1

Po

li

té

cn

ic

o

Gr

an

co

lo

mb

ia

no

e

n

al

ia

nz

a

co

n

Wh

it

ne

y

In

te

rn

at

io

na

l

Un

iv

er

si

ty

S

ys

te

m

Módulo de Matemáticas

Nidia Mercedes Jaimes Gómez

UNIDAD CUATRO

2. Función Cuadrática

“Las abejas..., en virtud de una cierta intuición geométrica..., saben que

el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá

contener más miel con el mismo gasto de material.”

Papus de Alejandría

Introducción

Unidad 4

Palabras Clave Función cuadrática, vértice, ceros, punto máximo, punto mínimo, parábola.

La representación gráfica de una

función cuadrática es una parábola.

Este modelo tiene una variaedad de

aplicaciones en distintas áreas del

conocimiento. Para un mejor

acercamiento haga una revisión de la

parte teórica y realice los ejercicios

2

Po

li

té

cn

ic

o

Gr

an

co

lo

mb

ia

no

e

n

al

ia

nz

a

co

n

Wh

it

ne

y

In

te

rn

at

io

na

l

Un

iv

er

si

ty

S

ys

te

m

Módulo de Matemáticas

Nidia Mercedes Jaimes Gómez

4. Desarrollo temático

4.1 Función Cuadrática

Una función CUADRÁTICA tiene la forma general

y = f(x) = ax2 + bx + c , donde a, b, c R, a 0

El DOMINIO de esta función son los números reales.

Por ejemplo, las funciones

a. f(x) = x2

b. g(x) = 2x2 - 1

c. h(x) = -3x2- x

d. y = -5x2 + 2x - 7

Son funciones cuadráticas (ó de segundo grado) y cada una de ellas

tiene como dominio al conjunto de los números reales.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA:

Consideremos el ejemplo:

1. f (x) = 2x2

Como Df = R, Observemos algunos valores particulares de x para observar

el comportamiento de f(x) :

Si x = 0, f(0) = 0 , (0, 0) (CERO de la función)

Si x = -1, f(-1) = 2, (-1, 2)

Si x = 1 , f(1) = 2 , (1, 2)

Si x = -2, f(-2) = 8 , (-2, 8 )

Si x = 2, f(2) = 8 , (2, 8)

Si x = 1

2, f(

1

2) =

1

2, (

1

2,

1

2)

3

Po

li

té

cn

ic

o

Gr

an

co

lo

mb

ia

no

e

n

al

ia

nz

a

co

n

Wh

it

ne

y

In

te

rn

at

io

na

l

Un

iv

er

si

ty

S

ys

te

m

Módulo de Matemáticas

Nidia Mercedes Jaimes Gómez

Si x = - 1

2, f(-

1

2) =

1

2 (-

1

2,

1

2)

Representando los puntos en el plano cartesiano, obtenemos:

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN: f(x) = 2x2

Este tipo de gráfica característica de las funciones CUADRÁTICAS, se llama

PARÁBOLA.

La parábola tiene un punto MÍNIMO o un punto MÁXIMO que se llama

VÉRTICE. El caso anterior se encuentra en el origen del sistema de

coordenadas cartesianas. Además en el caso en que a > 0, el vértice

corresponde al punto MÍNIMO (parábola ABRE HACIA ARRIBA) y en el caso

en que a < 0 el vértice corresponde al punto MÁXIMO (la parábola ABRE

HACIA ABAJO).

Ahora consideremos funciones cuadráticas para las cuales b 0 ó c 0

casos en los cuales el vértice de la parábola no está en el origen.

Sea f(x) = ax2 + bx + c para la cual b 0 ó c 0 y a > 0. Su gráfica es una

PARÁBOLA que ABRE HACIA ARRIBA y su vértice un punto de coordenadas

(h, k ) del sistema xy.

4

Po

li

té

cn

ic

o

Gr

an

co

lo

mb

ia

no

e

n

al

ia

nz

a

co

n

Wh

it

ne

y

In

te

rn

at

io

na

l

Un

iv

er

si

ty

S

ys

te

m

Módulo de Matemáticas

Nidia Mercedes Jaimes Gómez

El punto (h, k) se puede considerar como el origen de un nuevo sistema x1

y1 y en este sistema la parábola tiene la ecuación: y1 = a(x1)2 (1) pues su

origen es el origen del sistema x1 y1.

