LECTURA_LECCION_EVALUATIVA_1

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

100404- PROGRAMACION LINEAL

Act. No. 4. Lección Evaluativa N° 1

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FORMULACION DEL PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL

Aunque se ponga en duda, la parte más difícil de PL es reconocer cuándo ésta

puede aplicarse y formular el problema matemáticamente. Una vez hecha esa

parte, resolver el problema casi siempre es fácil.

Para formular un problema en forma matemática, deben expresarse afirmaciones

lógicas en términos matemáticos. Esto se realiza cuando se resuelven “problemas

hablados” al estudiar un curso de álgebra. Algo muy parecido sucede aquí al

formular las restricciones. Por ejemplo, considérese la siguiente afirmación: A usa

3 horas por unidad y B usa 2 horas por unidad. Si deben usarse todas las 100

horas disponibles, la restricción será:

3A + 2B = 100

Sin embargo, en la mayoría de las situaciones de negocios, no es obligatorio que

se usen todos los recursos (en este caso, horas de mano de obra). Más bien la

limitación es que se use, cuando mucho, lo que se tiene disponible. Para este

caso, la afirmación anterior puede escribirse como una desigualdad:

3A + 2B <= 100

Para que sea aceptable para PL, cada restricción debe ser una suma de variables

con exponente 1. Los cuadrados, las raíces cuadradas, etc. no son aceptables, ni

tampoco los productos de variables. Además, la forma estándar para una

restricción pone a todas las variables del lado izquierdo y sólo una constante

positiva o cero del lado derecho. Esto puede requerir algún reacomodo de los

términos. Si, por ejemplo, la restricción es que A debe ser por los menos el doble

de B, esto puede escribirse como:




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A <= 2B ó A - 2B <= 0

EL MODELO DE PROGRAMACION LINEAL

Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de

distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de

actividades bajo consideración.

Z = valor de la medida global de efectividad.

Xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n).

Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la

actividad j.

bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para

i = 1,2,...,m).

aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j.

ESTRUCTURA DE UN MODELO DE PROGRAMACION LINEAL

Función objetivo. Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la

cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función

objetivo se maximizar o minimiza.

Variables de decisión. Son las incógnitas del problema. La definición de las

variables es el punto clave y básicamente consiste en los niveles de todas las

actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.

Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debe cumplir cualquier

solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de

capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, etc.




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Condición técnica. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en

algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos.

DIFERENTES FORMAS DE MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL

Supóngase que existe cualquier número (digamos m) de recursos limitados de

cualquier tipo, que se pueden asignar entre cualquier número (digamos n) de

actividades competitivas de cualquier clase. Etiquétense los recursos con números

(1, 2, ..., m) al igual que las actividades (1, 2, ..., n). Sea xj (una variable de

decisión) el nivel de la actividad j, para j = 1, 2, ..., n, y sea Z la medida de

efectividad global seleccionada. Sea cj el incremento que resulta en Z por cada

incremento unitario en xj (para j = 1, 2, ..., n). Ahora sea bi la cantidad disponible

del recurso i (para i = 1, 2, ..., m). Por último defínase aij como la cantidad de

recurso i que consume cada unidad de la actividad j (para i = 1, 2, ..., m y j = 1, 2,

..., n). Se puede formular el modelo matemático para el problema general de

asignar recursos a actividades. En particular, este modelo consiste en elegir

valores de x1, x2, ..., xn para:

Maximizar Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn,

sujeto a las restricciones:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn <= b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn <= b2

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn <= bm y

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, ..., xn ≥ 0

FORMA ESTANDAR




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Ésta se llamará nuestra forma estándar (porque algunos libros de texto adoptan

otras formas) para el problema de PL. Cualquier situación cuya formulación

matemática se ajuste a este modelo es un problema de PL.

