LAS MATEMATICAS Y LA SUPREMA BELLEZA Enviado por Julio Antonio Gutiérrez Samanez 1.- La Divina Proporción, Sección Dorada o Proporción Aurea. 2. El rectángulo giratorio y la espiral logarítmica . 3. La Proporción Dorada entre polígonos cuadrados y el Teorema de Corazao. 4. Una nueva explicación para la serie de Fibonacci . 5. Relación entre la serie de Fibonacci y la Secció n Dorada. 6. Espirales de Arquímedes en la Tabla Periódica Ar mónica de Gutiérrez Samanez. 7. La Sección Dorada, Cuadratura y Rectificación en la figura humana.

“Las matemáticas cuando se las comprende bien poseen no solamente la verdad, sino, también, la suprema belleza”

Bertrand Russell

RESUMEN La matemáticas son el cimiento de la idea de belleza en la naturaleza y en el Arte; presidida por la divina proporción o proporción dorada está relacionada con la serie de Fibonacci, las formas espirales, que a su vez están relacionadas con la serie periódica de los elementos químicos y los problemas de la cuadratura del círculo y la rectificación de la circunferencia que el autor trata analítica y gráficamente, como continuación de su monografía destacada: http://www.monografias.com/trabajos36/cuadratura-circulo/cuadratura-circulo.shtml 1.- LA DIVINA PROPORCION, SECCION DORADA O

PROPORCION AUREA. Como una extensión de mi trabajo presento al lector algunas disquisiciones matemáticas, más propiamente geométricas, de las aplicaciones del método para la cuadratura, en torno al conocimiento e interpretación de la sección dorada o divina proporción y los números de Fibonacci, pues he encontrado poca información sobre este tema tan árido e importante para el artista plástico y el naturalista. Mis primeros contactos con el tema fueron en mis años de estudiante de la Escuela de Bellas Artes, en las clases de Historia del Arte que dictaba mi padre, luego en los talleres de dibujo del profesor Hugo Béjar y de Pintura del Profesor Edgar Torres Calderón. Un día visitamos al director, el gran pintor cusqueño Mariano Fuentes Lira, en su taller; él nos mostró, entre sus instrumentos, un compás áureo de madera, que le había obsequiado su maestro, Cecilio Guzmán de Rojas, en Bolivia.

Compás de proporciones áureas

A C B

D

E

25

½

1

1

½½

X

LA SECCION DORADA. Se define así a la proporción única (Fig. 1.1.) según la cual, en un segmento AB dividido en dos partes AE y EB, el segmento menor EB es proporcional al segmento mayor AE, como éste es a la suma de ambos segmentos AB = AE + EB. Es decir, el segmento mayor AE es medio proporcional entre el segmento menor EB y la suma de ambos segmentos AB.

;EB AEAE EB AE

====++++

Ó EB AEAE AB

==== .

Si el valor del segmento mayor es igual a la unidad, AE = 1, entonces se cumplen las tres condiciones siguientes:

a) (EB) x (AB) = (AE)2 = 1 b) EB + AE = AB

c) EB = 1

AB, ó

1AB

EB====

METODOS GRAFICOS. Para dividir el segmento AB, de acuerdo con la sección dorada, se toma la mitad de AB en el punto O y se traza el segmento BC perpendicular a AB; luego con centro en C se traza un arco de radio CB que corta al segmento CA en el punto D; luego, haciendo centro en A, se traza el arco de radio AD y se corta AB, en el punto E. Los segmentos EB, AE y AB estarán en proporción áurea. a) A partir de un triángulo.

A

C

B

D

Eo

FIG. 1.1. b) A partir de un cuadrado.

(((( ))))2

22 1 1 5X 1 1

2 4 4 = + = + == + = + == + = + == + = + =

5X

2==== , de donde

1 5 1 5AB 1.618033989 1.618

2 2 2++++= + = = ≈= + = = ≈= + = = ≈= + = = ≈

1AE ==== 5 1 5 1

EB 0.618033989 0.6182 2 2

−−−−= − = = ≈= − = = ≈= − = = ≈= − = = ≈

c) A partir de un cuadrado inscrito en la semicircunferencia

FIG. 1.2.

