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7/18/2019 Langrange.docx

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5.5.- FORMA BÁSICA DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE

5.5.1.- INTRODUCCIÓN.

5.5.1.1 Ligaduras o !"#u$os.

Se denominan ligaduras a las restricciones sobre las coordenadas de un sistema, siendoindependientes de las fuerzas actuantes, es decir, son condiciones que restringen elmovimiento de una partícula o sistema de partículas.

Si una partícula no tiene ninguna limitación en su movimiento, decimos que se trata deun partícula libre en cuyo caso, para fijar o determinar su posición, será necesario fijar tres coordenadas, por ejemplo, x, y, z . Decimos entonces que la partícula libre tiene 3grados de libertad en el espacio y si se mueve en un plano.

!n cambio, si la partícula está sujeta a alg"n tipo de restricción o de limitación en sumovimiento, decimos que la partícula está vinculada. !l medio mediante el cual se

provoca la limitación o restricción, se llama vínculo o ligadura. Se llama vínculo bilateral #o reversible$ a aquel en que el punto está permanentemente en contacto con elvínculo, por ejemplo, una partícula que se mueve dentro de un tubo. !n el presentete%to, sólo &aremos referencia a este tipo de vínculo' la que e%plicaremos líneas abajo.

(or e%tensión, decimos que un sistema de partículas o en general, un cuerpo, estánvinculados, cuando no se pueden mover libremente, en el plano o en el espacio, si noque están sujetos a ligaduras.

(odemos citar los siguientes ejemplos, que estudiaremos)

a. (ara *++.+.-.-#a$ el efecto de la fuerza desconocida es mantener la masa a ladistancia del origen , &aciendo que el movimiento de la masa est/ restringido.0uando ocurre esto, se dice entonces que la masa está sometida a una ligadura ya la fuerza que restringe su movimiento #la ejercida por la cuerda$ se le llamafuerza de ligadura.

b. 1na partícula obligada a moverse sobre una determinada curva, por caso, unanillo impulsado con cierta velocidad inicial en una guía, recta o curvada o una

esfera dentro de un tubo. !l vínculo es la guía, *igura *++.+.-.-#b$.

c. 1na partícula de masa m el e%tremo de una cuerda ine%tensible, que rota convelocidad uniforme, en un plano &orizontal liso. 2a cuerda obliga a la partícula adescribir una trayectoria circular, *igura *++.+.-.-#c$.

d. 1na varilla uno de cuyos e%tremos está obligado a moverse sobre el eje y y elotro sobre el eje x, *++.+.-.-#d$.

e. 1n disco que rueda sobre una recta en un plano inclinado. !l vínculo es el planoinclinado, *++.+.-.-#e$.

1



f. 1na semiesfera a la que se apoye sobre un plano &orizontal y se la deja caer. !lvínculo se supone que es una línea recta. er en la *++.+.-.-#f$, casos de planoliso y de plano rugoso.

g. 1na barra, articulada en su e%tremo izquierdo y con su otro e%tremo libre, que se

la suelta desde la posición &orizontal, *++.+.-.-#g$.

&. !n la *++.+.-.-#&$, en 4, la varilla apoya sobre un rodillo, lo que le permitedeslizar sin rozamiento. !n este caso, la fuerza que el vínculo ejerce sobre lavarilla, es perpendicular a /sta. Dic&a fuerza no puede tener componente en ladirección de la varilla) esto es así, porque la ausencia de rozamiento impide queel rodillo transmita a la varilla una fuerza que no sea en la dirección normal aesta "ltima.

*igura *++.+.-.-

a%.- A$gu"as &#ua#io"&s d& $igaduras &" sis'&(as s&"#i$$os)

i$. !n el caso de un bloque que se desliza sobre un plano inclinado, dic&o bloque estáobligado a moverse sobre el plano #ver figura *++.+.-.$ y la ligadura puede e%presarse

como) .

ii$. !l p/ndulo de la figura *++.+.-.-#a$, está obligada a moverse en una trayectoria

semicircular. !n este caso la ligadura se puede e%presar como) .

iii$. !n un cuerpo rígido #ver figura *++.+.-.3 y figura *++.+.-.5$ las partículas estánenlazadas de manera que la distancia entre ellas permanece constantes, pudi/ndose

establecer la ligadura como) .

2



*igura *++.+.-.. 1n bloque de masa m que se mueve sobre una superficie inclinada.

*igura *++.+.-.3. 0uerpo rígido.

*igura *++.+.-.5. Dos masas m- y m unidas por una barra rígida de longitud .

*%.- C$asi+i#a#i," d& $igaduras.- 2as ligaduras se pueden clasificar de varias formas, acontinuación algunas de ellas)

i%.- Si so" o "o d&sigua$dad&s)

Dependen de las ecuaciones de ligadura, estás describen los efectos de la fuerza, esdecir, sus implicaciones sobre la dinámica del sistema al que se aplique una determinadafuerza.

%.- U"i$a'&ra$&s.- Se dice que una ligadura es unilateral cuando son e%presadasmediante una desigualdad.

!jemplo de algunas ligaduras unilaterales)

-$. Si se tiene un sistema de mol/culas de gas encerrado en una esfera de radio 6#ver

figura *++.+.-.+$, las posiciones , de las mol/culas deben satisfacer las ligaduras,.

3



*igura *++.+.-.+. 7ol/culas de gas encerradas en una esfera de radio 6.

$. 1na partícula colocada sobre la superficie de una esfera de radio 6, está sujeta a una

ligadura que se puede escribir como, .

*igura *++.+.-.8. (artícula que se desliza sobre la superficie de una esfera de radio 6.

%.- Bi$a'&ra$&so r&/&rsi*$&s%.- Se da cuando el sistema o cuerpo está permanentemente en contacto con el vínculo, luego se dice que una ligadura es bilateralcuando se e%presa mediante una igualdad. !ste tipo de ligaduras pueden escribirse en laforma general)

!l subíndice l indica que puede &aber más de una ligadura de este tipo en el sistema,siendo ( el n"mero total de ellos.

!jemplo de algunas ligaduras bilaterales, están dadas en las ligaduras dadas por lasfiguras *++.+.-.3 y *++.+.-.5.

ii%.- Si d&0&"d&" &0$!#i'a(&"'& o i(0$!#i'a(&"'& d&$ 'i&(0o)

%.- Ligaduras r&,"o(as.- Se dice que una ligadura es reónoma si dependee%plícitamente del tiempo. 9ambi/n se les llaman ligaduras móviles.

!jemplo de algunas ligaduras reónomas)

-$. 2a ligadura presente en un sistema donde una canica &ueca se desliza a trav/s de unalambre rígido y curvo, de manera tal que el alambre se mueve de una forma

predeterminada. !s de &acer notar que, si el alambre se mueve como una reacción almovimiento de la canica, entonces la dependencia de la ligadura respecto al tiempo

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entra en la ecuación de la misma sólo a trav/s de las coordenadas del alambre curvado#las cuales son a&ora parte del sistema de coordenadas$, por esta razón la ligaduraresultante no depende e%plícitamente del tiempo y por lo tanto no es reónoma.

$. 2a ligadura presente en un sistema de mol/culas de gas encerrado en una esfera

cuyo radio 6 depende del tiempo #ver figura *++.+.-.+$, con la diferencia de que6:6#t$$. !n este sistema las posiciones de las mol/culas deben satisfacer las

ligaduras, .

3$. 2a ligadura presente en un sistema donde una partícula de masa m se desplazassobre un plano inclinado cuyo ángulo de inclinación varía con el tiempo #ver figura *+

+.+.-.;$. !n este caso la ligadura viene representada por, .

*igura *++.+.-.;. (artícula que se mueve sobre un plano inclinado cuyo ángulo deinclinación varía con el tiempo.

%.- Ligaduras &s#$&r,"o(as.- Se dice que una ligadura es esclerónoma si no dependee%plícitamente del tiempo. 9ambi/n se les llaman ligaduras fijas o estacionarias.

(or otro lado, si un sistema tiene todas sus ligaduras esclerónomas entonces se dice queel mismo es esclerónomo, pero si al menos una de sus ligaduras no lo es entonces sedice que es reónomo.

