libro bruño 1º eso

8/14/2019 libro bruo 1 eso

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M

m

i

ENSEANZASECUNDARIAOBLIGATORIA1

ndice1 Los nmeros naturales 3

2 Divisibilidad 9

3 Los nmeros enteros 16

4 Las fracciones 22

5 Los nmeros decimales 29

6 Potencias y raz cuadrada 37

7 Sistema mtrico decimal 45

8 Proporcionalidad 52

9 Ecuaciones de 1.er grado 60

10Elementos en el plano 67

11Tringulos 75

12Los polgonos y la circunferencia 82

13Permetros y reas 91

14Tablas y grficas 100


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Direccin del proyecto editorialAntonio Daz

Coordinacin del proyecto editorialEstrella Marinas

Coordinacin de edicionesPaz Utrera

Revisin cientfica

Pablo Martnez Dalmau

Coordinacin de preimpresinAlberto Garca

Coordinacin de diseoCristbal Gutirrez

Este libro corresponde al primer curso de Educacin Secundaria Obligatoria,materia de Matemticas, y forma parte de los materiales curriculares del pro-yecto del Grupo Editorial Bruo, S. L.

del texto: Jos Mara Arias Cabezas; Ildefonso Maza Sez de esta edicin: Grupo Editorial Bruo, S. L., 2010

Juan Ignacio Luca de Tena, 1528027 Madrid


3/1081. Los nmeros naturales

11 Sistema de numeracin decimal

3

Origen de los nmeros naturalesLos nmeros naturales surgen por la necesidad de contar. Tal y como se conocen hoy en da, los nmeros naturales son0, 1, 2, 3, 4 Se representan con la letra:

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

El sistema de numeracin decimal

Es un sistema que sirve para expresar cualquier nmero. En l se utilizan diez cifras:0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 y 9

A estas cifras se les llama cifras arbigas, porque fueron introducidas por los rabes. El valor de cada cifra depende del lugque ocupa en el nmero.

Launidades la primera cifra de la derecha de un nmero; ladecena, la segunda; lacentena, la tercera; etctera.Cada diez unidades de un orden forman una unidad del orden superior.

Todo nmero natural se puede descomponer en unidades, decenas, etctera.

EJERCICIO RESUELTO

Descompn el nmero 32657

32 657 = 3 DM + 2 UM + 6 C + 5 D + 7 U

Representacin grficaLos nmeros naturales se representan en una recta, de la siguiente manera:

a) Se seala un punto en la recta y se nombra con el cero. Luego, sealamos a la derecha otro punto, que se nombra conuno. Se ha dibujado un segmento unidad.

b) Despus, utilizando la longitud del segmento unidad, se marcan puntos sucesivos que se nombran con el dos, tres, cutro, etctera.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1.3

D.

demilln

U.

demilln

C.

demillar

D.

demillar

3

U.

demillar

2

Centenas

6

Decenas

5

Unidades

7

3 2 6 5 7

3 0 0 0 02 0 0 0

6 0 05 0

7

3 2 6 5 7

Observa el valoren unidades decada cifra segnla posicin queocupa.

1

1.2

1.1

Los nmerosnaturales1


4/108

12 Suma, resta y multiplicacin

BLOQUE I: Aritmtica y lgebra

OrdenacinDados dos nmeros naturalesayb, pueden darse los siguientes casos:

Para ordenar los elementos de un conjunto se asocia un nmero natural a cada elemento.

Se llamaordinal al nmero natural que expresa el orden. A estos nmeros se les nombra as: primero, segundo, terceroetctera.

EJERCICIO RESUELTO

Ordena los das de menor a mayor nmero de pasajeros que han pasado por la terminal de autobuses.

El da que menos pasajeros han pasado es elviernes, luego el mircoles, el martes, el lunes y eljueves.

Suma de nmeros naturales

EJERCICIO RESUELTO

Durante una promocin, han vendido en una tienda 752 CD el primer da, 1 024 el da siguiente y 932 el terceda. Cuntos CD han vendido los tres das?

En total se han vendido: 752 + 1024 + 932 = 2708 CD

Propiedades de la suma

Propiedad conmutativa. El orden de los sumandos no altera la suma:a+b =b +a

EJEMPLO

8 + 7 = 7 + 8

15 15

2.2

3

Sumar es reunir, juntar, aadir.

