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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTOacuteNOMA DE MEacuteXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGOacuteN

DIVISIOacuteN DE LAS CIENCIAS FIacuteSICO-MATEMAacuteTICAS

Y DE LAS INGENIERIacuteAS

INGENIERIacuteA MECAacuteNICA-ELEacuteCTRICA

APUNTES

AacuteLGEBRA

EXPONENTES y RADICALES

1621 44 aa =

nmnm xxx += 10 === minus

n

nnn

xxxx

mnm n aa = yxxy

35

45 2= 2

2

21

21

)( yxyx +=

+

33 43 43 4 291285416 xxxxx =minusminus+

Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez

2009

APUNTES AacuteLGEBRA


El presente trabajo tiene como

objetivo describir los conceptos y

propiedades de los exponentes y los

radicales con los cuales se operan

Obviamente no se pretende sustituir a este

tema relacionado con el aacutelgebra

contenidos en publicaciones tan

prestigiadas relacionadas con las

matemaacuteticas ya que solamente es una

guiacutea

Por lo que si se quiere profundizar en

este tema es necesario consultar

bibliografiacutea especializada para tener una

informacioacuten maacutes amplia y con mayor

profundidad que la que aquiacute se presenta




i

CONTENIDO

Paacuteg

1 INTRODUCCIOacuteN 1 11 GENERALIDADES 1

12 LOS NUacuteMEROS ALGEBRAICOS 4 121 VALOR ABSOLUTO 5 122 NUacuteMEROS IGUALES DESIGUALES Y SIMEacuteTRICOS 5 1221 SUMA o ADICIOacuteN 6 1222 RESTA o SUSTRACCIOacuteN 7 13 REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO 7 14 REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE 9 15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 10 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES 13

2 EXPONENTES 15 21 POTENCIACIOacuteN 15 211 POTENCIA DE UN MONOMIO 15 2111 PROPIEDADES 16 22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES 16 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES 18 222 EL EXPONENTE CERO 22 223 EXPONENTES NEGATIVOS 23 2224 REGLA DEL COCIENTE 24 23 RESUMEN 26 24 EJERCICIOS 27

3 RADICALES 29 31 RAIacuteZ CUADRADA DE a 30 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL 30

33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE 32 34 RAIacuteCES CUacuteBICAS 33 35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS 33 36 EXPONENTES RACIONALES 35 37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1 37




ii

38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS 39 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES 43 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES 44 3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA 45 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES 46 3103 SUMA Y RESTA 48 311 RESUMEN 50 4 RACIONALIZACIOgraveN 50 41 BINOacuteMIOS CONJUGADOS 52

5 BIBLIOGRAFIacuteA 54




1

1 INTRODUCCIOacuteN

Aacutelgebra es una palabra de origen aacuterabe algiabr que se utiliza para nombrar el estudio de las operaciones y propiedades de magnitudes representadas por siacutembolos que generalmente son literales o letras

El primer introductor del aacutelgebra se cree que fue el griego Diofanto en el siglo III

aunque parece que en la India y Persia ya se conociacutea anteriormente En Europa fueron los aacuterabes los que lo introdujeron en el siglo IX

El sabio Al-Khuwarizmi fue el que introdujo siacutembolos para representar

magnitudes operaciones y expresiones El italiano Leonardo Pisano recogioacute en el siglo XIII las ensentildeanzas de las aacuterabes las tradujo al latiacuten y asiacute se extendieron por toda Europa

11 GENERALIDADES

El aacutelgebra es la rama de la matemaacutetica que estudia la cantidad considerada del

modo maacutes general posible [BALDOR A Paacuteg 5] Lo mismo que en aritmeacutetica en el aacutelgebra se efectuacutean operaciones con los

nuacutemeros pero su modo de representarlos difiere en ambas ramas de la matemaacutetica Para la aritmeacutetica soacutelo se emplean los signos comuacutenmente llamados araacutebigos (0 1 2 3 hellip) con la finalidad de escribir los nuacutemeros mientras que en el Aacutelgebra para representarlos se utilizan literales (a b c hellip x y z)

Los siacutembolos empleados en aacutelgebra para representar cantidades son los

nuacutemeros y las letras donde

a) Los nuacutemeros se emplean para representar cantidades conocidas y determinada

b) Las letras se usan para representar toda clase de cantidades ya sean conocidas o desconocidas

c) Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto a b c hellip

d) Las cantidades desconocidas son expresadas por las uacuteltimas letras del alfabeto u v w x y z

Consecuencia de la generalizacioacuten que implica la representacioacuten de cantidades

por medio de expresiones algebraicas Para ello se emplean signos de operacioacuten signos de relacioacuten y signos de agrupacioacuten Ejemplo Sean las siguientes dos literales a y b efectuar




2

1 Signos de Operacioacuten

Solucioacuten

En aacutelgebra se verifican las cantidades con las mismas operaciones que en Aritmeacutetica suma resta multiplicacioacuten divisioacuten elevacioacuten a potencias y extraccioacuten de raiacuteces a) Signo de la suma (adicioacuten) es + que se lee maacutes

ba + (se lee ldquoa maacutes b rdquo)

b) Signo de la resta (sustraccioacuten) es ndash que se lee menos

ba minus (se lee ldquoa menos b rdquo)

c) Signo de la multiplicacioacuten (producto) es X que se lee multiplicado por

a X b (se lee ldquoa multiplicado por b rdquo o ldquo a por b rdquo)

En lugar del signo X suele usarse un punto entre los factores o en su caso colocar los factores entre pareacutentesis como se indica a continuacioacuten

a bull b o (a )(b ) (leyeacutendose igual que el anterior)

Entre factores literales o entre un factor numeacuterico y un literal el signo de la multiplicacioacuten suele omitirse

Asiacute abc equivale a a X b X c

xy7 equivale a 7 X x X y y

x5 equivale a 5 X x

d) Signo de la divisioacuten (cociente) es que se lee dividido entre

ba (se lee ldquoa dividido entre b rdquo)

Tambieacuten esta operacioacuten se indica separando el dividendo y el divisor por medio de una raya horizontal tal como se indica a continuacioacuten

ba

(se lee ldquo a dividido entre b o a sobre b rdquo)

e) Signo de la elevacioacuten a potencia (exponente) el cual es un nuacutemero pequentildeo colocado en la parte superior de una cantidad o literal esto indica las veces




3

que dicha cantidad seraacute multiplicada por si misma llamada base la cual se toma como factor

bbbbbbaaaa == 53

Cuando una letra no tiene exponente su exponente es la unidad

1111 xnmmnxaa ==

f) Signo de raiacutez es y bajo este signo se coloca la cantidad a la cual se le extrae la raiacutez Asiacute a equivale a la raiacutez cuadrada de a cuya cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad de a Tambieacuten 3 b equivale a la raiacutez cuacutebica de b que al ser elevada al cubo reproduce la cantidad de b

2 Signos de relacioacuten

Se emplean estos signos para indicar la relacioacuten que existe entre dos cantidades Los principales son a) Signo de igual es = que se lee igual a

ba = (se lee ldquoa igual a b rdquo)

b) Signo de mayor es gt que se lee mayor que

ba gt ( se lee ldquoa mayor que b rdquo)

c) Signo de mayor e igual ge que se lee mayor o igual que

ba ge (se lee ldquoa mayor o igual que b rdquo)

d) Signo de menor lt que se lee menor que

ba lt ( se lee ldquoa menor que b rdquo)

e) Signo de menor e igual le que se lee menor o igual que

ba le ( se lee ldquoa menor o igual que b rdquo)




4

3 Signos de agrupacioacuten

Los signos de agrupacioacuten indican que la operacioacuten colocada entre ellos debe efectuarse primero Estos signos son los siguientes a) El pareacutentesis ordinario ( ) b) El corchete [ ] c) Las llaves y d) La barra o viacutenculo Asiacute cba )( + indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c [ ]mba minus indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m y ba + dc minus indica que la suma de a y bdebe dividirse entre la diferencia c y d

En el producto de dos factores cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor Asiacute en el producto a5 el factor 5 es coeficiente del factor a e indica que el factor a se toma como sumando cinco veces ya que a5 aaaaa ++++= En el producto b4 el factor 4 es coeficiente de b e indica que bbbbb +++=4 Siendo estos coeficientes numeacutericos En el producto ab el factor a es coeficiente del factor b e indica que el factor b se toma como sumando a veces es decir bbbbbab +++++= veces Este es un coeficiente literal

a En el producto de maacutes de dos factores uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes Asiacute en el producto abcd a es el coeficiente de bcd ab es el coeficiente de cd abc es el coeficiente de d Cuando una cantidad no tiene coeficiente numeacuterico su coeficiente es la unidad Asiacute b equivale a b1 abc equivale a abc1 12 LOS NUacuteMEROS ALGEBRAICOS

Muchas magnitudes pueden considerarse en dos sentidos opuestos asiacute en el comercio puede hablarse de peacuterdidas y de ganancias existen temperaturas sobre cero y bajo cero existen regiones sobre el nivel del mar y bajo dicho nivel se hace referencia a fechas posteriores a cierta edad o anteriores a ella en la superficie de la tierra hay lugares de latitud norte y de latitud sur etc




5

Las peacuterdidas y las ganancias las temperaturas sobre cero o bajo cero etc constituyen evidentemente diferentes clases de cantidades Los nuacutemeros con que se designan las ganancias las temperaturas sobre cero las latitudes norte etc se llaman nuacutemeros positivos y se indican convencionalmente anteponieacutendoles el signo + como

5+ Los nuacutemeros que sirven para identificar peacuterdidas temperaturas bajo cero

latitudes sur etc se llaman nuacutemeros negativos y se ha convenido en representarlos anteponieacutendoles el signo ndash Asiacute ( )250minus pesos representa una peacuterdida ( )5minus grados referido a temperatura indica 5grados bajo cero 18minus grados de latitud indica un lugar situado en el hemisferio sur

