laboratorio de señales

Analisis de Senales y Sistemas: Variables de las Senales I

MSc. Renan Rojas G.

2015-1

Renan Rojas G. EL5002: Variables de las Senales I 2015-1 1 / 21

Objetivos

1 Establecer Los conceptos de senales, sistemas y procesamiento de senales.

2 Analizar la relacion entre senal e informacion.

3 Introducir el procedimiento para procesar digitalmente informacion a partir de senalesdiscretas y analogicas.

4 Analizar el comportamiento de senales periodicas en tiempo continuo y tiempo discreto.

5 Introducir senales discretas elementales.


Definiciones Basicas

Senal: Magnitud fısica que varia con el tiempo, espacio u otras variables independientes.Ej:

s1(t) = 20t2, s2(x, y) = 3x+ 2xy + 10y2.

t: tiempo, x, y: coordenadas de un plano.

Existen senales cuya relacion con variables es desconocida o muy compleja.

Ej: Aproximacion a una senal de voz:

N∑i=1

Ai(t) sin(2πFi + Θi(t)).

Existen senales naturales y artificiales que contienen informacion de interes.Ej: Electrocardiograma, imagenes de ultrasonido, senales espaciales, etc.



Sistema: Medio fısico con el cual se generan senales.La generacion de senales esta asociada a un sistema y su respuesta a un determinadoestımulo (senal inicial).

Estımulo + sistema = fuente de la senalEj 1: La voz se genera al pasar aire por las cuerdas vocales.Ej 2: Las imagenes se obtienen al exponer una pelıcula fotografica a una escena.

De manera general (artificial y natural), un sistema es un dispositivo que realizaoperaciones sobre una senal inicial.



Procesamiento de Senales: Obtener una senal resultante a partir de un determinadosistema sobre una senal inicial.

Senal resultante = Operacion(senal inicial)

Procesamiento de Senales Digitales: Efectuar operaciones sobre una senal digital,basandose en un sistema representado por operaciones matematicas (sistema: software +hardware).

SistemaSeñal inicial Señal resultante

Figure : Procesamiento de senales.


Procesamiento Digital de Senales: Elementos Basicos

Convertidor Analogico Digital (A/D): Obtiene una senal discreta tanto en dominiocomo en rango (es decir, una senal digital) a partir de su version continua.

Procesador de Senales Digitales Combinacion Software + Hardware que efectua lasoperaciones sobre una senal digital inicial y genera una senal digital resultante.

Convertidor Digital Analogico (D/A): En casos en los que la salida debe ser analogica,se utiliza dicho elemento para pasar la senal digital resultante a su representacionanalogica.Ej: Sistemas de comunicacion de voz.


Procesamiento Digital de Senales: Elementos Basicos

Figure : Bloques del procesamiento de senales digitales.


Clasificacion de las Senales

1 Senal continua en el tiempo Definida en todo instante de tiempo.

x(t), t ∈ R

a. rango de amplitud continuo (x(t) puede tomar infinitos valores).b. rango de amplitud discreto (x(t) puede tomar un conjunto finito de valores).

2 Senal discreta en el tiempo Definida en instantes especıficos de tiempo.

x[n], n ∈ A, A ⊂ Z.

a. rango de amplitud continuo (x[n] puede tomar infinitos valores).b. rango de amplitud discreto (x[n] puede tomar un conjunto finito de valores).



0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−1

−0.5

0

0.5

1

am

plit

ud

tiempo (s)

x(t)

x(nT)

(a) Senal continua xc(t) vs. senal discreta x[n] = xc(n · T ). Ambas senales de rango continuo.



3 Senal determinıstica: Representada por una expresion matematica explıcita. Es posibleconocer sus valores pasados, presentes y futuros.Ej: Posicion de un vehıculo dada su posicion inicial y velocidad (Ec. lineal)

4 Senal aleatoria: Con evolucion en el tiempo no predecible (Incertidumbre).Ej: Numero de veces que una moneda muestra sello en diez intentos (Dist. binomial)


Concepto de Frecuencia

Analisis de senales periodicas y sus propiedades respecto al dominio del tiempo.

