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Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz

Para la estabilidad BIBO, las raíces de la ecuación característica 1+G(s)H(s) = 0,

o los polos de C(s)/R(s), no pueden estar localizados en el semiplano derecho del

plano s o en eje j, todos deben quedar en el semiplano izquierdo del plano s. Se

dice que un sistema es inestable si no es estable BIBO.

Criterio Routh- Hurwitz

001

1

1

asasasasF n

n

n

n

1.- Todos los coeficientes de la

ecuación característica deben ser

del mismo signo.

2.- Ninguno de los coeficientes de la

ecuación característica debe ser

igual a cero.

as raícesde todas lproductos a

a

a vezo tres a lces tomandde las raíproductos a

a

vezo dos a laces tomandde las raíproductos a

a

raícestodas las a

a

n

n

n

n

n

n

n

n

1

0

3

2

1

Todas estas relaciones deben ser

positivas y no-cero a menos que una de

las raíces tengan una parte real positiva.

Estabilidad de Sistemas de Control Lineales

La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la

Ecuación Característica estén en el semiplano izquierdo del plano s

es que los determinantes de Hurwitz de la ecuación, , sean todos

positivos.

Criterio Hurwitz


11 naD

2

31

2

nn

nn

aa

aaD

31

42

531

3

0

D

nn

nnn

nnn

aa

aaa

aaa

0

31

42

531

n

000

00

0

0

D

a

aa

aaa

aaa

nn

nnn

nnn

0............ 0

1

1

2

2

1

1

asasasasa n

n

n

n

Criterio de Routh-Hurwitz

Determina la estabilidad de un sistema de orden

“n” partiendo de la ecuación característica

[1+G(s)H(s) = 0] expresada en forma de

polinomio.


En

donde:0121 ,,...,........., aaaaa nn

son coeficientes constantes.

Con los coeficientes se llenan las primeras dos filas del

siguiente determinante:


....

....

.....

.....BBA

AAB

A

AA

.....

.....

.....

0

1

32

1

31511

1

21313

32

1

5411

1

3212

531

1

42

s

s

s

s

aas

aas

nnnnn

n

nnnn

n

nnnnn

nnn

n

nnn

n

aaaa

AAa

aaaaA

a

aaaa

a

a

0............ 0

1

1

2

2

1

1

asasasasa n

n

n

n

00

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6 asasasasasasaEjemplo:


000

000

000*0*0*

000*0*

00*

0

0

1

0

02

50513

0

5

60

5

16254

13

5

024

6

5

0

0

0

53

5

3645

5

6

aF

0*EFa

FE

CaED

EC

ADBC

CA

BaAa

Aa

aaaa

a

a

s

s

C

ACa

C

ACas

A

aAD

A

aaAas

aa

aaaB

a

aaaas

aas

aaas

El Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz establece lo

siguiente:

Cada cambio de signo en la primera columna del

determinante denota la presencia de un polo en el

semiplano derecho del Plano “s”, siendo el sistema

inestable.

Esto significa lo siguiente: Para que un sistema sea estable,

no debe haber cambios de signo en la primera columna.


Ejemplo: Determimar si el siguiente sistema es

estable.

0523

0521

021

521

01)2)(1(

51

0HG1

:es ticacaracterísecuación La

23

(s)(s)

sss

sss

sss

sss

sss


0523 23 sss


05

3/1

0353/1

03

1

3

5123

53

21

0

1

2

3

s

s

s

s

Dado que no hay cambios de signo en la 1er. Columna, entonces

el sistema es ESTABLE.

5

3/1

3

1

0

1

2

3

s

s

s

s

1er. Columna

01023 23 sss


00103/4

)0)(3()10)(3/4(

003

4

3

)10)(1()2)(3(

0103

021

0

1

2

3

s

s

s

s

10

3/4

3

1

0

1

2

3

s

s

s

s

1er. Columna

b) Si el G(s)H(s) se modifica

)2)(1(

10HG (s)(s)

sss¿Sigue siendo estable?

Dado que hay 2 cambios de signo en la 1er. Columna, entonces el

sistema es INESTABLE, con 2 raices en el semiplano derecho.

1 cambio

(1 raíz)

1 cambio

(1 raíz)

Qué ocurre si en los cálculos, nos aparece un 0 en la primera columna?.