A C B

D

E

25

1

½½

2

5-1

25+1

Aplicación a la construcción de un pentágono

La proporción dorada será:

5 11 0.618 12

1 1 1.6185 12

EB AEAE AB

−−−−

= = = = == = = = == = = = == = = = =++++

Se cumple con las tres condiciones:

E CB

D

A

25

½½

25

FIG. 1.3.

FIG. 1.4.

a) 1AEAEABEB ======== ))(())(( ; 1 6181 x 6180 ====.. b) 1.618 1 0.618 AB AE EB ====++++========++++

c) 1 1

0.618AB 1.618

EB = = == = == = == = =

Según el teorema de la altura de un triángulo rectángulo inscrito en una semicircunferencia, se cumple:

25+1

25-1

1

1

10.618

1.618Y

X

Y=2

5+1 X

1

0.6181

1.618

Y

X

Y=2

5+1 X

1.618 2.618

2.618

4.236

4.2360.3819

0.618

Desarrollo de proporciones de la sección dorada o divina proporción:

3 5 5 1 5 1 3 512 2 2 2 0.618033988

15 1 5 1 3 5 2 52 2 2

− − + +− − + +− − + +− − + +

= = = = == = = = == = = = == = = = =− + + +− + + +− + + +− + + +

0.3819 0.618 1 1.618 2.618

0.618033980.618 1 1.618 2.618 4.236

= = = = == = = = == = = = == = = = =

El número 1.61803398, es una de las dos raíces de la ecuación 01XX2 ====−−−−−−−− , ésta referencia se encuentra en el libro “Números de Fibonacci” de N.N.Vorobiof. Edit. Mir, Moscú, 1974.

FIG. 1.5. FIG. 1.6.

FIG. 1.7.

TEOREMA: La relación áurea entre

dos segmentos, uno mayor y otro

menor es constante e igual a

1.618 ó 5 12

+

2. EL RECTÁNGULO GIRATORIO Y LA ESPIRAL LOGARÍTMICA .

Sea 1 el área de un cuadrado (c), y 5 12−−−−

x1, el área de un rectángulo (a+b) como se

ve en las figuras 2.1 y 2.2 y en la tabla de valores, se cumple: Primero.- Que el cuadrado (c) de área 1 es medio proporcional entre las áreas del rectángulo menor (a+b) y otro rectángulo cuya área es la suma del cuadrado y el rectángulo menor (a+b+c). Esto sólo ocurre cuando el área del rectángulo menor es

5 12−−−−

x 1 = 5 12−−−−

.

Y el área del rectángulo mayor = 5 1 5 1

1 12 2

x − +− +− +− ++ =+ =+ =+ =

Segundo.- El área 3 5

2++++

del cuadrado (d) de lado 5 12++++

es medio proporcional

entre el rectángulo (a+b+c) de área 5 12++++

y el área (2 5)++++ del rectángulo

resultante de la suma ambas figuras (a+b+c+d). Comprobación:

Área del cuadrado =

25 12

++++

= 3 5

2++++

La suma de las áreas del rectángulo y el nuevo cuadrado es:

5 1 3 52 5

2 2+ ++ ++ ++ ++ = ++ = ++ = ++ = + . La proporción será:

5 1 3 52 2

3 5 2 52

+ ++ ++ ++ +

====+ ++ ++ ++ +

, donde se cumple

que el producto de los medios es igual al de los extremos.

Del mismo modo 3 5

2++++

, lado del rectángulo (a+b+c+d), de área 2 5++++ pasará a ser

el lado de un nuevo cuadrado mayor (e) medio proporcional al rectángulo (a+b+c+d) y a la suma de ambas figuras (a+b+c+d+e). De esta manera se genera el rectángulo giratorio en el cual se dibuja de modo natural la espiral de Durero muy semejante a la espiral logarítmica. Fig. (1.10)

25+1

23 + 5

2 + 5

2 + 5

1

25-1

Los valores corresponden a los lados de los polígonos cuadrados.

