INVESTIGACINDE OPERACIONES I 2 NDICE INTRODUCCIN...4 CAPTULO 1: FORMULACIN DE MODELOS DE PROGRAMACIN LINEAL. ..5 1.1 EJEMPLOS6 1.2 PROBLEMAS RESUELTOS17 1.3PROBLEMAS DE P.L PREPARADOS CON LINGO66 1.4 ASPECTOS DEL ALGEBRA LINEAL Y ANLISIS CONVEXO88 1.4.1 VECTORES88 1.4.2OPERACIONES CON VECTORES..88 1.4.3MATRICES 90 1.4.4ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS95 1.4.5CONJUNTOS CONVEXOS98 CAPITULO 2: PROGRAMACIN LINEAL: TABLERO SIMPLEX . 99 2.1 MTODOGRFICO.99 2.2 MTODO SIMPLEX..103 2.3 MTODO DE PENALIZACIN.......109 2.4 MTODO DE LAS DOS FASES.....111 CAPITULO 3: DUALIDAD..113 3.1DUALIDAD: UN ENFOQUE CONCEPTUAL.113 3.2RELACIONES PRIMAL DUAL117 3.3 HOLGURA COMPLEMENTARIA......120 3.4MTODO DUAL SIMPLEX123 3.5MTODOPRIMAL DUAL..125 3.6 PROBLEMASRESUELTOS..128 3 CAPITULO 4: ANLISIS DE SENSIBILIDAD... 140 4.1 ANLISIS GRFICO DE SENSIBILIDAD141 4.2CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIN OBJETIVO144 4.3CAMBIOS EN LA DISPONIBILIDAD DE RECURSOS.. 149 4.4PRECIO DUAL151 4.5CAMBIOS EN LA MATRIZ DE COEFICIENTES TECNOLGICOS153 4.6ADICIN DE UNA VARIABLE 156 4.7ADICIN DE UNA RESTRICCIN.157 4.8REGLA DEL 100% .158 4.9 INTERPRETACIN DEL PROGRAMA LINDO...162 4.10 INTERPRETACIN DEL PROGRAMA LINGO. 177 CAPITULO 5: PROGRAMACIN ENTERA207 5.1 PROBLEMAS RESUELTOS 231 5.2 ANEXO.240 4 INTRODUCCIN En el mundo real, las organizaciones de diferentes naturalezas tienen problemas de decisin en el usodesusrecursosescasos.Comoporejemplo:Unempresariodedicadoalserviciode mantenimientoyreparacindecomputadorastienecincotcnicosqueatiendenpedidosde diversasempresasenLimayprovincias,estinteresadoendeterminarellugarmsapropiado parasusedecentral.Recursosescasos:tiemponoproductivo,pasajes,etc.Otroejemplo:Un empresariopropietariode5automvilesdedicadosalserviciodetaxienlaciudaddeLimaest interesado en determinar el grifo que debe abastecer a sus vehculos. En este caso, los recursos escasos son: las llantas, el tiempo dedicado para abastecerse de gasolina, el mismo combustible, etc. Elprocesoparaalcanzaresteobjetivoconsistemsenformularelproblemaqueenconstruiry resolver modelos matemticos. En forma especfica, los problemas de decisin a menudo incluyen importantes factores quemuchasvecesno se puedenincluirenel modelomatemtico.El factor principal es el hombre y su comportamiento. El modelo puede ser muy bueno, pero si la influencia de las personas es muy fuerte, la solucin ptima del modelo es impracticable. LaInvestigacinOperativaesunacienciayunarte.IOesunacienciaporqueofrecetcnicasy algoritmos matemticos para resolver problemas de decisin. IO es un arte debido a que el xito quesealcanzaentodaslasetapasdelasolucindeunproblemadedecisin,dependedela habilidad y creatividad de las personas responsables de la toma de decisiones. 