Si un nuacutemero no estaacute precedido de ninguacuten signo se considera como positivo por

tanto 26 es lo mismo que 26+ Llaacutemense nuacutemeros algebraicos el conjunto de los nuacutemeros positivos y negativos

incluyendo el cero

Recta numeacuterica o eje de los nuacutemeros reales (R)

121 VALOR ABSOLUTO El valor absoluto o moacutedulo de un nuacutemero algebraico es el valor aritmeacutetico de ese nuacutemero Este valor es el que se obtiene suprimiendo el signo v gr el moacutedulo de 3+ es 3 y el de 7minus es 7

El valor absoluto de un nuacutemero se representa escribiendo dicho nuacutemero entre dos rayas verticales como 55 =+ 66 =minus Que se leen respectivamente valor absoluto de 55 =+ y valor absoluto de

66 =minus NOTA Como se observa todo nuacutemero positivo es igual a su valor absoluto

122 NUacuteMEROS IGUALES DESIGUALES Y SIMEacuteTRICOS

Dos nuacutemeros algebraicos son iguales cuando tienen el mismo valor absoluto e

igual signo como

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10X O




6

4+ y 4+ 3minus y 3minus

Dos nuacutemeros algebraicos son desiguales cuando difieren por el signo por el

moacutedulo o por el signo y el moacutedulo La desigualdad se indica por el signo ne que se lee no igual a o diferente de Asiacute

545833 minusne++ne++neminus

Dos nuacutemeros algebraicos son simeacutetricos cuando soacutelo difieren por el signo Asiacute 10+ y 10minus

3minus y 3+ aminus y a+ son simeacutetricos

1221 SUMA o ADICIOacuteN

Sumar )5(+ con )7(+ Para efectuar esta operacioacuten aritmeacutetica se puede partir

del valor 5+ y localizarlo en la escala de los nuacutemeros de la recta numeacuterica XrsquoX seguidamente contar 7 divisiones a la derecha asiacute se alcanza el 12

12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+

Para sumar )6(minus con )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 6 divisiones a la

izquierda asiacute se llega al punto 9minus por lo que

)9()6()3( minus=minus+minus o simplemente 963 minus=minusminus De esto se deduce lo siguiente para sumar nuacutemeros algebraicos del mismo

signo se suman sus moacutedulos y a la suma se le da el signo de los sumandos Para sumar )6(+ con )9(minus se parte de 9minus y se cuentan 6 divisiones a la

derecha hasta llegar a 3minus Ya que

)3()6()9( minus=++minus o simplemente 369 minus=+minus Del mismo modo se obtendraacute

538)3()8( =minus=minus++




7

Por tanto para sumar dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo se resta el moacutedulo menor del mayor y a la diferencia se le da el signo del nuacutemero de mayor moacutedulo

La suma de varios nuacutemeros algebraicos de diferentes signos se reduce a los dos

casos anteriores ya que basta agrupar por separado todos los positivos y todos los negativos aplicando la suma y la resta para finalmente adicionarlos

=minus+++minus++ )2()4()5()7(

Agrupando los signos iguales

4711)2()5()4()7( =minus=minus+minus++++

1222 RESTA o SUSTRACCIOacuteN La resta es la operacioacuten inversa de la suma por lo tanto para restar nuacutemeros

algebraicos se procede a la inversa de coacutemo se hace para sumar Sea restar )5(+ de )8(+ Para efectuar esta operacioacuten se parte de 8 y se

recorren 5divisiones a la izquierda llegaacutendose al punto 3

358)5()8( =minus=+minus+ Para restar )2(+ de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 2 unidades a la

izquierda llegaacutendose al punto 5minus

523)2()3( minus==minusminus=+minusminus Para restar )8(minus de )3(minus se parte de 3minus y se cuentan 8 unidades a la derecha

se llega asiacute al punto 5

583)8()3( =+minus=minusminusminus

13 REGLA DE LOS SIGNOS DEL PRODUCTO A continuacioacuten se enuncia la regla de los signos del producto

a) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El producto de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo

Este resultado puede indicarse simboacutelicamente como se indica a continuacioacuten




8

+=minusminus+=++

))(())((

minus=+minusminus=minus+

))(())((

En la multiplicacioacuten o producto de nuacutemeros algebraicos se pueden distinguir dos

casos

1 Multiplicar dos nuacutemeros positivos como )5)(3( ++

Al considerar 3 como coeficiente la operacioacuten equivale a tomar 3 sumandos iguales a )5(+ por tanto

15555)5()5()5()5)(3( =++=+++++=++ Como se nota este caso no difiere del de la multiplicacioacuten de nuacutemeros aritmeacuteticos

Ejemplo

Multiplicar dos nuacutemeros de diferente signo a) )5)(3( minus+ y b) )5)(3( +minus

Solucioacuten

a) En el producto )5)(3( minus+ considerando a )3(+ como coeficiente la operacioacuten indicada equivale a tomar 3 sumandos iguales a 5minus

15)5()5()5()5)(3( minus=minus+minus+minus=minus+

b) En el producto )5)(3( +minus donde )3(minus se considera como coeficiente la

operacioacuten indicada equivale a tomar negativamente 3sumandos iguales a )5(+

15)5()5()5()5)(3( minus=+minus+minus+minus=+minus

Resultado que como se observa es igual al anterior

2 Multiplicar dos nuacutemeros negativos como )5)(3( minusminus

Este caso es una combinacioacuten de a) y de b) del caso anterior ya que equivale a tomar negativamente 3 sumandos iguales a )5(minus




9

15)5()5()5()5)(3( =minusminusminusminusminusminus=minusminus

14 REGLA DE LOS SIGNOS DEL COCIENTE El anaacutelisis de los signos indicado en los ejemplos anteriores de este subtema permiten formular la siguiente regla

a) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de mismo signo es positivo b) El cociente de dos nuacutemeros algebraicos de distinto signo es negativo

Esta regla puede indicarse simboacutelicamente de la siguiente manera

+=++

)()(

+=minusminus

)()(

minus=minus+

)()(

minus=+minus

)()(

La divisioacuten es una operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten que tiene por objeto

hallar uno de dos factores (cociente) cuando se conoce su producto (dividendo) y el otro factor (divisor) Por tanto para dividir se procede a la inversa de coacutemo se hace en la multiplicacioacuten

Suelen considerarse los mismos casos que en la multiplicacioacuten los cuales

pueden resumirse como se indica seguidamente 1

)4)(5(204)5()20(

=+=++ porque y 4

)5()4)(5(=

1

)4)(5(204)5()20(

minusminus=minus=minus+ porque y 4

)5()4)(5(

minus=minusminusminus

20)5)(4(4)5()20(

minus=+minusminus=+minus porque

20)5)(4(4)5()20(

minus=minus++=minusminus porque




10

15 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Sea el siguiente rectaacutengulo ABCD el cual tiene 5 centiacutemetros (cm) de largo y 3 centiacutemetros de ancho como se indica en la siguiente figura geomeacutetrica

En esta figura geomeacutetrica se pueden formar 3 fajas de 5 centiacutemetros de largo por 1 centiacutemetro de ancho cada faja puede dividirse en cinco cuadritos de 1 centiacutemetro de largo y 1 centiacutemetro de ancho Las tres fajas juntas constan de 5 X 153 = 2cm que es el aacuterea del rectaacutengulo

El resultado se expresa diciendo el aacuterea de un rectaacutengulo es igual al producto de la base por la altura Esta expresioacuten puede abreviarse de la siguiente manera Aacuterea = base X altura La cual puede ser representada por las literales =A aacuterea =b base y a = altura Por lo que

bA = X a

Dicha abreviacioacuten a su vez resulta maacutes corta si se suprime el signo X y asiacute queda la expresioacuten baA =

Dicha expresioacuten se llama foacutermula algebraica Toda foacutermula es una regla expresada por medio de siacutembolos e indica las

operaciones que deben de efectuarse con los nuacutemeros representados por las literales para obtener ciertos resultados [Anfosi Agustiacuten Paacuteg 2]

Asiacute el rectaacutengulo constaraacute de n fajas de 25 cm cada una y el aacuterea seraacute de

5=A X n = ][5 2cmn

5 cm de largo

3 cm

de

anch

o

A B

CD

B

CD

5 cm A

3 cm

1 cm

1 cm

1 cm2




11

De la foacutermula para obtener el aacuterea del rectaacutengulo baA= se deducen las siguientes transformaciones de dicha expresioacuten

aAb = y

bAa =

Donde para la primera expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su altura se puede saber su base y para la segunda expresioacuten conocida el aacuterea del rectaacutengulo y su base se puede obtener su altura

El aacuterea de un rectaacutengulo de base b y altura a es ba El aacuterea de tres rectaacutengulos iguales al anterior es babababa 3=++

El volumen de un paralelepiacutepedo en que las dimensiones de la base son b y a

y la altura es c es bac

El volumen de dos paralelepiacutepedos iguales al anterior es bacbacbac 2=+




12

El duplo se escribe a2 el triple de b se escribe b3 el cuaacutedruplo de 3a

3

4 a el

quiacutentuplo de c c5 etc Asiacute se tiene aaa +=2 bbbb ++=3

33333

4 aaaaa+++=

cccccc ++++=5 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

)( eaigualessumandosneeene ++++= En las expresiones anteriores ny5432 se llaman coeficientes El coeficiente es el nuacutemero o la literal que indica cuaacutentos sumandos iguales se toman Los cuatro primeros son numeacutericos y el uacuteltimo es literal

Ejemplo a) Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se

sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y de la madre

Solucioacuten La edad de Carlos es = a

La edad de la hermana es = a32

La edad de la madre es = a3 La edad del padre es = a4 Y la edad del abuelo es = aa 43 +




13

b) A continuacioacuten se presenta un plano de una parte de un piso cuyas dimensiones estaacuten expresadas en el mismo

En este plano se observa que la longitud de este piso se puede expresar como ba+=8 de donde ba minus= 8 Y que el ancho es ihdc +=+

