Lectura 1

Materia: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS II (ANÁLISIS MATEMÁTICO)

Profesor: Mónica Bocco- 1 -

Módulo I: FUNCIONES. FUNCIONES LINEALES y

CUADRÁTICAS Ampliar y profundizar estos conceptos básicos en el texto: Haeussler, E. and Paul, R. Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida. CAPÍTULO 3: Funciones y gráficas 3.1 Funciones. 3.2 Funciones especiales. 3.3 Combinación de funciones. 3.4 Gráficas en coordenadas rectangulares. 3.7 Repaso. Aplicación práctica: Una experiencia con los impuestos CAPÍTULO 4: Rectas, parábolas y sistemas de ecuaciones 4.1 Rectas. 4.2 Aplicaciones y funciones lineales. 4.3 Funciones cuadráticas. 4.7 Repaso. Aplicación práctica: Planes de cobro en telefonía celular



FUNCIONES Si consideramos los conjuntos: A = {a,b,c,d} y B ={10, 20, 30, 40, 50} Podemos establecer una asociación o relación entre sus elementos indicada por las flechas, en el siguiente Diagrama Sagital:

Decimos que: R: A → B x R y si y sólo si “la empresa x tiene y empleados” Definición: Una relación es una correspondencia que asocia elementos de un conjunto A, llamado conjunto de partida de la relación, con elementos del conjunto B, llamado conjunto de llegada. Definición:

* El Dominio de la relación R es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida que están relacionados con, al menos, un elemento del conjunto de llegada.

Dom R ⊆ A * La Imagen de la relación R es el conjunto formado por los elementos

del conjunto de llegada que están relacionados con algún elemento del dominio de la relación.

Imf R ⊆ B

R

10 20 30 40 50

A

a b c d

B



Las relaciones que verifican:

1. Dom R = A 2. Cada elemento del dominio está relacionado con un único elemento

del conjunto de llegada, llamado su imagen.

se llaman: FUNCIONES Definición: Una FUNCION de A en B es una relación que asocia a cada elemento x del conjunto A uno y sólo uno y del conjunto B, llamado su imagen. En símbolos: f : A → B f : x → y o f (x) = y x = variable independiente y = variable dependiente Representación de Funciones • Diagrama Sagital

• Tablas

Dique Nivel del Embalse

Río Tercero 46,56

La Viña 97,49

Cruz del Eje 37,22

San Roque 32,56

Los Molinos 52,55

Piedras Moras 29,20

N M

f

a

b

c

d

1

3

4

2



• Gráficos

• Fórmulas 13)( += xxf 5)( xxg =

22)(

−=

xxxh xxF =)(

Funciones Numéricas Son las funciones que relacionan variables independientes con variables dependientes que pertenecen, ambas, a conjuntos de números. Ejemplo: f (x) = 3 x +1 g (x) = x 3 +3 x

h (x) = 12−x xxF =)(

IMPORTANTE: El dominio de definición de una función numérica, es el mayor subconjunto de números reales (R) para los cuales se puede calcular la imagen por la función. Ejemplo: a) Dominio de f (x) = 3 x +1 es Dom f = R

b) Dominio de g (x) = x 3 +3 x es Dom g = R

x

y = f (x)



c) Dominio de h (x) = 12−x es Dom h = { }1−R

d) Dominio de xxF =)( es Dom F = { } [ )+∞=≥∈ ,00/R xx Funciones Constantes, Crecientes y Decrecientes Definición: * Una función f se dice constante en un intervalo I ⊆ Dom f , si f (x) = c para todo x en el intervalo I. * Una función f se dice creciente en un intervalo I ⊆ Dom f , si x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2) con x1, x2 en el intervalo I. * Una función f se dice decreciente en un intervalo I ⊆ Dom f ,si x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2) con x1, x2 en el intervalo I. Ejemplo: La función )(xgy = cuyo gráfico se presenta a continuación es creciente en el intervalo ( )3,∞− y es decreciente en el intervalo ( )∞+,3

x

)(xg

2 4 1 3 5 –1 –2 –3 – 4 –1

–2

–3

1

2

3

4



Operaciones con Funciones Si f y g son dos funciones, definimos:

