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LEYES Y RELACIONES BÁSICAS, COMPONENTES Y ANALOGÍAS

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Introducción: La descripción de las características dinámicas de un sistema

se expresan a través de modelos matemáticos, siendo estos modelos, sistemas de ecuaciones diferenciales con el tiempo como variable.

La finalidad de este capitulo es una revisión de las leyes básicas asociadas con mecánica, electricidad, termodinámica y fluídrica. Este conocimiento representa el primer paso para el planteamiento de las ecuaciones diferenciales que rigen la dinámica del sistema físico considerado.

Las ecuaciones obtenidas se limitarán tanto a los sistemas lineales como a aquellos otros sistemas que puedan representarse por ecuaciones lineales en sus márgenes prácticos de funcionamiento.

Se verán también algunos componentes simples que normalmente aparecen en los sistemas de control y cuyo comportamiento esta regido por las leyes básicas a las cuales se hará referencia, estableciéndose además analogías directas entre las relaciones eléctricas, térmicas y fluídricas.

Relaciones mecánicas. El estudio de las vibraciones es uno de los problemas más

interesantes en el estudio de la mecánica. En general se puede decir que una vibración se produce cuando se desplaza o se separa un sistema cualquiera de su posición de equilibrio estable y, debido a la presencia de fuerzas recuperadoras, el sistema trata de regresar a su posición original. Si el movimiento se mantiene debido a las fuerzas recuperadoras, la vibración se denomina libre y si se aplica al sistema una fuerza periódica, se llama vibración forzada.

Sistemas mecánicos de traslación. Los sistemas mecánicos obedecen a la ley básica de que la

suma de las fuerzas debe ser cero. Esta ley, conocida como ley de Newton, puede interpretarse como sigue: la suma de las fuerzas aplicadas debe ser igual a la suma de las fuerzas resistentes. Las tres cualidades que caracterizan a los elementos de un sistema de traslación mecánica son masa, elastancia y amortiguamiento.

Se comenzará e estudio considerando un sistema amortiguado compuesto por masa-resorte sin fricción (fig. 1)


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El desplazamiento de la masa se considerará nulo cuando el sistema esté en equilibrio, es decir, cuando en el resorte no existe tensión ni compresión y, por lo tanto, no se ejerce fuerza sobre la masa. Se adopta una convención de signos, de modo que los desplazamientos en la dirección de la flecha, a la derecha en este caso, se tomarán como positivos; y serán negativos aquellos que ocurran en sentido contrario.

Es importante indicar que esta convención se aplica no solamente al desplazamiento sino también a la fuerza, la velocidad y la aceleración.

La segunda ley de Newton puede expresarse como: ∑ === xDMDvMaMF 2... (ec. 1) La elastancia o el coeficiente elástico K, representa la fuerza

recuperadora del resorte, así si es traccionado el resorte tiende a contraerse, mientras que si se comprime tiende a recuperar su longitud primitiva. La fuerza recuperadora en cada extremo del resorte es la misma y es igual al producto del coeficiente de elasticidad K por el valor de la deformación del resorte.

El desplazamiento de cada extremo del resorte se mide a partir de la posición original de equilibrio. Así el extremo b tiene la posición bχ y el extremo a la posición aχ , la ecuación de fuerzas, según la ley de Hooke y siguiendo la convención impuesta al signo es:

)( abR Kf χχ −−= (ec. 2)

Si en cambio esta fijo el extremo a, tal como lo muestra la fig.

1, la ecuación se reduce a:

KxfR −= (ec. 3) Es importante hacer notar que siguiendo la convención de

signos esta fuerza resulta negativa cuando la masa se desplaza en dirección positiva (hacia la derecha) siendo esta la expresión correcta de la fuerza para cualquier desplazamiento posible. Si x es cero, fR es cero, esto es correcto por que el desplazamiento se tomó como nulo en la posición que inicialmente se llamó de equilibrio. Si en cambio x es negativo, o sea, la masa se desplaza a la izquierda, fR es positiva. Esto resulta correcto ya que el resorte estará comprimido y hará que la masa se mueva en dirección positiva.


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Dado que la fuerza debida al resorte es la única fuerza que actúa sobre la masa, la ecuación diferencial sobre la masa puede escribirse:

xKfFtxM R .2

2

−===∂∂ ∑ (ec. 4)

O bien: 0.. 2 =+ xKxDM (ec. 5)

Obviamente, el comportamiento de cualquier sistema físico es

independiente de cualquier convención de signo que se pudiera adoptar. Si se invierte la convención se podrá observar que se llega a la misma ecuación diferencial.

En el sistema analizado, el peso no es un factor, sin embargo lo es en el sistema masa-resorte de la fig. 2

Fig. 1

Fig. 2

Cuando el sistema se encuentra en reposo el desplazamiento

x es nulo y el resorte debido a la acción del peso de la masa se estira a una distancia δ, conocida como deflexión estática, siendo este desplazamiento:

[ ]mKgm

mNewseg

mKg

Kgm .. 2

=

==δ ec. 6


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Considérese un desplazamiento x en la dirección indicada en la fig. 3, suponiendo x = 0; cuando la masa se encuentra en la posición que se muestra.

