Lecci´on 15: Derivadas parciales de orden superior · Derivadas parciales de segundo orden f : R2...
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Leccion 15: Derivadas parciales
de orden superior
Introduccion al Calculo Infinitesimal
I.T.I. Gestion
Derivadas parciales de segundo orden
f : R2 → R funcion de dos variables
Las derivadas parciales de f son tambien
funciones de dos variables:
∂f
∂x,∂f
∂y: R2 → R
Derivadas parciales de segundo orden
f : R2 → R funcion de dos variables
Las derivadas parciales de f son tambien
funciones de dos variables:
∂f
∂x,∂f
∂y: R2 → R
Podemos estudiar las derivadas parciales
(respecto de x y respecto de y) de∂f
∂x,∂f
∂y
Derivadas parciales de segundo orden
Derivadas parciales de segundo orden
f : R2 → R,∂f
∂x: R2 → R
Derivada parcial segunda de f respecto de x dos veces:
∂
∂x
(∂f
∂x
)=
∂2f
∂x2
Derivadas parciales de segundo orden
f : R2 → R,∂f
∂x: R2 → R
Derivada parcial segunda de f respecto de x dos veces:
∂
∂x
(∂f
∂x
)=
∂2f
∂x2
Derivada parcial segunda de f respecto de x y respecto de y:
∂
∂y
(∂f
∂x
)=
∂2f
∂x ∂y
Derivadas parciales de segundo orden
f : R2 → R,∂f
∂y: R2 → R
Derivada parcial segunda de f respecto de y dos veces:
∂
∂y
(∂f
∂y
)=
∂2f
∂y2
Derivadas parciales de segundo orden
f : R2 → R,∂f
∂y: R2 → R
Derivada parcial segunda de f respecto de y dos veces:
∂
∂y
(∂f
∂y
)=
∂2f
∂y2
Derivada parcial segunda de f respecto de y y respecto de x:
∂
∂x
(∂f
∂y
)=
∂2f
∂y ∂x
Calculo de las derivadas parciales de segundo orden
f : R2 → R
- Si∂f
∂x,∂f
∂ytienen expresiones diferenciables,
se puede derivar directamente respecto de x y respecto de y
Calculo de las derivadas parciales de segundo orden
f : R2 → R
- Si∂f
∂x,∂f
∂ytienen expresiones diferenciables,
se puede derivar directamente respecto de x y respecto de y
Ejemplo: f (x, y) = cos(x2 ey)
Calculo de las derivadas parciales de segundo orden
f : R2 → R
- Si∂f
∂x,∂f
∂yvienen dadas por funciones a trozos →
definicion de derivada parcial (puntos conflictivos)
Ejemplo: f (x, y) =
x4+y4
x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
∂f
∂x(x, y) =
2x5+4x3y2−2xy4
(x2+y2)2, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
Derivadas parciales de segundo orden
f : R2 → R
1. Hay en total cuatro derivadas parciales segundas de f
Derivadas parciales de segundo orden
f : R2 → R
1. Hay en total cuatro derivadas parciales segundas de f
2. El orden es importante:∂2f
∂x ∂y6= ∂2f
∂y ∂xen general
Derivadas parciales de segundo orden
f : R2 → R
1. Hay en total cuatro derivadas parciales segundas de f
2. El orden es importante:∂2f
∂x ∂y6= ∂2f
∂y ∂xen general
Ejemplo: f (x, y) =
x yx2−y2
x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
∂2f
∂y ∂x(0, 0) = −1,
∂2f
∂x ∂y(0, 0) = 1
Derivadas parciales de orden superior
f : R2 → R, (a, b) ∈ R2
Conclusion: Las derivadas parciales cruzadas segundas
∂2f
∂x ∂y(a, b),
∂2f
∂y ∂x(a, b) no siempre van a coincidir.
Derivadas parciales de orden superior
f : R2 → R, (a, b) ∈ R2
Conclusion: Las derivadas parciales cruzadas segundas
∂2f
∂x ∂y(a, b),
∂2f
∂y ∂x(a, b) no siempre van a coincidir.
(pueden ser distintas incluso si f es diferenciable en (a, b))
Teorema de Schwarz (Igualdad de las derivadas cruzadas):
f : R2 → R, (a, b) ∈ R2
- Existen∂f
∂x,∂f
∂y,
∂2f
∂x ∂yen un entorno de (a, b)
-∂2f
∂x ∂yes continua en (a, b)
⇒
⇒ Existe∂2f
∂y ∂x(a, b) y
∂2f
∂x ∂y(a, b) =
∂2f
∂y ∂x(a, b)
Teorema de Schwarz (Igualdad de las derivadas cruzadas):
f : R2 → R, (a, b) ∈ R2
- Existen∂f
∂x,∂f
∂y,
∂2f
∂x ∂yen un entorno de (a, b)
-∂2f
∂x ∂yes continua en (a, b)
⇒
⇒ Existe∂2f
∂y ∂x(a, b) y
∂2f
∂x ∂y(a, b) =
∂2f
∂y ∂x(a, b)
Nota: No se cumple el recıproco.
Derivadas parciales de orden superior
f : R2 → R funcion de dos variables
Derivadas parciales de tercer orden, de cuarto orden,. . .
∂
∂x
(∂2f
∂x2
)=
∂3f
∂x3
Derivadas parciales de orden superior
f : R2 → R funcion de dos variables
Derivadas parciales de tercer orden, de cuarto orden,. . .
∂
∂x
(∂2f
∂x2
)=
∂3f
∂x3
∂
∂y
(∂2f
∂x2
)=
∂3f
∂x2 ∂y
Derivadas parciales de orden superior
f : R2 → R funcion de dos variables
Derivadas parciales de tercer orden, de cuarto orden,. . .
∂
∂x
(∂2f
∂x2
)=
∂3f
∂x3
∂
∂y
(∂2f
∂x2
)=
∂3f
∂x2 ∂y
∂
∂x
(∂2f
∂x ∂y
)=
∂3f
∂x ∂y ∂x
Derivadas parciales de orden superior
f : R2 → R funcion de dos variables
Derivadas parciales de tercer orden, de cuarto orden,. . .
∂
∂x
(∂2f
∂x2
)=
∂3f
∂x3
∂
∂y
(∂2f
∂x2
)=
∂3f
∂x2 ∂y
∂
∂x
(∂2f
∂x ∂y
)=
∂3f
∂x ∂y ∂x. . .
Ejercicios:
f (x, y) = ex (x + y). Calcular∂nf
∂xn(x, y).
f (x, y) = ex (x2 + y). Calcular∂nf
∂xn(x, y).
f (x, y) =−x
y. Calcular
∂nf
∂yn(x, y).
f (x, y) = ex ey. Calcular∂2nf
∂xn∂yn(x, y).
f (x, y) = ex e2 y. Calcular∂m+nf
∂xm∂yn(x, y).