LE REGIME SINUSOIDAL FORCE EN ELECTRICITE...Circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé 3.1....

LE REGIME SINUSOIDAL FORCE ENLE REGIME SINUSOIDAL FORCE ENELECTRICITEELECTRICITE

On a vu, dans les chapitres précédents, la réponse de circuits électriques à un échelon detension. Le régime permanent est alors un régime continu.

Si on alimente maintenant les mêmes circuits avec un GBF délivrant une tensionsinusoïdale, alors le régime permanent sera lui aussi sinusoïdal.

1. Notation complexe

Considérons le circuit RLC série alimenté par un GBF:

La tension e(t) délivrée par le GBF estsinusoïdale et peut s'écrire e (t)=E cos(ω t ) .

La présence des dipôles dans le circuitva introduire un déphasage φ entre la tensiondélivrée par le GBF et le courant parcourantl e c i r c u i t : φ=φi−φe (d é p h a s a g e d el'intensité i(t) par rapport à la tension e(t)).

L'intensité i(t) peut alors s'écrire

i (t )=I cos (ω t+φ) .

Pour faciliter la description des circuits en régime sinusoïdal forcé, on associe aux signauxréels des signaux complexes tels que:

• à e (t)=E cos(ω t ) , on associe le signal complexe e ( t)=Ee jω t (avec j2=−1 ). Onpeut retrouver le signal réel grâce aux propriétés de l'exponentielle complexe:

e (t)=E e j ω t=E (cos(ω t)+ j sin(ω t )) d o n c e (t)=E cos(ω t )=ℜ(e(t )) . O n a a u s s iE=∣e (t )∣ .

• à i (t )= I cos(ω t+φ) , o n a s s o c i e l e s i g n a l c o m p l e x e

i (t )= I e j(ω t+φ)⇔i (t )= I e jφ e j ω t⇔ i(t )=I e jω t où I =I e j φ est l'amplitude complexe dusignal.

TSI 1 - Régime sinusoïdal forcé 1/10

On a i(t )=ℜ(i (t )) et { I=∣i (t)∣=∣I∣φ=arg ( I )

ω t+φ=arg (i (t )).

Il est aussi nécessaire de savoir dériver et intégrer ces signaux complexes: travaillons surl'exemple de l'intensité du courant i (t )= I cos(ω t+φ) à laquelle on associe le signal complexe

i (t )= I e j(ω t+φ)⇔i (t )= I e jω t .

On ad i( t)

dt= jω I e jω t ⇔

d i (t )dt

= jω i ( t) . Donc en notation complexe, dériver par rapport

au temps revient à multiplier le signal complexe par jω.

O n a ∫ i (t)dt= 1jω

I e jω t ⇔∫ i( t )dt= 1j ω

i ( t)=− jω i (t ) . Donc en notation complexe,

intégrer par rapport au temps revient à diviser le signal complexe par jω.

Ainsi, traiter les circuits à l'aide de la méthode complexe va permettre de transformer leséquation différentielles les décrivant en équations algébriques dans le corps des complexes.

2. Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé

2.1. Loi d'Ohm complexe et impédance complexe

On associe aux signaux réels les signaux complexes:

i(t )=I ej (ω t+φi)⇔ i(t )=I e j ω t avec I=I e

j φi

u (t )=U ej (ω t+φu)⇔u (t )=U e j ω t avec U =U e

j φu

On peut généraliser la loi d'Ohm vue pour les résistance à tout type de dipôle et on a

u( t)=Z i (t ) ⇔U e jω t=Z I e jω t ⇔ U=Z I où Z est l'impédance complexe du dipôle.

On a ainsi Z=UI

⇔Z=U ej φu

I ej φi

⇔ Z=UI

ej (φu−φi)⇔ Z=Z e j φ avec

{ Z=∣Z∣ l'impédance réelle du dipôle mesurée en ohmsφ=φu−φi le déphasage entre la tension aux bornes du dipôle et l'intensité du courant le traversant

2.2. Impédances complexes des dipôles usuels

• Résistance:La loi d'Ohm u (t)=R i(t ) devient u (t )=R i(t ) en notation

complexe. On en déduit Z R=u(t )i( t)

=R=∣Z R∣ et φ=φu−φi=0 .