FIG. 2.1.

ab

cd

e

f

FIG. 2.2

Tabla de valores de lados y áreas de los cuadrados y rectángulos giratorios. Lado 1 Lado 2 Área Rectángulo a 3 5

2

−−−−

5 1

2

−−−−

5 2−−−−

Cuadrado b 5 1

2

−−−−

5 1

2

−−−−

3 5

2

−−−−

Rectángulo a+b 5 1

2

−−−−

1 5 1

2

−−−−

Cuadrado c 1 1 1 Rectángulo c+b+a 1 5 1

2++++

5 1

2

++++

Cuadrado d 5 1

2

++++

5 1

2

++++

3 5

2

++++

Rectángulo d+c+b+a 5 1

2

++++

5 3

2

++++

2 5++++

Cuadrado e 5 3

2

++++

5 3

2

++++

7 3 5

2

++++

Rectángulo e+d+c+b+a

5 3

2

++++

2 5++++ 11 5 5

2

++++

Cuadrado f 2 5++++ 2 5++++ 9 4 5++++

Rectángulo f+e+d+c+b+a

2 5++++ 7 3 5

2

++++

29 13 5

2

++++

Proporciones doradas en el rectángulo giratorio.

3 5 5 1 5 1 3 55 2 1 2 52 2 2 2

13 5 5 1 5 1 3 5 2 5 7 3 52 2 2 2 2

− − + +− − + +− − + +− − + +− +− +− +− +

= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = =− − + + + +− − + + + +− − + + + +− − + + + +

7 3 5 11 5 5

9 4 52 2 0.61803398811 5 5 9 4 5 29 13 5

2 2

+ ++ ++ ++ +++++= = == = == = == = =

+ + ++ + ++ + ++ + +

+ + ++ + ++ + ++ + +

= = = = = == = = = = == = = = = == = = = = =+ + + + + ++ + + + + ++ + + + + ++ + + + + +

a b a b c a b c d

b a b c a b c d a b c d

+ + + + + + ++ + + + + + ++ + + + + + ++ + + + + + +

= = == = == = == = = + + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + ++ + + ++ + + ++ + + +

a b c d e a b c d e f

a b c d e fe a b c d e f

Expresión de la función áurea o dorada. (Fig. 1.7)

5 11.618033988

2Y X X

++++= == == == =

Ángulo de la sección dorada en el rectángulo giratorio. 81.61803398 ====ααααtan

º.. 28252559586180339881arc ========αααα tan º.2858≈≈≈≈

Diseño de la Espiral Dorada o espiral de Durero

ab

cd

e

f

Diseño de la espiral Logarítmica

ESPIRAL EQUIANGULAR

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0648-02/logarit.html La espiral logarítmica en el caracol Nautilus

FIG.2.3

FIG. 2.4.

Fuente http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0648-02/dibujos_nautilus.html 3. LA PROPORCION DORADA ENTRE POLÍGONOS CUADRADOS Y EL

TEOREMA DE CORAZAO. http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/teoremas-eusebio-corazao-

1905/teoremas-eusebio-corazao-1905.pdf El área de un polígono B es media proporcional entre el área de un polígono A y otro mayor C tal que el área del polígono C sea la suma de las áreas del polígono menor A y el polígono B. a bb c

==== , de modo que c = a + b.

Como ya sabemos estos serán:

5 12

a−−−−==== , y

5 12

c++++====

5 12

Y X++++==== , y el ángulo 2825255958.====αααα

Si en estas condiciones obtenemos los lados de los cuadrados A, B, C, nos encontraremos una relación cercana con el teorema de Corazao. Área Lado Cuadrado A 5 1

2−−−−

(((( ))))2 5 1

2

−−−−

Cuadrado B 1 1 Cuadrado C 5 1

2++++

(((( ))))2 5 1

2

++++

FIG.2.5. FIG.2.6.

Observando los valores de estas relaciones encontraremos las semejanzas entre

(((( ))))2 5 10.7861511377 0.785398163

2 4

−−−− ππππ= ≈ == ≈ == ≈ == ≈ = .

Y el lado del cuadrado C: (((( ))))2 5 1 4

1.27201965 1.2732392

++++ = ≈ == ≈ == ≈ == ≈ = ππππ

Esta semejanza nos conduce a la proporción:

2

3

2

16414 1.2732394 161 4

πππππ ππ ππ ππ π= = = == = = == = = == = = =

ππππ ππππ ππππ

.

Que es la expresión que ya hemos estudiado con el Teorema de Corazao, cuya

función es 4

Y X====ππππ

y el ángulo º85397402.51=θ

Finalmente podemos plantear lo proporción siguiente:

2

2

141 4

ππππ ====

ππππ

; donde 2

4ππππ

=1.621138938 y 2

4 ππππ

= 0.616850275.