2.1

Da N.o

de pasajerosLunes 3 251

Martes 3 208

Mircoles 2 817

Jueves 3 507

Viernes 2 804

1.4

2

Operador Se lee Ejemplo Se lee

= Igual 3 = 3 3 es igual a 3

< Menor que 2 < 6 2 es menor que 6

Menor o igual que 3 3

2 6

3 es menor o igual que 3

2 es menor o igual que 6> Mayor que 7 > 1 7 es mayor que 1

Mayor o igual que 3 37 1

3 es mayor o igual que 37 es mayor o igual que 1

4


5/108

EJEMPLO

( 4 + 5 ) + 7 = 4 + ( 5 + 7 )

9 + 7 4 + 12

16 16

Propiedad asociativa. Para sumar tres o ms nmeros se pueden agrupar de diversas maneras:(a+b) +c=a+ (b +c)

Resta de nmeros naturales

EJERCICIO RESUELTO

Tena ahorrados 4 572y he gastado 825 . Cuntos euros me quedan?Me quedan: 4 572 825 = 3747

Prueba de la resta

4 572 = 825 + 3 747

Multiplicacin de nmeros naturales

El signo de multiplicar puede ser o tambin un punto

EJERCICIO RESUELTO

Ernesto va a natacin 2 horas cada da. Cuntas horas dedica a la natacin cada semana?2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 7 2 = 14 horas

Para multiplicar un nmero natural por la unidad seguida de ceros, se escribe el mismo nmero y se le aaden a la derecha tantos ceros como tenga la unidad.

EJEMPLO

457 1000 = 457000

Para multiplicar dos nmeros que acaban en cero, se multiplican las cifras distintas de cero y en el resultado se aaden tantos ceros como haya en el multiplicando y en el multiplicador.

EJEMPLO

Propiedades de la multiplicacin

Propiedad conmutativa. El orden de los factores no altera el producto:

ab =b a

2.5

3 2 7 0 0 0 2 0 0 0 0

6 5 4 0 0 0

5

Multiplicar es hacer una suma de sumandos iguales.

2.4

Minuendo = Sustraendo + Diferencia

4

Restar es quitar, eliminar.

2.3

1. Los nmeros naturales 5


6/108

EJEMPLO

9 7 = 7 9

63 63

EJEMPLO

( 5 8 ) 1 0 = 5 ( 8 1 0 )

40 10 5 80

400 400

13 Divisin

3 7 2 7 4

1 2 9 3 1

0 7

3

BLOQUE I: Aritmtica y lgebra

Propiedad asociativa. Para multiplicar tres o ms nmeros; estos se pueden agrupar de diversas maneras:

(ab) c=a (b c)

Divisin de nmeros naturales

El signo de dividir puede ser: :; /; La divisin puede ser:

a) Exacta: tiene de resto cero. b) Entera: tiene un resto distinto de cero.2 4 4 2 6 4

0 6 2 6

EJERCICIO RESUELTO

Sonia quiere repartir 3 727 entre 4 sobrinos. Cunto debe dar a cada uno?

Le dar931 a cada sobrino y sobrarn 3

Prueba de la divisin

3 727 = 4 931 + 3

Propiedad distributivaLapropiedad distributivadice que para multiplicar un nmero natural por la suma de otros dos nmeros se multiplica eprimer nmero por cada uno de los sumandos, y despus se suma el resultado:

a (b +c) =ab +ac o bien: a (b c) =ab ac

3.2

Dividendo = Divisor Cociente + Resto

6

Dividir es repartir en partes iguales una cantidad.

3.1

6


7/108

( )

:

+

EJEMPLO

a) 2 + 3 4 b) ( 2 + 3 ) 4

2 + 12 5 4

14 20c) 1 6 : 2 : 4 d) 3 6 : 4 3 2

8 : 4 9 6

2 3

EJEMPLO

Comprueba la propiedad distributiva:

a) 4 ( 2 + 5 ) b) 3 ( 9 4 )4 (2 + 5) = 4 2 + 4 5 3 (9 4) = 3 9 3 4

4 7 8 + 20 3 5 27 12

28 28 15 15

Jerarqua de las operaciones

Qu calculadora usarUtiliza la calculadora que tengas. En caso de que la tengas que comprar, busca una que te sirva para la ESO y el Bachillerto. Si vas a comprarla, comprueba:

1. Que sea cientfica. Calcula 2 + 3 4 tiene que dar 14

2. En la raz cuadradaprimero se tiene que teclear la raz cuadrada y despus el nmero.

3. Que tenga fracciones. Debe tener la tecla ; para configurarla con fracciones impropias directamente pulsa:(DISP) (d/c)

4. Que use la coma como notacin decimal. Para configurarla teclea:(DISP) (Comma)

5. Que tenga estadstica bidimensional. Para ello comprueba que tiene los dos smbolos de las medias aritmticas marginales. Para comprobarlo tienes que pulsar en la calculadora:

(REG) (Lin)MODE 3 1 S-VAR x y

MODE 1 2

21MODEab/c

5=25

14=43+2

3.4

Cuando se tienen distintas operaciones combinadas con nmeros naturales, se debe seguir un orden:

a) Parntesis.

b) Multiplicaciones y divisiones.

c) Sumas y restas.

d) Si las operaciones tienen la misma jerarqua, se empieza por la izquierda.

