LecturaCALCULO 1

7/18/2019 LecturaCALCULO 1

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Calculo 1.

Lectura No. 13. La nocion de continuidad.

Hugo E. Zamora C.



Calculo 1. Lectura No. 13. La nocion de continuidad. Continuidad de una funcion en un punto y en un intervalo

Seccion 1: Introduccion

Gran cantidad de fenomenos fısicos se caracterizan por ser continuos en el tiempo, es decir, los cambios que sedan en el interior de sus procesos, o sea en las cantidades que los caracterizan, no son de grandes sobresaltos. Estehecho hace que las percepciones que se toman de los cambios que se dan en las cantidades asuman la continuidaddel evento. Por ejemplo, un cambio en la temperatura ambiente se da gradualmente y lo percibimos por la intuicionque tenemos de continuidad del fenomeno.

Se propone una mirada a las condiciones de continuidad de una funcion tanto en un punto, como en un intervalocon objeto de caracterizar desde la disciplina el sentido de la noci on especificada.

Seccion 2: Continuidad de una funcion en un punto y en un intervalo

En el estudio de las nociones basicas de lımites se afirmo que si P es un polinomio, entonces lımx

→a

P (x) = P (a). La

figura ?? ilustra la situacion. Note que al pasar por x = a la grafica de la funcion no experimenta un sobresalto, esdecir se percibe una sensacion de continuidad en el trazo. De manera informal se afirma que P es continua en x = a

Figura 1: Continuidad de una funcionFigura 2: Continuidad de una funcion.

Tres hechos matematicos posibilitan asegurar que efectivamente f es continua en x = a.

1. f (a) existe.

2. lımx→a

f (x) existe.

3. lımx→a

f (x) = f (a)

Los tres hechos mencionados se resumen en la afirmacion: f funcion es continua en x = a si lımx→a

f (x) = f (a).

Notese que para la situacion de la funcion polinomica del ejemplo esto es cierto, por lo tanto se asevera que P

es continua en x = a.

Mediante la figura ?? se hace una aproximacion intuitiva a la discontinuidad en un punto y a la continuidaden intervalos. Una observacion sobre la grafica de g conduce a las siguientes afirmaciones:

1




Se tiene que g(a) existe ya que g(a) = T . Asimismo lımx→a

g(x) existe pues lımx→a

g(x) = L. Pero lımx→a

g(x) = g(a)

por lo tanto g no es continua en x = a.

Como g(b) no existe, se afirma que g no es continua en x = b

Se observa en la grafica que g(c) = M , pero lımx

→c

g(x) no existe, puesto que lımx

→c+

g(x) = M y lımx

→c−

g(x) = L

En consecuencia g no es continua en x = c.

Notese que para cada punto k en (a, b) se tiene que lımx→k

g(x) = g(k). Se asegura entonces que g es continua

en (a, b).

El analisis de la continuidad de g en [c, d] se realiza ası: De acuerdo con lo afirmado en la ultima observaciong es continua en(a, b). Se advierte que lım

x→c+g(x) y lım

x→d−g(x) existen. De estas afirmaciones (que constituyen

el criterio de determinacion de continuidad de una funcion en un intervalo cerrado)se concluye que g escontinua en [c, d].

Finalmente se observa en la grafica de la funcion g que para x = a y x = b es posible redefinir sus imagenesde tal forma que g sea continua en dichos puntos. Esta situacion es posible debido a que lım

x→a

g(x) y lımx→b

g(x)

existen. Se dice que en este caso g tiene discontinuidades removibles en x = a y en x = b. Remover ladiscontinuidad significa especificar las imagenes de a y de b para garantizar la continuidad de g en los puntosespecificados. Esto se logra cuando se declara que g(a) = L y g b) = S

Adicionalmente el hecho que se ha declarado al comienzo de la lectura, es decir, que si P es un polinomio, en-tonces lım

x→aP (x) = P (a) con a cualquier real, garantiza que una funcion polinomica es continua en su dominio

Analogamente, si P y Q son polinomios se ha asegurado que lımx→a

P (x)

Q(x) =

P (a)

Q(a) con Q(a) = 0, es decir, se afirma

que una funcion racional es continua para los numeros reales a tales que Q(a) = 0, o sea que una funcion racionaes continua en los valores del dominio.

2.1: Ejemplos.

