LAS REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS Y LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

LAS REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS COMO INSTRUMENTO PARA LA ENSEÑANZA DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES

1 Miguel Ángel Siauchó López

INFORME FINAL PROYECTO PEDAGÓGICO VII

MIGUEL ÁNGEL SIAUCHÓ

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA

LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA

FACULTAD SECCIONAL DUITAMA

DUITAMA

2012



INFORME FINAL PROYECTO PEDAGÓGICO VII

MIGUEL ÁNGEL SIAUCHO*

Presentado a la Profesora:

ANA CECILIA MEDINA M.

En la Asignatura de:

PROYECTO PEDAGÓGICO VII

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA

LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA

FACULTAD SECCIONAL DUITAMA

DUITAMA

2012



Contenido

1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 5

2. DIAGNÓSTICO .................................................................................................................... 6

2.1. Resultados y análisis de la prueba diagnóstica. ................................................ 7

3. PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ..................................................... 10

4. MARCO TEORICO ............................................................................................................. 11

4.1. PERSPECTIVA EPISTEMOLOGICA ........................................................................... 11

4.1.1. Configuración Epistémica............................................................................ 16

4.2. PERSPECTIVA COGNITIVA .................................................................................... 17

4.2.1. Noción de Aprendizaje ................................................................................ 17

4.2.2. Noción de Error ............................................................................................. 17

4.2.3. Categorías de Errores .................................................................................. 18

4.2.4. Noción de Conflicto Semiótico: ................................................................. 19

4.3. PERSPECTIVA DIDACTICA ..................................................................................... 20

4.3.1. Enfoque Ontosemiótico ............................................................................... 21

5. METODOLOGÍA Y ORGANIZACIÓN .................................................................................. 23

5.1. TIPO DE INVESTIGACIÓN ...................................................................................... 23

5.2. TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN .......................................... 25

5.3. INSTRUMENTOS PARA RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN. ................................ 25

5.4. ORGANIZACIÓN ...................................................................................................... 25

6. PROPUESTA SECUENCIAL DE ENSEÑANZA ...................................................................... 26

6.1. DOMINIOS CONCEPTUALES: ................................................................................. 26

6.2. ESTÁNDARES .......................................................................................................... 26

6.3. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS GENERALES .................................................... 26

6.4. Propuesta secuencial de enseñanza. ............................................................ 28

7. RESULTADOS DE LA SISTEMATIZACIÓN DEL PROYECTO ................................................. 29

CAPÍTULO III ............................................................................................................................ 34

CONCLUSIONES .................................................................................................................. 34

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. .............................................................................................. 35



LAS REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS COMO INSTRUMENTO PARA LA ENSEÑANZA DE LAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y SUS OPERACIONES, EN ESTUDIANTES DE GRADO OCTAVO DEL

COLEGIO GUILLERMO LEÓN VALENCIA.

MIGUEL ANGEL SIAUCHÓ LÓPEZ*

ANA CECILIA MEDINA MARIÑO**

Licenciatura en Matemáticas y Estadística – UPTC – Duitama

___________________________________________

Resumen

En este articulo se presenta una experiencia de investigación- acción en el aula, realizada en la

asignatura Proyecto Pedagógico VII , de la Licenciatura de Matemáticas y Estadística de la

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia- Duitama, en la cual se aplico una estrategia

didáctica basada en representaciones geométricas para la enseñanza de operaciones de expresiones

algebraicas, con el fin de disminuir al máximo los errores que generalmente se cometen en el

desarrollo de estas operaciones. Se describe el diseño, gestión y resultados de dicha propuesta de

enseñanza que fue dirigida a estudiantes de grado octavo dos (802) del Colegio Guillermo León

Valencia de Duitama, con el fin de que el estudiante adquiera un aprendizaje significativo, domine los

concepto y desarrolle el pensamiento algebraico, además puedan superar los errores que se puedan

presentar durante dicho proceso.

Palabras claves: expresión algebraica, errores, representaciones geométricas.

Abstract

This paper presents an action-research experience in the classroom,performed in the subject of

Pedagogical Project VI,of the Bachelorof the Mathematics and Statistics Degree of the Pedagogical

and Technological University of Colombia-Duitama,whichwas appliedina teaching strategybased

ongeometric representationsfor teachingalgebraicoperations, in order to reducethe

maximumerrorsusuallycommitted inthe development of theseoperations.We describe the design,

management and results of thisteaching proposalthat came totwoeighth

gradestudents(802)CollegeofDuitamaGuillermo Leon Valencia, in order toprovide the student

withsignificant learning,master theconceptand developalgebraic thinking, as well as to overcomethe

mistakesthat may ariseduringthis process.

Keywords: algebraic expression, errors, geometric representations.



1. INTRODUCCIÓN

El estudio del algebra en la educación básica es de vital importancia para la

formación de pensamiento matemático, en este proyecto se hace un análisis

de los principales errores según estudios realizados por la comunidad

científica (SOCAS M. , 2011)y se analizan a partir de una prueba diagnóstica

aplicada a estudiante de grado octavo del colegió Guillermo león valencia

de Duitama, con el propósito de aplicar la estrategia didácticadurante el

segundo periodo del colegio.

El proyecto da a conocer el resultado del análisis y la reflexión profunda de

la experiencia significativa que se genera en la asignatura de Proyecto

Pedagógico VI de la Licenciatura de Matemáticas y Estadística en la

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, sede Duitama dirigida

por la magister Ana Cecilia Medina Mariño. El análisis se llevo a cabo

mediante la observación participativa y la aplicación de losdiferentes

planes de clase diseñados a partir de las representaciones geométricas, con

el fin de superar los errores detectados en la prueba diagnóstica, este

análisis se realiza bajo la perspectiva de la idoneidad didáctica.