1) (f + g) (x) = f (x) + g(x) 2) (f - g) (x) = f (x) - g(x) 3) (f . g) (x) = f (x) . g(x)

4) )()()(

xgxfx

gf

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ si g(x) ≠ 0

Ejemplo: Consideremos dos funciones f y g definidas por las fórmulas:

f (x) = 23−x

y g (x) = x

a) Imagen de x = 5 por la función f + g es (f + g)(5) = f (5) + g(5) = 1 + 5 = 6

b) Imagen de la variable a por la función f + g es (f + g)(a) = f (a) + g(a) =

aa+

−2

3

c) Imagen de x = 1 por la función f . g es (f . g)(1) = f (1) . g(1) = 1.2

31− =

– 1



FUNCIONES LINEALES

Situación- Problema: Un productor coloca en el mercado 5000 productos cuando el precio es de $35 y 3.500 productos cuando cuestan $60. ¿Cuál es la ecuación de oferta de dicho producto que relaciona el precio x con la cantidad demandada y?

En este caso vemos que los valores se ubican sobre una línea recta, las funciones cuyos gráficos son líneas rectas se denominan: Definición: Llamamos función lineal a una función f : R → R , que verifica: f (x) = a x + b o y = a x + b con a y b números reales, llamados parámetros de la función. Gráfico de la Función Lineal 1) f (x) = b o y = b El gráfico de la función lineal by = es una recta horizontal (paralela al eje x) que pasa por el punto ),0( b . 2) f (x) = a x o y = a x

El gráfico de la función lineal xaxf =)( es la recta r determinada por el origen )0,0( y el punto ),1( aA = .

x

y

3500

5000

6035



3) f (x) = a x + b o y = a x + b El gráfico de la función lineal baxy += , es la recta r determinada por los puntos ),0( b y ),1( ba + . IMPORTANTE: * El gráfico de una función lineal es una línea recta.

* La recta que representa a una función lineal queda determinada unívocamente con 2 puntos.

Recordar: NO toda recta es el gráfico de una función lineal Nombre y significado de los Parámetros Definición:

El parámetro a de la función lineal f (x) = a x + b se llama pendiente de la recta e indica la inclinación de la misma. a > 0 a < 0 Recta Creciente Recta Decreciente

x

y

y = a x + b

x

y

y = a x + b



Significado Geométrico de la pendiente:

a = tangente trigonométrica del ángulo α que forman la recta con el sentido positivo del eje x (medido en sentido antihorario)

Definición:

El parámetro b de la función lineal f (x) = a x + b se llama ordenada al origen de la recta e indica el punto donde la recta corta al eje y. Pendiente de la Recta que pasa por dos puntos conocidos Si conocemos (x1 , y1) y (x2 , y2) que pertenecen a la recta de ecuación f (x) = a x + b entonces se verifica que:

12

12xxyya

−−

=

x

y

y = a x + b

α

x

y

x1 x2

y1

y2



Paralelismo y Perpendicularidad de Rectas Propiedad 1: Las rectas r 1 de ecuación y = a x1 + b1 y r 2 de ecuación y = a x2 + b2 son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales, es decir: r 1 // r 2 si y sólo si 21 aa = Propiedad 2: Las rectas r 1 de ecuación y = a x1 + b1 y r 2 de ecuación y = a x2 + b2 son perpendiculares si y sólo si sus pendientes son inversas y de signo contrario, es decir

r 1 � r 2 si y sólo si 2

11

aa −=

Ejemplo: Un productor coloca en el mercado 5000 productos cuando el precio es de $35 y 3500 productos cuando cuestan $60. ¿Cuál es la ecuación de oferta de dicho producto que relaciona el precio x con la cantidad demandada y si la misma sigue un modelo lineal? Para esta función conocemos dos puntos de la misma: (35, 5000) y (60, 3500) entonces podemos encontrar el valor de la pendiente:

60251500

356050003500

12

12 −=−

=−−

=−−

=xxyy

a

Con lo cual la ecuación de la función lineal de oferta verifica: bxxf +−= 60)( Para encontrar la ordenada al origen, como conocemos que el par (35, 5000) es un punto de dicha función planteamos:

500035.60)35( =+−= bf y despejando 7100=b Entonces la función de oferta f que indica para cada precio x el número de unidades y es:



710060)( +−= xxf

Para pensar: ¿La función es decreciente o creciente? ¿por qué? Si se regalaran los productos, ¿qué demanda tendríamos? ¿Cuál es el Dom f para este problema?



