OSCILACIÓN DE UN PÉNDULO SIMPLE

. Panamá, 5 de Septiembre de 2012. Dinámica Aplicada. Universidad Tecnológica de Panamá –

Facultad de Ingeniería Mecánica. 1IM-132 (B)

Abstracto

Si una partícula tiene movimiento rectilíneo,

su aceleración es siempre proporcional a la

distancia a un punto fijo de la trayectoria y

está dirigida hacia este punto fijo, entonces

se dice que la partícula tiene movimiento

armónico simple. Este tipo de movimiento es

la forma más sencilla de movimiento

periódico, y es el que presenta el péndulo

analizado en el presente informe.

Marco Teórico

El movimiento que describe un péndulo

simple se puede describir como el de una

vibración de un cuerpo rígido respecto a un

eje de referencia, donde el desplazamiento

está medido en términos de una coordenada

angular. Si se analiza esta definición con

detenimiento, se podrá notar que lo dicho es

válido también para cuerpos que describen

vibración torsional. Así, se podría tomar a la

oscilación de un péndulo simple como un

caso especial de vibración torsional, donde

una masa está suspendida verticalmente a

partir de un marco de soporte por medio de

un hilo o filamento, como se presenta en la

ilustración contigua. Cuando la masa es

desplazada de la vertical que se forma a

partir del origen O, la masa oscilará respecto

a dicha vertical periódicamente.

Si se restringe el movimiento a un solo plano,

la coordenada que describe el movimiento es

el desplazamiento angular respecto a la

mencionada vertical θ, medido en dicho

plano. La longitud del alambre es una

restricción la cual restringe a la masa del

péndulo a moverse en un movimiento

circular respecto al marco de soporte. Al

reconocer a la longitud del alambre como

una restricciones lo que hace a θ una

coordenada generalizada del movimiento de

oscilación del péndulo.

A continuación se presenta el diagrama de

cuerpo libre de la masa:

A partir de la Segunda Ley de Newton, se

tiene que:

𝛴𝐹θ = 𝑚𝑎θ

−𝑚𝑔 𝑆𝑖𝑛𝜃 = 𝑚𝑙Ӫ [1]

Para pequeños ángulos de oscilación, la

función seno puede ser remplazada por

dicho ángulo, alcanzando una precisión

cercana al 100% para ángulos de 5.5º. Así,

sustituyendo Sin𝜃 por 𝜃, reordenamos [1]

como sigue:

−𝑚𝑔𝜃 = 𝑚𝑙Ӫ

Despejando se y reacomodando se obtiene:

Ӫ + 𝑔

𝑙𝜃 = 0 [2]

La ecuación [2] es análoga a la expresión

(2.5) utilizada en la experiencia pasada (ver

guía de laboratorio No. 3, “Modelado de un

Sistema Masa Resorte” para mayor

información). La mencionada ecuación es:

𝑚ẍ + 𝑘𝑥 = 0

Donde θ hace las veces de x y g/l hace las

veces de k/m, al desarrollar la mencionada

ecuación (2.5).

La frecuencia natural se escribe como sigue:

𝑓n = 1

2𝜋√

𝑔

𝑙

Aquí se observa que la longitud del alambre

es la única variable de la cual depende la

frecuencia natural, por lo que la masa dentro

del modelado de un péndulo simple no es de

importancia para realizar este cálculo. El

periodo será a su vez, como vimos en

experiencias pasadas, el inverso de 𝑓n.

𝜏n = 2𝜋√𝑙

𝑔

La aplicación más famosa del péndulo simple

es en los relojes de pared antiguos debido a

su gran precisión y confiabilidad.

Procedimiento

1. Seleccione los parámetros (longitud

y masa) de un péndulo simple. Para

cada una de las tres experiencias a

realizar.

2. Especifique las condiciones iniciales

(condiciones de frontera).

3. Mida el periodo natural de oscilación

para tres ciclos de movimiento.

Calcula el periodo promedio de ola

oscilación. Calcule la frecuencia

natural y la frecuencia natural

circular.

4. Obtenga la ecuación diferencial de

movimiento en función de θ.