A partir del análisis de errores se presento una propuesta la cual involucra

el uso de la geometría analítica como herramienta para la enseñanza de las

expresiones algebraicas, los resultados de la investigación se obtienen

atreves de valoración de la idoneidad didáctica. Godino (2006).



2. DIAGNÓSTICO

La prueba diagnóstica se realizó el 25 de abril del 2012, se aplicó a 34

estudiantes del grado octavo dos (802), del colegio Guillermo León valencia

de Duitama. Consistió en una prueba de 5 ítems que pretendía determinar

los errores y las concepciones iniciales de los estudiantes que tienen tanto

de expresiones algebraicas como de sus representaciones geométricas, de

esta manera incorporar al proceso de la clase la representaciones

geométricas y abordar el desarrollo de las secuencias con mayor criterio.

La importancia de la prueba diagnóstica es identificar los errores que los

estudiantes cometen en la solución de expresiones algebraicas y en

geometría plana, este análisis se realiza por medio de la categoría de

errores planteada por socas (1997), desde una perspectiva del algebra y de

errores en geometría, a partir de este análisis se implementa la propuesta

didáctica para la enseñanza de las operaciones básicas de expresiones

algebraicas como lo son la adición, la sustracción y la multiplicación.



2.1. Resultados y análisis de la prueba diagnóstica.

En primer lugar analizaremos el porcentaje de estudiantes por cada uno de

los errores, con el criterio de la prueba diagnóstica y posteriormente se

analizan los correspondientes protocolos.

Errores de …

uso inad…

Errores …

Errores …

Tipo de Error 69,12% 97% 92,16% 22,55%

0,00%100,00%200,00%

po

rce

nta

je d

e

est

ud

ian

tes

porcentaje de estudiantes que cometen error

Errores de procedimiento

En este error nos podemos

observar que los estudiantes no

tienen en cuenta las reglas de

procedimiento para el desarrollo

del ítem.

Como observamos en el litera b, se

proporcionan los datos para

encontrar el área del rectángulo,

pero él, se limita a sumar los

valores de a y x, sin tener presente

el resto del procedimiento.

En este ítem el 69,12 % de los

estudiantes cometieron el error,

este ítem constaba de 4 literales,

4 estudiantes contestaron 3, 12

contestaron 2, 6 contestaron 1 solo

literal, 11 contestaron todos mal y

1 niño no lo intento resolver.



Errores que tienen su origen en el obstáculo

En el ítem se diseño para observar si el estudiante en contextos diferentes, halla el valor numérico de la expresión. Como podemos observar el estudiante se confunde y no encuentra el valor de cada segmento, mucho menos el de las operaciones con los segmentos. El error se presenta en más del 90 % de estudiantes.

Uso inadecuado del signo menos

Este tipo de error es el

que más cometen los

estudiantes con un

porcentaje del 97 %, como

podemos observar en el

protocolo siempre operan

el signo con la cantidad

siguiente al paréntesis,

pero con el resto de las

cantidades del paréntesis

no las tienen en cuenta

para operar.

Como podemos observar

del paso 4 al 5 cambia

de signo a todos los

términos sin razón.



Errores que tienen su origen en la ausencia de sentido

Si bien mas del 75% de los

estudiantes respondieron

correctamente, es importante tener

en cuenta que están confundiendo

(x * 8) con (8 + x) y optan por

marcarlas a las dos opciones, lo que

se clasifica en un uso inapropiado de

las reglas de procedimiento, porque

no es lo mismo multiplicar el número

de lados de la figura por el diámetro

de cada lado, que sumar el numero

de lados con la medida de uno de

ellos.



3. PLANTEAMIENTO Y FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

El álgebra en la educación media es un eje fundamental de la matemática y

es necesario aplicar estrategias que motiven a los estudiantes para lograr

un aprendizaje significativo, el aprendizaje de las expresiones algebraicas

no es sencillo de adquirir porque involucra que los estudiantes tengan un

pensamiento abstracto al pasar de trabajar exclusivamente con números en

aritmética a incluir letras en algebra, esto hace que el estudiante tenga

confusiones en el desarrollo de las diferentes operaciones algebraicas.

A partir del análisis de los errores más frecuentes que los estudiantes del

grado 8 cometen en el desarrollo de las operaciones de expresiones

algebraicas,se puede observar que en esta etapa del tema donde los

estudiantes hacen el paso del aritmética al algebra, es importante tener

mucho cuidado porque ellos en aritmética operan exclusivamente números,

al incluir en las operaciones letras que antes no utilizaban fácilmente

pueden entran en conflictos de carácter cognitivo, se puede observar en la

prueba diagnóstica que se cometen errores como, al sumar (2x y b) dan

respuestas como “2xb”,lo que indica que el pensamiento algebraico no ha

sido desarrollado en el estudiante.

Es importante indagar si la educación en estos temas se hace de forma

mecánica y se realizan las operaciones con métodos memorísticos, antes

que desarrollar un pensamiento matemático, y teniendo en cuenta esto se

plantean la siguiente.



¿Con ayuda de las representaciones geométricas se pueden desarrollar

habilidades en la construcción de significados matemáticos en el

tratamiento de las expresiones algebraicas y sus diferentes operaciones?

4. MARCO TEORICO

A continuación se plantea el marco teórico desde tres perspectivas, la

perspectiva epistemológica la cual hace referencia al análisis histórico y

epistemológico del algebra y sus operaciones al igual que la geometría y su

aporte al algebra, también la perspectiva cognitiva (Socas,1997) en donde

se menciona la noción de aprendizaje, la noción de error y sus categorías

en el aprendizaje de expresiones algebraicas y la noción de conflicto

semiótico (Godino, Batanero y Font,2006) y por último la perspectiva

didáctica en la cual mencionamos nuestra propuesta didáctica y la noción

de idoneidad didáctica (Sandoval, 2010).