El método de la flecha indica que los desplazamientos hacia arriba se tomarán como positivos.

Fig. 3

La fig. 4 muestra el diagrama de cuerpo libre de la masa

cuando x se desplaza hacia arriba desde su posición de equilibrio, en este caso, están actuando fuerzas, fig. 4 por un lado, el peso mg (siendo g la aceleración de la gravedad) dirigido hacia abajo, y por otro lado, la fuerza FR del resorte actuando hacia arriba. La fuerza debido al resorte es igual a la constante K del resorte multiplicada por la extensión del mismo que es (δ-x).

Fig. 4 Aplicando la ley de Newton al estudio y considerando

positivos los desplazamientos y fuerzas hacia arriba, se tiene:

( )∑ −−=== gmxKxDMamF ... 2 δ ec. 7 Sustituyendo la expresión de δ en la ecuación anterior:

mamgKxKKmgmamgx

KgmKF =−−==−

−=∑ . ec. 8

O bien:


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02 =+ KxxMD ec. 9 Obsérvese que al tocar como punto de referencia x = 0, la

posición de equilibrio, el peso no tuvo efecto alguno en la ecuación diferencial, pues esta resulto ser la misma que la del sistema anterior en la cual el peso no intervenía. De ahora en adelante se escogerá como punto de referencia la posición de equilibrio de manera de eliminar la acción del peso.

Otro de los elementos que normalmente intervienen en el movimiento de traslación es el rozamiento. Este se encuentra presente siempre que exista momento relativo entre dos cuerpos físicos.

La fricción no siempre es un fenómeno indeseable, y muchas veces es inducida deliberadamente para producir un efecto de amortiguamiento sobre las masas en movimiento.

Desde el punto de vista del control automático, un sistema sin ninguna clase de rozamiento presentaría problemas de estabilidad y deberían introducirse en el mismo fuerzas de rozamiento para mejorar su funcionamiento.

El rozamiento que se encuentra en los sistemas físicos generalmente es no lineal. Además, la naturaleza de las fuerzas de rozamiento entre dos superficies dadas depende, de factores tales como las condiciones de la superficie, la presión entre las superficies, su velocidad relativa y otros, resultando la expresión matemática de esta fuerza muy compleja. Sin embargo, se acostumbra a usar la siguiente expresión para describir la fuerza de la fricción:

( ) 2 31 20

. ( ) . ( ) . ( ) ....f c e v

vF F F C v t C v t C v tv =

= ± + + + +

ec. 10

Y donde Fc, Fe, C, C1, C2 son constantes y la velocidad v,

lineal. El primer término del segundo miembro de la ec. 10 se llama rozamiento de Coulomb, siendo Fc el coeficiente de rozamiento de Coulomb. La fuerza de rozamiento de Coulomb tiene amplitud constante respecto a las variaciones de velocidad, pero su signo cambia al invertirse el sentido de v. la fig. 5a muestra la representación gráfica de la relación fuerza-velocidad del rozamiento de Coulomb.

El segundo término de la ec. 10 se define como la fuerza de rozamiento estático, y existe solamente cuando el cuerpo está en reposo pero tendiendo al movimiento. O sea, la fuerza de rozamiento estático tiende a oponerse a cualquier intento de


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movimiento, fenómeno observado y experimentado en la vida cotidiana. Por lo tanto el signo del rozamiento estático depende, también, del sentido del movimiento o del sentido inicial de la velocidad. La relación fuerza-velocidad del rozamiento estático se muestra en la fig. 5b. es importante indicar que una vez iniciado el movimiento la fricción estática desaparece, y actúan otros rozamientos.

Los restantes términos de la ec. 10 se consideran una aproximación en serie del rozamiento no lineal, exceptuando el término C.v(t) los demás términos son relaciones no lineales. Despreciando todos los términos, excepto el termino lineal, la ec. 10 se transforma en:

( )( ) . ( ) .fx tF t C v t Ct

∂= =

∂ ec. 11

Este rozamiento lineal es conocido como rozamiento viscoso,

y la constante C como coeficiente de amortiguamiento viscoso. La fig. 5c muestra la representación de la relación fuerza-velocidad del rozamiento viscoso.

Existen mecanismos físicos que proveen una fuerza de fricción la cual es proporcional a la velocidad. Estos elementos son conocidos como amortiguadores viscosos.

Fig. 5: Fuerzas de rozamiento lineales y no lineales. a) Rozamiento de Coulomb. b) Rozamiento elástico c) Rozamiento viscoso (lineal) El amortiguador es un dispositivo que consiste e un pistón o

émbolo frecuentemente provisto de orificios, que se mueve en un cilindro relleno de una sustancia viscosa, comúnmente aceite (fig. 6). Cualquier movimiento relativo entre el eje del pistón y cilindro, encuentra una resistencia producida por la sustancia viscosa, que


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fluye a través de los orificios del pistón o alrededor de él, de un lado a otro. Cuanto mayor sea la velocidad relativa, mayores deberán ser la rapidez del flujo a través del pistón y la diferencia de presión a través del pistón a fin de que haya flujo de fluido. Es esta diferencia de presión la que produce la fuerza de rozamiento.

