Leccion 3: Funciones de varias variables

Introduccion al Calculo Infinitesimal

I.T.I. Gestion

Esquema:

- Concepto de funcion de dos variables

- Dominio y conjunto imagen

- Representacion grafica

- Funciones de tres o mas variables

Esquema:

- Concepto de funcion de dos variables

- Dominio y conjunto imagen

- Representacion grafica

- Funciones de tres o mas variables

Recordar:

- Concepto de funcion real de variable real

Concepto de funcion de dos variables

R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} ≡ Parejas de numeros reales

(0, 0), (1, 7), (0, π) ∈ R2

Concepto de funcion de dos variables

R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} ≡ Parejas de numeros reales

(0, 0), (1, 7), (0, π) ∈ R2

Funcion de dos variables:

f : R2 −→ R

(x, y) 7−→ f (x, y)

Concepto de funcion de dos variables

R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} ≡ Parejas de numeros reales

(0, 0), (1, 7), (0, π) ∈ R2

Funcion de dos variables:

f : R2 −→ R

(x, y) 7−→ f (x, y)

Ejemplos:

f (x, y) = x + y2

f (x, y) = x ex2+y − Ln(x− y)

f (x, y) =x2 − y

sin(x y)− e−x y

Funcion de dos variables

f : R2 → R funcion de dos variables

Dominio de f : Subconjunto de R2 al que se le puede aplicar f

(elementos de R2 que tienen imagen por f)

Funcion de dos variables

f : R2 → R funcion de dos variables

Dominio de f : Subconjunto de R2 al que se le puede aplicar f

(elementos de R2 que tienen imagen por f)

Conjunto imagen de f : Subconjunto de R formado por todas

las imagenes que asigna f

Funcion de dos variables

f : R2 → R funcion de dos variables

Dominio de f : Subconjunto de R2 al que se le puede aplicar f

(elementos de R2 que tienen imagen por f)

¿Como determinar el dominio de una funcion?

Funcion de dos variables

f : R2 → R funcion de dos variables

Dominio de f : Subconjunto de R2 al que se le puede aplicar f

(elementos de R2 que tienen imagen por f)

¿Como determinar el dominio de una funcion?

- Funciones definidas mediante polinomios, exponencial, sin, cos

→ no presentan problema: definidas en todo R2

Funcion de dos variables

f : R2 → R funcion de dos variables

Dominio de f : Subconjunto de R2 al que se le puede aplicar f

(elementos de R2 que tienen imagen por f)

¿Como determinar el dominio de una funcion?

- Funciones definidas mediante polinomios, exponencial, sin, cos

→ no presentan problema: definidas en todo R2- Cocientes Denominador distinto de cero

- Logaritmo Argumento mayor que cero

- Raız cuadrada Radicando mayor o igual que cero

Dominio de funciones de dos variables

Ejemplos:

f (x, y) = 5 x2 + 2 x y − ex y2Dom(f ) = R2

Dominio de funciones de dos variables

Ejemplos:

f (x, y) = 5 x2 + 2 x y − ex y2Dom(f ) = R2

f (x, y) =ex−cos(y)

x2 + y2Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}

Dominio de funciones de dos variables

Ejemplos:

f (x, y) = 5 x2 + 2 x y − ex y2Dom(f ) = R2

f (x, y) =ex−cos(y)

x2 + y2Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}

f (x, y) =Ln(x2 + y2)

x2 + y2 + 1Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}

Dominio de funciones de dos variables

Ejemplos:

f (x, y) = 5 x2 + 2 x y − ex y2Dom(f ) = R2

f (x, y) =ex−cos(y)

x2 + y2Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}

f (x, y) =Ln(x2 + y2)

x2 + y2 + 1Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}

f (x, y) =3 ex+y2−1

yDom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y 6= 0}

Dominio de funciones de dos variables

Ejemplos:

f (x, y) = 5 x2 + 2 x y − ex y2Dom(f ) = R2

f (x, y) =ex−cos(y)

x2 + y2Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}

f (x, y) =Ln(x2 + y2)

x2 + y2 + 1Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}

f (x, y) =3 ex+y2−1

yDom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y 6= 0}

f (x, y) =

√cos2(x y)

y − 1Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y > 1}

Dominio de funciones de dos variables

Ejemplos:

f (x, y) = 5 x2 + 2 x y − ex y2Dom(f ) = R2

f (x, y) =ex−cos(y)

x2 + y2Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}

f (x, y) =Ln(x2 + y2)

x2 + y2 + 1Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}

f (x, y) =3 ex+y2−1

yDom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y 6= 0}

f (x, y) =

√cos2(x y)

y − 1Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y > 1}

f (x, y) =√

Ln(x2 + y2) Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : x2+y2 ≥ 1}

Representacion grafica de las funciones de dos variables

Dan lugar a superficies en R3

(Ejecutar archivo representacionesgraficas.mws)

Funciones de dos variables definidas a trozos

f (x, y) =

x3

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

Funciones de dos variables definidas a trozos

f (x, y) =

x3

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

Para hallar las imagenes trozo correspondiente

f (1, 0) = 1, f (0, 1) = 0, f (0, 0) = 0

Funciones de dos variables definidas a trozos

f (x, y) =

x3

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

Para hallar las imagenes trozo correspondiente

f (1, 0) = 1, f (0, 1) = 0, f (0, 0) = 0

f (x, y) =

ex3 − 2 x y

y, y 6= 0

10, y = 0

Funciones de dos variables definidas a trozos

f (x, y) =

x3

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

Para hallar las imagenes trozo correspondiente

f (1, 0) = 1, f (0, 1) = 0, f (0, 0) = 0

f (x, y) =

ex3 − 2 x y

y, y 6= 0

10, y = 0

f (12, 0) = 10, f (2, 2) =e8 − 8

2, f (0, 0) = 10

Funciones de tres o mas variables

Rn = {(x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ R}(1, 0, 3) ∈ R3, (0,−2, 3, 1, 8) ∈ R5

Funciones de tres o mas variables

Rn = {(x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ R}(1, 0, 3) ∈ R3, (0,−2, 3, 1, 8) ∈ R5

Funcion de varias variables:

f :Rn −→ R

(x1, . . ., xn) 7−→ f (x1, . . . , xn) ∈ R

Funciones de tres o mas variables

Rn = {(x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ R}(1, 0, 3) ∈ R3, (0,−2, 3, 1, 8) ∈ R5

Funcion de varias variables:

f :Rn −→ R

(x1, . . ., xn) 7−→ f (x1, . . . , xn) ∈ R

Ejemplos:

f (x, y, z) = x y + ex−3 − z2

f (x, y, z) =x2 y (z − x)

x2 + y2 + z2 + 1

f (x1, . . . , x5) = 2 x1 x43 + Ln(x5)

Ejercicios:

Hallar el dominio de las siguientes funciones:

1. f (x, y) =Ln(x (y − 2))√

x2 + y2

2. f (x, y) =ex2y

x y

3. f (x, y) = Ln(x2 + y2 − 4)

4. f (x, y) =3 x y

x− y2

5. f (x, y, z) =exyz − xyz

x2 + y2 + z2