!jemplo de algunas ligaduras esclerónomas)

2as ligaduras e%presadas por las figuras) *++.+.-.3, *++.+.-.5, *++.+.-.+ y *++.+.-.8son ligaduras esclerónomas.

iii%.- 2or su i"'&gridad)

%.- Ligaduras 3o$,"o(as o g&o(4'ri#as.- Decimos que un sistema es &olónomo, si notiene vínculos, o bien , si los tiene, /stos son e%presables mediante m ecuaciones finitasen los parámetros de 2agrange. 7ediante estas m ecuaciones finitas, podemos obtener m parámetros del sistema en función de los otros #n m$ parámetros que &emos tomadocomo independientes.

!n ese caso, siempre será posible considerar el sistema como si fuese un sistema libre,

sin vínculos, pero que, en vez de tener 3< grados de libertad, tuviese h = 3N - m gradosde libertad.

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!n un sistema &olónomo, la cantidad de parámetros o coordenadas necesarios paraconfigurar el sistema, coincide con la cantidad de grados del libertad del mismo.

2uego son ligaduras bilaterales que no dependen de las velocidades, sólo dependen delas posiciones de las partículas y el tiempo, e%clusivamente. Son integrables, por lo

tanto, es posible emplearlas para eliminar las coordenadas dependientes puesto quee%presan relaciones algebraicas entre las coordenadas.

!ste tipo de ligaduras son geom/tricas #curvas, superficies, etc.$ y se pueden escribir enla forma)

!jemplo de algunas ligaduras &olónomas)

2as ligaduras e%presadas por las figuras) *++.+.-.3, *++.+.-.5 y *++.+.-.+

%.- Ligaduras "o-3o$,"o(as.- Decimos que un sistema es no &olónomo oan&olónomo si una, o más, de las m relaciones de vínculo, está e%presada como unaecuación diferencial no integrable.

Si la ecuación diferencial que e%presa el vínculo fuese integrable, dic&a e%presión setransformaría en finita y el sistema pasaría a ser &olónomo. !s importante &acer notar que, si el sistema es an&olónomo, no es posible encontrar los m parámetros deconfiguración en función de los restantes.

!n este tipo de sistemas, la cantidad de grados de libertad sigue siendo h, pero es posible demostrar que ya no resultan suficientes h parámetros para configurar elsistema, sino que para ello son necesarios (h + r) parámetros, en donde r es la cantidadde ecuaciones de vínculo que no son integrables.

!s posible demostrar asimismo, que este tipo de sistema se tiene cuando e%isten líneas osuperficies que ruedan sin resbalar sobre superficies, como es el caso de una esfera querueda sin deslizamiento sobre un plano. !n cambio, cuando la rodadura se &ace sobreuna línea y no sobre un plano, el sistema es &olónomo.

Si en un sistema al menos una de las ligaduras es no&olónoma, se dice que el sistema esno&olónomo.

9odas las ligaduras unilaterales son de este tipo. (uede &aber ligaduras bilaterales no&olónomas. 1n caso particularmente importante de este tipo de ligadura lo constituyenaquellas que pueden ser e%presadas en t/rminos de las velocidades de las partículas enel sistema, es decir)

!stas constituyen ligaduras no&olónomas, a menos que la ecuación pueda ser integrada para encontrar relaciones entre las coordenadas. Debido a que algunas veces pueden ser

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integrables y convertirse en &olónomas, a las ligaduras del tipo, suelen llamárseles semi&olónomas.

!jemplo de algunas ligaduras no&olónomas.

-$. 2as ligaduras representadas por la figura *++.+.-.+ por ser unilateral.

$. 1n ejemplo muy conocido de una ligadura no&olónoma bilateral es el de un objetoque rueda #sin deslizar$ sobre una superficie. !n particular, un disco que rueda sobre el

plano &orizontal =>.

5.5.1..- Fu&r6a d& $igadura o R&a##i," d& /!"#u$o.

*uerza de ligadura son las responsables de las restricciones del sistema y aparecenespontáneamente al establecer una ligadura y aseguran su cumplimiento. 4ct"an tanto siel sistema está en reposo o si está en movimiento, a priori son desconocidas a diferencia

de las fuerzas aplicadas, no puede ser determinada sin conocer las otras fuerzas queact"an.

0uando una partícula se mueve sobre un vínculo, /ste ejerce sobre aquella una fuerzaque se llama fuerza de ligadura o reacción de vínculo. De la misma forma, en elmovimiento de un cuerpo vinculado, la fuerza de vínculo aparece en el punto, o en lasuperficie de contacto del cuerpo con el vínculo. !stá aplicada en el cuerpo. !l t/rmino?reacción@ se usa por costumbre. 9ambi/n podría usarse el t/rmino ?acción@ paradesignar la fuerza que el vínculo ejerce sobre el cuerpo. 4doptaremos) ?reacción devínculo@, para designar la fuerza aplicada en el cuerpo, que le es ejercida por el vínculo.

!n algunos casos, resulta cómodo decir que la dirección en que ocurre esa fuerza es ladirección en la que el vínculo impide o restringe el desplazamiento del cuerpo.

!n la figura *++.+.-.-#b$ se muestran las componentes de la reacción de vínculo en unanillo que se mueve #impulsado con una velocidad inicial$ sobre una guía curva, en un

plano &orizontal. Aay componentes de la reacción de vínculo en las 3 direcciones deltriedro intrínseco) !n la dirección de la tangente, está la fuerza de rozamiento. !n ladirección de la normal, está la fuerza centrípeta que el anillo ejerce sobre la partícula yen la dirección de la binormal, se tiene la reacción del peso del anillo.

!n la figura *++.+.-.-#c$ se tiene una partícula que describe un movimiento circular uniforme en un plano &orizontal liso, obligada a ello por un segmento rígido #supuestosin masa$ rotante, o por una cuerda ine%tensible. 2a fuerza de vínculo que ejerce lacuerda, pasa por el centro de rotación #tambi/n se tiene la reacción del plano, que noestá dibujada$.

!n la figura *++.+.-.-#d$ se tiene una varilla uno de cuyos e%tremos está obligado amoverse sobre el eje y y el otro sobre el eje x, sin rozamiento. 2as reacciones son

perpendiculares a cada dirección.

!n la figura *++.+.-.-#e$ se tiene un disco que rueda sin resbalar sobre una recta en un

plano inclinado. !n el punto de contacto del disco sobre el plano, se tienen componentes de la fuerza de vínculo) una componente normal, que corresponde a la

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componente del peso del disco en esa dirección. 2a otra componente se indica con ycorresponde a la fuerza de rozamiento estático, debida a la rugosidad de las superficiesque impide que el disco deslice sobre el plano. 2os sucesivos puntos de contactodiscoplano, considerados como puntos del disco, tienen, en cada instante, velocidadcero.

!n la figura *++.+.-.-#f$ se muestra una semiesfera, la que se apoya inicialmente sobreun plano &orizontal rugoso y luego se la suelta y donde se supone que el vínculo es unarecta del plano. !l peso de la esfera produce un momento con respecto al punto decontacto, lo que lleva a situaciones diferentes, seg"n que el vínculo sea, o no, liso, comoveremos seguidamente.

Si el vínculo es perfectamente liso, ese momento &ace girar la semiesfera, la cual deslizasobre el punto de apoyo. <o &ay fuerza e%terna en la dirección &orizontal y entonces) elcentro de masas desciende con trayectoria vertical &asta alcanzar su punto más bajo, deenergía potencial mínima y luego sube nuevamente &asta que la semiesfera quede en

una posición sim/trica a la inicial. 4 partir de allí se reinicia el ciclo, y se tiene unmovimiento oscilatorio.

!n cambio, si la rugosidad del vínculo impide el deslizamiento de la esfera sobre larecta del plano, los sucesivos puntos de contacto esfera recta del plano, tienen, en cadainstante, velocidad cero.

!n este caso, aparece una componente &orizontal de la fuerza de vínculo, la que provocaque el vector aceleración del centro de masas tenga una componente &acia la derec&a.*inalmente, la semiesfera tambi/n adquirirá un movimiento oscilatorio pero, adiferencia del caso anterior, el vector aceleración del centro de masas, tendrácomponente en la dirección &orizontal, debida a la componente en esa dirección de lafuerza de vínculo #teorema del movimiento del centro de masas$.

!n la figura *++.+.-.-#g$ se tiene una barra articulada en un e%tremo, que inicialmentese la sostiene en la posición &orizontal y luego se la suelta. 2a dirección de la reacciónva cambiando a medida que la barra cae. Sólo en el instante inicial y cuando la barra

pasa por la posición vertical la reacción es vertical.

!n las posiciones intermedias la reacción tendrá una componente 6 A y una componente6 .

