LAS REPRESENTACIONES CONCEPTUALES MATEMÁTICAS EN …

S.A.E.M. THALES

Córdoba 10, 11 y 12 de Septiembre de 2010

LAS REPRESENTACIONES CONCEPTUALES MATEMÁTICAS EN LA FORMACIÓN DE PROFESORES.

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LAS REPRESENTACIONES CONCEPTUALES MATEMÁTICAS EN LA FORMACIÓN DE

PROFESORES. Maricela Soto Quiñones, José Adrián Jáquez Salazar, Maricela

Rodríguez Ramírez Escuela Normal “Manuel Ávila Camacho”, Zacatecas, México.

RESUMEN. La formación en Educación Matemática resulta imprescindible si se trata de mejorar la calidad de los aprendizajes en la aulas, los resultados de las últimas evaluaciones ubican a México en los últimos lugares de aprovechamiento en Matemáticas y pareciera ser que las reformas educativas no han logrado superar tal dificultad, esta situación se asocia directamente con las Escuelas formadoras de Profesores del país quienes se encargan de formar a los profesores del nivel básico (preescolar, primaria y secundaria), con este trabajo se pretende mostrar el conocimiento matemático con el que ingresan los estudiantes al nivel superior y las representaciones conceptuales presentes en la resolución de problemas tasativos con la división de números naturales.

Nivel educativo: Educación Superior, Comunicación.

1. INTRODUCCIÓN. La Didáctica de las Matemáticas, en tanto disciplina donde confluyen diversas

miradas, ha establecido desde la perspectiva francesa, una vertiente psicológica con la cual explicitar los procesos cognitivos activados en la apropiación de los saberes matemáticos. Desde esta perspectiva los contenidos escolares son vistos a través de la psicología del desarrollo, en la que Vergnaud (1991) adopta por primera vez una noción de concepto que, a diferencia de un enfoque riguroso de la cientificidad matemática, permite ubicar al sujeto como eje central de análisis en el aprendizaje del saber.

Con este modelo teórico, el foco de discusión gira en torno a la construcción de principios y conceptos matemáticos, enfatizando los procesos psicológicos y de desarrollo del individuo, para abordar la manera en que el lenguaje y representación logran adquirir significaciones matemáticas hasta alcanzar la sistematicidad. Bajo la postura de Vergnaud (1991), aprender matemáticas implica el conocimiento de conceptos y principios matemáticos con los cuales comprender la representación y funcionalidad de procedimientos informales y algoritmos convencionales, la explicación que sobre el desarrollo del conocimiento matemático pudiera darse necesita la conjunción de tres aspectos: las situaciones, las invariantes y las representaciones. En lo que sigue se hará mención de éstos términos ligados al de conceptualización de lo real.

El aprendizaje y la enseñanza de un concepto matemático no se reduce a una definición específica, significa el reconocimiento de las situaciones y problemas que éste puede resolver, representa una conceptualización de lo real, en la que el sujeto se enfrenta a una multiplicidad de situaciones que permiten su

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construcción y en las cuales un concepto se entrelaza con otros principios, conceptos, situaciones o simbolismos matemáticos, modificando su aplicación inicial. En las escuelas formadoras de docentes, los estudiantes se acercan al concepto de división con una mirada de reconstrucción, este concepto ha sido manipulado a lo largo de toda una escolaridad, hecho que se ve reflejado a través de diversos niveles de representación, sin embargo es posible que aparezca cierta dificultad en el momento de identificar las situaciones problemáticas en las que dicho concepto es aplicable.

2. LAS REPRESENTACIONES CONCEPTUALES 2.1 Los conceptos

La conceptualización constituye el tránsito de la acción hacia la representación sobre un plano superior, lo cual se alcanza ante el deseo de encontrar una explicación causal de los acontecimientos. Los conceptos que en un primer momento han sido aplicados para dar esa explicación son transformados en función de la interacción que realizan con otros conceptos y principios matemáticos, enfrentándose a nuevas formas de simbolización. Hablar de concepto entonces lleva a esta consideración:

Un concepto C es una tripleta de tres conjuntos: C = (S, I, R)

S: Es el conjunto de situaciones que le dan sentido al concepto –la referencia-.