FUNCIONES CUADRÁTICAS Situación- Problema: La función que relaciona el precio con las unidades demandadas es:

p = 9000 – 2x p = precio por unidad x = Nº de unidades demandadas ¿Qué nivel de demanda maximizará el ingreso total? ¿a cuánto ascenderá dicho ingreso?

Ingreso Total = Precio . Cantidad

I (x) = p . x

I (x) = (9000 – 2 x) . x

I (x) = -2 x2 + 9000 x

En esta situación la variable independiente x aparece afectada por una potencia (x2) este tipo de funciones se denominan: Definición: Llamamos función cuadrática a una función f : R → R que verifica: f (x) = a x2 + b x + c con a , b y c son números reales, llamados parámetros de la función y a ≠ 0 a: término cuadrático (a ≠ 0) b: término lineal c: término independiente



Gráfico de la Función Cuadrática: La Parábola Significado de los parámetros de la Función Cuadrática: I) El término cuadrático: a

a > 0 La parábola tiene “ramas hacia arriba” La función tiene un mínimo en el vértice.

a < 0

La parábola tiene “ramas hacia abajo” La función tiene un máximo en el vértice.

II) El término lineal: b b → desplazamiento horizontal → Vértice (x v , y v)

En los ejes 2, xayyx =→

y = f (x)

x

ramas

vértice Eje de simetría

•

y

x

x

y

P •

x v

y v

•

•

f (x) = a x2 + b x + c

•



En los ejes cxbxayyx ++=→ 2,

Un punto ),(),( yxyxP == → ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

v

v

yyy

xxx

2

2

)( vv xxayy

xay

−=−

=

( )22 2 vvv xxxxayy +−=−

vvv yxaxxaxay ++−= 22 2

Y por otro lado debe ser cxbxay ++= 2

bxx v =− 2 → abx v 2

−=

Así obtenemos el valor que tiene el vértice. Vértice de la Función Cuadrática:

(x v , y v) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

vyab ,

2

con )( vvv xfxacy =−=

III) El término independiente: c

f (x) = a x2 + b x + c → f (0) = c El valor de c indica el punto donde la parábola corta al eje y

Intersección de la Parábola con los Ejes Coordenados Eje y : Par ordenado (0, c) Eje x : a x2 + b x + c = 0 Ecuación Cuadrática



Las soluciones o raíces de la ecuación cuadrática a x2 + b x + c = 0 están dada por :

acabb

x2

422,1

−±−=

Discriminante: D = b 2 – 4 a c

D > 0 D = 0 D < 0 (2 raíces) (1 raíz) (Sin raíces reales)

Ejemplo: La función que relaciona el precio con las unidades demandadas, para p = precio por unidad y x = Nº de unidades demandadas es:

p = 9000 – 2x

Si el ingreso total (en $) está representado por xxxI 90002)( 2 +−= ¿Qué nivel de demanda maximizará el ingreso total? ¿a cuánto ascenderá dicho ingreso?

Como esta función es una función cuadrática con término cuadrático negativo, entonces el máximo ingreso se producirá en el valor del vértice. Por esto debemos encontrar:

250.2)2(2

90002

=−

−=

−=

abx v

Así, cuando se demanden 2.250 unidades del producto se obtendrá el máximo ingreso y lo que percibirá la empresa por el mismo será:

000.125.102250.90002250.2)( 2 =+−== vv xfy $

y

x • x1 = x2

y

x • • x2 x1

•

y

x •

x2 x1



Gráficamente observamos:

Para pensar: ¿Cuál es el Dom I (x)? ¿En qué intervalo la función es creciente? ¿qué nos indica en la situación planteada? ¿Cómo se obtuvo el x = 4500 que aparece en el gráfico? ¿Por qué la función pasa por el par ordenado (0,0)? ¿qué nos indica en la situación planteada?

•

x

I(x)

2250

10.125.000

50004500

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