Universidad de Oviedo

Facultad de Ciencias

Leyes de Conservacion

Miguel Simon Vazquez

Salim Meddahi

Indice

1. Introduccion 2

2. Ejemplos de leyes de conservacion 32.1. Ecuacion del transporte lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. La ecuacion de Burguers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3. El modelo del flujo del trafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4. La ecuacion de Buckley-Levrett . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5. Las ecuaciones de Euler para la dinamica de Gases . . . . . . 6

3. Leyes de conservacion escalares 63.1. Soluciones clasicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.1. Soluciones clasicas locales y nacimiento de un choque . 113.2. Soluciones debiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.1. Soluciones de clase C1 a trozos y condicion de choque . 163.2.2. Soluciones entropicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.3. Existencia y unicidad de la solucion entropica . . . . . 28

3.3. El problema de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3.1. El caso de una onda de rarefaccion: ug < ud . . . . . . 313.3.2. El caso de una onda de choque: ug > ud . . . . . . . . 313.3.3. Solucion del problema de Riemann con tres estados

iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4. Analisis numerico de leyes de conservacion escalares 374.1. Esquemas en forma conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2. Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3. Estabilidad L2 del esquema linealizado . . . . . . . . . . . . . 414.4. Teorema de Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5. Ejemplo de un esquema conservativo: el esquema de Murman-

Roe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.6. Esquemas entropicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.7. Esquemas monotonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.8. El esquema de Lax-Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.9. El esquema de Engquist-Osher . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.10. El esquema de Godunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5. Ensayos numericos 58

1

1. Introduccion

Una ley de conservacion es la expresion matematica de un principio basicoque permite describir la evolucion temporal de una cierta cantidad de interesu (que podrıa ser por ejemplo una temperatura, la presion de un fluido o laconcentracion de una sustancia quımica).

En este trabajo estudiaremos solamente materias u que tienen una dis-tribucion lineal respecto a la variable espacial x. Por lo tanto, la cantidad deinteres y el flujo se representan mediante funciones u(x, t) : R×(0, ∞)→ Rn

y F(x, t) : R × (0, ∞) → Rn respectivamente (con n = 1, 2 o 3) donde lavariable t juega el papel del tiempo. En virtud de una ley de equilibrio, lavariacion de la cantidad de materia en el intervalo [x1, x2] entre los tiempost1 y t2 es igual a la diferencia entre el flujo de materia entrante a traves dex1 y el flujo de materia saliente a traves de x2 durante ese perıodo. Es decir,∫ x2

x1

[u(ξ, t2)− u(ξ, t1)]dξ =

∫ t2

t1

[F(x1, s)− F(x2, s)]ds. (1)

Dividiendo ambos lados de la ecuacion anterior por (x2−x1)(t2−t1) tenemosque

1

x2 − x1

∫ x2

x1

[u(ξ, t2)− u(ξ, t1)]

t2 − t1dξ =

−1

t2 − t1

∫ t2

t1

[F(x1, s)− F(x2, s)]

x1 − x2

ds.

Si las funciones u y F son suficientemente regulares, en el lımite, cuando x2

tiende a x1 y t2 tiende a t1, obtenemos una version matematica de la ley deconservacion en forma de una ecuacion en derivadas parciales:

∂u

∂t(x, t) +

∂F

∂x(x, t) = 0 ∀x ∈ R, ∀t ≥ 0. (2)

La ley de conservacion (2) es muy general. La aplicacion de la ley a unproblema concreto requiere especificar la relacion que existe entre el flujo Fy u. Por lo general, F es una funcion de u y de sus derivadas. En este trabajosupondremos que

F(x, t) = f(u(x, t)) (3)

por lo que (2) se convierte en la ecuacion en derivadas parciales de primerorden

∂u

∂t(x, t) +

∂

∂xf(u(x, t)) = 0 ∀x ∈ R, ∀t ≥ 0, (4)

donde f : Rn → Rn es una funcion dada. Se dice que la ecuacion (4) estaen su forma conservativa. Cuando f es una funcion diferenciable, la ley de

2

conservacion (4) admite tambien la forma no conservativa

∂u

∂t(x, t) + c(u(x, t))

∂u

∂x(x, t) = 0 ∀x ∈ R, ∀t ≥ 0 (5)

donde c(u) = Df(u(x, t)). Veremos mas adelante que estas dos maneras deescribir la ley de conservacion no son siempre equivalentes, incluso cuando fes regular.

El objetivo de este trabajo consiste en resolver el problema de Cauchy:buscar u(x, t) : R× [0,∞)→ Rn solucion de

∂u

∂t+

∂

∂x(f(u)) = 0, ∀x ∈ R, ∀t > 0

u(x, 0) = u0(x), ∀x ∈ R,(6)

donde la condicion inicial u0 es una funcion dada.En realidad, en la mayorıa de los problemas practicos, el flujo F(x, t)

depende tambien del gradiente de u. Cuando dicha dependencia es lineal, elproblema (6) se convierte en la ecuacion parabolica

∂u

∂t+

∂

∂x(f(u))− ε∂

2u

∂x2= 0, ∀x ∈ R, ∀t > 0

u(x, 0) = u0(x), ∀x ∈ R.(7)

Es importante destacar que, a diferencia de (6), el problema de Cauchy pa-rabolico (7) tiene una unica solucion regular. El termino de difusion (o vis-cosidad) −ε∂2u

∂x2es casi siempre presente en la practica aunque el coeficiente

ε > 0 suele ser muy pequeno. La ecuacion (6) es entonces el lımite de (7)cuando el parametro de viscosidad ε tiende a 0. Este hecho nos ayudara masadelante a seleccionar la unica solucion debil de (6) que tiene un sentidofısico.

2. Ejemplos de leyes de conservacion

2.1. Ecuacion del transporte lineal

Supongamos que una sustancia quımica de concentracion u se vierte en unrıo rectilıneo cuya velocidad de corriente viene dada por la funcion a : R→ R.Entonces, el producto contaminante se desplaza rıo abajo con un flujo

f(x, t) = a(x)u(x, t).

3

La ley de conservacion que describe este problema modelo viene dada por

∂u(x, t)

∂t+

∂

∂x(a(x)u(x, t)) = 0 ∀x ∈ R, ∀t ≥ 0.

Se trata de una ecuacion hiperbolica escalar y lineal y su estudio matematico(y numerico) es relativamente sencillo en comparacion con los modelos nolineales que pueden generar discontinuidades (choques) incluso cuando todoslos datos son regulares.

La ecuacion del transporte lineal tridimensional

∂u(x, t)

∂t+ div(a(x)u(x, t)) = 0 ∀x ∈ R3, ∀t ≥ 0,

es evidentemente un modelo mas realista y tambien mas complejo de es-tudiar. En este caso la velocidad de la corriente es una funcion vectoriala : R3 → R3. En este trabajo no abordaremos problemas planteados endominios multidimensionales.

2.2. La ecuacion de Burguers

La ecuacion de Burguers es el problema modelo por excelencia en el es-tudio de las leyes de conservacion escalares. Es una ecuacion en derivadasparciales sencilla que refleja muchas de las caracterısticas basicas de los pro-blemas hiperbolicos no lineales que estudiaremos en este trabajo. Se trata deuna ley de conservacion con un flujo f : R→ R dado por

f(u) =u2

2.

Por lo tanto, la forma conservativa de la ecuacion de Burguers es

∂u(x, t)

∂t+

∂

∂x

(u2(x, t)

2

)= 0 ∀x ∈ R, ∀t ≥ 0 (8)

y la forma no conservativa viene dada por

∂u(x, t)

∂t+ u(x, t)

∂u(x, t)

∂x= 0 ∀x ∈ R, ∀t ≥ 0.

2.3. El modelo del flujo del trafico

Nos interesamos aquı por modelar el flujo del trafico de coches en una au-topista. Denotamos por u la densidad de coches, en vehıculos por kilometro,

4

y por v la velocidad media de circulacion. Por lo tanto, el flujo de coches esf = vu.

Es evidente que existe un valor maximo umax de la densidad a partir delcual el trafico colapsa en un atasco. Para relacionar la velocidad v con unotamos que en una autopista en la que podrıamos conducir a una velocidadmaxima vmax, la velocidad de circulacion debe ser inversamente proporcionala la densidad de los coches. Basados en estas observaciones vemos que larelacion

v(u) = vmax(1− u/umax)es un modelo razonable para este fenomeno. Por lo tanto, la ley de la con-servacion del flujo del trafico consiste en la ecuacion

∂u

∂t+

∂

∂x

(u(vmax −

vmaxumax

u)

)= 0 ∀x ∈ R, ∀t ≥ 0.

Ver [5] para mas detalles.

2.4. La ecuacion de Buckley-Levrett

En una explotacion petrolera, el crudo suele emerger a la superficie encuanto se perfora el yacimiento en el que se encuentra confinado bajo presion.Sin embargo, solo se llega a recuperar de esta manera un pequeno porcenta-je del petroleo almacenado. Por ello, la industria petrolera ha desarrolladosistemas para complementar esta produccion primaria que consiste en inyec-tar agua a traves de los pozos para desplazar el crudo a la superficie. Estecomplejo proceso se modela usando las ecuaciones de un flujo bifasico (aguay petroleo) en un medio poroso (la roca). En un modelo unidimensional sim-plificado, la evolucion de la saturacion del crudo u se gobierna por la ley deconservacion escalar de Buckley-Levrett

∂u

∂t+

∂

∂x

(u2

u2 + (1− u)2

)= 0 ∀x ∈ R, ∀t ≥ 0.

Esta ley de conservacion se distingue por el hecho de que su flujo no es niconvexo (como en el caso de la ecuacion de Burguers) ni concavo (como enla ecuacion del trafico). En efecto, es inmediato comprobar que la funcion

f(u) =u2

u2 + (1− u)2

tiene un punto de inflexion. Este hecho hace que el problema de Riemann co-rrespondiente sea mas complejo ya que puede generar soluciones con choquesy ondas de rarefaccion al mismo tiempo.

5

2.5. Las ecuaciones de Euler para la dinamica de Gases

Las ecuaciones de Euler describen el movimiento de un fluido compresibleno viscoso. Intervienen en el estudio de una amplia variedad de problemasrelacionados con la aerodinamica, como por ejemplo, los vuelos supersonicos,la balıstica o la simulacion numerica de tuneles de viento.

Si el gas se encuentra confinado en un tubo rectilıneo y largo entoncespodemos suponer que la densidad ρ, la velocidad v, la presion p y la energıatotal E dependen de una sola variable espacial x. En este caso, la ecuacionesde Euler consisten en una ley de conservacion de incognita u(x, t) y flujof(x, t) con

u(x, t) =

ρρvE

y f(x, t) =

ρvρv2 + p

(E + p)v

.

Es decir que consisten en el sistema hiperbolico nolineal

∂

∂t

ρρvE

+∂

∂x

ρvρv2 + p

(E + p)v

= 0. (9)

Las tres ecuaciones que constituyen (9) representan respectivamente la con-servacion de la masa, la conservacion de la cantidad de movimiento y laconservacion de la energıa. Ademas, tenemos que anadir la ecuacion de esta-do

p = (γ − 1)

(E − 1

2ρv2

)para eliminar la presion quedando al final un sistema cerrado de tres ecua-ciones y tres incognitas.

El estudio del sistema (9) presenta numerosas dificultades teoricas. La leyde conservacion escalar (10), a la que dedicaremos este trabajo, constituyeun buen punto de partida para el entendimiento del sistema de Euler.

3. Leyes de conservacion escalares

Nos interesamos por el estudio del problema: buscar u : R× [0,∞)→ Rsolucion de

∂u

∂t+

∂

∂x(f(u)) = 0, ∀x ∈ R, ∀t > 0, (10)

u(x, 0) = u0(x), ∀x ∈ R. (11)

6

En todo este trabajo supondremos que f : R→ R es una funcion de clase C2

y denotaremos su derivada por c(u) = f ′(u). La regularidad de la condicioninicial u0 se definira segun el contexto.

Gran parte del estudio presentado aquı esta inspirado de [2].

3.1. Soluciones clasicas

Supongamos que u0 : R→ R es una funcion de clase C1.

Definicion 3.1 (Solucion clasica). Diremos que u es una solucion clasica dela ecuacion (10) en un dominio abierto Ω ⊂ R× R+, si u es de clase C1 enΩ y satisface (10) en todo punto de Ω.

La tecnica de las rectas caracterısticas que vamos a desarrollar a conti-nuacion permite demostrar que el problema (10)-(11) admite una solucionclasica u(x, t) para 0 < t < T . Cuando T < +∞ se dice que la solucionclasica es local.

Si u una solucion clasica de la ecuacion (10) entonces u satisface la formano conservativa de la ecuacion, es decir,

∂u

∂t+ c(u)

∂u

∂x= 0 en R× (0,∞) (12)

dondec(u) = f ′(u). (13)

Consideramos la curva (x(t), t) del semiplano R× [0,∞) definida por el pro-blema de valor inicial,

dx

dt= c(u(x(t), t))

x(t0) = x0,

(14)

donde (x0, t0) ∈ R× [0,∞) es un punto arbitrario. En virtud de (12) y (14),la derivada de u, respecto a t, a lo largo de esta curva es identicamente nula,

d

dtu(x(t), t) =

∂u

∂x(x(t), t)

dx

dt(t) +

∂u

∂t(x(t), t) = 0.

Consecuentemente, u es constante a lo largo de la curva (14), y entonces

u(x(t), t) = u(x0, t0), ∀t > 0.