Dos casos esenciales: senales Sinusoidales y senales Exponenciales ComplejasArmonicas.

1 Senales sinusoudales continuas en el tiempo:

x(t) = A cos(Ωt+ Θ), Ω = 2πF, F : frecuencia (Hz).

i Senal periodica: x(t+ 1F ) = x(t).

ii Multiples senales sinusoidales con diferentes frecuencias son diferentes entre sı.

Estas propiedades tambien son aplicables a senales exponenciales complejas:

x(t) = Aej(Ωt+θ) = A cos(Ωt+ Θ) + jA sin(Ωt+ Θ),

=A

2ej(Ωt+θ) +

A

2e−j(Ωt+θ),



Por conveniencia matematica, la frecuencia de una senal puede ser positiva o negativa.

Figure : Frecuencias positivas y negativas.



2 Senales sinusoudales discretas en el tiempo:

x[n] = A cos(ωn+ Θ), ω = 2πf, f : frecuencia (ciclos/muestra).

i. Una senal sinusoidal es periodica solo si su frecuencia es racional.

x[n+N ] = x[n], N ∈ Z+ : Periodo fundamental.

Periodo fundamental: valor mınimo para que la igualdad se cumpla.ii. Senales sinusoidales con frecuencias separadas un multiplo de 2π son identicas.

Cualquier secuencia discreta con |ω| > π es identica a una sinusoidal con un determinado|ω| < π.

−π ≤ ω ≤ π : Frecuencias unicas (Rango Fundamental).

|ω| > π : Replicas de las frecuencias unicas (Alias).



iii. La tasa maxima se oscilacion de una senal sinusoidal se alcanza cuando |ω| = π

Figure : tasas de oscilacion de una senal sinusoidal discreta en funcion de su frecuencia.



3 Senales exponenciales complejas armonicamente relacionadas continuas en eltiempo:

sk[t] = ejkΩ0t, Ω0 = 2πF0, F0 : frecuencia fundamental (Hz), k = 0,±1,±2, ...

i. Cada sk(t) esta caracterizada por una frecuencia kF0 (conjunto de senales skarmonicamente relacionado a la frecuencia fundamental F0).

ii. Dado que cada senal sk tiene periodo 1kF0

, todos las senales del conjunto son periodicas para

T= 1F0

.

iii. sk1(t) 6= sk2(t) si k1 6= k2.



4 Senales exponenciales complejas armonicamente relacionadas discretas en eltiempo:

sk[n] = ejkω0n, ω0 = 2πf0, f0 : Frecuencia fundamental (ciclos/muestra),

k = 0,±1,±2, ...

i. Asumiendo un periodo entero de N muestras, f0 = 1N :

sk[n] = ej2πkN n.

Por lo tanto, solo hay N senales exponenciales complejas armonicamente relacionadas. Elresto son replicas (Alias).

sk+N [n] = ej2π(k+N)

N n = ej2πnsk[n] = sk[n].


Senales Discretas en el Tiempo Elementales

Senales basicas que constituyen un papel importante en el estudio sobre sistemas ysenales discretas.Muestra Unitaria (Impulso Unitario)

Figure : Impulso unitario

Escalon Unitario

Figure : Escalon unitarioRenan Rojas G. EL5002: Variables de las Senales I 2015-1 18 / 21

Senales Discretas en el Tiempo Elementales

Rampa Unitaria

Figure : Rampa unitaria

Exponencial

Figure : Exponencial


Resumen

1 Los conceptos de senales y sistemas estan fuertemente relacionados.

2 Existe informacion relevante en senales tanto artificiales como naturales.

3 Es posible procesar senales analogicas a partir de computadoras al obtener surepresentacion digital.

4 El comportamiento de senales periodicas en tiempo continuo y tiempo discreto muestrandiferencias marcadas respecto al concepto de frecuencia.

5 El estudio de senales y sistemas discretos incluye el uso de senales discretas elementalescomo parte esencial de sus operaciones.


Referencias

(1) Proakis, J. G. & Manolakis, D. K. (2006), Digital Signal Processing (4th Edition),Prentice Hall.


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