5 El modelo es la representacin abstracta de la realidad, se construyen modelos con la finalidad de poder resolver problemas del mundo real. Todoproblemadeprogramacinlinealestcompuestodeunafuncinobjetivoqueseva optimizar,(maximizarominimizar)ylasrestriccionesquedescribenlosrequerimientosylas limitaciones de los recursos. Todo programa lineal parte de los siguientes supuestos: 1.Linealidad, se exige que las restricciones y funcin objetivo sean lineales. 2.Independenciaentreactividades,sepretendegarantizarqueelproblemapermanezcaen forma lineal. 3.Divisibilidad, los valores de las variables es de carcter continuo. 4.Determinstico, todos los trminos en el modelo lineal se suponen conocidos. Sea el siguiente problema: Minimizar n nX c X c X c Z + + + = .........2 2 1 1 Sujeto a: 1 1 2 12 1 11......... b X a X a X an n> + + +2 2 2 22 1 21......... b X a X a X an n> + + +n n mn m nb X a X a X a > + + + .........2 2 1 1 0 ,.... ,2 1>nX X XLafuncinobjetivoes n nX c X c X c + + + .........2 2 1 1; nc c c , ,......... ,2 1sonloscoeficientesynX X X , ,......... ,2 1 son las variables de decisin que deben determinarse. Lasdesigualdadessonlasrestricciones.Loscoeficientes ija para(i=1,2,....,m)y(j=1,2,...,n)se denominan coeficientes tecnolgicos. El vector columna del lado derecho representa los requerimientos mnimos que deben satisfacer. Las restricciones0 , ,......... ,2 1>nX X Xson las condiciones de no negatividad de cada variable. El mtodo simplex est diseado para resolver programas lineales donde las variables de decisin son no negativas. Acontinuacinsepresentaunaseriedeproblemasconsusrespectivosprogramaslineales,el objetivoquesepersigueesmostrarlamayorcantidadposibledemecanismosnecesariospara formular cualquier problema lineal. 1.1 EJEMPLOS 6 CASO: PRODUCCIN 1.Unacompaaelaboradosproductos 1P y2P cadaunorequieredecomponentes 1c y 2c la disponibilidad de componentes y precio venta se muestra en el siguientecuadro. Producto ComponentesPrecio Venta (S/. / Unidad) 1c2c1P 124 2P 313 Dispone (Unid.) 1500010000 Se pide presentar el modelo que optimiza el ingreso por ventas. Solucin: iX= Unidades del producto i a producir (i = 1,2) Max Z = 41X+ 32X Sujeto a: 1X +32Xs15,000 21X +2Xs10,000 1X , 2X>0 2.Si cada unidad de 1P , problema 1 genera 3 unidades de un subproducto 3Py adems se tiene que el mercado demanda como mximo 500 unidades de 3Pal precio de S/. 2.00 por unidad y un costo ocasionado por la destruccin de cada unidad excedente de S/. 0.50 Se pide formular el programa lineal. Solucin: 7 jX3= Unidades del producto 3 que tiene el destino j; (j = Venta, Destruccin) 3X= Unidades producidas de 3P31X= Unidades producidas de 3Pque se venden. 32X= Unidades producidas de 3Pque se destruyen. Max z = 41X+ 32X+ 231X- 0.532XSujeto a: 1X +32X s15,000 21X +2X s10,000 3X=331X31Xs500 31X +32X =3X1X , 2X , 3X , 31X ,32X>0 3.Si los costos de los componentes del problema 1 son como sigue: Componente 1c Componente 2cRg.Dea S/. / Unid Rg.Dea S/. / Unid 115,0000.3118,0000.2 25,00112,0000.428,00110,0000.4 312,00115,0000.5 Se pide formular el programa lineal. Solucin: Adicionalmente a las variables del problema 1 se tiene las siguientes: j cX1= Unidades del componentes 1c del rango