¿Cómo podemos expresar (x1, y1) coordenadas de un punto cualquiera

del sistema x1y1 en términos de las coordenadas (x, y)?

x = x1 + h, es decir, x1 = x - h, y

y = y1 + k, es decir, y1 = y - k (Observe la anterior gráfica)

Reemplazando estos valores en (1):

y1 = a(x1)2

y - k = a(x - h)2

Realizando las operaciones

y - k = ax2 - 2ahx + ah2

y = ax2 - 2ahx + (ah2 + k)

y comparando en la forma general: y = ax2 + bx + c, tenemos

-2ah = b, y, ah2 + k = c

De donde: h = b

ay k

b ac

a2

4

4

2

, ,

que son las coordenadas del vértice en términos de los números reales a,

b y c.

5

Po

li

té

cn

ic

o

Gr

an

co

lo

mb

ia

no

e

n

al

ia

nz

a

co

n

Wh

it

ne

y

In

te

rn

at

io

na

l

Un

iv

er

si

ty

S

ys

te

m

Módulo de Matemáticas

Nidia Mercedes Jaimes Gómez

RECUERDE LAS COORDENADAS DEL VÉRTICE DE UNA PARÁBOLA

Coordenadas del vértice = v = (h, k ) =

a

acb

a

b

4

4,

2

2

Para esta parábola su EJE DE SIMETRÍA es la recta x = h

Ejemplo:

Sea f(x) = 3x2 - 5x + 2. Tracemos su gráfica e identifiquemos su rango.

De acuerdo a lo expuesto anteriormente, su gráfica es una parábola que

abre hacia arriba pues (a = 3) > 0 y tiene como vértice el punto de

coordenadas (h, k) donde:

h = -

5

2 3

5

6

5 4 3 2

4 3

1

12

2

( ), ,

( ) ( )( )

( )y k es decir,

5

6

1

12,

Ahora consideremos los INTERCEPTOS de la gráfica de la función:

con x (CEROS de la función), f(x) = 0

3 5 2 03 5 3 6

30

3 2 3 3

30

3 2 3 1

30

3 2 1 02

31

2

30 1 0

2

2x x

x x

x x

x x

x x

x x

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

,

, , ,

Con y: f(0) = 3(0)2 - 5(0) + 2

f(0) = 2 ,que corresponde a la pareja ordenada (0,2)

Con estos puntos podemos dar un buen bosquejo de la gráfica de f.

6

Po

li

té

cn

ic

o

Gr

an

co

lo

mb

ia

no

e

n

al

ia

nz

a

co

n

Wh

it

ne

y

In

te

rn

at

io

na

l

Un

iv

er

si

ty

S

ys

te

m

Módulo de Matemáticas

Nidia Mercedes Jaimes Gómez

EJERCICIO 20

1. GRAFICAR cada una de las siguientes funciones:

a. f(x) = x2 + 5x + 4 b. f(x) = x2 - 9

c. f(x) = 2x2 - 9x - 5 d. f(x) = 5x2 - 7x + 10

e. y = x2 + 1 f. f(x) = -3x2 + 7

g. f(x) = 2x - 4x2 h. f(x) = -3x2 + 2x + 1

i. y = -1

2x2 + 4x - 2 j. f(x) = -5x2 + 2x - 3

2. RESOLVER los siguientes sistemas de ecuaciones y COMPROBAR

gráficamente el resultado (Sugerencia: sustituir la ecuación lineal en la

cuadrática y solucionar la ecuación que resulta. Para corroborar

gráficamente, dibuje la parábola y la línea recta. Los puntos donde se

cruzan las dos curvas deben coincidir con la solución de la ecuación).

a. y = x2 - 7x + 3, y , y = 2x - 5

b. y = -2x2 + 12x - 14, y, y = 2x2 - 12x + 22

c. y = x2 + 1, y, y = 2x

1

2

f(x) = 3x2-5x + 2

Ceros de f

7

Po

li

té

cn

ic

o

Gr

an

co

lo

mb

ia

no

e

n

al

ia

nz

a

co

n

Wh

it

ne

y

In

te

rn

at

io

na

l

Un

iv

er

si

ty

S

ys

te

m

Módulo de Matemáticas

Nidia Mercedes Jaimes Gómez

3. La utilidad de producir y vender x unidades de un bien para una

empresa está dada por:

U(x) = -x2 + 80x – 500 dólares

a. ¿Qué utilidad tendrá la empresa si produce y vende 20 unidades?

b. ¿Qué nivel (es) de producción debe tener la empresa para que no

haya pérdidas, ni ganancias? (Sugerencia: no hay pérdidas ni

ganancias cuando U(x) = 0)

c. ¿Para qué nivel de producción la firma alcanza la máxima ganancia?

