Ministerio de Educación Programa Chilecalifica Unidad 2: Función, función lineal y afín Contenido: Función afín

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Lectura 9: Función Lineal Afín

Rigoberto Becerra Guido Montecinos

Juan Silva Fidel Oteiza

Gustavo Rodríguez

En esta oportunidad, la idea es generar situaciones que puedan ser resueltas por medio de un modelo de función lineal afín. A diferencia de la función lineal, éste tipo de función tiene la cualidad que el origen del sistema de coordenadas (0, 0), no satisface las representaciones de las distintas situaciones, y en forma gráfica posee un desplazamiento o traslación en dirección vertical al origen del sistema de coordenadas. A continuación se muestran distintas situaciones que se pueden modelar por una función lineal afín, haciendo uso de la estrategia metodológica propuesta en la unidad 1. Situación 1: La facturación de los servicios básicos

Los consumos de algún tipo de servicio básico, como por ejemplo la luz, el agua, el gas natural o de cañería, el teléfono, etc. Presentan un cargo fijo ya sea por emisión de boleta o por arriendo de algún tipo de medidor, con esto la situación presenta una constante la cual puede ser modelada por una función lineal afín. La factura de la electricidad incluye un monto fijo ($ 2.500, por ejemplo), que se cobra haya o no consumo, y una cantidad ($ 120, por ejemplo), por cada KW (Kilowatt), consumido. Así, la estructura de la cuenta de electricidad es parte con un valor al que se agrega el producto del consumo en KW por el valor del KW.

El consumo de Kw mensual en un hogar, sería el siguiente:

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N° de KW Cobro mensual

0 2500

1 2500+120

2 2500+2*120

3 2500+3*120

4 2500+4*120

5 2500+5*120

6 2500+6*120

7 2500+7*120

8 2500+8*120

9 2500+9*120

Representando la situación del consumo en forma gráfica obtenemos:

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 2 4 6 8 10

Nº de KW consumidos en un mes

Mo

nto

a c

an

ce

lar

po

r co

nsu

mo

Observaciones: a. La recta que contiene los puntos obtenidos en la tabla de valores,

intersecta al eje Y en el punto (0, 2.500).

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b. La recta forma un ángulo agudo con respecto al eje X., en su sentido positivo.

c. La recta no pasa por el origen, punto (0, 0).

El modelo matemático que representa la solución algebraica a la situación del consumo de electricidad es:

y = 120x + 2500

Donde, x: Número de KW consumidos en un mes y: Monto a cancelar por consumo.

Encontrar el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente. Situación 2: Estiramiento de un resorte

A continuación se presenta un ejemplo adaptado de la ley de Hooke presentada anteriormente, con la finalidad de ser resuelto por medio de un modelo lineal afín. Un estudiante de mecánica se encuentra experimentando con un resorte cuya longitud es de 10 cm. Al colocar una pesa de 500 gr el resorte alcanzó una longitud de 10,5 cm. ¿Cuál es la longitud total que alcanza el resorte con una pesa de 17,5 kg?

Imagen adaptada de sitio

web Experimentar

La experimentación del estudiante estaría representada por:

Peso en gr Longitud total

0 10 500 10,5 1000 11 1500 11,5 12,5

3000 a b

Representando en forma gráfica la experimentación del estudiante de mecánica, se obtiene.

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4

0

2

4

6

8

10

12

14

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Peso en gr

Lo

ng

itu

d t

ota

l

Observación: a. La recta que contiene los puntos obtenidos en la tabla de valores, intersecta al

eje Y en el punto (0, 10). b. La recta forma un ángulo agudo con respecto al eje X en su sentido positivo. c. La recta no pasa por el origen, punto (0, 0). El modelo algebraico de la situación del estudiante de mecánica esta representado por:

y = 1000

x+ 10

donde, x: El peso en gramos que sostiene el resorte. y: La longitud total que alcanza el resorte.

Encontrar el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.

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Situación 3: ¿cuánto vale la medida de sus lados?

El perímetro de un paralelogramo es 56 cm. Calcular la medida de uno de sus lados en función del otro.

Tabulemos la situación en una tabla de doble entrada, considerando como x e y la medida de sus lados.

x (cm) y (cm) 1 27 2 26 3 24 6 22 a b

Representación gráfica de los valores obtenidos en la tabla.

0

4

8

12

16

20

24

28

32

0 1 2 3 4 5 6 7x (cm)

y (cm)

Observaciones: a. La recta que contiene los puntos obtenidos en la tabla de valores, intersecta al

eje Y en el punto (0, 28). b. La recta forma un ángulo obtuso con respecto al eje X en su sentido positivo. c. La recta no pasa por el origen, punto (0, 0). Modelando la solución algebraica de la situación del paralelogramo se tiene:

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2x + 2y = 56 x + y = 28 y = −x + 28

Considerando el lado y en función del lado x. Encontrar el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente. Una vez que los estudiantes han trabajado una variedad de situaciones y analizados el comportamiento de las gráficas, es recomendable formalizar las características que posee esta función.