j (j=1, 2,3) j cX2 = Unidades del componentes 2cdel rango j (j=1,2) 8 Max z = 41X+ 32X- (0.311cX+ 0.421cX+ 0.531cX+ 0.212cX+ 0.422cX ) Sujeto a: 1X +32X s15,000 21X +2X s10,000 11cX+ 21cX+ 31cX=1X +32X12cX+ 22cX = 21X+2X11cXs5,000 21cXs7,000 31cXs3,000 12cXs8,000 22cXs2,000 1X , 2X ,11cX ,,22cX>0 CASO: METAS DE TRABAJO 4.Sequiereobtenerlamximacantidaddelproducto 3P queselogradelensambledeuna unidadde1P yunaunidadde 2P ,lasqueseelaboranapartirdeloscomponentes 1c y 2csegn la siguiente informacin. Producto Componentes 1c2c1P 12 2P 31 Disponibilidad(Unid.) 1500010000 Solucin: iX= Unidades del producto i (i = 1,2,3) Max z =3X 9 Sujeto a: 1X +32X s15,000 21X +2X s10,000 1X >3X2X > 3X1X , 2X , 3X>0 5.LacapacidaddeproduccindeALFAde700unidadesmensuales.Loscostosunitariosde produccin y el compromiso mensual de venta a BETA son como sigue: Mes Costo de Produccin Venta (Unidades) 1100300 2150350 3200400 Se pide formular el programa lineal. Solucin: iX= Produccin en el mes i (i=1, 2, 3) Min z = 1001X+ 1502X+ 2003XSujeto a: X1 + X2 + X3 = 1050 X1> 300 X1 + X2> 650 X1s 700 X2 s700 X3s 700 X1,X2,X3>0 CASO: TIPO DE PROGRESIONES 6.Prepararelmodelolinealparaelproblemaanteriorconsiderandoademsquesedesea conocer en cada mes el inventario de producto terminado. 10 Solucin: iX = Cantidad de produccin en el mes i (i = 1, 2, 3) iY= Excedente en el mes i (i = 1, 2, 3) INVENTARIO INICIAL + PRODUCCIN - VENTA=INVENTARIO FINAL MES 1 1X - 300 =1Y1X s700 MES 2 1Y +2X -350 =2Y2X s700 MES 3 2Y +3X - 400=0 3Xs700 El programa tiene como objetivo minimizar el costo total de produccin Min z = 1001X+ 1502X+ 2003XSujeto a: 1X - 1Y - 300=0 1X s 700 1Y + 2X -2Y- 350 = 0 2X s700 2Y + 3X - 400= 0 3Xs700 1X , 2X ,3X , 1Y , 2Y , 3Y >0 7.La capacidad de produccin de GAMMA es de 800 unidades mensuales. Los costos unitarios de produccin y el compromiso mensual de venta a BETA son como sigue: MesCosto deVenta 11 Produccin(Unidades) 1300300 2200350 3100400 Venta Total1050 GAMMA tiene un costo de almacenamiento de S/. 10.00 por unidad mensual.Si GAMMA no cumple con la venta mensual a BETA tendr que pagar una multa de S/. 30.00 por unidad mensual faltante.GAMMA est obligada a cumplir con la entrega de las 1.050 unidades al final del tercer mes. Solucin: iX=Produccin en el mesi (i = 1, 2, 3) iY=Excedente o dficit en el mes i (i = 1, 2, 3) iW = Costo mensual de almacenamiento o multa en el mesi (i =1, 2, 3) PRODUCCIN MENSUAL INV. INICIAL + PRODUCCIN - VENTA = INV. FINAL (DFICIT) -MES 1 1X- 300 =1Y1X s 800 -MES 2 1Y + 2X - 350= 2Y2X s 800 -MES 3 2Y + 3X - 400= 0 3Xs800 1X+ 2X+ 3X = 1,050 COSTOS DE ALMACENAMIENTO O MULTA -MES 1 12 Si: 1Y >0: 101Y s1W-301Y s1W Si: 1Y < 0: -301Y s1W 101Y s1W Para los dos casos se cumple lo siguiente: 101Y s1W-301Y s1W -MES 2 102Y s2W-302Y s2W Considerando que las variables de decisin deben ser no negativas se va a efectuar un cambio en lasvariables 1Y = 11Y - 12Y quesonirrestrictasensignoyluegosepresentalaFormulacin completa. Min z = 1001X+ 