En estos dos ejemplos aparecen expresiones que son combinaciones de

nuacutemeros y literales separadas por los signos de las operaciones matemaacuteticas (aritmeacuteticas) Estas expresiones reciben el nombre de expresiones algebraicas 141 TEacuteRMINOS Y COEFICIENTES Sea la siguiente expresioacuten algebraica la cual estaacute formada por cinco sumandos

babbaa 3212

35

++++

Se llama teacutermino de una expresioacuten algebraica a cada uno de dichos sumandos Asiacute a2 es una expresioacuten algebraica de un teacutermino ba +3 es una expresioacuten algebraica de dos teacuterminos 123 ++ aab es una expresioacuten algebraica de tres teacuterminos Donde cada teacutermino consta de una parte numeacuterica (coeficiente del teacutermino) y otra literal Asiacute a2 es un teacutermino de coeficiente 2 y parte literal a

ab23

es un teacutermino de coeficiente 23

y parte literal ab

a b

c

e

d

h

i

8




14

2xy es un teacutermino de coeficiente 1 y parte literal 2xy

Ejemplo Representar la edad de cada uno de los miembros de la familia de Carlos Se sabe que la edad de la hermana es dos tercios de la edad de Carlos la de la madre el triple la del padre cuatro veces y la del abuelo es igual a la suma de las edades del padre y la madre Solucioacuten Las expresiones algebraicas seraacuten las siguientes La edad de Carlos = a

La edad de la hermana = a32

La edad de la madre = a3 La edad del padre = a4 Y la edad del abuelo = aa 43 + A continuacioacuten se presenta el valor numeacuterico de cada una de las expresiones algebraicas si se sabe que la edad de Carlos es de 9 antildeos es decir 9=a La edad de Carlos = 9 antildeos

La edad de la hermana = 63

183

)9)(2()9(32

=== antildeos

La edad de la madre = 27)9(3 = antildeos La edad del padre = 36)9(4 = antildeos Y la edad del abuelo = 633627)9(4)9(3 =+=+ antildeos Nota

Si la edad de Carlos fuera otra los valores numeacutericos de cada una de las expresiones algebraicas seriacutean distintos

El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico ya que depende del valor que se le deacute a la literal o letra(s) que en ella intervengan




15

2 EXPONENTES Considere el caso especial de la multiplicacioacuten en el que todos los factores que se van a multiplicar son iguales Asiacute si se multiplica el nuacutemero a por siacute mismo se obtiene el producto aa el cual generalmente se escribe en la forma 2a En general el producto de n factores cada uno de ellos iguales a a se escribe en la forma na recibiendo el nuacutemero entero y positivo n el nombre de exponente En este caso se dice que se ha elevado el nuacutemero a a la eneacutesima potencia operacioacuten que recibe el nombre de potenciacioacuten 21 POTENCIACIOacuteN La potencia de una expresioacuten algebraica es la misma expresioacuten o el resultado de tomarla como factor dos o maacutes veces Asiacute la primera potencia de una expresioacuten es la misma expresioacuten como se indica a continuacioacuten aa 2)2( 1 =

La segunda potencia o cuadrado de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor dos veces Por lo que

22 4))()(2)(2()2)(2()2( aaaaaa === El cubo de una expresioacuten es el resultado de tomarla como factor tres veces por

ejemplo

33 8))()()(2)(2)(2()2)(2)(2()2( aaaaaaaa === Y en forma general ( ) ( )( )( ) vecesnaaaa n

2222 = 211 POTENCIA DE UN MONOMIO Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia Ejemplo Desarrollar las siguientes expresiones algebraicas




16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===

b) =minus=minus=minus )3)(4()3)(3(34333343 125)()()5()5( yxyxyx 129125 yxminus

c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES

Los exponentes indican multiplicacioacuten repetida por ejemplo

a) yy =2 ))(( yyy =

Donde 2y se lee y a la segunda potencia o y al cuadrado b) zz =3 z z = ))()(( zzz se lee z a la tercera potencia o z al cubo c) xx =4 x x x = ))()()(( xxxx se lee x a la cuarta potencia

22 EXPONENTES DE NUacuteMEROS REALES

Si n es un nuacutemero real entonces

xdefactoresn

xxn = x x x




17

La expresioacuten exponencial nx se llama potencia de x y se lee x a la eneacutesima potencia o x a la potencia n En la expresioacuten siguiente

nx Exponente

Base

x se llama base y n es el exponente Un exponente que sea nuacutemero natural indica cuaacutentas veces se usa la base de expresioacuten exponencial como factor de un producto por ejemplo

a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==

b) 32)2)(2)(2)(2)(2()2( 5 minus=minusminusminusminusminus=minus

c) 4()4(4 44 minus=minus=minus 4 4 256)4 minus=

d) 256)4)(4)(4)(4()4( 4 =minusminusminusminus=minus

e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus

g) 35 xx indica que x se debe usar cinco veces como factor y 3x representa que x se debe usar tres veces como factor por lo que 35 xx se usaraacute ocho veces como factor xdefactores5 xdefactores3

xxx =35 x x x x X x x x =

xdefactores8 = x x x x x x x x




18

En general

xdefactoresm xdefactoresn

xxx nm = x x x X x x x x = xdefactoresnm + = x x x x x Por lo tanto para multiplicar expresiones exponenciales con la misma base se

mantiene esa base y se suman los exponentes 221 REGLA DEL PRODUCTO PARA EXPONENTES

Si m y n son nuacutemeros naturales entonces nmnm xxx += Para desarrollar la regla de divisioacuten de las expresiones exponenciales se procede de la siguiente manera

nmnmnmn

mn

m

xxxxx

xxx minusminus+minus ===

= )(1

Por tanto para dividir dos expresiones exponenciales con la misma base distinta de cero se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador

NOTA La regla del producto para exponentes soacutelo se aplica a expresiones exponenciales que tienen la misma base Por ejemplo la expresioacuten 35 yx no se puede simplificar porque las bases de las expresiones exponenciales son diferentes Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales

a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +

Para encontrar otra propiedad se simplificaraacute la expresioacuten 34 )(x que significa

que 4x se eleva al cubo o en su caso 4x se repite tres veces 4x 4x 4x Donde 4x 4x 4x

=34 )(x 4x 4x 4x = ( x x x x )( x x x x )( x x x x )= = 12444 xx =++ En general se tiene que

nxdefactoresn nxdefactoresmn

mnm xx =)( mx mx mx = x x x x x x = mnx

Asiacute para elevar una expresioacuten exponencial a una potencia se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes

Ejemplo

Si se eleva x3 al cuadrado se obtiene el siguiente resultado

( ) )3(3 2 xx = ))()(3)(3()3( xxx = = 222 93 xx = En general se tiene que




20

xydefactoresn xdefactoresn ( ) ))()(( xyxyxyxy n = xxxxy =)( x yyy y = nn yx

ydefactoresn

Otra propiedad por ejemplo es elevar al cubo la siguiente expresioacuten 3x

Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=

En general se tiene lo siguiente

yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx

ydefactoresn Los tres resultados anteriores se llaman reglas de potencias de los exponentes Si m y n son nuacutemeros naturales entonces




21

( ) mnnm xx = nnn yxxy =)( n

nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos

Resolver las siguientes expresiones exponenciales

a) ( )323 b) ( )511x c) ( )632xx d) ( ) ( )2342 xx e) ( )32 yx f) ( )443 yx g) 4

2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney

Analizar la diferencia que existe entre nxminus y nx)(minus




22

Solucioacuten

xdefactoresn xdefactoresn minus

(minus=minus nx x x x x ) y )())()(()( xxxxx n minusminusminusminus=minus

Tambieacuten es conveniente hacer notar la diferencia que existe entre nax y ( )nax donde

xdefactoresn axdefactoresn

aaxn = x x x x y )())()(()( axaxaxaxax n = 222 EL EXPONENTE CERO Cuando las reglas de los exponentes son vaacutelidas y si el exponente es igual a 0 (cero) se tiene lo siguiente nnnnn xxxxxx 1)1()1(00 ==== + Como nn xxx 10 = en consecuencia ( )010 ne= xx

El exponente cero si 10 0 =ne xentoncesx En general cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a 1 Tambieacuten

10 === minusn

nnn

xxxx

Si todas las bases son distintas de cero y el exponente es cero entonces

a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA

00 es indefinido esto a consecuencia de que infin=00 223 EXPONENTES NEGATIVOS Las reglas de los exponentes son vaacutelidas tambieacuten cuando eacutestos son enteros negativos ( )010 ne=== +minusminus xxxxx nnnn

ya que nxminus 1=nx y nx

1 1=nx

Ademaacutes se define a nxminus como el reciacuteproco de nx Por lo que

nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1

NOTA De acuerdo con la definicioacuten de exponentes negativos la base no puede ser 0

Asiacute una expresioacuten como 50minus no estaacute definida por lo que

infin=minus50 Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales

a) 25minus b) 310minus c) ( ) 32 minusx d) 13 minusx e) 35xxminus f) ( ) 23 minusminusx Solucioacuten

a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus

d) 33 1 =minusx xx31

=

e) 2

23535 1x

xxxx === minus+minusminus

f) ( ) 6)2)(3(23 xxx == minusminusminusminus

2224 REGLA DEL COCIENTE Si m y n son enteros entonces

( )0 ne= minus xxxx nm

n

m

Ejemplos Resolver las siguientes expresiones exponenciales

a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx

=== minusminusminusminus

c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx

==== minusminusminusminusminus 11431243124

32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa

babaaba minusminusminus

==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus

El siguiente teorema indica que una fraccioacuten elevada a una potencia negativa se puede invertir y elevarse asiacute a una potencia positiva

Teorema Si n es un nuacutemero entero entonces

( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=

minusminusminusminusminus

minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215

baba 321912)6(15 babbaa =minusminusminus

23 RESUMEN Si no existen divisiones entre 0 (cero) entonces para enteros m y n cualesquiera

a) nmnm xxx += b) ( ) mnnm xx =

c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus

NOTA Las mismas reglas se aplican cuando los exponentes son variables 24 EJERCICIOS