Obtener la posición, velocidad y

aceleración para:

4.1 θ(0) = xθ0 y Ӫ(0) = 0. Graficar

utilizando: Excel, MATLAB o

Scilab y Simulink o XCOS.

5. Determine analíticamente el

periodo, la frecuencia circular

natural y la frecuencia natural del

movimiento.

Resultados para una masa puntual

Masa de la esfera: 520 g = 0.520 kg.

Data experimental:

Longitud (m)

τ1 (s)

τ2 (s)

τ3 (s)

τprom' (s)

τprom = τn (s/oscilación)

fn (Hz)

ωn (rad/s)

0.600 4.460 4.460 4.440 4.453 1.484 0.674 4.233

0.400 3.680 3.690 3.660 3.677 1.226 0.816 5.126

0.200 2.580 2.510 2.580 2.557 0.852 1.173 7.372

τprom’ vendría siendo el periodo promedio

medido para tres oscilaciones. Por definición,

el periodo es el tiempo que dura una

oscilación, por lo que el periodo es en

realidad τprom (τprom’/3).

A partir de la ecuación diferencial de

movimiento que modela el sistema de

péndulo simple, presentada en el marco

teórico (Ecuación [2]), y considerando la

ecuación de frecuencia natural angular, se

obtienen las ecuaciones de posición,

velocidad y aceleración:

Ӫ + 𝑔

𝑙𝜃 = 0

𝜃(𝑡) = 𝐶1𝑆𝑖𝑛(𝜔n𝑡) + 𝐶2𝐶𝑜𝑠(𝜔n𝑡)

�̇�(𝑡) = 𝜔n[𝐶1𝐶𝑜𝑠(𝜔n𝑡) − 𝐶2𝑆𝑖𝑛(𝜔n𝑡)]

Condiciones iniciales

𝜃(0) = 10º = 𝜋

18.

�̇�(0) = 0.

Remplazando las condiciones iniciales en las

ecuaciones inmediatamente arriba, se tiene

que:

C1 = 0.

C2 = 𝜋

18.

Por lo que tenemos las siguientes

ecuaciones:

Posición

𝜃(𝑡) = 𝜋

18𝐶𝑜𝑠(𝜔n𝑡)

La ecuación de posición también

puede escribirse de la forma x(t) =

θSin(ωnt + φ):

𝜃 = √(𝐶1)2 + (𝐶2)2 = C2 = 𝜋

18

𝜑 = tan−1 (𝐶2

𝐶1) = tan−1 ∞ = 𝜋

Remplazando los valores

correspondientes, tenemos que:

𝜃(𝑡) = 𝜋

18𝑆𝑖𝑛(𝜔n𝑡 + 𝜋)

Velocidad

�̇�(𝑡) = −𝜋

18𝜔n𝑆𝑖𝑛(𝜔n𝑡)

Aceleración

Ӫ(𝑡) = −𝜋

18𝜔n2𝐶𝑜𝑠(𝜔n𝑡)

Gráficas en Excel: las tablas de las gráficas aparecen en la sección de Anexos.

1. Para L = 0.600 m

2. Para L = 0.400 m

-4.0000

-3.0000

-2.0000

-1.0000

0.0000

1.0000

2.0000

3.0000

4.0000

0 1 2 3 4 5 6

θ (radianes)

θ (rad/s)

Ӫ (rad/s2)

-6.0000

-4.0000

-2.0000

0.0000

2.0000

4.0000

6.0000

0 1 2 3 4 5 6

θ (radianes)

θ (rad/s)

Ӫ (rad/s2)

3. Para L = 0.200 m

-15.0000

-10.0000

-5.0000

0.0000

5.0000

10.0000

15.0000

0 1 2 3 4 5 6

θ (radianes)

θ (rad/s)

Ӫ (rad/s2)

Gráficas en MATLAB

1. Para L = 0.600 m

2. Para L = 0.400 m

3. Para L = 0.200 m

Gráficas en SIMULINK: el Diagrama de Bloques aparece en los Anexos.

