Leyes de Conjunto

Bachiller:Mirmar MorenoC.I: 20.105.897

[Propiedades ]A B = B A = Conmutativa

A (B C) = (A B) C AsociativaA (B C) = (A B) C

A A = A IdempotenciaA U = U

A A = A IdempotenciaA U = A

A = A Elemento Neutro A =

A (B C) = (A B) ( AC) Distributivas A (B C) = (A B) (A C)

A B = A B Leyes de Morgan A B = A B

Leyes de Conjuntos [Propiedades de Diagrama]A x (B C) = (A x B) (A x C)

A x (B C) = (A x B) (A x C)

A x (B- C) = (A x B) – (A x C)

Si: A B A x C B x C, C

Si: A B y C D

Ejemplo: Si ( x + y, 13)= (31, x-y)

Hallar : x yRespuesta: Si ( x+y;13)= (31; x-y)x + y = 31x – y =1 3\ x = 31+13 = 22 2Y= 31 – 13 = 9 2 x = 22

y 9

Símbolo Significado Pertenece a ( x A)

No pertenece a (y A)

Contenido en (A B)

Unión ( A B)

Intersección (A B)

A Complementario A

A – B Diferencia A – B

Ejercicios

Dados los conjuntos:

A= {6,{2}, {}} yB= {, {}, {{2}}, {{6}}

Hallar P(A) B

A = { 6, {2}, {}}

= P(A) = {6}, {2}}, {}} {6,{2}},{6,{}},{{2}, }} A,

B= {,{},{{2}},{6}}P(A) B= {, {{2}}, {6}}

Unión

Sea A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar= (a) A B, (b) A C (c) B C, (d) B B.

Para la unión de A y B se toman todos los elementos de A con todos los elementos de B:

A B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} A C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B C = {2, 4, 6, 8, 3, 5} B B = {2, 4, 6, 8}

B B es B

Diferencia

Sea A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) (A - B), (b) (C - A), (c) (B - C), (d) (B - A), (e) (B - B).

(a) El conjunto A - B consiste en los elementos de A que no están en B. Como A = {l, 2, 3, 4} y 2, 4 B, entonces A - B = {1, 3}. (b) Los únicos elementos de C que no están en A son 5 y 6; por tanto, C - A = {5, 6}. (c) B - C = {2, 8}. (d) B – A = {6, 8}. (e) B – B =

Ejercicios

Complemento

Sean U = {1, 2, 3,..., 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4}. B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}.

Hallar (a) A', (b) B', (c) (A C) ', (d) (A B) ', (e) (A')v, (f) (B - C)'.

(a) El conjunto A' consiste en los elementos que están en U pero no en A. Por tanto, A' = {5. 6, 7, 8,}. (b) El conjunto de los elementos de U que no están en B es B'= {1,3, 5, 7, 9}

(c) (A C) = {3, 4} y entonces (A C)' = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9). (d) (A B) = {1, 2, 3, 4, 6, 8} y entonces (A B)' = {5, 7, 9}. (e) A' = {5, 6, 7, 8, 9} y entonces (A')' = {1,2, 3, 4}, es decir, (A')' = A. (f) (B - C') = {2, 8} y entonces (B – C)' = {1. 3, 4, 5, 6, 7, 9}

De Morgan

Dados X = {2,3,4,5,7,10,16,19,21,22,40,115},A = {divisibles por 2} = {2,4,10,16,22,40} yB = {divisibles por 5} = {5,10,40,115}

A B = {3, 7, 19, 21} y A B = {3, 7, 19, 21}, se cumple la Ley de Morgan A B = A B

Distributiva

Sean los conjuntos A (B C) = ( A B) (A C)

A B

C

A ( B C)

A B

C

(A B )(A C)

Ejercicios

Asociativa

Sean los Conjuntos (A B) C = A ( B C)

( A B) C A ( B C)

X (A B ) C

X A B x A x A (B C) o x B x B C A (B C) o

X C x (A B ) C

A (B C) (A B) C

x A (B C)

x A x A B

o

x B C x ( A B) x ( A B) C o x C x ( A B) C

Ejercicios