Lectura 5 - Modelos de líneas de espera

7/22/2019 Lectura 5 - Modelos de lneas de espera

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Materia: Herramientas Matemticas VI - Modelos de simulacinProfesor: Ing. Jorge H. Cassi

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Unidad 4: Modelos de lneas de esperaIntroduccin

Los modelos de lnea de espera no pretenden resolver problemas; ms bien, describen elsistema de lnea de espera al calcular las caractersticas de operacin de la lnea.

Caractersticas generales de los modelos:

Descriptivos ms que normativos Estocsticos (muchos parmetros no se conocen con certidumbre) Se trabaja con distribuciones de probabilidades Estticos y no lineales (se suponen que los parmetros no varan con el tiempo) Las caractersticas de operacin no son proporcionales a los cambios de los

parmetros del modelo.

4.1. Caractersticas de un fenmeno de espera.El fenmeno se caracteriza por dos elementos fundamentales:

I Arribos de clientes al sistema (en general aleatorio),IIServicios del sistema (en general aleatorio).

Nota: podra ocurrir que tanto los arribos como los servicios no fuesen aleatorios sino que sepueden determinar los intervalos de tiempos que separan arribos y/o servicios del siguiente.

4.2. Clasificacin de los sistemas de espera.Los sistemas se clasifican en:

1)- De etapa nica

De servicio nico .S (M/M/1)

De servicios mltiples- cola nica ...S1

.S2 (M/M/S)(M/M/3)

...S3


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- 2 -

- colas paralelas ...S1

...S2 (Cada una opera como un M/M/1)

..........S3

2)- De etapa mltiple (etapa no estudiada en nuestra asignatura)

Ingreso al sistema Salida

........... S1 S2 Sn ...

4.2.1. Tipos: M/M/1; M/M/S; M/D/1; G/G/1 Notacin de Kendall).La notacin de Kendall es un cdigo para decidir el tipo de sistema de espera que se estestudiando.

La notacin de Kendall describe:

Cdigo A / B / C donde A= arribosB= serviciosC= cantidad de servicios

A y B pueden tomar valores:

M= Markovianos (aleatorios: los sucesos carecen de memoria de eventos pasados)D= Determinstico (los sucesos ocurren de forma constante y sin cambios)G= General (de cualquier tipo)

4.3. Anlisis de lneas de espera Markovianos tipo M/M/1 y M/M/S.Hiptesis del modelo:

a) poblacin infinitab) arribos individuales (no grupales)c) Atencin por orden de llegadad) No hay abandono de la cola de esperae) Hay suficiente espacio para albergar la colaf) La probabilidad de que se produzcan neventos (arribos o servicios) no depende

del instante inicial en que se estudia el fenmenog) La probabilidad de que se produzcan z o ms eventos simultneos (arribos o

servicios) es despreciable


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h) La probabilidad de que se produzca un evento en un tiempo t , es proporcional a

t

P1( t ) = t (arribos)

P1( t ) = t (servicios)

i) Los servicios del sistema son indistinguibles (tienen todos la misma eficiencia)

4.3.1. Distribucin de probabilidades de arribos al sistema de tipoPoisson.Las llegadas sern aleatorias en cualquier caso en el que cada una de ellas no afecte a las otras.

Si se conoce el nmero promedio de ocurrencias por perodo, se pueden calcular lasprobabilidades acerca del nmero de eventos que ocurrirn en un periodo determinado utilizandoPoisson:

P(n llegadas en un periodo t) =( )

!

t ne t

n

En otras palabras nos describe cul es la probabilidad de que se produzcan n arribos en unperodo t, donde la variable aleatoria es n.

Por ejemplo:

Si = 3 arr/min. y nos preguntamos cul es la probabilidad de qu ingresen 0, 1, 2, 3,4, clientes en un lapso t de 2 minutos, ser:

3 2 06

0

(3 2)(2 ) 0, 0025 0, 25%

0!

xe xp e

3 2 1

1

(3 2)(2 ) 0, 015 1,5%

1!

xe xp

3 2 2

2

(3 2)(2 ) 0, 045 4,5%

2!

xe xp

3 2 3

3

(3 2)(2 ) 0, 089 8,9%

3!

xe xp

3 2 4

4

(3 2)(2 ) 0,134 13, 4%

4!