1 Simplificar las siguientes expresiones

a) 24 b) 32 )(x c) 12 )( minusminusx d) 5

2

xx

e) 25minus

Solucioacuten a) 16)4)(4(42 == b) 6)3)(2(32 )( xxx == c) 2)1)(2(12 )( xxx == minusminusminusminus

o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx

===== minusminusminus+minus

o tambieacuten 1 1 1

21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===

2 Simplificar las siguientes expresiones considerando que ninguno de los

denominadores sea igual a cero

a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm

===== minusminusminus

1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus

3 Encontrar el valor numeacuterico de las siguientes expresiones con 2minus=x y

3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus

c) ( ) 22 minusxy d) 23 minusminus xy e) 23)( minusminus xy

Solucioacuten

a) ( ) ( ) 72)9)(8(32 2323 minus=minus=minus=yx

b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus

=minusminus=minus minusminusxy 1627

minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy

3 RADICALES Con frecuencia en los problemas de aplicacioacuten se debe determinar queacute nuacutemero se puede elevar al cuadrado para obtener un segundo nuacutemero a Si se puede determinar a ese nuacutemero se le llama una raiacutez cuadrada de a Por ejemplo




30

a) 0es una raiacutez cuadrada de 0 porque 002 = b) 4 es una raiacutez cuadrada de 16 porque 1642 = c) 4minus es una raiacutez cuadrada de 16 porque 16)4( 2 =minus d) xy7 es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy = e) xy7minus es una raiacutez cuadrada de 2249 yx porque 49)7( 222 yxxy =minus

31 RAIacuteZ CUADRADA DE a El nuacutemero b es una raiacutez cuadrada de a cuando 2 ab = Todos los nuacutemeros positivos tienen dos nuacutemeros reales que son sus raiacuteces cuadradas uno positivo y otro negativo El uacutenico nuacutemero con una sola raiacutez cuadrada es 0 cuya raiacutez cuadrada es 0 Ejemplo Determinar las dos raiacuteces cuadradas de 121 Solucioacuten Las dos raiacuteces cuadradas de 121son 11y 11minus porque 121112 = y 121)11( 2 =minus 32 RAIacuteZ CUADRADA PRINCIPAL Se llama signo radical al siacutembolo y a x el nuacutemero que se encuentran dentro del signo radical que se llama radicando Siacute x gt 0 la raiacutez principal de x es la raiacutez cuadrada positiva de x y se

representa con x La raiacutez cuadrada principal de 0 es 0 00 = NOTA Por definicioacuten el cuadrado principal de un nuacutemero positivo siempre es positivo Aunque 5 y 5minus son raiacuteces cuadradas de 25 soacutelo 5es la raiacutez cuadrada principal El radical

25 representa 5 El radical 25minus representa 5minus Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuadradas




31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =

g) 03000090 minus=minus

Los nuacutemeros como 1600491694 y se llaman cuadrados enteros porque cada uno de ellos es el cuadrado de un entero La raiacutez cuadrada de todo cuadrado entero es un nuacutemero racional Por ejemplo

4016007494163924 =====

Las raiacuteces cuadradas de muchos enteros positivos no son nuacutemeros racionales Por ejemplo 11 es un nuacutemero irracional cuyo valor aproximado ( )asymp es de

31662473 )3166247311( asymp Donde el siacutembolo asympquiere decir ldquoaproximadamente igual ardquo

Las raiacuteces cuadradas de nuacutemeros negativos no son nuacutemeros reales Por

ejemplo 9minus no es nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado al cuadrado es igual a 9minus Las raiacuteces cuadradas de los nuacutemeros negativos originan un conjunto llamado nuacutemeros imaginarios




32

33 RAIacuteCES CUADRADAS DE EXPRESIONES CON VARIABLE Si 0nex el nuacutemero positivo 2x tiene por raiacuteces a x y a xminus porque 22)( xx =

y 22)( xx =minus Para indicar la raiacutez cuadrada positiva de 2x se debe saber si x es positivo o negativo Si 0gtx se puede escribir lo siguiente xx =2 donde 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es x Si x es negativo entonces 0gtminus x es xx minus=2 ya que 2x representa la raiacutez cuadrada positiva de 2x que es xminus Si no se sabe si x es positivo o negativo se pueden emplear siacutembolos de valor absoluto para garantizar que 2x sea positiva xx =2 siempre y cuando x sea cualquier nuacutemero real Si x es cualquier nuacutemero real entonces

a) xxxx 44)4(16 22 ===

Por lo que escribir 216x en la forma 2)4( x siendo que ( ) 22 164 xx = Puesto que x podriacutea ser negativo Los siacutembolos de valor absoluto son necesarios ya que en el producto x4 4 es una constante positiva

b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2

+=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 4+x puede ser negativo por ejemplo cuando

8minus=x

c) ( ) 1112 22 +=+=++ xxxx Porque ( )211 +=+ xx Como x puede ser cualquier nuacutemero real 1+x puede ser negativo por ejemplo cuando 5minus=x

d) 24 xx = porque ( ) 422 xx = Como 02 gex




33

34 RAIacuteCES CUacuteBICAS La raiacutez cuacutebica de x se representa por yx =3 si xy =3 Por ejemplo el nuacutemero 64 tiene dos raiacuteces cuadradas que son nuacutemeros reales 8 y 8minus Sin embargo 64 soacutelo tiene una raiacutez cuacutebica real que es el valor de 4 porque 4 es el uacutenico nuacutemero real cuyo cubo es 64 Por lo tanto

xx =3 3 Como todos los nuacutemeros reales tienen una y solo una raiacutez cuacutebica real algunas

de las cuales son positivas y otras negativas no es necesario emplear siacutembolos de valor absoluto al simplificar las raiacuteces cuacutebicas

Ejemplo Resolver las siguientes raiacuteces cuacutebicas

a) 3 125 b) 3

81

c) 3 327xminus d) 33

3

278

ba

minus e) 3 632160 yx

Solucioacuten a) 51253 = porque 125)5)(5)(5(53 ==

b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=

c) xx 3273 3 minus=minus porque ( ) ( )( )( ) 33 273333 xxxxx minus=minusminusminus=minus

d) ba

ba

32

278

33

3

minus=minus porque 3

33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==

35 RAIacuteCES ENEacuteSIMAS Asiacute como existen raiacuteces cuadradas y raiacuteces cuacutebicas tambieacuten existen las raiacuteces cuartas raiacuteces quintas raiacuteces sextas etc




34

Cuando n es impar el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez impar Como todo nuacutemero real tiene una y soacutelo una raiacutez eneacutesima real cuando n es impar no es necesario preocuparse por los siacutembolos de valor absoluto cuando se calculan raiacuteces impares Ejemplo

a) 33243 5 55 == porque 24335 = b) ( ) xxx 227128 77 7 minus=minus=minus porque ( ) 77 1282 xx minus=minus

Cuando n es par el radical ( )1gtnxn representa una raiacutez par En este caso habraacute una raiacutez eneacutesima positiva y una eneacutesima negativa Por ejemplo las dos raiacuteces sextas reales de 729 son 3 y 3minus porque

72936 = y 729)3( 6 =minus Cuando se determinan raiacuteces reales se emplean con frecuencia los siacutembolos de valor absoluto para garantizar que la eneacutesima raiacutez sea positiva Ejemplos

a) ( ) 3334 4 =minus=minus

Tambieacuten se puede simplificar de la siguiente manera ( ) 3813 44 4 ==minus

b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===

Los siacutembolos de valor absoluto garantizan que la raiacutez sexta es positiva

Generalizando se tienen las siguientes reglas Si x es un nuacutemero real y 1gtn entonces

a) Si n es un nuacutemero impar natural xxn n =

b) Si n es un nuacutemero par natural xxn n =




35

NOTA En el radical n x a n se le llama el iacutendice u orden del radical Cuando el iacutendice

es 2 el radical es una raiacutez cuadrada y se acostumbra no escribir el iacutendice Cuando n es par ( )2gtn y 0ltx el radical n x no es un nuacutemero real Por

ejemplo 4 81minus no es un nuacutemero real porque ninguacuten nuacutemero real elevado a la cuarta potencia es 81minus

Ejemplo

a) 56254 = porque 62554 = b) 2325 minus=minus porque ( ) 322 5 minus=minus

c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=

36 EXPONENTES RACIONALES Los exponentes enteros positivos indican la cantidad de veces que se debe usar una base como factor en un producto Por ejemplo 5x significa que x se debe emplear cinco veces como factor ya que xdefactores5 ( )( )( )( )( )xxxxxx =5 Es posible elevar bases a potencias racionales (fraccionarias) cuando se desea que dichos exponentes respeten las mismas reglas que los coeficientes enteros el

cuadrado de 21

10 debe ser 10 porque

( )

10101010 1

2

212

21

===

Se mantiene la base y se multiplican los exponentes




36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =

Sin embargo hay que recordar que ( ) 1010

2=

Como 2

21

10

y ( )210 son iguales a 10

Con esto se puede definir que 21

10 es igual a 10 Igualmente para

a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10

Por lo que si n es un nuacutemero natural mayor que 1 y n x es un nuacutemero real entonces

nn xx =1

Ejemplo Resolver los siguientes radicales

a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =

i) Ejemplos Escribir los siguientes radicales en forma de expresiones elevadas a exponentes

fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy

37 EXPONENTES FRACCIONARIOS CON NUMERADORES DIFERENTES DE 1

Se puede ampliar la definicioacuten de nx1

para abarcar a los exponentes fraccionarios cuyos numeradores sean distintos de 1




38

Por ejemplo 23

4 se puede escribir de la manera siguiente 3

21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=

Asiacute se puede simplificar a 23

4 elevando al cubo la raiacutez cuadrada de 4 Tambieacuten

se puede simplificar 23

4 sacando la raiacutez cuadrada del 4 elevado al cubo

( ) 864646444 221

21

323

===== A continuacioacuten se presenta la siguiente regla Conversioacuten de exponentes

racionales a radicales si m y n son enteros positivos 0gtx y nm se encuentran en

su forma simplificada

( )mnn mnm

xxx ==

De acuerdo con esta definicioacuten esta regla nm

x se puede interpretar de dos maneras

a) nm

x significa la eneacutesima raiacutez de la emeacutesima potencia de x

b) nm

x significa la emeacutesima potencia de la eneacutesima raiacutez de x

Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334

3 16288 xxxx =minus=minus=minus




39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334

3 16409688 xxxx ==minus=minus Para evitar los nuacutemeros grandes lo mejor es primero determinar la raiacutez de la base 38 EXPONENTES FRACCIONARIOS NEGATIVOS