Que son valores muy cercanos a los de la proporción áurea (1.61803398 y 0.61803398)

La función será 2

4Y X ==== ππππ

y el ángulo ϕ = 58.33162788

Como se verá, las diferencias fundamentales entre estas proporciones comparadas son las pendientes o ángulos de las funciones. 4. UNA NUEVA EXPLICACIÓN PARA LA SERIE DE FIBONACCI En la serie de Fibonacci: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610, ... cada término resulta de la suma de los dos términos que le preceden: Sea a, el primer término, b el segundo término y c el tercer término se cumple las siguientes propiedades: El segundo término (b) es medio proporcional entre el primero y el tercero. El tercer término es la suma de los dos primeros c = a + b.

La proporción será a bb a b

====++++

.que es la Proporción Dorada

Luego: La primera proporción será: 0 1

;1 0 1

====++++

es decir: 0 1

;1 1

==== de donde salen los primeros tres términos: 0, 1, 1,...

Con este análisis el autor ha encontrado que se trata de una Tautología matemática. Puesto que se explica el significado de algo valiéndose de un argumento basado en la cosa misma. Pues se lee: cero es a uno como uno es a uno; es decir que uno es idéntico a sí mismo. En la lógica matemática una tautología es lo mismo que una enunciación idénticamente verdadera como las leyes de la lógica formal.

Esta es pues la razón profunda por la cual la serie de Fibonacci, partiendo de 0 muestra dos veces el término uno. Continuando tenemos: 1 1

;1 1 1

====++++

es decir: 1 1

;1 2

==== 0, 1, 1, 2,...

1 2

;2 1 2

====++++

es decir: 1 2

;2 3

==== 0, 1, 1, 2, 3,...

2 3

;3 2 3

====++++

es decir: 2 3

;3 5

==== 0, 1, 1, 2, 3, 5, ...

3 5

;5 3 5

====++++

es decir: 3 5

;5 8

==== 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8..., etc.

5. RELACION ENTRE LA SERIE DE FIBONACCI Y LA SECCIO N DORADA Hemos visto que la sección dorada es un caso específico y único en que un segundo término de una proporción es medio proporcional entre los términos primero y tercero de la misma, de modo que este tercer término sea la suma de los primeros y que el primer término sea, también, el inverso del tercero, así: a bb a b

====++++

, que es la misma proporción que origina la serie de Fibonacci.

Esto explica porqué la razón entre dos términos de la serie de Fibonacci, principalmente con valores altos, se acerca al valor del número de la proporción áurea. En el libro “Paradojas Matemáticas” de Northrop (Pág. 71) encontramos la tabla siguiente:

(1) 1/1 = 1.000000 (2) 1/2 = 0.500000 (3) 2/3 = 0.666667 (4) 3/5 = 0.600000 (5) 5/8 = 0.625000 (6) 8/13 = 0.615385 (7) 13/21 = 0.619048 (8) 21/34 = 0.617647 (9) 34/55 = 0.618182 (10) 55/89 = 0.617978 (11) 89/144 = 0.618056 (12) 144/233 = 0.618026

R=5 1

0.6180342−−−− ====

R=

5 10.618034

2−−−− ====

“Las flechas indican que la sucesión de números de la columna de la izquierda es decreciente y se va acercando al valor de R conservándose siempre mayores que R, mientras la sucesión formada por los números de la columna de la derecha, es creciente y, también, se aproximan al valor R. de la sección áurea. Para este autor el Nro. R = 0.618034, que otros llaman φφφφ , “es una constante universal en la naturaleza”. De la misma manera en un libro de reciente publicación “Geometría del Diseño” de Kimberly Elam, se muestra la tabla que sigue, en la cual “cualquier número más allá del quinceavo en la serie, cuando es dividido por el número anterior se aproxima a 1.618”.

2/1

3/2

5/3

8/5

13/8

21/13

34/21

55/34

89/55

144/89

233/144

377/233

610/377

= 2.00000

= 1.50000

= 1.66667

= 1.60000

= 1.62500

= 1.61538

= 1.61905

= 1.61765

= 1.61818

= 1.61798

= 1.61806

= 1.61803

= 1.61804 cercano a la sección dorada

= 1.61803398

Northrop en la página 73 de su libro explica cómo en la flor del girasol se muestra “la mejor aproximación que la naturaleza parece presentar a la razón R de la sección áurea”.

esto también lo vemos en una página web de Internet

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/coneflower.jpg En la primera flor las curvas espirales contadas en sentido horario son 55 y en sentido anti horario 34 haciendo la razón de Fibonacci = 55/34. En la segunda flor (Girasol) las curvas contadas en sentido horario son 89 y en sentido anti horario 55, haciendo la razón 89/55. Finalmente sumando cuadrados cuyos valores de sus lados sean la serie de Fibonacci, se dibuja una espiral que es semejante a la espiral de Durero y a la espiral Logarítmica.

