![Parte común M [CS.PC.003.Z] · Determine as ecuacións das rectas s e r. Determine las ecuaciones de las rectas s y r. A s≡x−4 y=2 r≡x−2 y=4 B s≡4x−y=16 r≡x+2 y=4 C](https://static.fdocuments.es/doc/165x107/5f1b2b749b278362b74dde17/parte-comn-m-cspc003z-determine-as-ecuacins-das-rectas-s-e-r-determine.jpg)
las empresas pueden subir los precios con inteligencia · PDF filef- Determine el dominio de...
31
Notas Sobre Varias Variables Reales Liliana Ghersi Ana Gerosi Daniela Parada 1 UNIDAD 1 FUNCIONES DE MAS DE UNA VARIABLE REAL EN REAL CONTENIDOS: Vectores en R n . Definición de funciones de más de una variable real en real. Dominio. Ámbito o Recorrido. Gráfica. Curvas de nivel. Aplicaciones económicas de las curvas de nivel: curvas de indiferencia. Función compuesta y función implícita. COMENTARIOS: Una vista del torna vías… donde gran parte de la actividad de nuestra universidad se desarrolla desde sus albores. Las funciones que abordaremos teóricamente, se plasman en muchos de sus espacios. www.unsam.edu.ar Cómo las empresas pueden subir los precios con inteligencia Por Paul W. Farris y Kusum L. Ailawadi. The Wall Street Journal Deles Bueno, Mejor y Optimo: En vez de sacar marcas de menor calidad, las compañías deberían "separar" las funciones de sus productos y dejar que los consumidores paguen por los "extras" que quieran. Por ejemplo, las compañías podrían tomar su producto central, quitarle los adornos y bajar el precio. Esa sería la versión "buena". Luego podrían agregar una versión "mejor" un poco más cara, con algunas funciones más y luego una "óptima" con todas las características a un precio aún más caro. La Nación 24/07/2013 Facebook planea crear un botón para ocultar publicaciones y explicar el motivo Como una contrapartida al "Me gusta", la red social evalúa lanzar una opción para definir por qué un usuario no desea ver una actualización de estado, foto o artículo
Transcript of las empresas pueden subir los precios con inteligencia · PDF filef- Determine el dominio de...
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
1
UNIDAD 1
FUNCIONES DE MAS DE UNA VARIABLE REAL EN REAL
CONTENIDOS:
Vectores en Rn. Definición de funciones de más de una variable real en real.
Dominio. Ámbito o Recorrido. Gráfica. Curvas de nivel. Aplicaciones económicas
de las curvas de nivel: curvas de indiferencia. Función compuesta y función
implícita.
COMENTARIOS:
Una vista del torna vías… donde gran parte de la actividad de nuestra universidad
se desarrolla desde sus albores. Las funciones que abordaremos teóricamente, se
plasman en muchos de sus espacios. www.unsam.edu.ar
Cómo las empresas pueden subir los precios con inteligencia Por Paul W. Farris y Kusum L. Ailawadi. The Wall Street Journal
Deles Bueno, Mejor y Optimo:
En vez de sacar marcas de menor calidad, las compañías deberían "separar" las
funciones de sus productos y dejar que los consumidores paguen por los "extras"
que quieran. Por ejemplo, las compañías podrían tomar su producto central, quitarle los adornos
y bajar el precio. Esa sería la versión "buena". Luego podrían agregar una versión
"mejor" un poco más cara, con algunas funciones más y luego una "óptima" con
todas las características a un precio aún más caro. La Nación 24/07/2013
Facebook planea crear un botón para ocultar publicaciones y
explicar el motivo
Como una contrapartida al "Me gusta", la red social evalúa lanzar una opción para
definir por qué un usuario no desea ver una actualización de estado, foto o artículo
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
2
Ante la inmensa cantidad de información que se comparte en la plataforma,
Facebook evalúa lanzar en los próximos meses una opción para que la red social
pueda entender mejor por qué los usuarios no desean ver algunos contenidos,
actualizaciones o fotos. Esta función será una suerte de contrapartida del popular
botón "Me gusta", aunque no llevará el previsible nombre "No me gusta", ya que
tendrá una tarea diferente.
"Planeamos refinar sobre las cosas que los usuarios le gustan ver o no entre las
actualizaciones de Facebook", dijo Fidji Simo, gerente de Producto para Avisos de
Facebook, en una entrevista realizada por ABC News . Según la ejecutiva, esta
función serviría como una herramienta de reporte y votación para señalar a una
publicación como ofensiva o poco interesante.
Esta función ya se encontraba disponible en Facebook para ocultar los avisos
personalizados que aparecían en el lado derecho de la red social. Allí se podía
especificar el motivo de la decisión, con opciones similares a las informadas por
Simo.
De esta forma, esta opción de reporte se extendería al resto de las publicaciones en
Facebook, de forma tal que la red social no sólo sepa qué cosas le gustan a los
usuarios, sino también los motivos por el cual evitan ciertas fotos, actualizaciones y
artículos en la plataforma.
Con esta modalidad, Facebook busca perfeccionar aún más su sistema de avisos
personalizados, para que los anunciantes tengan mayores recursos para llegar de
forma precisa al público deseado. La Nación 25/07/2013
DESARROLLO:
Definición: El conjunto de todos los n números reales ordenados se llama espacio
numérico n-dimensional y se representa por Rn. Cada n-ada n321 x,......,x,x,x se
denomina punto en el espacio numérico n-dimensional o bien vector.
Producto Escalar:
El producto escalar, o bien, producto interno, o bien, producto interior, es
una operación binaria definida sobre dos vectores de un mismo espacio numérico n-
dimensional. El resultado de esta operación es un número real o escalar.
Sea nuuuu ,.....,, 21 y sea nvvvv ,.....,, 21 vectores en Rn
se define el producto
escalar entre ambos vectores, como:
nn
n
i
ii vuvuvuvuvu .......... 2211
1
Ejemplo:
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
3
2
2122.2/14.30.2.