Deducimos que la curva caracterıstica que pasa por el punto (x0, t0) es unarecta del plano (x, t) cuya ecuacion es

x = x0 + c(u(x0, t0))(t− t0). (15)

7

Definicion 3.2 (Rectas caracterısticas). Sea u una solucion clasica de laecuacion (10). Las rectas de la forma (15) se llaman rectas caracterısticasde la ecuacion (10) y u es constante a lo largo de cada una de estas rectas.

Supongamos que u es una solucion clasica del problema (10)-(11) al menoshasta un cierto tiempo T > 0. La ecuacion de la recta caracterıstica que pasapor (ξ, 0) es

x = ξ + c(u0(ξ))t (16)

y para todo punto (x, t) de esta recta tenemos que

u(x, t) = u0(ξ). (17)

Este procedimiento nos permite calcular el valor de u en cualquier punto (x, t)del semi plano R× (0,∞) por el que pasa una unica recta caracterıstica.

En el caso de la ecuacion del transporte lineal (con una velocidad depropagacion c > 0 constante),

∂u

∂t+ c

∂u

∂x= 0, (18)

las rectas caracterısticasx = ξ + ct

son todas paralelas. Tienen una pendiente igual a 1/c. Por lo tanto, en virtudde (17), podemos afirmar que en este caso, la funcion mediante la formula

u(x, t) = u0(x− ct), ∀x ∈ R, ∀t ≥ 0

es una solucion clasica global del problema. Representa una onda que sedesplaza de izquierda a derecha sin deformarse y a una velocidad constanteigual a c. Podemos anticipar que estas propiedades no son ciertas en el casono lineal. En general, los valores de u0 no se propagan a la misma velocidady por lo tanto la solucion ha de deformarse a lo largo del tiempo.

Nota 3.1. Las rectas caracterısticas se representan siempre en el plano (x, t)y no en el plano (t, x). Esto significa que la pendiente de la recta (16) es

1c(u0(ξ))

. En particular, si c(u0(ξ)) = 0, la recta caracterıstica que nace del

punto (ξ, 0) es vertical.

El siguiente resultado nos da una condicion suficiente para la existenciade una solucion clasica global del problema de Cauchy no lineal (10)-(11).

Teorema 3.1 (Existencia de una solucion clasica global). Supongamos quec0(x) = c(u0(x)) es una funcion creciente en R. Entonces el problema deCauchy (10)-(11) tiene una unica solucion clasica.

8

Figura 1: Solucion y curvas caracterısticas de la ecuacion del transporte convelocidad constante (arriba) y de la ecuacion de Burguers (abajo).

Demostracion. Fijamos t ∈ R+. Como c0 es creciente, la funcion continua

ξ −→ F (ξ) = ξ + c0(ξ)t

define una biyeccion de R en R. En efecto, F es una funcion estrictamentecreciente

dF

dξ(ξ) = 1 + c′0(ξ)t > 0 (19)

ylım

ξ→±∞F (ξ) = ±∞,

puesto que, c0(ξ) ≥ c0(0) para ξ > 0 y c0(ξ) ≤ c0(0) para ξ < 0.Podemos entonces afirmar que, para todo (x, t) ∈ R× R+, existe un unico

ξ(x, t) tal quex = ξ(x, t) + c0(ξ(x, t))t. (20)

Introducimos la funcion,

u(x, t) = u0(ξ(x, t)).

Aplicando la regla de la cadena resulta que

∂u

∂t(x, t) + c(u(x, t))

∂u

∂x(x, t) = (u0)′(ξ(x, t))

[∂ξ

∂t(x, t) + c0(ξ(x, t))

∂ξ

∂x(x, t)

].

(21)

9

Por otra parte, derivando (20) respecto a x y a t obtenemos∂ξ

∂x(x, t)[1 + c′0(ξ)t] = 1

∂ξ

∂t(x, t)[1 + c′0(ξ)t] = −c0(ξ(x, t)).

(22)

Dado que 1 + c′0(ξ)t > 0 (c′0(ξ(x, t)) ≥ 0 por hipotesis), podemos combinar(22) con (21) para deducir que u(x, t) = u0(ξ(x, t)) es una solucion clasica de(12) en todo tiempo t > 0.

Nota 3.2 (Caso convexo). Si f es una funcion convexa, c es creciente. Eneste caso, podemos sustituir en el Teorema 3.1 la hipotesis “c0 es creciente”por “u0 es creciente”.

Ejemplo 3.1. Consideramos la funcion

u0(x) =

0 si x ≤ 0

x

αsi 0 ≤ x ≤ α

1 si x ≥ α,

donde α es un numero real positivo. Queremos resolver el problema de Cauchy(10)-(11) para las ecuaciones de Burguers (8) con el dato inicial u0. Notarque esta funcion es solamente de clase C1 a trozos, por tanto, el metodo de lascaracterısticas se debe de utilizar localmente, en cada uno de los subintervalosdonde u0 es regular. Deducimos de (16) que la recta caracterıstica que pasapor el punto (ξ, 0) tiene por ecuacion (ver la Figura 2)

x =

ξ si ξ ≤ 0

ξ +ξ

αt si 0 ≤ ξ ≤ α

ξ + t si ξ ≥ α

Por consiguiente, la funcion

u(x, t) = u0(ξ) =

0 si x ≤ 0

x

α + tsi 0 ≤ x ≤ α + t

1 si x ≥ α + t,

es una solucion del problema. Notar que para t fijo, la funcion u es creciente.

10

Figura 2: Las rectas caracterısticas del Ejemplo 3.1

3.1.1. Soluciones clasicas locales y nacimiento de un choque

Asumiremos siempre que la condicion inicial u0 del problema de Cauchyes una funcion acotada en R. Consecuentemente, velocidad inicial c0(x) =f ′(u0(x)) sera tambien acotada. A partir de ahora la velocidad inicial c0 yano sera necesariamente creciente en todo R.

Teorema 3.2 (Tiempo de aparicion de un choque). Si c′0 toma valoresestrıctamente negativos, entonces ya no puede existir una solucion clasicadel problema de Cauchy (10)-(11) que sea valida para todo tiempo t > 0.El metodo de las rectas caracterısticas proporciona una solucion clasica paratodo 0 ≤ t < t∗, donde

0 < t∗ =1

supξ∈R−c′0(ξ)

= ınfξ∈R−c′0(ξ)−1 <∞.

Demostracion. Probemos primero la existencia de una unica solucion clasicapara 0 < t < t∗. Si 0 < t < t∗, podemos razonar como en la demostraciondel Teorema 3.1 para deducir que la funcion ξ −→ F (ξ) = ξ + c0(ξ)t es

estrictamente creciente (su derivada es mayor que 1 − t

t∗) y tiende a ±∞

cuando ξ −→ ±∞. Por lo tanto, para todo 0 < t < t∗ fijo, F : R→ R defineuna biyeccion y la ecuacion (20) admite aquı tambien una unica solucionξ(x, t). Esto prueba la existencia de una solucion clasica u(x, t) para todot ∈ (0, t∗).

11

Figura 3: La solucion del Ejemplo 3.1 en diferentes niveles de tiempo

Notamos que, debido a (22), las derivadas de la solucion clasica tiendena infinito cuando t tiende a t∗. De hecho, demostraremos enseguida que lasolucion clasica no puede existir mas alla del tiempo t∗. Sea tmax, el tiempomaximo de existencia de una solucion clasica, es decir,

tmax = supt > 0 tal que existe una solucion clasica en R× [0, t).

Figura 4: Punto de corte de dos rectas caracterısticas

Sabemos que tmax ≥ t∗. Por hipotesis, existen ξ2 > ξ1 tales que c0(ξ1) >c0(ξ2). Las rectas caracterısticas que nacen en los puntos (ξ1, 0) y (ξ2, 0) secortan entonces en el punto (x0, t0), definido por (ver la Figura 4)

12

t0 =ξ2 − ξ1

c0(ξ1)− c0(ξ2),

x0 = ξ1 + c0(ξ1)t0 = ξ2 + c0(ξ2)t0.

Una solucion clasica u definida en (x0, t0) debe satisfacer simultaneamenteu(x0, t0) = u0(ξ1) y u(x0, t0) = u0(ξ2), lo cual es imposible ya que la condicionc0(ξ1) > c0(ξ2) impide que u0(ξ1) sea igual a u0(ξ2). Esto nos asegura entoncesque t0 > tmax.

Sea ξ tal que c0(ξ) < 0. Entonces, para h > 0 suficientemente pequeno,c0(ξ + h) < c0(ξ) y podemos tomar como antes ξ1 = ξ y ξ2 = ξ + h paradeducir que

tmax < t0 =h

c0(ξ)− c0(ξ + h).

Haciendo tender h a cero en la desigualdad anterior obtenemos

tmax ≤ −1

c′0(ξ),

lo que prueba que tmax ≤ t∗.

Nota 3.3. La aparicion de una discontinuidad es un fenomeno no lineal,ocurre incluso con un dato inicial u0 regular.

Ejemplo 3.2. Consideramos la ecuacion de Burguers (8) con la condicioninicial:

u0(x) =

1 si x ≤ 0

1− x

αsi 0 ≤ x ≤ α

0 si x ≥ α

(23)

donde α es un parametro positivo.La recta caracterıstica que nace en (ξ, 0) es (ver la Figura 5)

x =

ξ + t si ξ ≤ 0

ξ + (1− ξ

α)t si 0 ≤ ξ ≤ α

ξ si ξ ≥ α

y el tiempo maximo para el que existe una solucion clasica es t∗ = α.

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Figura 5: Las curvas caracterısticas del Ejemplo 3.2

La solucion clasica local del problema es (ver la Figura 6)

u(x, t) = u0(ξ) =

1 si x ≤ t

x− αt− α

si t ≤ x ≤ α

0 si x ≥ α

0 ≤ t < α

En el tiempo t = α, la derivada de u respecto a x es infinito cuando x = α.La solucion u es discontinua en ese punto.

3.2. Soluciones debiles

Sabemos ahora que, incluso cuando el dato inicial es muy regular, exis-ten circunstancias bajo las cuales el problema de Cauchy (10)-(11) no puedeadmitir soluciones clasicas globales. En estos casos, esa solucion se hace dis-continua a partir un cierto tiempo t∗ > 0. En este capıtulo introduciremos unnuevo concepto que nos permitira extender la solucion mas alla del tiempocrıtico t∗.

Recordemos que (10) se dedujo a partir de la ley de conservacion integral(1). Notar que la ecuacion (1) tiene sentido incluso cuando la solucion esdiscontinua. La clave entonces para ampliar el concepto de solucion es volvera reformular el problema de Cauchy en terminos de una ecuacion integralpara rebajar las exigencias de regularidad. Utilizaremos para ello funcionestest ϕ ∈ C∞comp(R× [0,+∞)), donde C∞comp(R× [0,+∞)) es el espacio de lasfunciones de C∞(R× [0,+∞)) que tienen un soporte compacto. Notar que el

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Figura 6: La solucion del Ejemplo 3.2 en diferentes niveles de tiempo

hecho de que ϕ tenga soporte compacto en R× [0,+∞) significa que existeρ > 0 tal que ϕ es identicamente nula en el complementario del semi disco(r, θ); 0 ≤ r ≤ ρ 0 ≤ θ ≤ π en el semi plano (x, t) ∈ R2; t ≥ 0.

Sea u una solucion clasica de (10)-(11). Multiplicando la ecuacion (10)por una funcion test ϕ e integrando sobre R× [0,+∞) obtenemos

0 =

∫ +∞

x=−∞

∫ +∞

t=0

(∂u

∂t+

∂

∂x(f(u))

)ϕdtdx.

Integrando por partes obtenemos,

0 =

∫ +∞

x=−∞

∫ +∞

t=0

(−u∂ϕ

∂t− f(u)

∂ϕ

∂x

)dtdx−

∫ +∞

x=−∞u0(x)ϕ(x, 0)dx.

Notar que la identidad anterior tiene sentido incluso cuando u es solamenteuna funcion localmente integrable en R× [0,+∞).

Definicion 3.3 (Solucion debil). Sea u0 ∈ L∞loc(R). Se dice que una funcionu ∈ L∞loc(R×[0,+∞)) es una solucion debil del problema de Cauchy (10)-(11)si satisface:∫ +∞

x=−∞

∫ +∞

t=0

(u∂ϕ

∂t+ f(u)

∂ϕ

∂x

)dtdx+

∫ +∞

x=−∞u0(x)ϕ(x, 0) dx = 0 (24)

para toda funcion test ϕ ∈ C∞comp(R× [0,+∞)).

Lema 3.1 (Relacion entre solucion debil y clasica). Si u es una solucionclasica del problema de Cauchy (10)-(11), entonces es una solucion debil. Siu ∈ C1(R× [0,+∞)) es una solucion debil del problema de Cauchy (10)-(11),entonces es una solucion clasica.

15

Demostracion. Ya hemos demostrado previamente la primera implicacion delteorema. Recıprocamente, sea u ∈ C1(R × [0,+∞)) una solucion debil delproblema (10)-(11). Por definicion (ver (24))∫ +∞

x=−∞

∫ +∞

t=0

(u∂ϕ

∂t+ f(u)

∂ϕ

∂x

)dtdx = 0

para toda funcion test ϕ ∈ C∞(R × (0,+∞)) con soporte compacto en elsemi plano abierto R × (0,+∞). Integrando por partes en ambas variables,teniendo en cuenta que ϕ(x, 0) = 0 para todo x, deducimos que∫ +∞

x=−∞

∫ +∞

t=0

(∂u

∂t+

∂

∂x(f(u))

)ϕdtdx = 0 ∀ϕ ∈ C∞(R× (0,+∞)).