Se define a la expresioacuten fraccionaria negativa nm

xminus

como sigue si m y n son

enteros positivos nm

se encuentran en su forma simplificada y nx1

es un nuacutemero real

entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos

Resolver los siguientes exponentes fraccionarios

a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52

532 minusminus x d) ( ) 43

16 minusminus Solucioacuten

a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus

=minus minus = ( )[ ]34 161minus

=




40

e) No tiene solucioacuten porque

( )41

4 1616 minus=minus no es un nuacutemero real

NOTA Por definicioacuten 00 es indefinido o indeterminado Una base 0 elevada a una

potencia negativa tambieacuten es indefinido porque 20minus es igual 20

1 lo cual es

indeterminado por no poderse dividir entre 0 Se pueden usar las leyes de los exponentes para simplificar muchas expresiones

con exponentes fraccionarios Si todas las variables representan nuacutemeros positivos no es necesario incluir los siacutembolos de valor absoluto

Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+

= se usa la regla nmnm xxx +=

75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=

se usa la regla ( ) mnnm xx =

76

5= se multiplican 76

13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=

baba se usa la regla ( )nxy

26

312

ba= se usa regla ( ) mnnm xx = para cada uno 34ba= se simplifica cada exponente

d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa

se usan las reglas nmnm xxx += y n

m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=

Ejemplo Considerar que todas las variables representan nuacutemeros positivos escribir las respuestas sin emplear exponentes negativos

a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157

aaaa ne+ La expresioacuten 57

aa + no se puede simplificar porque a y

57

a no son teacuterminos semejantes

b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21

2 = yxyx ++ 2 39 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES CON RADICALES Muchas expresiones sin radicales se pueden simplificar siguiendo los siguientes pasos

1 Convertir la expresioacuten con radical a una expresioacuten exponencial con exponentes racionales 2 Simplificar los exponentes racionales 3 Cambiar la expresioacuten exponencial a una con radical

Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93

3333 yxyxyxyx ==== 310 PROPIEDADES DE LOS RADICALES

Existen muchas propiedades de los exponentes que tienen su contraparte en la

notacioacuten con radicales En una de ellas intervienen productos como ( )nnn abba111

= entonces

nnn abba =

Ejemplo Resolver las siguientes expresiones a) 55 Solucioacuten

( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===

c) 44 3 82 xx Solucioacuten

xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45

3101 PROPIEDAD MULTIPLICATIVA

Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces nnn abba = Ya que todos los radicales representan a nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros es igual al producto de las raiacuteces eneacutesimas de los nuacutemeros La propiedad multiplicativa de los radicales se aplica a la raiacutez eneacutesima del producto de dos nuacutemeros No existe una propiedad semejante para sumas o restas por ejemplo

a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+

b) 4949 minusneminus Solucioacuten

15235

4949

ne

minusne

minusneminus

Asiacute baba +ne+ y baba minusneminus Otra propiedad de los radicales implica el uso de cocientes Ya que

n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===

Si se aplica la propiedad simeacutetrica de la igualdad al ejemplo anterior se llega a lo

siguiente Si n a y n b son nuacutemeros reales entonces

( )0 ne= bba

ba

n

nn

Ya que todos los radicales representan nuacutemeros reales la raiacutez eneacutesima del

cociente de dos nuacutemeros es igual al cociente de sus raiacuteces eneacutesimas 3102 SIMPLIFICACIOacuteN DE EXPRESIONES Se dice que una expresioacuten con radicales estaacute en su forma maacutes simple cuando se cumplen cada una de las siguientes condiciones

1 No aparecen radicales en el denominador de una fraccioacuten Ing Francisco Rauacutel Ortiacutez Gonzaacutelez



47

2 El radicando no contiene fracciones ni nuacutemeros negativos

3 Cada factor en el radicando estaacute elevado a una potencia menor que el iacutendice del radical

Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==

3 Simplificar las expresiones siguientes Considerando que todas las variables representan nuacutemeros positivos

a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA

Las expresiones que tienen radicales con el mismo iacutendice y el mismo radicando se llaman radicales semejantes Por ejemplo 23 y 22 son radicales semejantes Sin embargo 53 y 24 no son radicales semejantes porque los radicandos son distintos Ahora bien 53 y 3 52 no son radicales semejantes porque los iacutendices son distintos Con frecuencia se pueden combinar radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten 2223 + se debe usar la propiedad llamada distributiva

para que 2 sea el factor comuacuten con la finalidad de simplificar por lo que ( ) 252232223 =+=+ Los radicales que tienen igual iacutendice pero radicandos diferentes se pueden simplificar para obtener radicales semejantes Por ejemplo para simplificar la expresioacuten

1227 minus se simplifican ambos radicales y despueacutes se combinan los radicales semejantes

( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49

Como los ejemplos anteriores parecen indicar la siguiente regla para sumar o restar radicales

Para sumar o restar radicales primero hay que simplificar cada radical y despueacutes

combinar todos los radicales semejantes Para combinar radicales semejantes hay que sumar los coeficientes manteniendo el radical comuacuten

Ejemplo Simplificar por separado cada radical para despueacutes combinar los radicales

semejantes a) 33483122 +minus

b) 333 245416 +minus y

c) ( )01285416 3 43 43 4 gtminusminus+ xxxx Solucioacuten

a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=

NOTA No se pueden combinar 3 2minus y 3 32 porque los radicales tienen radicandos

diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50

311 RESUMEN La expresioacuten n a que representa la raiacutez principal de iacutendice n de a se llama radical y la cantidad a que aparece bajo el signo radical se llama radicando o subradical Al iacutendice de la raiacutez n se le llama tambieacuten orden del radical

Por definicioacuten se sabe que nn aa =1

lo cual significa que los radicales pueden ser sustituidos por potencias Por tanto las operaciones con radicales pueden efectuarse utilizando las leyes de los exponentes Sobrentendieacutendose que toda raiacutez utilizada es la raiacutez principal De estas leyes relativas a los exponentes se obtienen las siguientes leyes de los radicales

I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =

4 RACIONALIZACIOgraveN

Cuando se desea dividir expresiones racionales con radicales es necesario

racionalizar el denominador para reemplazarlo por un nuacutemero racional Por ejemplo

Dividir 85 entre 3 Se escribe la divisioacuten en forma de racional 3

85

Para eliminar el radical en el denominador se multiplica tanto numerador como el denominador por cierto nuacutemero que produzca un cuadrado perfecto en el radical del denominador Como 9)3)(3( = es un cuadrado perfecto ese nuacutemero es 3

Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===

NOTA En el denominador no existe radical y no se puede simplificar 255 la expresioacuten

3255 estaacute en su forma maacutes simple por lo que la divisioacuten estaacute completa

Ejemplos




51

Racionalizar los denominadores siguientes

a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy

xy x( y y son nuacutemeros positivos)

Solucioacuten

a) 77

720

720

= se multiplica el numerador y el

denominador por 7

7140

= se multiplican los radicales teniendo en cuenta

que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24

= se multiplica el numerador y el denominador por 3 4

3

3

844

= se multiplicaron los radicales en el denominador

2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212

185 se multiplica el numerador y el denominador por 3 12

3

3

21660

= se multiplicaron los radicales

6603

= ya que 62163 = y 3 60 no se simplifica




52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5

41 BINOMIOS CONJUGADOS

Si se desea racionalizar el denominador binomial de cualquier fraccioacuten donde existan raiacuteces cuadradas se multiplica su numerador y el denominador por el conjugado de dicho denominador

NOTA Los binomios conjugados son todos aquellos binomios que tienen los mismos

teacuterminos pero de signo diferente entre ellos El conjugado del binomio ba + es ba minus y el conjugado de ba minus es ba + Ejemplos Racionalizar el denominador de los siguientes ejercicios

a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)

xx 3minus donde ( )0gtx

Solucioacuten

a) 12

1+

multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado

del denominador 12 + que es 12 minus




53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212

22minus=minus+minus=minus+

1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx multiplicar al numerador y al denominador

por el conjugado de denominador que es 2+x

2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x

x 3minus donde ( )0gtx

En ocasiones es necesario racionalizar el numerador de alguna

expresioacuten racional multiplicando tanto al numerador como al denominador por el conjugado del numerador

x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus

xxxx ( )3+x es el conjugado del

numerador ( )3minusx

= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA

Anfossi agustiacuten Curso de aacutelgebra Editorial Progreso S A BALDOR A ALGEBRA PUBLICACIONES CULTURAL S A de C V Deacutecima sexta reimpresioacuten 1998 Gustafson R David Aacutelgebra Intermedia Internacional Thomson Editores SA de CV 1997

