ÁLGEBRA EXPRESIONES ALGEBRAICAS
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ÁLGEBRA – EXPRESIONES ALGEBRAICAS
HISTORIA…
Si bien la palabra “álgebra” viene del vocablo árabe “al-Jabr”, sus orígenes se remontan
a los antiguos babilonios, que habían desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que
fueron capaces de hacer cálculos en una forma algebraica. Con el uso de este sistema fueron
capaces de aplicar las fórmulas y soluciones para calcular valores desconocidos.
CONCEPTOS
El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que
mientras en Aritmética las cantidades se representan por números, en Álgebra las cantidades
están representadas por letras, las cuales, a su vez, pueden representar cualquier valor que le
asignemos.
Así pues, los símbolos utilizados en Álgebra para representar cantidades pueden ser de dos
tipos: números y letras.
En Álgebra se utilizan tres tipos de signos:
Operación (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación),
Relación (menor que “ < ”, mayor que “ > ” e igual que “ = ” )
Agrupación (paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { } ).
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama expresión algebraica a toda agrupación de números y letras unidas por los signos
de las operaciones aritméticas. Así, por ejemplo, una expresión algebraica será:
Las expresiones algebraicas pueden ser: enteras, fraccionarias, racionales e irracionales.
Se llama término de una expresión algebraica a
las cantidades que están separadas por los signos más
( + ) o menos ( – ). Así, por ejemplo, la expresión
algebraica x – 3y consta de dos (2) términos que
son: x y – 3y.
En todo término algebraico pueden distinguirse
cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la variable
o parte literal y el grado o exponente.
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Ejemplos:
En el siguiente cuadro, determine los elementos de cada término…
TÉRMINO SIGNO COEFICIENTE PARTE LITERAL EXPONENTE
5 + 5 ------ ------
z + 1 z 1
– 3x4 – 3 x 4
– 9m3n2r – 9 m n r m: 3 , n:2 , r:1
3x2y x: y:
– 5x3y2z x: y: z:
– 8m4n5p6 m: n: p:
CLASIFICACIÓN DE TÉRMINOS
CLASIFICACIÓN CONDICIÓN EJEMPLOS
Término Positivo Son los que van precedidos del signo
positivo. mnxyxy 25,0,
2
1,2
Término Negativo Son los que van precedidos del signo
negativo. 2,,
4
3 22 nmxyzyx
Término Independiente Dentro de una expresión algebraica, es
aquel que sólo es un número, es decir no
presenta variables o letras.
En x + 2, el término
independiente es 2.
Término Entero Son aquellos que no presentan
denominadores. 4mn , 3m2n3
Término Fraccionario Son aquellos que presentan denominadores
literales. z
xy
m 5,
3
2
Término Racional Son aquellos que no contienen letras bajo el
signo radical. 239,5 nmxy
Término Irracional Son aquellos que contienen letras bajo el
signo radical. xmn
5
3,4
Términos Semejantes
Son los que tienen sus mismas variables
(parte literal) y elevado al mismo
exponente.
5xy y 7xy
23
3
1nm y 23
5
2nm
Términos No
Semejantes
Cuando sus partes literales o variables son
diferentes o cuando tienen su misma
variable pero exponentes diferentes.
a2b2 y 3m2n3
6xy y 2x2y
Términos Opuestos Son dos términos semejantes pero sus
coeficientes son números opuestos.
De 5m3n2, el opuesto es –5m3n2
De – 6ab, el opuesto es 6ab
Términos Iguales Son términos semejantes y tienen
coeficientes iguales. 7x2y y 7x2y
– 5mn y – 5mn
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CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas se clasifican dependiendo de la cantidad de términos en:
Monomios: Expresiones algebraicas que constan de un solo término. Ejemplo: 4x2y3z
Binomios: Expresiones algebraicas que constan de dos términos. Ejemplo: 4x – 5y
Trinomios: Expresiones algebraicas que constan de tres términos. Ejemplo: 2xy + 4y – 6xz
En general, las expresiones algebraicas que constan de dos o más términos reciben el
nombre de polinomios.
GRADO DE UN TÉRMINO
El grado de un término puede ser: absoluto o relativo (con relación a una letra).
Grado Absoluto: es la suma de los exponentes de sus factores literales. Así, por ejemplo,
3x (primer grado, 1°) , 2x2y4 (sexto grado, 6°) , 4x2y3z4 (noveno grado, 9°).
