho de que la mayoría delos datos sobre el desarrollo de la cogni-ción espacial, incluyendo la de medios agran escala, puede ser cómodamente expli-cada dentro de este punto de vista teóri-co. La mayoría del trabajo hecho dentrode un marco de referencia estrictamenteconductista es fragmentario y no puedetrazar de forma comprensiva la secuenciadel desarrollo»7.

Así pues, la teoría de Piaget nos pro-porciona el único modelo teórico • querelaciona, de forma satisfactoria, la evo-lución de la cognición espacial con eldesarrollo cognitivo general. Tanto lostrabajos que estudian la ontogénesis delos conceptos espaciales básicos («cogni-ción espacial fundamental» en la termino-logía de Hart y Moore, 1971), comoaquellos otros que investigan la forma enque dichos conceptos se plasman en larepresentación que los sujetos tienen delos espacios grandes (formación de mapascognitivos o representaciones topográfi-cas), tiene su origen en las obras dePiaget y sus colaboradores (Piaget e In-

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helder, 1947; Piaget, Inhelder y Szemins-ka, 1948).

Como la mayoría de los trabajos piage-tianos, también éste ha sido objeto denumerosas revisiones, estandarizaciones yréplicas. No vamos a entrar aquí en elanálisis de estas investigaciones y remiti-mos al lector a la excelente obra realizadapor Modgil y Modgil, en 1976, denomi-nada Piagetian research. La tercera partedel segundo volumen de dicho libro estádedicada a los trabajos «Postpiagetianos»sobre el desarrollo de los espacios topo-lógicos proyectivo y euclidiano.

Aunque recogido en la obra que seacaba de citar, merece mención especial eltrabajo publicado en 1968 por Laurendeauy Pinard, dedicado a estandarizar y arevisar los aspectos fundamentales de laobra piagetiana de 1947. Replicaron cua-tro de los experimentos más relevantes,prestando atención especial a la estanda-rización de los materiales experimentalesy a la elección de muestras representati-vas. En las pruebas de percepción «háp-tica», construcción de la línea recta pro-yectiva, localización de lugares topográ-ficos y coordinación de perspectivas, losresultados generales están de acuerdo conlos obtenidos por Piaget e Inhelder, porlo que Laurendeau y Pinard confirmanlas tesis sobre la sucesión ontogenética delos espacios topológico, proyectivo y eu-clidiano y sobre la sucesión de las equili-braciones preoperacionales a las operacio-nales.

No obstante, hay también aspectos dela teoría de Piaget sobre el desarrollo delconocimiento espacial que han sido obje-to de valoraciones más o menos negati-vas. Uno de ellos, precisamente el consi-derar que el conocimiento espacial pro-gresa desde las nociones topológicas a lasproyectivas y euclidianas, ha sido muycriticado en el sentido de que se trata deuna diferenciación de índole epistemoló-gica y no psicológica. En relación conesto dicen Downs y Stea: «A menudo setoma como un hecho que el desarrollodel 'niño tiende hacia y debe rígidamentetender hacia el logro de conceptos estan-darizados euclidianos y newtonianos delmundo. Pero a menudo se olvida que lospuntos de vista euclidiano y newtonianoson efectivamente modelos de las geome-trías del mundo real y sistemas físicosmás que hechos dados»8.

Para concluir queremos únicamente po-ner de manifiesto otro de los conceptosmás criticados dentro de la teoría que nosocupa como es el de «error egocéntrico»que, como se dijo a propósito del experi-mento de la coordinación de perspectivas,es aquel que cometen los niños al consi-derar su propio punto de vista como elúnico posible. Las investigaciones de Hut-tenlocher y Preson (1973 y 1979) hanpuesto de manifiesto que tales errores nosiempre son cometidos por los niñoscuando hacen una tarea de rotación espa-cial de un conjunto de objetos, sino quedependen en gran medida, del ripo deinstrucciones que reciben en la prueba.

Notas:' Existen también otras publicaciones sobre espacio: Piaget, 1953, 1954 y 1955; Piaget e Inhelder, 1945

Y 1948. Sobre geometría: Piaget, 1953, y Piaget y Morí, 1958.2 Respecto al problema de los estadios ver Flavell, 1963, p. 104-106, y Delval, 1978, V.1, p. 34-36.3 Trabajos posteriores han mostrado que es perfectamente posible estudiar la percepción visual en los

primeros momentos de la vida del niño, como los de Fantz, 1961, y Bower, 1974.4 Piaget e Inhelder, 1947, p. 77, ed. inglesa.

Traducimos «surrounding» por cercamiento o rodeamiento.6 Piaget e Inhelder, 1947, p. 412.7 Hart y Moore, 1 9 71. En Downs y Stea, 1973, p. 247.

Down .: y Stea, 197;, p. 224-

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ResumenEste artículo presenta un resumen de la teoría de Piaget y sus colaboradores sobre el

conocimiento del espacio. En primer lugar se analizan los aspectos principales de la teoría deldesarrollo de las nociones espaciales en relación con el desarrollo cognitivo; se continúa con ladescripción de los tipos de experimentos utilizados para el estudif del espacio topológico, espacioproyectivo y espacio euclidiano; se concluye poniendo de manifiesto la relevancia del trabajopiagetiano sobre las posteriores investigaciones acerca de la cognición espacial.

AbstractThis paper makes a summagr of .theory on spatial knowledge as developped by Piaget and

col. First of all the main issues of ibis theog n are discussed ami related to the general theory ofcognitive development. The paper then gives a description of the types of experiments used forthe study of topologic, projective and eucliden space. It concludes emphasizing the relevance ofpiagetian work en lato research or; Ibis subject.

RésuméCet article présent un résumé de la théorie de Piaget el res collaborateurs sur la connaissance

de l'espato. Premiérement en analise les aspects principaux de cette théorie á l'égard dudévelopement cognitif; aprés on fait une description des types de experiment utilisé pone /Widede Pespace topologique, projective el euclidien; el finalement en conclue soulignant la relévance dutravail piagetien pour les recherches ultérieures su la cognition spatiale.

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