Teoría sobre exponentes y radicales.

8/19/2019 Teoría sobre exponentes y radicales.

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1

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2

1.1. Definir la raíz enésima de un número.Definir la raíz enésima de un número.

2.2. CalcularCalcular raicesraices cuadradas principalescuadradas principales..

3.3. Calcular raíces cúbicas y de índice mayor.Calcular raíces cúbicas y de índice mayor.

4.4. Simplificar expresiones con radicalesSimplificar expresiones con radicales5.5. xpresar una raiz en forma exponencial yxpresar una raiz en forma exponencial y

!ice!ersa.!ice!ersa.

".". #acionalizar#acionalizar numeradoresnumeradores y$o denominadores.y$o denominadores.

%.%. Sumar y res&ar expresiones con radicales.Sumar y res&ar expresiones con radicales.'.'. (ul&iplicar expresiones con radicales.(ul&iplicar expresiones con radicales.

)b*e&i!os+

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3

Definici,nDefinici,nDecimos -ue la raíz enésima deDecimos -ue la raíz enésima de x x eses cc y y

escribimos/escribimos/

n

x = c si y solo sin

c x=

índice

radical

radicando

raíz

33Ejemplo: 8 2 si y solo si 2 8= =

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4

0claraci,n+0claraci,n+

odo número posi&i!o &iene dos raíces cuadradasodo número posi&i!o &iene dos raíces cuadradas

una raíz cuadrada positivauna raíz cuadr

ada positiva o principal yo principal y una raízuna raíz

cuadrada negativacuadrada ne

gativa. ara cual-uier número. ara cual-uier número

posi&i!oposi&i!o x, x, escribimos la raíz cuadrada posi&i!aescribimos la raíz cuadrada posi&i!a

comocomo y la raíz cuadrada nea&i!a como . x x−

( )( )

2

2

Ejemplo:

La 4 puede ser igual a 2 o igual a 2 pues 2 4

y 2 4.

− =− =

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ara cual-uier número realara cual-uier número real aa

si es par y !.n na a n a= <

si es par y !.n na a n a= ≥

si es impar.n na a n=

21. =

( )2

2. − = − =

*emplos+

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"

3 33. # = #

( )3

34. #− = #−

( )#

#. "− = "−

( )4

4". "− = "− = "

" "8. x = x

( )2

$. a b+ = a b+

( )2

1!. # x + = # x +

2#. 2 1w w− + = ( ) ( )1 1w w− − = ( )2

1w − = 1w −

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#

ropiedades de los radicales

Sean m y n números na&urales mayores -ue 1 . Si a y b

son números reales &al -ue a y b 6 números

posi&i!os 7 en&onces/

( )

. .

mmn

1.2. .

3.

4.

5. a

n n

n n n

n

n

n

n m nm k k

n

a aa b a b

a a

b b

a a

a

==

=

=

=© copywriter


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8

*emplos+*emplos+

Simplifica. Supona -ue las !ariables represen&anSimplifica. Supona -ue las !ariables represen&an

números posi&i!os.números posi&i!os.

1% 3" ="

32% 2# = 3

3% 32 = 2

3 "4% x =2 x

2 8% 2 x y =4 xy

3 123"% "4 x y− =44 xy−

" 4

1!1"#%81

x y z

=

3 2

4$ x y

z

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$

*emplos+*emplos+

Simplifica. Supona -ue las !ariables represen&anSimplifica. Supona -ue las !ariables represen&an

números posi&i!os.números posi&i!os.

1% 24 = 4 "× = 2 "

32% 1"− = 3 8 2− × = 32 2−

4

3% 12 x y =4 4

4 3 x y y× =2 2

2 3 x y y

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1!