1. Es corriente estudiar la continuidad de una funcion a partir de su definicion. En este sentido se especifica

para que reales es continua y para cuales es discontinua. Si f (x) = x2 − 4

x + 2 , una forma natural de abordar

dicho estudio, es identificar numeros reales para los cuales no existe la imagen mediante f . En estos realesla funcion es discontinua. Ası que f es discontinua en x = −2

Ahora, note que f sera continua en R−{2}, pues para cada a ∈ R−{2} existe f (a) y como f es una funcionracional se tiene que lım

x

→a

f (x) = f (a)

Como lımx→−2

x2 − 4

x + 2 = lım

x→−2

(x + 2)(x − 2)

x + 2 = lım

x→−2x − 2 = −4, entonces la discontinuidad en x = −2 es

removible. Para el efecto f se define ası:

f (x) =

x2 − 4

x + 2 si x = −2

−4 si x = −2

2




2. El analisis de la continuidad funcion g que se define como:

g(x) =

x2 − 5 si x ≤ 1

−5x + 1 si x > 1

se efectua teniendo en cuenta que g es continua en (

−∞, 1) pues la expresion que define la funcion es un

polinomio, que es continuo en los reales y, por lo tanto, en particular en este intervalo de definicion. Unrazonamiento similar conduce a afirmar que g es continua en (1, ∞). Queda por examinar la continuidad enx = 1, esto debido que cerca de este valor la funcion esta definida de diferente forma.

Se tiene que f (1) = −4. Ademas, como lımx→1−

g(x) = lımx→1

x2 − 5x) = −4 y lımx→1+

g(x) = lımx→1

−5x + 1 = −4

entonces lımx→1

x2 − 5x) = −4. En consecuencia, g tambien es continua en x = 1. En suma, g es continua en e

conjunto de los numeros reales.

2.2: Ejercicios

1. Elaborar la grafica de una funcion f que cumpla las condiciones: f no es continua en x = −1 pero f (−1)existe; f no es continua en x = 2, pero lım

x→2f (x) existe; f (0) y lım

x→0f (x) existen, pero f no es continua x = 0

f tiene una discontinuidad no removible en x = −3. En los demas numeros reales f es continua.

2. Estudie la continuidad de las siguientes funciones. Si existen discontinuidades removibles, defina la funcionpara removerlas. Esboce la grafica de cada funcion para corroborar su respuesta.

a ) f es la funcion definida por f (x) = x2 − 5x − 14

−2x − 4

b) g es la funcion definida por g(x) = 1 − x

9 − x2

c ) h es la funcion definida por:

h(x) =

3x2 − 12x

2x2 − 7x − 4 si x < 4

3x

2x − 1 si x ≥ 4

d ) m(x) = [[1 + x]]

e ) p(x) = |1 − x|2x − 2

3. Determine el valor de la constantes a y b para que cada funcion sea continua en R

a ) g funcion definida por:

h(x) =

ax + 3 si x < −1

a2x + 5 si x ≥ −1

b) h la funcion definida por:

h(x) =

x si x < 1

2ax + b si 1 ≤ x ≤ 2

x2 si x > 2

3




2.3: Continuidad en diversos tipos de funciones.

Se ha estudiado la continuidad de una funcion en un punto y en un intervalo. Asimismo, se ha establecido lacontuinuidad de funciones polinomicas y funciones racionales. Se extiende la nocion de continuidad a funcionesconstruidas con base en otras funciones.

Si se supone que las funciones f y g son continuas en x = a, la continuidad de la funcion f g en x = a seanaliza de la siguiente forma:

lımx→a

(f g)(x) = lımx→a

[f (x)g(x)] Definicion de la funcion f g

= lımx→a

f (x) lımx→a

g(x) Propiedad de lımites

= f (a)g(a) f y g son continuas en x = a

= (f g)(a) Definicion de la funcion producto.

Ası que se ha demostrado que: Si f y g son funciones continuas en x = a entonces f g es continua en x = a

Con un razonamiento como el anterior se puede comprobar que que bajo las condiciones dadas, las funciones

f + q , f − g, kf con k una constante;

f

g con g(a) = 0 son continuas en x = a

La continuidad de una funcion se puede extender intuitivamente a las funciones que se han estudiado a lolargo de las lecturas. En este sentido notese que se ha asegurado que las funciones polin omicas y racionalesson continuas en su dominio. Esta aseveracion se puede ampliar a funciones exponenciales, logarıtmicastrigonometricas, raız y trigonometricas inversas, es decir, se afirma que estas funciones son continuas en sudominio.

Respecto de la funcion compuesta de dos funciones f y g y de su continuidad en un valor x = a se examinandos resultados.