3.3

1. Los nmeros naturales 7

( )

:

+


8/108

14 Resolucin de problemas

ENTRATE

Lee bien el enunciado.

Haz un dibujo si es posible.

Anota datos y preguntas.

1 MANOS A LA OBRA

Haz un esquema.

Plantea el problema.

Opera con cuidado.

2 SOLUCIN Y COMPROBACIN

Confirma que la solucin tiene sentido.

Escribe las respuestas con sus unidades.

Comprueba que se cumplen las relaciones dadas.

3

Una estrategia general

Procedimiento de resolucin de problemasPara resolver un problema, se debe leer varias veces el enunciado hasta que se entienda muy bien cules son los datos, larelaciones y las preguntas.

En los problemas de geometra se debe hacer siempre el dibujo, y en los problemas numricos, un esquema.

Este procedimiento se puede sintetizar en los siguientes pasos:

EJERCICIO RESUELTO

El dueo de una tienda compra 10 cajas de refrescos, con 12 botellas cada una, y paga 6 por cada caja. Si en ltienda vende cada botella de refresco a 2 , cunto ganar al vender todas las botellas?

a) Entrate.

b)Manos a la obra.

c) Solucin y comprobacin.

Solucin:

Gana180 . La solucin es aceptable y est en euros.

Comprobacin:

(Valor de la compra) + (Ganancias) = (Valor venta)

60 + 180 = 240

Gana = (Valor de la venta) (Valor de la compra)

Valor de la venta = (N. de botellas) (Precio de cada botella)

Valor de la venta = 10 12 2 = 240

Valor de la compra = (N. de cajas) (Precio de cada caja)

Valor de la compra = 10 6 = 60

Gana = 240 60 = 180 lo que cobra por la

venta: 240

lo que paga por la

compra: 60

es la resta de

Lo que gana

Datos:

Compra 10 cajas con 12 botellas cada caja.

Paga 6 por caja.

Vende a 2 cada botella.

Pregunta:

Cunto dinero gana?

7

4.1

BLOQUE I: Aritmtica y lgebra8


9/108

Notacin

se lee es equivalente.

11 Mltiplos y divisores

2. Divisibilidad

Mltiplos y divisores

Decir que el nmeroaes mltiplo deb es lo mismo que decir queb es divisor dea

a b0 c

es lo mismo quea=b c

Siaes mltiplo deb, es quease puede escribir comoa=b c. Fjate en queces el cociente de la divisina:b

a b a=b c0 c

EJERCICIO RESUELTO

Prueba que 12 es mltiplo de 3 y que 3 es un divisor de 12La divisin 12 : 3 es exacta.

12 30 4 es lo mismo que 12 = 3 4

Cuando queremos expresar que un nmeroaes mltiplo de un nmerob, podemos escribirlo as:a=b

, ys e l e e aes mltiplo deb

1 2 = 3, y se lee 12 es mltiplo de 3

EJERCICIO RESUELTO

Prueba que las 24 onzas de una tableta de chocolate se pueden dividir entre 2, 4 y 6

2 4 : 2 = 1 2 2 4 = 2

2 4 : 4 = 6 2 4 = 4

2 4 : 6 = 4 2 4 = 6

2

1

a

b

c

ml

tiplo

de

diviso

rde

diviso

rd

emltiplode

Un nmerob es divisor de otro nmeroasi al dividiraentreb la divisin es exacta. Tambin se dice queaes divisibleporb o queb es un factor dea

Un nmeroaes mltiplo de otro nmerob si al dividiraentreb la divisin es exacta.

1.1

Divisibilidad2

9


10/108

Mltiplosa) Todo nmero es mltiplo de s mismo.

EJEMPLO

5 es mltiplo de 5 porque 5 1 = 5

b) Todo nmero es mltiplo de 1EJEMPLO

7 es mltiplo de 1 porque 7 1 = 7

c) El cero es mltiplo de cualquier nmero.