24% &2 &1 x x = ( ) ( )1 1 x x+ + = ( )2

1 x + =

# "

4832% x y z =

4 3 4 2

481" 2 x x y y z × =

3 242

22

xy x y z

1+ x

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11xponen&es #acionales como #aícesxponen&es #acionales como #aíces8as raíces o radicales represen&an exponen&es8as raíces o radicales represen&an exponen&es

racionales.racionales.

n ma = ( ) m

n am

na =

Potencia

índice

3 21. x =2

3 x

( )

342. " =

34"

*emplos+

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12

( )2

33. a b+ = ( )2 3

a b+

( )3

4. z =3

2 z

( )34. 3w w+ − = ( ) 31 42 3w w+ −

3 1".

3

x

x

+=

−

123 1

3

x

x

+ ÷

−

4

3#.

2

x

x

−=

+

( )

( )

12

14

3

2

x

x

−

+© copywriter


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13

!alúa usando raíces+!alúa usando raíces+

231% 2# = 3 22# = ( )2

3 2# = ( )2

3 = $

2

2% $

−

= 21

$ = ( )

1

$ = ( ) 1

3 =

1

243

341"

3% 81

−

= ÷

3481

1"

= ÷

3

481

1"

= ÷ ÷

33

2

= ÷

2#

8

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14

8a racionalizaci,n del denominador8a racionalizaci,n del denominador

0l0l proceso proceso de escribir una expresi,n racional conde escribir una expresi,n racional con

radicales en el denominador como o&ra expresi,nradicales en el denominador como o&ra expresi,n

-ue no &iene radicales en el denominador se-ue no &iene radicales en el denominador se

denomina comodenomina como racionalizar el denominador racionalizar el denominador ..

99De iual forma podemos racionalizar elDe iual forma podemos racionalizar el

numerador.:numerador.:

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1

0claraci,n0claraci,n:: araara racionalizar el denominadorracionalizar el denominador

de una expresiónde una ex presión -ue &iene un solo &érmino-ue &iene un solo &érminocon raíz en el denominador se mul&iplica elcon raíz en el denominador se mul&iplica el

numerador y el denominador por unanumerador y el denominador por una

expresi,n con radical -ue ele!e cada fac&orexpresi,n con radical -ue ele!e cada fac&orden&ro del radicando a una po&encia -ueden&ro del radicando a una po&encia -ue

coincida con el índice del radical.coincida con el índice del radical.

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1"

1%

3 x=

3 x

3

3

x

x× =

2 2

3

3

x

x

= 3

3

x

x

32%

#=

3 #

# #× =

2

3 #

#= 3 #

#

3

3

43%

=

3

3 1

4

3 2

3 2

× =

( )3

3 3

4 2

=

3 1!!

*emplos+*emplos+

#acionaliza cada denominador.#acionaliza cada denominador. Supona -ue lasSupona -ue las

!ariables represen&an números posi&i!os.!ariables represen&an números posi&i!os.

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1#

32

24%

x

y

=3

23

2

x

y

23

23

y

y

× =3

3 33

!

xy

y

=3 !

xy

y

#

43 1

3%

32

a b

a b=

2

48

3

32

a

b=

24

84

3

32

a

b=

( )

24

84

3

1" 2

a

b=

24

2 4

3

2 2

a

b=

42 34

2 4 4 3

3 2

2 2 2

a

b= × =

24

42 4

24

2 2

a

b=

24

2

24

4

a

b

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18

0claraci,n+0claraci,n+ ara racionalizar un denominador -ueara racionalizar un denominador -ue&iene un binomio con raíces cuadradas se mul&iplica&iene un binomio con raíces cuadradas se mul&iplicael numerador y el denominador por la expresi,nel numerador y el denominador por la expresi,n

conjugadaconjugada del denominador. 8a expresi,ndel denominador. 8a expresi,n

con*uada se ob&iene cambiando el sino del mediocon*uada se ob&iene cambiando el sino del mediodel binomio.del binomio.

l ob*e&i!o es cons&ruir una diferencia de cuadrados.l ob*e&i!o es cons&ruir una diferencia de cuadrados.

© copywriter


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1$

*emplos+*emplos+

#acionaliza el denominador.#acionaliza el denominador.