I: Es el conjunto de invariantes sobre las cuales reposa la operacionalidad de los esquemas –el significado-.

R: Es el conjunto de formas lingüísticas y no lingüísticas que permiten representar simbólicamente el concepto, sus propiedades, las situaciones y los procedimientos de tratamiento –el significante-. (Vergnaud, 1991: 145)

El concepto de división por ejemplo, está implicado en situaciones de reparto y de agrupamiento (S), en su manejo interactúan una serie de invariantes que aparecen en forma de axiomas

1 (I) y su representación simbólica se enfoca a un

algoritmo específico en cuyo mecanismo de insertan los algoritmos propios de la suma, la resta y la multiplicación (R).

Como puede verse la construcción del concepto no se logra con un solo tipo de situación sino que adquiere su significado, mediante la interrelación entre invariantes, representaciones y su aplicación consecuente en diferentes situaciones. A continuación se hace una breve descripción de dichas nociones tomando a la división de números naturales como el concepto matriz que en este estudio se ocupa.

2.1.1 Las invariantes.

A lo largo de su desarrollo, los sujetos son capaces de dominar ciertos principios y conceptos matemáticos así como las propiedades que les subyacen,

1 Un axioma constituye un principio que no necesita demostración para ser considerado como verdadero.

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la interrelación que puede suscitarse entre los mismos y las operaciones para su transformación, esto, en conjunto viene a constituir las invariantes conceptuales que permiten el desarrollo de esquemas mentales.

Un campo conceptual entonces, se compone por varias situaciones cuyo manejo implica una familia de operaciones –la multiplicación y la división se insertan en el campo multiplicativo- y un conjunto de conceptos y teoremas con los cuales analizar esas situaciones como tareas matemáticas, de esta forma los conceptos inmersos en el campo multiplicativo se asocian con: la proporción simple y proporción múltiple, la función lineal, el cociente y el producto de dimensiones, la fracción, el múltiplo y el divisor, entre otros, mientras que los teoremas incluyen las propiedades de isomorfismo de la función lineal o las propiedades del coeficiente constante. (Cfr. Vergnaud, en Ávila, 2001: 22)

La comprensión de las invariantes operacionales estará vinculada con la apropiación e implementación de la representación simbólica, la cual viene a explicitar la conceptualización lograda, en la resolución de las situaciones mencionadas los alumnos determinarán diversos procedimientos y representaciones que son el reflejo de su desarrollo cognitivo.

2.1.2 Representaciones.

Desde la perspectiva de Vergnaud (en Portugais, 1995: 3) la representación permite el proceso de abstracción, generalización e internalización de los esquemas como producto de la acción, dando preámbulo a la organización de las conductas superiores en los sujetos.

La representación constituye la mediación entre la actividad interna y externa del sujeto en el razonamiento de las situaciones matemáticas, haciéndose manifiesta de manera explícita con el lenguaje oral, escrito o gráfico o bien de forma implícita mediante los teoremas en acto. Los sistemas simbólicos vienen a reflejar la conceptualización que cada alumno ha logrado hasta un momento determinado.

Los profesores en formación, además de comprender las invariantes conceptuales de la lógica matemática, deben también conocer las simbolizaciones convencionales que cada cultura ha elaborado, así por ejemplo la representación de las operaciones aritméticas guarda una lógica basada en las reglas del sistema decimal de numeración, como es el valor posicional y el agrupamiento en unidades, decenas, centenas, etc. Por otra parte, es necesario comprender que esa representación es arbitraria y que para un mismo concepto se establecen situaciones de simbología diversa, por ejemplo la representación algorítmica de la división puede manifestar ciertas contradicciones con las simbolizaciones informales, que se agudizan cuando se presentan diferentes algoritmos con una lógica específica para resolver una operación de dividir. Además los conocimientos matemáticos son adquiridos en contextos diversos por los sujetos –escolar y extraescolar-, es con relación a éstos como van a ser simbolizados.