La tension aux bornes de la résistance et le courant la traversantsont en phase.


• Bobine:

L a r e l a t i o n c o u r a n t - t e n s i o n u (t )=Ldi (t )

dtdevient

u (t )=L j ωi (t) .

On en déduit Z L=u (t)i(t )

= j Lω=Lωej π

2 .

On a Z L=∣Z L∣=Lω et φ=φu−φi=π2

. L'intensité du courant

et la tension sont en quadrature de phase, la tension étant enavance sur le courant.

Comportements asymptotiques:• à basse fréquence: ω→0 donc Z L=Lω→0 et la bobine se comporte comme un fil.

• à haute fréquence: ω→+∞ donc Z L=Lω→+∞ et la bobine se comporte comme uninterrupteur ouvert.

• Condensateur:

L a r e l a t i o n c o u r a n t - t e n s i o n i(t )=Cdu(t)

dtdevient

i(t )=C j ωu (t ) .

On en déduit Z C=u (t )i(t )

= 1j C ω

= 1C ω

e− j π

2 .

O n a ZC=∣ZC∣= 1Cω

et φ=φu−φi=−π2

. L'intensité du

courant et la tension sont en quadrature de phase, la tension étanten retard sur le courant.

Comportements asymptotiques:

• à basse fréquence: ω→0 donc ZC= 1C ω

→+∞ et le condensateur se comporte

comme un interrupteur ouvert.

• à haute fréquence: ω→+∞ donc ZC= 1C ω

→0 et le condensateur se comporte comme

un fil.

2.3. Lois de Kirchhoff en régime sinusoïdal forcé

Les lois de Kirchhoff sont valables en régime variable dans le cadre de l'ARQS. Dans le casparticulier du régime sinusoïdal forcé, on peut les écrire en notation complexe:

{∑k=1

n

ϵk ik (t )=0

∑k=1

n

ϵk uk (t)

⇔{∑k=1

n

ϵk I k e jω t=0

∑k=1

n

ϵk U k e j ω t=0

⇔{∑k=1

n

ϵk I k=0

∑k=1

n

ϵk U k =0


2.4. Associations de dipôles en régime sinusoïdal forcé

• Association série: La loi d'additivité des tensions et laloi d'Ohm complexe donnent:

u=u1+u2

⇔ Z éq i=(Z1+Z 2) i

⇔ Z éq=Z1+Z 2

• Association parallèle: La loi des noeuds et la la loi d'Ohmcomplexe donnent:

i=i1+i2

⇔ uZ éq

=u ( 1Z 1

+ 1Z 2

)

⇔ 1Z éq

= 1Z1

+ 1Z 2

⇔ Z éq=Z 1 Z 2

Z 1+Z 2

3. Circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé

3.1. Régime transitoire et régime sinusoïdal forcé

Le circuit est soumis à une excitation sinusoïdale de lapart du GBF qui délivre une tension e (t)=E cos(ω t ) . La loi des mailles et les différentes relations tension-courant pour les dipôles permettent d'aboutir à l'équation

différentielle u L+uR+uC=e (t )⇔ L q̈+R q̇+ qC

=E cos(ω t ) .

La solution de cette équation différentielle est la somme:

• d'une solution homogène, solution de l'équation L q̈+R q̇+qC

=0 qui décrit le régime libre

du circuit (en l'absence d'excitation) et traitée dans le chapitre précédent.

• d'une solution particulière qui décrit le régime permanent. Le régime permanent est demême nature que l'excitation imposée au circuit. La solution particulière sera donc ici unefonction sinusoïdale du temps. Autrement dit, en régime permanent, les grandeurs du circuitvont osciller avec la pulsation imposée par le GBF: on parle alors de régime forcé.


