LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Definicin bsica.Si f (x) est definida para t 0, entonces la integral impropia est definida por (1) como un lmite:

Si el lmite existe, se dice que la integral es convergente, caso contrario, si no hay lmite, la integral es divergente. Cabe anotar que esta integral existe solo para ciertos valores de s. La eleccin K(s,t) = e-st produce una transformada integral especialmente importante.Definicin.- transformada de LaplaceSea f una funcin definida por t0. Entonces se dice que la integral,

es la TRANSFORMADA DE LAPLACE de f, siempre y cuando la integral converja. Cuando esta integral converge, el resultado es una funcin de s.

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE1) LINEALIDADSi c1 y c2 R y f1(t), f2(t) son funciones cuyas transformadas respectivas son F1(s), F2(s), entonces:

2) TRASLACION Si L = , entonces L =

Si L = y = entonces L.

3) CAMBIO DE ESCALASi L = L

4) TRANSFORMADA DE LA DERIVADA Supongamos que f y f son continuas en [0,] y de orden exponencial. Entonces existe L y; L s L

5) TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL Si L = L =

6) DERIVADA DE LA TRANSFORMADASupongamos que f(t) es continua por segmentos en [0,] y de orden exponencial . Entonces para todo s > : LTABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

LA TRANSFORMADA INVERSA SI F(s) representa la transformada de Laplace de una funcin f(t), que es L= , entonces decimos que f(t) = L-1. De los ejemplos anteriores tenemos respectivamente que:

Cuando evaluamos transformadas inversas, muchas veces sucede que una funcin de s bajo consideracin no coincide exactamente con la forma de la transformada de Laplace F(s) dada en una tabla. Puede ser necesario entonces arreglar la funcin de s multiplicndola y dividindola empleando una constante apropiada.SERIES DE FOURIER Unaserie de Fourieres unaserieinfinita que converge puntualmente a unafuncin peridicaycontinuaa trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemtica bsicadelanlisis de Fourier empleado para analizar funciones peridicas a travs de la descomposicin de dicha funcin en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho ms simples (como combinacin de senos y cosenos con frecuencias enteras).Las series de Fourier tienen la forma:

Definicin.- Series de FourierLa serie de Fourier de una funcin f definida en el intervalo (-p, p) est dada por:

Donde;

APLICACIONES A LA INGENIERIA Generacin de formas de onda de corriente o tensin elctrica por medio de la superposicin de sinusoides generados por osciladores electrnicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya estn determinadas. Anlisis en el comportamiento armnico de una seal. Reforzamiento de seales. Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital elctrica donde la seal de entrada no es sinusoidal o cosinusoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o solucin en rgimen permanente sinusoidal en el dominio de la frecuencia. La resolucin de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fcilmente computables, y que obtenersoluciones prcticas, en la teora de latransmisin del calor, lateora de placas, etc.

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALESEnmatemticasunaecuacin en derivadas parciales(a veces abreviado como EDP) es aquella cuyas incgnitas son funciones de diversas variables, con la peculiaridad de que en dicha ecuacin figuran no solo las propias funciones sino tambin sus derivadas. Tienen que existir funciones de por lo menos dos variables.APLICACIONESLas ecuaciones enderivadas parciales se emplean en la formulacin matemtica de procesos de la fsica y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas tpicos son la propagacin delsonidoo delcalor, la electrosttica, laelectrodinmica, ladinmica de fluidos, laelasticidad, lamecnica cunticay muchos otros.Definicin.- Ecuaciones en derivadas parcialesUna ecuacin en derivadas parciales (EDP) para la funcintiene la siguiente forma:

dondees unafuncin linealdey sus derivadas si:ySies unafuncin linealdey sus derivadas, entonces la EDP es lineal. Ejemplos comunes de EDP son laecuacin del calor, laecuacin de onday laecuacin de Laplace.