Lehmann Charles H Aacutelgebra LIMUSA


A-1 PORTADA

A-2 INTRODUCCIOacuteN

A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



El presente trabajo tiene como

objetivo describir los conceptos y

propiedades de los exponentes y los

radicales con los cuales se operan

Obviamente no se pretende sustituir a este

tema relacionado con el aacutelgebra

contenidos en publicaciones tan

prestigiadas relacionadas con las

matemaacuteticas ya que solamente es una

guiacutea

Por lo que si se quiere profundizar en

este tema es necesario consultar

bibliografiacutea especializada para tener una

informacioacuten maacutes amplia y con mayor

profundidad que la que aquiacute se presenta




i

CONTENIDO

Paacuteg









ii






1

1 INTRODUCCIOacuteN






11 GENERALIDADES















2


Solucioacuten












x5 equivale a 5 X x




ba






3


bbbbbbaaaa == 53


1111 xnmmnxaa ==
















4









5






incluyendo el cero







igual signo como

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10X O




6










12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+











7




=minus+++minus++ )2()4()5()7(

















8

+=minusminus+=++

))(())((


))(())((


casos




Ejemplo


Solucioacuten












9





+=++

)()(

+=minusminus

)()(

minus=minus+

)()(

minus=+minus

)()(





)4)(5(204)5()20(

=+=++ porque y 4

)5()4)(5(=

1

)4)(5(204)5()20(


)5()4)(5(


20)5)(4(4)5()20(


20)5)(4(4)5()20(





10




bA = X a





5=A X n = ][5 2cmn

5 cm de largo

3 cm

de

anch

o

A B

CD

B

CD

5 cm A

3 cm

1 cm

1 cm

1 cm2




11


aAb = y

bAa =









12


3

4 a el


33333

4 aaaaa+++=











13





babbaa 3212

35

++++


ab23


y parte literal ab

a b

c

e

d

h

i

8




14






183

)9)(2()9(32

=== antildeos







15




ejemplo






16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



i

CONTENIDO

Paacuteg









ii






1

1 INTRODUCCIOacuteN






11 GENERALIDADES















2


Solucioacuten












x5 equivale a 5 X x




ba






3


bbbbbbaaaa == 53


1111 xnmmnxaa ==
















4









5






incluyendo el cero







igual signo como

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10X O




6










12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+











7




=minus+++minus++ )2()4()5()7(

















8

+=minusminus+=++

))(())((


))(())((


casos




Ejemplo


Solucioacuten












9





+=++

)()(

+=minusminus

)()(

minus=minus+

)()(

minus=+minus

)()(





)4)(5(204)5()20(

=+=++ porque y 4

)5()4)(5(=

1

)4)(5(204)5()20(


)5()4)(5(


20)5)(4(4)5()20(


20)5)(4(4)5()20(





10




bA = X a





5=A X n = ][5 2cmn

5 cm de largo

3 cm

de

anch

o

A B

CD

B

CD

5 cm A

3 cm

1 cm

1 cm

1 cm2




11


aAb = y

bAa =









12


3

4 a el


33333

4 aaaaa+++=











13





babbaa 3212

35

++++


ab23


y parte literal ab

a b

c

e

d

h

i

8




14






183

)9)(2()9(32

=== antildeos







15




ejemplo






16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



ii






1

1 INTRODUCCIOacuteN






11 GENERALIDADES















2


Solucioacuten












x5 equivale a 5 X x




ba






3


bbbbbbaaaa == 53


1111 xnmmnxaa ==
















4









5






incluyendo el cero







igual signo como

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10X O




6










12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+











7




=minus+++minus++ )2()4()5()7(

















8

+=minusminus+=++

))(())((


))(())((


casos




Ejemplo


Solucioacuten












9





+=++

)()(

+=minusminus

)()(

minus=minus+

)()(

minus=+minus

)()(





)4)(5(204)5()20(

=+=++ porque y 4

)5()4)(5(=

1

)4)(5(204)5()20(


)5()4)(5(


20)5)(4(4)5()20(


20)5)(4(4)5()20(





10




bA = X a





5=A X n = ][5 2cmn

5 cm de largo

3 cm

de

anch

o

A B

CD

B

CD

5 cm A

3 cm

1 cm

1 cm

1 cm2




11


aAb = y

bAa =









12


3

4 a el


33333

4 aaaaa+++=











13





babbaa 3212

35

++++


ab23


y parte literal ab

a b

c

e

d

h

i

8




14






183

)9)(2()9(32

=== antildeos







15




ejemplo






16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



1

1 INTRODUCCIOacuteN






11 GENERALIDADES















2


Solucioacuten












x5 equivale a 5 X x




ba






3


bbbbbbaaaa == 53


1111 xnmmnxaa ==
















4









5






incluyendo el cero







igual signo como

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10X O




6










12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+











7




=minus+++minus++ )2()4()5()7(

















8

+=minusminus+=++

))(())((


))(())((


casos




Ejemplo


Solucioacuten












9





+=++

)()(

+=minusminus

)()(

minus=minus+

)()(

minus=+minus

)()(





)4)(5(204)5()20(

=+=++ porque y 4

)5()4)(5(=

1

)4)(5(204)5()20(


)5()4)(5(


20)5)(4(4)5()20(


20)5)(4(4)5()20(





10




bA = X a





5=A X n = ][5 2cmn

5 cm de largo

3 cm

de

anch

o

A B

CD

B

CD

5 cm A

3 cm

1 cm

1 cm

1 cm2




11


aAb = y

bAa =









12


3

4 a el


33333

4 aaaaa+++=











13





babbaa 3212

35

++++


ab23


y parte literal ab

a b

c

e

d

h

i

8




14






183

)9)(2()9(32

=== antildeos







15




ejemplo






16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



2


Solucioacuten












x5 equivale a 5 X x




ba






3


bbbbbbaaaa == 53


1111 xnmmnxaa ==
















4









5






incluyendo el cero







igual signo como

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10X O




6










12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+











7




=minus+++minus++ )2()4()5()7(

















8

+=minusminus+=++

))(())((


))(())((


casos




Ejemplo


Solucioacuten












9





+=++

)()(

+=minusminus

)()(

minus=minus+

)()(

minus=+minus

)()(





)4)(5(204)5()20(

=+=++ porque y 4

)5()4)(5(=

1

)4)(5(204)5()20(


)5()4)(5(


20)5)(4(4)5()20(


20)5)(4(4)5()20(





10




bA = X a





5=A X n = ][5 2cmn

5 cm de largo

3 cm

de

anch

o

A B

CD

B

CD

5 cm A

3 cm

1 cm

1 cm

1 cm2




11


aAb = y

bAa =









12


3

4 a el


33333

4 aaaaa+++=











13





babbaa 3212

35

++++


ab23


y parte literal ab

a b

c

e

d

h

i

8




14






183

)9)(2()9(32

=== antildeos







15




ejemplo






16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



3


bbbbbbaaaa == 53


1111 xnmmnxaa ==
















4









5






incluyendo el cero







igual signo como

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10X O




6










12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+











7




=minus+++minus++ )2()4()5()7(

















8

+=minusminus+=++

))(())((


))(())((


casos




Ejemplo


Solucioacuten












9





+=++

)()(

+=minusminus

)()(

minus=minus+

)()(

minus=+minus

)()(





)4)(5(204)5()20(

=+=++ porque y 4

)5()4)(5(=

1

)4)(5(204)5()20(


)5()4)(5(


20)5)(4(4)5()20(


20)5)(4(4)5()20(





10




bA = X a





5=A X n = ][5 2cmn

5 cm de largo

3 cm

de

anch

o

A B

CD

B

CD

5 cm A

3 cm

1 cm

1 cm

1 cm2




11


aAb = y

bAa =









12


3

4 a el


33333

4 aaaaa+++=











13





babbaa 3212

35

++++


ab23


y parte literal ab

a b

c

e

d

h

i

8




14






183

)9)(2()9(32

=== antildeos







15




ejemplo






16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



4









5






incluyendo el cero







igual signo como

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10X O




6










12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+











7




=minus+++minus++ )2()4()5()7(

















8

+=minusminus+=++

))(())((


))(())((


casos




Ejemplo


Solucioacuten












9





+=++

)()(

+=minusminus

)()(

minus=minus+

)()(

minus=+minus

)()(





)4)(5(204)5()20(

=+=++ porque y 4

)5()4)(5(=

1

)4)(5(204)5()20(


)5()4)(5(


20)5)(4(4)5()20(


20)5)(4(4)5()20(





10




bA = X a





5=A X n = ][5 2cmn

5 cm de largo

3 cm

de

anch

o

A B

CD

B

CD

5 cm A

3 cm

1 cm

1 cm

1 cm2




11


aAb = y

bAa =









12


3

4 a el


33333

4 aaaaa+++=











13





babbaa 3212

35

++++


ab23


y parte literal ab

a b

c

e

d

h

i

8




14






183

)9)(2()9(32

=== antildeos







15




ejemplo






16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



5






incluyendo el cero







igual signo como

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10X O




6










12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+











7




=minus+++minus++ )2()4()5()7(

















8

+=minusminus+=++

))(())((


))(())((


casos




Ejemplo


Solucioacuten












9





+=++

)()(

+=minusminus

)()(

minus=minus+

)()(

minus=+minus

)()(





)4)(5(204)5()20(

=+=++ porque y 4

)5()4)(5(=

1

)4)(5(204)5()20(


)5()4)(5(


20)5)(4(4)5()20(


20)5)(4(4)5()20(





10




bA = X a





5=A X n = ][5 2cmn

5 cm de largo

3 cm

de

anch

o

A B

CD

B

CD

5 cm A

3 cm

1 cm

1 cm

1 cm2




11


aAb = y

bAa =









12


3

4 a el


33333

4 aaaaa+++=











13





babbaa 3212

35

++++


ab23


y parte literal ab

a b

c

e

d

h

i

8




14






183

)9)(2()9(32

=== antildeos







15




ejemplo






16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



6










12)7()5( =+++ o simplemente 1275 =+











7