Circuit R,L,C série avec L = 20 mH et C = 1µF(a) régime libre pour R = 50 Ω (pseudo-périodique).

(b) établissement d'un régime sinusoïdal d'amplitude 1 V et de fréquence 100 Hz pour R = 50 Ω.(c) régime libre pour R = 283 Ω (critique).

(d) établissement d'un régime sinusoïdal d'amplitude 1 V et de fréquence 100 Hz pour R = 283 Ω.(e) régime libre pour R = 1 kΩ (apériodique).

(f) établissement d'un régime sinusoïdal d'amplitude 1 V et de fréquence 100 Hz pour R = 1 kΩ.On constate que dans chaque cas, le régime transitoire est très court (autrement dit la

solution homogène tend très vite vers 0) et on pourra le négliger au profit de l'étude du régimepermanent.

3.2. Réponse en courant du circuit RLC série à une excitation sinusoïdale

On s'intéresse ici à la réponse en courant du circuitRLC série en régime sinusoïdal forcé. Pour simplifier l'étude, on utilise la méthodecomplexe. A e (t)=E cos(ω t ) , on associe le signal complexe

e (t)=E e j ω t . A i (t )= I cos(ω t+φ) , on associe le signalcomplexe i (t )= I e j(ω t+φ)⇔i (t )= I e jω t o ù

I=I e j φ .


On applique la loi des mailles complexe pour mettre le circuit en équation:

uR( t)+uL(t )+uC (t )=e (t )⇔(Z R+Z L+ZC ) i(t )=e (t )

⇔(R+ jLω+ 1j C ω

) I e j ω t=E e j ω t

⇔ I= E

R+ j (L ω− 1C ω

)

Rappel: en complexe, diviser par j revient à multiplier par - j.

On introduit:

• la pulsation propre ω0 telle que ω0=1

√LC

• le facteur de qualité Q tel que Q=Lω0

R= 1

RC ω0

= 1R √ L

C

Ainsi I= E

R+ j (Lω− 1C ω

)= E

R(1+ j( LωR

− 1RC ω

)).

O r LR

= Qω0

et 1RC

=Q ω0 donc I = E / R

1+ jQ ( ωω0

−ω0ω )

. Il s'agit de l'amplitude complexe

de l'intensité du courant.

Cette amplitude complexe est indépendante du temps. Par contre elle dépend de la pulsationω (ou de la fréquence f) imposée par le GBF et on peut s'intéresser à ses variations en fonction decette pulsation et mettre en évidence le phénomène de résonance.


3.3. Résonance en intensité

3.3.1. Mise en évidence expérimentale

Pour avoir une image du courant, il suffit d'observer la tension aux bornes de la résistancedans le circuit RLC série. On choisit R = 1,0 kΩ, L = 20 mH et C = 51 nF. Le GBF délivre unetension sinusoïdale d'amplitude 1 V et de fréquence f variable. On obtient les oscillogrammessuivants, pour différentes valeurs de f.

L'amplitude de la tension aux bornes de la résistance croît lorsqu'on se rapproche def = f0 = 5 kHz, où elle vaut presque celle de l'entrée. Elle est d'autant lus faible que f s'éloigne de f0.

Le passage de l'amplitude de la tension aux bornes de la résistance par un maximum estappelé résonance.

On observe que pour f < 5 kHz, la tension aux bornes de la résistance est en avance sur latension aux bornes du GBF alors que f > 5kHz, elle est en retard. Les tensions sont en phase pourf = 5 kHz.

3.3.2. Amplitude de l'intensité

L'amplitude de l'intensité est le module de l'amplitude complexe:

I=∣I∣=∣ E /R

1+ jQ( ωω0

−ω0ω )∣⇔ I = E /R

√1+Q2( ωω0

−ω0ω )

2

On cherche les variations de I avec la pulsation ω (ou avec la fréquence car ω=2π f ).


Comportement asymptotique• à basse fréquence ω≪ω0 (mathématiquement ω→0 ), I →0 .