Grado Relativo: es el valor que tiene el exponente de la letra que se asigna. Así, por
ejemplo, 6x3y2 (tercer grado con respecto a la x, segundo grado con respecto a la y).
PRÁCTICA #7
I. A partir de los datos proporcionados, complete el siguiente cuadro.
TÉRMINOS SIGNOS COEFICIENTES PARTE
LITERAL EXPONENTES
m
– 6
5xyz
x: y: z:
nm5
8
5
m: n:
mnr
m: n: r:
– 6,9amx
a: m: x:
10x3y
x: y:
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II. Clasifique los siguientes términos. Puede encerrar más de una categoría.
a) 3 2x Entero Racional Irracional Positivo Negativo
b) – 3x2z Entero Racional Irracional Positivo Negativo
c) 3 8 a3bc Entero Racional Irracional Positivo Negativo
d) 75
5
2nm Entero Racional Irracional Positivo Fraccionario
III. Indique si las expresiones dadas son: monomio, binomio, trinomio o
polinomio.
a) (3x2)(4y) + 3x _______________________
b) 3x3y + 4x2y2 + 5xy3 _______________________
c) 2xyz _______________________
d) (8mn)(4n) – 7m – 4n + 1 _______________________
e) (4xy)(3yz)(2xz) _______________________
f) 2ax + 5am2 – 6ax3 _______________________
g) ab + cd + ef _______________________
h) (4ab)(2) – 6a + 7b – 6 _______________________
i) 43
4
1
3
1tx _______________________
IV. Escriba el grado relativo solicitado en los siguientes términos.
a) 6m5n3 ; m _________________ , n __________________
b) 3x8y5z ; x __________________ , y __________________ , z ________________
c) a2b6c7; a __________________ , b __________________ , c ________________
V. Diga el grado absoluto en los siguientes términos.
a) x4yz8 _________________________ b) 1,2ab3cd3 _______________________
c) 5m8n5 ________________________ d) mx7y5 _______________________
e) xyz6 ________________________ f) xy3z9 _______________________
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GRADO DE UN POLINOMIO
El grado de un polinomio puede ser: absoluto o relativo.
Grado Absoluto: Es el grado del término que tiene el mayor grado absoluto en el
polinomio. Así, por ejemplo: El polinomio x5 –5x3 + x2 + 6x es de quinto grado, pues
su término de mayor grado es x5.
Grado Relativo: Es el grado con respecto a una letra del polinomio, luego el grado
relativo es el mayor exponente que tenga dicha letra. Así, por ejemplo: El polinomio
a5 – a4b2 + a3b + a2b3 es de quinto grado con respecto a la “a” y de tercer grado con
respecto a la “b”.
ORDEN DE UN POLINOMIO
Se dice que un polinomio está ordenado con respecto a una letra, si los exponentes de dicha
letra van aumentando o disminuyendo. La letra escogida recibe el nombre de letra ordenatriz.
Orden Ascendente: Si los exponentes de la letra ordenatriz van aumentando desde el
menor hasta el mayor. Así, por ejemplo; 5x + 3x2 –4x3 + 5x4 está ordenado en forma
ascendente con respecto al “x”.
Orden Descendente: Si los exponentes de la letra ordenatriz van disminuyendo desde
el mayor hasta el menor. Así, por ejemplo; b5 + 6ab4 –7a2b3 – a3b2 + a4b está
ordenado en forma descendente con respecto a la “b”.
PRÁCTICA #8
I. Escriba el grado absoluto de los siguientes polinomios.
a) x + x2 + x3 + x4 _________________________
b) 5b – 3b2 + 4b4 – 6 _________________________
c) a5 + a4b –6a3b2 + x2y4 – 2y6 _________________________
d) 8 – x6 + 2x5 – x3 _________________________
II. Escribe el grado relativo de cada polinomio con respecto a la letra solicitada.
a) t6 – 3m3t4 – 2m2 + 8 m __________________ , t __________________
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b) xy5 – y6 + 3x4y4 – 5x3y3 x __________________ , y __________________