=minus+++minus++ )2()4()5()7(

















8

+=minusminus+=++

))(())((


))(())((


casos




Ejemplo


Solucioacuten












9





+=++

)()(

+=minusminus

)()(

minus=minus+

)()(

minus=+minus

)()(





)4)(5(204)5()20(

=+=++ porque y 4

)5()4)(5(=

1

)4)(5(204)5()20(


)5()4)(5(


20)5)(4(4)5()20(


20)5)(4(4)5()20(





10




bA = X a





5=A X n = ][5 2cmn

5 cm de largo

3 cm

de

anch

o

A B

CD

B

CD

5 cm A

3 cm

1 cm

1 cm

1 cm2




11


aAb = y

bAa =









12


3

4 a el


33333

4 aaaaa+++=











13





babbaa 3212

35

++++


ab23


y parte literal ab

a b

c

e

d

h

i

8




14






183

)9)(2()9(32

=== antildeos







15




ejemplo






16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



7




=minus+++minus++ )2()4()5()7(

















8

+=minusminus+=++

))(())((


))(())((


casos




Ejemplo


Solucioacuten












9





+=++

)()(

+=minusminus

)()(

minus=minus+

)()(

minus=+minus

)()(





)4)(5(204)5()20(

=+=++ porque y 4

)5()4)(5(=

1

)4)(5(204)5()20(


)5()4)(5(


20)5)(4(4)5()20(


20)5)(4(4)5()20(





10




bA = X a





5=A X n = ][5 2cmn

5 cm de largo

3 cm

de

anch

o

A B

CD

B

CD

5 cm A

3 cm

1 cm

1 cm

1 cm2




11


aAb = y

bAa =









12


3

4 a el


33333

4 aaaaa+++=











13





babbaa 3212

35

++++


ab23


y parte literal ab

a b

c

e

d

h

i

8




14






183

)9)(2()9(32

=== antildeos







15




ejemplo






16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



8

+=minusminus+=++

))(())((


))(())((


casos




Ejemplo


Solucioacuten












9





+=++

)()(

+=minusminus

)()(

minus=minus+

)()(

minus=+minus

)()(





)4)(5(204)5()20(

=+=++ porque y 4

)5()4)(5(=

1

)4)(5(204)5()20(


)5()4)(5(


20)5)(4(4)5()20(


20)5)(4(4)5()20(





10




bA = X a





5=A X n = ][5 2cmn

5 cm de largo

3 cm

de

anch

o

A B

CD

B

CD

5 cm A

3 cm

1 cm

1 cm

1 cm2




11


aAb = y

bAa =









12


3

4 a el


33333

4 aaaaa+++=











13





babbaa 3212

35

++++


ab23


y parte literal ab

a b

c

e

d

h

i

8




14






183

)9)(2()9(32

=== antildeos







15




ejemplo






16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



9





+=++

)()(

+=minusminus

)()(

minus=minus+

)()(

minus=+minus

)()(





)4)(5(204)5()20(

=+=++ porque y 4

)5()4)(5(=

1

)4)(5(204)5()20(


)5()4)(5(


20)5)(4(4)5()20(


20)5)(4(4)5()20(





10




bA = X a





5=A X n = ][5 2cmn

5 cm de largo

3 cm

de

anch

o

A B

CD

B

CD

5 cm A

3 cm

1 cm

1 cm

1 cm2




11


aAb = y

bAa =









12


3

4 a el


33333

4 aaaaa+++=











13





babbaa 3212

35

++++


ab23


y parte literal ab

a b

c

e

d

h

i

8




14






183

)9)(2()9(32

=== antildeos







15




ejemplo






16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



10




bA = X a





5=A X n = ][5 2cmn

5 cm de largo

3 cm

de

anch

o

A B

CD

B

CD

5 cm A

3 cm

1 cm

1 cm

1 cm2




11


aAb = y

bAa =









12


3

4 a el


33333

4 aaaaa+++=











13





babbaa 3212

35

++++


ab23


y parte literal ab

a b

c

e

d

h

i

8




14






183

)9)(2()9(32

=== antildeos







15




ejemplo






16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



11


aAb = y

bAa =









12


3

4 a el


33333

4 aaaaa+++=











13





babbaa 3212

35

++++


ab23


y parte literal ab

a b

c

e

d

h

i

8




14






183

)9)(2()9(32

=== antildeos







15




ejemplo






16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



12


3

4 a el


33333

4 aaaaa+++=











13





babbaa 3212

35

++++


ab23


y parte literal ab

a b

c

e

d

h

i

8




14






183

)9)(2()9(32

=== antildeos







15




ejemplo






16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



13





babbaa 3212

35

++++


ab23


y parte literal ab

a b

c

e

d

h

i

8




14






183

)9)(2()9(32

=== antildeos







15




ejemplo






16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



14






183

)9)(2()9(32

=== antildeos







15




ejemplo






16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



15




ejemplo






16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



16

a) 32 )3( ab b) 343 )5( yxminus c) 4

232

minus

yx

d) 5

43

32

minus ba

Solucioacuten

a) 63)3)(2()3)(1(32333 2727)()()3()3( bababaab ===


c) 8

4

)4)(2(

)4)(1(

4

44

2

44

2 8116

)()(

)3()2(

32

32

yx

yx

yx

yx

=minus

=

minus=

minus

d) ( ) ( ) =minus

=

minus=

minus 543

5

5543

5543

)3()2(

32

32 bababa

2015)5)(4()5)(3(5

5

24332)()(

)3()2( baba minus=

minus=

2111 PROPIEDADES


a) yy =2 ))(( yyy =




xdefactoresn

xxn = x x x




17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



17


nx Exponente

Base


a) 32)2)(2)(2)(2)(2(25 ==




e) 33

81

21

21

21

21 aaaaa =

=

f) 22

251

51

51

51 bbbb =

minus

minus=

minus







18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



18

En general





nmnmnmn

mn

m

xxxxx


= )(1



a) 511xx b) 645 aaa c) 2443 baba y d)

minus 34

418 xx




19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



19

Solucioacuten

a) 16511511 xxxx == +

b) 15645645 aaaaa == ++

c) 67244324432443 bababbaababa === ++

d) 7343434 248

418

418 xxxxxx minus=

minus=

minus=

minus +







Ejemplo






20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



20


ydefactoresn


Solucioacuten

33

3 xx=

3x

3x

= 27)3)(3)(3(

))()(( 3xxxx=


yxdefactoresn

=

yx

yx

yx

yx

n

yx

( )0ney

xdefactoresn

)())()(()())()((

yyyyxxxx

= = n

n

yx





21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



21


nn

yx

yx

=

)0( ney

Ejemplos



2

yx

h) 2

4

3

yx

Solucioacuten

a) ( ) 729333 6)3)(2(32 ===

b) ( ) 55)5)(11(511 xxx ==

c) ( ) ( ) ( ) 30)6)(5(65632632 xxxxxx === +

d) ( ) ( ) ( )( ) 146868)2)(3()4)(2(2342 xxxxxxxx ==== +

e) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 36)3)(1()3)(2(33232 yxyxyxyx ===

f) ( ) ( ) ( ) 16124443443 yxyxyx ==

g) ( ) 8

4

42

44

2 yx

yx

yx

==

( )0ney

h) ( )( ) 8

62

24

32

4

3

yx

yx

yx

==

( )0ney





22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



22

Solucioacuten







10 === minusn

nnn

xxxx


a) 150 =

b) ( ) 17 0 =minus

c) ( ) 1303 =ax




23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



23

d) 121 0

975 =

zyx

NOTA



1 1=nx


nn

xx 1

=minus y nn x

x=

minus

1





a) 251

515 2

2 ==minus




24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



24

b) 1000

110110 3

3 ==minus

c) ( ) 33

3

81

21)2(

xxx ==minus


=

e) 2

23535 1x





n

m


a) 3

5

aa

b) 11

5

xxminus

c) 5

34

minusxxx

d) ( )( )23

32

x

x e) 4

32

xyyx

f) 3

432

32

minus

baaba

Solucioacuten

a) 2353

5

aaaa

== minus

b) 16

1611511

5 1x

xxxx


c) 12575

7

5

34

5

34

xxxxx

xx

xxx

====minusminus

+

minus




25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



25

d) ( )( )

( )( )

( )( ) 10666

6

23

32

23

32

===== minus xxxx

xx

xx

o en su caso

( )( )

( )( )

( )( ) 16

6

23

32

23

32

===xx

xx

xx

e) yxyxyxyyxx

xyyx


32

f) ( )( )

( )

)3)(4()3)(3()3)(middot2(

)3)(3(3)(2

3432

3323

432

32

baaba

baa


==

= =

minus

1296

96

baaba

1221321

1215

96 1ba

bababa

=== minusminusminus

o en su caso

=

=

minusminus 3

45

323

432

32

baba

baaba

= ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3213137317

33

17

317 1111babababa

ba ===

=minusminus



( )00 nene

=

minus

yxny

yx nn




26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



26


a) 4

32 minus

b)

3

2

xy

c) 4

3

2

32

minus

minus

yx

d)

minus

432

32

baaba

Solucioacuten

a) ( )( ) 16

8123

23

32

4

444

==

=

minus

b) ( )( ) 6

9

)3)(2(

)3)(3(

32

333

2

33

3

2

yx

yx

yx

yx

xy

===

=

minus

c) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ====

=


minus )4)(2(

)4)(3(

424

434

42

434

2

34

3

2

1681

23

23

23

32

xy

xy

xy

xy

yx

= 8

12

1681

xy minus

= 1681

8

12

xy minus

= 1281681

yx

d) ( )( )

( )( ) ===

=

minusminusminus

minusminus

)3)(3()3)(2(

)3)(4()3)(5(

332

3453

32

4323

432

32

baba

baba

babaa

baaba

= =minus 96

1215




c) ( ) nnn yxxy =




27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



27

d) n

nn

yx

yx

=

e) ( )010 ne= xx

f) n

n

xx 1

=minus

g) nmn

m

xxx minus=

h) nn

xy

yx

=

minus




2

xx

e) 25minus


o tambieacuten

222

22

21212

1)1)(1())(1(

111

111

)(1)( xxx

xxxx

x =======minusminus

minusminus




28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



28

d) 2253)5()3(53

5

3 1))((x

xxxxxxx



21

))()()()(())()((

))()()()(())()((

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

== = 2minusx

e) 12

2 25251

515 minusminus ===



a) 32

29

)(mmm minus

b) 43

32 )2(minus

minus

aaa

c)043

22 )3(xxx

xminus

minus

d) 042

2022

)4()(4

minus

minus

minusminus

yxyxx

e) 2

25

44

93

minus

minus

minusminus

yxyx

Solucioacuten

a) mmmmm

mm

mmm


1676

7

)3)(2(

29

32

29

)(

b) 561

6

43

)3)(2(3

43

32 88))(8())(2()2(aa

aa

aaa

aaa

====minus

minus

minus

minus

minus

minus

c) 37

4

3)4(

4

322

4

043

22

91

99)1()1()3()3(

xxx

xxx

xxx

xxxx

====minus

minus

d) =minus

=minus

=minus

minus +minus

minus

minus

1)1(4

1)1(4

)4()(4 0222

042

2022 xxyx

yxx

414

1)1)(1(4

minus=minus

=minus

=




29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



29

e) ( )( )