!n la figura *++.+.-.-#&$, en 4, la varilla se apoya sobre un rodillo, lo que le permitedeslizar sin rozamiento.

!n este caso, la fuerza que el vínculo ejerce sobre la varilla, es perpendicular a /sta.Dic&a fuerza no puede tener componente en la dirección de la varilla) esto es así, porquela ausencia de rozamiento impide que el rodillo transmita a la varilla una fuerza que nosea en la dirección normal a esta "ltima.

1na condición adicional que se imponen a las fuerzas de ligadura es que puedan ser tangrandes en magnitud como fuera necesario para imponer la ligadura, lo que es una

idealización de las ligadura reales, pues los &ilos se estiran, las varillas se doblan o se

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quiebran, etc., pero se trabaja dentro de los límites en lo que esto no pasa o su efecto puede despreciarse.

No'a.- 2a fuerza aplicada es aquella determinada independientemente de cualquier otrafuerza, dando sólo las posiciones #y a veces tambi/n las velocidades$ de las partículas.

5.5.1.7.- D&'&r(i"a#i," d& $a 0osi#i," d& u" sis'&(a d& 0ar'!#u$as8 0ar9(&'ros d&#o"+igura#i," #o" /!"#u$os +i:os sis'&(a &s#$&r,"o(o%.

Bmaginemos una partícula que se puede mover libremente en el espacio, en ese caso, su posición queda determinada cuando se conocen, en cada instante, sus 3 coordenadas. Sise tienen < partículas, &abrá que fijar 3< coordenadas para determinar la posición delsistema. !l t/rmino configuración del sistema se refiere a las posiciones que ocupan las

partículas en un determinado instante) cuando se conocen las ubicaciones de lasmismas, decimos que el sistema está configurado.

4&ora bien) puede ocurrir que algunos puntos del sistema est/n vinculados entre sí, por ejemplo) masas puntuales libres en el plano, suman 5 grados de libertad y &acen falta5 coordenadas para configurar el sistema. (ero supongamos que las dos partículas est/nvinculadas entre sí por un segmento ine%tensible de longitud l ) en este caso bastará fijar las coordenadas de una de ellas más el ángulo que forma el segmento con la&orizontal, en total 3 coordenadas independientes entre sí, para tener determinado elsistema. 0iertamente, esta restricción de vínculo, se podrá establecer mediante unadeterminada ecuación que deberán satisfacer las coordenadas. !sa ecuación es)

Se llaman parámetros de configuración, o coordenadas de 2agrange, a las coordenadasque se usan, o que se pueden usar , para configurar un sistema. Decimos, que se pueden

usar , porque, en realidad, la posición de las dos masas acopladas por una barra, quedadefinida tambi/n usando los 5 parámetros %- % %3 %5, aunque si la definimos así,estaríamos usando un parámetro superabundante)

2lamaremos por lo tanto parámetros de 2agrange a todas las coordenadas deconfiguración, ya sean estas superabundantes o ya sean independientes. Designaremoscon ;< a estos parámetros, con k = 1,2,3,... n.

De acuerdo con el ejemplo que se &a mostrado, resulta entonces, que, si los parámetrosde configuración deben satisfacer una ecuación de vínculo, eso &ace que el sistema seconfigure con 3, en vez de con 5 parámetros.

Aablando en general, si llamamos " a la cantidad de parámetros de 2agrange y ( a lacantidad de ecuaciones que representan las restricciones de vínculo, podemos e%presar)

Cantidad de parametros independientes = n - m

2uego las restricciones limitan la configuración geom/trica y el movimiento delsistema. 1na restricción genera r&a##io"&s y dis(i"u=& &$ ">(&ro d& grados d&$i*&r'ad d&$ sis'&(a.

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Si llamamos (P i - O) al vector posición de una partícula i del sistema, podemos e%presar finalmente la on!"#ura"$n de un sistema de partículas mediante la siguiente funciónvectorial)

C+.-.-.-E

0on k = 1,2,3,.... (n - m), en donde los qk son parámetros independientes entre sí. 0adauno de estos parámetros es función del tiempo.

9ambi/n podemos e%presar, en forma escalar, las coordenadas de posición x" , y " , z " deuna partícula " del sistema, en función de los (n - m) parámetros independientes)

C+.-.-.E

0on k = 1,2,3,.... (n - m)

Si < es la cantidad de partículas del sistema tendremos 3 < ecuaciones como lasC+.-.-.E que nos permitirán conocer las coordenadas de cada una de las < partículasen función de los parámetros %k independientes. !ntonces podemos llamar a lasC+.-.-.-E o C+.-.-.E, ecuaciones de transformación, porque nos permiten pasar de los

parámetros de configuración, a las coordenadas de posición de las partículas. 9ambi/n podríamos designarlas como eua"ones de on!"#ura"$n.

Debemos observar que en las C+.-.-.-E y C+.-.-.E, no aparece el tiempo en formae%plícita) ello significa que si bien las coordenadas x" , y" , z " dependen del tiempo, lo&acen a trav/s a trav/s de las %k .

!sta no dependencia en forma e%plícita del tiempo, se debe a que &emos consideradoque los vínculos permanecen fijos en el tiempo, por ejemplo, si un punto se muevesobre una curva en el espacio, esa curva no cambia su forma con el tiempo, entonces, sidejamos constante un valor del parámetro #por ejemplo ese parámetro podría ser el arcoó recorrido de la partícula sobre la curva$, la posición de la partícula no cambia porquela curva no se mueve.

eamos el siguiente ejemplo, figura *++.+.-.;) 1na partícula ( se mueve en un planosujeto a un vínculo tal que su distancia al punto ?@ es constante e igual a l , figura *++.+.-.;.

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*igura *++.+.-.;

2os parámetros de 2agrange son %1 = x & %2 = y y la eua"$n de l"#adura es %12 + %2

2 -

l 2 = '.

odemos tomar omo parámetro "ndepend"ente %1 , en uyo aso %2 es superabundante, por%ue podemos obtenerlo on la eua"$n de l"#adura.

amb"*n podemos tomar omo parámetro "ndepend"ente al án#ulo en uyo aso %1 y

%2 pasan a ser superabundantes. " ons"deramos los 3 parámetros % 1 , %2 y , (n = 3)

podremos estableer entre ellos 2 eua"ones de l"#adura (m =2), de manera %ue la

ant"dad de parámetros "ndepend"entes s"empre será 3 - 2 = 1.

as eua"ones de trans!orma"$n %ue dan las oordenadas de la partula en !un"$n

del parámetro son

/onde es una "erta !un"$n del t"empo.

0omo emos, el t"empo no aparee expl"tamente en la expres"ones %ue dan las

oordenadas de .

5.5.1.4.- Configuración de un sistema de partculas en el caso de !nculos mó!iles

(sistema reónomo).

0uando los nulos amb"an su !orma, o su pos""$n en !un"$n del t"empo (s"stema

re$nomo), en la !un"$n .1.1.'14, %ue da el etor pos""$n de la partula, o en las

eua"ones de trans!orma"$n .1.1.'24, apareerá expl"tamente el t"empo. ara %ue

ello ourra, es neesar"o %ue la ley %ue da la ar"a"$n de la !orma, o pos""$n del

nulo, sea un dato. 5eamos un e6emplo en la !"#ura 7-..1.8

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7"#ura 7-..1.8

9l punto de suspens"$n del p*ndulo se muee de auerdo on

C+.-.-.3E

a pos""$n de la partula ons"derada %ueda determ"nada on una :n"a

oordenada , ya %ue la pos""$n de ;" está predeterm"nada por la .1.1.'34.

a oordenada etor"al de pos""$n de la partula será

C+.-.-.5E

o b"en

C+.-.-.+E

0omo emos, se trata de un s"stema re$nomo y en la .1.1.'<4 y .1.1.'4 aparee

expl"tamente el t"empo, osa %ue no ourre uando los nulos no se mueen. 9l

:n"o parámetro "ndepend"ente es .

amb"*n podramos haber expresado la pos""$n de on nulos superabundantes

0on la s"#u"ente eua"$n de l"#adura

C+.-.-.8E

;tro e6emplo %ue podemos "tar es el s"#u"ente supon#amos una partula %ue se

muee dentro de un tubo (nulo m$"l), el ual #"ra en un plano hor"zontal on

elo"dad an#ular onstante y uyo alor es un dato del problema. a pos""$n de la

partula se on!"#ura on un :n"o parámetro, %ue es la d"stan"a de la partula al e6e

de rota"$n, a la %ue llamaremos x. as oordenadas de la partula en un s"stema !"6o , > serán

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C+.-.-.;E

9n la .1.1.'?4, además del parámetro x, aparee expl"tamente el t"empo.