c) m4nt5 – 7m2t2 + 4n5t4 – m3n2t3 m _________ , n __________ , t __________
d) r3s2t3 + x6y11 – m10 + r15 – s16 m _________ , r _________ , s _________
t __________ , x __________ , y __________
e) 3b6m4 – 9bm3 + b4m6 + b5 b _______________ , m _______________
III. Ordene en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios.
a) m6n8 + 3m2n4 – m5n7 + m3n5 con respecto a:
Ascendente (m) : ___________________________________________________________
Descendente (n): ____________________________________________________________
b) 7bx2 – 2b3 + 4b2x + x3 con respecto a:
Ascendente (x) : ___________________________________________________________
Descendente (b): ___________________________________________________________
c) –6r3t4 – 5r6t + 8r2t5 – t7 con respecto a:
Ascendente (t) : ___________________________________________________________
Descendente (r): ___________________________________________________________
d) –10t15n12 + 4t12n3 – 8t6n5 – 15t3n6 + n7 – 8t9n4 + t18n con respecto a:
Ascendente (n) : ___________________________________________________________
Descendente (t): ____________________________________________________________
e) y12 – x9y6 + x12y4 – x3y10 con respecto a:
Ascendente (y) : ___________________________________________________________
Descendente (x): ___________________________________________________________
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PRÁCTICA #9
I. Clasifique, según la cantidad de términos, las siguientes expresiones algebraicas. (1) Monomio / (2) Binomio / (3) Trinomio / (4) Polinomio
a) ( 4x3
3a2 ) (
8m
3n) 1 2 3 4
b) 5x3 + √ 3a − 25x
y 1 2 3 4
c) (−7𝑥3)(−8𝑦3)(−5𝑧2) 1 2 3 4
d) (17𝑎2)(−3𝑏2) + (−9𝑐)(5) 1 2 3 4
e) 4a3b − 7a2b2 − 9ab3 − 15 1 2 3 4
f) 2x4y3z 1 2 3 4
g) − 1,2m + n 1 2 3 4
h) 4x2 + 3x + 7 1 2 3 4
i) x5 + x4 + x3 – x2 – x + 7 1 2 3 4
II. Indique al lado de cada expresión algebraica el grado absoluto y el grado relativo solicitado.
a) 5a4b3c _____ , b : _____
b) 4a3 − 8a2b4 + 5ab5 _____ , a : _____
c) 5x2y3 − 6xy2 + 8y3 _____ , x : _____
d) 4mn4 − 9m2n3 + 7m3n2 _____ , m : _____
e) 12m5n4 − 15m4n3 − 6m3n2 _____ , n : _____
f) 2xyz + 3x3y4 + 5xy8 _____ , z : _____
g) 8x9yz − 3xyz + 11x4y4z4 _____ , y : _____
h) − x6y + x5y2 − x4y3 + x3y4 _____ , x : _____
i) 2x3 + 4x4y5 − 3xy6 − 3xy6 + y7 _____ , y : _____
j) 8x3y2z + 2x4y3z + 6x5y4z5 _____ , z : _____
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III. En la siguiente lista de términos, encierra cada grupo de términos semejantes. Utiliza colores diferentes para identificar cada grupo.
0,5x2y 4xy2 2,3ab2 3a4bc
𝟐
𝟑 𝒙𝒚
2
3 a4bc
x2y −6ab2
5ab −10𝑥𝑦
2
5𝑥2
8x2y
−3,4𝑥2 −7xy2 4𝑥𝑦 𝑥𝑦
IV. Clasifique, atendiendo a su condición, los siguientes términos. Coloque equis (X) en las casillas correspondientes.
Términos Positivo Negativo Entero Fraccionario Racional Irracional
2xy
5𝑧3
√3 p2qr
√−32 5
mn
− 𝒘𝟐
𝟐𝐩
– 8a3b
√27𝑎6𝑏9 3
1
√ 3x
7,4x2y3z4
−9,5abc
− 1
5x
−z
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V. Ordene en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios, según lo solicitado en cada uno.
a) 2a3b2 – 5ab3 + 2a2b + b5 – 3a4
Ascendente (b) : ___________________________________________________________
Descendente (a): ____________________________________________________________
b) 8m6x3 – 5m2x4 + 3m + 5m4x2 – 2m3x
Ascendente (m) : ___________________________________________________________
Descendente (x): ___________________________________________________________
c) 7x3yz2 – 5xy + 3x2y + 8x5 – 3z
Ascendente (x) : ___________________________________________________________
d) 2n6 + 8m5n + 7m3n2 – 4mn + 7m4
Descendente (m): ____________________________________________________________
e) 8x3yz2 – 10xy + 2x2y + 5x5 – 2z
Ascendente (x) : ___________________________________________________________
f) 12y2z3 – 4y8z3 + 4y5z2 + 3yz – 4y3z2
Descendente (y): ___________________________________________________________