Características de la función lineal afín

En resumen, si m > 0, entonces la función es creciente. Demostración: sea x1 < x2 /m mx1 < mx2 /+ n mx1 + n < mx2 + n

⇒ y1 < y2 Luego, y = mx + n, m > 0, es creciente, es decir, la recta sube de izquierda a derecha.

Si m < 0, entonces la función es decreciente. Demostración: sea x1 < x2 /m mx1 > mx2 /+ n mx1 + n > mx2 + n

⇒ y1 > y2 Luego, y = mx + n, m < 0, es decreciente, es decir, la recta baja de izquierda a derecha. En la función lineal afín y = mx + n, gráficamente observamos un conjunto de puntos que forman una línea recta que a diferencia de las funciones lineales no pasa por el origen de coordenadas es decir, n es distinto de cero (n ≠ 0). Siguiendo desde el punto de vista gráfico, el valor n nos indica el valor de la ordenada donde la recta intersecta al eje Y. Esta constante matemáticamente se denomina coeficiente de posición.

Después de conocer algunas de las características que posee la función lineal afín, un caso particular de ésta es la “función constante”, ya que esta función se presenta cuando la pendiente de la ecuación y = mx + n es igual a cero, es decir, es una recta paralela al eje de las abscisas (X).

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Situación 4: Mantenga la velocidad

Un automóvil sube una cuesta por un camino de tierra con poca inclinación, con una rapidez constante de 50 km/hr para no sufrir ningún tipo de accidente. En este caso tenemos que la rapidez (y) en función del tiempo (x) está dada en la siguiente forma.

Tiempo (hrs)

Rapidez (km/hr)

1 50 2 50 3 50 6

La representación gráfica de la rapidez del automóvil por el camino transcurrido un periodo de tiempo.

Donde, x: tiempo en horas

y: rapidez en km./hr. El modelo algebraico de la situación es:

y = 50 Teniendo un ejemplo como este, pregunte a sus estudiantes qué valores puede tomar la variable independiente y qué valores puede tomar la variable dependiente.

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Existen ciertas situaciones que no son descritas en su totalidad por una función lineal, pero pueden ser ajustadas por un modelo lineal, encontrando rectas que se aproximen a su representación. Por esta razón existirán varias soluciones a la situación que se presente. Situación 5: Los grillos y sus chirridos

Los grillos chirrían con mayor frecuencia a mayores temperaturas y con menor frecuencia a menores temperaturas. Por consiguiente, el número de chirridos es una función de la temperatura.

Los siguientes datos se reunieron y fueron registrados en una tabla.

Temperatura ºC 6 8 10 15 20 Número de chirridos por minuto

11 29 47 75 109

¿Podemos predecir el número de chirridos por minuto para una temperatura de 18 ºC? Si una ecuación lineal se ajusta razonablemente bien a los datos, podríamos utilizar una función lineal afín como un modelo matemático de la situación. En tal caso, podemos usar el modelo (la función lineal afín) para hacer predicciones. Utilizar los datos reunidos en la tabla para predecir el número de chirridos por minuto cuando la temperatura es de 18 ºC. (Problema extraído de Álgebra, trigonometría y geometría analítica, Smith y otros, 1998, p. 154) Entiende el problema Pregunta: ¿Puede ajustarse una función lineal a los datos? De ser así, ¿cuál será el número aproximado de chirridos por minuto correspondiente a una temperatura de 18ºC? Datos: los grillos chirrían 11 veces por minuto a 6ºC, 29 veces a por minuto a 8ºC, y así sucesivamente, tal como se indica en la tabla. Desarrolla y lleva a cabo un plan

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0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20 25

Grados Celsius

Nú

me

ro d

e c

hir

rid

os

po

r m

inu

to

En primer lugar, trazamos una gráfica de los datos para determinar si una función lineal afín proporciona un buen ajuste. Hacemos una gráfica con eje X (temperatura) y un eje Y (chirridos por minuto), y representamos los datos. Podemos ver que se encuentran aproximadamente sobre una recta. Por consiguiente, podemos utilizar una función lineal afín para modelar la situación. La recta se coloca de forma que algunos puntos están por encima y otros por debajo de ella, de modo que cada punto se encuentre cerca de la misma. Podemos utilizar dos de los puntos dados que se encuentran cerca de la recta para encontrar una ecuación. Escogemos los puntos (6, 11) y (20, 109), pues la recta por ellos es muy cercana a la recta que queremos ajustar sobre el dominio de datos. Tenemos que tener presente que existen más puntos que pueden ser escogidos para encontrar la ecuación.