2,4,0
2/1,3,2
vu
v
u
Aplicaciones económicas:
Una empresa fabrica cuatros productos 4321 ;;; PPPP , cuyos costos de producción
son respectivamente: 200; 250; 300; 520; con cantidad de unidades estimadas de
demanda: 1000; 2000; 1500 y 2400 respectivamente. Si los datos se expresan en
forma vectorial, el costo total de las unidades demandadas, se puede obtener
mediante el producto interno entre el vector costo y el vector cantidad de unidades
demandadas:
2398000
2400*5201500*3002000*2501000*200
2400 1500, 2000, ,1000.520 ,300 ,250 ,200
CTUD
CTUD
CTUD
Si se tiene en cuenta que los valores de mercado por unidad, son: 300; 420; 530 y
700 (expresados en pesos argentinos) respectivamente, el ingreso total viene dado
por el producto interno entre el vector cantidad de unidades demandadas y el vector
precios
3615000
700*2400530*1500420*2000300*1000
070 ,305 ,042 ,300.2400 1500, 2000, ,1000
IT
IT
IT
Otra aplicación:
Se entiende por recta de balance o restricción presupuestaria, al conjunto de
distintas combinaciones de dos bienes que pueden ser consumidas por un individuo,
partiendo de una determinada renta o presupuesto y unos determinados precios de
los bienes.
Un individuo tiene un ingreso de $20000, y lo destina en su totalidad a la compra
de dos bienes 21;BB , si el vector precio es 200;500 , la ecuación de la recta
balance es:
21 *200*50020000 qq , donde qi es la cantidad adquirida del bien i-ésimo.
Expresada en forma segmentaria, dicha ecuación resulta ser:
100401 21 qq
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
4
Si el consumidor con la totalidad de su ingreso sólo desea adquirir el bien B1 la
cantidad correspondiente es de 40 unidades; si por el contrario sólo desea adquirir
el bien B2 la cantidad correspondiente es de 100 unidades.
Definición: Una función de n variables es un conjunto de pares ordenados de la
forma (P, w) en el cual dos pares ordenados diferentes no tienen el mimo primer
elemento. P es un punto en el espacio n-dimensional y w es un número real. El
conjunto de todos los posibles valores de P se llama dominio de la función y el
conjunto de los posibles valores de w recibe el nombre de contradominio (o
ámbito o recorrido) de la función.
Definición: Si f es una función de n variables, entonces la gráfica de f es el
conjunto de todos los puntos w,n321 x,......,x,x,x en Rn+1
para el cual
n321 x,......,x,x,x es un punto en el dominio de f y n321 x,......,x,x,xfw
Nota: El símbolo * denota la operación de multiplicación.
1°) Sea f la función con dos variables x y y, el conjunto de todos los pares
ordenados de la forma (P, z) tal que:
yx
yxy)f(x,
yx
yxz
Tomado de El Cálculo con Geometría Analítica de Leithold.
Determine:
a- 3,4-f
Se tiene entonces que P = (-3,4), por lo tanto:
7
1
7
1
43
43
3,4-f
b-
3
1,
2
1f
En esta nueva situación P es el par
3
1,
2
1 por lo tanto:
5
6
16
5
3
1
2
13
1
2
1
3
1,
2
1f
c- 1-y1,xf
Aquí estamos buscando el valor resultado para todo par de la forma 1-y1,x
211
11
yx
yx
yx
yx
)(1-y1,xf
d- f(x,-y-y)x,-f
Buscamos aquí, qué forma tendrá el resultado de la diferencia de valores
funcionales cuando la relación la aplicamos a pares de la forma: (x,-yy),x,-
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
5
0
yx
yxyx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yxyxf ),(yx,-f
El resultado será siempre nulo.
e- Trace una gráfica que muestre, como una región en R2, el conjunto de puntos en
el dominio de f. yxyxyxyxyxDomf /),(/),(),( 0
2°) Sea f la función con dos variables x y y, el conjunto de todos los pares
ordenados de la forma (P, z) tal que:
yxz
Determine:
a- 1,-1z
0011 1,-1z
b-
3
2,
3
1z
113
2
3
1
3
2,
3
1z
c- x,-xz
00 )( xxx,-xz
Observe que el resultado es nulo, para cualquier para de la forma (x,-x), en el inciso
a, habíamos obtenido el valor nulo para el par (1,-1); que es una situación
particular.
d- 11,-xxz
2211 )( xx11,-xxz
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 5 10 15
Series2
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
6
El valor dos, se puede obtener para cualquier par cuya segunda coordenada sea la
suma entre el negativo de la primera coordenada y la constante dos.
e- Rkkk ;y,xz
),( yxzyxkykxkk y,xz
Conviene analizar que es posible obtener el mismo resultado para una infinidad de
pares, con tal que la primera coordenada se incremente en k unidades y la segunda
se decremente en ka unidades, con k real.
f- Determine el dominio de f.
2RyxyxyxDomf ),/(),(),(
3°) Sea g la función con dos variables x y y, el conjunto de todos los pares
ordenados de la forma (P, z) tal que:
yxy)g(x,yxz22
Tomado de El Cálculo con Geometría Analítica de Leithold.
Determine:
a- 3,5g
Respuesta: 2
b- 4,-9-g
Respuesta: 5
c- 42,4xxg
Respuesta: xx
d-
2
x
3,-
x
1g
Respuesta: xx
24
e- Trace una gráfica que muestre, como una región en R2, el conjunto de puntos en
el dominio de f.
Respuesta:
yxyxyxyxyxDomf 22 0 /),(/),(),(
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
7
4°) Sea z la función con dos variables x y y, el conjunto de todos los pares
ordenados de la forma (P, z) tal que: 2323 22 yxyxyxfyxyx ),(z
Determine:
a- 2,3-z
Respuesta: 31
b-
y
2,
x
1z
Respuesta:23 y
4
xy
4
x
1y)z(x,
c-
Rkk
;yz(x,-k)yx,z
Respuesta: kyx 22
d-
k
z(2,3-k)2,3z
Respuesta: 2+k
e- Ídem que ejercicio anterior con k = 0,001
Respuesta: 2+0,001= 2,001
f- Ídem que ejercicio anterior con k = 0,00001
Respuesta: 2,00001
APLICACIONES ECONOMICAS
5°) Sea la función de costos de producción del artículo A;
y*xy*3xy)z(x,C(A)2
0
10
20
30
40
50
60
70
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Series2
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
8
Donde x e y son los insumos del producto A,
a-determine los siguientes costos:
a1) z(100,200)
a2) z(x,2*x)
a1) z(100,200) = 30600
a2) z(x,2*x) = 2)(x*3xx*63x2xx*6x 222
b-Determine tres posibilidades de producción para C(A) =20300
Tenga presente que:
yx3
x203002
Por ejemplo si el insumo x toma el valor 100 y el insumo y toma el valor 100, el
costo de producción de A será:
20300 = z(100,100) =1002+3*100+100
2
20300 = z(97,108,91)= 972+3*108,91+97 * 108,91 Observe que el
insumo x ha decrecido y el insumo y ha crecido.