¿Cuál es dicha ganancia?

e. Graficar U(x) y comparar los resultados obtenidos en los anteriores

literales.

4. En la siguiente gráfica se presentan las funciones de costos semanales

C(x), e ingresos semanales I(x) respectivamente por producir y vender x

unidades.

Determine las coordenadas de

los puntos A, B, C, e interprete

cada uno de estos puntos.

Miles de dólares

C(x) = 3x2 − 6x +15

I(x) = x + 15

8

Po

li

té

cn

ic

o

Gr

an

co

lo

mb

ia

no

e

n

al

ia

nz

a

co

n

Wh

it

ne

y

In

te

rn

at

io

na

l

Un

iv

er

si

ty

S

ys

te

m

Módulo de Matemáticas

Nidia Mercedes Jaimes Gómez

5. La siguiente gráfica representa la función de utilidad1 en millones de

pesos para una empresa que produce y vende muebles de oficina.

a) Determine el dominio y el rango de la función, ¿qué representan en

este contexto?

b) De acuerdo con la gráfica, en qué intervalo de producción y venta

hay pérdidas?, explique.

c) Encuentre la fórmula que relaciona la utilidad con el número de

unidades producidas y vendidas.

d) Escriba por lo menos dos conclusiones acerca del comportamiento

de esta función de utilidad.

1 La función de utilidad es una relación con la que se puede precisar si para un cierto nivel de producción y

ventas hay pérdidas o ganancias o punto de equilibrio.

Millones de

pesos

Muebles producidos

y vendidos

9

Po

li

té

cn

ic

o

Gr

an

co

lo

mb

ia

no

e

n

al

ia

nz

a

co

n

Wh

it

ne

y

In

te

rn

at

io

na

l

Un

iv

er

si

ty

S

ys

te

m

Módulo de Matemáticas

Nidia Mercedes Jaimes Gómez

Taller 7

1. La demanda mensual x de cierto artículo al precio de p dólares por

unidad, está dada por la relación x = 1350 - 45p, ¿qué precio se debe

fijar si la demanda es de 800 unidades?

2. Una compañía produce y vende un determinado artículo. Para esta

compañía la función de utilidad está dada por : U(X) = -2X2 + 180X -

2800 dólares, en donde U(X) representa la utilidad de producir y

vender x unidades del artículo.

a) Grafique la función de utilidad

b) Si se obtuvo una utilidad de US$450, ¿cuál fue el número de

unidades producidas y vendidas?.

c) ¿Para qué nivel de producción se obtiene la ganancia

máxima? ¿Cuál es dicha ganancia?.

d) Si se producen y venden 100 unidades del artículo, ¿hay pérdidas o

ganancias? Justifique.

3. Los costos de producción de x miles de artículos de una empresa están

dados Por C(X) = 1

3X2 + 4 - 2X, y los ingresos están dados por I(X) = 8X

- 16 - 2

3 X2 (C(X) e I(X) están dados en miles de dólares).

¿Cuántas unidades se deben producir para que el ingreso sea igual al

costo?

10

Po

li

té

cn

ic

o

Gr

an

co

lo

mb

ia

no

e

n

al

ia

nz

a

co

n

Wh

it

ne

y

In

te

rn

at

io

na

l

Un

iv

er

si

ty

S

ys

te

m

Módulo de Matemáticas

Nidia Mercedes Jaimes Gómez

Síntesis

La función cuadrática tiene la forma general cbxaxf(x) 2 con 0a .

Su gráfica es una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo.

Coordenadas del vértice = v = (h, k ) =

4a

4acb ,

2a

b 2

Coordenadas del vértice = v = (h, k ) =

4a

4acb ,

2a

b 2

a>0 a < 0