Nota: se puede utilizar el ejemplo para mostrar cómo se determina la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados. Al estar trabajando sobre un modelo ajustado a una función lineal afín, tracemos una recta que pase por los puntos y tomemos un punto (x, y) cualquiera sobre la recta para formar dos triángulos semejantes y así poder encontrar la ecuación de la recta que modela esta situación.

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Utilizando el teorema de Thales, en la semejanza de triángulos se construye la proporción tomando los dos triángulos semejantes formados anteriormente, con lo que nos queda:

98

11y

14

6x −

=

−

Resolviendo

31x7y

y14434x98

154y14588x98

)11y(14)6x(98

−=

=−

−=−

−=−

Donde “y” en el número de chirridos por minuto y “x” es la temperatura en grados Celsius. Utilizando la ecuación encontramos que cuando t = 18, C = 7(18) – 31 = 95. Cuando la temperatura es de 18 ºC, los grillos chirrían unas 95 veces por minuto. La respuesta es razonable pues 95 se encuentra entre 47 y 109, y es más cercano a este último número. De ejemplo anterior podemos ver que mediante el teorema de Thales para triángulos semejantes se obtiene la ecuación de la recta si se conocen dos puntos de ella.

Ecuación de la recta dado dos puntos La fórmula que nos permite encontrar la ecuación de la recta dado dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) pertenecientes a ella, es de la forma:

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11

)xx(xx

yyyy 1

12

121 −

−

−

=−

A continuación se propone que desarrolle la situación planteada en el documento “introducción a la función lineal y afín” con sus alumnos una vez que ellos ya hayan trabajado construyendo el conocimiento, este puede ser un ejemplo para el trabajo de los conocimientos adquiridos a modo de proyecto sin ser este uno. Actividad de trabajo con los alumnos

El tabaco y el cáncer En Chile, durante la última década, ha fallecido un promedio de mil personas anualmente a causa del tabaco. Es una cantidad muy alta de muertes por este motivo. Es superior al total de los decesos debidos al consumo de alcohol u otras drogas, a los homicidios, a los suicidios, accidentes de avión, envenenamientos, incendios y ahogados. Pero no solo las personas que fuman se hacen daño. Quienes conviven con ellas sufren diversos síntomas como: tos, infecciones, problemas pulmonares y son susceptibles al cáncer Los 10 mitos del consumo de cigarrillos. A estas personas se les denomina fumadores involuntarios. (Matemática Aplicada, Riera, 1999, p. 258)

En la siguiente tabla, se aprecian algunos de los resultados de un estudio sobre la relación entre el hábito de fumar y el cáncer del pulmón. La primera fila muestra el número promedio de cigarrillos fumados por día y la segundo presenta la correspondiente tasa de mortalidad por cada 100.000 personas debida al cáncer pulmonar. (Matemática: Razonamiento y Aplicaciones, Miller y otros, 1999, p. 400)

Cigarrillos/día Muertes/100.000 0 30 5 132 15 256 30 447 45 606

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Observe que la gráfica no pasa necesariamente por los puntos, es una aproximación, luego podrían existir diferentes soluciones, las que serán más o menos adecuadas de acuerdo al punto que se evalué.

Indicaciones: Forma un grupo con 3 compañeros más y realiza los pasos siguientes. 1. Grafiquen los datos que se presentan en la tabla anterior. 2. Escojan un par de puntos en el gráfico. 3. Determinen la pendiente de la recta que une esos dos puntos. 4. Encuentren la ecuación de la recta que pasa por los puntos escogidos. 5. La función que se encontró en el punto 4 es una aproximación del modelo afín

que describe los datos. Evalúen para algunos valores en particular de x, como x = 20; x = 25; etc., y comparen el resultado con la cantidad de muertos en la tabla. ¿Por cuánto discrepa su aproximación y la cantidad real?

6. Comparen la ecuación obtenida por ustedes con otros grupos de compañeros. ¿Obtienen resultados semejantes? ¿A qué se debe esto?

Evaluación A continuación resuelva los ejercicios propuestos siguiendo las pautas anteriores en la modelación de la solución. 1. El consumo eléctrico esta facturado de la forma siguiente, $1550 como cargo fijo

y $124 por cada Kwh. Confeccionar una tabla de valores y representarla gráficamente. Obtener la expresión algebraica de la función como solución algebraica. ¿Qué nos indica m y n en este caso?

2. Una amasandería produce desde el 1° de enero al 21 de marzo, un total de

18.000 kg. de pan. Supongamos que mantiene este ritmo de producción el resto del año. Confeccionar una tabla de doble entrada y graficar, Expresar la cantidad de kilos de pan producidos en términos del número de días trabajados, considerando que trabajan los siete días de la semana.

3. Una pelota esta inflada de tal forma que en cada rebote pierde 25 cm de la

altura alcanzada en el rebote anterior, si cae desde 2,5 m. Expresar la altura alcanzada por la pelota en función del número de rebotes, siguiendo las pautas anteriores en la modelación de la solución.