Aplicando el teorema de du Bois-Reymond (ver [3, Lema IV.2]) deducimosla ecuacion

∂u

∂t+

∂

∂x(f(u)) = 0 en R× (0,+∞). (25)

Sea ahora ϕ una funcion arbitraria de C∞comp(R× [0,+∞)). Integrando denuevo por partes en (24) obtenemos

−∫ +∞

x=−∞

∫ +∞

t=0

(∂u

∂t+

∂

∂x(f(u))

)ϕdtdx+∫ +∞

−∞

(u0(x)− u(x, 0)

)ϕ(x, 0) dx = 0

y deducimos de (25) que∫ +∞

−∞(u0(x)− u(x, 0))ϕ(x, 0)dx = 0 ∀ϕ ∈ C∞comp(R× [0,+∞)),

lo que implica, gracias de nuevo al teorema de du Bois-Reymond, que lacondicion (11) es cierta.

3.2.1. Soluciones de clase C1 a trozos y condicion de choque

Nos interesaremos ahora por un tipo particular de soluciones debiles: lassoluciones de clase C1 a trozos.

Definicion 3.4 (Funcion de clase C1 a trozos). Sea Ω un abierto acotado deR× [0,+∞). Se dice que una funcion v(x, t) es de clase C1 a trozos en Ω siexiste un numero finito de curvas Σ1,...,Σp de la forma:

Σi :

x = ξi(t), t ∈ [t(1)i , t

(2)i ]

donde ξi es una funcion de clase C1

16

tales que v sea igual a la restriccion de una funcion de clase C1(R2) en cadacomponente conexa de Ω r Σ1 ∪ ... ∪ Σp.

Una funcion v(x, t) es de clase C1 a trozos en R× [0,+∞) si lo es paratodo abierto acotado de R× [0,+∞).

Notar que si una funcion u es de clase C1 a trozos entonces las funciones

u,∂u

∂ty∂u

∂xadmiten valores por ambos lados de una curva de discontinuidad

Σ. El vector unitario n, normal a una curva de discontinuidad Σ = (ξ(t), t)y orientado segun la direccion positiva del eje x viene dado por

n =

(nxnt

)=

1√1 + s2

(1

−s

)donde s = ξ′(t). (26)

Los valores u−(x, t) y u+(x, t) de u por la izquierda y por la derecha de unpunto (x, t) = (ξ(t), t) ∈ Σ son: u−(x, t) = lım

ε→0u((x, t)− εn),

u+(x, t) = lımε→0

u((x, t) + εn).

Figura 7: Curva Σ con su vector normal, u+ y u−

17

El siguiente resultado caracteriza las soluciones debiles de clase C1 atrozos del problema de Cauchy (10)-(11).

Teorema 3.3. Sea u una funcion de clase C1 a trozos en R × [0,+∞).Entonces u es una solucion debil del problema de Cauchy (10)-(11) si y solosi:

(i) u es una solucion clasica de (10)-(11) en todo dominio donde es declase C1

(ii) u satisface la condicion:

ξ′(t)(u+ − u−) = f(u+)− f(u−) (27)

a lo largo de de toda curva de discontinuidad Σ.

Demostracion. Sea u una funcion de clase C1 a trozos en R × [0,+∞) yΣ = (ξ(t), t) una curva de discontinuidad de u. Consideramos un abiertoacotado K ⊂ R × (0,+∞) dividido por Σ en dos componentes conexas K−

y K+ y suponemos que u es de clase C1 en K− y K+.

Figura 8: El abierto acotado K dividido por Σ

Sea ϕ ∈ C∞(K) con soporte compacto en K. Como u es regular en K−

18

y K+ podemos aplicar el teorema de Gauss para deducir que∫K−

(u∂ϕ

∂t+ f(u)

∂ϕ

∂x

)dxdt = −

∫K−

(∂u

∂t+

∂

∂x(f(u))

)ϕdxdt+∫

Σ

(u−nt + f(u−)nx

)ϕdγ,

y ∫K+

(u∂ϕ

∂t+ f(u)

∂ϕ

∂x

)dxdt = −

∫K+

(∂u

∂t+

∂

∂x(f(u))

)ϕdxdt−∫

Σ

(u+nt + f(u+)nx)

)ϕdγ.

Por tanto,∫K

(u∂ϕ

∂t+ f(u)

∂ϕ

∂x

)dxdt = −

∫K−∪K+

(∂u

∂t+

∂

∂x(f(u))

)ϕdxdt−

−∫

Σ

[(u+ − u−)nt + (f(u+)− f(u−))nx

]ϕdγ. (28)

Ahora, es facil deducir a partir de (28) que u es solucion debil del problema(10)-(11) si y solo si u satisface la ecuacion (10) en K− y K+ y satisface laidentidad ∫

Σ

[(u+ − u−)nt + (f(u+)− f(u−))nx

]ϕdγ = 0

para toda funcion ϕ ∈ C∞(K) con soporte compacto. Teniendo en cuenta(26), esta ultima condicion se traduce en

(u+ − u−)(−ξ′(t)) + (f(u+)− f(u−)) = 0

a lo largo de Σ ∩K, de donde obtenemos el resultado.

Denotando por [u] = u+ − u− y [f(u)] = f(u+)− f(u−) los saltos de lasfunciones u y f(u) a traves de Σ, la identidad (27) se convierte en

s =[f(u)]

[u]con s = ξ′(t).

Se le llama la condicion de Rankine-Hugoniot e indica que la velocidad co-rrecta de propagacion de una discontinuidad a lo largo de Σ es s.

19

Nota 3.4.

En el caso particular de la ecuacion de transporte, f(u) = cu, la ve-locidad de propagacion de la discontinuidad es s = c. Es decir, en elcaso lineal, las discontinuidades se propagan a lo largo de las rectascaracterısticas.

En el caso de la ecuacion de Burguers (8), la condicion de Rankine-Hugoniot se escribe:

s =u+ + u−

2.

Es decir, que la velocidad de propagacion de un choque es igual a lamedia de los valores de u por ambos lados de la curva de discontinuidad.

El siguiente resultado es una consecuencia importante del Teorema 3.3.

Corolario 3.3.1 (Caso de funciones C1 a trozos y continuas). Sea u unafuncion de clase C1 a trozos y globalmente continua en R × [0,+∞). Si ues una solucion clasica del problema (10)-(11) en todo dominio donde es declase C1, entonces es una solucion debil del problema (10)-(11).

Demostracion. Se satisface la condicion de choque (27) porque siempre u+ =u− a traves de cualquier curva del semiplano R× [0,+∞).

Ejemplo 3.3. Consideramos de nuevo el problema de Cauchy constituidopor la ecuacion de Burgers (8) y la condicion inicial (23). Hemos visto queexiste una solucion clasica u(x, t) valida hasta el tiempo t = α. Notar que ent = α la solucion

u(x, α) =

1 si x < α,

0 si x > α

es discontinua en x = α.Nuestro proposito ahora es calcular la solucion debil global del problema.

Segun (27), la velocidad de propagacion de esta discontinuidad viene dadapor ξ′(t) = 1

2. La funcion

u(x, t) =

1 si x < α + t−α2,

0 si x > α + t−α2,

es entonces solucion del problema para t > α, ver la Figura 9.

20

(a) (b)

Figura 9: (a) Rectas caracterısticas. (b) Solucion del Ejemplo 3.3

3.2.2. Soluciones entropicas

Gracias al concepto de solucion debil hemos podido calcular una solucionglobal del problema de Cauchy (10)-(11) en situaciones en las que el problemano puede tener soluciones clasicas. Desafortunadamente, la unicidad de lasolucion debil no esta garantizada.

Ejemplo 3.4. Consideramos la ecuacion de Burguers (8) con la condicioninicial

u0(x) =

0 si x < 0,

1 si x > 0.

Haciendo tender α a 0 en el ejemplo 3.1 obtenemos la siguiente solucionglobal del problema de Cauchy:

u(x, t) =

0 si x ≤ 0,

x

tsi 0 ≤ x ≤ t,

1 si x ≥ t.

En efecto, u es una funcion continua y es una solucion clasica de la ecuacionde Burguers (8) donde es de clase C1 por lo tanto, podemos afirmar graciasal Corolario 3.3.1 que u es una solucion debil del problema, ver la graficaizquierda de la Figura 10.

Por otra parte, razonando igual que en el ejemplo 3.3, podemos calcularuna solucion discontinua. La velocidad de propagacion de su choque serıa

21

ξ′(t) = 12

y por tanto

u(x, t) =

0 si x < t2,

1 si x > t2,

es otra solucion debil del problema, ver la grafica derecha de la Figura 10.

Figura 10: Rectas caracterısticas de las dos soluciones posibles del Ejemplo3.4

Nota 3.5. Es conveniente destacar que hemos construido una solucion con-tinua a partir de una condicion inicial discontinua. Veremos mas adelanteque es precisamente la solucion que hay que retener ya que es la que tieneun sentido fısico.

Vamos a introducir ahora un criterio que nos permitira seleccionar la unicasolucion viable desde el punto de vista fısico. Como ya hemos comentadopreviamente, la ecuacion:

∂u

∂t+

∂

∂x(f(u)) = 0 (29)

se obtiene generalmente como simplificacion de la ecuacion viscosa o disipa-tiva

∂uε∂t

+∂

∂x(f(uε))− ε

∂2uε∂x2

= 0, (30)

donde ε es pequeno y estrictamente positivo.Admitimos que el problema de Cauchy constituido por la ecuacion (30)

y la condicion inicial

uε(x, 0) = u0(x) ∈ L∞(R), (31)

tiene una solucion unica uε ∈ L∞(R× [0,+∞)). Es mas, se puede demostrarque uε es muy regular en R × (0,+∞), ver [4]. Queremos caracterizar lasolucion fısica de (29)-(31) como el lımite de uε cuando ε tiende a 0.

22

Lema 3.2. Sea uεε un conjunto de soluciones de (30) tales que:

‖uε‖L∞(R×[0,+∞)) ≤ C ∀ε > 0 (32)

y

uε(x, t) −→ u(x, t) cuando ε −→ 0 para c.t.p.x de R× [0,+∞), (33)

entonces u es una solucion debil de (29).

Demostracion. Multiplicando (30) por una funcion test ϕ ∈ C∞comp(R×(0,∞))e integrado por partes obtenemos∫ ∞

t=0

∫ ∞x=−∞

(−uε

∂ϕ

∂t− f(uε)

∂ϕ

∂x+ εuε

∂2ϕ

∂x2

)dxdt = 0.

Teniendo en cuenta (32) y (33) y el hecho de que el soporte de ϕ es compacto,podemos utilizar el teorema de convergencia dominada de Lebesgue (ver [3])para pasar al lımite en la identidad anterior y obtener∫ ∞

t=0

∫ ∞x=−∞

(−u∂ϕ

∂t− f(u)

∂ϕ

∂x

)dxdt = 0,

siendo ϕ una funcion arbitraria en C∞comp(R× (0,∞)). El resultado sigue dela definicion misma de solucion debil.

Para caracterizar el lımite u de las soluciones de la ecuacion parabolica(30) utilizamos la nocion matematica de entropıa.

Definicion 3.5 (Entropıa). Una pareja (U, F ) de funciones de clase C1 enR constituye una entropıa para la ecuacion (29) si

(i) U es una funcion estrictamente convexa,

(ii) F ′(u) = U ′(u)f ′(u) ∀u ∈ R.

Notar que si U(·) y F (·) son dos funciones regulares relacionadas mediantela ecuacion (ii) anterior, y si u es una solucion clasica de la ecuacion (29)entonces

U ′(u)∂u

∂t+ U ′(u)f ′(u)

∂u

∂x= 0,

se convierte en∂

∂tU(u) +

∂

∂xF (u) = 0. (34)

Sin embargo, si u es una solucion debil de clase C1 a trozos de (29), entoncesla ecuacion (34) no puede cumplirse en el sentido debil. En efecto, para que

23

eso fuese cierto, es necesario que s[U(u)] = [F (u)] a lo largo de toda curvade discontinuidad de u pero esta identidad no puede satisfacerse al mismotiempo que la condicion de Rankine-Hugoniot (27). En realidad, cuando u esuna solucion debil de clase C1 a trozos, (34) se convierte en una desigualdad.

Teorema 3.4. Sea uεε un conjunto de soluciones regulares de (30) verifi-cando (32) y (33), y sea (U, F ) una entropıa para la ecuacion (29). Entoncesu verifica la condicion∫ ∞

t=0

∫ ∞x=−∞

(∂ϕ

∂tU(u) +

∂ϕ

∂xF (u)

)dxdt ≥ 0 (35)

para toda funcion test ϕ de C∞comp(R× (0,∞)) tal que ϕ ≥ 0.

Demostracion. Multiplicando la ecuacion (30) por U ′(uε) obtenemos

U ′(uε)∂uε∂t

+ U ′(uε)f′(uε)

∂uε∂x− εU ′(uε)

∂2uε∂x2

= 0.

Gracias a la propiedad F ′(u) = U ′(u)f ′(u), podemos transformar la identidadanterior en

∂

∂tU(uε) +

∂

∂xF (uε)− ε

∂2

∂x2U(uε) = −εU ′′(uε)(

∂uε∂x

)2.