• Si f y g son funciones tales que lımx→a

g(x) = b y f es continua en x = b, se afirma entonces que para

valores cercanos a x = a, las imagenes mediante la funcion g se acercan suficientemente a b. Por lo tantopara valores cercanos a x = b, y debido a la continuidad de f , las imagenes se acercan suficientementea f (b). En suma, se asegura que para valores cercanos a x = a, las imagenes mediante f ◦ g se acercansuficientemente a f (b). Este analisis se resume en el resultado: Si f y g son funciones continuas en x = a

entonces lımx→a

f (g(x)) = f (b), o tambien es correcto afirmar que debido a que lımx→a

g(x) = b, entonces

lımx→a

f (g(x)) = f ( lımx→a

g(x)

• Ahora, si las condiciones sobre las funciones f y g son: g es continua en x = a y f es continua en g(a)entonces se tiene que lım

x→ag(x) = g(a) y f continua en g(a), ası que de acuerdo con el anterior resultado

se asevera que lımx→a

f (g(x)) = f (g(a)) o en forma equivalente, la funcion f ◦ g es continua en x = a.

• Finalmente, se presenta e ilustra un resultado de gran utilidad en el estudio de las funciones y sus

propiedades.En la figura ?? se observa que f es continua en [a, b]. Intuitivamente se puede afirmar que si se escoge

un valor L entre f (a) y f (b) entonces existira al menos un valor c en (a, b) tal que f (c) = L. Esteresultado se conoce como el Teorema del Valor Intermedio.

2.4: Ejemplos

1. Para estudiar la continuidad de f (x) = ex + x√ x−1

, es factible realizar el siguiente analisis: Se afirmo que una

funcion exponencial es continua en su dominio ası que y = ex es continua en los reales. En el segundo termino

4




Figura 3: Teorema del valor Intermedio

de la suma que define la funcion se tiene que y = x es continua en los reales por ser una funci on polinomica

y y = √ x − 1 es continua en [1, ∞] pero por estar en el denominador de la funcion cociente sera continuaunicamente en (1, ∞). Ası que f es continua en (1, ∞).

2. Para calcular lımx→π

4

tan x, basta hacer uso de la continuidad de la funcion tangente en todo su dominio. Como

π

4 esta en el dominio de y = tan x se afirma que lımx→π

4

tan x = tan π

4 = 1

3. El calculo de lımx→0

ln

x2 − 3x + 2

x − 2

se realiza ası: Como lım

x→0

x2 − 3x + 2

x − 2 = 1, entonces de acuerdo con las

propiedades enunciadas se tiene que lımx→0

ln

x2 − 3x + 2

x − 2

= ln

lımx→0

x2 − 3x + 2

x − 2

= ln1 = 0

4. Para determinar (si existe) el valor de lımx→π

6esinx

, se razona ası: Como la funcion seno es continua en losreales, entonces en particular es continua en x = π

6 . Como la funcion exponencial es continua en los realessera continua en sin π

6 . Ası que se tiene la continuidad de la funcion compuesta en x = π

6 y por lo tanto

lımx→π

6

esinx = esinπ

6 = e1

2

5. Verificar que para f (x) = x2 + ex en el intervalo [0, 1] se cumple el teorema del Valor Intermedio, bastadeterminar la continuidad de f en dicho intervalo. Esta continuidad esta garantizada (en este caso), por lacontinuidad de y = x2 y y = ex en todos los reales. Ahora lo importante es la conclusion que se hace debidoa que la funcion cumple las condiciones de aplicacion del teorema. Como f (0) = 1 y f (1) = 1 + e, se afirmaque si se toma un valor L entre 1 y 1 + e, por ejemplo 2, entonces en [0, 1] existe al menos un valor c tal que

f (c) = 2.

2.5: Ejercicios

1. Utilizar propiedades de lımites y de continuidad de una funcion para calcular los lımites indicados.

a ) lımx→2

1x+2 − 1

4

3b) lım

x→π

6

2sec(x−π

3)

5




c ) lımx→1

tan−1

x2 − x

1 − x

d ) lım

x→π

4

cos(1 − tan x)

e ) lımx→π

2

ln(sin xex−π

2 )

f ) lımx→2

e√ x−42−x

2. Una aplicacion interesante del teorema del valor intermedio se plantea ası: Si f es una funcion continua en[a, b] tal que f (a)f (b) < 0 entonces existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0.

a ) Ilustre el resultado enunciado.

b) Muestre que las ecuaciones dadas tienen una solucion en el intervalo especificado.

ex = sin x en [−4, −3]

cos x − x = 0

c ) Muestre que la ecuacion x3 + 10 = 7x

−x2 tiene solucion en los reales.

d ) Muestre que f (x) = x5 − x3 − x − 3 tiene al menos un cero real.

e ) Consulte acerca del metodo de biseccion para resolver una ecuacion y muestre un ejemplo. ¿Como seusa el teorema del valor intermedio en dicho metodo?

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