9n !orma #eneral, entones, podemos expresar !"nalmente la on!"#ura"$n de un

s"stema de partulas en d$nde los nulos dependen del t"empo, omo

C+.-.-.FE

en donde los %k son parámetros "ndepend"entes entre s.

as eua"ones de trans!orma"$n, tomarán !"nalmente la !orma más #eneral

C+.-.-.GE

5.5.1.5.- "espla#amiento real $ despla#amiento !irtual de las partculas de un sistema.

%ariación isocrónica de las coordenadas.

a).- &ntroducción.

ara expresar las de!"n""ones re!erentes a esta uest"$n, lo haremos a tra*s de un

e6emplo.

0ons"deremos el s"stema, !ormado por una partula " %ue se muee dentro de un tubo

l"so. 0abe obserar al respeto lo s"#u"ente hasta a%u hemos hablado de un s"stema

omo un on6unto de N partulas ", lo %ue perm"te presentar los oneptos on la

mayor #eneral"dad pos"ble. ero en lo sues"o, haremos extens"a la de!"n""$n de

s"stema a lo %ue llamaremos un on6unto de elementos, los uales pueden ser partulas

prop"amente d"has, o tamb"*n barras, d"sos u otros uerpos r#"dos. 9n el e6emplo

%ue ons"deraremos, los elementos del s"stema son el tubo l"so y la partula ". 9n

real"dad, podemos ons"derar al tubo omo un on6unto r#"do de partulas, uyo

mo"m"ento podemos re!er"rlo a su entro de masa @.

7"#ura 7-..1.A

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9l tubo puede #"rar en un plano ert"al, alrededor de la art"ula"$n ;1 , omo se

muestra en la !"#ura 7-..1.A. B su ez la art"ula"$n ; 1 , %ue es la l"#adura %ue

"nula al s"stema on el exter"or, se muee on una ley ono"da en !un"$n del t"empo.

" es el m$dulo del etor pos""$n ;1 , suponemos %ue d"ha ley es

a ond""$n de nulo establee %ue las partulas del tubo se mueen en trayetor"as

"rulares alrededor de ;1 y %ue las m"smas no están !"6as, s"no %ue se trasladan a

dereha e "z%u"erda on un mo"m"ento alternat"o. B su ez la partula " se muee

"#ual %ue las partulas del tubo (mo"m"ento de arrastre) y además t"ene un

mo"m"ento relat"o de desl"zam"ento sobre el m"smo.

/e auerdo on las ons"dera"ones preedentes, se trata de un s"stema re$nomo (del

#r"e#o rh*os, orr"ente y nomos, ley). " ;1 permane"ese !"6o, el s"stema tubo-

partula, sera esler$nomo (del #r"e#o skler$s, duro r#"do y de nomos, ley).

Cnd"aremos ahora on " al etor pos""$n de la partula "(es de"r, el etor %ue a

desde ; hasta " ) re!er"do a un s"stema "ner"al (o D!"6oE) >.

os parámetros de on!"#ura"$n son la d"stan"a de la partula al punto ; 1 , %ue la

"nd"amos on %1 y el án#ulo %ue !orma el tubo on el e6e , %ue lo "nd"amos on %2.

as eua"ones de trans!orma"$n, %ue dan las oordenadas de la partula " en el

s"stema, >, en !un"$n de los parámetros "ndepend"entes %1 , %2 y de son

#a$

0omo , resulta %ue d"ho etor es una !un"$n de las oordenadas

#eneral"zadas y del t"empo

#b$

Femos usado el t*rm"no oordenadas #eneral"zadas, para "nd"ar los parámetros"ndepend"entes, tal omo se de!"n"rá más adelante. 9l t"empo aparee en !orma

expl"ta.

or su parte las eua"ones de trans!orma"$n %ue dan las oordenadas del entro de

masas @ del tubo son

#c$

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; b"en en !orma etor"al

ara de!"n"r el s"#n"!"ado de desplazam"ento "rtual y estableer su d"!eren"a on

desplazam"ento real (uando la hay), %ue haremos en los párra!os s"#u"entesentraremos nuestra aten"$n en la partula " ya %ue las de!"n""ones serán "#ualmente

ál"das para el tubo @.

Faemos el s"#u"ente resumen de este aso

Cantidad de partculas' 2, %ue son la partula D"E y la DpartulaE (por as llamarla),

@.

Cantidad de parmetros independientes' 2 (hemos tomado %1 y %2 ).

Cantidad de ecuaciones de transformación' < eua"ones, dadas por (a) y (), (2

eua"ones por ada partula)

%nculo' la art"ula"$n D;1E. 5"nula al on6unto tubo-partula on el exter"or.

istema reónomo' lo es por%ue el nulo D;1E, se muee on una ley ono"da.

Gsaremos el e6emplo de esta "ntrodu"$n, para expl"ar los oneptos de ar"a"$n

"sor$n"a de oordenadas, desplazam"ento "rtual y su d"!eren"a on desplazam"ento

real, en el artulo s"#u"ente.

*).- "espla#amiento real+ !ariación isocrónica de coordenadas $ despla#amiento

!irtual.

0alularemos a ont"nua"$n el desplazam"ento %ue exper"menta la partula " uando

transurre un t"empo dt. /"ho desplazam"ento, lo podemos expresar omo el

d"!eren"al de la !un"$n etor"al " , dado por la expres"$n D(b)E. /"ho d"!eren"al, lo

se obt"ene omo la suma de los 3 d"!eren"ales par"ales on respeto a ada ar"able

#-$

d " es el etor desplazam"ento DrealE de la partula ".

" llamamos %k a una oordenada #en*r"a, en un s"stema de partulas on h

oordenadas #eneral"zadas, y s" tenemos en uenta la .1.1.'84 (de parámetros de

on!"#ura"$n) podemos esr"b"r, en #eneral

#-$

15



Cma#"naremos ahora %ue es pos"ble %ue pueda ar"ar una sola oordenada, por

e6emplo el án#ulo %2 , s"n %ue amb"e %1 y s"n %ue are la d"stan"a .

No hay "nonen"ente en "ma#"nar %ue pueda ar"ar un solo parámetro, en este aso %2 ,

s"n %ue amb"en los otros %1..... %k , por%ue d"hos parámetros pueden ar"ar en !orma

"ndepend"ente entre s. ero no es pos"ble, en amb"o, %ue are % 2 s"n %ue se muea el

nulo (art"ula"$n) ;1.

ara "ma#"nar %ue amb"a %2 s"n %ue se muea el nulo, será neesar"o suponer,

arb"trar"amente, %ue el t"empo se D"nmo"l"zaE o Dno transurreE solamente para el

nulo, m"entras %ue s" transurre m"entras amb"a %2.

upon#amos, entones, %ue la oordenada %2 exper"menta una ar"a"$n, m"entras el

nulo permanee D"nmo"l"zadoE en la pos""$n %ue oupaba en un determ"nado

"nstante t = t 1 $ t = t 2. 9llo e%u"ale a "ma#"nar %ue en t = t 1t, el nulo (en este aso la

art"ula"$n ;1 ) Dse det"eneE, durante el t"empo %ue dura la ar"a"$n de la

oordenada %2. lamaremos D"sor$n"aE a esa ar"a"$n y la "nd"aremos on . 9l

t*rm"no "sor$n"o se re!"ere a la supos""$n ya expresada, %ue el nulo %ueda

trans"tor"amente "nmo"l"zado en la pos""$n %ue oupaba en un determ"nado "nstante t

= t 1 , m"entras dura la ar"a"$n de las %k .

ara "nd"ar el desplazam"ento de " produ"do por la ar"a"$n "sor$n"a de una

oordenada, tamb"*n se usa el smbolo . e ha usado en lu#ar del smbolo DdE de

d"!eren"al para "nd"ar %ue no se trata del desplazam"ento real, s"no de un

desplazam"ento "rtual o D"ma#"nadoE.

Bl ourr"r la ar"a"$n "sor$n"a , la partula " su!r"rá un desplazam"ento %ue se

"nd"a on el etor en la !"#ura 7-..1.1' (a). lamaremos al m"smo

desplazam"ento "rtual par"al deb"do a .