1502X+ 2003X+ 1W+ 2W Sujeto a: 1X - (11Y- 12Y ) = 300 1X s800 11Y- 12Y + 2X- (11Y- 12Y ) = 350 2X s800 21Y- 22Y + 3X= 400 3Xs 800 10(11Y- 12Y )- 1W s0 13 -30(11Y- 12Y ) - 1W s0 10(21Y- 22Y )- 1W s0 -30(21Y- 22Y ) - 2W s0 1X , 2X , 3X , 11Y , 12Y , 21Y , 22Y , 1W , 2W >0 * OTRA SOLUCIN DEL PROBLEMA ijY= Inventario final en el mes i (i=1, 2, 3) que se encuentra en j (j = Excedente, Faltante) -MES 1 1X- 300 =eY1 fY1 1X s800 -MES 2 eY1 fY1+ 2X -350 = eY2 fY2 2X s 800 -MES 3 eY2fY2+3X 400 = 0 3Xs 800 1X + 2X+ 3X = 1,050 Min z = 1001X+ 1502X+ 2003X+ 10 (eY1 + eY2)+30 (fY1+fY2) CASO: TRANSPORTE 14 8.LascapacidadesdeproduccindelproductoPdelasfbricasAyB,loscostosporunidad transportada a los centros de consumo 1c y 2c y las demandas de estos son como sigue: Fabrica Costo de Transporte Produccin (Unidades) 1c2cA510300 B123400 Demanda (Unid) 250350 Se pide preparar el modelo para minimizar el costo total de transporte. Solucin =ijX Unidades transportadas de la fbrica i (i=1,2) al centro de consumo j (j = 1,2) Min22 21 12 113 12 10 5 X X X X z + + + =Sujeto a: PRODUCCIN 30012 11s + X X40022 21s + X XDEMANDA 25021 11> + X X35022 12> + X X 0 , , ,22 21 12 11> X X X X 15 Sisecambia >por senlarestriccindelademanda,entoncescuandoseresuelvael problema el valor de la funcin objetiva es igual a cero; porque no se transporta nada y eso no es lo queremos. CASO: PROCESOS DE MEZCLA 9.Un Kg de P es el resultadode mezclar A, B y C cuyas caractersticas son las siguientes: Producto Elemento 1 (%) Elemento 2 (%) Precio (S/. / Kg) A204070 B301540 C103060 Obtengalamezclaptimasisedeseaqueunkg.Ptengaalmenos25%y30%delos elementos 1 y 2 respectivamente Solucin =iXCantidad del producto i (i = A, B, C) a utilizar en un Kg de P. Min C B AX X X z 60 40 70 + + = 0 , ,11 30 . 0 3 . 0 15 . 0 4 . 01 25 . 0 1 . 0 3 . 0 2 . 0:>= + + > + + > + +C B AC B AC B AC B AX X XKg X X XKg X X XKg X X Xa sujeto CASO: TIPO DE HORARIOS 16 10. El requerimiento de personal de seguridad de una empresa, as como los horarios de entrada y salida son: Requerimiento de Personal Cedulas de Servicio Tiempo Nm. Mnimo de personal Turno Horas Entrada Salida 00 045108 04 0892412 08 12123816 12 161041220 16 2065160 20 0010620 Se desea determinar el nmero total de personas para esa labor. Solucin =iXNmero de personas que trabajan durante el turno i (i = 1,2....6) Intervalo de Tiempo Turno 00 04 04 08 08 12 12 16 16 20 20 00 1 1X1X2 2X2X3 3X3X4 4X4X5 5X5X6 6X6XRequerimiento591210610 Min 6 5 4 3 2 1X X X X X X z + + + + + = 17 0 , , , , ,106101295:6 5 4 3 2 16 56 44 33 22 16 1>> +> +> +> +> +> +X X X X X XX XX XX XX XX XX Xa sujeto 1.2PROBLEMAS RESUELTOS CASO: PRODUCCIN 1.LacerveceraBproducecervezaCOMNyladetipoALE.Lacervezasevendea$5.0el barril y el de ALEa $2.0.La produccin de un barril de cerveza COMN requiere de 5 libras decebadaydoslibrasdelpulo.LaproduccindeunbarriltipoALErequiere2librasde cebaday1libradelpulo.Sedisponede60librasdecebadayde25librasdelpulo. Maximizar las utilidades de la cervecera