Fig. 6: Amortiguador viscoso En otras palabras, al aplicarle una fuerza al eje del pistón

manteniendo fijo al cilindro, una presión se ejercerá sobre la cara del pistón para resistir la fuerza. La diferencia (caída) de presión entre las caras del pistón, causa un flujo q, y el pistón se mueve en el cilindro. Considerando despreciable la masa del elemento móvil, la segunda ley de Newton puede expresarse como:

2 ( ). 0x tF mt

∂= =

∂∑ ec. 12

0F A P− ∆ = ec. 13 Siendo A el área del pistón. Si el fluido es incompresible, el caudal z debe ser igual al

desplazamiento volumétrico del pistón en el cilindro, esto es:

. ( )q Av t= ec. 14 Donde v(t) es la velocidad del pistón en el cilindro. Si la

velocidad del flujo del fluido a través de los orificios es pequeña, el flujo pasante es laminar y el caudal es proporcional a la caída de presión AP, esto es:

.q K AP= ec. 15

Luego, reemplazando las ec. 14 y 15 en la ec. 13 resulta:


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2

. ( ) . ( )q AF A P A v t C v tK K

= ∆ = = = ec. 16

La ec. 16 demuestra que el amortiguamiento operando bajo estas condiciones es de naturaleza viscosa, puesto que la fuerza es proporcional a la velocidad en una constante C, siendo esta constante el coeficiente de amortiguamiento.

El valor del coeficiente de amortiguamiento C da el grado de amortiguamiento viscoso operado.

Normalmente, un amortiguador se representa tal como se muestra en la fig. 7.

La ecuación que describe el comportamiento dinámico de este dispositivo es la siguiente:

1 2.fx xF Ct t

∂ ∂ = − ∂ ∂ ec. 17

Donde 1 2x xy

t t∂ ∂∂ ∂

son las velocidades del eje del pistón y del

cilindro respectivamente.

Fig. 7: Representación gráfica de un amortiguador


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Sistema de Palancas Las palancas se usan para proveer relaciones entre

desplazamientos, fuerzas, velocidades y aceleraciones. La fig. 8 muestra una simple palanca, de la cual se deduce que:

Fig. 8 Por relación de triángulos:

0

i

x ax a b=

+ ec. 18

Donde x0 y xi son desplazamientos. De igual forma se pueden relacionar también velocidades y

aceleraciones, esto es:

0 0 0

ii i

x x x ax a bx x

• ••

• ••= = =+

ec. 19

Es factible relacionar fuerzas. Para hallar esta relación se

planea la siguiente ecuación de movimiento respecto a la articulación O:

0

0( ) 0fi ii

F a bM F a b F aF a

+= + − = ⇒ =∑ ec. 20


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Relaciones Eléctricas Los sistemas eléctricos son esencialmente redes o circuitos

eléctricos en los cuales se encuentran 2 tipos de elementos: pasivos y activos. Los primeros acumulan energía, que en un momento dado puede ser devuelta a la red, en cambio que los activos son capaces de proporcionar energía externa al sistema. Ejemplo de los primeros son resistencias, capacidades e inductancias y de los segundos las fuentes de tensión y corriente.

En la siguiente tabla se pueden observar los elementos más comunes en los circuitos eléctricos, con sus representaciones gráficas y relaciones tensión corriente.

Fuentes de Tensión

V

Elementos Activos

Fuentes de Corriente

i

Resistencia V = R.i Ley de Ohm i = e/Rt

Elementos Pasivos

Capacitor 01tQv i dt

C Cui et

= +

∂=

∂

∫ Ley de Faraday

Inductancia .

1 .

iv Lt

i v dtL

∂=

∂

= ∫ Ly de Henry

Resistencias La diferencia de potencial (caída de voltaje) a través de un

resistor causa el flujo de corriente según la ley de ohm.


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RiE .=∆ Donde AE es la diferencia de potencial, volt, i es el flujo de

corriente, coulombs/segundos o amper y R es la resistencia del resistor, volt segundos/coulombs = volt/amper = ohm.

Capacitores El potencial en un capacitor eléctrico esta relacionado con la

corriente por el mismo, por la ley de Faraday:

∫=∆2

1

.t

t

dtiE

Donde (t2-t1) es el tiempo durante el cual circula la corriente i;

AE es el cambio del voltaje en el tiempo (t2-t1): C es la capacidad en coulombs/volt o faradio. La ecuación anterior puede ser escrita en forma operacional:

CDiE =∆

Donde 1/D denota ∫dt de los parámetros asociados.