Multiplicando el resultado por una funcion test ϕ ∈ C∞comp(R × (0,∞)) nonegativa e integrando por partes obtenemos∫ ∞

t=0

∫ ∞x=−∞

(∂ϕ

∂tU(uε) +

∂ϕ

∂xF (uε) + ε

∂2ϕ

∂x2U(uε)

)dxdt =

ε

∫ ∞t=0

∫ ∞x=−∞

U ′′(uε)(∂uε∂x

)2ϕdxdt. (36)

Notar que no podemos tomar directamente al lımite en ε ya que la conver-gencia del lado derecho de la ecuacion (36) no esta garantizada. Sin embargodado que U es convexa, tenemos que

ε

∫ ∞t=0

∫ ∞x=−∞

U ′′(uε)(∂uε∂x

)2ϕdxdt ≥ 0

para toda funcion test ϕ ∈ C∞comp(R× (0,∞)) no negativa. Por lo tanto,∫ ∞t=0

∫ ∞x=−∞

(∂ϕ

∂tU(uε) +

∂ϕ

∂xF (uε) + ε

∂2ϕ

∂x2U(uε)

)dxdt ≥ 0

y (35) se obtiene pasando al lımite en la desigualdad anterior ayudandose delteorema de convergencia dominada de Lebesgue.

24

La condicion (35) se llama condicion de entropıa y se suele escribir (en elsentido de las distribuciones),

∂

∂tU(u) +

∂

∂xF (u) ≤ 0.

Definicion 3.6 (Solucion entropica). Una solucion debil del problema deCauchy (29)-(31) se llama solucion entropica si satisface la condicion deentropıa (35) para toda entropıa (U, F ) de la ecuacion (29).

Teorema 3.5 (Entropıa para las soluciones de clase C1 a trozos). Sea u unasolucion debil de clase C1 a trozos de (29)-(31). Entonces u es una solucionentropica si y solo si, para toda entropıa (U, F ), se cumple la condicion∫

Σ

ξ′(t)[U(u+(t))− U(u−(t))

] ϕ√1 + ξ′(t)2

dγ ≥

∫Σ

[F (u+(t))− F (u−(t))

] ϕ√1 + ξ′(t)2

dγ (37)

para toda funcion test no negativa ϕ ∈ C∞comp(R× (0, ∞)) y a lo largo de todacurva de discontinuidad Σ = (ξ(t), t).

Demostracion. Sea u una solucion debil de clase C1 a trozos de (29)-(31).Recordamos que esto significa que u es una solucion clasica del problemade Cauchy (29)-(31) en cualquier abierto en el que es de clase C1 y que uverifica a lo largo de toda curva de discontinuidad Σ la condicion de Rankine-Hugoniot

ξ′(t)(u+ − u−) = f(u+)− f(u−).

Sea (U, F ) una entropıa para la ecuacion (29). Consideramos, como en lademostracion del teorema 3.3, un abierto acotado K ⊂ R × (0,∞) divididopor una curva de discontinuidad Σ en dos componentes conexas K− y K+.Aplicando el teorema de Gauss en K− y K+ deducimos la identidad∫

K

(U(u)

∂ϕ

∂t+ F (u)

∂ϕ

∂x

)dxdt = −

∫K−∪K+

(∂

∂tU(u) +

∂

∂xF (u)

)ϕdxdt

−∫

Σ

[(U(u+)− U(u−))nt + (F (u+)− F (u−))nx

]ϕdγ, (38)

para toda funcion test ϕ ∈ C∞comp(K). Teniendo en cuenta que

∂

∂tU(u) +

∂

∂xF (u) = 0 en K− ∪K+

25

para toda solucion debil y de clase C1 a trozos, resulta inmediatamente de(38) que dicha solucion es entropica si y solo si

−∫

Σ

[(U(u+)− U(u−))nt + (F (u+)− F (u−))nx

]ϕdγ ≥ 0

para toda ϕ ∈ C∞comp(K), ϕ ≥ 0. Finalmente, teniendo en cuenta la definicion

(26) del vector normal unitario n =

(nxnt

)en terminos de la parametrizacion

ξ(·) de Σ y usando tambien el hecho de que K ⊂ R × (0, ∞) es un abiertoacotado arbitrario, resulta que la ultima desigualdad es equivalente a (37).

Notar que

ξ′(t)[U(u+(t))− U(u−(t))

]≥[F (u+(t))− F (u−(t))

](39)

es una condicion suficiente para el cumplimiento del criterio (37). Veremosahora que en el caso de una funcion de flujo f convexa esta ultima condicionse simplifica aun mas.

Teorema 3.6 (Choque entropico, caso convexo). Supongamos que f es es-trictamente convexa. Entonces, la condicion suficiente (39) para un choqueentropico es equivalente a

u− > u+ a lo largo de toda curva de discontinuidad Σ. (40)

Demostracion. La funcion G definida por

u 7→ G(u) =f(u)− f(u−)

u− u−(U(u)− U(u−))− (F (u)− F (u−)).

es decreciente. En efecto,

G′(u) =f ′(u)(u− u−)− (f(u)− f(u−))

(u− u−)2(U(u)− U(u−))

+f(u)− f(u−)

u− u−U ′(u)− F ′(u).

y, teniendo en cuenta la relacion F ′(u) = U ′(u)f ′(u), obtenemos que

G′(u) =f ′(u)(u− u−)− (f(u)− f(u−))

(u− u−)2(U(u)− U(u−))+

f(u)− f(u−)− f ′(u)(u− u−)

u− u−U ′(u)

26

=(f ′(u)(u− u−)− f(u) + f(u−))(U(u)− U(u−)− U ′(u)(u− u−))

(u− u−)2.

Ademas, f y U son funciones convexas por hipotesis, lo que implica que

(f ′(u)(u− u−)− (f(u)− f(u−)) < 0

yU ′(u)(u− u−)− (U(u)− U(u−)) < 0,

para todo u ∈ R. Por lo tanto G′(u) < 0 en todo R.Deducimos que (40) y (39) son equivalentes notando que G(u−) = 0 y

que (39) se escribe G(u+) ≥ 0.

El Teorema 3.6 significa que, en el caso de una funcion de flujo convexa,las rectas caracterısticas deben de converger hacıa la curva que determina elchoque (como en la primera grafica de la Figura 9) y nunca emerger de ella(como ocurre en la grafica de la derecha de la Figura 10). Veamos como sedemuestra esta propiedad.

Lema 3.3. Sea u una solucion entropica de clase C1 a trozos del problema deCauchy (29)-(31) con una funcion de flujo f estrıctamente convexa. Entoncesu satisface a lo largo de toda curva de discontinuidad Σ

c(u+) < ξ′(t) < c(u−), (41)

donde c designa la derivada de f .

Demostracion. Dado que f es estrictamente convexa, la funcion

u 7→ f(u)− f(u+)

u− u+

es continua y estrictamente creciente en [u+, u−], por tanto

c(u+) <f(u−)− f(u+)

u− − u+= ξ′(t)

donde la ultima identidad es la condicion de Rankine-Hugoniot. La otra de-sigualdad se demuestra de manera similar.

Nota 3.6 (Caso particular de la ecuacion de Burguers). En el caso de laecuacion de Burguers (8), la condicion (41) consiste en

u+ < s =u− + u+

2< u−.

Esta propiedad de entropıa permite descartar la solucion discontinua delejemplo 3.4

27

Tenemos la siguiente generalizacion del Teorema 3.6 para el caso de unafuncion de flujo que no sea ni convexa ni concava.

Teorema 3.7 (Choque entropico, caso general). La condicion de choqueentropico (39) es equivalente a

f(αu− + (1− α)u+) ≥ αf(u−) + (1− α)f(u+) si u+ > u−

f(αu− + (1− α)u+) ≤ αf(u−) + (1− α)f(u+) si u+ < u−(42)

para todo α ∈ [0, 1].

Nota 3.7 (Interpretacion geometrica). El teorema significa que un choquees entropico si se cumple una de las siguientes condiciones:

(i) u+ > u− y la grafica de u 7→ f(u) esta por encima del segmento[u−, u+],

(ii) u+ < u− y la grafica de u 7→ f(u) esta por debajo del segmento [u+, u−].

Notar que en el caso de una f convexa, la condicion u+ > u− es suficiente porsi sola (como ya probamos antes) para garantizar que un choque es entropico.Del mismo modo, si f es concava, la condicion u+ < u− es suficiente ya quela condicion sobre la grafica de f se cumple por defecto.

3.2.3. Existencia y unicidad de la solucion entropica

El siguiente resultado garantiza que el problema de Cauchy (10)-(11) estabien planteado en el sentido de Hadamard. Es decir que el problema tiene unaunica solucion entropica que ademas es continua respecto al dato inicial. Lademostracion de este resultado tiene una dificultad tecnica que no se adecuaal nivel de esta memoria, ver [4].

Teorema 3.8 (Existencia y unicidad de la solucion entropica). Supongamosque u0 ∈ L∞(R). Entonces, el problema de Cauchy (10)-(11) admite unaunica solucion entropica u ∈ L∞(R× [0,+∞)) que verifica:

‖u(·, t)‖L∞(R) ≤ ‖u0‖L∞(R) para casi todo t ≥ 0.

Si u y v son las soluciones entropicas asociadas a las condiciones inicialesu0 y v0, entonces:∫ x2

x1

|u(x, t)− v(x, t)|dx ≤∫ x2+At

x1−At|u0(x)− v0(x)|dx (43)

para casi todo t ≥ 0, ∀x1 < x2, donde

A = max|f ′(ξ)|; |ξ| ≤ max(‖u0‖L∞(R), ‖v0‖L∞(R))

.

28

Nota 3.8 (Velocidad de propagacion). La desigualdad (43) significa que elvalor de u en el punto (x, t) solo depende de los valores de u0 en el inter-valo [x − At, x + At]. Es decir, la solucion entropica tiene una velocidad depropagacion finita.

Nota 3.9. La demostracion del Teorema (43) es compleja y utiliza herra-mientas y argumentos matematicos sofisticados. La existencia de una solu-cion entropica se obtiene en varias etapas:

En primer lugar, se demuestra la existencia y unicidad de una solucionregular del problema de Cauchy no lineal (10)-(11) para todo ε > 0.

Se utilizan estimaciones a priori y tecnicas de compacidad para demos-trar que uε satisface las hipotesis (32) y (33) del Lema 3.2.

Finalmente, se demuestra que el lımite de la sucesion uεε es unasolucion entropica de (30)-(11).

La estimacion (43) se obtiene basandose en tecnicas complicadas que empleanla entropıa de Kruzkov, ver [4]. El resultado de unicidad es una consecuenciainmediata de (43).

Teorema 3.9 (Monotonıa). Sean u y v soluciones entropicas de (10)-(11)asociadas a las condiciones iniciales u0 y v0, entonces:

u0 ≥ v0 =⇒ u(·, t) ≥ v(·, t) para casi todo t ≥ 0. (44)

En particular,x −→ u0(x) creciente ⇔ x −→ u(x, t) creciente , en c.t.p. t ≥ 0,

a ≤ u0(x) ≤ b para c.t. x ∈ R⇔ a ≤ u(x, t) ≤ b en c.t.p. (x, t) ∈ R× R+.(45)

3.3. El problema de Riemann

En esta seccion, para simplificar, nos limitaremos al caso de una funcionflujo f estrictamente convexa. Vamos a poner en practica las tecnicas intro-ducidas en este capıtulo para calcular explıcitamente la solucion entropicadel problema de Cauchy,

∂u

∂t+

∂

∂x(f(u)) = 0, x ∈ R, t > 0

u(x, 0) =

ug si x < 0,

ud si x > 0,

(46)

donde ug y ud son dos constantes dadas.

29

Nota 3.10 (Relacion con la dinamica de gases). Riemann estudio un pro-blema de dinamica de gases en el que se considera un tubo que contiene dosgases separados por una membrana fina. Se trata de calcular la compresion(o expansion) del gas despues de la ruptura repentina de la membrana. Lascondiciones iniciales de este problema son similares a las del problema (46),de allı que los problemas de Cauchy del tipo (46) se llamen problema deRiemann.

Ya hemos calculado la solucion del problema (46) para la ecuacion deBurguers (8) con los datos iniciales

ug = 0 y ud = 1 (ejemplo 3.1),

ug = 1 y ud = 0 (ejemplo 3.3),

y vimos que las soluciones obtenidas son muy diferentes. Para estudiar elproblema general distinguiremos los casos, ug < ud y ug > ud.

Lema 3.4 (Solucion autosemejante). La solucion u del problema de Riemann(46) es autosemejante, es decir que es de la forma:

u(x, t) = v(x/t).

Ademas, se debe de verificar que

v′(x/t) = 0 o c(v(x/t)) = x/t (47)

en todo subdominio en el que v es de clase C1.

Demostracion. Es inmediato comprobar que si u(x, t) es solucion de (46)entonces, para todo α > 0, la funcion u(αx, αt) es tambien solucion delmismo problema. Esto significa que u es autosemejante. Ademas, si u es declase C1 en K ⊂ R× (0,∞), entonces

∂u

∂t+ c(u)

∂u

∂x= − x

t2v′(x/t) +

1

tc(v(x/t))v′(x/t) = 0, ∀(x, t) ∈ K

y por lo tanto,

v′(x/t)(c(v(x/t))− x/t) = 0, ∀(x, t) ∈ K.

Estamos ahora listos para resolver el problema (46) de forma explıcita.

30

3.3.1. El caso de una onda de rarefaccion: ug < ud

En primer lugar, el metodo de las caracterısticas nos permite construirla solucion en las regiones (x, t) ∈ R × (0,∞); x ≤ c(ug)t y (x, t) ∈R× (0,∞); x ≥ c(ud)t. Obtenemos,

u(x, t) =

ug si xt≤ c(ug)

ud si xt≥ c(ud).