En este momento se puede resumir la terminología que usaremos para los

modelos de PL. La función que se desea maximizar, c1x1 + c2x2 + ... + cnxn, se

llama función objetivo. Por lo general, se hace referencia a las limitaciones como

restricciones. Las primeras m restricciones (aquellas con una función del tipo ai1x1

+ ai2x2 + ... + ainxn, que representa el consumo total del recurso i) reciben el

nombre de restricciones funcionales. De manera parecida, las restricciones xj >= 0

se llaman restricciones de no negatividad. Las variables xj son las variables de

decisión. Las constantes de entrada, aij, bi, cj, reciben el nombre de parámetros

del modelo.

OTRAS FORMAS DE MODELOS DE PL

Es conveniente agregar que el modelo anterior no se ajusta a la forma natural de

algunos problemas de programación lineal. Las otras formas legítimas son las

siguientes:

1. Minimizar en lugar de maximizar la función objetivo:

Minimizar Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn,

2. Algunas restricciones funcionales con desigualdad en el sentido mayor o igual:

ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn, ≥ bi, para algunos valores de i,

3. Algunas restricciones funcionales en forma de ecuación:

ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn, = bi, para algunos valores de i,

4. Las variables de decisión sin la restricción de no negatividad: xj no restringida

en signo para algunos valores de j.

Cualquier problema que incluya una, varias o todas estas formas del modelo

anterior también se clasifica como un problema de PL, siempre y cuando éstas

sean las únicas formas nuevas introducidas. Puede ser que la interpretación que




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se ha dado de asignación de recursos limitados entre actividades que compiten no

se aplique, pero independientemente de la interpretación o el contexto, lo único

que se necesita es que la formulación matemática del problema se ajuste a las

formas permitidas. Se verá que estas otras cuatro formas legales se pueden

reescribir en una forma equivalente para que se ajuste al modelo que se presentó.

Entonces, todo problema de PL se puede poner en nuestra forma estándar si se

desea.

FORMULACION ALGEBRAICA

Todo problema de PL puede representarse como:

Max (z) =c1x1+c2x2+...+cnxn

sujeto a:

a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn <= b1

a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn <= b2

...

am1x1 + am2x2 +...+ amnxn <= bm

x1, x2, ...,xn >= 0

siendo:

xj: Nivel de actividad de la variable xj

cj: Contribución unitaria de xj a función objetivo

aij: Coeficiente técnico, unidades de recurso i que se consumen por unidad de

variable j

bi: Cantidad disponible de recurso i

Otra representación:




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En forma matricial:

Max (z) = C x

sujeto a:

Ax <= b

x >=0

A esta forma se la denomina forma canónica

IMPLEMENTACION DE LA SOLUCION

El paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos que se hicieron a lo

largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones.

Después de determinar la validez de una solución y verificar su consistencia con el

criterio global, se podría pensar que la decisión es automática. Esto en verdad en

un sentido pero no en otros. El proceso de hacer y manejar modelos en

investigación de operaciones puede verse como proporcionando una información

de entrada al sujeto responsable de decidir, pero éste recibe otras informaciones

que pueden ser igualmente importantes incluyendo las puramente cualitativas o de

naturaleza subjetiva. De hecho muchos resultados de la investigación de

operaciones se tratan como planes iniciales que se pueden modificar.




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LA SOLUCION DEL PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL Y SU

IMPLEMENTACION

ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES DE SOLUCION

Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro

de los cuales no cambia la solución del problema.

Es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la

solución debido a cambios en los parámetros del modelo. Usualmente esto se

conoce como ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.

CONCEPTO:

El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber

ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a

programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la

programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un

resultado óptimo.

La programación lineal es una técnica de investigación de operaciones para la

determinación de la asignación optima de recursos escasos cuando la función

objetivo y las restricciones son lineales. Es una manera eficiente de resolver estos

problemas cuando se debe hacer una elección de alternativas muy numerosas

que no pueden evaluarse intuitivamente por los métodos convencionales.

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