7"#ura 7-..1.1'

" "ma#"namos ahora %ue ourre una ar"a"$n "sor$n"a de la oordenada %1 la

partula " exper"mentará un etor desplazam"ento "rtual %ue se muestra en la

!"#ura 7-..1.1'(b). 9ntones, podemos expresar los desplazam"entos "rtuales par"ales de la partula ", de la s"#u"ente !orma

16



#$

#3$

" extendemos las ons"dera"ones de este e6emplo a un s"stema de N partulas " on h

parámetros "ndepend"entes de on!"#ura"$n y llamamos %k a un parámetro de orden k,

podemos esr"b"r

#5$

es el desplazam"ento "rtual par"al de la partula ", deb"do a la ar"a"$n

"sor$n"a del parámetro %k . 7"nalmente s" %ueremos obtener el desplazam"ento"rtual , orrespond"ente a una ar"a"$n "sor$n"a s"multánea de los h parámetros

"ndepend"entes, debemos sumar los desplazam"entos "rtuales par"ales

orrespond"entes a ada una de ellas. or lo tanto, podemos esr"b"r

#+$

9n la !"#ura 7-..1.11 se muestra el etor desplazam"ento "rtual . /ebe

obserarse %ue s" los nulos son !"6os (no dependen del t"empo, s"stema esler$nomo),el :lt"mo t*rm"no de la (1) desaparee y el etor desplazam"ento real de las partulas

del s"stema es o"n"dente on el etor desplazam"ento "rtual.

7"#ura 7-..1.11

odemos estableer el s"#u"ente resumen on respeto a las araterst"as sal"entes del

desplazam"ento "rtual de una partula " del s"stema

• upon"endo el nulo !"6o, d"ho desplazam"ento debe ser ompat"ble

on la ond""$n de nulo, es de"r moerse se#:n la tan#ente a la

trayetor"a %ue le "mpone d"ha ond""$n.

• " los nulos son m$"les , se ons"deran "nmo"l"zados los nulosm"entras dura la ar"a"$n de las %k .

17



• 9n el aso %ue los nulos sean !"6os, no se establee d"!eren"as entre

el etor desplazam"ento real d " y el etor desplazam"ento "rtual

de ada partula. al sera el aso %ue el nulo !uese realmente !"6o en

la !"#ura 7-..1.11.

• 9l desplazam"ento "rtual no neesar"amente debe ser un alor

d"!eren"al puede ser un alor !"n"to, s"empre uando los

desplazam"entos de las partulas del s"stema, sean ompat"bles on los

nulos.

• 9l smbolo usado para "nd"ar un desplazam"ento "rtual, uando *ste

es una ma#n"tud d"!eren"al, part""pa de las m"smas prop"edades

usuales del smbolo d usado omo d"!eren"al.

• Gn desplazam"ento "rtual puede ser un desplazam"ento de un punto,

omo tal, pero tamb"*n puede orresponder a la ar"a"$n de un án#ulo.

; sea %ue puede med"rse en metros o en rad"anes.

9n la !"#ura 7-..1.12 se muestra otro e6emplo se trata de un tubo %ue #"ra en un

plano hor"zontal l"so, art"ulado en un punto D;E !"6o.

7"#ura 7-..1.12

9l s"stema t"ene un solo #rado de l"bertad, orrespond"ente a la oordenada r. 9l

án#ulo no es una oordenada #eneral"zada por%ue ara on una ley dada, .

9n la !"#ura 7-..1.12(a) se muestra el etor desplazam"ento "rtual de la partula

".

9n 7-..1.12(b) se "nd"a el desplazam"ento real d " %ue t"ene en uenta el

mo"m"ento del nulo. Bl etor desplazam"ento debe a#re#arse un etor

desplazam"ento transersal produ"do por el mo"m"ento del nulo(en este aso el

tubo)y uyo m$dulo ale .

9s de "nter*s obserar %ue en el desplazam"ento "rtual ,la rea"$n de nulo no

real"za traba6o. 9n amb"o en el desplazam"ento real d " el traba6o de la !uerza de

l"#adura es d"!erente a ero.

18



5.5.1., rados de li*ertad.

e llaman #rados de l"bertad a ada uno de los desplazam"entos "rtuales,

"ndepend"entes entre s, %ue pueden tener las partulas de un s"stema.

upon#amos un s"stema de N partulas mater"ales, tal %ue su on!"#ura"$n está dada por n parámetros de a#ran#e. % 6 on 6 = 1,2,3......n. 9l s"stema está somet"do a m

eua"ones de restr""$n de nulo, o tamb"*n puede no tener nulos. 9sta de!"n""$n

de #rados de l"bertad es ál"da "ndepend"entemente de la !orma %ue ten#an las

eua"ones de "nulo, es de"r, ya sean estas eua"ones !"n"tas o d"!eren"ales,

"nte#rables o no.

9ntones, s" llamamos a la ant"dad de #rados de l"bertad de un s"stema, *sta %ueda

dada por

= n - m

5.5./.- Coordenadas generali#adas o parmetros de configuración o coordenadas de

0agrange.

5.5./.1.- "efinición.

B los parámetros qk "ndepend"entes entre s, %ue determ"nan la on!"#ura"$n

"nstantánea de un s"stema ya men"onados, es usual y resulta $modo, darles el nombre

de oordenadas #eneral"zadas.

9n los s"stemas hol$nomos, omo ya se d"6o, la ant"dad de oordenadas #eneral"zadas

o"n"de on la ant"dad de #rados de l"bertad h del s"stema. 9n onseuen"a podemos

expresar las eua"ones de trans!orma"$n %ue dan las oordenadas artes"anas de las

N partulas, en !un"$n de las h oordenadas #eneral"zadas %k , de la s"#u"ente !orma

C+.+..-E

9n las eua"ones ..2.'14 aparee el t"empo en !orma expl"ta, por%ue se ons"dera

el aso #eneral de nulos m$"les.

lgunos e2emplos de coordenadas generali#adas'

a) artula %ue se muee sobre nulo on !orma de el"pse.

19



7"#ura 7-..2.'1

a partula t"ene un solo #rado de l"bertad. omamos omo oordenada #eneral"zada

el án#ulo , (!"#ura 7-..2.'1). as eua"ones de trans!orma"$n, resultan las

s"#u"entes

H

*) 0"l"ndro %ue rueda sobre un plano "nl"nado.

7"#ura 7-..2.'2

" la rodadura se hae s"n desl"zam"ento se t"ene una sola oordenada #eneral"zada,

%ue puede x(!"#ura 7-..2.'2). 9l án#ulo se rela"ona on x med"ante la rela"$n

H

9n amb"o s" hay desl"zam"ento en el punto de ontato, el s"stema t"ene 2 #rados de

l"bertad y las oordenadas #eneral"zadas son x y .

c) Harra art"ulada on uerpo, su6eto a un resorte desl"zante sobre *l (!"#ura 7-

..2.'3).

20



7"#ura 7-..2.'3

a barra puede #"rar en plano ert"al alrededor de la art"ula"$n ;1.DaE es una

determ"nada lon#"tud del resorte, a part"r de la ual med"mos las elon#a"ones x del

uerpo.

9n la tabla s"#u"ente, se anal"zan d"ersas alternat"as %ue pueden presentarse.

Situación 0oordenadas generalizadas !cuaciones detransformación inco

d) *ndulo doble (!"#ura 7-..2.'<).

as oordenadas #eneral"zadas son y . puede ar"ar "ndepend"entemente de .

(y además puede ar"ar "ndepend"entemente de ), tal omo se puede obserar en el

d"bu6o.

7"#ura 7-..2.'<

e) 9n la !"#ura 7-..2.' un extremo de la uerda está atado a un blo%ue %ue desl"za

sobre un plano hor"zontal. 9n el otro extremo se enuentra enrollada sobre una polea,

%ue al aer, se a desenrollando.

21



as oordenadas #eneral"zadas pueden ser x1 y x2 , o tamb"*n x1 y

7"#ura 7-..2.'

5.5.3.- ra*a2o !irtual $ fuer#a generali#ada de orden k.

ara estableer las de!"n""ones de traba6o "rtual y !uerza #eneral"zada de orden k, lo

haremos a part"r de un e6emplo en part"ular, %ue se muestra en la !"#ura 7-..3.'1,

para lue#o darle al"dez #eneral. 9n la men"onada !"#ura, se "nd"a el s"stema

!ormado por el tubo l"so de lar#o l art"ulado en ;1 y la partula ", de masa m ". a

partula puede desl"zar a lo lar#o del tubo.