xe xp


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3 2 5

5

(3 2)(2 ) 0,16 16%

5!

xe xp

3 2 6

6

(3 2)(2 ) 0,16 16%

6!

xe xp

3 2 7

7

(3 2)(2 ) 0,14 14%

7!

xe xp

3 2 8

8

(3 2)(2 ) 0,10 10%

8!

xe xp

3 2 9

9

(3 2)(2 ) 0, 07 7%

9!

xe xp

Grficamente se puede observar la distribucin de probabilidades de Poisson:

Es interesante observar que:

La mxima probabilidad est centrada en n = 5, 6 arribos/min y esto sucede porque = 3 arr./min,

la media en_

3 2 min 6min

arrn t arribos

n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


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4.3.2. Distribucin de probabilidades acumuladas de servicios delsistema tipo exponencial.Al igual que con las llegadas aleatorias, los tiempos de servicios carentes de memoria sedescriben a travs de una distribucin de probabilidad. La diferencia es que en estos ltimos ladistribucin es continua (las llegadas de Poisson son discretas).

Si la duracin de los tiempos de servicios es aleatoria, se utiliza la distribucin exponencialnegativa.

Si es la tasa de promedio de servicio (el inverso del tiempo promedio de servicio), ladistribucin est dada por:

.( ) tf t e

Para calcular la probabilidad de que el servicio sea ms prolongado que alguna duracinespecificada de tiempo t:

( )

T

t TP e

Por ejemplo:

Cul es la probabilidad acumulada de qu los servicios del sistema demoren un tiempo tmayor a un cierto valor T, si = 2 serv./mim.?

2 0

( 0 ')1x

tep

2 0,5

( 30'')0,37 37%x

tep

2 1

( 1')0,135 13,5%x

tep

2 2

( 2 ') 0, 018 1,8%x

t ep

Grficamente podemos visualizar la distribucin de probabilidades exponencial negativa obtenidade los clculos anteriormente realizados:

P(t > T)

1


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4.3.3. Anlisis de las leyes de distribucin de clientes en el sistema deespera para ambos casos, M/M/1 y M/M/S.M/M/1

Consideraciones:

o Llegadas aleatorias nicas (Poisson)o Tiempo de servicio aleatorios (Distribucin exponencial negativa)o Situacin de estado estacionarioo Un solo canal de servicioo Poblacin que llega infinitao

Espacio de espera infinitao Primero en llegar, primero en ser atendido (First In First Out - FIFO -)o No hay rechazo ni abandono

Caractersticas

- = tasa promedio de arribos- = tasa promedio de servicio

La relacin de ambas SIEMPRE debe ser , de lo contrario el sistema colapsa.

Es el TRFICO. Es la fraccin promedio de tiempo que el sistema est

ocupado, o tambin el nmero promedio de unidades que estn siendoatendidas en cualquier momento.

En trminos de probabilidad:

( )WP

Probabilidad de que el sistema est ocupado.

M/M/S


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Consideraciones:

Valen las mismas consideraciones que en M/M/1, a diferencia que ahora existe UNA SOLA FILAy MLTIPLES SERVICIOS con la misma tasa de servicio.

Caractersticas

- = tasa promedio de servicio para cada uno de los canales S.

- Ahora: S para evitar una acumulacin infinita de lneas.

- ( ) ( )W P n SP Probabilidad de que el sistema est ocupado.

4.3.4. Parmetros estadsticos de decisin: nmeros medios declientes en el sistema y en espera, tiempos medios de espera, nmeromedio de servicios ociosos. Probabilidad de espera en colas.M/M/1

Nmero promedio de unidades que estn siendo atendidasen cualquier momento.

( )WP


( )( ) 1 WO PP Probabilidad de ociosidad (cuanto ms se acerca a 1 es ms lo que el sistema

est ocioso que lo que est trabajando)

( )( ) ( )n

OW PP Probabilidad de que haya n unidades en el sistema.

( )

( )

!

T n

n

e T

n

P

Probabilidad de que se produzcan n arribos en un tiempo T.

qL L Nmero promedio de unidades que se encuentran en el sistema; esperando para

ser o siendo atendidas.

2

1Lq

Nmero promedio de unidades que se esperan ser atendidas.