20300 = z(60, 284,1833..), Nuevamente, el insumo x ha decrecido y el
insumo y ha crecido. Esta situación se ha de repetir ya que en la relación:
yx
x
3
20300 2
los signos de los insumos son contrarios.
c- Grafique
6°) Sea la función de beneficios mensuales: 4z1.5y3xz)y,B(x,
Series2
Series6
Series10
0
5000
10000
15000
20000
25000
1 3 5 7 9
20000-25000
15000-20000
10000-15000
5000-10000
0-5000
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
9
Donde x, y, z; son las cantidades mensuales vendidas de los productos de la
empresa. Si se desea un beneficio mensual de 18000 u. m., ejemplifique seis
posibilidades de venta que arrojen el mismo beneficio.
7°) Determine el dominio de la función f, y trace una gráfica donde muestre, como
una región en R2, el conjunto de puntos que está en el dominio.
9yx
4y)f(x,
22
Dado que la función viene definida como cociente de dos funciones, se tiene que
estudiar dónde se anula el denominador; pues es imposible definir el cociente a
partir de dos números donde el denominador es cero.
El denominador es la función:
9yxy)g(x,22
que debe ser distinto de cero; o sea:
9
22
22
yx
09yxy)g(x,
Por lo tanto :
9 222yxRy)(x,y)Domf(x, / O sea es R
2, exceptuada la circunferencia de
centro (0,0) y radio 3.
8°) Determine el dominio de la función f, y trace una gráfica donde muestre, como
una región en R2, el conjunto de puntos que está en el dominio.
)2
x-ln(yy)f(x,
Esta función estará definida donde el logaritmo sea positivo o cero; por lo tanto
2
2
2
1
1
0
xy
xy
xy
)ln(
Gráficamente:
R2
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
10
9°) Determine el dominio de la función f, y trace una gráfica donde muestre, como
una región en R2, el conjunto de puntos que está en el dominio.
2y)(3x18y)f(x,
Respuesta: El dominio, es el semiplano que contiene al par (0,0) y cuyo borde es 91,5xy
10°) Determine el dominio de la función f, y trace una gráfica donde muestre, como
una región en R2, el conjunto de puntos que está en el dominio.
2y)3xy)f(x, ln(
Respuesta: El dominio, es el semiplano que no contiene al par (0,0) y cuyo borde es 1,5xy
11°) Determine el dominio de la función f, y trace una gráfica donde muestre, como
una región en R2, el conjunto de puntos que está en el dominio.
22
44
yx
yxy)f(x,
Respuesta: El dominio es R2, excepto los pares cuya segunda coordenada coincide
con su primer coordenada o cuya segunda coordenada coincide con el negativo de
su primer coordenada.
12°) Determine el dominio de la función f, y trace una gráfica donde muestre, como
una región en R2, el conjunto de puntos que está en el dominio.
y
1
x
1y)f(x,
Respuesta: El dominio es R2, excepto los pares cuya primera coordenada es cero
como así también los pares cuya segunda coordenada es cero.
13°) Determine el dominio y ámbito de la función dada, finalmente trace la gráfica:
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1 2 3 4 5 6 7 8
Series2
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
11
3
4y
3
2x6y)z(x,
Como la función es una diferencia entre relaciones lineales de las variables
independientes, es posible aplicarla a todo par real, por lo tanto:
2Ry)(x,y)Domf(x,
Y Rzy)Ambf(x,
Gráficamente:
14°) Determine el dominio y ámbito de la función dada, finalmente trace la gráfica: 22
yx9y)z(x,
Como la función es una radicación cuadrada, para obtener un valor real es necesario
que el radicando sea positivo o nulo, por lo tanto:
0yx/9Ry)(x,y)Domf(x,222
Y 3 zR/0zy)Ambf(x,
Gráficamente:
Series2
Series7
Series12
-15
-10
-5
0
5
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5-10
0-5
-5-0
-10--5
-15--10
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
12
15°) Determine el dominio y ámbito de la función dada, finalmente trace la gráfica: 22
yxy)z(x, 16
Como la función es una diferencia entre cuadrados y un número real,no hay
situaciones de indefinición, por lo tanto:
2Ry)(x,y)Domf(x,
Y 16 zR/zy)Ambf(x,
Gráficamente
16°) Determine el dominio y ámbito de la función dada, finalmente trace la gráfica: 22
yxy)z(x, 9250 ,
Como es una suma entre cuadrados, no hay situaciones de conflicto, por lo tanto:
Ser… Ser… Ser… Ser…0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
1 2 34
56
7
2,5-3
2-2,5
1,5-2
1-1,5
0,5-1
0-0,5
Serie
s1
Serie
s3
Serie
s5
Serie
s7
Serie
s9-100
-80
-60
-40
-20
0
20
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0-20
-20-0
-40--20
-60--40
-80--60
-100--80
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
13
2Ry)(x,y)Domf(x,
Y 0 zR/zy)Ambf(x,
Gráficamente
17°) Determine el dominio y ámbito de la función dada, finalmente trace la gráfica:
yxy)z(x,
Como la función es una radicación cuadrada, para obtener un valor real es necesario
que el radicando sea positivo o nulo, por lo tanto:
0y/xRy)(x,y)Domf(x,2
Y z R/0zy)Ambf(x,
Gráficamente:
Series1
Series5
Series9
0
50
100
150
200
250
1 3 5 7 9
11
200-250
150-200
100-150
50-100
0-50
S…
S…
S…
S…
S…
S…
S…
S…
S… 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
1
5
9
2,5-3
2-2,5
1,5-2
1-1,5
0,5-1
0-0,5
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
14
APLICACIONES ECONOMICAS:
18°) La función de producción –en una empresa- viene dada a partir de los
insumos, a partir de la siguiente regla:
z*0,45y*0,25x*0,3z)y,P(x,
donde x, y, z, son los insumos necesarios para generar el producto final de la
empresa. Cuál es el dominio para esta función de producción; y cuál el ámbito.