En este caso se presentan dos problemas:

1- No podremos calcular los coeficientes de la siguiente fila, ya que habrá que dividir por 0.

2- ¿Es posible considerar que hay un cambio de signo cuando un número se compara con el 0?.

El hecho de que aparezca un cero en la primera columna (siendo el resto de la fila no nulo), se debe, por así decirlo, al azar.

Casos Especiales

Teorema 1: División de una fila. Los coeficientes de cualquier fila pueden ser multiplicados o divididos por un número positivo sin cambiar los signos de la primera columna. Esto facilita evaluar los coeficientes del arreglo al convertir números fraccionales en enteros.

Casos Especiales

Teorema 2: Cuando el término de la primera columna de cualquier fila es cero, pero los términos restantes no son cero, o no hay términos restantes, se pueden emplear alguno de los siguientes tres métodos:

Casos Especial 1: Primer elemento de la fila 0

Casos Especial 1: Primer elemento de la fila 0

Casos Especial 2: Toda la fila son ceros

023 23 Ksss

Parámetros Ajustables

00

3

6

)0)(3()(3

6

003

6

3

))(1()2)(3(

03

021

0

1

2

3

KK

KK

s

KKs

Ks

s

Ks

Ks

s

s

0

1

2

3

3

6

3

1

1er.

Columna

c) Si el G(s)H(s) se modifica

)2)(1(HG (s)(s)

sss

K ¿Para qué valores de K el sistema

es estable? (rango)

Dado que hay términos de K en la 1er. columna, en cada uno tenemos que

determinar un límite para poder construir el rango de valores.

0

03

6

3

1

0

1

2

3

Ks

Ks

s

s

1er.

Columna

Para sistema estable toda la 1er. Columna debe ser positiva (+),

por lo que:

K

KK

KK

6

0606

)3(0603

6

0K

Rango de Estabilidad o Condición de Estabilidad

60 K

Posibles límites para construir

el rango de estabilidad.

Parámetros Ajustables

Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz para Sistemas con

Retardo de Transporte o Tiempo Muerto

17/08/2016INAUT, Facultad de Ingeniería, UNSJ.

Control de nivel con retardo en la medición

Sistemas con Retardo con MATLAB

Distintas maneras de generar funciones de transferencia

con retardo.

s=tf('s')

H=exp(-.5*s)*(s+1)/(s^2+s+1)

Ó

H=tf([1 1],[1 1 1],'ioDelay',.5)

En ambos casos Matlab devuelve:

s=tf('s'), H=series(exp(-.25*s),zpk([-1],[0 -2 -3],1))

Devuelve:

Limitaciones:


Sistemas con Retardo o Tiempo Muerto

Aproximación del retardo T=0.5 con Padé de primer orden

3 2

( 4)( )( )

( ) 5 (4 ) 4

ccl

c c

K sC sG s

R s s s K s K

Sistemas con Retardo o Tiempo Muerto

Aproximando el retardo T=0.5 con Padé de primer orden

3 2

( 4)( )( )

( ) 5 (4 ) 4

ccl

c c

K sC sG s

R s s s K s K

% Polinomio característico s^3+5*s^2+(4-Kc)s+4*Kc

syms Kc eps; Pc=[1 5 4-Kc 4*Kc];

[Routh_array,s]=routh(Pc,eps)

9 200 4

5 9

4 (9 20)0 0

(9 20)

c c

c cc

c

K K

K KK

K

200

9cK

3 2

( 4)( )

5 (4 ) 4

ccl

c c

K sG s

s s K s K

200

9cK

% Polinomio característico s^3+5*s^2+(4-Kc)s+4*Kc

Kc=-0.01,Pc=[1 5 4-Kc 4*Kc];[Routh_array,s]=routh(Pc,eps)

Se observa que para Kc dentro del rango de estabilidad en la primera columna del arreglo de Routh no hay cambios de signo.

Se observa para este ejemplo con T=0.5 que la aproximación de Padées bastante buena para todo el rango de Kc. Para retardos mayores la calidad de la aproximación se deteriora. Hay que incrementar el orden de la aproximación de Padé, pero como vimos esto también tiene un límite.

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