1. Para L = 0.600 m

2. Para L = 0.400 m

3. Para L = 0.200

Data Analítica:

Frecuencias angulares naturales

𝜔n = √𝑔

𝑙= √

9.81 𝑚/𝑠2

0.600 𝑚= 4.044

𝑟𝑎𝑑

𝑠.

𝜔n = √𝑔

𝑙= √

9.81 𝑚/𝑠2

0.400 𝑚= 4.952

𝑟𝑎𝑑

𝑠.

𝜔n = √𝑔

𝑙= √

9.81 𝑚/𝑠2

0.200 𝑚= 7.004

𝑟𝑎𝑑

𝑠.

Frecuencias naturales

𝑓n = 1

2𝜋√

𝑔

𝑙=

1

2𝜋√

9.81 𝑚/𝑠2

0.600 𝑚= 0.644 𝐻𝑧

𝑓n = 1

2𝜋√

𝑔

𝑙=

1

2𝜋√

9.81 𝑚/𝑠2

0.400 𝑚= 0.788 𝐻𝑧

𝑓n = 1

2𝜋√

𝑔

𝑙=

1

2𝜋√

9.81 𝑚/𝑠2

0.200 𝑚= 1.115 𝐻𝑧

Periodo natural

𝜏n = 2𝜋√𝑙

𝑔= 2𝜋√

0.600 𝑚

9.81 𝑚/𝑠2

= 1.554 𝑠/𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝜏n = 2𝜋√𝑙

𝑔= 2𝜋√

0.400 𝑚

9.81 𝑚/𝑠2

= 1.269 𝑠/𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝜏n = 2𝜋√𝑙

𝑔= 2𝜋√

0.200 𝑚

9.81 𝑚/𝑠2

= 0.897 𝑠/𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

Se analizan los resultados obtenidos hasta

ahora en la siguiente tabla:

Comparación de Resultados

Analítico Experimental Error (%)

Longitud (m)

ωn (rad/s)

fn (Hz)

τn (s/oscilación)

ωn (rad/s)

fn (Hz)

τn (s/oscilación)

ωn fn τn

0.600 4.044 0.644 1.554 4.233 0.674 1.484 4.67 4.66 4.50

0.400 4.952 0.788 1.269 5.126 0.816 1.226 3.51 3.55 3.39

0.200 7.004 1.115 0.897 7.372 1.173 0.852 5.25 5.20 5.02

Como se puede observar en la tabla, ya sea

mediante datos recabados

experimentalmente o calculados

analíticamente, se puede apreciar tres

hechos recalcables:

1. La frecuencia angular natural y la

frecuencia natural son inversamente

proporcionales a la longitud del

cable:

𝜔n = 𝑓n ∝ 1

𝐿

Así, a medida que se disminuía la

longitud del cable durante la

experiencia de laboratorio, se pudo

observar cómo las oscilaciones de la

masa se volvían “más rápidas”, o sea,

aumentaban en su frecuencia. De

modo análogo, si se aumenta la

longitud del alambre, se espera que

las frecuencias disminuyan.

2. Al ser la frecuencia natural el inverso

del periodo natural, se esperará que

lo concluido en el punto 1

experimente un efecto inverso. Así,

mientras más corto el alambre,

mayor será el periodo natural, como

bien se constata en la tabla presente.

Podemos escribir entonces:

𝜏n ∝ 𝐿

3. La frecuencia angular natural, la

frecuencia natural y el periodo

natural son independientes a la masa

para este caso, por lo que el efecto

del peso no se ha considerado

dentro del presente análisis.

Gráficas en SIMULINK: el Diagrama de Bloques aparece en los Anexos.