Considerando que ∫ =2

1

.t

t

Qdti [coulomb] es la cantidad de carga que

fluye en el capacitor en el tiempo (t2-t1), luego C = Q/E` Relación que se usa generalmente para definir C. El concepto de condensadores es el de almacenar energía.


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Inductancia. El voltaje y la corriente a través de un inductor lineal estan

relacionados de acuerdo a la ley de Henry:

LDitiLE =∂∂

=∆

Donde AE es la caída de voltaje, y L es la inductancia del

inductor en [volt/segundo/amper]= henry. El concepto de inductancia, es el elemento inercial del sistema

eléctrico que se opone al campo y almacenar energía en el campo magnético.

El camino clásico para establecer las ecuaciones de las redes eléctricas incluye los métodos de mallas y nodos; formulados a partir de las leyes de Kirchhoff. ∑Vk = 0 y ∑ik = 0; que establecen respectivamente, que la suma algebraica de las tensiones existentes, a lo largo de un circuito cerrado es cero y que la suma de los momentos que parten o llegan a un mismo nodo es igual a cero.

El circuito mostrado en la fig 15 está compuesto por una resistencia y una inductancia en serie, a las cuales se les aplica un voltaje V. usando las expresiones que se dan en la tabla a1 y las leyes de Kirchhoff se tiene:

0=

∂∂

−−tiLRe i

o bien: eR

tiL i =+∂∂ ec. 34

Que representa la ecuación diferencial para el circuito. El circuito que se presenta en la fig. 14b tiene la siguiente

ecuación:

∫ =++∂∂ t

i VdtiC

RtiL

0

.1


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En lo que se ha supuesto que el condensador está

inicialmente descargado, es decir Q0 = 0. Esta ecuación puede escribirse en otra forma, si se recuerda que la corriente C = dq/dt donde q es la carga expresada en coulombs. Sustituyendo esta relación en la ecuación anterior:

VCq

tqR

tqL =+

∂∂

+∂∂

2

2

ec. 35

Fig. 15: Circuitos eléctricos Relaciones térmicas La diferencia de temperatura es la que induce al flujo calórico,

realizando la transferencia de calor de la región de más alta temperatura en la de más bajas. En todos los casos de propagación de calor entran en juego uno, dos o tres de los procesos siguientes: conducción, convección y radiación.

La conducción es la propagación del calor a través de la materia, pero sin movilización en esta. La teoría cinética explica el por qué de este fenómeno. Por efecto de la temperatura las moléculas entran en movimiento en forma violenta y a causa de as grandes fuerzas de enlace entre ellas, dicho movimiento se transmite a las otras moléculas, permitiendo de esta manera la conducción del flujo calórico.

La convección es la propagación del calor mediante el movimiento de la masa de un fluido, ya sea líquido o gas y tiene lugar debido a os cambios de densidad que sufre el fluido al calentarse. Como ejemplos de convención se puede citar el tiro de las chimeneas, la calefacción de una habitación por medio de una estufa situada en un rincón y la circulación del agua en un termosifón.

La radiación es el proceso de conversión de energía interna de la materia en radiación electromagnética, de naturaleza análoga a la de la luz y la reconversión de esta energía radiante en energía


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interna, al ser absorbida por cualquier sustancia sobre la cual incida la radiación.

Conducción Ignorando las pérdidas de calor en el medio circundante, el

flujo de calor desde un punto de, de un cuerpo homogéneo a otro punto está regido por la siguiente ecuación: fig. 16

xTAKq ∆

=. ec. 36

Fig. 16

Donde A es el área de la sección transversal del cuerpo

(asumida aquí constante), x es la longitud del camino de flujo de calor, k es el coeficiente de transferencia de calor (conductividad térmica) del material del cuerpo.

Para un conductor en particular K, A y x son constantes y la ec. 36 se pde escribir como:

TKq ∆= 1 ec. 37

Donde K1 es la conductividad térmica del cuerpo en [cal/ºC] Conducción-Convección Para el simple caso de la transferencia de calor, la proporción

de calor trasferido desde (o a) un cuerpo a (o desde) a un medio circundante, o entre dos cuerpos adyacentes, es gobernado por la siguiente relación.

TKq ∆= 2 ec. 38

En donde K2 es el coeficiente de transferencia de calor por

conducción y convección y ∆T la diferencia de temperaturas. Fig 17


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Fig. 17

En ambos casos las ecuaciones se pueden escribir de la

siguiente forma:

RqT=

∆ ec. 39

Donde R = 1/K es la resistencia térmica del cuerpo

considerado. Capacitancia térmica La capacitancia térmica es una propiedad que determina la

cantidad de calor almacenado en n cuerpo, dando como resultado un aumento de temperatura en un cuerpo. El cambio de temperatura de un cuerpo de masa M, cuando recibe un flujo de calor neto Q, es igual a la proporción de aumento de su energía interna, esto es:

( )TMCt

q ..∂∂

= ec. 40

En donde C es el calor específico, M la masa del cuerpo y T

es su temperatura, comúnmente C y M son constantes por lo tanto:

tTCMq∂∂

= ec. 41


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Despejando dT de la ec. 40, se tiene:

tqCM

T ∂=∂1 ec. 42

Integrando esta última ecuación, resulta:

∫==2

1

2

1.1´

t

t

T

Tdtq

CMTT ec. 43

Donde T1 y T2 son las temperaturas del cuerpo en los

instantes de tiempo t1 y t2 respectivamente y T´ es el cambio de temperatura experimentada por el cuerpo. El producto CM se lo denomina capacitancia térmica.