Para calcular u en la zona central (x, t) ∈ R × (0,∞); c(ug)t ≤ x ≤c(ud)t, utilizamos la segunda ecuacion de (47). En efecto, Dado que c = f ′

es estrictamente creciente podemos escribir que

u(x, t) = c−1(x/t) cuando c(ug) ≤x

t≤ c(ud).

La funcion u ası obtenida es continua, se dice que es una onda de rarefacciono un abanico (debido a la forma de las rectas caracterısticas), ver la Figura11.

(a) (b)

Figura 11: Ejemplo de una onda de rarefaccion: (a) Rectas caracterısticas.(b) Solucion del problema de Riemann con dos estados iniciales: ug < ud

3.3.2. El caso de una onda de choque: ug > ud

En este caso, la solucion es constante a cada lado de la curva Σ =(ξ(t), t) a lo largo de la cual se produce el choque. La ecuacion de dichacurva se determina utilizando la condicion de Rankine-Hugoniot,

ξ′(t) =f(ug)− f(ud)

ug − ud.

31

El choque es entropico (ug > ud) y la solucion es

u(x, t) =

ug si x < st,

ud si x > st.

con s igual a la constante f(ug)−f(ud)

ug−ud, ver la Figura 12.

(a) (b)

Figura 12: Ejemplo de una onda de choque entropico: (a) Rectas caracterısti-cas. (b) Solucion del problema de Riemann con dos estados iniciales: ug < ud

En resumen, la solucion entropica wR(x/t;ug, ud) del problema de Rie-mann (46) con dos estados iniciales (ug, ud) viene dada por la funcion continuay de clase C1 a trozos

wR(x/t;ug, ud) =

ug si x/t ≤ c(ug)

c−1(x/t) si c(ug) ≤ x/t ≤ c(ud)

ud si x/t ≥ c(ud)

(48)

cuando ug < ud y por la funcion constante a trozos

wR(x/t;ug, ud) =

ug si x/t < s,

ud si x/t > s,con s =

f(ug)− f(ud)

ug − ud, (49)

cuando ug > ud.

32

3.3.3. Solucion del problema de Riemann con tres estados iniciales

Vamos a resolver explıcitamente el problema de Cauchy de la ecuacion deBurguers con tres estados iniciales,

∂u

∂t+

∂

∂x(u2

2) = 0 x ∈ R, t > 0,

u(x, 0) =

u1 si x < 0,

u2 si 0 < x < 1,

u3 si x > 1,

donde u1, u2 y u3 son tres constantes dadas.Supongamos que u1 < u2 < u3. En este caso, existe una solucion continua

y creciente para todo tiempo t > 0. Los rectas caracterısticas que emergen(en forma de abanico) de los puntos x = 0 y x = 1 no interfieren nunca entresi, y por lo tanto no se produce ninguna onda de choque, ver la figura 13.Mas concretamente, la solucion es

u(x, t) =

u1 si x < u1t,

x/t si u1t < x < u2t,

u2 si u2t < x < u2t+ 1,

(x− 1)/t si u2t+ 1 < x < u3t+ 1,

u3 si x > u3t+ 1,

Figura 13: Rectas caracterısticas y solucion del problema de Riemann parala ecuacion de de Burguers con los tres estados iniciales: u1 = −1, u2 = 0 yu3 = 1

33

Supongamos ahora que u1 > u2 > u3. En el tiempo t = 0 nacen doschoques entropicos desde los puntos x = 0 y x = 1. Las dos curvas a lo largode las cuales de propagan dichos choques de cruzan en un tiempo t∗ quedeterminaremos mas adelante. Para t suficientemente pequeno, la condicionde Rankine-Hugoniot nos permite determinar la trayectoria x = ξ1(t) delprimer choque

ξ1(t) =1

2(u1 + u2)t

y la trayectoria x = ξ2(t) del segundo

ξ2(t) =1

2(u2 + u3)t+ 1.

El tiempo t∗ se obtiene entonces resolviendo

1

2(u1 + u2)t∗ =

1

2(u2 + u3)t∗ + 1.

En ese tiempo t∗ = 2u1−u3 tenemos que

ξ1(t∗) = ξ2(t∗) =u1 + u2

u1 − u3

.

Mas alla del tiempo t∗, solo hay un choque (ver la Figura 14) cuya trayectoriaes

x = ξ(t) =1

2(u1 + u3)t+

u2 − u3

u1 − u3

, t > t∗.

En definitiva, la solucion viene dada por

u(x, t) =

u1 si x < ξ1(t),

u2 si ξ1(t) < x < ξ2(t),

u3 si x > ξ2(t),

si t < t∗,

y

u(x, t) =

u1 si x < ξ(t),

u3 si x > ξ(t),si t > t∗.

34

Figura 14: Rectas caracterısticas y solucion del problema de Riemann parala ecuacion de de Burguers con los tres estados iniciales: u1 = 1, u2 = 0 yu3 = −2

Consideremos ahora un dato inicial no monotono. Supongamos por ejem-plo que u1 < u2 y u2 > u3. En este caso tenemos un choque entropicooriginado en el punto x = 1 y en una onda de rarefaccion cuyo abanico sedespliega a partir del punto x = 0. La onda de choque y la onda de rarefac-cion interferiran a partir de un tiempo t∗ que determinaremos. Para t < t∗,la trayectoria del choque viene dada por

x = ξ(t) donde ξ(t) =1

2(u2 + u3)t+ 1.

Por lo tanto, para t < t∗, tenemos que

u(x, t) =

u1 si x < u1t,

x/t si u1t < x < u2t,

u2 si u2t < x < ξ(t),

u3 si x > ξ(t),

El tiempo de corte t∗ se obtiene resolviendo la ecuacion

u2t∗ = ξ(t∗).

Para t > t∗ =2

u2 − u3

, la trayectoria x = ξ(t) del choque es influenciada por

la onda de rarefaccion. En efecto, el valor de la solucion a la izquierda delchoque es

u(ξ(t), t) =ξ(t)

t,

y por la condicion de Rankine-Hugoniot

ξ′(t) =1

2(ξ(t)

t+ u3).

35

La solucion general de esta ecuacion diferencial es

ξ(t) = α√t+ u3t.

El valor α =√

2(u2 − u3) de la constante se determina utilizando que

ξ(t∗) =2u2

u2 − u3

.

Entonces, para t > t∗, la solucion se prolonga de la forma siguiente,

u(x, t) =

u1 si x < u1t,

x/t si u1t < x < ξ(t),

u3 si x > ξ(t).

Figura 15: Rectas caracterısticas y solucion del problema de Riemann parala ecuacion de de Burguers con los tres estados iniciales: u1 = −1, u2 = 2 yu3 = 0

A continuacion, o bien u1 < u3 y la expresion anterior de la soluciones valida para todo tiempo t > t∗, o bien u1 > u3 y la expresion es validamientras el tiempo t satisface la desigualdad

u1t < ξ(t).

36

Figura 16: Rectas caracterısticas y solucion del problema de Riemann parala ecuacion de de Burguers con los tres estados iniciales: u1 = 0, u2 = 1 yu3 = −1

Es decir, siempre que t < t∗∗ donde t∗∗ = 2(u2−u3)(u1−u3)2

se obtiene resolviendo

u1t∗∗ =

√2(u2 − u3)t∗∗ + u3t

∗∗.

Para t > t∗∗, la trayectoria del choque viene dada por

ξ(t) =1

2(u1 + u3)t+

u2 − u3

u1 − u3

y la solucion es entonces

u(x, t) =

u1 si x < ξ(t),

u3 si x > ξ(t).

4. Analisis numerico de leyes de conservacion

escalares

Este capıtulo se dedica al diseno y analisis de esquemas numericos parael problema de Cauchy

Encontrar u(x, t) : R× R+ −→ R tal que

∂u

∂t+

∂

∂xf(u) = 0, x ∈ R, t > 0,

u(x, 0) = u0(x), x ∈ R,

(50)

donde f es una funcion estrictamente convexa.

37

Dado un paso de discretizacion espacial h > 0 y dado un paso de discre-tizacion temporal ∆t > 0, definimos las sucesiones

xj = jh, j ∈ Z,

tn = n∆t, n ∈ N.

Debido a la posible existencia de choques, y por lo tanto, de discontinuidadesde la solucion u de (50), es mas conveniente proponerse aproximar el promedio

uj(t) =1

h

∫ xj+h2

xj−h2

u(x, t) dx,

de u(·, t) en una celda (xj − h2, xj + h

2) que el valor puntual u(xj, t), j ∈ Z.

Los esquemas implıcitos son difıciles de implementar para los problemasno lineales, por lo tanto, solo consideraremos aquı esquemas explıcitos conun paso en tiempo y tres pasos en espacio. Es decir, que nos proponemosdisenar esquemas que se formulan de la manera siguiente: Para n = 0, 1, · · · ,buscar unj ' uj(t

n), j ∈ Z solucion de

un+1j = H(unj−1, u

nj , u

nj−1), ∀j ∈ Z,

u0j = u0(xj), ∀j ∈ Z,

(51)

donde H es una funcion regular.

4.1. Esquemas en forma conservativa

Los esquemas numericos de interes para el problema de Cauchy (50) sededucen a partir del la forma conservativa de la ecuacion. Calculando elpromedio de la ecuacion del problema (50) en cada uno de los intervalos(xj−1/2, xj+1/2), donde

xj+1/2 = xj +h

2, j ∈ Z,

obtenemos

d

dtuj(t) +

f(u(xj+ 12, t))− f(u(xj− 1

2, t))

h= 0, ∀j ∈ Z. (52)

Cada uno de los metodos numericos que vamos a estudiar se caracterizaramediante una funcion g(·, ·) tal que

g(uj(t), uj+1(t)) ' f(u(xj+ 12, t)), ∀j ∈ Z.

38

Discretizando ahora en tiempo el sistema aproximado

d

dtuj(t) +

g(uj(t), uj+1(t))− g(uj−1(t), uj(t))

h= 0, (j ∈ Z)

mediante el metodo de Euler explıcito obtenemos (51) con

H(unj−1, unj , u

nj+1) = unj −

∆t

h[g(unj , u

nj+1)− g(unj−1, u

nj )].

Definicion 4.1 (Esquema conservativo). Se dice que el esquema (51) tieneuna forma conservativa si existe una funcion regular g tal que

un+1j = unj −

∆t

h[g(unj , u

nj+1)− g(unj−1, u

nj )]. (53)

La funcion g se denomina el flujo numerico del esquema.

A menudo utilizaremos la notacion

un+1j = unj −

∆t

h(gnj+ 1

2− gn

j− 12),

dondegnj+ 1

2= g(unj , u

nj+1), j ∈ Z.

Nota 4.1. Es importante senalar que los esquemas estables y convergentespara la ecuacion del transporte lineal (18) estudiados en [1] no tienen nece-sariamente una buena extension al caso no lineal en forma de un esquemaconservativo. Por ejemplo, la siguiente generalizacion natural

un+1j =

unj − ∆t

hc(unj )(unj − unj−1) si c(unj ) ≥ 0

unj − ∆thc(unj )(unj+1 − unj ) si c(unj ) ≤ 0.

del esquema descentrado no puede ponerse en forma conservativa. Si aplica-mos dicho esquema al problema de Cauchy (50) con el dato inicial

u0(x) =

ug si x ≤ 0,

ud si x > 0,

donde ug y ud son tales que c(ug) ≥ 0 y c(ud) ≤ 0, se obtiene la solucionnumerica estacionaria

unj = u0(xj) ∀j, ∀n,que, en general, no es una solucion debil del problema.

La importancia de la forma conservativa de un esquema se ilustrara unpoco mas adelante con el teorema de Lax-Wendroff. De momento, veamoslas condiciones que debe de verificar el flujo numerico para que el esquemasea consistente con la ecuacion del problema (50).

39

4.2. Consistencia

El error de truncatura del esquema (53) en el punto (xj, tn) de la malla y

relativo a una solucion debil u de (50), regular entorno a (xj, tn), se escribe

εnj (u) =1

∆t

(u(xj, t

n+1)− u(xj, tn))

+

1

h

(g(u(xj, t

n), u(xj+1, tn))− g(u(xj−1, t

n), u(xj, tn))), (54)

Definicion 4.2 (Consistencia). Decimos que el esquema (53) es consistentede orden p > 0 en espacio y q > 0 en tiempo si para todo (j, n) ∈ Z × N ypara toda solucion u regular de (50) entorno al punto (xj, t

n),

|εnj (u)| = O(hp) +O(∆tq).

Lema 4.1 (Condicion de consistencia). Un esquema en la forma conservativa(53) es consistente con la ecuacion del problema (50) si y solo si

g(u, u) = f(u) + cte. ∀u ∈ R. (55)

Entonces el metodo es al menos de orden 1 en espacio y tiempo.

Demostracion. Sea (j, n) ∈ Z × N fijo y sea u una solucion de (50) regularentorno a (xj, t

n). Utilizando el desarrollo de Taylor tenemos que

u(xj, tn+1)− u(xj, t

n)

∆t=∂u

∂t(xj, t

n) +O(∆t),

u(xj±1, tn)− u(xj, t

n)

h= ±∂u

∂x(xj, t

n) +O(h)

y

g(u(xj, tn), u(xj+1, t

n))− g(u(xj−1, tn), u(xj, t

n))

h=(

∂1g(u(xj, tn), u(xj, t

n)) + ∂2g(u(xj, tn), u(xj, t

n)))∂u∂x

(xj, tn) +O(h).