Es evidente que los insumos no pueden tomar valores negativos, por lo tanto el
dominio es:
0z0;y0;z)/xy;(x;z)y;DomP(x; ;
0z)/uy;u(x;z)y;AmbP(x;
Imagine si el producto es pan: que depende de harina de trigo (en algunos casos) ;
agua; levadura de cerveza (en algunos casos) ; sal (en algunos casos) o
conservantes (en algunos casos)
Podría pensarse un pan con una cantidad de harina de trigo menor a cero; y la
cantidad producida de pan menor a cero?
Y si se está pensando en un tributo a las ganancias; sería lógico pensar aplicar el
tributo indiscriminadamente a las operaciones gestadas en las diversas sociedades
interactuantes? tómese como ejemplo las ONG.
Definición: Las curvas de nivel se definen como el lugar Geométrico de las
combinaciones de los diversos inputs (variables independientes) que da un nivel
constante de ouput (variable dependiente). Mediante este tipo de curvas, podemos
conocer el comportamiento de la función en forma aproximada.
19°) Trace el mapa de contornos de la función dada, mostrando las curvas de
niveles en los números dados.
3
4y
3
2x6y)z(x,
z = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 ,4, -4
Para ello debemos hacer variar los valores de z en función de los dados en el
enunciado del ejercicio; tenga presente que ha de quedar una función que arroja el
mismo valor para distintos pares del dominio de z(x;y).
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
15
);;
);;
);;
);;
);;
);;
);;
);;
);;
2
x
2
15(x
2
x
2
15y
3
2x
3
4y
3
4y
3
2x6z
2
x
2
3(x
2
x
2
3y
3
2x
3
4y
3
4y
3
2x64z
2
x
4
27(x
2
x
4
27y
3
2x
3
4y
3
4y
3
2x63z
2
x
4
9(x
2
x
4
9y
3
2x
3
4y
3
4y
3
2x6z
2
x(x
2
xy
3
2x
3
4y
3
4y
3
2x6z
2
x(x
2
xy
3
2x
3
4y
3
4y
3
2x6z
2
x
4
21(x
2
x
4
21y
3
2x
3
4y
3
4y
3
2x61z
2
x
4
15(x
2
x
4
15y
3
2x
3
4y
3
4y
3
2x61z
2
x
2
9(x
2
x
2
9y
3
2x6
3
4y
3
4y
3
2x60z
104
2
9
33
6682
3342
7
5
Observe que ha obtenido pares que pertenecen a rectas con pendiente –0.5; para
cada valor de z, se obtiene un conjunto de pares que pertenecen a una de las
ilimitadas rectas paralelas con pendiente –0.5
z(x;y) z=-4 z=-3 z=-2 z=-1 z=0 z=1 z=2 Z=3 z=4
x 7,5-0,5*x 6,75-0,5*x 6-0,5*x 5,25-0,5*x 4,5-0,5*x 3,75-0,5*x 3-0,5*x 2,25-0,5*x 1,5-0,5*x
-3 9 8,25 7,5 6,75 6 5,25 4,5 3,75 3
-2,5 8,75 8 7,25 6,5 5,75 5 4,25 3,5 2,75
-2 8,5 7,75 7 6,25 5,5 4,75 4 3,25 2,5
-1,5 8,25 7,5 6,75 6 5,25 4,5 3,75 3 2,25
-1 8 7,25 6,5 5,75 5 4,25 3,5 2,75 2
-0,5 7,75 7 6,25 5,5 4,75 4 3,25 2,5 1,75
0 7,5 6,75 6 5,25 4,5 3,75 3 2,25 1,5
0,5 7,25 6,5 5,75 5 4,25 3,5 2,75 2 1,25
1 7 6,25 5,5 4,75 4 3,25 2,5 1,75 1
1,5 6,75 6 5,25 4,5 3,75 3 2,25 1,5 0,75
2 6,5 5,75 5 4,25 3,5 2,75 2 1,25 0,5
2,5 6,25 5,5 4,75 4 3,25 2,5 1,75 1 0,25
3 6 5,25 4,5 3,75 3 2,25 1,5 0,75 0
3,5 5,75 5 4,25 3,5 2,75 2 1,25 0,5 -0,25
4 5,5 4,75 4 3,25 2,5 1,75 1 0,25 -0,5
Gráficamente:
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
16
Todas las rectas están entre sí a una distancia de 0,75; si tomamos pares de la
forma: );2
x
2
9(x , arrojarán valores de z=0, y si tomamos pares de la forma:
);2
x
4
15(x , arrojarán valores de z=1, y como sucede lo mismo para todos los
valores de z que distan una unidad, podemos afirmar que para obtener un salto de
una unidad en z, necesito tomar pares ordenados que pertenezcan a rectas con
pendiente –0,5 que disten entre sí 0,75. O sea el incremento de z es constante para
cualquier par de pares ordenados que teniendo la misma primera ordenada y
pertenecientes a rectas con pendiente –0,5 disten un valor constante.
20°) Trace el mapa de contornos de la función dada, mostrando las curvas de
niveles en los números dados.
y*x*3y)z(x,
z = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Para ello debemos hacer variar los valores de z en función de los dados en el
enunciado del ejercicio; tenga presente que ha de quedar una función que arroja el
mismo valor para distintos pares del dominio de z(x;y).