Relaciones en fluidos bajo presión. Los componentes fluídricos son muy usados en los sistemas

de control, donde grandes fuerzas y momentos son requeridos, como en servomecanismos.

La característica principal de las leyes de flujo de fluidos son

esencialmente no lineales, y esto es debido a que todos los fluidos presentan un cierto grado de compresibilidad, lo cual introduce un efecto no lineal en la acción dinámica de los componentes fluídricos.

Sin embargo, las acciones de muchos componentes de este tipo pueden linealizarse para dar un aceptable modelo lineal de sus características dinámicas. Para ello es necesario confiar el análisis a cambios relativamente pequeños de los estados de los componentes cerca de su condición media de trabajo. La linealización requiere la presunción de que el fluido usado es incompresible. Esta presunción es común con los líquidos a baja presión y no lo es tanto a altas presiones. En cambio aire y otros gases son altamente compresibles. Sin embargo, con sistemas de baja presión de aire, con respuestas lentas, de los tipos usados en procesos de control, la presunción de que el fluido es incompresible es frecuentemente satisfactoria.

Las presunciones de que el fluido es incompresible, y aproximaciones limitadas de las leyes de flujo de fluido, se usarán en la mayoría de los sistemas.


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Leyes de continuidad y conservación. Para un flujo continuo sin ramificaciones en su conducto, el

cual es constante en todos sus puntos. Esta condición se puede expresar así:

ctevAq == . ec 44

Considérese la figura 18

332211 vAvAvAq ===

Fig. 18

Para el cilindro hidráulico esquematizado en la fig. 19 la

expresión del caudal de flujo de entrada resulta igual a:

vAq .= ec. 45 Donde v es la velocidad del pistón en el cilindro y A el área

transversal del mismo. Notar que el producto A.v es la proporción de cambio de volumen de la parte final del cilindro.

Las leyes e conjunto, para los sistemas fluídricos se derivan de las leyes de balance de presiones y conservación de masa que con la selección de variables P y q equivalen a:

Fig. 19


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1º) para un sistema con ramificaciones (fig. 20), la suma algebraica de los flujos (caudales) en cualquier nodo o unión es nula, esto es.

∑q = 0 En la figura: ∑q = 0 = q1 – q2 – q3 Ó A1v1 – A2v2 – A3v3 = 0

Fig. 20

2º) en cualquier circuito fluídrico cerrado, la suma algebraica

de las caídas de presión a lo largo del circuito es cero. ∑∆P = 0 ec. 40 Para el circuito fluídrico de la fig. 21 esta ley se expresa como: ∆P = P1 – P0 = ∆P1 + ∆P2 + ∆P3 ec. 49

Fig. 21


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Caudales a través de restricciones. La restricción es el elemento disipativo de energía en los

sistemas fluídricos y puede materializarse como orificios, capilares, válvulas, tubos ventura y muchos otros dispositivos controladores ó medidores que actúan como elementos de control.

Si el flujo a través de la restricción es laminar, luego el caudal será proporcional a la caída de presión, esto es:

q α ∆P ec. 50 q/∆P = K ó ∆P/q = 1/K = R ec. 51 Donde K (una constante) es llamada conductancia de la

restricción, R (una constante) es llamada resistencia de la restricción en unidades [seg. Kg/M]

Para el caso de un fluido particular fluyendo a través de una restricción de geometría fija, R y K son constantes absolutas. Sin embargo, para el caso de válvulas R y K varían con el grado de operación. Esta característica se representa en la fig. 22.

Si el flujo a través de la restricción es turbulento, el caudal a través de ella es proporcional a la raíz cuadrada de la caída de presión a través de la misma.

Fig. 22

q α ∆P1/2 q = K ∆P1/2 ec. 52 La fig. 21 muestra una típica relación entre q y ∆P para fluidos

con turbulencias en una restricción.


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Como se aprecia, es una relación no lineal, pero puede ser linealizada sobre rangos relativamente pequeños de variación de presión, para dar una relación de la forma:

q´/ ∆P´ = K = 1/R ec. 53 Donde q´ es el cambio en el caudal debido al cambio de

presión ∆P´, K es la conductancia de la restricción y representa la pendiente de la curva en el punto considerado, siendo R = 1/K la resistencia de la restricción en dicho punto.

Fig. 23

La ec. 53 es similar a la expresión para flujo laminar (ec. 51);

excepto que cambios en q y ∆P con cambios relativos, mas que una relación de valores absolutos de q y ∆P.