2.1.3 Las situaciones.

Analizar las situaciones desde una perspectiva psicológica implica comprender los procesos cognitivos y las respuestas que expresan los sujetos a través de las

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situaciones en las que son confrontados. Las situaciones vienen a dotar de significado a la interacción entre invariantes y representación, los principios lógicos de los conceptos y los códigos simbólicos serán entonces definidos mediante el sentido que una situación le designe. Vergnaud (1991) afirma que el desarrollo cognitivo es un proceso de conceptuación de un dominio específico y que debe estudiarse desde las situaciones y los conceptos subyacentes, este proceso, que en un principio parte de la experiencia y de un saber ordinario alcanza paulatinamente un nivel científico.

Con este fundamento se comprende que el aprendizaje matemático no puede teorizarse sólo a partir del simbolismo o las situaciones, es preciso tomar en cuenta el sentido de estos elementos, considerando a los alumnos en situaciones de acción en las que organizan su pensamiento. El funcionamiento cognitivo de los alumnos está relacionado con el estado de los saberes implícitos o explícitos, por este motivo es necesario que dentro de la didáctica se analicen las rupturas y continuidades del desarrollo del pensamiento, los procedimientos en la resolución de problemas, las representaciones simbólicas, los errores y la construcción de nuevos saberes matemáticos. Ante la consideración de estas ideas, en lo que sigue se presenta el análisis de la conceptualización manifestada por los profesores en formación al inicio de su formación inicial.

3. EL SABER MATEMÁTICO EN LOS PROFESORES EN FORMACIÓN.

La Matemática en tanto construcción social, ha sido elaborada por la humanidad con un claro objetivo; resolver los problemas que su medio le plantea. Bachelard ilustra esta afirmación cuando argumenta que “...todo conocimiento es una respuesta a una pregunta. Si no ha habido pregunta no puede haber conocimiento científico. Nada viene solo, nada es dado. Todo es construido...” (en Bachelard, 1994: 16)

La resolución de problemas ha sido el motor mismo de la construcción de la Matemática como ciencia, sin embargo ésta no ha estado alejada de dificultades, los estudiantes de todos los niveles educativos enfrentan grandes limitantes que se ven reflejadas en la representación conceptual de la resolución problemática. Al enfrentarse a un problema que implique la aplicación de un concepto matemático específico, los profesores en formación hacen uso de un conocimiento matemático, no obstante, éste no siempre se representa mediante algoritmos convencionales, los estudiantes para profesor a menudo encuentran cierta resistencia en el problema o en sí mismos para poder resolverlo y sus procedimientos aunque llevan a la respuesta correcta sugieren una mayor extensión que el algoritmo convencional que lo resuelve. Los enfoques actuales de la enseñanza de las matemáticas han pugnado por la significatividad que las situaciones problemáticas confieren a los conceptos matemáticos que las resuelven. Puede decirse que el sentido de un conocimiento matemático se puntualiza no sólo por el conjunto de situaciones en las que se instituye como teoría matemática, ni por el conglomerado de contextos en los que el sujeto lo identifica como medio de solución, sino también por las concepciones que rechaza, los errores que evita, la sistematicidad y economía que pretende y las reformulaciones que retoma.

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Charnay (1994), argumentaba que la construcción de la significación de un conocimiento se desarrolla en dos niveles:

• Un nivel “externo”: ¿cuál es el campo de utilización de este conocimiento y cuáles son los límites de ese campo?

• Un nivel “interno”: ¿cómo y por qué funciona tal herramienta (cómo funciona un algoritmo y por qué conduce al resultado buscado?). (Charnay, 1994: 53)

El primer nivel remite a las situaciones que un algoritmo dado puede resolver, mientras que el segundo deja ver la formalidad propia de su mecanismo en tanto herramienta de solución

2, en este entendido y con el propósito de identificar el

saber matemático que sobre la división muestran los profesores en formación, se planteó un problema de división tasativo cuyo significado no resulta tan explícito como el de reparto.

La situación planteaba un problema de división que permitiera comprender ese nivel externo del que Charnay (1994) hablaba, en éste, los estudiantes no se sujetaban a ninguna consigna específica de resolución, las estrategias derivaron de un nivel de conceptualización muy particular de sus esquemas.