-2
0
2
4
6
8
10-3
-2,5 -2
-1,5 -1
-0,5 0
0,5 1
1,5 2
2,5 3
3,5 4
Y
X
MAPA DE CONTORNOS PARA Z(X;Y)
7,5-0,5*x
6,75-0,5*x
6-0,5*x
5,25-0,5*x
4,5-0,5*x
3,75-0,5*x
3-0,5*x
2,25-0,5*x
1,5-0,5*x
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
17
);*
);*
);*
);*
);*
);*
x
2(x
x*3
6yy*x6z
x*3
5(x
x*3
5yy*x5z
x*3
4(x
x*3
4yy*x4z
x
1(x
x*3
3yy*xz
x*3
2(x
x*3
2yy*xz
x*3
1(x
x*3
1yy*x1z
3
3
3
33
32
3
z(x;y) z=1 z=2 z=3 z=4 z=5 z=6
x 1/(3*x) 2/(3*x) 1/x 4/(3*x) 5/(3*x) 2/x
-10 -0,033333 -0,066667 -0,1 -0,133333 5/(3* -0,166667
-9 -0,037037 -0,074074 -0,111111 -0,148148 -0,185185
-8 -0,041667 -0,083333 -0,125 -0,166667 -0,208333
-7 -0,047619 -0,095238 -0,142857 -0,190476 -0,238095
-6 -0,055556 -0,111111 -0,166667 -0,222222 -0,277778
-5 -0,066667 -0,133333 -0,2 -0,266667 -0,333333
-4 -0,083333 -0,166667 -0,25 -0,333333 -0,416667
-3 -0,111111 -0,222222 -0,333333 -0,444444 -0,555556
-2 -0,166667 -0,333333 -0,5 -0,666667 -0,833333
-1 -0,333333 -0,666667 -1 -1,333333 -1,666667
1 0,3333333 0,6666667 1 1,3333333 1,6666667
2 0,1666667 0,3333333 0,5 0,6666667 0,8333333
3 0,1111111 0,2222222 0,3333333 0,4444444 0,5555556
5 0,0666667 0,1333333 0,2 0,2666667 0,3333333
6 0,0555556 0,1111111 0,1666667 0,2222222 0,2777778
7 0,047619 0,0952381 0,1428571 0,1904762 0,2380952
8 0,0416667 0,0833333 0,125 0,1666667 0,2083333
9 0,037037 0,0740741 0,1111111 0,1481481 0,1851852
10 0,0333333 0,0666667 0,1 0,1333333 0,1666667
11 0,030303 0,0606061 0,0909091 0,1212121 0,1515152
12 0,0277778 0,0555556 0,0833333 0,1111111 0,1388889
13 0,025641 0,0512821 0,0769231 0,1025641 0,1282051
CONTINUACION DE LA TABLA
14 0,0238095 0,047619 0,0714286 0,0952381 0,1190476
15 0,0222222 0,0444444 0,0666667 0,0888889 0,1111111
16 0,0208333 0,0416667 0,0625 0,0833333 0,1041667
17 0,0196078 0,0392157 0,0588235 0,0784314 0,0980392
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
18
NO ESTA DEFINIDO PARA X=0
Observe –a diferencia del ejercicio anterior- que a variaciones constantes de z, no
se dan variaciones constantes en las variables independientes.
Herramientas de Gestión: el ideal llevado a la práctica
Un productor que cultiva el orden como un bien necesario para el éxito.
Para Marcos Rodrigué, que gerencia 25000 hectáreas, la consigna es obtener el
mayor provecho de cada actividad.
En la empresa La Redención el orden de las cuentas avala el resultado positivo
Las estrategias de comercialización y la compra de insumos adquieren un rol
protagónico.
Avances tecnológicos, organismos genéticamente modificados, gerenciamiento,
mercado de futuros, Internet: Bienvenidos al campo de hoy. Si bien cada uno de los
términos enumerados encierra posibilidades de crecimiento, ninguno asegura –en sí
mismo- rentabilidad. Sólo a partir de su correcta utilización comienzan a percibirse
los resultados....
Suplemento Campo La Nación 22/7/2000
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2-1
0 -8 -6 -4 -2 1 3 5 7 9
11
13
15
17
y
x
Mapa de Contornos
1/(3*x)
2/(3*x)
1/x
4/(3*x)
2/x
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
19
21°) Trace el mapa de contornos de la función dada, mostrando las curvas de
niveles en los números dados. 22
yx9y)z(x,
z = 0, 0,5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3.
22°) Trace el mapa de contornos de la función dada, mostrando las curvas deniveles
en los números dados. 22 yx16y)z(x,
z = 16, 1 2, 8, 4, 0, -4.
23°) Trace el mapa de contornos de la función dada, mostrando las curvas de
niveles en los números dados. 22 yxy)f(x, 94
f=0, 1 2,3.
APLICACIONES ECONÓMICAS DE LAS CURVAS DE NIVEL.
Como se definió anteriormente es el lugar geométrico de las combinaciones de los
diversos inputs –variables independientes- que da un nivel constante de ouput -
variable dependiente-.
Como consecuencia: 1º- el ámbito de estas curvas está totalmente incluido en el
primer cuadrante –para el caso de dos variables independientes-; en el primer octeto
para el caso de tres variables independientes, y así sucesivamente; 2º son
decrecientes, pues al aumentar el valor de una de las variables independientes,
disminuye el valor de otra variable independiente o los valores de otras variables
independientes para mantener constante el resultado.
Curva de indiferencia: Es por naturaleza una curva de isovalor. Se usa en modelos
de consumos; a diferencia de las isocuantas que se usan en modelos de producción.
Se define como el lugar Geométrico de las combinaciones de los diversas
cantidades -variables independientes- para las cuales el consumidor obtiene nivel
constante de utilidad - ouput, variable dependiente-.
24°) Grafique las curvas de indiferencias; para la función de utilidad dependiente
de las cantidades de producido del producto A y del producto B, dada por la
relación:
bABA qqqqf 4;
Para
100;
50;
36;
20;
BA
BA
BA
BA
qqf
qqf
qqf
qqf
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
20
Analice si las gráficas obtenidas tienen elementos en común; intente explicar lo
observado.
qA qB=5/qA qB=9/qA qB=15/qA qB=25/qA
1 5 9 15 25
1,7 2,9411765 5,2941176 8,8235294 14,705882
2,1 2,3809524 4,2857143 7,1428571 11,904762
2,5 2 3,6 6 10
2,9 1,7241379 3,1034483 5,1724138 8,6206897
3,3 1,5151515 2,7272727 4,5454545 7,5757576
3,7 1,3513514 2,4324324 4,0540541 6,7567568
4,1 1,2195122 2,195122 3,6585366 6,097561
4,5 1,1111111 2 3,3333333 5,5555556
4,9 1,0204082 1,8367347 3,0612245 5,1020408
5,3 0,9433962 1,6981132 2,8301887 4,7169811
5,7 0,877193 1,5789474 2,6315789 4,3859649
6,1 0,8196721 1,4754098 2,4590164 4,0983607
6,5 0,7692308 1,3846154 2,3076923 3,8461538
6,9 0,7246377 1,3043478 2,173913 3,6231884
7,3 0,6849315 1,2328767 2,0547945 3,4246575
7,7 0,6493506 1,1688312 1,9480519 3,2467532
8,1 0,617284 1,1111111 1,8518519 3,0864198
8,5 0,5882353 1,0588235 1,7647059 2,9411765
8,9 0,5617978 1,011236 1,6853933 2,8089888
9,3 0,5376344 0,9677419 1,6129032 2,688172
9,7 0,5154639 0,9278351 1,5463918 2,5773196
10,1 0,4950495 0,8910891 1,4851485 2,4752475
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
21
Observe que son:
Decrecientes, pues al aumentar la cantidad de un bien, necesariamente debe
disminuir la cantidad del otro, a los efectos de obtener la misma utilidad.