Contrariamente al caso de flujo laminar, K y R varían con la forma de operar y caída de presión considerada, uniformes o constantes para restricciones de geometría fija, mientras que en el caso de restricciones variables tales como válvulas, es usual presentar una familia de curvas q = f(∆P) para una forma de operar determinada, tal como muestra la fig. 24:


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Fig. 24: Características típicas de válvulas

Flujo en cámaras. Considérese un flujo de aire que ingresa a una cámara de

volumen fijo, este flujo producirá un incremento de la presión en el interior de la cámara. Este concepto es completamente análogo a la capacitancia eléctrica, en el cual la corriente fluyendo en el mismo causa un incremento de potencial.

Excepto para el caso isotérmico ideal, la relación entre el flujo de entrada y el cambio de presión para una cámara es no lineal, debido al efecto de calentamiento durante la compresión. No obstante, para pequeños cambios de presión alrededor de un valor medio en la cámara, la relación es lineal.

Evidentemente el concepto de capacitancia no tiene sentido para fluidos incompresibles dentro de una cámara fija.

Una propiedad de los fluidos compresibles es su coeficiente de compresión, definido como el cociente de la tensión incremental a la deformación incremental, esto es:

VVP

∆∆

=β ec. 54

Donde V es el volumen inicial del fluido considerado. ∆V es el cambio de volumen debido a ∆P. Despejando de la ec. 54 ∆V y dividiendo ambos miembros de

la ecuación por ∆t resulta:

tPv

tV

∆∆

=∆∆

β ec. 55


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Tomando límites para β tendiendo a cero y teniendo en cuenta

que dV/dt = q resulta:

tqV

P ∂=∂β ec. 56

Integrando

∫ ∫==2

1

2

1

1´t

t

t

t

qdtC

qdtV

P β ec. 57

Donde C = V/β es la capacitancia del fluido de volumen V. Nivel de líquidos en tanques El control del nivel de líquidos en tanques es un requerimiento

común. Tales tanques pueden ser considerados como una situación especial de fluidos a presión. La fig. 25 muestra u tanque con fluido de entrada qe. El nivel h del líquido establece un potencial que causa un flujo qs fuera del tanque a través de la resistencia R0 de la válvula.

Fig. 25

Por continuidad, el caudal neto del tanque resulta ser igual: q = qi – q0 ec. 58 Para un estado de operación estable (condición de equilibrio),

la altura h es constante, y por lo tanto: q = 0 y qi = q0. ec. 59 el flujo a través de la válvula de descarga es debido a la caída

de presión a través de ella. Usando la expresión resulta:


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00 R

Pq ∆= ec. 60

La presión puede relacionarse con la altura del tanque,

utilizando la siguiente expresión:

hwP .= ec 61 Donde w es el peso específico del líquido. Por lo tanto la ec.

60 se puede escribir:

01000

´´´´Rh

wRh

Rhwq === ec. 62

Donde wRR 001 = es la resistencia de la válvula en unidades

compatibles expresando la presión como altura. Si el caudal neto en el tanque q es finito, esto es la altura está

cambiando de acuerdo con la expresión de continuidad

thAADhAhq∂∂

=−= ´ ec. 63

Donde A es la sección transversal del tanque y h es la

velocidad de la altura del nivel. Por lo tanto:

tqA

h ∂=∂1 ec. 64

Integrando:

∫= qdtA

h 1´ ec. 65

Donde h´ es el cambio en la altura debido al caudal q en el

tiempo (t2-t1), mientras que la capacitancia del tanque es directamente el área transversal del mismo.

Elementos adicionales de fluídrica. Se verán a continuación algunos elementos fluídricos que son

empleados comúnmente en los sistemas de control.


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Desplazamientos de válvulas. Válvulas de pistón y con asiento.

Las figuras 26a y 26b muestran ambos tipos de válvulas.

Estas válvulas son diseñadas de modo tal que el caudal a través de ellos cambie libremente con el grado de operación de las mismas.

La ecuación que se utiliza para determinar la rapidez de flujo a través de la válvula hidráulica que usa un eje de válvulas, es aquella que se usa para un orificio plano. Esto es:

AvCq d= ec. 66

En donde q es la rapidez del flujo, A es el área del orificio, v

es la velocidad teórica en la vena contracta del chorro suponiendo que no hay pérdida alguna, finalmente Cd es el coeficiente de descarga, el cual es un factor de corrección sin dimensiones y que se aplica a las pérdidas de energía. En un eje de válvula, el área A del orificio es el producto de la anchura w del orificio por el desplazamiento x del eje.

La velocidad v teórica, usada frecuentemente como gh2 , se

expresa de una manera más conveniente como ρP∆2 donde P∆ es

la caída de presión a través de orificio y ρ es la densidad de masa del fluido. Sustituyendo estas expresiones en la ecuación anterior, se obtiene:

ρPwxCq d

∆=

2 ec. 67

La ec. 67 puede simplificarse considerablemente si la caída

de presión a través de la válvula es aproximadamente constante, en dicho caso, ya que los factores Cd, w y δ también son constantes, la ec. 63 se convierte en:

xKq V= ec. 68

En donde x es el desplazamiento axial de la válvula desde su

presión inicial, KV es el coeficiente volumétrico de flujo en la válvula en [cm3/min] por [cm] de operación.