4.1. PERSPECTIVA EPISTEMOLOGICA

La palabra “algebra” con la que se designa una parte de las matemáticas

tiene su origen en el término al-jabr que aparece en el titulo de un texto

del siglo IX, escrito por el matemático árabe Al-Khowarizmi.(Meavilla, 1995)

El algebra así como su historia se inician en el antiguo Egipto y babilonia,

desde sus inicios fue una parte inseparable de la aritmética la cual se ocupa

de los objetos concretos (los números), ya que no generaliza las relaciones

matemáticas, en cambio el algebra, es en esencia, la encargada de las

operaciones matemáticas analizadas desde un punto de vista abstracto y

genérico, independiente de los números u objetos concretos que en ellos se

utiliza para la representación de relaciones aritméticas.



En la historia del álgebra se suelen distinguir tres periodos bien

diferenciados:

Periodo retórico, en el que todas las expresiones se escribían

utilizando el lenguaje ordinario.

Periodo sincopado, en el que se empezaban a utilizar símbolos y

abreviaturas para representar la incógnita, sus potencias y los signos de

las operaciones elementales.

Periodo simbólico, en el que se usaban símbolos especiales tanto para

la incógnita y sus potencias como para las operaciones y relaciones.

Para los pitagóricos el círculo era la más bella de todas las figuras planas y

la esfera el más hermoso de todos los sólidos. El universo de Pitágoras era,

por tanto, esférico e infinito. En el centro estaba el fuego central que

dirigía la actividad y el movimiento. El vacío infinito ocupaba la parte

exterior y permitía respirar al universo. Alrededor del fuego central,

describiendo órbitas circulares, giraban los cuerpos siguientes (en este

orden): la contra-tierra, la Tierra, la Luna, el Sol, los cinco planetas

(Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno) y la esfera de las estrellas fijas.

Entre los descubrimientos matemáticos atribuidos a Pitágoras sobresale el

famoso teorema geométrico que lleva su nombre:

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de cualquier triángulo

rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos

sobre los catetos.

Dado que:

En virtud del teorema de Pitágoras resulta que:



La Geometría Analítica es un poderoso instrumento de ataque de los

problemas geométricos que utiliza como herramienta básica el Álgebra. La

esencia de su aplicación en el plano es el establecimiento de una

correspondencia entre los puntos del plano y pares ordenados de números

reales, es decir, un sistema de coordenadas, lo que posibilita una asociación

entre curvas del plano y ecuaciones en dos variables, de modo que cada

curva del plano tiene asociada una ecuación f(x,y)=0 y, recíprocamente,

para cada ecuación en dos variables está definida una curva que determina

un conjunto de puntos en el plano, siempre respecto de un sistema de

coordenadas. En particular queda establecida una asociación entre rectas

del plano y ecuaciones de primer grado de la forma Ax + By +C=0. La

Geometría Analítica es, pues, una especie de diccionario entre el Álgebra y

la Geometría que asocia pares de números a puntos y ecuaciones a

curvas.(Gonzalez)

Es indiscutible que Fermat y Descartes son los verdaderos artífices de la

Geometría Analítica. Descartes publica en 1637 La Geometría, junto con La

Dióptrica y Los Meteoros como apéndices de su Discurso del Método o éste

como prólogo de aquellos opúsculos

Zeuthen hacia 1886, viene a ser una geometrización de los métodos

algebraicos practicados por los babilónicos, una especie de Geometría

algebraica, en la que los números son sustituidos por segmentos de recta y

las operaciones entre ellos se llevan a cabo mediante construcciones



geométricas –respetando escrupulosamente la homogeneidad de los

términos– de la siguiente forma:

• La suma de dos números se obtiene prolongando sobre el primero, un

segmento igual al segundo.

• La diferencia de dos números se obtiene recortando del primero un

segmento igual al segundo.

• El producto de dos números es el área del rectángulo cuyos lados tienen

como longitudes esos números.

• El cociente de dos números es la razón de los segmentos que los

representan (según los principios del libro V de Los Elementos de Euclides).

• La suma y la diferencia de productos se reemplaza por la adición y

sustracción de rectángulos.

• La extracción de una raíz cuadrada se establece mediante la construcción

de un cuadrado de área equivalente a la de un rectángulo dado (Euclides

II.14).

Por ejemplo, el viejo problema mesopotámico en el que dada la suma o

diferencia y el producto de los lados de un rectángulo, x·y=A ,x±y=b, se

pedía hallar dichos lados, se interpretaba geométricamente de la siguiente

forma:



La solución geométrica lleva a la construcción sobre un segmento b de un

rectángulo cuyaaltura desconocida x debe ser tal que el área del rectángulo

en cuestión exceda del áreadada A (en el caso de signo positivo) en el

cuadrado de lado x; o difiera del área dada (en elcaso de signo negativo) en

el cuadrado de lado y.En su Álgebra Geométrica los griegos utilizaron

principalmente dos métodos para resolvercierto tipo de ecuaciones, el

método de las proporciones y el método de Aplicación de las Áreas.

(Vinner, 1989) Recomienda que en la enseñanza de las Matemáticas debiera

hacerse hincapié en la legitimidad del enfoque visual en las demostraciones

y en la resolución de problemas. De este modo, se podría desterrar la

creencia, tan extendida entre el alumnado, de que una demostración visual

no es una demostración matemática.

Este análisis histórico y didáctico del desarrollo del simbolismo algebraico y

sus reglas de transformación lepermite hacer distinción entre: usar letras

para representar incógnitas, en resolución de ecuaciones; usar letras para

representar datos, expresando soluciones generales, y usar letras como

herramientapara proveer reglas que expresen las relaciones numéricas, que

surgen en Lenguaje Algebraico enmomentos históricos diferentes.



4.1.1. Configuración Epistémica

Asociada a la Noción de Expresiones Algebraicas y Operaciones Básicas

LENGUAJE

VERBAL

GRÁFICO SIMBÓLICO

Expresión algebraica, paréntesis, agrupación de

términos, monomio, binomio, trinomio, polinomio,

representación geométrica.