4. Para L = 0.600 m

5. Para L = 0.400 m

6. Para L = 0.200

Anexos

Anexo I: Tablas utilizadas para graficar en

Excel

Longitud = 0.600 m

Tiempo (s)

θ (radianes)

θ (rad/s)

Ӫ (rad/s2)

0 0.1745 0.0000 -3.1273

0.2 0.1156 -0.5534 -2.0720

0.4 -0.0213 -0.7333 0.3818

0.6 -0.1439 -0.4182 2.5779

0.8 -0.1693 0.1791 3.0341

1 -0.0805 0.6555 1.4424

1.2 0.0627 0.6895 -1.1228

1.4 0.1635 0.2582 -2.9302

1.6 0.1540 -0.3474 -2.7599

1.8 0.0406 -0.7186 -0.7269

2 -0.1003 -0.6047 1.7967

2.2 -0.1734 -0.0827 3.1077

2.4 -0.1295 0.4951 2.3212

2.6 0.0018 0.7388 -0.0320

2.8 0.1319 0.4838 -2.3635

3 0.1730 -0.0977 -3.0999

3.2 0.0973 -0.6133 -1.7440

3.4 -0.0440 -0.7149 0.7890

3.6 -0.1557 -0.3340 2.7894

3.8 -0.1622 0.2723 2.9072

4 -0.0593 0.6948 1.0628

4.2 0.0837 0.6484 -1.4989

4.4 0.1702 0.1644 -3.0490

4.6 0.1418 -0.4306 -2.5412

4.8 0.0178 -0.7350 -0.3183

5 -0.1183 -0.5433 2.1194

Longitud = 0.400 m

Tiempo (s)

θ (radianes)

θ (rad/s)

Ӫ (rad/s2)

0 0.1745 0.0000 -4.5860

0.2 0.0906 -0.7648 -2.3798

0.4 -0.0805 -0.7937 2.1161

0.6 -0.1742 -0.0590 4.5760

0.8 -0.1002 0.7325 2.6331

1 0.0701 0.8192 -1.8432

1.2 0.1730 0.1177 -4.5461

1.4 0.1094 -0.6970 -2.8750

1.6 -0.0595 -0.8411 1.5623

1.8 -0.1711 -0.1760 4.4964

2 -0.1181 0.6585 3.1044

2.2 0.0485 0.8594 -1.2745

2.4 0.1685 0.2334 -4.4272

2.6 0.1264 -0.6171 -3.3202

2.8 -0.0373 -0.8739 0.9812

3 -0.1651 -0.2899 4.3386

3.2 -0.1340 0.5731 3.5216

3.4 0.0260 0.8847 -0.6837

3.6 0.1610 0.3451 -4.2312

3.8 0.1411 -0.5265 -3.7077

4 -0.0146 -0.8915 0.3832

4.2 -0.1562 -0.3987 4.1053

4.4 -0.1476 0.4777 3.8776

4.6 0.0031 0.8945 -0.0810

4.8 0.1508 0.4507 -3.9616

5 0.1534 -0.4268 -4.0306

Longitud = 0.200 m

Tiempo (s)

θ (radianes)

θ (rad/s)

Ӫ (rad/s2)

0 0.1745 0.0000 -9.4852

0.2 0.0168 -1.2807 -0.9129

0.4 -0.1713 -0.2465 9.3095

0.6 -0.0498 1.2332 2.7050

0.8 0.1617 0.4839 -8.7888

1 0.0809 -1.1401 -4.3967

1.2 -0.1461 -0.7034 7.9425

1.4 -0.1090 1.0047 5.9256

1.6 0.1252 0.8968 -6.8018

1.8 0.1331 -0.8321 -7.2349

2 -0.0995 -1.0569 5.4091

2.2 -0.1523 0.6286 8.2762

2.4 0.0702 1.1779 -3.8160

2.6 0.1658 -0.4019 -9.0107

2.8 -0.0383 -1.2553 2.0815

3 -0.1732 0.1602 9.4114

3.2 0.0050 1.2861 -0.2699

3.4 0.1741 0.0873 -9.4633

3.6 0.0286 -1.2693 -1.5518

3.8 -0.1686 -0.3317 9.1646

4 -0.0610 1.2055 3.3159

4.2 0.1569 0.5637 -8.5263

4.4 0.0912 -1.0970 -4.9572

4.6 -0.1393 -0.7749 7.5721

4.8 -0.1180 0.9478 6.4148

5 0.1166 0.9573 -6.3373

Anexo II: Diagrama de bloques en Simulink