LW

Tiempo promedio que la unidad transcurre en el sistema. O tambin, tiempo

transcurrido entre el tiempo de espera y el que se es atendido.


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LqWq

Tiempo promedio en que una unidad tiene que esperar antes de ser atendida.

1

Tiempo de servicio. O tambin se utiliza para saber cada cunto se producen los servicios .

0P Ociosidad.

Ejemplo:

Realicemos un ejercicio con los parmetros estadsticos para un caso M/M/1

Consideremos un sistema M/M/1que tiene una tasa de arribo de 10 arrhora

y una tasa de

servicio de 0,25min.

serv . Calcule:

1. Los tiempos medios de separacin entre arribos y servicios2. Los parmetros estadsticos decisin para este tipo de sistema

1.1 1

6min10

arrt hora

y1 1

min 4min0,25

servt

2.

1010 260min

0,6630,25 0,25min

min

arrarr

arr arr hserv serv serv serv

0

2 11 1 0, 33 33,33%

3 3p

2 0,66 66,66%3w

p

2

2 2

431,33 .

21 31

3

q unidL

4 22 .

3 3qL unidL


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4

3 0,133 8 min .10

q

q horas horas

LW

20, 2 12 min.

10

LW horas horas

0

0,33 estaciones ociosasp

1 14

min0,25min

servtserv

M/M/S

( ) ( )!( )

S

W OPS S

P


1

( )

0

1 11

! !

n Sn S

O

n

SP

n S S

Una forma ms sencilla de encontrar P(o) es a

travs de la tabla (Ver pginas 12 y 13 del siguiente material o Anexo bibliografa bsica).

( )WS

Lq P

Nmero promedio de unidades que esperan ser atendidas.

( )WS

L P

Nmero promedio de unidades que se encuentran en el sistema (esperan

ser atendidas ms las que estn siendo atendidas)

( )

1W

Lq

P SWq

Tiempo promedio que una unidad tiene que esperar antes de ser

atendida.

( )

1W

LP

SW

Tiempo promedio de unidades en el sistema.

.!

n

on Pn

P (1


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S Ociosidad. Si >S el sistema colapsa.

Ejemplo:

Considere un sistema M/M/2 cuya tasa de arribos es = 22,5 arr/hora y la tasa de servicios =15serv/hora.

Calcule los parmetros estadsticos para este sistema.

22,51,5

15

arrh arr

servservh

00,1429 ( . 12 13 , )valor que seobtiene por tabla ver pgs y o Anexo Bibliografa Bsica Davisp

21,5 2 0,1429

0.643 64,3%! 2! 2 1,5

s

o

w

S

S S

pp

1,50.643 1, 93 .

2 1, 5q wunid

S pL

1, 93 1, 5 3, 43 .qL unidL

1,930, 086 5,15 min .

22,5

q

q hora hora

LW

3,430,152 9,15 min .

22,5

LW hora hora

2 1,5 0,50S estaciones ociosas

Una vez mostrado con ejemplos el clculo de los parmetros estadsticos de los sistemas M/M/1y M/M/S, la pregunta que correspondera hacernos es, en qu radica la importancia de obtenerel valor del trfico, ?

Segn el valor que obtenemos del trfico, nos indica la cantidad de puesto de servicios quenecesitamos para que el sistema trabaje en forma ptima.

Por ejemplo, observemos los siguientes casos:

1) Si el trfico fuera = 0,89 hace falta un slo puesto de servicio para que el sistema no

colapse.


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2) Si el trfico fuera = 2,90 nos hace falta tres puestos de servicios para que el sistemano colapse, es decir el nmero entero posterior.

3) Si el trfico fuera = 2,10 nos hace falta tres puestos de servicios para que el sistemano colapse.

Tenga cuidado tanto para el caso 2) como para el 3) ambos se resuelven con 3 puestos deservicios, pero cul es ms eficiente?

En el caso 2) tenemos una ociosidad en el sistema del 10%, en tanto caso 3) la ociosidad es deun 90%.

En sntesis, el da de maana que Usted tenga que decidir cuntos puestos de servicios activar,deber tener en cuenta la ociosidad del sistema. Muchas veces es preferible tener una cola

razonable y no tiempos ociosos, pero todo depender de Usted, recuerde que este modelo esdescriptivo.

Tabla que proporciona el valor de Po


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