Son cóncavas hacia arriba
No se interceptan, pues la utilidad es única; si se cortaran existiría un combinación
de insumos que arrojaría dos o más niveles de utilidad para un mismo consumidor.
25°) 1.Grafique las isocuantas, para la función de producción dependiente de los
insumos A y B, dada por la relación:
B
2
BA
2
ABA 6qq4q2q--10q;qQ
3BA q;qQ
Para: 4BA q;qQ
5BA q;qQ
2. Determine el intervalo relevante.
qa qb/Q=3 qb/Q=4 qb/Q=5
0,1 16,1044 24,3444 34,5844
0,2 13,7584 21,3184 30,8784
0,3 11,8804 18,8404 27,8004
0,4 10,3984 16,8384 25,2784
0,5 9,25 15,25 23,25
0,6 8,3824 14,0224 21,6624
0,7 7,7524 13,1124 20,4724
0
5
10
15
20
25
30
qB
qA
Curvas de Indiferencia
qB=5/qA
qB=9/qA
qB=15/qA
qB=25/qA
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
22
0,8 7,3264 12,4864 19,6464
0,9 7,0804 12,1204 19,1604
1 7 12 19
1,1 7,0804 12,1204 19,1604
1,2 7,3264 12,4864 19,6464
1,3 7,7524 13,1124 20,4724
1,4 8,3824 14,0224 21,6624
1,5 9,25 15,25 23,25
1,6 10,3984 16,8384 25,2784
1,7 11,8804 18,8404 27,8004
1,8 13,7584 21,3184 30,8784
1,9 16,1044 24,3444 34,5844
2 19 28 39
2,1 22,5364 32,3764 44,2164
El intervalo relevante es para los valores de qA menores a 1, ya que es en dicho
intervalo que cada una de las curvas de isovalor son decrecientes; o lo que es lo
mismo decir que se que a mayor cantidad de qA menor cantidad de qA . Ya que el
empresario desea el mismo nivel de producción sin incrementar sus costos por
compra de insumos. Piense que si crecen las cantidades consumidas de ambos
insumos, para el mismo nivel de producción, crece el monto a invertir en la
adquisición de los insumos respectivos.
Por lo tanto el intervalo relevante es aquél donde el signo de la primera derivada
de la isocuanta es negativo.
26°) Grafique las isocostes para la función de costos dependiente de las cantidades
insumidas del insumo A y del insumo B, dada por la relación:
24; BABA xxxxC
Donde los costos unitarios respectivos son 4 y 1 u.m.
05
101520253035404550
ISOCUANTAS
Series2
Series3
Series4
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
23
Para:
400;
200;
100;
BA
BA
BA
xxC
xxC
xxC
27°) Grafique las isoingresos para la función de ingresos dependiente de las
cantidades del producto A y del producto B, dada por la relación:
bABA 3q4qq;qI
Donde los precios unitarios respectivos son 4 y 3 u.m.
Para:
240q;qI
120q;qI
90q;qI
BA
BA
BA
Definición: La función composición de dos leyes, RRgRRf 2:: , denotada
por yx;gf , se define como :
yx;gfyx;gfy)h(x;
Donde el dominio de la ley denotada por f debe ser congruente con el ámbito de la
ley denotada por g ó bien debe contenerlo.
28°) Calcule yx;gfy)h(x; y obtenga el dominio de h y los valores
resultantes para los pares: (0;0), (0;1), (1;0),(lne;0)
yxy)g(x;
ef(t) t
yxeyxfyx;gfyx;gfy)h(x;
El dominio de h es el conjunto de todos los pares pertenecientes al plano real.
RyR,y)/x(x,y)h(x, Dom
ee0f0;1gf0;1gfh(0;1)
1e0f0;0gf0;0gfh(0;0)0
11
0
1elneflne;0gflne;0gfh(lne;0)
h(0;1)1e1f1;0gf1;0gfh(1;0)1
eln
0
29°) Calcule yx;gfy)h(x; y obtenga el dominio de h y los valores
resultantes para los pares: (0;0), (0;1), (1;0),(l;1)
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
24
yy*x2xy)g(x;
13ttf(t)
2
2
1yy*x2x3yy*x2xyy*x2xfyx;gfyx;gfy)h(x; 22
22
El dominio de h(x,y) es el conjunto de todos los pares pertenecientes al plano real,
cuyas coordenadas multiplicadas den un resultado positivo o cero:
0y*/xRy)(x,y)h(x, Dom 2
1111*11*2311*11*211*11*2f1;1gf1;1gfh(1;1)
1100*11*2300*11*200*11*2f1;0gf1;0gfh(1;0)
6111*00*2311*00*211*00*2f0;1gf0;1gfh(0;1)
1100*00*2300*00*200*00*2f0;0gf0;0gfh(0;0)
22
22
22
22
22
22
22
22
30°) Calcule yx;gfy)h(x; y obtenga el dominio de h y los valores
resultantes para los pares: (0;0), (3;1), (1;3),(l;1)
22
23
yy*3x0,25xy)g(x;
t3ttf(t)
APLICACIONES ECONOMICAS
31°) Suponga que la función de costos está dada por: 22 y0,1xy*20,25xy)C(x; *
Y que la función beneficio viene dada por:
c*0.0015c*0.00002B(c)2
Calcule –usando composición de funciones- el beneficio para la producción que
corresponde a los insumos:
(100;90)=y)(x; - 31.1
(100;200)=y)(x; - 31.2
Respuesta:
31.1 100;90CB100;90CB
21310900,190*100*2100*0,25C(100;90) 22 *
9082,5421310*0.001521310*0.00002B(c)2
32°) Suponga que la función de costos está dada por: 22 y0,15y*x*20,1xy)C(x; *, 0
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
25
Y que la función beneficio viene dada por: 3c*0.015c*0.025B(c)
Calcule –usando composición de funciones- el beneficio para la producción que
corresponde a los insumos:
(100;20)=y)(x; -32.2
(10;90)=y)(x; - 32.1
Función de producción de Cobb-Douglas: muy utilizada en el análisis
económico, viene dada por una regla de la siguiente forma (puede interpretarse
como un promedio geométrico entre las variables intervinientes):
1β0
1α0
0A
y*x*Ay)Q(x;βα
Suele suceder que:
α1β
Qué significado tiene la constante A? Para valores dados de x e y, la magnitud de A
afectará proporcionalmente al nivel de Q. De ahí que A pueda considerarse como
un parámetro de eficiencia, es decir como un indicador del estado de tecnología.