EJEMPLO

El0esmltiplode2porque02=0

d) Todo nmero tiene infinitos mltiplos.

EJEMPLO

Para hallar el conjunto de mltiplos de 3, se va multipli-cando el 3 por los nmeros naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5

M(3) = {0, 3, 6, 9}

Divisoresa) Todo nmero es divisor de s mismo.

EJEMPLO

5 es divisor de 5 porque 5 : 5 = 1

b) El 1 es divisor de cualquier nmero.

EJEMPLO

El1esdivisorde7porque7:1=7

c) El cero no es divisor de ningn nmero.

EJEMPLO

El cero no es divisor de 2 porque no se puede dividi2 entre 0

d) El conjunto de los divisores de un nmero es finito.

EJEMPLO

Para hallar los divisores de 6 se hacen todas las divisioneentre el divisor ms pequeo, que es 1, y el divisor mayoque es 6

D(6) = {1, 2, 3, 6}

Nmeros primos y compuestos

EJERCICIO RESUELTO

Prueba que el nmero 7 es primo.

Tiene dos divisores, el 1 y el propio 7

7 = 1 7 7 1 y tambin 7 70 7 0 1

2.1

Un nmero naturalaes compuesto si tiene ms de dos divisores.

Notacin

se lee implica y significa que de lo que hay antes se deduce lo que hay despus.

3

Un nmero natural es primo si tiene exactamente dos divisores: el 1 y l mismo.

6 : 1 = 6

6 : 2 = 3

6 : 3 = 2

6 : 6 = 1

12 Nmeros primos y compuestos

Propiedades de mltiplos y divisores1.2



11/108

EJERCICIO RESUELTO

Prueba que el nmero 35 es un nmero compuesto.

Adems del 1 y del 35 tiene otros divisores, el 5 y el 7

El nmero 35 = 7 5 35 1 35 5 35 7 35 350 35 0 7 0 5 0 1

Criterios de divisibilidad

EJEMPLO

Los nmeros 20, 42, 54, 76, 98 son divisibles por 2. Son nmeros pares.

EJERCICIO RESUELTO

Prueba que los nmeros 36, 57 y 456 son divisibles por 3

La suma de las cifras es mltiplo de 3

EJEMPLO

Los nmeros 20 y 145 son divisibles por 5

Descomposicin factorial

Un nmero compuesto se puede expresar como un producto de nmeros primos.

Casos sencillos

Se hace la descomposicin mentalmente.

EJEMPLO

4 = 22 6 = 2 3 8 = 23 9 = 32 1 2 = 22 3

Procedimiento para factorizar nmeros grandes

a) Se escribe el nmero y, a su derecha, se pone una raya vertical.

b) Si el nmero termina en ceros, se puede dividir por 10 = 2 5. A la derecha de la raya vertical, se pone 2 5 elevado,cada uno de ellos, al nmero de ceros que tenga el nmero.

c) Se sigue dividiendo cada cociente obtenido por el menor nmero primo, 2, 3, 5, que sea divisor, tantas veces comose pueda.

d) Se termina cuando se obtenga de cociente 1

4

Ladescomposicin factorial o factorizacin de un nmero consiste en expresar dicho nmero como producto denmeros o factores primos elevados a los exponentes correspondientes.

2.3

Un nmero es divisible por 5 si acaba en cero o en cinco.

36 3 + 6 = 957 5 + 7 = 1 2456 4 + 5 + 6 = 1 5

5

Un nmero es divisible por 3 si la suma de sus cifras es mltiplo de 3

Un nmero es divisible por 2 si acaba en cero o en cifra par.

2.2

2. Divisibilidad 11


12/108

EJERCICIOS RESUELTOS

Haz la descomposicin factorial de 120

Cocientes Factores Factorizacinprimos

120 2 5 120=23 3 512 2

6 23 31

Halla la descomposicin factorial de 36000

36 000 23 53

36 218 2

9 33 3

136000 = 25 32 53

Mximo comn divisor

Segn esta definicin, para encontrar el mximo comn divisor de varios nmeros se debe:

a) Hallar los divisores de cada nmero.

b) Seleccionar los divisores comunes de los nmeros.

c) Tomar el divisor mayor.

EJERCICIO RESUELTO

Calcula el mximo comn divisor de 12 y 18

Los divisores de 12 son: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}Los divisores de 18 son: D(18) ={1, 2, 3, 6, 9, 18}

Los divisores comunes son D(12) D(18) = {1, 2, 3, 6}El mayor divisor es el 6. Se escribe: M.C.D. (12, 18) = 6

Cuando dos nmeros son primos entre s, solo tienen al 1 como divisor comn.