1

13

58

321 1

Fuente: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

FIG.5.1. FIG. 5.2.

FIG. 5.3. FIG. 5.4.

6. ESPIRALES DE ARQUÍMEDES EN LA TABLA PERIÓDICA AR MONICA DE GUTIERREZ SAMANEZ.

Presentados en mi libro: “Sistema periódico armónico y leyes genéticas de los elementos químicos” – Cusco – 2004, y en las páginas web: http://www.harras.be/hvar/kutiry, http://www.kutiry.com, http://www.monografias.com/trabajos-pdf/tabla-periodica-nuevo-modelo/tabla-periodica-nuevo-modelo.shtml http://video.yahoo.com/watch/3315268 http://www.meta-synthesis.com/webbook/35_pt/pt_database.php?PT_id=313 http://www.youtube.com/watch_popup?v=f6959WqYcOQ&vq=medium#t=15 Allí muestro las siguientes configuraciones espirales para los elementos químicos:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1817

1H 2He

3Li

4Be5B

6C

7N

8O

9F

10N

11Na

12Mg

13Al

14Si

15P

16S

17Cl

18Ar

/2

/43

/45

/23

/47

0

/4

FIG.6.1

La primera figura representa la distribución de elementos en el sistema GS-A para los periodos 1, 2 y 3; la segunda figura a los periodos 4 y 5, y la tercera a los periodos 6 y 7. La ecuación polar es la siguiente:

[[[[ ]]]] 2 22 2 2 21/ ; 2 / 2 ; 2 / 10 ; 3 / 18 ; 3 / 36 ; 4 / 54 ; 4 / 86 ;...Z R= = π Φ π Φ + π Φ + π Φ + π Φ += = π Φ π Φ + π Φ + π Φ + π Φ += = π Φ π Φ + π Φ + π Φ + π Φ += = π Φ π Φ + π Φ + π Φ + π Φ + π Φ + π Φ +π Φ + π Φ +π Φ + π Φ +π Φ + π Φ +

Donde Z es numero atómico del elemento y es igual a R radio de la espiral. Hay una segunda disposición Sistema G.S.-B, cuya ecuación es:

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] 2 2 2 2 21/ ; 1/ 2 ; 2 / 4 ; 2 / 12 ; 3 / 20 3 / 38 ; 4 / 56 ;...;Z R= = π Φ π Φ + π Φ + π Φ + π Φ + π Φ + π Φ += = π Φ π Φ + π Φ + π Φ + π Φ + π Φ + π Φ += = π Φ π Φ + π Φ + π Φ + π Φ + π Φ + π Φ += = π Φ π Φ + π Φ + π Φ + π Φ + π Φ + π Φ +

