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Ecuaciones empíricas

OBJETIVOS

Obtener una ecuación empírica que relaciona la elongación, Δx, que sufre un resorte al aplicarle una fuerza dada.

Determinar, de forma experimental, la constante elástica (k) de un resorte. 1. FUNDAMENTO 1.1 Ley de Hooke Si estiramos un resorte cíe modo que uno de sus extremos se mueva (mientras el otro lado permanece fijo) hasta la posición x, dicho resorte ejercerá una fuerza sobre el agente que causa el estiramiento, cuyo valor es, con buena aproximación

(1) donde k se denomina constante de fuerza del resorte. El signo menos indica que la dirección de la fuerza es siempre opuesta al desplazamiento. La fuerza ejercida por el resorte es una fuerza de restitución, y los resortes reales que se comportan según la ecuación (1), mientras no se estiren demasiado, se dicen obedecer la Ley de Hooke. 1.2 Ajuste de curvas En los experimentos físicos, con frecuencia surge el problema de obtener una dependencia funcional entre dos o más magnitudes físicas (variables), teniendo como base las mediciones de estas magnitudes físicas (datos experimentales). Esta dependencia funcional toma la forma de una ecuación, que por ser construida con los datos experimentales se le denomina empírica. Así, el alargamiento que sufre un resorte como consecuencia de la aplicación de una fuerza, puede ser descrito mediante una ecuación empírica que exprese la relación entre estas dos magnitudes (alargamiento y fuerza). En este caso, tanto la fuerza aplicada como el alargamiento producido se pueden medir y constituyen, respectivamente, las variables independiente y dependiente de la dependencia funcional.

Para cada valor elegido de la variable independiente le corresponde un valor de la variable dependiente , y la dependencia funcional que se obtiene en base a los diversos valores de y forma la ecuación empírica, la cual se expresa como:

(2) Los pasos a seguir para obtener una ecuación empírica, de modo muy general, son: 1. Identificar el sistema físico y el modelo experimental. 2. Elegir las magnitudes físicas a relacionar de forma adecuada. 3. Obtener los datos experimentales de las mediciones de las magnitudes anteriores. 4. Granear los datos experimentales en papel milimetrado, o mediante algún software ploteador. 5. Plantear la ecuación empírica que corresponda a la gráfica. 6. Si los puntos de la gráfica tienen un comportamiento lineal, entonces plantear como ecuación empírica la siguiente:

(3) y calcular los parámetros a y b con ayuda del método de mínimos cuadrados (o regresión lineal) . 7. Si los puntos de la gráfica tienen, otro tipo de comportamiento, donde el origen (0, 0) pertenece a la curva, debemos plantear una ecuación empírica de la forma de una potencia, si este fuera el caso.

(4) y luego proceder a linealizar (4), aplicando el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación, es decir

por último haciendo un adecuado cambio de variables

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obtenemos una ecuación empírica semejante a la ecuación (3), esto es

(5) Al graficar y* en función de x*, los puntos deben tener un comportamiento lineal. Luego a y b se calculan con ayuda del método de mínimos cuadrados. 1.2.1 Método de mínimos cuadrados. Asumiendo que los puntos observados en la gráfica tienen una distribución lineal, se plantea una ecuación empírica de la forma, (3). El i-ésimo punto de esta recta está dado por

(6) y para N puntos (número de datos) se tiene

(7) a partir de (6) tenemos

(8)

y de (7) y (8) se puede obtener una expresión para calcular los parámetros a y b de la línea, esto es

(9)

(10)

donde

Para la ecuación (5) del paso siete se utilizan estas últimas expresiones pero con los valores de x* y y*.

La desviación estándar de a y b se calculan en términos de la distribución de los valores y con las siguientes expresiones:

(11)

Nota: La aplicación del método de mínimos cuadrados se restringe al caso especial de que toda incertidumbre se limita a la variable y, es decir, los valores de x se asumen exactos, o al menos con una precisión mayor que los valores de y, para poder despreciar la incertidumbre en la variable x. 2. MATERIALES E INSTRUMENTOS

1 soporte universal.

1 resorte de aproximadamente 10 cm de longitud.

1 soporte conteniendo 10 pesas de diferente valor.

1 regla graduada (incertidumbre de 0.001 m).

1 balanza analógica, máximo de 1 Kg, (incertidumbre de 0,0001 Kg).

Tabla 1: Medición de la masa aplicada y de la elongación del resorte, (g = 9,81 m/s2)

n Masa, M, (x10-3 Kg) Fuerza, F = Mg, (x10-3N) Elongación, Δx (x10-2 m) 1 2 3 4 5 6 7

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3. PROCEDIMIENTO 1. Disponer el montaje del equipo experimental como se muestra en la figura 1a. 2. Anotemos la longitud inicial, L0, del resorte con la regla graduada. 3. Coloquemos una pequeña masa en la parte inferior del resorte y anotemos su longitud final, L, como se ve en la figura 1b. Observe que la elongación es: Δx = L – L0. 4. Registremos los valores de la masa M, la fuerza F y de la elongación Δx, en la Tabla 1. 5. Luego, adicionemos una segunda masa y de forma análoga repitamos los pasos 3 y 4. Realicemos este proceso hasta completar la Tabla, 1. 6. Con los datos registrados de la Tabla 1, hagamos una gráfica entre la fuerza y la elongación del resorte y observemos el comportamiento entre éstas magnitudes físicas. 7. Teniendo en cuenta la Tabla 1, realicemos una segunda tabla que nos permita dar cuenta del cálculo estadístico, según se indica en la sección 1.2. 4. DATOS A ANALIZAR Basándonos en las ecuaciones (1), (3), (9), (10), (11) y sus mediciones, obtengamos una dependencia funcional entre la fuerza y la elongación. Luego determinemos la constante de fuerza del resorte, indicado la incertidumbre (o precisión) en su valor. Comparemos nuestra medida con alguna tabla estándar, para identificar el material del resorte que se ha utilizado. Figura 1: Montaje experimental para obtener la dependencia funcional entre la elongación y la fuerza aplicada a un resorte.