SITUACIONES

Cálculos de las dimensiones

de magnitudes, lados,

perímetros, áreas,

volúmenes, de diferentes

figuras geométricas, en

diferentes contextos.

Representaciones o figuras geométricas como triángulos,

rectángulos, donde se evidencia la factorización de

polinomios, a través del algebra geométrica.

CONCEPTOS

PREVIOS:

Variable, términos

incógnita, generalización,

constante, coeficiente.

+, −, ,∗,

÷, , , , 𝑥2 , 𝑦, 𝑧 , , …

EMERGENTES:

Grado

Monomios

Binomios

Polinomios

Factorización

Suma y resta de Expresiones algebraicas

Multiplicación de expresiones algebraicas

PROPIEDADES

Conmutativa de la suma

Distributiva de la multiplicación

Asociativa de la suma

ARGUMENTOS

Construcción de expresiones algebraicas a partir de representaciones geométricas.

Justificación de las propiedades usando el álgebra geométrica.

Resolver operaciones entre expresiones algebraicas con ayuda del algebra geométrica.



4.2. PERSPECTIVA COGNITIVA

En esta perspectiva se tiene en cuenta la noción de aprendizaje según el

enfoque semiótico, la noción de error en algebra (Socas, 1997) y la noción

de conflicto semiótico (Godino J. D., Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006).

4.2.1. Noción de Aprendizaje

Según el Enfoque Ontosemiótico; El aprendizaje tiene lugar mediante la

participación del sujeto en las comunidades de prácticas, el acoplamiento

progresivo de los significados personales a los institucionales y la

apropiación de los significados institucionales por los estudiantes (Godino J.

D., Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006).

4.2.2. Noción de Error

Una mirada a la historia de diversas disciplinas nos revela que muchos

conceptos que se han aceptado como conocimiento válido, actualmente se

consideran como errados.

Por su parte, los matemáticos durante dos milenios consideraron como una

verdad absoluta que la geometría euclidiana era la única geometría posible,

lo que los llevó a empeñarse, infructuosamente, en tratar de demostrar el

quinto postulado de Euclides partiendo de los cuatro primeros.

El desarrollo del conocimiento científico ha estado acompañado de errores

según puede constatarse al revisar su evolución en la historia. La

identificación y análisis de estos errores ha permitido sustituir un

conocimiento viejo e institucionalizado en la sociedad por uno nuevo que se

revela lleno de fuerza y vigor, con el correspondiente esfuerzo y sacrificio

de quienes han tenido el valor de exponerlo y defenderlo ante cualquier

adversidad.

Según Socas (1997), el error debe ser considerado como la presencia en un

alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no sólo la consecuencia de



una falta específica de conocimiento o de una distracción. Los errores

aparecen cuando se enfrentan a conocimientos nuevos que los obliga a

hacer una revisión o reestructuración, y un uso de los que ya saben.

4.2.3. Categorías de Errores

Las siguientes categorías de errores fueron propuestas por Martin Socas en

el estudio que realizo en algebra y en geometría. Socas (1997), considera

tres ejes, que permiten analizar el origen del error. De esta forma,

podemos situar los errores que cometen los alumnos en relación con tres

orígenes distintos:

Obstáculos: conocimientos adquiridos que demuestran su afectividad en

ciertos contextos pero no válidos en otros.

ausencia de sentido: relacionado en las distintas etapas de aprendizaje de

un sistema de representación, semiótica, estructural y autónoma.

actitudes afectivas y emocionales: Los errores que tienen su origen en

actitudes afectivas y emocionales tienen distinta naturaleza: faltas de

concentración (excesiva confianza), bloqueos, olvidos, etc.

Según el autor, los errores en el aprendizaje de las matemáticas se deben a

ciertas dificultades que se pueden agrupar en cinco categorías: dificultades

asociadas a la complejidad de los objetos matemáticos, dificultades

asociadas a los procesos del pensamiento matemático, dificultades

asociadas a los procesos de enseñanza desarrollados para el aprendizaje de

las matemáticas, dificultades asociadas a los procesos de desarrollo

cognitivo de los alumnos y dificultades asociadas a las actitudes afectivas y

emocionales hacia las matemáticas. Tomando en cuenta estas dificultades,

clasifica los errores en el nivel secundario de acuerdo con su origen en:

-Errores que tienen su origen en un obstáculo.

Errores que tienen su origen en la ausencia de sentido: en esta categoría se

encuentran los errores del álgebra que tienen su origen en la aritmética, los



errores de procedimiento que se derivan del uso inapropiado que hacen los

alumnos de las fórmulas o de las reglas de procedimiento y los errores de

álgebra debidos a las características propias del lenguaje algebraico.

-Errores que tienen su origen en actitudes afectivas y emocionales hacia las

matemáticas.

Presentamos a continuación algunos de los errores más frecuentes que los

estudiantes cometen en el desarrollo del algebra según socas (1997).

pensamiento

categoría de error

Descripción

Variacional

Errores de procedimiento

Los alumnos usan inadecuadamente fórmulas o reglas deProcedimiento.

Variacional

Uso del signo menos

Este tipo de error se presenta cuando el

estudiante no sabe distribuir el signo menos colocado delante de un paréntesis.

Geométrico

Errores que tienen su

origen en un obstáculo:

Se considera al obstáculo como unconocimiento

adquirido, no como una falta de conocimiento, que fue efectivo en algún contexto Especifico, pero que cuando el alumno utiliza dicho conocimiento en otro contexto, da lugar arespuestas inadecuadas como el

uso inadecuado del paréntesis.

Geométrico

Errores que tienen su origen en la ausencia de

sentido

Estos pueden dividirse en tres clase:

Errores que tienen su origen en la aritmética, resultado de no haber asimilado elaciones y procesos en un contexto aritmético.

Errores de procedimiento, es decir se producen cuando los alumnos usan de manera inapropiada fórmulas, definiciones o reglas.