En el análisis es más común usar la ec. 68 de la forma:


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´´ xKq V= ec. 69 Donde q´ y x´ son los cambios en q y x respectivamente

desde sus posiciones iniciales de equilibrio.

Fig. 26: a) Válvula de pistón

b) válvula de asiento La ec. 68 se aplica esencialmente para situaciones de caída

de presión constante. Para una válvula particular, una familia de curvas q =f(x) para

varias caídas de presión como parámetro variable, desde las cuales el valor de KV puede ser obtenido para una forma dada de operación de P∆ y x (fig. 27)

Fig. 27


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Actuadotes de fuelle y de diafragma. La fig. 28 y la fig. 29 ilustran estos tipos de actuadotes, los

cuales son comúnmente usados para convertir presiones en desplazamientos o fuerzas.

Para ambas configuraciones: 1º) Si la placa final esta fija o si la tensión del resorte es

despreciable, luego un cambio en la presión interna P´ genera una fuerza adicional en la placa extrema.

APF ´´= ec. 70

2º) Si la placa extrema está libre de moverse axialmente bajo

la acción de una presión interna

KAP

KFx ´´´´ == ec. 71

Ambos tipos de actuadotes pueden exhibir efectos de

capacidad sobre los cambios de presión de entrada. Dispositivos Flapper-Nozzle (aleta-tobera) El dispositivo aleta-tobera (fig. 30) es muy veloz y sensitivo y

permite relacionar un desplazamiento de entrada con una presión


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de salida. La tobera es alimentada con un fluido (comúnmente aire) desde una fuente de presión constante.

Fig. 30 La línea de entrada incluye una restricción que provee una

resistencia R al flujo hacia la tobera. La tobera tiene una descarga en su correspondiente línea de descarga de presión. También tiene una descara adicional, a través de la aleta.

La aleta es una placa plana, que esta adyacente (o encima) de la salida auxiliar y puede ser movida axialmente. Si la aleta cubre la salida, luego el fluido puede descargar solamente a través de la descarga principal.

Para esta condición, la presión en la tobera y en la línea de descarga asume un determinado valor. Si la aleta es movida fuera de la descarga auxiliar, al fluido puede escapar a través de ella y la presión en la tobera bajará.

Cuanto más se separe la aleta de la tobera, más fácilmente escapará el fluido de él y la presión e él bajara más.

De esta manera la presión en la tobera y en la línea de descara principal dependerá de la posición de la aleta. Este dispositivo es fácilmente diseñado para cumplir con la relación lineal:


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KxP =0 ó KxP

=0 ec. 72

Donde K es la ganancia constante de la unidad. Una unidad

típica, en un controlador neumático tiene especificaciones físicas del orden:

Ps= 20 p si, volumen de la tobera = 0.01 m3, rango de x =0.008 in, rango lineal de P0 = 3 a 15 p si, ganancia K = 1500p si/in.

Estos dispositivos también son usados en sistemas neumáticos de alta presión y con sistemas hidráulicos. El dispositivo aleta-tobera es esencialmente un traductor amplificador e el cual capta un pequeño desplazamiento como señal de entrada y genera una relativa gran presión como señal de salida.

Técnicas de uso de analogías La técnica usada frecuentemente para plantear las

ecuaciones diferenciales de un sistema, es reducir el mismo mediante el uso de analogías a un circuito o red eléctrica equivalente. Este método es muy conveniente debido a que el análisis de los circuitos eléctricos resulta más sencillo, dado el entrenamiento que se tiene en el tratamiento de los mismos.

Para establecer las analogías, será necesario establecer las definiciones generales para resistencia, capacidad e inductancia, las cuales permitirán mediante las leyes de Ohm, Faraday y Henry; arribar a las ecuaciones del sistema a estudiar.

La resistencia es el elemento que disipa potencia y representa la oposición a un flujo, puede definirse como el cambio de potencial necesario para causar un flujo de corriente, esto es:

qER ∆

=

Si no hay caída de potencial a través de un resistor, no hay flujo que lo atraviese.

Un condensador es aquel elemento que alacena energía y eleva su potencial a expensas de su carga. Esto es, de acuerdo a la ley de Faraday:

∫=2

1

.1 t

t

dtiC

E


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Y teniendo en cuenta que ∫ =2

1

.t

t

qdti es la capacidad que fluye

en el condensado en el tiempo (t2-t1), lego:

EqC =1´

Como un ejemplo de analogía, considérese un bloque de acero el cual tiene una capacidad térmica debido a que es capaz de almacenar calor. Las unidades para la capacidad térmica son BTU/ºF. La capacidad térmica es llamada comúnmente capacidad calorífica, la cual se define como la cantidad de calor necesario para cambiar, en un grado, la temperatura de un cierto cuerpo.