Dos nmerosayb son primos entre ssi el M.C.D. (a,b) = 1

8

El mximo comn divisor de dos o ms nmerosa,b,c,d es el mayor de los divisores comunes a dichos nmeros.Se representa por:M.C.D. (a, b, c, d)

3.1

6

7

12 BLOQUE I: Aritmtica y lgebra

120 100 12 2

0 6 2

0 3 30 1

13 Mximo comn divisor

Notacin

se lee interseccin: quiere decir elementoscomunes a uno y otro.


13/108

EJERCICIO RESUELTO

Averigua si los siguientes pares de nmeros son primos entre s:

a) 8 y 1 5 b) 9 y 1 2

a) Divisores de 8 = {1, 2, 4, 8}

Divisores de 15 = {1, 3, 5, 15}

M.C.D. (8, 15) = 1, luego los nmeros 8 y 15 son primos entre s.

b) Divisores de 9 = {1, 3, 9}

Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}M.C.D. (9, 12) = 3, luego los nmeros 9 y 12 no son primos entre s.Adems del 1, tienen al 3 como divisocomn.

Observa que para que dos nmeros sean primos entre s, no tienen por qu ser primos. En el ejercicio anterior los nmer8 y 15 son compuestos.

Clculo del mximo comn divisor

Casos sencillos

Cuando los nmeros son sencillos, el M.C.D. se calcula mentalmente:

EJEMPLO

M.C.D. (2, 6) = 2

M.C.D. (12, 18) = 6

M.C.D. (6, 8) = 2

M.C.D.(6, 9, 15) = 3

Procedimiento para nmeros grandes

EJERCICIO RESUELTO

Calcula el mximo comn divisor de los nmeros 80 y 14080 2 5 140 2 5

8 2 14 2

4 2 7 7

2 2 1

1

M.C.D. (80, 140) = 22 5 = 20

Fjate: el M.C.D. es el nmero ms grande que divide a 80 y a 140 a la vez.80 140

2 2 2 2 5 y 2 2 5 7

El mximo nmero de factores comunes que se puede tomar en la descomposicin de los dos nmeros son dos dosesun cinco.

80 = 24 5140 = 22 5 7

10

a) Se hace la descomposicin en factores primos de los nmeros.

b) Se eligen todos los factores primos comunes con el menor exponente con el que aparecen, y se multiplican.

3.2

9

2. Divisibilidad 13


14/108

Mnimo comn mltiplo

Segn esta definicin, para encontrar el mnimo comn mltiplo de varios nmeros se debe:

a) Hallar los mltiplos de cada nmero.

b) Seleccionar los mltiplos comunes de los nmeros.

c) Tomar el mltiplo menor distinto de cero.

EJERCICIO RESUELTO

Calcula el mnimo comn mltiplo de 4 y 6

Los mltiplos de 4 son M(4) = {0,4 ,8 , 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36}

Los mltiplos de 6 son M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42}Los mltiplos comunes son M(4) M(6) = {0, 12, 24, 36}De estos mltiplos comunes, el menor distinto de cero es el 12. Se escribe:

m.c.m. (4, 6) = 12

Clculo del mnimo comn mltiplo

Casos sencillos

Cuando los nmeros son sencillos, se calcula el m.c.m. mentalmente.EJEMPLO

m.c.m. (2, 6) = 6

m.c.m. (2, 5) = 10

m.c.m. (6, 9) = 18

m.c.m. (3, 4, 6) = 12

Procedimiento para nmeros grandes

EJERCICIO RESUELTO

Calcula el mnimo comn mltiplo de los nmeros 45 y 60

45 3 60 2 5

15 3 6 2

5 5 3 3

1 1

12

a) Se hace la descomposicin de los nmeros en factores primos.

b) Se eligen todos los factores primos comunes yno comunes con el mayor exponente con el que aparecen, y se mul-tiplican.

