Ley de elasticidad de HookeDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegacin, bsqueda

La ley de Hooke: la fuerza es proporcional a la extensinEn fsica, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elstico es directamente proporcional a la fuerza aplicada :

siendo el alargamiento, la longitud original, : mdulo de Young, la seccin transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elsticos hasta un lmite denominado lmite elstico.Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, fsico britnico contemporneo de Isaac Newton, y contribuyente prolfico de la arquitectura. Esta ley comprende numerosas disciplinas, siendo utilizada en ingeniera y construccin, as como en la ciencia de los materiales. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo public en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su contenido un par de aos ms tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensin, as la fuerza").ndice[ocultar] 1 Ley de Hooke para los resortes 2 Ley de Hooke en slidos elsticos 2.1 Caso unidimensional 2.2 Caso tridimensional istropo 2.3 Caso tridiminesional orttropo 3 Aplicaciones fuera del campo de la ingeniera 4 Vase tambin 5 Referencias 5.1 BibliografaLey de Hooke para los resortes[editar]

La ley de Hooke describe cunto se alargar un resorte bajo una cierta fuerza.La forma ms comn de representar matemticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuacin del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza ejercida en el resorte con la elongacin o alargamiento producido:

donde se llama constante elstica del resorte y es su elongacin o variacin que experimenta su longitud.La energa de deformacin o energa potencial elstica asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuacin:

Es importante notar que la antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitucin. Definiremos ahora una constante intrnseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos as la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando por la longitud total, y llamando al producto o intrnseca, se tiene:

Llamaremos a la tensin en una seccin del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas, a la constante de un pequeo trozo de muelle de longitud a la misma distancia y al alargamiento de ese pequeo trozo en virtud de la aplicacin de la fuerza . Por la ley del muelle completo:

Tomando el lmite:

que por el principio de superposicin resulta:

Que es la ecuacin diferencial del muelle. Si se integra para todo , se obtiene como ecuacin de onda unidimensional que describe los fenmenos ondulatorios (Ver: Muelle elstico). La velocidad de propagacin de las vibraciones en un resorte se calcula como:

Ley de Hooke en slidos elsticos[editar]En la mecnica de slidos deformables elsticos la distribucin de tensiones es mucho ms complicada que en un resorte o una barra estirada slo segn su eje. La deformacin en el caso ms general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan ser representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores estn relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lam-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un slido elstico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:

Gran parte de las estructuras de ingeniera son diseadas para sufrir deformaciones pequeas,se involucran slo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformacin.De tal forma que la deformacin es una cantidad adimensional, el mdulo se expresa en las mismas unidades que el esfuerzo (unidades pa, psi y ksi). El mximo valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como lmite de proporcionalidad de un material. En este caso, los materiales dctiles que poseen un punto de cedencia definido; en ciertos materiales no puede definirse la proporcionalidad de cedencia fcilmente, ya que es difcil determinar con precisin el valor del esfuerzo para el que la similitud entre y deje de ser lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el lmite de proporcionalidad no conducir a ningn error significativo. En resistencia de materiales se involucra en las propiedades fsicas de materiales, como resistencia, ductibilidad y resistencia de corrosin; que pueden afectarse debido a la aleacin, el tratamiento trmico y el proceso de manofactura.Caso unidimensional[editar]En el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones en direcciones perpendiculares a una direccin dada son irrelevantes o se pueden ignorar , , y la ecuacin anterior se reduce a:

donde es el mdulo de Young.Caso tridimensional istropo[editar]Para caracterizar el comportamiento de un slido elstico lineal e istropo se requieren adems del mdulo de Young otra constante elstica, llamada coeficiente de Poisson (). Por otro lado, las ecuaciones de Lam-Hooke para un slido elstico lineal e istropo pueden ser deducidas del teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden escribirse en la forma:

En forma matricial, en trminos del mdulo de Young y el coeficiente de Poisson como:

Las relaciones inversas vienen dadas por:

Caso tridiminesional orttropo[editar]El comportamiento elstico de un material ortotrpico queda caracterizado por nueve constantes independientes: 3 mdulos de elasticidad longitudinal , 3 mdulos de rigidez y 3 coeficientes de Poisson . De hecho para un material ortotrpico la relacin entre las componentes del tensor tensin y las componentes del tensor deformacin viene dada por:

Donde:

Como puede verse las componentes que gobiernan el alargamiento y las que gobiernan la distorsin estn desacopladas, lo cual significa que en general es posible producir alargamientos en torno a un punto sin provocar distorsiones y viceversa. Las ecuaciones inversas que dan las deformaciones en funcin de las tensiones toman una forma algo ms complicada:

Donde:

De hecho la matriz anterior, que representa al tensor de rigidez, es simtrica ya que de las relaciones (*) se la simetra de la anterior matriz puesto que:

Un caso particular de materiales orttropos son los materiales transversalmente istropos lineales en los que slo hace falta especificar cinco constantes elsticas: , donde se refiere a las direcciones transversales a la direccin que se llama longitudinal.FUERZA ELASTICAResortes: Los resortes reales se comportan segn la siguiente ecuacin, conocida como laLey de Hooke: las tensiones son proporcionales a las elongaciones. Los materiales que responden a esta ley son perfectamente elsticos.

F = k.xk: magnitud de la fuerza por unidad de elongacin, que depende de cada resorte [N/m].x = xf - xo [m]Tensin o esfuerzo: es la relacin entre una carga y la superficie sobre la que acta. Se considera como tal a la reaccin que opone el material de un cuerpo frente a una solicitacin externa (de tensin, compresin, cortante) que tiende a producir un cambio en su tamao o forma. = F/A = .EE: mdulo de elasticidad del material. [N/m; kg/cm]A: seccin del material [m; cm]Elongaciones: un cuerpo sometido a la accin de fuerzas externas sufre alargamientos o acortamientos en una direccin dada que reciben el nombre de deformaciones.Deformacin especfica: = l/l l: elongacinl: longitud originaacortamiento < 0alargamiento > 0Dentro del lmite de proporcionalidad ( p), el mdulo de elasticidad de un material dado es constante, dependiendo solo de la naturaleza del material.

De 0 hasta a,se llama recta de Hooke. Sin embargo hasta b inclusive, cuando descargamos la pieza recupera su longitud original (entre 0 y b, el material es elstico).Modulo de Young: es la constancia de la relacin entre tensiones y deformacin especfica.E = / = constanteEsta relacin es la expresin analtica de la ley de Hooke.Elasticidad: una deformacin se llama elstica cuando desaparece completamente (recuperable) una vez que cesa la causa que la produjo.Plasticidad: una deformacin plstica es aquella que no desaparece (irreversible) con la anulacin de la causa. La plasticidad de los materiales esta dada por su capacidad de poder deformarse sin por ello sufrir fractura. Un material es tanto ms dctil cuanto ms extendido es su diagrama - en el sentido del eje .A medida que aumenta la resistencia de los materiales disminuye la deformacin especfica y por lo tanto su ductilidad. Se dice entonces que el material va ganando en fragilidad.La maleabilidad como propiedad de los materiales, especficamente metlicos, constituye en realidad una fase de la ductilidad.Tenacidad: es la capacidad de un material para absorber simultneamente esfuerzos y deformaciones de consideracin sin llegar a la fractura.Rigidez: es la capacidad de resistir una deformacin elstica por efecto de una tensin.Fluencia: en los materiales tenaces el perodo plstico comienza tericamente a partir del punto a (lmite de proporcionalidad), que constituye el final del perodo de proporcionalidad (recta de Hooke). En realidad,el material suele ser elstico, un poco ms all de dicho punto, hasta el punto b (lmite de elasticidad).

Enciclopedia Universal

Mdulo de elasticidadTraduccinMdulo de elasticidadEn ingeniera se denomina mdulo de elasticidad o mdulo de Young a la razn entre el incremento de esfuerzo aplicado a un material y el cambio correspondiente a la deformacin unitaria que experimenta. Tiene el mismo valor para una traccin que para una compresin, siendo una constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor mximo denominado lmite elstico. Tanto el mdulo de Young como el lmite elstico, son distintos para los diversos materiales.* * *En ciencia de los materiales y metalurgia fsica, una cifra que cuantifica la respuesta de un material a la deformacin elstica.Cuando un material se somete a un esfuerzo de traccin se estira en una cantidad que es proporcional al esfuerzo aplicado. La razn entre la tensin aplicada y la deformacin unitaria correspondiente es constante para un material dado y se llama mdulo de elasticidad o mdulo de Young (ver Thomas Young). El mdulo de Young tiene dimensiones de (fuerza)/(longitud)2 y se mide en unidades como el pascal o newton por metro cuadrado (1 Pa = 1 N/m2), dinas/cm2, o libras por pulgada cuadrada (psi). See also elasticidad