República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del poder popular para la Educación Superior

I.U. Politécnico “Santiago Mariño”

Maturín, Edo. Monagas.

Escuela de: Ing. Eléctrica. (43)

Cátedra: Teoría de Control

Lugar Geométrico de las

Raíces (LGR)

Profesor: Alumno:

Ing. Mariangela Pollonais

. Efraín Aguilar

C.I. 19.718.109

Maturín, Agosto del 2013

Concepto de Lugar Geométrico de las raíces

En teoría de control, el lugar de raíces o lugar de las raíces (del inglés, root

locus) es el lugar geométrico de los polos y ceros de una función de transferencia a

medida que se varía la ganancia del sistema K en un determinado intervalo.

El método del lugar de raíces permite determinar la posición de los polos de la

función de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de ganancia K a partir

de la función de transferencia a lazo abierto.

El lugar de raíces es una herramienta útil para analizar sistemas

dinámicos lineales tipo SISO (single input single output) y su estabilidad (BIBO stability).

(Recuérdese que un sistema es estable si todos sus polos se encuentran en el semiplano

izquierdo del plano (en el caso de sistemas continuos) o dentro del círculo unitario

del plano z (para sistemas discretos).

El método de construcción para el lugar geométrico de las raíces de la ecuación

característica a lazo cerrado cuando se varía un parámetro se fundamenta en un

esquema de control de retroalimentación simple como el que se muestra en la siguiente

figura, para el cual la ecuación característica a lazo cerrado es la que indica la siguiente

ecuación cuyas soluciones representan los polos del lazo cerrado.

El lugar geométrico de las raíces se realiza para variaciones de K desde cero

hasta infinito, para las cuales dichas raíces debe en satisfacer la Ecuación anterior. Como

s es una variable compleja, es posible reescribir dicha ecuación en forma polar como

sigue a continuación:

Partir de allí se pueden identificar dos condiciones que deben en cumplirse para

satisfacer la ecuación anterior, las cuales son cono caídas como la Condición de Módulo y

la Condición de Ángulo y se muestran en las Ecuaciones siguiente respectivamente.

Si la función de transferencia a lazo

abierto se factoriza en polos y ceros, tal como se muestra en la ecuación siguiente, las

condiciones de módulo y de ángulo pueden reescribirse como se muestra en las

siguientes ecuaciones respectivamente.

Las dos condiciones anteriores deben en cumplirse para cada una de las

raíces que forme parte del lugar geométrico, de forma tal que se garantice que

cada una de ellas sea solución de la ecuación característica

Aplicaciones del LGR

La estabilidad absoluta y relativa y el comportamiento transitorio de un

sistema de control en lazo cerrado están directamente relacionados con la

localización en el plano S de las raíces de la ecuación característica en lazo

cerrado.

La técnica del lugar de las raíces es un método grafico para dibujar la

posición de las raíces de la ecuación característica a medida que varia un

parámetro K y es una herramienta potente para:

Estudiar la estabilidad del sistema en función de los valores K.

Conseguir que el comportamiento transitorio del sistema responda a unas

especificaciones prefijadas ajustando un parámetro K. Esto se consigue

ubicando las raíces de lado cerrado en la situación deseada.

Pasos para determinar el Lugar Geométrico de las raíces en Matlab

Para dibujar el lugar de las raíces con Matlab, la ecuación característica debe

expresarse de la siguiente forma:

Los comandos en Matlab relacionado con el lugar de las raíces son:

Ejemplo:

Representar el lugar de raíces del sistema de control de la siguiente Figura:

Características del LGR

El LGR cons ta de ramas que se d i r i gen de los po los a los

ce ros , s i e l número de ce r os esmenor que el número de polos el

lugar geométrico se dirige a los ceros en el infinito a lo largo de

las asíntotas.

Existe un punto de partida o llegada σ B que es el punto donde el LGR corta

con el eje real.- El LGR corta con el eje imaginario en Kc (ganancia

crítica. La Kc se obtiene del criterio deestabilidad de Routh Hurwitz.Para el

sistema de la figura 1 cuyo LGR se muestra en la siguiente figura:

¿Qué es MATLAB?

MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es

una herramienta de software matemático que ofrece un entorno de desarrollo

integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Está

disponible para las plataformas Unix, Windows y Mac OS X.

Entre sus prestaciones básicas se hallan: la manipulación de matrices, la

representación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación

de interfaces de usuario (GUI) y la comunicación con programas en

otros lenguajes y con otros dispositivos hardware. El paquete MATLAB dispone de

dos herramientas adicionales que expanden sus prestaciones, a saber, Simulink

(plataforma de simulación multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de usuario -

GUI). Además, se pueden ampliar las capacidades de MATLAB con las cajas de

herramientas (toolboxes); y las de Simulink con los paquetes de

bloques(blocksets).

Es un software muy usado en universidades y centros de investigación y

desarrollo. En los últimos años ha aumentado el número de prestaciones, como la

de programar directamente procesadores digitales de señal o crear código VHDL.

Caja de Herramientas y Paquetes de Bloques

La ecuación característica del sistema proporciona información valiosa con

respecto a la respuesta del sistema cuando se determina las raíces de la

ecuación; para trazar el LGR del sistema primero se debe determinar la función

características del sistema.

1+kG(s) = 0

Luego se factoriza G(s),

Luego se ubica en el plano complejo los polos y ceros de la ecuación

pasada recuerden que los polos se representan por una x y los ceros con una o.

Para dibujar el LGR, sé varia k entre cero e infinito. De la ecuación 3.4 se

puede deducir que:

Sí k=0 entonces las raíces de la ecuación característica son los polos de

G(s).

Sí K⇒ ∞ entonces las raíces de la ecuación característica son los ceros de

G(s).

Por lo tanto el LGR inicia en los polos de G(s) y termina en los ceros de

G(s) a medida que aumenta k de cero a infinito.

Otra característica importante a tener en cuenta del LGR es que este

gráfico es simétrico con respecto al eje real, ya que las raíces complejas de un

polinomio deben aparecer en parejas (raíces complejas conjugadas).

El número de segmentos que componen el LGR de un sistema es igual al

número de polos en lazo abierto del proceso, ya que en sistemas dinámicos el

número de polos es mayor que el número de ceros.

N = np - nz

Donde N es el número de segmentos del LGR que terminan en polos en el

infinito, nz el número de ceros del sistema y np el número de polos. N también

determina el número de asíntotas del LGR.

Como el número de polos es mayor que el de ceros, entonces en el gráfico

del LGR del sistema habrá segmentos que terminen en ceros en infinito, y dichos

segmentos tomaran la dirección que indiquen las asíntotas, el calculo de dichas

asíntotas se muestra a continuación.