9n la !"#ura 7-..3.'1 se en las oordenadas #eneral"zadas, %ue son %1 (d"stan"a) y

%2 (án#ulo).

7"#ura 7-..3.'1 ar"a"$n de %2 , supon"endo %ue %1 permanee onstante

9n el anál"s"s %ue haremos se#u"damente será "nd"st"nto %ue el nulo ;1 se muea, o

no, por%ue ons"deraremos ar"a"ones "s$r$n"as de las oordenadas y

desplazam"entos "rtuales de las partulas.

lamaremos traba6o "rtual de orden k (o traba6o "rtual aso"ado a la oordenada %k )

al traba6o de las !uerzas %ue at:an en todas las partulas del s"stema, uando lasm"smas exper"mentan un desplazam"ento "rtual par"al de orden k, es de"r, un

22



desplazam"ento deb"do a la ar"a"$n "s$rona (o "rtual) de una oordenada %k .

Cnd"aremos on o on a este traba6o "rtual de orden k.

Bl re!er"rnos a las !uerzas %ue at:an en todas las partulas del s"stema, "nlu"mos a

las !uerzas at"as y (al menos en teora) a las !uerzas de nulos o l"#aduras. ero

omo omprobaremos en este artulo, el traba6o de estas :lt"mas s"empre resulta nulo

y en onseuen"a, el traba6o "rtual puede alularse omo s$lo el traba6o de las

!uerzas at"as del s"stema, exluyendo el traba6o de las !uerzas de l"#adura.

Ie!er"do al e6emplo de la !"#ura 7-..3.'1, omenzaremos alulando el traba6o

orrespond"ente a una ar"a"$n . uponemos %ue %1 permanee onstante al

ar"ar %2.

Bl ourr"r una ar"a"$n , el entro de masas @ del tubo, se muee sobre un aro de

rad"o lJ2 y la partula " se muee sobre un aro de rad"o % 1 = te. as !uerzas

atuantes en los elementos del s"stema son

• a rea"$n de nulo en la art"ula"$n ;1 , %ue la llamaremos (no se la

d"bu6$ en la !"#ura 7-..3.'1)

• 9l peso del tubo

• 9l peso de la partula

• 9l par a"$n-rea"$n y - %ue son las !uerzas de l"#adura "nternas entre la partula y el tubo. "enen d"re"$n normal a este :lt"mo.

odemos expresar entones, el traba6o "rtual , omo la suma de los s"#u"entes

produtos esalares

#-$

;bseramos ahora al#o %ue tendrá muha "mportan"a mas adelante y sobre lo ual

oleremos s" damos un desplazam"ento "sor$n"o , el traba6o "rtual de las

!uerza atuantes en el s"stema se alula usando s$lo las !uerzas at"as (en este aso

y ), por%ue las !uerzas reat"as no real"zan traba6o. odemos expresar

entones la (1) en !orma más #eneral omo

9n donde es la !uerza at"a %ue at:a en ada partula del s"stema.

23



0alulemos ahora el traba6o "rtual aso"ado a la ar"a"$n de %1 , %ue es (!"#ura

7-..3.'1)

7"#ura 7-..3.'2 5ar"a"$n de %1 , supon"endo %ue %2 permanee onstante

9l traba6o %ue hae la !uerza de l"#adura "nterna ale ero, por ser perpend"ular

a (nulo l"so).

entones,

#$

y en !orma más #eneral, para el aso de N partulas

0omo emos al ar"ar s$lo %1 , tampoo "nter"enen las !uerzas de nulo l"so. 9n aso

de haber !uerzas de rozam"ento on el tubo, d"ha !uerza puede "nlu"rse dentro de las

!uerzas at"as y ons"derar la rea"$n de nulo normal al tubo.

a no apar""$n de las !uerzas de nulo en la expres"$n del traba6o "rtual de un

s"stema, %ue se puso de man"!"esto en este e6emplo, t"ene al"dez #eneral.

" llamamos ahora al traba6o "rtual %ue se real"za en un s"stema de N partulas

" , uando una sola oordenada %k exper"menta un desplazam"ento "s$rono ,

podemos esr"b"r

#3$

24



pero, omo el etor es una !un"$n de las oordenadas #eneral"zadas, %ue se expresa

omo 1 = 1(%1 ,%2 ,...,%k ,...,%h ,), resulta

#5$

reemplazamos (<) en (3)

#+$

9l pr"mer m"embro de la () es, omo se d"6o, el traba6o "rtual de la total"dad de las

!uerzas at"as uando una sola oordenada ara en (on nulos %u"etos). 9n el

se#undo m"embro, aparee la ar"a"$n %ue mult"pl"a al !ator , al %uellamaremos !uerza #eneral"zada de orden k y lo "nd"aremos on Kk .

9ntones

#8$

h es la ant"dad de oordenadas #eneral"zadas, %ue o"n"de on la ant"dad de #rados

de l"bertad (s"stema hol$nomo).

/ebe obserarse %ue, de auerdo on la (L), la !uerza #eneral"zada es una ma#n"tud

esalar, por%ue ada t*rm"no de la sumator"a es un produto esalar del etor por

el etor . es la resultante de las !uerzas at"as %ue obran sobre ada

partulas. 0omo sur#e de la (L), las !uerzas de l"#adura no "nter"enen en el álulo de

la !uerza #eneral"zada.

9n base a las ons"dera"ones preedentes, podemos esr"b"r el traba6o "rtual de orden

k, dado por la (), de la s"#u"ente !orma,

#;$

donde la !uerza #eneral"zada Kk "ene dada por la (L).

9s "mportante tener presente %ue las un"dades de %k y de pueden orresponder a un

án#ulo o a un desplazam"ento y por lo tanto se pueden med"r en rad"anes o metros. or

lo tanto, las un"dades de Kk podrán ser tanto Nm (s" está en rad"anes) o N (s"

está en metros).

5.5.3.1.- Procedimiento para calcular la fuer#a generali#ada de orden k+ resumen.

25



B ont"nua"$n se reseMa el proed"m"ento para alular la !uerza #eneral"zada de

orden k en un s"stema

• Faemos ar"ar una sola oordenada y alulamos el traba6o %ue haen las

!uerzas at"as del s"stema. " hub"ese nulos m$"les, *stos deben

ons"derarse "nmo"l"zados, para %ue el desplazam"ento sea "rtual. " en lasl"#aduras hub"ese !uerzas por desl"zam"ento, *stas deben "nlu"rse 6unto on las

!uerzas at"as, de manera %ue los nulos pueden as"m"larse a nulos l"sos.

• 9xpresamos la suma de traba6os de las !uerzas at"as en ada partula o

elemento del s"stema, omo el produto de dos !atores uno de ellos, deberá ser

y entones, el otro !ator será la !uerza #eneral"zada de orden k Kk %ue

busamos, omo se "nd"a en la (?).

or :lt"mo, s" %u"s"*ramos expresar el traba6o "rtual %ue haen las !uerzas del

s"stema uando ourre una ar"a"$n "s$rona s"multánea de las h oordenadas #eneral"zadas deberemos esr"b"r

#F$

donde el etor , de auerdo on la () (de desplazam"ento "rtual), se

expresa omo

y, por lo tanto, el traba6o "rtual por ar"a"$n s"multánea de todas las

oordenadas es

#G$

5.5.3./.- 2emplos de clculo de las fuer#as generali#adas.

a) Clculo de las fuer#as generali#adas en el p6ndulo do*le' (figura 75-5.5.3.83).

26



7igura 75-5.5.3.83

5ar"a"$n de ( permanee onstante, !"#ura 7-..3.'3a) para una me6or

omprens"$n ampl"amos parte del d"bu6o en la !"#ura 7-..3.'<.

7igura 75-5.5.3.84

5ar"a"$n de ( ( permanee onstante, !"#ura 7-..3.'3b)

a expres"$n preedente, nos perm"te expresar una de!"n""$n prát"a del onepto de

!uerza #eneral"zada, de la s"#u"ente manera

• ;bseramos %ue al dar un desplazam"ento a una de las oordenadas

#eneral"zadas, las !uerzas obrantes sobre el s"stema real"zan un traba6o

%ue es y %ue ese traba6o elemental %ueda expresado med"ante dos

!atores Kk y .

• 9ntones de"mos %ue, la !uerza #eneral"zada aso"ada a una

oordenada #eneral"zada, es el !ator %ue mult"pl"a al desplazam"ento

de d"ha oordenada #eneral"zada, en la expres"$n del traba6o del

s"stema orrespond"ente, a una ar"a"$n elemental de esa oordenada.