B. Tipo Venta por Barril Composicin CebadaLpulo Comn552 Ale221 Solucin =iXUnidades producidasi(i = 1,2) Max 2 12 5 X X z + =0 ,25 260 2 5:2 12 12 1>s +s +X XX XX Xsa 2.Chemcoproducedosproductosqumicos:AyB.Seproducenmediantedosprocesos manufactureros.Elproceso1requiere2horasdetrabajoy1lbdemateriaprimapara producir 2 oz de A y 1 oz. De B.El proceso 2 requiere 3 horas de trabajo y 2 lb. De materia prima para producir 3 oz de A y 2 oz, de B.Se dispone de 60 horas de trabajo y de 40 lb. De materia prima.La demanda de A es limitada, pero se puede vender solamente 20 oz. De B. 18 Se vende A, a 16 dlares/ozy B a 14 dlares/oz.Se tiene que desechar todo B no vendido a costo de 2 dlares/oz.Formule un P.L. para maximizar los ingresos de Chemco menos los costos de desecho. Proceso Horas de Trabajo Materia Prima (lb.) Producto (oz.) AB Proceso 12123 Proceso 23232 Dispone6040 Solucin =iXNmero de procesos de tipo i (i =1,2) =jY Cantidad producidade j (j = A, B) =BkYCantidad del proceso B con k (k = V, D) Max BD BV AY Y Y z 2 14 16 + =Sujeto a: Horas de trabajo= 60 3 22 1s + X XMateria prima = 40 22 1s + X X Producto A=AY X X s +2 13 2Producto B=BY X X s +2 1220 sBVYB BD BVY Y Y s + 3.Un fabricante de equipos de filtracin de aire produce dos modelos. En la fig. se dan los datos relativosapreciosdeventaycostos,lafirmayatienecontratados500delproducto1y deseara calcular el punto de equilibrio para ambos modelos. Formule el programa lineal que minimice los costos. Producto Precio de Venta (Por Costo Variable Costo Fijo 19 Unidad) 1450240150,000 2700360240,000 Solucin =iXUnidades del producto i (i = 1,2) Para encontrar el punto de equilibrio se parte: Ganancia Total = PV - Costo Total 240000 150000 360 240 700 4502 1 2 1+ + + = + X X X X Que se reduce a: 390000 340 2102 1= + X XLa Formulacin completa del programa es: Min 240000 150000 360 2402 1+ + + = X X z 0 ,500390000 340 210:2 112 1>> = +X XXX Xa sujeto 4.Unfabricantedeacero produce4tamaosdevigasen I:pequeas, medianas,largayextra larga.Estasvigassepuedenproducirencualquieradetrestiposdemquinas:A,ByC.A continuacinseindicanlaslongitudes(enpies)delasvigasIquepuedenproducirlas mquinas por hora. Viga Mquina AB C Pequea300600800 Mediana250400700 Larga200350600 Extra Larga100200300 Supongamos que cada mquina se puede usar hasta 50 horas por semana y que los costos de operacin por hora de estas mquinas son $ 30, $ 50 y $ 80 respectivamente. Supngase 20 adems,quesemanalmenteserequiere10000,8000,6000y6000piesdelosdistintos tamaos de las vigas I. Formular el problema de programacin de mquinas como un programa lineal. Solucin =ijX Cantidad de horas para producir la viga i (i = pequea, mediana, larga y extra larga) en la mquina j (j = A,B, C). Las horas de produccin de las mquinas para cada tipo de viga son: Mquina A= 5041 31 21 11s + + + X X X XMquina B= 5042 32 22 12s + + + X X X XMquina C= 5043 33 23 13s + + + X X X X La produccin semanal por tipo de viga es: Pequea= 10000 800 600 30013 12 