4.2

11

El mnimo comn mltiplo de dos o ms nmerosa,b,c,d es el menor de los mltiplos comunes a dichos nme-ros, distinto de cero. Se representa por:

m.c.m. (a,b,c,d)

4.1


4 Mnimo comn mltiplo


15/108

m.c.m. (45, 60) = 22 32 5 = 180

Fjate: el m.c.m. es el nmero ms pequeo distinto de cero entre los mltiplos comunes de 45 y 60

45 60

3 3 5 y 2 2 3 5

El menor nmero de factores comunes que se deben tomar en la descomposicin de los dos nmeros son un 3 y un 5,factores no comunes otro 3 y el 2 2

45 = 32 560 = 22 3 5

2. Divisibilidad 15


16/108

11 Los nmeros negativos

Situacin Representacin

Posicin

El avin vuela a 8 000 m 8 000

El submarinista bucea a 20 m de profundidad 20

Estamos en el quinto piso 5

Estamos en el tercer stano 3

DineroTenemos un saldo de 200 200

Debemos 15 15

TemperaturasAhora estamos a 4 C 4Esta madrugada estbamos a 4 C bajo cero 4

TiempoCleopatra naci en el 69 a. C. 69

Stifel naci en el ao 1487 1 487

Algunos usos de los nmeros negativosEn muchas situaciones de nuestra vida cotidiana se utilizan los nmeros naturales.

EJEMPLO

Pedro tiene 12 aos.

Luisa qued la 1. en el concurso.

EJERCICIO RESUELTO

Mara ha subido al piso 2 y despus 6 pisos ms. En qu piso est?2 + 6 = 8Est en el piso 8

Hay otras situaciones que no se pueden expresar matemticamente utilizando solo los nmeros naturales, porque al indicauna cantidad hay que sealar un sentido respecto de un origen. Para ello se utilizan los nmeros negativos.

Algunas situaciones en las que aparecen cantidades que necesitan un sentido y que se representan con los nmeros positivoy negativos son:

Posiciones: positiva sobre el nivel del mar y negativa bajo el nivel del mar.

Dinero: positivo cuando se tiene y negativo cuando se debe.

Temperaturas: positivas sobre cero y negativas bajo cero.

Tiempo: positivo d. C. (despus de Cristo) y negativo a. C. (antes de Cristo).EJEMPLO

Los nmeros negativos Los nmeros negativos se expresan con un signo menos delante, para diferenciarlos de los positivos.

Los nmeros positivos son los que estn por encima de cero, y los negativos, los situados por debajo de cero.

1.2

1

1.1

Los nmerosenteros3



17/108

12 Representacin grfica de los nmeros enteros

3. Los nmeros enteros

El cero no es ni positivo ni negativo.

Cuando se opera con nmeros negativos, estos deben ir entre parntesis.

Cuando el nmero es positivo, no se pone el signo. Supondremos que si un nmero no lleva signo, es positivo.

EJERCICIO RESUELTO

Sonia est en la planta 2 de una casa. Baja 4 plantas y despus sube 3 plantas. En qu planta se encuentra alfinal?

2 + ( 4) + 3 = 1 Se encuentra en la 1.planta.

Los nmeros enteros

Tanto el conjunto de los nmeros naturales como el de los enteros son infinitos, es decir, no tienen fin.

Todos los nmeros naturales son enteros; sin embargo, hay enteros (los negativos) que no son naturales.

Representacin grfica

Los nmeros enteros se representan grficamente en una recta horizontal:

a) Se marca en ella un punto, que ser el cero.

b) A la derecha del cero, se representan los nmeros positivos. Con un segmento unidad se dibuja el uno, el dos, el treetctera.

c) A la izquierda del cero, se representan los nmeros negativos. Con el mismo segmento unidad se dibuja el menos unel menos dos, etctera.

Valor absoluto

Se puede interpretar geomtricamente que el valor absoluto de un nmeroaes la longitud del segmento que tiene el origeen el cero y el extremo en el nmeroa

Para representar el valor absoluto del nmeroase escribe el nmero entre dos barras verticales,a, y se lee:valor absolutdea

Elvalor absoluto de un nmero entero es dicho nmero prescindiendo del signo.

2.2

0 1 2 33 2 1

0 1 2 3

0

2.1

El conjunto de los nmeros enteros est formado por el conjunto de los nmeros naturales = {0, 1, 2, 3} y los nmerosnegativos {1, 2,3}

Se representan con la letra:

={4,3 ,2 ,1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,4}

1.3

2

17


18/108


19/108

Los dos nmeros tienen el mismo signo

EJERCICIO RESUELTO

Calcula:

a) 4 + 6 b) 4 + ( 6 )

Los dos nmeros son de distinto signo

EJERCICIO RESUELTO

Calcula:

a) 4+( 6 ) b) 4 + 6

a) 4 + ( 6 ) = 2

b) 4 + 6 = 2

Resta de dos nmeros enteros

Fjate y no confundas el signo de la operacin restar con el signo del nmero. Observa detenidamente el siguiente ejemplo:

EJEMPLO

a) 6 4 = 6 + ( 4 ) = 2 b) 4 6 = 2 c) 6 ( 4 ) = 6 + 4 = 1 0 d) 4 6 = 1 0

Restar dos nmeros enteros es sumar el primero con el opuesto del segundo.3.2

0 1 2 3 54 876 9 10 10 9 8 6 7 3 4 5 2 1

6

4

0 1 2 3 54 876 9 10 10 9 8 6 7 3 4 5 2 1

4

6

6

Parasumar dos nmeros enteros que tienen distinto signo, se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto y seresta del nmero que tiene mayor valor absoluto el nmero que tiene menor valor absoluto.

b) 4 + ( 6 )= 10

0 1 2 3 54 876 9 10 10 9 8 6 7 3 4 5 2 1

4 6

0 1 2 3 54 876 9 10 10 9 8 6 7 3 4 5 2 1

4 6a) 4 + 6 = 10

5

Parasumar dos nmeros enteros que tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y se pone el mismo signoque tienen los nmeros.

3. Los nmeros enteros 19


20/108

Regla de los parntesisUna regla prctica que debes recordar es la siguiente:

a) Un signo + delante de un parntesis deja con el mismo signo a los nmeros que hay dentro del parntesis.

b) Un signo delante de un parntesis cambia el signo de los nmeros que hay dentro del parntesis.

Por lo tanto, si se tiene una expresin como 4 6 + 7, se puede entender que el 4 y el 7 son positivos y que el 6 es negativo

Sumas y restas combinadas

EJERCICIO RESUELTO

Calcula:

a) 3 + 5 4 + 1 6 b) 2 4 + 5 + 3 1a) 3 + 5 4 + 1 6 b) 2 4 + 5 + 3 1

9 10 10 5

1 5

Multiplicacin y divisin de nmeros enteros

Regla de los signos

Para multiplicar o dividir nmeros enteros se debe utilizar la regla de los signos.

Multiplicacin

(+) (+) = + Ms por ms igual a ms

() () = + Menos por menos igual a ms

(+) () = Ms por menos igual a menos

() (+) = Menos por ms igual a menos

Divisin

(+) : (+) = + Ms entre ms igual a ms

() : () = + Menos entre menos igual a ms

( + ) : ( ) = Ms entre menos igual a menos

() : (+) = Menos entre ms igual a menos

Al multiplicar o dividir dos nmeros enteros que tienen el mismo signo, el resultado es positivo, y si tienen distinto sig-

no, el resultado es negativo.

4.1

7

Para sumar varios nmeros enteros se suman por un lado los positivos, y por otro, los negativos. As solo queda un

nmero positivo y otro negativo, que ya se saben sumar.

3.4

3.3


4 Multiplicacin y divisin

EJEMPLO

a) 4 + ( 6 ) = 4 6

b) 4 + ( 6 + 7 ) = 4 6 + 7

EJEMPLO

a) 6 ( 4 ) = 6 + 4

b) 6 ( 4 + 3 ) = 6 + 4 3


21/108

Multiplicacin y divisin

Para multiplicar o dividir dos nmeros enteros, primero se averigua el signo del resultado y, a continuacin, se multiplicandividen como si fuesen naturales.

Operaciones combinadas

EJEMPLO

3 ( 7 2 ) + 4 = 3 5 + 4 = 1 5 + 4 = 1 9

EJERCICIO RESUELTO

Calcula:

a) 5 ( 7 3 ) + 8

a) 5 ( 7 3 ) + 8a)

a) 5 4 + 8a)a)

20 + 8

a)

a)28

b) 3 + ( 1 2 + 4 ) : 2

Con calculadora

EJERCICIO RESUELTO

Calcula: 725 345 : 5 + 42 (72 15)

7 2 5 3 4 5 5 + 4 2 ( 7 2 1 5 ) = 3050

9

8

Cuando se tienen distintas operaciones combinadas con nmeros enteros, se debe seguir un orden:

a) Parntesis.

b) Multiplicaciones y divisiones.

c) Sumas y restas.

d) Si las operaciones tienen el mismo nivel, se empieza por la izquierda.

4.2

Multiplicacin

3 4 = 1 2

3 ( 5 ) = 1 5

6 ( 7 ) = 4 2

5 7 = 3 5

Ejemplo

Divisin

1 2 : 4 = 3

1 5 : ( 3 ) = 5

4 2 : ( 7 ) = 6

3 5 : 7 = 5

Ejemplo

( )

:

+

b) 3 + ( 1 2 + 4 ) : 2

3 + ( 8 ) : 2

3 4

1

3. Los nmeros enteros 21


22/108

4 Las fraccionesFraccin como divisin

Fraccin como partes de la unidad

EJEMPLO

Fraccin como operadorUna fraccin es tambin un nmero que opera a una cantidad.