Ver Métodos Fundamentales de Economía Matemática Alpha Chiang (págs. 422-
424 Edición 1987)
33°) La función de producción f para una cierta mercancía tiene los valores de la
función:
3
2
3
1
y*x*4y)f(x;
donde x e y son las cantidades de dos insumos. Dibuje un mapa de contornos de f
donde se muestren las curvas de producción constantes en 16, 12, 8, 4 y 2.
(x;y) 4^1,5*(x^-0,5) 3^1,5*(x^-0,5) 2^1,5*(x^-0,5) 1*(x^-0,5) 0,5^1,5(x^-0,5)
0,1 25,29822128 16,43167673 8,94427191 3,16227766 1,118033989
0,5 11,3137085 7,348469228 4 1,414213562 0,5
1 8 5,196152423 2,828427125 1 0,353553391
1,5 6,531972647 4,242640687 2,309401077 0,816496581 0,288675135
2 5,656854249 3,674234614 2 0,707106781 0,25
2,5 5,059644256 3,286335345 1,788854382 0,632455532 0,223606798
3 4,618802154 3 1,632993162 0,577350269 0,204124145
3,5 4,276179871 2,777460299 1,511857892 0,534522484 0,188982237
4 4 2,598076211 1,414213562 0,5 0,176776695
4,5 3,771236166 2,449489743 1,333333333 0,471404521 0,166666667
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
26
5 3,577708764 2,323790008 1,264911064 0,447213595 0,158113883
5,5 3,411211462 2,215646838 1,206045378 0,426401433 0,150755672
6 3,265986324 2,121320344 1,154700538 0,40824829 0,144337567
6,5 3,137858162 2,038098661 1,109400392 0,39223227 0,138675049
7 3,023715784 1,963961012 1,069044968 0,377964473 0,133630621
7,5 2,921186973 1,897366596 1,032795559 0,365148372 0,129099445
8 2,828427125 1,837117307 1 0,353553391 0,125
8,5 2,743977362 1,782265577 0,9701425 0,34299717 0,121267813
34°) La función de producción f para una cierta mercancía tiene los valores de la
función:
4
3
4
1
T*C*10y)f(x;
donde C es el capital y T es el trabajo. Dibuje un mapa de contornos de f donde se
muestren las curvas de producción constantes en 40, 20, 10, 5 y 2.
La función de Arrow: es la denominada elasticidad de sustitución constante
(ESC), cuya ley de generación de la segunda coordenada a partir de la primera
coordenada es única (no está definida por tramos) y tiene la siguiente modalidad:
0
5
10
15
20
25
30
Mapa de contornos -curvas de producción constante-
y=4^1,5*(x-^0,5)
y=3^1,5*(x-^0,5)
y=2^1,5*(x-^0,5)
y=1*(x-^0,5)
y=0,5^1,5*(x-^0,5)
0 ,1;10;0 1;/1
ALKALKQ
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
27
Donde K y L representan dos factores de producción, y A, δ y ρ son tres
parámetros.
El parámetro de eficiencia A, es un indicador del estado de la tecnología,
desempeña el mismo rol que el coeficiente A en la función de Cobb-Douglas.
El parámetro de distribución (aquí claramente se hace referencia al concepto de
distribución de una variable y si hay incertidumbre estamos hablando de la
distribución de la variable aleatoria factores de producción) que viene denotado por
δ, tiene por lo tanto que ver con la participación relativa de cada uno de los factores
en el producido. Se puede hacer una analogía con α de la función de Cobb-
Douglas.
El parámetro de sustitución denotado por ρ es el que determina el valor de la
elasticidad de sustitución (constante) y no tiene correspondencia en la función de
Cobb-Douglas.
Si hemos hablado de variable aleatoria es válido hablar de Valor Esperado de la
misma y por la tanto es válido hablar de la realización empírica del citado
parámetro y en este caso corresponde el promedio armónico.
También debe tenerse en cuenta, que como en estadística los parámetros
poblacionales se denotan con letras griegas y las realizaciones de las variables
muestrales se denotan con letras de nuestro alfabeto.
La función ESC, como todas las funciones de producción linealmente homogéneas,
da como resultado en términos de rendimientos constancia de los mismos a escala;
se le puede aplicar el teorema de Euler; y los productos promedios y los productos
marginales son homogéneos de grado cero en la variables K y L.
La función de Cobb-Douglas (vale hablar también de promedio, pero en este caso
de promedio geométrico) que es linealmente homogénea es un caso especial de la
función ESC también linealmente homogénea. Si se acepta que el parámetro de
sustitución puede variar (aquí tenemos una correspondencia con la estadística
bayesiana) se tiene que:
Con lo cual se puede afirmar que la función ESC converge a la función de Cobb-
Douglas.