11> + + X X XMediana= 8000 700 400 25023 22 21> + + X X XLarga = 6000 600 350 20033 32 31> + + X X XExtra larga= 6000 300 200 10043 42 41> + + X X X 0 , , , , , , , , , , ,43 42 41 33 32 31 23 22 21 13 12 11> X X X X X X X X X X X X Como se trata de costos de produccin la funcin objetivo es: ( ) ( ) + + + + + + + + =42 32 22 12 41 31 21 1150 30 X X X X X X X X Z Min ( )43 33 23 1380 X X X X + + + 5.UnfabricantetienecuatroartculosA,B,CyDquedebenserproducidosenunmes.Cada artculopuedesermanejadoencualquieradetrestalleres.Eltiemporequeridoparacada artculoencadataller,elcostoporhoraencadaunodeellosyelnmerodehoras disponiblessedanenlafigura.Tambinespermisiblerepartircadaartculoentrelos talleresencualquierproporcin.PorejemplosepuedehacerdeartculoAen8horasdel taller y 1/3 del artculo C en 19 horas del taller 3. El fabricante desea saber cuntas horas de cada artculo deben manejarse en cada taller para minimizar el costo de terminar los cuatro artculos. DATOS DE LOS TALLES DE PRODUCCIN 21 Artculos Costo por Hora ($) Taller (tiempo disponible, Hr.) TallerABCD 1321517211889160 2391476112681160 3461555712184160 Solucin =ijX Articulo producido en el taller i (i = 1,2,3) y del tipo deartculo j (j=A, B, C, D) ( ) ( )( )D C B AD C B A D C B AX X X XX X X X X X X X Z Min3 3 3 32 2 2 2 1 1 1 18481 89+ + ++ + + + + + + + = Sujeto a: 160 118 72 151 321 1 1 1s + + +D C B AX X X X160 126 61 147 392 2 2 2s + + +D C B AX X X X160 121 57 155 163 3 3 3s + + +D C B AX X X X13 2 1= + +A A AX X X13 2 1= + +B B BX X X13 2 1= + +C C CX X X13 2 1= + +D D DX X X 0 , , , , , , , , , , ,3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1>D D D C C C B B B A A AX X X X X X X X X X X X 6.Seusauntornoparareducirde14pulg.a12pulg.Eldimetrodeuna barradeacerocuya longitudesde36pulg. Sedebendeterminarla velocidadX1(enrevolucionesporminuto),el avancedeprofundidadX2(enpulgadasporminuto).Laduracindelcorteestdadapor 36/X2X3.La compresin y la tensin lateral ejercida sobre la herramienta cortante estn dadas por: 30X1 + 4000X2; 40X1 + 6000X2 + 6000X3libras por pulgadas cuadrada, respectivamente. La temperatura (en grados Fahrenheit) en la punta de la herramienta cortante es 200 + 0.5X1 + 150(X2+X3).Losmximospermitidosdetensindecompresin,tensindecompresin, tensinlateralytemperaturason150,000librasporpulgadacuadrada,100,000libraspor pulgadacuadraday800F.Sedeseadeterminarlavelocidad(quedebepermanecerenel rango 600 a 800 r.p.m.), el avance en profundidad, y el avance en longitud tal que la duracin 22 delcorteseamnima.Parapoderusarunmodelolinealsehacelasiguienteaproximacin puestoque36/X2X3seminimizasi,yslosX2yX3semaximiza,sedecidireemplazarel objetivoporlamaximizacindelmnimodeX2 yX3.Formularelproblemacomounmodelo lineal. Solucin X1 = Velocidad en r.p.m. X2 = Avance en profundidad (pulg./min.) X3 = Avance longitudinal (pulg/min) X4 = Min. (X2, X3) Max z = X4 Sujeto a: 40X1 + 6000X2 + 6000X3 s 100,000 0.5X1 + 150X2 +150X3 s 600 30X1 + 4000X2s150,000 X1s800 X1>600 X2>X4 X3>X4 