Ahora bien, si las estrategias guardan una equivalencia con los esquemas puestos en práctica por los sujetos, es de considerarse entonces que para entender la evolución del conocimiento deben tomarse en cuenta los componentes de los esquemas que Vergnaud señalaba, esto es, propósitos, invariantes operacionales, inferencias y reglas de acción. Es en virtud de estos elementos que se presenta el análisis de los procedimientos y errores manifestados por los estudiantes que conforman el universo de estudio.

3.1. Las estrategias de resolución.

Para conocer las representaciones sobre la división con las que ingresan los estudiantes normalistas a su formación, se les planteó un problema de división antes de llevar una clase específica sobre el tema, considerando que el significado de reparto era muy obvio y evidenciaría el tipo de operación implicada, se procedió a plantear un problema de tipo tasativo, cuya estructura algebraica quedaría sintetizada como a/?=c, el problema planteado se enunciaba de la siguiente manera:

Un barco encalló. Tiene 4956279 litros de agua. El capitán calcula que la tripulación utiliza aproximadamente 33507 litros diarios. ¿Para cuántos días les alcanzará el agua?

La diversidad de representaciones que surgieron de la solución del problema planteado queda sintetizada de la siguiente manera:

TIPO DE REPRESENTACIÓN RESPONDE CORRECTAMENTE ADITIVA MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN TOTAL

SI 0 5 6 11 57.9%

2 En este segundo nivel, el significado toma su sentido de las reglas que deben seguirse para resolver un algoritmo.

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NO 2 3 3 8 42.1%

TOTAL ABSOLUTO 2 8 9 19 TOTAL RELATIVO 10.5% 42.1% 47.4% 100%

Cuadro 1. Las representaciones procedimentales

Los datos presentados en el cuadro 1 expresan la heterogeneidad en la resolución del problema planteado, aunque éste implica una relación de división, los estudiantes tienen dificultad para vincular el significado del problema con la operación que lo resuelve puesto que el 52.6% hace uso de estrategias informales, que si bien forman parte de los antecedentes previos para construir la noción de división no son precisamente el camino más sistemático para resolverlo, además del 47.4% de los estudiantes que aplican la división, la tercera parte lo hace incorrectamente, de manera que sólo el 31.5% del total del grupo puede resolverlo en forma adecuada. En los apartados siguientes se analizan las características de cada categoría de representaciones.

3.1.1. Representaciones algorítmicas convencionales

Las consideraciones anteriores permiten comprender que aunque una gran mayoría no puede resolver el problema y otros tantos no relacionan el problema con una división o bien dejan de emplear este algoritmo por la falta de dominio de su mecanismo, se encuentra un pequeño grupo de alumnos que contextualiza el algoritmo de la división en una situación problemática y que además desarrolla eficientemente su mecanismo. Un ejemplo de este grupo pudiera ser el siguiente:

Fig. 1. Algoritmo convencional.

El procedimiento anterior denota el nivel de abstracción logrado por este grupo porcentual de los sujetos. Los alumnos reflejan un mismo propósito: resolver la situación que se les ha planteado y establecer un plan de acción para lograrlo, en este caso hacen uso de la división reconociendo la funcionalidad de la misma, sus propiedades y sus relaciones, en la Fig. 1 por ejemplo, se aprecia con total claridad el dominio del mecanismo algorítmico. Ahora bien, los errores que se presentan en estos casos corresponden fundamentalmente con aquellos que Brousseau (en Salin, 1976) describiría como sintácticos

3 siendo evidentes en

el 15.8% que resuelve utilizando la división:

3 Desde la postura de Brousseau (2000) los errores se clasificarían en una dualidad: semántico, cuando el modelo o algoritmo elegido no corresponde con el problema planteado y, sintáctico, cuando el modelo es el adecuado pero se emplea incorrectamente o bien se tienen errores de cálculo.

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Fig. 2. Errores sintácticos.

Al parecer el mecanismo de transformación y el cálculo mental que ello implica guarda una complejidad superior a la estructura y acomodo de los datos que deriva en errores de cálculo, por otra parte en las reglas de acción el alumno hace uso del manejo de decimales en el cociente, lo cual se encuentra un tanto descontextualizado del problema puesto que se habla de un fraccionamiento de días en los que se desconoce el número de horas que representa.