La inductancia es la oposición a la aceleración, puede definirse como el cambio en el potencial necesario para producir un cambio unitario en la aceleración. En un sistema eléctrico, el potencial es el voltaje y si la corriente i ( tq ∂∂ ) se considera como la velocidad de la carga, t

i∂

∂ es la aceleración a dicha carga. Por lo tanto según la definición general:

tie

tqeL

∂∂

=

∂∂

= 2 que de acuerdo a la ley de Faraday: tiLE∂∂

=∆

Analogías. Dos componentes o sistemas serán análogos si están

descriptos por ecuaciones de equilibrio con la misma forma matemática, es decir, por expresiones idénticas en las que solamente cambian los nombres o símbolos de los parámetros y las variables.

A continuación se verán algunos ejemplos, agrupados según los cuatro tipos de parámetros, en donde se ha incluido la función temporal y su transformada

Resistencia o Conductancia

Fricción Viscosa Resistencia Resorte

( ) ( )tt fB

v 1= ( ) ( )tt v

Ri 1

= ( ) ( )tt fK

d 1=

( ) ( )SS FB

V 1= ( ) ( )SS V

RI 1

= ( ) ( )SS FK

D 1=

B = Coef. De fricción viscosa v,V = Velocidad f, F = fuerza

R = Resistencia i, I = Intensidad v, V = Tensión

K = Constante elástica d, D = Desplazamiento f, F = Fuerza


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Capacidad

Nivel de Tanque Condensador Autoinducción

( ) ( )dtqA

n tt ∫=1 ( ) ( )∫= dti

Cv tt

1 ( ) ( )∫= dtvL

i tt1

( ) ( )SS QAs

N 1= ( ) ( )SS I

CsV 1

= ( ) ( )SS VLs

I 1=

A = Área del Tanque n, N = Nivel q, Q = Caudal aporte neto

C = Capacidad i, I = Intensidad v, V = Tensión

L = Inductancia i, I = Intensidad v, V = Tensión

Inertancia Masa Autoinducción Condensador

( )( )

tv

Mf tt ∂

∂= . ( )

( )

ti

Lv tt ∂

∂= ( )

( )

tv

Ci tt ∂

∂=

( ) ( )SS MsVF = ( ) ( )SS LsIV = ( ) ( )SS CsVI = M = Masa v,V = Velocidad f, F = fuerza

L = Inductancia i, I = Intensidad v, V = Tensión

C = Capacidad i, I = Intensidad v, V = Tensión

ELEMENTO Parámetro Fricc. Visc. Resorte Masa Autoind. Condensador Resistencia

fB

v 1= f

Kx 1= f

Ma 1= φ

Li 1= q

Cv 1=

Conductanc. vBf .= xKf .= aMf .= iL.=φ vCq .= Capacidad

∫= dtfB

x .1 ∫= dtvKf . ∫= dtf

Mv .1

∫= dtvL

i .1 ∫= dti

Cv .1

Inertancia

txBf∂∂

= tf

Kv

∂∂

=1

tvMf∂∂

= tiLv∂∂

= tvCi∂∂

=

Parámetros B = Coef. Fricc. K = Const. Elást. M = Masa L = Inductancia C = Capacidad Variables v = Velocidad

f = Fuerza x = Recorrido

v = Velocidad f = Fuerza x = Recorrido

v = Velocidad f = Fuerza a = Aceleración

v = Tensión i = Intensidad θ = Flujo Magn.

v = Tensión i = Intensidad q = Carga


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Parámetro Ecuación de Equilibrio Tipo Valor Temporal Laplancia

Transmitancia

XYG =

Resistencia R xRy .= XRY .= RG = Conductancia 1/R

xR

y 1= X

RY .1=

RG 1=

Capacidad C ∫= dtx

Cy .1 X

CsY 1=

CsG 1=

Inertancia L txLy∂∂

= LsXY = LsG =

A continuación se presenta una tabla de analogías de

variables y parámetros, entre distintos tipodçs de sistemas físicos y tecnológicos:

SISTEMA

Eléctrico (Voltaje)

Eléctrico (Corriente)

Mecánico (Traslación)

Mecánico (Rotación)

Fluidos Térmico

Potencial Tensión Intensidad Fuerza Par (torsión) Presión Temperatura Flujo Intensidad Tensión Velocidad Veloc.

angular Caudal Flujo calorif.

Carga Carga eléctr. Flujo magn. Desplazamiento Ángulo Cantidad Cant. Calor Resistencia Resistencia Conductancia Chef. Fricc.

Viscosa Chef. Fricc. Visc.

Resistencia Resistencia

Conductancia Conductancia Resistencia Inverso ¨ ¨ Inverso ¨ ¨ Inverso ¨ Conduct. Capacidad Capacidad Inductancia Cons. Elástica Cte. Elás.

Rot. Volumen, área

Capac. Calor.

Inertancia Inductancia Capacidad Masa Mom. inercia Inercia (No tiene)

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