Por lo tanto se tienen varios conjuntos de pares ordenados que son realmente
funciones cada uno de ellos; sólo que en un caso la primera coordenada es un par
para las variables no estocásticas K y L (constructo que se estudia en Análisis
Matemático II de EEYN de UNSAM) ; en otro caso la primera coordenada es δ
(constructo que se estudia en el cuerpo del análisis matemático o de la estadística) y
en otro caso la primera coordenada es ρ (otro constructo que también se estudia en
el cuerpo del análisis matemático o de la estadística)
Se adjuntan tablas que comprueban las convergencias citadas up-supra
0 ,1;10;0
LAK1; -1/1
0
A
LKALKQlím
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
28
Dos visiones de la grafica de la ley de arrow especificada en el cuadro de algunas
isocuantas de dicha ley
A= 3
α= 0,5 -0,02 0,02 0,01 0,009 -0,02 0,02 0,01 0,009
K L Q(K;L) DE C-D
5 2 9,506766208 9,466941547 9,476881941 9,477876569 9,486832981 0,019933228 -0,01989 -0,00995104 -0,008956412
5 5 15 15 15 15 15 -4,44089E-14 0 -1,54543E-13 -1,56319E-13
5 8 18,98414719 18,96319052 18,9684275 18,96895128 18,97366596 0,010481224 -0,01048 -0,005238456 -0,004714677
8 5 18,98414719 18,96319052 18,9684275 18,96895128 18,97366596 0,010481224 -0,01048 -0,005238456 -0,004714677
8 8 24 24 24 24 24 8,88178E-14 7,11E-14 3,48166E-13 -2,30926E-13
8 11 28,14963047 28,13536045 28,13892728 28,13928398 28,14249456 0,007135914 -0,00713 -0,003567283 -0,003210575
11 8 28,14963047 28,13536045 28,13892728 28,13928398 28,14249456 0,007135914 -0,00713 -0,003567283 -0,003210575
11 11 33 33 33 33 33 -1,49214E-13 0 -4,83169E-13 1,63425E-13
11 14 37,23443435 37,22360832 37,22631453 37,22658516 37,22902094 0,005413408 -0,00541 -0,002706411 -0,002435779
14 11 37,23443435 37,22360832 37,22631453 37,22658516 37,22902094 0,005413408 -0,00541 -0,002706411 -0,002435779
14 14 42 42 42 42 42 -2,55795E-13 -2E-13 -4,33431E-13 -1,42109E-13
14 17 46,28610772 46,27738441 46,27956509 46,27978316 46,28174586 0,004361859 -0,00436 -0,002180776 -0,001962703
ρ=
Q(K;L) DE ARROW
Diferencia entre Q(K;L)DE AROW y Q(K;L) DE C-D
A= 3
α= 0,3 -0,02 0,02 0,01 0,009 -0,02 0,02 0,01 0,009
K L Q(K;L) DE C-D
5 2 7,912265262 7,884413795 7,891341922 7,89203601 7,898293226 0,013972036 -0,01388 -0,006951304 -0,006257216
5 5 15 15 15 15 15 -4,08562E-14 1,01E-13 -1,5099E-13 3,73035E-14
5 8 20,85338023 20,83404159 20,83888365 20,83936758 20,84372079 0,009659443 -0,00968 -0,004837138 -0,004353202
8 5 17,27941256 17,26338829 17,26738543 17,26778547 17,27138852 0,008024038 -0,008 -0,004003098 -0,003603056
8 8 24 24 24 24 24 9,59233E-14 2,45E-13 3,55271E-13 8,17124E-14
8 11 29,99960539 29,98683028 29,99002761 29,99034722 29,99322258 0,006382811 -0,00639 -0,003194966 -0,002875363
11 8 26,41159444 26,40034726 26,40315502 26,40343595 26,40596548 0,005628965 -0,00562 -0,002810453 -0,002529529
11 11 33 33 33 33 33 -1,49214E-13 0 -4,83169E-13 1,63425E-13
11 14 39,07344408 39,06390085 39,06628874 39,06652745 39,06867524 0,004768841 -0,00477 -0,002386504 -0,002147792
14 11 35,48032761 35,47166196 35,47382608 35,47404258 35,47599173 0,004335881 -0,00433 -0,002165653 -0,001949156
14 14 42 42 42 42 42 -2,41585E-13 -1,8E-13 -4,1922E-13 4,12115E-13
14 17 48,11807808 48,11046036 48,11236616 48,11255669 48,11427104 0,003807036 -0,00381 -0,001904885 -0,001714355
Q(K;L) DE ARROW
ρ= Diferencia entre Q(K;L)DE AROW y Q(K;L) DE C-D
1 ; 5,0;3
0 ,1 ;10 ;0 1
/1
A
ALKAQ
ARROWDELEY
10 ;0
0 ,1 ;10 ;0 1
1
/1
ALAKQ
DOUGLASCOBBDELEY
ALKAQ
ARROWDELEY
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
29
0
15
30
45
60
75
90
0
50
100
150
200
250
300
025
5075
Q:
can
tid
ad
pro
du
cid
a
K: capital - L: trabajo
Función de Arrow para los Parámetros Consignados Up-Supra
250-300
200-250
150-200
100-150
50-100
0-50
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
30
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0
50
100
150
200
250
300
025
5075
Q:
CA
NTI
DA
D P
RO
DU
CID
A
K: CAPITAL; L: TRABAJO
250-300
200-250
150-200
100-150
50-100
0-50
0
50
100
150
200
250
300
350
0 20 40 60 80 100 120
K:
cap
ita
l
L: trabajo
Mapa de Isocuantas para la Ley Definida Up-supra
Isocuanta Q=50
Isocuanta Q=100
Isocuanta Q=150
Isocuanta Q=200
Isocuanta Q=250
Isocuanta Q=300
Notas Sobre Varias Variables Reales
Liliana Ghersi
Ana Gerosi
Daniela Parada
31
Definición: se dice que z es la resultante de una ley implícita de (x;y), si viene
dada indirectamente por una relación funcional de la forma:
0));(;;(
, ,0);;(
yxfyxF
bienozyxF
35°) Sea la función implícita que relaciona cantidades producidas:
cq BAA q6q4q-100
Determine la forma explícita para qB.
36°) Para la función implícita del ejercicio anterior
Determine la forma explícita para qA.
![Matemáticas Nivel superior Prueba 2 PAST PAPERS... · Sea f la función definida mediante fx xD x x = ,--∈ 2 21 e e. (a) Determine D , el mayor dominio posible de f. [2] (b) Muestre](https://static.fdocuments.es/doc/165x107/5ff96047b4d5c26d077de7ac/matemticas-nivel-superior-prueba-2-past-papers-sea-f-la-funcin-definida.jpg)
![Parte común M [CS.PC.003] › DOCUMENTOS › EXAMENES... · Determine as ecuacións das rectas s e r. Determine las ecuaciones de las rectase s y r. A s≡y=4x+4 r≡4x+2y=1 B s≡x−4](https://static.fdocuments.es/doc/165x107/5f1b2b2524740d2f5a1fb6bf/parte-comn-m-cspc003-a-documentos-a-examenes-determine-as-ecuacins.jpg)
![Practica de antenas simulacion 2015v2 · 2019-01-28 · î a d o µ u v ] x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x](https://static.fdocuments.es/doc/165x107/5e96755918c15e3c8a04706c/practica-de-antenas-simulacion-2015v2-2019-01-28-a-d-o-u-v-x-x-x-x-x-x.jpg)