( )( ) =minusminus

=minusminus

=

minusminus

minus

minus

minusminus

minusminus

minus 224

225

225

2442

25

44

39

93

93

yxyx

yxyx

yxyx

= ( )

( ) ( ) ( )2

48

410

22242

22252

99

813

)()9( xyxyx

yxyx

==minusminus

minus

minus

minus

minus


3=y para

a) 23 yx b) 3

3

yxminus


Solucioacuten


b) ( ) ( ) ( )( ) =minus

=minus

==minus

2781

3211

33333

3

yxyx

2161

2161

minus=minus

=

c) ( ) ( ) ( )( )( ) 3241

3211

2222

22 =minus

==minus

xyxy

d) ( ) ( )( ) 16

2722723 4

4323 minus=

minusminus


minus=

e) ( )( ) 4

272

3)()( 2

3

2

323 =

minus=

minus=minus minus

xyxy





30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



30








31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



31

a) 11 =

b) 981 =

c) 981 minus=minus

d) 21

41=

e) 114

12116

minus=minus

f) 20040 =



4016007494163924 =====








32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



32



a) xxxx 44)4(16 22 ===


b) ( ) 44 2 +=+ xx Porque 44 2


8minus=x






33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



33





a) 3 125 b) 3

81


3

278

ba



b) 21

81

3 = porque 81

21

21

21

21 3

=

=


d) ba

ba

32

278

33

3


33

278

32

32

32

32

ba

ba

ba

ba

ba

minus=

minus

minus

minus=

minus

e) 23 63 602160 xyyx = porque

( ) ( )( )( ) 6216060606060 322232 yxxyxyxyxy ==





34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



34







b) ( ) xxxx 333729 6 66 6 ===








35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



35




Ejemplo


c) 21

641

6 = porque 641

21 6

=


cuadrado de 21


( )

10101010 1

2

212

21

===





36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



36

( ) 112

212

21

=

=

10101 =


2=

Como 2

21

10




a) 31

10 como 3 10

b) 41

10 como 4 10

c) 51

10 como 5 10


nn xx =1


a) 21

9 b) 21

916

minus c) ( )3

1

64minus d) 41

16 e) 51

321

f) 8

1

0 g) ( )51

232xminus

h) ( )41

xyz

Solucioacuten

a) 3999 221

===




37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



37

b) 34

916

916

916

221

minus=minus=minus=

minus

c) ( ) 46464 331

minus=minus=minus

d) 21616 441

==

e) 21

321

321

551

==

f) 000 881

==

g) ( ) xxx 23232 5 551

5 minus=minus=minus

h) ( ) 441

xyzxyz =


fraccionarios

a) 4 5xyz b) 52

15xy

Solucioacuten

a) ( )41

4 55 xyzxyz =

b) 51

2

5

2

1515

=xyxy







38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



38

Por ejemplo 23


21

4

Entonces ( ) ( ) 824444 3332

3

21

23

====

=





( ) 864646444 221

21

323




( )mnn mnm

xxx ==



a) nm


b) nm


Ejemplos

a) ( ) 932727 22332

=== o

97292727 33 232

===

b) 81

21

161

161 33

443

=

=

=

o

81

40961

161

161

44

343

==

=

c) ( ) ( ) ( ) 444 334





39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



39

o

d) ( ) ( ) 43 123 4334



xminus





entonces

nm

nm

xx 1

=minus

y nm

nm x

x=

minus

1 ( )0nex

Ejemplos


a) 21

64minus

b) 23

16minus

c) ( ) 52



a) 81

641

64

16421

21

===minus

b) ( ) 641

41

161

16

1

16

116 333

21

23

23

===

==minus

c) ( )

( ) ( ) ( ) 222

51

552

5

52

5

41

21

32

1

32

132xxxx

x =minus

=

minus

=minus

=minus minus

d) ( )( ) ( )

3

41

43

43

16

1

16

116

minus

=minus


=




40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



40


( )41




1 lo cual es



Ejemplos

a) 73

72

55

Solucioacuten

73

72

73

72

555+


75

5= se suman 75

732

73

72

=+

=+

b) 3

72

5

Solucioacuten

( )3

723

72

55

=


76


13

72

=

c) 6

21

32

ba




41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



41

Solucioacuten

6

216

326

21

32

=


26

312


d) 2

31

38

aaa

Solucioacuten

231

38

2

31

38

minus+= a

aaa


m

xx

y 362 =

36

31

38

minus+= a

33

36

31

38

=minus+

33

a= 133=

a=


a)

+ 53

51

54

aaa

Solucioacuten

53

54

51

54

53

51

54

aaaaaaa +=

+

53

54

51

54

+++= aa




42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



42

57

55

aa +=

57

aa += NOTA

57

157



57


b)

+

minus21

21

21

xxx

Solucioacuten

21

21

21

21

21

21

21

xxxxxxx +=

+

minusminus

21

21

21

21

+minus+= xx

10 xx += x+= 1

c)

minus

+ 11 32

32

xx

Solucioacuten

( ) ( ) ( )( )111111 32

32

32

32

32

32

minus+

+minus

+

=

minus

+ xxxxxx

132

32

34

minus+minus= xxx

134

minus= x

d) 2

21

21

+ yx




43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



43

Solucioacuten

+

+=

+ 2

121

21

212

21

21

yxyxyx

21

21

21

21

21

21

21

21

yyxyyxxx +++=

yyxx ++= 21

21



Ejemplo

Simplificar

a) 4 23

Solucioacuten

( ) 333333 221

42

41

24 2 ===== b) 8 6x

Solucioacuten

( ) ( ) 4 341

343

86

81

68 6 xxxxxx =====




44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



44

c) 9 3627 yx

Solucioacuten

( ) ( ) ( ) ( ) ( )91

391

691

391

36391

369 36 332727 yxyxyxyx ===

( ) 3 231

231

32

31

93

96

93




= entonces

nnn abba =


( )( ) 555555 2 === b) 3 23 497 xx

Solucioacuten

( )( ) xxxxxx 7777497 3 333 223 23 ===


xxxxxx 222282 4 444 3344 3 ===




45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



45



a) 4949 +ne+

Solucioacuten

5132313

4949

ne

+ne

+ne+


15235

4949

ne

minusne

minusneminus


n

n

n

ba

b

a1

1

1

=




46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



46

En consecuencia nn

n

ba

ba=

Ejemplo

a) xx

28 3

Solucioacuten

xxxx

xx 24

28

28 2

33

===

b) 3 2

3 5

254

xx

Solucioacuten

xxxx

xx 327

254

254 3 33

2

5

3 2

3 5

===



( )0 ne= bba

ba

n

nn






47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

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=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



47



Ejemplo

1 Simplificar

a) 12 b) 98 c) 3 54

Solucioacuten

a) ( )( ) 32343412 ===

b) ( )( ) 2724924998 ===

c) ( )( ) 33333 2322722754 ===

2 Simplificar

a) 249

15x

b) 36

2

2710

yx

Solucioacuten

a) xxx 7

154915

4915

22 ==

b) 2

3 2

3 6

3 2

36

2

310

2710

2710

xx

yx

yx

==


a) 5128a b) 3 524x c) xxy

545 2

d) 3

3 5

8432

xxminus




48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



48

Solucioacuten

a) ( )( ) aaaaaaa 28264264128 2445 ===

b) ( )( ) 3 23 23 33 233 5 32383824 xxxxxxx ===

c) yyxxy

xxy

395

455

45 222

===

d)

( )( )3

33 33 3

3 435

3

3 5

23

227227

548

4328

432

xx

xxxx

xx

xx

x

minus=

=minus=minus=

=minus=minus

=minus

3103 SUMA Y RESTA




( )( ) ( )( )

( ) ( ) 331323

323334391227

==minus=

=minus=minus=minus




49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



49






b) 333 245416 +minus y


a) ( )( ) ( )( ) ==+minus +minus 33316334233483122

( ) =+minus=+minus=

=+minus=

331243331234333163342

35minus=

b) ( )( ) ( )( ) ( )( )=+minus=+minus 3 383 2273 28333 245416

33

333333333

3223223223822728

+minus=

=+minus=+minus=


diferentes

c) =minusminus+ 3 43 43 4 1285416 xxx

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

3333

3 33 33 3

292432242322

264227)2(8

xxxxxxxxxxxx

xxxxxx

=

=++=++=

=minusminus+=




50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



50




I ( )( )mmm baba =

II 0ne= bba

ba

mm

m

III mnm n aa =





85


Por lo que 3255

3)3)(85(

33

385

385

===



Ejemplos




51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



51


a) 720 b)

3 24 c)

3

3

185 d)

3

25

xy


Solucioacuten

a) 77

720

720


denominador por 7

7140


que 777 =

7352

= ya que 352354)35)(4(140 ===

b) 3

3

33 44

24

24


3

3

844


2

443

= 283 =

3 42= simplificado

c) 3

3

185 =

3

3

3

3

1212


3

3

21660


6603





52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



52

d) 3

25

xy

xy = 3

25xyxy

= y5

= y5

= yy

y5

= y

y5





a) 12

1+

b) 22

minus+

xx donde ( )0gtx c)


Solucioacuten

a) 12

1+






53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



53

( )( )1212)12(1

121

minusminusminus

=+

( ) 12

122minus

minus= ( )( ) ( ) ( ) 1212221212


1212

minusminus

= ( ) 222=

12 minus= 121

121212

minus=minus

=minusminus

b) 22

minus+



2

222)2)(2(

)2)(2(22

minus+++

=+minus++

=minus+

xxxx

xxxx

xx

2

222minus

++=

xxx

c) x




x

x 3minus = )3(

)3)(3(++minus



= xx

xxx3

933+

minusminus+

= xx

x3

9+minus




54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO



54

5 BIBLIOGRAFIacuteA




A-1 PORTADA


A-3 CONTENIDO

A-4 DESARROLLO

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