3.1.2 Representaciones algorítmicas no convencionales basadas en la multiplicación.

La tendencia en el uso de estrategias informales que llevó a los alumnos a un resultado correcto se centra en el uso de la multiplicación, el 26.3% del grupo identifica el sentido del problema en el manejo de los datos: a) total de litros de agua, b) litros de agua por día y c) número de días para los que alcanzará el agua, pero no establece la relación correspondiente implicada en el problema (a/b= c), no obstante la estrategia desarrollada, logran acertar en la resolución.

Las invariantes operacionales constituyen el lado epistémico del esquema, en este punto los alumnos no reconocen las propiedades de la división así que extraen del problema la información que les es relevante y la controlan mediante la multiplicación, elaboran una proposición sobre el posible resultado, ensayando con el segundo factor hasta llegar al resultado correcto. Un ejemplo de dichas acciones se muestra a continuación:

Fig. 3. El uso de la multiplicación.

Los alumnos de este grupo, basan la multiplicación en constantes aproximaciones, es decir estiman el posible A) número de días para multiplicarlo por B) número de litros de agua que se consumen por día, hasta acercarse lo más posible a C) total de litros conocido en el problema. Las reglas de acción implicadas en esta estrategia ponen en práctica el teorema en acto A x B = C inserto en el campo conceptual que Vergnaud llama estructuras multiplicativas, en el cual también se inscribe la operación de división.

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La categorización de datos, manifiesta la dificultad para trabajar con la multiplicación, ya que en este algoritmo al igual que en el de división es donde se presenta el mayor número de errores sintácticos, no tanto del dominio de su mecanismo, sino más bien de cálculo, así, en el segundo subgrupo de los alumnos que no resuelven el problema se encuentra también un 15.8% de los estudiantes, quienes sintetizando la adición hacen uso de la multiplicación como la estrategia más idónea para dar respuesta al problema, un ejemplo de esta situación pudiera ser el siguiente:

Fig. 4. Aproximaciones sucesivas con multiplicación.

En el ejemplo anterior, el sujeto hace una serie de aproximaciones para acercarse al resultado correcto, sin embargo constantemente surge un error de cálculo, que pasa incluso desapercibido por su cercanía al contexto del problema. Un dato adicional que se percibe en este procedimiento es la multiplicación que se hace con el 0, aunque éste representa la ausencia de unidades en la operación y la lógica del mecanismo lleva a multiplicar sólo con decenas y centenas, el alumno siente la necesidad de representar paso a paso la multiplicación con unidades. Dicha acción no influye en el resultado, sin embargo las invariantes operacionales manifiestas expresan la falta de reconocimiento de la operación en tanto objeto matemático, con propiedades y transformaciones específicas que sintetizan su ejecución.

3.1.3. Representaciones algorítmicas no convencionales usando la suma

El hecho de que casi la mitad de los alumnos que resuelven el problema lo haga utilizando la multiplicación, refleja una dualidad de probables causalidades: por un lado los estudiantes no identifican que la operación que resuelve el problema es la división, mientras que por el otro puede suponerse que el algoritmo de la división parece demasiado complejo y se opta por emplear uno más conocido y dominado, aunque sea menos económico y eficaz y por lo mismo, menos complejo.

Lo importante en estos dos primeros ejemplos, es destacar que sólo un poco más de la mitad del grupo (57.9%) son capaces de resolver una situación problemática planteada y que no todos los sujetos incluidos en este porcentaje hacen uso de la división para encontrar la solución. El resto del universo de análisis no logra llegar al resultado correcto y en la búsqueda de éste adicionan una nueva alternativa de solución a las anteriormente mencionadas: la suma. Sin embargo en el desarrollo de dichas estrategias se manifiesta nuevamente una serie de errores sintácticos que obstaculizan la resolución.

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En un primer subgrupo de alumnos que no resolvieron el problema, se ubica el 10.5% del grupo, quien emplea la suma como procedimiento de resolución, la aparente sencillez que caracterizaba dicha estrategia, enlazaba una extensión que derivó en la búsqueda de simplificación de la misma, sin embargo ello condujo a ciertos errores como los que se muestran enseguida:

Fig. 5A. Uso de la suma.