*) Calculo de las fuer#as generali#adas en el siguiente sistema'

Gna masa , art"ulada a un resorte se desl"za sobre una ar"lla de masa m y lon#"tud

l. a ar"lla puede #"rar en el plano ert"al barr"endo el án#ulo .(!"#ura 7-..3.')

lamaremos

27



lon#"tud del resorte en e%u"l"br"o para un "erto alor de "n""al.

x desplazam"ento lon#"tud"nal, med"do desde .

7igura 75-5.5.3.85

0alulo de la !uerza #eneral"zada para la oordenada . (para este álulo,

suponemos %ue x permanee onstante)

a expres"$n %ue mult"pl"a a , es la !uerza #eneral"zada orrespond"ente a y

resulta

0alulo de la !uerza #eneral"zada para la oordenada x.(para este álulo, suponemos

%ue permanee onstante)

5.5.3.3.- Principio de los tra*a2os %irtuales+ ecuación sim*ólica de la esttica.

9l pr"n"p"o de los traba6os "rtuales se enun"a de la s"#u"ente !orma

9n un s"stema de partulas on nulos b"laterales (a%uellos en %ue el punto está

permanentemente en ontato on el nulo), s" las !uerzas atuantes están en

e%u"l"br"o, el traba6o "rtual de m"smas es ero.

/e auerdo on la enun"a"$n de este pr"n"p"o, podemos esr"b"r

28



o b"en, de auerdo on la (8) (de traba6o "rtual)

#-$

donde es el desplazam"ento de ada partula uando ourre una ar"a"$n

s"multánea de todas las oordenadas #eneral"zadas.

5.5.4.- cuación sim*ólica de la "inmica o Principio de "9lam*ert.

en"endo en uenta la se#unda ey de NeOton

or el pr"n"p"o de traba6os "rtuales

/onde

0ant"dad de mo"m"ento l"neal (amb"amos el smbolo de para no on!und"r on el a#ran#"ano, %ue poster"ormente eremos)

7uerza at"a ono"da.

7uerza deb"da a la l"#adura.

E#ua#i," si(*,$i#a d& $a di"9(i#a o 2ri"#i0io d&

D?A$a(*&r'% C+.+.5.-E

9s "mportante realar sobre la expres"$n anter"or %ue

• No apareen las !uerzas de l"#adura.

• enemos una eua"$n /"nám"a.

5.5.5.- cuación de 0agrange para un sistema :olonómico.

e !ormulan las eua"ones del mo"m"ento en t*rm"nos de las oordenadas #eneral"zadas. e t"ene %ue

29



• e redue el n:mero de eua"ones a resoler.

• No apareen las rea"ones a resoler.

5.5.5.1.- &ntroducción a las ecuaciones de 0agrange.

0ons"derando el mo"m"ento de una partula en un plano ba6o la a"$n de una !uerza

. 9sr"b"mos la eua"$n de NeOton en oordenadas polares

Kueremos onstru"r una !ormula"$n ener#*t"a, en el sent"do de %ue podamos part"r

de la ener#a "n*t"a

y lle#ar a las eua"ones de NeOton, por med"o de al#:n operador / tal %ue, por

e6emplo . Notablemente este no es una tarea ompl"ada.

raba6ando un poo d"ho t*rm"no

odemos esr"b"r la omponente rad"al de la eua"$n de NeOton en t*rm"nos de la

ener#a "n*t"a

odemos esr"b"r ambas omo una sola, en t*rm"nos de la oordenada

C+.+.+.-E

9sta es la eua"$n de a#ran#e. a demostra"$n es ompletamente orreta, pero

de6a en duda un aspeto muy "mportante, se real"z$ la dedu"$n para una sola

partula, donde la !uerza "nluye PtodasP las "ntera"ones %ue at:an sobre ella,

"nlu"das las !uerzas de nulo o l"#aduras, pero on el pr"n"p"o de /QBlambert se

el"m"n$ estas :lt"mas para un s"stema, por lo %ue me6or sera la dedu"$n de las

eua"ones de a#ran#e a part"r del r"n"p"o de /QBlambert, demostrando %ue

a%uella ale para todo el s"stema (no s$lo una partula) y para ual%u"er oordenadas

#eneral"zadas q ompat"bles on los #rados de l"bertad del s"stema.

30



5.5.5./.- cuaciones de 0agrange.

raba6ando sobre la eua"$n de /QBlambert para un s"stema arb"trar"o de n

partulas

os sumandos de la eua"$n no son "ndepend"entes, por lo %ue la eua"$n de

/QBlambert lo esr"b"remos en t*rm"nos de las 3n-k oordenadas #eneral"zadas qi del

s"stema, en !un"$n de las uales las ant"#uas oordenadas, están dadas por

Nuestro ob6et"o es demostrar %ue, en t*rm"nos de estas oordenadas #eneral"zadas,

%ue el pr"n"p"o de /QBlambert se puede esr"b"r omo

C+.+.+.E

0uya demostra"$n lo haremos en el aáp"te poster"or. " las l"#aduras son hol$nomas,

las oordenadas #eneral"zadas %" son "ndepend"entes y, por lo tanto es la :n"a manera

%ue se umpla la eua"$n de /QBlambert es %ue se anule ada oe!""ente por

separado.

" la de!"n""$n de !uerzas #eneral"zadas es

9ntones

upon#amos ahora %ue al#unas de las !uerzas apl"adas sobre el s"stema der"an deuna !un"$n poten"al G, %ue es la ener#a poten"al del s"stema , en

d"ho aso podemos esr"b"r las !uerzas #eneral"zadas

Ieemplazando en las eua"ones anter"ores, podemos "norporar el poten"al en el

pr"mer t*rm"no

31



C+.+.+.3E

0omo el poten"al G solo depende de la pos""$n, debe se "ndepend"ente de las

elo"dades #eneral"zadas . or ello podemos "nlu"r el poten"al G en la der"ada

par"al respeto de , obten"endo la eua"$n de a#ran#e

C+.+.+.5E

Donde &emos definido el Lagra"gia"o C+.+.+.+E

5.5.5.3.- "emostración de las ecuaciones de 0agrange.

Nos !alta demostrar

B part"r del pr"n"p"o de /QBlambert ("n anular las !uerzas de l"#adura)

9l traba6o "rtual de las !uerzas #eneral"zadas es

#-$

amb"*n

Bhora b"en, por un lado tenemos %ue

32



y por otro lado

Ieemplazando en la eua"$n anter"or

#$

umando (1) y (2) se t"ene

#!s igual a C+.+.+.E, por lo que quedódemostrado$

5.5.5.4.- ;esumen de la ecuación de 0agrange.- a eua"$n de a#ran#e es muy :t"l

para dedu"r eua"ones de mo"m"ento usando ener#as poten"ales y "n*t"as. 0omo

para alular esas ener#as se usan pos""ones y elo"dades, no se "nolura n"n#una

aelera"$n y de esta manera la parte "nemát"a del problema se s"mpl"!"a muho.

Gsando un s"stema adeuado de oordenadas adeuado, se pueden obtener las

eua"ones de mo"m"ento de una manera sen"lla y d"reta. B ont"nua"$n se enl"stan

tres !ormas de la eua"$n de a#ran#e

1.- a !orma #eneral es

C-E

en donde

CE

2.- ara s"stemas onserat"os

33



C3E

en donde

C5E

3.- a !orma alternat"a #lobal, es

C+E

7"nalmente, resumamos tres m*todos para alular las !uerzas #eneral"zadas.

Notamos %ue en la dedu"$n de la eua"$n de a#ran#e, la !uerza #eneral"zada puede alularse de auerdo on

C8E

"n embar#o, la !uerza #eneral"zada tamb"*n puede alularse ons"derando el traba6o

"rtual real"zado por la !uerza #eneral"zada al atuar a tra*s de un desplazam"ento

"rtual #eneral"zado, es de"r, . 9so se "lustra en el e6emplo NR 2.

Gn terer m*todo para alular !uerzas #eneral"zadas se apl"a solamente a s"stema de !uerzas onserat"as y se us$ al dedu"r la eua"$n de a#ran#e para un s"stema

onserat"o& es de"r

C;E

9ste m*todo tamb"*n se "lustrará med"ante un e6emplo. 9n la prát"a, la eua"$n de

a#ran#e para un s"stema onserat"o se usa "nar"ablemente, en lu#ar de la eua"$n

de a#ran#e en !orma #eneral, on la eua"$n anter"or para !uerzas #eneral"zadas.