Errores debidos a la mala interpretación del leguaje matemático.

4.2.4. Noción de Conflicto Semiótico:

Según Godino y Font (2007) “un conflicto semiótico es cualquier disparidad

o discordancia entre los significados atribuidos a una expresión por dos

sujetos (personas o instituciones)”.



Si una disparidad se produce entre significados institucionales hablamos de

conflictos semióticos de tipo epistémico, mientras que si la disparidad se

produce entre prácticas que forman el significado personal de un mismo

sujeto lo designamos como conflicto semiótico de tipo cognitivo. Cuando la

disparidad se produce entre las practicas (discursivas y operativas) de dos

sujetos diferentes en interacción comunicativa (por ejemplo, alumno-

alumno, alumno-profesor), hablaremos de conflictos semióticos

interacciónales”.

Los autores propones tres tipos de significados personales.

TIPOS:

Epistémico: Si una disparidad se produce entre significados institucionales

Cognitivo: Si la disparidad se produce entre prácticas que forman el

significado personal de un mismo sujeto

Interacciónales: Cuando la disparidad se produce entre las practicas

(discursivas y operativas) de dos sujetos diferentes en interacción

comunicativa.

4.3. PERSPECTIVA DIDACTICA

El algebra debe concebirse como la rama de las matemáticas que trata de

la simbolización de las relaciones numéricas generales, de las estructuras

matemáticas, y de las operaciones de las estructuras. En este sentido, el

algebra en el colegio se interpreta como una aritmética generalizada y

como tal involucra la formación y la manipulación de relaciones y

propiedades numéricas. Una de las áreas que se presta como herramienta

de enseñanza es la geometría, Las representaciones geométricas son una

herramienta importante para la enseñanza de expresiones algebraicas, ya

que lleva lo abstracto de las operaciones algebraicas a un contexto grafico

por medio de medidas de áreas, perímetros, volumen y superficies, a partir



de estas operaciones tienen un mayor significado el desarrollo de

operaciones en el algebra. (Sandoval, 2010)

La propuesta tiene como objeto fortalecer en el estudiante el conocimiento

en algebra en particular en las expresiones algebraicas así como también la

operatividad de estas, específicamente se trabaja la adición, sustracción y

multiplicación, y teniendo en cuenta que estas son la base de toda el

algebra en el colegio, se quiere que el estudiante deje de lado los procesos

mecánicos que han favorecido el memorismo antes que el desarrollo del

pensamiento matemático, por lo que la enseñanza y la comprensión de sus

contenidos se hacen difícil, debido a la abstracción que los caracteriza. De

acuerdo a esto se toma como referencia un trabajo de tesis propuesto por

(Sandoval, 2010) en este describe la importancia de la geometría en la

escuela, y como utilizar todos los recursos que la geometría nos ofrece y

que permite que los estudiantes manipulen y tengan un conocimiento

tangible y útil.

Otra investigación relacionada con el tema de estudio (Paralea, 1998) se

estudian y se analizan las habilidades cognitivas operacionales y

conceptuales en los procesos de comprensión y también el uso de lenguaje

algebraico y la comprensión de los registro so sistemas de representación

utilizados en dos tipos concretos: expresiones algebraicas y ecuaciones

lineales; los resultados obtenidos se reflejan que para un acercamiento

entre el estudiante y el lenguaje algebraico se debe integrar diferentes

contextos tanto numérico como de las representaciones.

4.3.1. Enfoque Ontosemiótico

El Enfoque Ontosemiótico (Godino J. D., Bencomo, Font, & Wilhelmi, 2006)

permite articular de manera coherente diversos modelos teóricos usados

habitualmente en Educación Matemática (fenomenología didáctica,



etnomatemática, teoría antropológica, teoría de situaciones, campos

conceptuales, registros de representación semiótica, socio epistemología,

etc.)

LA IDONEIDAD DIDÁCTICA, como criterio general de adecuación y

pertinencia de las acciones de los agentes educativos, de los conocimientos

puestos en juego y de los recursos usados en un proceso de estudio

matemático. El sistema de indicadores empíricos identificados en cada una

de las facetas constituye una guía para el análisis y reflexión sistemática

que aporta criterios para la mejora progresiva de los procesos de enseñanza

y aprendizaje. La idoneidad didáctica de un proceso de instrucción se

define como la articulación coherente y sistémica de las

siguientescomponentes.

IDONEIDAD EMOCIONAL grado de implicación (interés, motivación,…) del

alumnado en el proceso de estudio. La idoneidad afectiva está relacionada

tanto con factores que dependen de la institución como con factores que

dependen básicamente del alumno y de su historia escolar previa.

IDONEIDAD EPISTÉMICA,es el grado de representatividad de los significados

institucionales implementado (o pretendido), respecto de un significado de

referencia.

IDONEIDAD COGNITIVA, expresa el grado en que los significados

pretendidos/ implementados estén en la zona de desarrollo potencial de los

alumnos, así como la proximidad de los significados personales logrados a

los significados pretendidos/ implementados.

IDONEIDAD ECOLÓGICA, grado en que el proceso de estudio se ajusta al

proyecto educativo del centro, la escuela y la sociedad y a los

condicionamientos del entorno en que se desarrolla.

IDONEIDAD MEDIACIONALes la disponibilidad y adecuación de los recursos

materiales y temporales necesarios para el desarrollo del proceso de

enseñanza-aprendizaje.



IDONEIDAD INTERACCIONALUn proceso de enseñanza-aprendizaje tendrá

mayor idoneidad desde el punto de vista interaccional si las configuraciones

y trayectorias didácticas permiten, por una parte, identificar conflictos

semióticos potenciales, y por otra parte permitan resolver los conflictos que

se producen durante el proceso de instrucción.