EJERCICIO RESUELTO

Calcula los 2/5 de 30 naranjas.

d e 3 0 n a r a n j a s = 3 0 : 5 2 = 6 2 =12 naranjas.25

1

Para calcular la fraccin de una cantidad se divide el nmero por el denominador y el resultado se multiplica por el

numerador.

1.3

3

4

5

3

a) El denominador es el nmero de partes iguales en las que se divide la unidad.b) El numerador es el nmero de partes que se toman.

1.2

Unafraccin es el cociente de dos nmeros enteros; el divisor tiene que ser distinto de cero.

1.11Concepto de fraccin

EJEMPLO

= 0,75

ab

34

NumeradorDenominador

b 0

ab/c 3 40,75ab/c3 43 ab/c =4



23/108 234. Las fracciones

Comparacin de fracciones con la unidad

EJEMPLO

CalculadoraLas calculadoras ms nuevas permiten configurarlas para que den los resultados directamente como fracciones impropias.

(Disp) (d/c)

Signo de una fraccinCada trmino de una fraccin puede ser positivo o negativo y se pueden presentar cuatro casos que, segn la regla de los si

nos, se reducen a dos:a) Si los dos trminos tienen el mismo signo, la fraccin es positiva y el signo no se escribe.

b) Si los dos trminos tienen distinto signo, la fraccin es negativa y el signo se escribe delante, frente a la raya de fraccin

EJEMPLO

, , ,

Representacin grfica en la recta

1.4

Pararepresentar una fraccin en la recta, se dibuja una recta, se sitan el 0 y el 1, luego se divide la unidad en tantas

partes iguales como indique el denominador y se toman tantas como indique el numerador.

1.7

6+ 5

+ 4 9

2 7

+ 3+ 5

1.6

21MODE

1.5

Una fraccin puede ser menor, igual o mayor que la unidad y recibe los siguientes nombres:a) Unafraccin es propiasi el numerador es menor que el denominador.b) Unafraccin es igual a la unidadsi el numerador es igual que el denominador.c) Unafraccin es impropiasi el numerador es mayor que el denominador.

EJEMPLO

: 11 =114

11 44ab/c

Escritura 35

27

49

65

Fraccin propiaFraccin igual

a la unidadFraccin impropia

35

= 177

114

0 1 22 1

3/4

EJERCICIO RESUELTO

Representa 3/4 en la recta.2


24/108

=

Fracciones equivalentes

Regla de los productos cruzados

La mejor forma de comprobar que dos fracciones son equivalentes es aplicando la regla de los productos cruzados, que dice

EJEMPLO

2 6 = 3 4 , e s d e c i r , 1 2 = 1 2

Amplificacin de fraccionesParaamplificar una fraccin, se multiplican el numerador y el denominador por un mismo nmero.

EJEMPLO

= = y de igual forma: = = = = = = =

Reducir fracciones a mnimo comn denominadorParareducir fracciones a mnimo comn denominador se sigue el procedimiento:a) El denominador comn es el m.c.m. de los denominadores.

b) Cada numerador es el cociente del m.c.m. entre cada denominador y multiplicado por el numerador.EJERCICIO RESUELTO

Reduce a mnimo comn denominador 3/4 y 5/6

m.c.m. (4, 6) = 12 = = = =

Comparacin y ordenacin de fraccionesAl comparar fracciones se pueden presentar tres casos:a) Si tienen el mismo denominador, ser mayor la que tenga mayor numerador.

b) Si tienen el mismo numerador, ser mayor la que tenga menor denominador.

2.4

1012

1 2 : 6 512

56

912

1 2 : 4 312

34

3

2.3

2128

1824

1520

1216

912

68

34

68

3 24 2

34

2.2

46

23

Dos fracciones son equivalentes si los productos cruzados son iguales.

Dos fracciones son equivalentes si expresan la misma cantidad.

2.1


2 Fracciones equivalentes

EJEMPLO

< 45

35

EJEMPLO

< 25

27


25/108

c) Si tienen distinto numerador y distinto denominador, se reducen a mnimo comn denominador, y ser mayor la qucorresponda a mayor numerador.

EJERCICIO RESUELTO

Ordena de menor a mayor 4/5 y 6/7

m.c.m. (5, 7) = 35 = = y = =

como < entonces

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