5.5.5.5.- 2emplos ilustrati!os'

1.- Bpl"a"$n de las eua"ones para !uerzas #eneral"zadas. 0alular las !uerzas

#eneral"zada en oordenadas "lndr"as (r, , z), para una partula su6eta a la a"$n

de una !uerza 7 , apl"ando las eua"ones para !uerzas #eneral"zadas.

olución

0ons"derando %ue la !uerza está expresada omo

34



y la rela"$n entre las oordenadas retan#ulares (x, y, z) y "lndr"as (r, , z), es

Bpl"ando las eua"ones para las !uerzas #eneral"zadas, tenemos

ue#o

2.- 0alular !uerzas #eneral"zadas ons"derando el traba6o "rtual. 0alular las !uerzas

#eneral"zadas en oordenadas "lndr"as (r, , z), para una partula su6eta a la a"$n

de una !uerza 7 , ons"derando el traba6o "rtual real"zado.

olución

a !uerza 7 puede desomponerse en las omponentes r, y z, %ue son 7 r , 7 y 7 z

respet"amente. /es"#nando las !uerzas #eneral"zadas en las d"re"ones r, y z, por Kr , K y K z , respet"amente y ons"derando el traba6o "rtual real"zado a tra*s de los

desplazam"entos "rtuales r, y z, tenemos

or ons"#u"ente las !uerzas #eneral"zadas, son

3.- 9ua"$n de la#ran#e - mo"m"ento de una partula en oordenadas "lndr"as.

Gsando la eua"$n de a#ran#e, dedu"r las eua"ones de mo"m"ento en

oordenadas "lndr"as (r, , z), para una partula de masa m su6eta a la a"$n de

una !uerza 7 .

olución

9xpresando las rela"ones entre las oordenadas artes"anas (x, y, z) y "lndr"as(r, ,

z), omo

35



as der"adas on respeto al t"empo son

a ener#a "n*t"a 9 k de la partula, es

Clustraremos la !orma #eneral de la eua"$n de a#ran#e

en donde . as !uerzas

#eneral"zadas Kr , K y K z ya han s"do aluladas en los e6emplos anter"ores.

ara la oordenada rad"al r, tenemos

/onde y la eua"$n demo"m"ento es

ara la oordenada transersal , tenemos

/onde y la eua"$n de

mo"m"ento es

ara la oordenada ax"al z, tenemos

36



/onde y la eua"$n de mo"m"ento es

5. 9ua"$n de a#ran#e - "bra"$n de una partula. Deducir la ecuación demovimiento de un p/ndulo invertido que está restringido por un resorte cuya constantees I, como se indica en la figura. Se supone que la masa del p/ndulo está concentrada auna distancia l del punto de apoyo, y que el resorte es lo suficientemente rígido para queel p/ndulo sea estable. Jsese la ecuación de 2agrange.

*igura (b5

olución

0omo el s"stema es onserat"o, se usará la eua"$n orrespond"ente a s"stemas

onserat"os (!orma 2). uponemos mo"m"entos pe%ueMos y usamos ,

para la masa m. as ener#as poten"al y "n*t"a se alulan omo,

9l a#ran#"ano es

Bpl"ando la eua"$n de a#ran#e

37



0on , obtenemos la eua"$n de

mo"m"ento

Fa"endo l"neal la eua"$n de mo"m"ento, al notar %ue, para án#ulos pe%ueMos

, tenemos

o b"en

.- 9ua"$n de a#ran#e - "bra"$n de una partula. /edu"r la eua"$n del

mo"m"ento del e6emplo anter"or, usando la !orma #eneral de la eua"$n de a#ran#e.

olución

a eua"$n de a#ran#e, en la !orma #eneral, es

B part"r del e6emplo anter"or, tenemos

or tanto, y la !uerza #eneral"zada K puede

alularse a part"r de

or ons"#u"ente, la eua"$n de mo"m"ento es

8. 9ua"$n de a#ran#e - "bra"$n de una partula. Deducir las ecuaciones demovimiento para las vibraciones libres y forzada de un sistema que tiene un grado deliberta y que consiste de una masa y un resorte #ver figura$.

38



*igura (b8

olución

Gsamos la eua"$n de a#ran#e en la !orma

as ener#as "n*t"a y poten"al, son

y el a#ran#"ano es

a !uerza #eneral"zada, no onserat"a, es

Bpl"ando la eua"$n de a#ran#e, on

;btenemos

39



5.5.5.,.- 2emplos ilustrati!os+ para sistema de partculas'

-. 9ua"$n de a#ran#e - dos partulas en "bra"$n l"bre. Deducir las ecuaciones demovimiento para la vibración libre de un sistema que tiene dos grados de libertad, comose indica en la figura.

*igura (b-

olución

>a %ue el s"stema es onserat"o, usaremos la eua"$n de a#ran#e para el s"stema

onserat"o

en donde

as ener#as "n*t"a y poten"al son

y el a#ran#"ano, es

ara la oordenada x1 , tenemos

y la eua"$n de mo"m"ento, es

40





. 9ua"$n de a#ran#e - dos partulas en "bra"$n !orzada. Deducir las ecuacionesde movimiento para la vibración forzada de un sistema que tiene dos grados de libertad,como se indica en la figura.

*igura (b

olución

0omo la a"$n del s"stema de !uerzas es par"almente onserat"o y par"almente no

onserat"o, usaremos la eua"$n de a#ran#e en la !orma


y el a#ran#"ano, es



41





3. 9ua"$n de a#ran#e - dos partulas. 1sando la ecuación de 2agrange, deducir lasecuaciones de movimiento para el sistema mostrado en la figura.

*igura (b3

olución

omando a x y omo oordenadas #eneral"zadas para el s"stema, tenemos, para la

partula m, , ea la elo"dad de la partula. 9ntones


42



y el a#ran#"ano, es

ara la oordenada x, tenemos


ara la oordenada , tenemos


<.- 9ua"$n de a#ran#e - dos partulas. Gsando la eua"$n de a#ran#e en la

!orma #eneral, dedu"r las eua"ones de mo"m"ento para el s"stema del e6emplo

anter"or. 0alular las !uerzas #eneral"zadas de dos maneras& en t*rm"nos de la ener#a

poten"al, y del traba6o "rtual.

olución

B part"r del e6emplo anter"or, tenemos

as !uerzas #eneral"zadas pueden alularse omo

43



B part"r de la ons"dera"$n del traba6o "rtual, obtenemos

!l t/rmino se obtiene como se indica en la figura, donde mg es el peso,

es el desplazamiento virtual, y es la componente vertical deldesplazamiento vertical.

(ara la coordenada %, tenemos)

*igura (b5


ara la oordenada , tenemos

44




or su puesto, estas dos eua"ones son "#uales a las %ue se dedu6eron en el e6emplo

anter"or.

5.5.,.- O*ser!aciones.

• 9n la eua"$n de a#ran#e, ex"ste una eua"$n por ada #rado de l"bertad,

por lo %ue la ele"$n de oordenadas #eneral"zadas l"bres ondue

d"retamente al mn"mo n:mero de eua"ones d"nám"as.

• e trata de eua"ones d"!eren"ales de se#undo orden (al ex"st"r der"adas

temporales de los t*rm"nos , %ue dependen, a su ez, de )

• 9n las eua"ones de a#ran#e han %uedado el"m"nadas todas las rea"ones de

enlae %ue no real"zan traba6o "rtual, orrespond"ente a los enlaes l"sos. 9sto

ontrasta on las eua"ones proedentes de los teoremas NeOton"anos en las

%ue, en pr"n"p"o, deben ons"derarse estas rea"ones.

• Gna ez ealuadas las expres"ones de 9 k y de K" , las eua"ones de a#ran#e se

pueden obtener de !orma automát"a s"n más %ue apl"ar las re#las analt"asde der"a"$n orrespond"ente a la eua"$n.

• 9l s"#n"!"ado !s"o del t*rm"no es de las !uerzas de "ner"a.

• or :lt"mo, los t*rm"nos pueden "nterpretarse omo !uerzas !"t""as

proedentes de la ele"$n de oordenadas #eneral"zadas . 9n aso de %ue

*stas sean s"mplemente las omponentes artes"anas de los etores

desapareeran. 9stas !uerzas se aMaden a las !uerzas #eneral"zadas K" en lad"re"$n de %".

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