5. METODOLOGÍA Y ORGANIZACIÓN

Esta investigación se desarrolla con 36 estudiantes de grado 802, los cuales

oscilan en las edades de 13 - 15 años, se pretende identificar los errores

que se presentan en las operaciones con expresiones algebraicas, a partir

de ellos mejorar nuestra eficiencia como futuros docentes evaluada a

partir de secuencias didácticas basadas en la ayuda de la geometría como

una herramienta para enriquecer el aprendizaje de los estudiantes.

5.1. TIPO DE INVESTIGACIÓN

La investigación acción es una forma de estudiar y explorar una situación

socialoeducativa como en nuestro caso, con la finalidad de mejorarla.

Según La definición de (Lewin, 1992)La investigación acción es una forma

de cuestionamiento auto reflexivo, llevada a cabo por los propios

participantes en determinadas ocasiones con la finalidad de mejorar la

racionalidad y la justicia de situaciones, de la propia práctica social

educativa, con el objetivo también de mejorar el conocimiento de dicha

práctica y sobre las situaciones en las que la acción se lleva a cabo.

El objeto de la investigación es explorar la práctica educativa tal y como

ocurre en los escenarios naturales del aula y del centro; se trata de una

situación problemática o, en todo caso, susceptible de ser mejorada. Los

agentes, los que diseñan y realizan un proceso de investigación no son los



investigadores profesionales, al menos no son sólo ellos. Las personas

implicadas directamente en la realidad objeto de estudio son también

investigadores; los profesores son docentes, pero también son

investigadores que exploran la realidad en que se desenvuelven

profesionalmente. Queda atrás el docente “objeto” de estudio, ahora es el

agente, el que decide y toma decisiones.

La I-A siente predilección por el enfoque cualitativo y utiliza técnicas de

recogida de información variadas, procedentes también de fuentes y

perspectivas diversas. Todo aquello que nos ayude a conocer mejor una

situación nos es de utilidad: registros anecdóticos, notas de campo,

observadores externos, registros en audio, video y fotográficos,

descripciones ecológicas del comportamiento, entrevistas, cuestionarios,

pruebas de rendimiento de los alumnos, técnicas socio métricas, pruebas

documentales diarios, relatos autobiográficos, escritos de ficción, estudio

de casos, etc. La finalidad última de la I-A es mejorar la práctica, (

Kemmis, 1988),al tiempo que se mejora la comprensión que de ella se tiene

y los contextos en los que se realiza.

Existen 9 etapas en las que se lleva a cavo la I-A en el aula.

1. Diseño General del Proyecto.

2. Identificación de un Problema Importante.

3. Análisis del Problema.

4. Formulación de Hipótesis.

5. Recolección de la Información Necesaria.

6. Categorización de la Información

7. Estructuración de las Categorías

8. Diseño y Ejecución de un Plan de Acción

9. Evaluación de la Acción Ejecutada.



5.2. TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN

Las principales técnicas que se utilizan en este estudio son todos las formas

en las cuales podemos dar evidencia a la investigación como por ejemplo, la

observación participante que se hace antes y durante la práctica en la cual

actuamos como agentes modeladores de los hechos en el aula, además las

fotografías de los trabajos, la evidencia documental, las reflexión analíticas

a partir de los registros realizados, en general toda la documentación

obtenida.

5.3. INSTRUMENTOS PARA RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN.

Los principales instrumentos con los que se cuenta son:

Informes de rendimiento de estudiantes

Notas de campo

Cuestionario

Prueba diagnostica

Evaluaciones continuas

Guía de taller

Protocolos de los estudiantes

Planes de clase

5.4. ORGANIZACIÓN

Este proyecto se realiza con la profesora titular magister Ana Cecilia Medina

el profesor encargado del curso 802, Henry Moreno, y el profesor

practicante, Miguel Ángel Siauchó.



6. PROPUESTA SECUENCIAL DE ENSEÑANZA

COLEGIO GUILLERMO LEÓN VALENCIA DE DUITAMA, BÁSICA UNO GRADO 802

ASIGNATURA MATEMÁTICAS PROFESOR: Miguel Ángel Siauchó, TÍTULO: Las

representaciones geométricas como instrumento para la enseñanza de las

expresiones algebraicas y sus operaciones,

6.1. DOMINIOS CONCEPTUALES:

PENSAMIENTO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO VARIACIONAL

6.2. ESTÁNDARES

Los estándares que propone el ministerio de educación. Para el grado

octavo en el pensamiento Variacional y sistemas algebraicos y analíticos

han propuesto los siguientes:

Pensamiento Variacional:

o Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica

dada.

o Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a

prueba conjeturas.

o Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.

o Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones

lineales.(Ministerio de Educacion, 1998).

6.3. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS GENERALES

Las diferentes secuencias se realizaran con la estrategia metodológica de

taller constructivo, para aprender a estructurar conocimiento matemático

mediante la construcción de los conceptos algebraicos. La estructura del

taller constructivo considera la enseñanza como un proceso intencional y

planeado, en donde el papel del maestro es crear o diseñar situaciones de



aprendizaje apropiadas que le permitan al estudiante construir en forma

individual y colectiva. Las fases del taller son:

Revisión de conceptos previos: se indaga sobre los conocimientos

anterioresa través de actividades para rescatar los conceptos y

preconcepciones que poseen los estudiantes sobre el tema.

Construcción lógica mediante la acción cognitiva y reflexiva: trabajo

individual. Toda actividad deba conducir a una reflexión. La acción son las

actividades que propone el maestro, para reflexionar sobre ellas con el fin

de construir el conocimiento lógico matemático mediante preguntas que

susciten nuevas preguntas.

Formulación: en esta etapa no se espera que los conceptos elaborados por

los estudiantes sean los correctos, se bebe valorar toda producción

personal y orientar en caso necesario.

Validación: confrontación en grupos o en plenaria. Es la oportunidad para

que el estudiante escuche, argumente y sustente su producción

cognoscitiva.

Formalización: el maestro precisa en plenaria las nociones, conceptos,

conclusiones, generalizaciones, etc.