De donde la identidad

εnj (u) =∂u

∂t(xj, t

n) +(∂1g(unj , u

nj ) + ∂2g(unj , u

nj )) ∂u∂x

(xj, tn) +O(h) +O(∆t).

Concluimos que el esquema es consistente (y al menos de orden 1 tanto enespacio como en tiempo) si y solo si

∂1g(u, u) + ∂2g(u, u) = f ′(u) ∀u ∈ R.

40

4.3. Estabilidad L2 del esquema linealizado

Para todo n = 0, 1, · · · , la sucesion unj , j ∈ Z representa la solucionnumerica en el nivel de tiempo t = tn. Podemos identificar esta solucionaproximada con la funcion constante a trozos un : R→ R definida por

un(x) = unj , ∀x ∈ [xj−1/2, xj+1/2), ∀j ∈ Z.

La condicion inicial u0 tiene en la practica un soporte compacto, es decirque se anula identicamente para |x| suficientemente grande. En virtud de laNota 3.8, la solucion debil entropica u del problema de Cauchy (50) tieneuna velocidad de propagacion finita, y por lo tanto, en todo tiempo t lafuncion x 7→ u(x, t) tiene tambien un soporte compacto. Se espera de unbuen esquema numerico que reproduzca esta situacion, generando, para todon, soluciones un(x) con soporte compacto. En estas circunstancias, las normas

‖un‖Lp =

(∫R|u(x)|p dx

)1/p

tienen sentido para todo p ∈ [1,∞].

Definicion 4.3 (Estabilidad asintotica). Se dice que el esquema (53) esasintoticamente estable en la norma ‖ · ‖Lp si para toda pareja de condicio-nes iniciales con soporte compacto (u0, v0) ∈ Lp(R) × Lp(R), la pareja desoluciones discretas (un(x), vn(x)) satisface para todo n,

‖un − vn‖Lp ≤ C‖u0 − v0‖Lp ,

donde C > 0 es una constante independiente de u0, v0, n, ∆t y h.

Hemos visto en el curso [1] sobre el metodo de diferencias finitas que latransformada de Fourier proporciona un metodo sistematico para comprobarla estabilidad de los esquemas numericos para la ecuacion del transporte (18)en la norma ‖ ·‖L2(R). Desafortunadamente, esta herramienta no es de muchautilidad en el caso de las leyes de conservacion no lineales.

Para poder aprovechar esta tecnica puramente lineal en este contextopodemos linealizar el esquema (53) y estudiar la estabilidad del esquemalineal que se obtiene en la norma ‖ · ‖L2 . Veamos como se deduce el esquemalinealizado.

Sean un+1j = unj − ∆t

h(g(unj , u

nj+1)− g(unj−1, u

nj )),

vn+1j = vnj − ∆t

h(g(vnj , v

nj+1)− g(vnj−1, v

nj )).

(56)

41

las soluciones discretas obtenidas al aplicar el esquema (53) al problema deCauchy (50) tomando como condicion inicial u0 y v0 respectivamente. Sisuponemos que

wnj = unj − vnjes pequeno para todo j entonces podemos restar las dos ecuaciones de (56)y emplear las formulas

g(vnj , vnj+1)− g(unj , u

nj+1) = −∇g(unj , u

nj+1) ·

(wnjwnj+1

)+O(‖

(wnjwnj+1

)‖2)

y

g(vnj−1, vnj )− g(unj−1, u

nj ) = −∇g(unj−1, u

nj ) ·(wnj−1

wnj

)+O(‖

(wnj−1

wnj

)‖2),

obtenidas mediante un desarrollo de Taylor de orden uno, para deducir el si-guiente esquema lineal para la variable wnj , j ∈ Z:(se desprecia el terminocuadratico)

wn+1j = wnj −

∆t

h

( (∂1g(unj , u

nj+1)− ∂2g(unj−1, u

nj ))wnj +

+ ∂2g(unj , unj+1)wnj+1 − ∂1g(unj−1, u

nj )wnj−1

). (57)

Tenemos que hacer una simplificacion mas, sustituyendo unj+1, unj y unj−1 en(57) por unk , siendo k ∈ Z fijo, para poder finalmente aplicar el metodo deVon Neumann al esquema lineal con coeficientes constantes

wn+1j = wnj −

∆t

h

((∂1g(unk , u

nk)− ∂2g(unk , u

nk))wnj +

∂2g(unk , unk)wnj+1 − ∂1g(unk , u

nk)wnj−1

)(58)

y concluir sobre su estabilidad en la norma ‖ · ‖L2 .

Definicion 4.4 (Estabilidad lineal). Decimos que el esquema (53) es lineal-mente estable en la norma L2 si el esquema (58) es estable en la norma L2

para todo k ∈ Z

Nota 4.2. El criterio de estabilidad lineal que acabamos de definir solo tieneun valor indicativo. Las aproximaciones que hemos hecho no se cumplen enla cercanıa de un choque o en las zonas donde la solucion tiene una pendientepronunciada. De modo que el criterio de estabilidad lineal sirve mas bien parainvalidar esquemas numericos para leyes de conservacion no lineales cuandono cumplen la condicion de estabilidad lineal.

42

Nota 4.3. El esquema (58) es explıcito y por lo tanto su estabilidad es con-dicional, se alcanza bajo una condicion CFL que relaciona los parametros dediscretizacion h y ∆t. El hecho de que la velocidad de propagacion de la solu-cion sea finita hace que dicha condicion sea asumible desde el punto de vistacomputacional (no como, por ejemplo, en el caso de los esquemas explıcitode la ecuacion del calor), ver [1].

Hemos visto en la Nota 3.8 que el valor de la solucion u en el punto(xj, t

n) de la malla solo depende de los valores de u0 en el intervalo [xj −Atn, xj − Atn], donde A = sup|c(ξ)| : |ξ| ≤ sup

x∈R|u(x, tn)|. Se dice que

[xj − Atn, xj − Atn] es el intervalo de influencia asociado al punto (xj, tn)

por la ecuacion del problema (50). La condicion CFL significa que el intervalode influencia numerico asociado al mismo punto (xj, t

n) por el esquema (58)debe de contener el intervalo de influencia real para todo (j, n) ∈ Z×N, ver[1].

4.4. Teorema de Lax-Wendroff

Vamos a demostrar un resultado importante que resalta la importancia deluso de esquemas numericos escritos en forma conservativa. Si dicho esquemaes consistente con la ecuacion del problema (50) y es convergente entoncesel lımite de la sucesion de soluciones aproximadas es una solucion debil de(50).

Sea

u0j =

1

h

∫ xj+1

2

xj− 1

2

u0(x)dx ∀j ∈ Z,

donde u0 la condicion inicial del problema (50). Para n = 0, 1, . . . , conside-ramos la solucion unj ; j ∈ Z del esquema conservativo

un+1j = unj −

∆t

h(gnj+ 1

2− gn

j− 12), j ∈ Z. (59)

Para garantizar la consistencia asumimos que el flujo numerico satisface (55)con una constante iguala a cero, es decir,

g(u, u) = f(u), ∀u ∈ R.

Introducimos la funcion constante a trozos u∆th (x, t) definida por

u∆th |(xj− 1

2, x

j+12

)×(tn, tn+1) = unj ∀j ∈ Z, ∀n = 0, 1, · · · . (60)

43

Teorema 4.1 (Lax-Wendroff). Supongamos que existe una funcion u tal que,para todo dominio acotado K de R× (0,+∞):

(i) u ∈ L∞(K),

(ii) u∆th −→ u en L∞(K) cuando (∆t, h)→ (0, 0).

Entonces u es solucion debil del problema (50).

Demostracion. Tenemos que demostrar que∫ +∞

−∞

∫ +∞

0

(u∂ϕ

∂t+ f(u)

∂ϕ

∂x)dxdt+

∫ +∞

−∞u0(x)ϕ(x, 0)dx = 0, (61)

para toda ϕ en C∞(R× [0,∞)) con soporte compacto.Multiplicando (59) por ϕnj = ϕ(xj, t

n) y sumando sobre j ∈ Z y n =0, 1, · · · , obtenemos

h∑j,n

(un+1j − unj )ϕnj + ∆t

∑j,n

(gnj+ 1

2− gn

j− 12)ϕnj = 0.

Usando la identidad∞∑n=0

(un+1j − unj )ϕnj +

∞∑n=0

un+1j (ϕn+1

j − ϕnj ) = −∑j

u0jϕ

0j ∀j ∈ Z,

deducimos que

h∑j,n

un+1j (ϕnj − ϕn+1

j )− h∑j

u0jϕ

0j + ∆t

∑j,n

gj+ 12(ϕnj − ϕnj+1) = 0. (62)

Denotamos por ϕ∆th (x, t) y g∆t

h (x, t) las funciones constantes a trozos de-finidas por ϕ

∆th |(xj− 1

2, x

j+12

)×(tn, tn+1) = ϕnj ,

g∆th |(xj− 1

2, x

j+12

)×(tn, tn+1) = gnj+ 1

2

,

para todo j ∈ Z y n = 0, 1, · · · . Con esta notacion, la igualdad (62) setransforma en∫ +∞

−∞

∫ +∞

∆t

u∆th (x, t)

ϕ∆th (x, t−∆t)− ϕ∆t

h (x, t)

∆tdtdx−∫ +∞

−∞u∆th (x, 0)ϕ∆t

h (x, 0)dx+∫ +∞

−∞

∫ +∞

0

g∆th (x, t)

ϕ∆th (x− h

2, t)− ϕ∆t

h (x+ h2, t)

hdxdt = 0. (63)

44

Es facil comprobar que, cuando (h,∆t)→ (0, 0), las dos primeras integralesde la identidad anterior convergen a

−∫ +∞

−∞

∫ +∞

0

u(x, t)∂ϕ

∂t(x, t)dtdx y

∫ +∞

−∞u0(x)ϕ(x, 0)dx,

respectivamente. Por otra parte,

g∆th (x, t) = g(u∆t

h (x− h

2, t), u∆t

h (x+h

2, t)) ∀x, ∀t,

y por tanto, g∆th converge uniformemente, sobre todo compacto, a la funcion

g(u(x, t), u(x, t)) = f(u(x, t)). Consecuentemente, podemos afirmar que laultima integral de (63)converge a

−∫ +∞

−∞

∫ +∞

0

f(u(x, t))∂ϕ

∂x(x, t)dxdt

de donde tenemos (61).

Este teorema nos asegura que los esquemas en forma conservativa sonadecuados para aproximar las soluciones debiles del problema de Cauchy(50). La Nota 4.1 nos proporciona un ejemplo de un esquema que no puedeser escrito en forma conservativa y que converge a una funcion que no essolucion debil del problema.

4.5. Ejemplo de un esquema conservativo: el esquemade Murman-Roe

Ya hemos hecho (en la Nota 4.1) un intento infructuoso de generalizaral caso no lineal el esquema descentrado estudiado en [1] para la ecuaciondel transporte lineal. La dificultad reside en el hecho de que la velocidad depropagacion puede cambiar de signo y descentrar a la derecha o a la izquierda,segun el signo de la velocidad, no funciona. El esquema de Murman-Roe quese define mediante el flujo numerico

g(u, v) =1

2(f(u) + f(v) + |c(u, v)|(u− v)) ,

donde

c(u, v) =

f(u)−f(v)

u−v si u 6= v

f ′(u) si u = v,

45

puede considerarse un esquema conservativo que generaliza el esquema des-centrado ya que coincide con el cuando f es monotona.

El esquema es consistente, ya que g(u, u) = f(u) para todo u ∈ R. Elflujo numerico no es diferenciable en los puntos (u, v) en los que c(u, v) seanula. Ası que no podemos linealizar el esquema entorno a dichos puntos. Solopodemos afirmar que, bajo una condicion CFL, el esquema de Murman-Roees linealmente estable en la norma de L2 en las zonas donde f es monotona.

Por el teorema de Lax-Wendroff, la solucion del esquema de Murman-Roe converge a una solucion debil del problema de Cauchy (50) cuando losparametros de la discretizacion tienden a cero. Sin embargo, de momento,nada nos asegura que dicha solucion debil es la solucion entropica.

Sea por ejemplo el problema (50) con la condicion inicial

u0(x) =

ug si x ≤ 0,ud si x > 0,

y con un flujo f tal que f(ug) = f(ud). Si aplicamos el esquema Murman-Roea este problema de Riemann, el hecho de que

g(ug, ug) = g(ud, ud) = g(ug, ud) = g(ud, ug) = f(ug) = f(ud)

implica que la solucion numerica es

unj =

ug si j ≤ 0,

ud si j > 0,∀n ∈ N.

El esquema de Murman-Roe nos proporciona entonces en esta caso la solucionestacionaria

u(x, t) = u0(x) ∀t ≥ 0.

Se trata de una solucion debil ya que cumple la condicion de Rankine-Hugoniot, pero sabemos que esta solucion solo es entropica cuando ug ≥ ud.En el caso ug < ud la solucion correcta es una onda de rarefaccion y no unchoque estacionario. El esquema de Murman-Roe no converge a la solucionrelevante desde el punto de vista fısico.

4.6. Esquemas entropicos

La consideraciones anteriores nos obligan a afinar el analisis numericoproporcionando un criterio que permita dar con la solucion debil entropicade (50). Para ello, nos guiamos por el mismo analisis que nos permitio obtenerdicha solucion para el problema continuo.

46

Recordemos que si una solucion debil u del problema de Cauchy (50)satisface

∂

∂tU(u) +

∂

∂xF (u) ≤ 0 (64)

para toda entropıa (U, F ), entonces u es la solucion entropica.