• à haute fréquence: ω≫ω0 (mathématiquement ω→+∞ ), I →0 .

E/R étant un terme constant, I passe par un maximum quand 1+Q2( ωω0

−ω0ω )

2

passe par un

minimum ce qui est obtenu pour

Q2 ( ωω0

−ω

0ω )

2

=0⇔( ωω0

−ω

0ω )

2

=0⇔ ωω0

−ω

0ω =0⇔ ω

ω0=

ω0

ω ⇔ω2=ω02⇔ω=ω0

Résonance en intensité avec Q = 1, ω0 = 5 rad.s-1, E = 5V et R = 50 Ω.

La résonance (passage de l'amplitude par un maximum) se produit donc lorsque le GBFdélivre un signal de pulsation égale à la pulsation propre du circuit. L'intensité maximale vaut

alors I max=ER

et tout se passe comme si la bobine et le condensateur étaient absents: le générateur

se comporte comme s'il était directement branché à une résistance R.

A basse fréquence, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert donc aucuncourant ne circule dans la maille.

A haute fréquence, c'est la bobine qui se comporte comme un interrupteur ouvert donc ànouveau, aucun courant ne peut circuler dans la maille.

3.3.3. Bande passante et acuité de la résonance

La bande passante est l'intervalle de pulsations (ou de fréquences) dans lequel, l'amplitudede l'intensité reste importante, proche de sa valeur maximale. En pratique, on appelle bande

passante l'intervalle de pulsations [ω1, ω2] dans lequel I (ω)≥I max

√ 2:


ω1 et ω2 sont les pulsations de coupure telles que I (ω1)= I (ω2 )=I max

√ 2= E /R

√ 2. Elles

vérifient donc l'équation E / R

√ 1+Q2(ωcω0

−ω0ωc

)2= E /R

√ 2.

On peut montrer que la largeur de la bande passante est donnée par

Δω=∣ω2−ω1∣=ω0

Q= R

L.

Ainsi, un circuit de facteur de qualité élevé présentera une bande passante étroite: larésonance est dite aiguë; le circuit est sélectif, il ne réagit qu'à des excitations de fréquences prochesde sa fréquence de résonance.

Au contraire, un circuit de facteur de qualité faible présentera une bande passante large: larésonance est dite floue; le circuit est peu sélectif, il réagit à une large gamme d'excitations.


3.3.4. Déphasage entre la tension délivrée par le GBF et l'intensité du courant

On a I= E /R

1+ jQ( ωω0

−ω0ω )

= I e jφ avec φ=φi−φe le déphasage du courant par rapport à

la tension délivrée par le GBF.

Ainsi φ=arg ( E /R

1+ jQ( ωω0

−ω0ω )

)⇔−φ=arg (E /R)−arg (1+ jQ( ωω0

−ω0ω )) .

Or arg(E/R) = 0 car E/R est un réel positif donc φ=−arg (1+ jQ( ωω0

−ω

0ω )) .

On en déduit, comme ℜ(1+ jQ( ωω0

−ω

0ω ))=1>0 , φ=−arctan(Q ( ω

ω0−

ω0

ω )) .

A basse fréquence, ω≪ω0 (ou mathématiquement ω→0 ), φ→−arctan (−∞)⇔φ→ π2

.

Le circuit a alors un caractère plutôt capacitif.A h a u t e f r é q u e n c e , ω≫ω0 ( o u m a t h é m a t i q u e m e n t ω→+∞ ),

φ→−arctan (+∞)⇔φ→−π2

. Le circuit a alors un caractère plutôt inductif.

A la fréquence de résonance, ω=ω0 , φ=arctan(0)=0 . Le circuit est alors purementrésistif.

Pour un facteur de qualité élevé, le déphasage varie très rapidement autour de la pulsationpropre et les variations restent localisées autour de la pulsation propre. Au contraire, pour un facteurde qualité faible, les variations du déphasage sont plus lentes et réparties sur un domaine depulsations plus étendu.


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