Aplicación: se proponen ejercicios donde pueda establecer relaciones y

seleccionar los contenidos conceptuales y procedimientos para aplicarlos en

nuevas situaciones que se presenten.

Cada secuencia está diseñada para un tiempo aproximado de 4 horas en las

cuales se pretende que el estudiante construya los significados de adición,

sustracción y multiplicación de expresiones algebraicas.



6.4. Propuesta secuencial de enseñanza.

SECUENCIA

ACTIVIDADES

QUE SE PRETENDE

Introducción a las

representaciones

geométricas para la

adición de expresiones

algebraicas.

o Generalización de

situaciones algebraicas.

Que el estudiante logre la

traducción de expresiones

escritas en lenguaje

natural a expresiones de

lenguaje algebraico.

Sustracción de

expresiones algebraicas

Con ayuda de las figuras

geométricas.

o Interpretación grafica de

una expresión algebraica.

o Propiedades de la adición.

Se pretende obtener

ecuaciones a partir de

diagramas, motivando la

utilización de símbolos

para cantidades

desconocidas y a partir de

allí construyan la noción

de ecuación.

Multiplicación de

expresiones algebraicas

a partir de áreas y

volúmenes de objetos

geométricos.

o El área de polígonos regulares.

o Propiedades de la multiplicación

Se pretende que el

estudiante logre

interpretar el concepto

de multiplicación de

expresiones algebraicas a

partir de gráficos.

Operaciones combinadas de expresiones algebraicas.

o Resolución de problemas. o

El estudiante debe operar correctamente y hacer un uso apropiados de las reglas de signos y paréntesis en las expresiones algebraicas.



7. RESULTADOS DE LA SISTEMATIZACIÓN DEL PROYECTO

El análisis del proyecto a partir de la práctica de enseñanza y aprendizaje

de las expresiones algebraicas y sus operaciones de adición, sustracción y

multiplicación a partir del reconocimiento de conceptos previos y el modelo

de representaciones geométricasmostró ser de gran utilidad en los

estudiantes de grado octavo del Colegio Guillermo León Valencia de

duitama.

En el transcurso del segundo periodo se realizaron diferentes actividades

dentro de las clases que nos permiten hacer un análisis de lo bueno y de lo

que falto para mejorar cada día más.

A continuación se presenta el análisis de la practica por medio del enfoque

ontosemiótico estudiado por Godino (2006).

7.1. IDONEIDAD EPISTÉMICA:

El grado de representatividad de los significados institucionales

implementados (o pretendidos), respecto de un significado de referencia.

Respecto a la integración y articulación de saberes, a partir de las guías de

trabajo se conduce al estudiante para que através de las representaciones

geométricas construya, establezca sus propias conjeturas y efectúe un

reconocimiento de la importancia de las expresiones algébricas. En este

sentido cada paso de la construcción de los conceptos ofrecía la

oportunidad para la discusión, argumentación, y formación de los conceptos

y a la par se revisaba el manejo de un correcto vocabulario matemático.

Para las situaciones de descubrimiento de conceptos matemáticos, el

objetivo era construir el significado institucional de conceptos como la

expresión algebraica, sus partes, la reducción de las expresiones y las

propiedades que se involucran y es importante destacar que gran parte de

los estudiantes crearon sus ideas que dentro de la clase se formalizaron.



Se dio prevalencia al conjunto de representaciones visuales y graficas

donde gracias a la interacción directa se induce a pensar en el significado

de los conceptos tanto matemáticos como algebraicos puestos en juego, la

naturaleza del los mismos, procurando argumentar y enfocando los saberes

y significados hacia la construcción de las operaciones algebraicas y sus

propiedades. Esto se indujo formulando al estudiante preguntas para que

establecieran conjeturas y se contrastan con la definición formal, además al

inicio de cada clase se realizo una síntesis breve de lo trabajado en la

sesión anterior que permite tener los temas frescos.

7.2. IDONEIDAD COGNITIVA

Se expresa el grado en que los significados pretendidos/ implementados

estén en la zona de desarrollo potencial de los alumnosde acuerdo a los

criterios de esta idoneidad, se evidencio que realizar una revisión de

conceptos previos es fundamental para que los alumnos recuerden la clase

anterior, para usar con mayor criterio y claridadlas herramientas para el

tema nuevo, así como el uso de diferentes lenguajes contextos y

representaciones los cuales complementen la noción de nuevos conceptos.

Es fácil evidenciar que los estudiantes tienen errores y dificultades en los

conceptos previos, y sin superar estos errores no pueden adquirir conceptos

emergentes de ahí la importancia de emplear espacios donde se permita

individualizar a cada estudiante reconociendo fortalezas y debilidades para

que participen en el transcurso de la clase de manera más activa.

Los conceptos previos analizados se relacionan con el manejo de los tipos

de lenguaje que se utilizan en matemáticas, (lenguaje natural, lenguaje

algebraico), y se observo que los niños tienen muchos vacios y falta de

conocimiento, no identifican la operación indicada cuando se utilizan

frases con palabras como: doble, triple, cuadrado o diferencia. Pero en el

transcurso de las clases los estudiantes empezaron a dominar estos



conceptos y a transcurso de las distintas actividades que realizaron

fundamentadas en el taller constructivo se superaron las dificultades y

además llegaron a la construcción de la noción de generalización, y a partir

de ahí aplicar con más seguridad las diferentes guías de clase,

cuestionarios, talleres, esto se evidencia en la participación y el interés que

la mayoría fue despertando.

Uno de los motivos de la participación es el ambiente de confianza donde

los estudiantes tienen la posibilidad de expresar sus conocimientos.

(Conjeturas, procedimientos, argumentaciones).

También se les aplico un cuestionario final, en donde el propósito de este

era mirar que tanto se habían disminuido los errores en ecuaciones según la

categoría de Socas, encontrados en la aplicación del cuestionario inicial.