Definicion 4.5 (Esquema consistente con la condicion de entropıa). Se diceque el esquema (53) es consistente con la condicion de entropıa (64) si existeun flujo numerico de entropıa G(u, v) tal que:

(i) G es consistente con el flujo de entropıa F ,

G(u, u) = F (u) ∀u ∈ R;

(ii) Para toda solucion (unj )j,n de (53), tenemos

Un+1j ≤ Un

j −∆t

h(Gn

j+ 12−Gn

j− 12)

donde: Unj = U(unj ),

Gnj+ 1

2

= G(unj , unj+1),

∀j ∈ Z, ∀n ∈ N.

Definicion 4.6 (Esquemas entropicos). Diremos que el esquema (53) esentropico si es consistente con toda condicion de entropıa del problema deCauchy (50).

El siguiente teorema se demuestra de forma totalmente analoga al teoremade Lax-Wendroff.

Teorema 4.2. Bajo las hipotesis del Teorema 4.1, si ademas el esquemaentropico, entonces el esquema converge a la unica solucion entropica delproblema (50).

Desafortunadamente, el criterio proporcionado por el Teorema 4.2 esdifıcil de verificar en la practica.

4.7. Esquemas monotonos

Sabemos, del Teorema 3.9 que el operador que asocia a u0 la solucionentropica del problema de Cauchy (50) es monotono. Es decir que si u y vson soluciones entropicas de (50) asociadas a las condiciones iniciales u0 yv0, respectivamente, entonces:

u0 ≥ v0 en R =⇒ u(·, t) ≥ v(·, t) en R para casi todo t ≥ 0.

Los esquemas numericos que mantienen a nivel discreto la relacion de ordenanterior se denominan esquemas monotonos. Se definen del modo siguiente.

47

Definicion 4.7 (Esquema monotono). Se dice que un esquema es monotonosi para todo n = 0, 1, · · · ,

unj ≥ vnj , ∀j ∈ Z ⇒ un+1j ≥ vn+1

j , ∀j ∈ Z. (65)

Disponemos de un criterio simple para comprobar si un esquema es mo-notono o no.

Lema 4.2 (Criterio de monotonıa). El esquema

un+1j = H(unj−1, u

nj , u

nj+1) (66)

es monotono si y solo si H es una funcion creciente respecto a cada uno desus argumentos.

Demostracion. La demostracion de este lema es inmediata.

En la practica, la funcion H depende de los pasos de discretizacion ∆t yh y la monotonıa solo se cumple bajo una condicion sobre ∆t

h(la condicion

de tipo CFL).

Lema 4.3 (Propiedades de los esquemas monotonos). Sea un esquema mo-notono de la forma (66) tal que H(u, u, u) = u para todo u ∈ R. Entonces elesquema,

(i) preserva la monotonıa, es decir que,unj ≤ unj+1 ∀j ⇒ un+1

j ≤ un+1j+1 ∀j,

unj ≥ unj+1 ∀j ⇒ un+1j ≥ un+1

j+1 ∀j,∀n = 0, 1, · · · ,

(ii) verifica el siguiente principio del maximo: para todo n = 0, 1, · · · ,

ınfj∈Z

unj ≤ un+1k ≤ sup

j∈Zunj , ∀k ∈ Z,

(iii) y proporciona una solucion acotada

supj∈Z|un+1j | ≤ sup

j∈Z|unj |, ∀n ∈ N.

Demostracion. Para probar la propiedad (i) tomamos vnj = unj+1 y aplicamos(65). La segunda implicacion se obtiene tomando vnj = unj−1. El principio del

48

maximo (ii) resulta de aplicar (65) con la sucesion constante vnj = ınfk∈Z

unk , ∀j.En efecto,

unj ≥ vnj ∀j ⇒ un+1j ≥ vn+1

j = H(vnj−1, vnj , v

nj+1) = ınf

k∈Zunk ∀j

donde la ultima igualdad se obtiene usando la hipotesis H(u, u, u) = u. Laotra desigualdad del principio del maximo se obtiene del mismo modo peroesta vez con la sucesion constante vnj = sup

k∈Zunk , ∀j. Finalmente, la propiedad

(iii) es una consecuencia directa de (ii).

Notar que la propiedad (i) del Lema 4.3 implica que si la condicion ini-cial es monotona, entonces la solucion aproximada calculada utilizando unesquema monotono no tendra nunca oscilaciones. Admitiremos el siguienteresultado de convergencia para los esquemas monotonos.

Teorema 4.3 (Resultado de convergencia). Sea unj j,n la solucion aproxi-mada obtenida mediante un esquema conservativo, monotono y consistentecon la ecuacion de (50) y sea u∆t

h (x, t) la funcion constante a trozos aso-ciada como en (60). Para toda sucesion (hk,∆tk)k de parametros, talque (hk,∆tk) → (0, 0) cuando k → ∞, la sucesion de funciones asociadau∆tk

hk(x)k admite una subsucesion que converge en casi todo punto a una

solucion debil del problema (50).

Vamos a probar ahora que la solucion debil a la que converge la so-lucion numerica proporcionada por un esquema conservativo consistente ymonotono es en realidad la solucion entropica del problema (50).

Teorema 4.4 (Un esquema monotono es entropico). Un esquema conserva-tivo, monotono y consistente con (50) es entropico.

Demostracion. Tenemos que probar que un esquema de la forma

un+1j = H(unj−1, u

nj , u

nj+1),

con H(u, v, w) = v − ∆th

[g(v, w) − g(u, v)], es consistente con la condicionde entropıa (64) (segun la Definicion 4.5) para todo par (U, F ) de funcionesde entropıa del problema de Cauchy (50). Admitiremos que es suficientedemostrar la consistencia con el par de funciones de entropıa de Kruzkovdefinido por U(u) = |u− k|,

F (u) = sgn(u− k)(f(u)− f(k)),k ∈ R,

49

donde sgn(·) es la funcion signo. Tenemos entonces que encontrar una funcionG(u, v) tal que

G(u, u) = sgn(u− k)(f(u)− f(k)) ∀u ∈ R (67)

y

|un+1j − k| ≤ |unj − k| −

∆t

h(G(unj , u

nj+1)−G(unj−1, u

nj )) (68)

para toda solucion (unj ) del esquema.Consideramos,

G(u, v) = g(u ∨ k, v ∨ k)− g(u ∧ k, v ∧ k)

donde hemos utilizado la notacion,

a ∨ b = max(a, b) y a ∧ b = mın(a, b).

Dado que el esquema es consistente con la ecuacion de (50) tenemos que

G(u, u) = g(u ∨ k, u ∨ k)− g(u ∧ k, u ∧ k) = f(u ∨ k)− f(u ∧ k)

= sgn(u− k)(f(u)− f(k)),

de donde la identidad (67). Tomando ahora vnj = unj ∨ k y usando que elesquema es monotono resulta quev

nj ≥ unj ∀j ⇒ H(vnj−1, v

nj , v

nj+1) ≥ un+1

j

vnj ≥ k ∀j ⇒ H(vnj−1, vnj , v

nj+1) ≥ H(k, k, k) = k.

Las dos desigualdades anteriores implican que

H(unj−1 ∨ k, unj ∨ k, unj+1 ∨ k) ≥ un+1j ∨ k. (69)

El mismo procedimiento nos permite obtener,

H(unj−1 ∧ k, unj ∧ k, unj+1 ∧ k) ≤ un+1j ∧ k. (70)

Usando (69) y (70) junto con la identidad |u− k| = u∨ k− u∧ k, deducimos

|un+1j − k| ≤ H(unj−1 ∨ k, unj ∨ k, unj+1 ∨ k)−H(unj−1 ∧ k, unj ∧ k, unj+1 ∧ k),

que es otra forma de escribir (68).

Desafortunadamente, los esquemas monotonos tienen una convergencialimitada al orden uno.

50

Teorema 4.5 (Orden de los esquemas monotonos). Un esquema conserva-tivo, monotono y consistente con (50) es exactamente de orden uno.

Demostracion. Consideramos un esquema de la forma:

un+1j = H(unj−1, u

nj , u

nj+1)

donde H(u, v, w) = v − ∆th

[g(v, w)− g(u, v)] y sea u una solucion regular de(50). Haciendo u desarrollo de Taylor hasta el orden tres en la expresion (54)del error de consistencia obtenemos

εnj =h

2

(∂

∂x

((∂2g(u, u)− ∂1g(u, u))

∂u

∂x

)(xj, t

n)

)+

∆t

2

∂2u

∂t2(xj, t

n) +O(h2) +O(∆t2).

Derivando la ecuacion de (50) respecto a la variable t,

∂2u

∂t2=

∂

∂t(− ∂

∂xf(u)) = − ∂

∂x(c(u)

∂u

∂t) =

∂

∂x(c(u)

∂

∂xf(u)) =

∂

∂x(c(u)2∂u

∂x).

y sustituyendo el resultado en εnj obtenemos

εnj =∆t

2[∂

∂x(β(u, h,∆t)

∂u

∂x)(xj, t

n)] +O(h2) +O(∆t2),

donde

β(u, h,∆t) = c(u)2 − h

∆t(∂1g(u, u)− ∂2g(u, u)) .

La monotonıa del esquema proporciona la desigualdades,

∂H

∂u(u, u, u) =

∆t

h∂1g(u, u) ≥ 0, ∀u ∈ R,

∂H

∂v(u, u, u) = 1− ∆t

h(∂1g(u, u)− ∂2g(u, u)) ≥ 0, ∀u ∈ R,

∂H

∂w(u, u, u) = −∆t

h∂2g(u, u) ≥ 0, ∀u ∈ R,

que implican ∂1g(u, u) ≥ 0,

∂2g(u, u) ≤ 0,

∂1g(u, u)− ∂2g(u, u) ≤ h

∆t,

∀u ∈ R. (71)

51

Finalmente, para la consistencia del esquema es preciso que se satisfagala identidad

∂1g(u, u) + ∂2g(u, u) = c(u), ∀u ∈ R. (72)

Por lo tanto, combinando (71) y (72) resulta que

c(u)2 ≤ (∂1g(u, u)− ∂2g(u, u))2 ≤ h

∆t(∂1g(u, u)− ∂2g(u, u)).

La funcion β(u, h,∆t) es entonces siempre negativa o nula. Para que el es-quema sea de orden mayor o igual que dos, necesitamos que β(u, h,∆t) seanule para todo u. Para ello, las identidades

(∂1g(u, u)− ∂2g(u, u))2 = (∂1g(u, u) + ∂2g(u, u))2

y

∂1g(u, u)− ∂2g(u, u) =h

∆t

han de cumplirse simultaneamente para todo u ∈ R. Tenemos una de lassiguientes dos opciones:

∂1g(u, u) =h

∆ty ∂2g(u, u) = 0,

o

∂2g(u, u) = − h

∆ty ∂1g(u, u) = 0.

En el primer caso, (72) implica que

c(u) =h

∆t, ∀u ∈ R.

El problema se ha de reducir a la ecuacion de transporte con velocidad cons-tante h

∆ty el esquema se escribe

un+1j = unj−1.

Es exacto, proporciona una solucion que coincide con la solucion exacta ob-tenida por el metodo de las caracterısticas. Algo similar ocurre en el segundocaso. Hemos demostrado entonces que un esquema monotono es de orden 1,excepto si f(u) = cu con c∆t

h= 1 en cuyo caso es de orden ∞.

52

4.8. El esquema de Lax-Friedrichs

El esquema de Lax-Friedrichs que se generaliza al caso no lineal de lamanera siguiente,

un+1j =

1

2(unj−1 + unj+1)− ∆t

2h[f(unj+1)− f(unj−1)].

Es posible escribirlo en forma conservativa con el flujo numerico

g(u, v) =1

2

(f(u) + f(v)− h

∆t(u− v)

).

El un metodo consistente dado que

g(u, u) =1

2

(f(u) + f(u)− h

∆t(u− u)

)= f(u),

y la funcion H que define el esquema como en (51) es

H(u, v, w) =1

2(u+ w)− α

2(f(w)− f(u)).

Sus derivadas primeras

∂H

∂u(u, v, w) =

1

2(1 +

∆t

hc(u)),

∂H

∂v(u, v, w) = 0,

∂H

∂w(u, v, w) =

1

2(1− ∆t

hc(w)),

son positivas, y el esquema es monotono, si se cumple la condicion

|c(u)|∆th

≤ 1 ∀u ∈ R. (73)

Deducimos que el metodo de Lax-Friedrichs es exactamente de orden uno.Para analizar la estabilidad lineal del esquema en la norma L2, notamos

que una linealizacion del metodo centrada en el punto unk (ver (58)) conduceal esquema de Lax-Friedrichs

wn+1j =

1

2(wnj−1 − wnj+1)− ∆t

2hc(unk)(wnj+1 − wnj−1).

para la ecuacion del tranporte lineal con una velocidad c(unk). Sabemos de[1] que la estabilidad L2 esta garantizada bajo la condicion CFL:

supk∈Z|c(unk)|∆t

h≤ 1 ∀n ∈ N. (74)

Esta condicion es una version discreta de (73).

53

4.9. El esquema de Engquist-Osher

Este esquema se define de la siguiente manera:

un+1j = unj −

∆t

2h

(f(unj+1)− f(unj−1) +

∫ unj

unj−1

|c(ξ)|dξ −∫ unj+1

unj

|c(ξ)|dξ

).