El alumno inicialmente trató de resolver el problema sumando uno a uno la cantidad de litros diarios para luego contar el número de veces que sumó e identificar el total de días que duraría el agua, sin embargo, al contemplar la amplitud de esta acción, tiende a modificar un poco su estrategia, de manera tal que, siguiendo el mismo patrón, fuese más económica, esto es, menos larga. Después de la suma unitaria, el alumno tiende a multiplicar el número de litros diarios por siete (días de una semana), sumando después el resultado tantas veces fuera necesario, hasta aproximarse al total de litros, con esto, en lugar de días identificaría las semanas que duraría el agua para luego hacer la conversión a días, no obstante en la primera multiplicación (33507X7) aparece un error de cálculo que vendría a influir finalmente en el resultado.

Fig. 5B. Estrategia híbrida.

Posteriormente en la Fig. 5B vuelve a multiplicar los litros diarios por 7 (una

semana) para después multiplicar el resultado por 4 (cuatro semanas -un mes-), por 12 (doce meses –un año-) hasta concluir con 2 años, a los que va adicionando meses, semanas y días. Si bien el modelo de operación empleado se corresponde con el problema, es decir, lo puede llevar al resultado correcto, el alumno no toma en cuenta las irregularidades en el contexto del tiempo (no todos los meses tienen el mismo número de días), por lo que puede decirse que al no existir una correcta interpretación de la realidad, los conceptos en acto dejaron de tener sentido en la segunda fase de resolución, limitando la organización de la actividad y las inferencias de los teoremas en acto.

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Un dato relevante de este primer análisis concierne al número elevado de alumnos que no resuelven el problema planteado. Casi la mitad de los estudiantes (42.1%) muestra incapacidad para llegar al resultado correcto, cuando se supondría que a lo largo de su escolaridad se han enfrentado a una diversidad de situaciones que implican el uso de la división, haciendo evidente entonces que su formación ha sobreestimado el manejo de algoritmos para soslayar su aplicación en la resolución de problemas, dicha sobreestimación se hace evidente al no reconocer el tipo de representación o las reglas del algoritmo que podrían llevarlos a la solución.

Durante las actividades de resolución de la situación problemática presentada, los sujetos explicitaron una conceptualización matemática que desde la perspectiva psicológica de su desarrollo, representaba la alternativa de mayor viabilidad. Dentro de estas acciones se manifiesta cierto tipo de invariantes que adquieren significado en tanto son reconocidas como adecuadas para unas situaciones y no para todas, aunque también es visible que los profesores en formación no han sido participes de espacios problematizadores, puesto que en su mayoría manifiestan deficiencia en la abstracción relacional de problemas, además el algoritmo como sistema de representación conceptual tampoco ha sido abordado eficientemente.

REFERENCIAS ÁVILA Storer, Alicia. (2001). La Experiencia Matemática en la Educación Primaria. Estudio sobre los procesos de transmisión y apropiación del saber matemático escolar. Tesis doctoral, UNAM, México. BROUSSEAU, Guy. (2000) “Educación y Didáctica de las Matemáticas” en: Educación Matemática. Vol. 12 No. 1 Abril. BACHELARD, Gastón (1988). “La Formación del Espíritu Científico”, Siglo XXI, México. CHARNAY, r. (1994) “Aprender (por medio de) la resolución de problemas”, en Parra C. y Sainz I., Didáctica de las matemáticas. Aportes y reflexiones, Buenos Aires, Paidós. PORTUGAIS, Jean (1995). “La Theorie des champs conceptuels” en: Didactique des mathématiques et formation des enseignants. Exploration-Peter Lang, Suisse. (Trd. Aguayo, Luis Manuel) SALIN, Marie Heléne. (1976). Le role de l´erreur dans l´ apprentisage des mathematiques a l´ecole primarie. Bourdeos, IREM. (Trd. Aguayo, Luis Manuel) VERGNAUD, G. (1991). "La théorie des champs conceptuels” en Recherches en Didactique des Mathématiques, Grenoble Francia, 10/2-3. (Trd. Aguayo, Luis Manuel).

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