Los errores encontrados en el cuestionario inicial disminuyeron

favorablemente gracias al desarrollo de las secuencias didácticas basadas

en el taller constructivista.

7.3. IDONEIDAD EMOCIONAL

Mide el grado de implicación, interés y motivación de los estudiantes, la

idoneidad emocional es alta ya que la mayoría de los estudiantes mostraron

interés por el desarrollo de las actividades propuestas en las diferentes

secuencias.

Se plantearon diferentes actividades en las cuales los estudiantes

mostraban interés como es el caso de la participación por puntos, en este

tipo de actividades se les coloca puntos positivos a los estudiantes que

realicen en el menor tiempo y correctamente los ejercicios, en este tipo de

actividades se favorece la participación en un ambiente de igualdad, donde

todos tienen la misma posibilidad de sumar puntos a la par con el

crecimiento de la capacidad cognitiva en la solución de las operaciones con

expresiones algebraicas.



La selección de las tareas y actividades complementarias, se enfoca en

valorar la utilidad de las matemáticas en contextos de la vida diaria,

además resaltando la responsabilidad y la estética de la presentación de los

trabajos.

7.4. IDONEIDAD MEDIACIONAL

Es el Grado de disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y

temporales necesarios para el desarrollo del proceso de enseñanza-

aprendizaje.

En cuanto al tiempo de las clases es el apropiado para el desarrollo de las

actividades propuestas, sin embargo el salón es pequeño para la cantidad

de estudiantes lo que hace un poco incomodo la movilidad dentro del aula,

el uso de carteleras y exposiciones favorecen el desarrollo investigativo, el

empleo de el lenguaje matemático y las argumentaciones adaptadas a los

significados pretendidos.

El tiempo para el desarrollo de los temas apenas fue exacto debido a la

cantidad de eventos y actividades realizadas por parte del colegio y que

interrumpen la cotidianidad de las clases.

El uso de las representaciones geométricas fue una herramienta que se

utilizo al máximo para llegar a motivar y a investigar a los estudiantes para

encontrar situaciones y modelos en los cuales puedan utilizar la expresiones

algebraicas en el contexto de la vida cotidiana.



7.5. IDONEIDAD INTERACCIONAL

Es el Grado en que los modos de interacción permiten identificar y resolver

conflictos de significado y favorecen la autonomía en el aprendizaje. Se

realiza una presentación clara del tema en cada una de las secuencias, se

tienen en cuenta a todos los niños y sus opiniones y se llegan a consensos

del tema. Se fomenta el dialogo y la discusión entre los estudiantes y se

favorece la inclusión en el grupo, mostrando así una alta idoneidad

interaccional.

Los estudiantes están en edades en las cuales su interés no es precisamente

el estudio, esto lleva a que siempre estén pensando en muchas situaciones

diferentes a las de la clase, unos de ellos tienen que trabajar, para otros

las familias son disfuncionales o no viven con los papas, y en general están

explorando un mundo lleno de tecnologías y consumismos que los invita a

ser rebeldes, sin embargo se creó un ambiente de trabajo agradable y

respetuoso en el cual todos tienen las mismas oportunidades por aprender,

esto hace que vean a las matemáticas de una manera agradable y que

evidentemente les sirve para la vida y para formarlos como personas útiles

a la sociedad.



CAPÍTULO III

CONCLUSIONES

En el desarrollo de la práctica nos ayudo a concluir que las representaciones

geométricas ayudan a desarrollar competencias en la construcción de las

nociones asociadas al concepto de expresión algebraica y sus operaciones

básicas porque se tornan menos abstractos los objetos matemáticos.

Además la planeación de la clase es muy importante porque ayuda a tener

claros los conceptos y a organizar de una manera correcta el desarrollo de

la clase, el taller constructivo es una herramienta recomendada para este

fin, por que las diferentes etapas del taller establecen una secuencia

idónea y optima para implementar las diferentes secuencias.

Es importante seguir trabajando para mejorar cada día más y buscar nuevas

estrategias que nos ayuden a la enseñanza de los diferentes temas que las

matemáticas nos ofrecen.



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Anexo A.

Escuela de Matemáticas y Estadística _ Uptc Duitama

PRUEBA DIAGNOSTICA

COLEGIO: Guillermo León Valencia ÁREA: Matemáticas FECHA: ______________ Nombres:___________________________________________________________ TEMA: paso del lenguaje natural al lenguaje algebraico, expresiones algebraicas.

ACTIVIDAD GRUPAL. Indicaciones: Resuelva en forma clara y ordenada el

procedimiento al respaldo de la hoja de los ejercicios que lo requiera, colocar la respuesta en la hoja de taller.

1. Observa la siguiente imagen y contesta las

preguntas.

a. ¿Cuántos lados tiene? ____________ b. ¿Quién es la altura del triangulo?

__________________ c. ¿con que letra se representa la medida de la

base del triangulo? ___________________

2. Resolver las siguientes operaciones, dados los

segmentos:

Si a = 3, b = 2a - 1 y x = a + b hallar: a. a – 9 = __________ b. 2x+b = _______ c. X -2b = _______ d. a + b + x = _______

3. ¿cuál es el perímetro (p) de las siguientes figuras si?

a) Y = 2 P=______________ b) a = 5 x= 2 p=________ c) p=________

d) a = 3 b = 5 P=________ 4. Relaciona las columnas escribiendo en el

paréntesis la letra que corresponda.

(a) ( ) x+x+x+x+x+x+x

(b) ( ) 3 por x

(c)

( ) 8 + x

( ) X+6

( ) X por 8

1. Elimina los símbolos de agrupación teniendo en

cuenta el signo que lo preceda. Luego, reduce los términos semejantes en cada polinomio.

−3𝑚 + −11𝑛 − −10𝑚 − 7𝑚 − 9𝑛 Respuesta: ______________________

LAS REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS Y LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

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