Se puede escribir en forma conservativa con el flujo numerico

g(u, v) =1

2

(f(u) + f(v)−

∫ v

u

|c(ξ)|dξ)

y la consistencia del esquema es inmediata. Ademas,

H(u, v, w) = v − ∆t

2h[f(w)− f(u) +

∫ v

u

|c(ξ)|dξ −∫ w

v

|c(ξ)|dξ],

por lo que

∂H

∂u(u, v, w) =

∆t

2h(c(u) + |c(u)|),

∂H

∂v(u, v, w) = 1− ∆t

h|c(v)|,

∂H

∂w(u, v, w) =

∆t

2h(|c(w)| − c(w)).

La monotonıa del esquema esta entonces otra vez garantizada bajo la con-dicion (73). Finalmente, una demostracion similar a la del esquema de Lax-Friedichs asegura la estabilidad lineal del metodo en la norma de L2 bajo lacondicion CFL (74).

4.10. El esquema de Godunov

El metodo de Godunov consiste en generar una sucesion unh(x)n defunciones constantes a trozos definidas para cada n = 0, 1 · · · , por

unh(x) = unj , x ∈ (xj −h

2, xj +

h

2) ∀j ∈ Z.

La construccion de un+1h (x) a partir de unh(x) se realiza en dos etapas. Primero

se calcula la solucion entropica (exacta) un+1h del problema

∂u

∂t+

∂

∂xf(u) = 0, x ∈ R, t ∈ [tn, tn+1]

u(x, tn) = unh(x), x ∈ R,(75)

54

y luego se toma

un+1h (x) =

1

h

∫ xj+1

2

xj− 1

2

un+1h (x) dx, ∀x ∈ [xj− 1

2, xj+ 1

2] ∀j ∈ Z. (76)

El siguiente resultado demuestra que el esquema de Godunov esta biendefinido.

Lema 4.4. Supongamos que

2 supk∈Z|c(unk)|∆t

(n)

h≤ 1. (77)

Entonces, la solucion del problema (75) es

un+1h (x, t) = wR(

x− xj+ 12

t− tn;unj , u

nj+1) xj < x < xj+1, ∀j ∈ Z, (78)

siendo wR(·;ug, ud) es la solucion del problema de Riemann con dos estados(ug, ud).

Demostracion. El problema (75) consiste en una sucesion (Pj)j

(Pj)

∂v

∂t+

∂

∂xf(v) = 0, x ∈ [xj, xj+1], t ∈ [tn, tn+1],

v(x, tn) =

unj si x < xj+ 1

2,

unj+1 si x > xj+ 12,

de problemas de Riemann. La solucion de (Pj) es

v(x, t) = wR(x− xj+ 1

2

t− tn;unj , u

nj+1), x ∈ R, (79)

donde la funcion wR esta dada por (48) o (49) segun se trate de una onda derarefaccion (si unj ≤ unj+1) o una onda de choque, respectivamente.

Para que la yuxtaposicion de las soluciones (79) formen la solucion globalpara (75) es necesario que las soluciones de los problemas vecinos (Pj) y(Pj+1) no se solapen entre si antes del tiempo tn+1, ver la Figura 17. Dichode otro modo, es necesario que la solucion v de cada uno de los problemas(Pj) satisfaga

v(xj, t) = unj ,

v(xj+1, t) = unj+1,∀t ∈ [tn, tn+1),

55

o equivalentemente,wR(− h2τ

;unj , unj+1) = unj ,

wR( h2τ

;unj , unj+1) = unj+1

∀τ ∈ [0,∆t).

Si queremos que esto ocurra, necesitamos la imponer la restriccion

h

2∆t≥ max(|c(unj )|, |c(unj+1)|). (80)

Figura 17: Un configuracion posible de dos problemas vecinos (Pj) y (Pj+1)

En efecto, siendo

Vj = max(|c(unj )|, |c(un+1j )|),

la velocidad de propagacion de la solucion del problema (Pj), la onda dechoque (o de rarefaccion) no llega a los bordes xj y xj+1 del intervalo antesdel tiempo

Tj = tn + Vjh

2.

Entonces, es suficiente elegir tn+1 ≤ Tj, ∀j ∈ R, de donde (80).

Lema 4.5. El esquema de Godunov puede escribirse en forma conservativay su flujo numerico es:

g(u, v) = f(wR(0;u, v)). (81)

56

Demostracion. Veamos primero que la aplicacion ξ → f(wR(ξ;u, v)) es con-tinua en 0, para cualquier u y v en R. Sabemos que ξ → f(wR(ξ;u, v))

es continua excepto en ξ = f(u)−f(v)u−v cuando u > v. Entonces, es continua

en 0 salvo si u > v y f(u) = f(v). Pero en este caso wR(0−;u, v) = u ywR(0+;u, v) = v y f(wR(0−;u, v)) = f(u) = f(v) = f(wR(0+;u, v)).

Integrando la ecuacion del problema (75) sobre el rectangulo

[xj− 12, xj+ 1

2]× [tn, tn+1]

obtenemos

0 =

∫ xj+1

2

xj− 1

2

∫ tn+1

tn(∂v

∂t+

∂

∂xf(v))dtdx =

∫ xj+1

2

xj− 1

2

(v(x, tn+1)− v(x, tn))dx+

∫ tn+1

tn(f(v(xj+ 1

2, t))− f(v(xj− 1

2, t))dt.

(82)

A priori, esto solo tiene sentido si la celda [xj− 12, xj+ 1

2] × [tn, tn+1] no es

atravesada por una curva de choque. De lo contrario, deberıamos integrara ambos lados del choque. Sin embargo, como v satisface la condicion deRankine-Hugoniot, se verifica que el salto generado a lo largo de dicha curvade choque es nulo.

Utilizando (78), (76) y la continuidad de ξ → f(wR(ξ;u, v)) en 0 deduci-mos de (82) que

0 = h(un+1j − unj ) + ∆t(f(wR(0;unj , u

n+1j )− f(wR(0;unj−1, u

nj ))),

lo que define el flujo numerico del metodo de Godunov por (81).

Resulta ahora evidente que el metodo de Godunov es consistente. Estambien monotono ya que la primera etapa en la construccion del esquemaconsiste en la resolucion exacta de un problema de Cauchy y el Teorema 3.9garantiza la monotonıa de esta operacion y es evidente que la proyecciondefinida mediante (76) preserva esta monotonıa.

Nota 4.4. El esquema de Godunov coincide con el esquema descentrado sif es monotona. En efecto, si por ejemplo

c(unj ) ≥ 0, ∀j ∈ Z,

entonceswR(0;unj , u

nj+1) = unj , ∀j ∈ Z

y el esquema de Godunov se escribe

un+1j = unj −

∆t

h[f(unj )− f(unj−1)].

57

5. Ensayos numericos

En este capıtulo, vamos a utilizar el codigo libre COMPACK [6] pararesolver numericamente los problemas de Riemann

(C)

∂u

∂t+

∂

∂x

(f(u2)

)= 0, x ∈ [−1, 1], t > 0,

u(x, 0) =

1 si x < 0,

0 si x > 0

u(−1) = 1, u(1) = 0,

y

(R)

∂u

∂t+

∂

∂x

(f(u2)

)= 0, x ∈ [−1, 1], t > 0,

u(x, 0) =

−1 si x < 0,

1 si x > 0

u(−1) = −1, u(1) = 1.

(a) Solucion en t = 1 (b) Solucion en t = 0.5

Figura 18: (a) Solucion aproximada de (C) con el metodo de Godunov. (b)Solucion aproximada de (R) con el metodo de Godunov.

Hemos visto que la solucion debil entropica de (C) es una onda de choqueque conecta los estados 1 y 0 y que viaja a una velocidad igual a 1/2. Encambio, la solucion fısica de (R) es una onda de rarefaccion. En ambos casos,las condiciones de contorno tienen validez hasta un cierto lımite de tiempo:el tiempo que tarda el choque (en el primer caso) o la onda de rarefaccion(en el segundo) en llegar a los puntos extremos x = ±1. Todos los resultadosnumericos fueron obtenidos con una malla espacial de 50 nodos equidistantes

58

y ∆t se determina haciendo que el cociente que define la condicion CFL decada esquema sea siempre igual a 0.8, garantizando de esta forma la estabili-dad. Todas las graficas muestran la solucion exacta y la solucion aproximadaen el tiempo t = 1 en el caso del problema (C) y en el tiempo t = 0,5 en elcaso del problema (R).

La grafica (a) de la Figura 18 muestra la solucion exacta de (C) y lasolucion aproximada obtenida por el metodo de Godunov. Vemos que el saltose aproxima correctamente. La solucion numerica no presenta oscilaciones oinestabilidades de ningun tipo. En la grafica (b) de la Figura 18, podemosver que el metodo aproxima la onda de rarefaccion que resuelve (R) de formaestable y precisa. En resumen, el metodo de Godunov es robusto y fiable.

(a) Solucion en t = 1 (b) Solucion en t = 0.5

Figura 19: (a) Solucion aproximada de (C) con el metodo de Murman-Roe.(b) Solucion aproximada de (R) con el metodo de Murman-Roe.

Las pruebas correspondientes al metodo de Murman-Roe se muestra enlas graficas (a) y (b) de la Figura 19. Podemos ver que este esquema aproxi-ma el choque (la solucion del problema (C)) igual de bien que el metodo deGodunov. Sin embargo, el metodo falla completamente en el caso del proble-ma (R) y aproxima la onda de rarefaccion mediante un choque estacionario.En este ultimo caso, el esquema converge a una solucion no entropica delproblema.

Los resultados correspondientes al metodo de Lax-Friedrichs se ven en lagraficas (a) y (b) de la Figura 20 . La solucion numerica no oscila y aproximabien las soluciones entropicas de los problemas (C) y (R). Sin embargo, estaclaro que la calidad de los resultados es inferior a los del metodo de Godunov.El esquema de Lax-Friedrichs introduce, al igual que en el caso lineal (ver[1]), difusion artificial que suaviza los frentes de discontinuidad.

Finalmente, vemos en las graficas (a) y (b) de la Figura 21 que el esquema

59

(a) Solucion en t = 1 (b) Solucion en t = 0.5

Figura 20: (a) Solucion aproximada de (C) con el metodo de Lax-Friedrichs.(b) Solucion aproximada de (R) con el metodo de Lax-Friedrichs.

(a) Solucion en t = 1 (b) Solucion en t = 0.5

Figura 21: (a) Solucion aproximada de (C) con el metodo de Engquist-Osher.(b) Solucion aproximada de (R) con el metodo de Engquist-Osher.

de Engquist-Osher tiene resultados similares a los del metodo de Godunov.De hecho, para los ejemplos (C) y (R) considerados aquı, los dos esquemasdan la misma solucion numerica.

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(a) Error L1 frente a h (b) Error L1 frente a h

Figura 22: (a) Estudio numerico del error de convergencia para el ejemplo(C) (izquieda) y el ejemplo (R) (derecha).

Para realizar un estudio numerico de la convergencia hemos consideradouna sucesion de mallas espaciales equidistantes con pasos h cada vez maspequenos y hemos representado el error L1 de cada esquema numerico frenteal parametro de discretizacion h.

La grafica (a) de la Figura 22 corresponde a los errores obtenidos parael ejemplo (C). Vemos que en este caso los metodos de Godunov, Engquist-Osher y Murman-Roe son equivalentes, dan la misma solucion numerica y laconvergencia de estos esquemas es mas rapida que la del esquema de Lax-Friedrichs. Todos los esquemas tienen el mimo orden de convergencia asintoti-ca respecto a h ya que las graficas del error son paralelas. La descripcion dela convergencia de los esquemas para el ejemplo (R) se describe mediante lagrafica (b) de la Figura 22. Notamos primero que el esquema de Murman-Roeno converge en este caso. Los esquemas de Godunov y Engquist-Osher siguensiendo equivalentes en este ejemplo y el metodo de Lax-Friedrichs convergecon el mismo orden que los dos metodos anteriores pero es menos preciso,igual que en el ejemplo anterior.

Para terminar, nos planteamos aproximar la solucion de la ecuacion deBurguers (8) con la condicion inicial

u0(x) = sen(4πx) con − 1 ≤ x ≤ 1, (83)

y sujeta a la condicion de contorno: u(−1, t) = u(1, t) para todo t > 0. Lasolucion numerica obtenida por el metodo de Godunov en el tiempo t = 0,5es una onda de diente de sierra. Vemos con este ejemplo, que se desarrollanvarios frentes de discontinuidad a pesar de la regularidad de todos los datosdel problema.

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Figura 23: Solucion aproximada mediante el metodo de Godunov de (8) concondicion inicial (83) en el tiempo t = 0,5.

Referencias

[1] El metodo de diferencias finitas para ecuaciones en derivadas parciales. Cursodel Grado de Matematicas, Universidad de Oviedo, 2012-13.

[2] Bonnet-BenDhia A.-S., Fliss, S., Joly, P., and Moireau, P., Introduction auxequations aux derivees partielles et a leur approximation numerique. Cursode la “Ecole Nationale Superieure de Techniques Avancees” de Paris, 2012.Disponible en: wwwdfr.ensta.fr/Cours/docs/MA103/PolyMA103 2012.pdf

[3] Brezis H., Analisis funcional. Teorıa y aplicaciones. Masson, 1983. Versionespanola de Juan Ramon Esteban

[4] Godlewski E., and Raviart P.-A., Numerical Approximation of HyperbolicSystems of Conservation Laws. Springer-Verlag, 1996.

[5] Leveque, R., Numerical Methods for Conservation Laws. Birkhauser, 1992.

[6] Ulrik Skre Fjordholm Compack: Conservation law MATLAB package.Department of Mathematics of the ETH Zurich, 2013. Disponible en:http://www.sam.math.ethz.ch/∼ulrikf/compack.zip

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