41%

1 3=

−4 1 3

1 3 1 3

+×+

=−

( )( ) ( )

4 1& 3

1 3 1 3=

− + 24&4 3

1 3=

−

4&4 3

1 3=

−4&4 3

2=

−2 2 3− −

32% "

x + =+

3 " " "

x + −× =+ −

( ) ( )2

3 "

3"

x + −=

−

" 3 18

31

x x− + −

−

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2!

*emplos+*emplos+

#acionaliza el numerador.#acionaliza el numerador.

3 31%

x h x

h+ + − + =

3 3 3 3

3 3

x h x x h x

h x h x

+ + − + + + + = ÷ ÷+ + +++

( ) ( )( )

2 2

3 33 3

x h xh x h x

+ + − + =+ + + +

( )( )

3 33 3

x h xh x h x

+ + − + =+ + + +

( )3 3

3 3

x h x

h x h x

+ + − −=+ + + + 13 3 x h x+ + + +

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21

2% ' ! x h x

hh

+ −= ≠

x h x x h x

h x h x

+ − += ÷÷++

+

( ) ( )

( )

2 2

x h x

h x h x

+ −=

+ +

( )

x h x

h x h x

+ −=

+ +

1

x h x+ +

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22

(ul&iplicaci,n de expresiones con radicalesexpresiones con radicales

ara mul&iplicar expresiones con radicales se usala propiedad dis&ribu&i!a y las propiedades deradicales/

( )

!

!

n

n

n

n.m m.;

mmn

1. para &odo

2. .

a

3. b

4. a para &odo

5. a

n

n n

n

n

n k

n

a a a

a b a b

a

b

a a

a

= ≥=

== ≥

=© copywriter


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23*emplos+

(ul&iplica las expresiones con radicales. Supona

-ue las !ariables represen&an números posi&i!os.

( ) ( )3 3 3 11. + − 3 3 3 3 3= − + − 2 3=

( ) ( ) 3 22. + − 2 3 "= − + −1 = − +

( ) ( )4 23. x x + − 2 4 8 x x x = − + −

2 8 x x = + −© copywriter


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24

( ) ( )4 2 3 2 2 2 x x = + −

( ) ( )32 3 8 24. x x + − ( ) ( )1" 2 3 4 2 2 x x = + −

( )8 2 8 2 " 2 " x x x = − + −

1" 2 2 " x x = − −

( ) ( )3 3 3 35. x x + − 3 3 3 3 3 $ x x x = − + −3 $ x = −

( )2

2 3 1". x + ( ) ( ) ( )4 3 2 2 3 1 1 x x = + +12 4 3 1 x x = + +

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2

Suma y res&a de expresiones con radicalesexpresiones con radicales

ara sumar o res&ar expresiones con radicales se

usa la propiedad dis&ribu&i!a y las propiedades de

radicales.

l ob*e&i!o es simplificar los radicales para &ener

radicandos iuales. n &al caso sumamos los

coeficien&es y conser!amos el radical median&e el

uso de la propiedad dis&ribu&i!a.

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2"

*emplos+

Suma y$o res&a las expresiones con radicales.

Supona -ue las !ariables represen&an números

posi&i!os.

1 2 3 4 3+. " 3=

2 2 #−. x x x = −

3 8 ! 32+ −.

2 2 2 4 2= + −

4 2 2 2 1" 2= + −

3 2=© copywriter


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2#

4 8 ! 32+ −. x x x

2 2 2 4 2 x x x = + −

4 2 2 2 1" 2 x x x = + −

3 2 x =3 3 3 2 4 3 1" 4 128+ −. x x x

3 3 3 3 3 3

2 2# 2 3 8 2 4 "4 2 x x x = + −

( ) ( ) ( )3 3 32 3 2 3 2 2 4 4 2 x x x = + −3 3 3

" 2 " 2 1" 2x x x= + −

3

4 2x© copywriter

Teoría sobre exponentes y radicales.

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