0

/9

/92

/94

/93

/95

/96

/98

/97

/910

/912

/911

/913 /914

/916

/915

/917

38Sr

39Y

40Zr41Nb42Mo

43Tc

44Ru

46Pd

47Ag

48Cd

49In 50Sn

51Sb

52Te

53 I

54Xe45Rh

37Rb

36Kr

35Br

34Sc

33As

32Ge31Ga30Zn

29Cu

28Ni

27Co

26Fe

25Mn24Cr 23V

18Ar19K

20Ca

22Ti

21Sc

/16

/162

/163

/164

/165

/167/166

/168

�/1610/169

/1610

/1612

/1611

/1613

/1614

/1615

/1617

/1618

19

/1622

/1624/1623 /1625/1626

/16

/1620

/1621 /1627

/1628

/1629

/1630

/1631

0

87Fr

88Ra

90Th

89Ac

91Pa

92U

93Np94Pu95Am

96Cm

97Bk

98Cf

99Es

100Fm

101Md

102No

103Lr

104Rd

105Db

106Sg

107Bh

108Hs

109Mt 110Uum 111Uuu112Uub

113Uut

114Uuq

115Uup

116Uuh

117Uus

118Pe54Xe55Cs56B

a57La58Ce59

Pr60Nd61Pm

62Sm

63Eu

64Gd

65Tb66Dy67Ho68Er

69Tm

70Yb

71Lu

72Hf

73Ta

74W

75Re

76Os77 Ir 78Pt 79Au

80Hg81Tl

82Pb

83Bi

84Po

85At

86Rn

FIG. 6.2

FIG. 6.3

7. LA SECCION DORADA, CUADRATURA Y RECTIFICACIÓN EN LA FIGURA HUMANA.

Basándose en la ideas de Vitruvius, Leonardo Da Vinci dibujó al hombre ideal, para ello utilizó una circunferencia y un cuadrado cuyo radio y altura están en proporción áurea .. r 6181L ==== La altura del cuadrado corresponde a la altura del hombre dibujado de pie y ésta es igual a la longitud con sus brazos extendidos. La misma figura con sus pies separados posa sobre la circunferencia y, con los brazos extendidos ligeramente levantados, toca con los extremos de sus dedos la intersección entre el cuadrado y la circunferencia áureos. El punto medio de la circunferencia corresponde al ombligo del hombre. Igualmente, si los brazos estuvieran extendidos y juntos sobre la cabeza del hombre, los extremos tocarían la circunferencia. De esa misma manera he dispuesto al hombre dibujado por Leonardo dentro del cuadrado y circunferencias que están en proporción de la cuadratura del círculo y de la rectificación de la circunferencia. 7.1. Proporción Áurea

r

L

51,00 mm

82.518

5 1

2L r++++==== ; ..L r 6181====

FIG. 7.1.

7.2. Proporción de la Cuadratura del Círculo. Los dedos de los brazos extendidos tocan las intersecciones de las figuras.

L

r52.04

92.23

7.3. Proporción de la Rectificación de la Circunferen cia. La circunferencia supera las proporciones del hombre; pero, si las figuras geométricas se hacen concéntricas, los brazos ligeramente levantados tocarán las intersecciones.

FIG. 7.2.

L r= π= π= π= π ;

..L r 77241====

L

r52.04

81.7

r 2π=L ; . 57079.1 rL =

L

r52.04

81.7

FIG. 7.3.

FIG. 7.4.

DIBUJO SIMPLIFICADO DE LA SECCIÓN ÁUREA

Y

X1 1.618

Y=2

5+1 X

25+1

FIG. 7.5.

DIBUJO SIMPLIFICADO DE LA CUADRATURA DEL CÍRCULO

π +1/4

π+1/4

π-1/4

π

FD

1/4

-1/4

π

Y

X1 2 3 4 5

1

2

Radio = π

Lado = π

Y = π X

+1

DIBUJO SIMPLIFICADO DE LA RECTIFICACIÓN DE LA

CIRCUNFERENCIA CON 2π

Y

X

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7π2

π2

Y= π2 X

2

π

π

π2

FIG. 7.6.

FIG. 7.7.

DIBUJO SIMPLIFICADO DE LA RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON EL TEOREMA DE CORAZAO

π

Y

X

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7π2

Y = 4_π X

4_π

LA CHACANA ANDINA A PARTIR DE LA RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

π

Y

X

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7π2

FIG. 7.9.

FIG. 7.8.

Links del autor. http://www.monografias.com/trabajos36/cuadratura-circulo/cuadratura-circulo.shtml http://www.monografias.com/trabajos34/graficando-numero-pi/graficando-numero-pi.shtml http://www.youtube.com/watch?v=m8Sscwh2OcI

http://www.youtube.com/watch?v=f1IRypv6Hss&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=HV7O-prrzGs&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=Lqs9DmugEgw&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=FFViL7Iipa4&feature=related

El texto es parte de la obra del autor: “La Cuadratura del Círculo, ¡Sí, es posible!” (Con una aproximación gráfica del número Pi a 6 decimales) (Cusco – Perú, 2006) ISBN 9972-33-239-X AUTOR: Julio Antonio Gutiérrez Samanez, (Cusco, Perú, 1955) ingeniero químico, investigador y artista plástico. Email: jgutierrezsamanez[arroba]yahoo.com; kutiry[arroba]hotmail.com www.kutiry.com Dirección Calle Inca 357, Santiago, Cusco – Perú. Telf. 051-84-984682709