X1, X2, X3, X4>0 7.Unproductoesensambladocon3partesquepuedenfabricarseen2mquinasAyB. Ninguna de las mquinas puede procesar partes diferentes al mismo tiempo, a continuacin se resume el nmero de partes que puede procesar cada mquina por hora. ParteMquina AMquina B Parte 11206 Parte 21512 Parte 325 La administracin busca una programacin diaria de mquinas, de tal forma que el nmero de productos ensamblados sea mximo. Actualmente la compaa tiene tres mquinas del tipo A y cinco mquinas del tipo B. Solucin 23 Xij = Nmero de horas por da para fabricar la parte i(i=1, 2, 3) en la mquina j (j=1, 2). X = Cantidad por da del producto ensamblado. Considerando que el nmero de horas laborales por da es de 8 horas se tiene: Max z = X Clculo del nmero de productos ensamblados: 12X11 + 6X12>X 15X21 + 12X22>X 25X32>X Horas disponibles: X11 + X21s24 X12 + X22 + X32s40 X11, X12,...., X32>0 8.Steelcoproducedostiposdeaceroentresacerasdiferentes.Duranteunmesdadocada acera dispone de 200 horas de alto horno. El tiempo y el costo de produccin de una tonelada de acero, difieren de una fbrica a otra, debido a las diferencias en los hornos de cada fbrica. Enlatablasemuestraeltiempoyelcostodeproduccinparacadafbrica.Cadames, Steelco tiene que producir 500 toneladas de acero1 y 600 toneladas de acero 2.Formule la P.L. para minimizar los costos para producir el acero deseado. Acera Acero 1Acero 2 Costo ($) Tiempo (min) Costo ($) Tiempo (min) Acera 1 10201122 Acera 2 1224918 Acera 3 14281030 Solucin 24 Xi j= Cantidadde acero tipo j (j=1, 2) producido en la acera i (i = 1, 2, 3) Min Z = 10X11 + 12X21 + 14X31 + 11X12 + 9X22 + 10X32 Sujeto a: 20X11 + 22X12s12000 24X21 + 18X22s12000 28X31+30X32s12000 X11+ X21+X31>500 X12+X22+X32>600 9.Sunco Oiltiene refineras enLos ngeles yenChicago. La refinera de Los ngeles puede refinarhasta2millonesdebarrilesporao;LarefineraenChicagopuederefinarhasta3 millones de barriles de petrleo por ao. Una vez refinado, se envael petrleoa dos puntos dedistribucin:HoustonyNuevaYork.Suncoestimaquecadapuntodedistribucinpuede venderhasta5millonesdebarrilesdepetrleorefinadoalao.Debidoadiferenciasenlos costosdeenvoyderefinacin,lagananciaobtenida(endlares)pormillndebarrilesde petrleo enviado, depende del lugar de refinacin y del punto dedistribucin (vase la tabla). Suncoconsideraaumentarlacapacidaddecadarefinera.Cadaaumentoenlacapacidad anualderefinacindeunmillndebarrilescuesta120000dlaresparalarefineradeLos ngeles y 150000 para la refinera de Chicago. Utilice la programacin Lineal para determinar cmoSuncopuedemaximizarsusganancias,menosloscostosdelaampliacin,enun periodo de diez aos. UTILIDAD POR MILLN DE BARRILES ($) A Houston A Nueva York De los ngeles 2000015000 De Chicago1800017000 Solucin Xij = Cantidad de barriles anuales provenientes de i con destino j Yij = Cantidad de barriles (x milln) provenientes de la ampliacin en i con destino j. Max z = 20000X11 + 15000X12 + 18000X21 + 17000X22 - 120000 (Y11 + Y12) - 150000 (Y21 + Y22) 25 Sujeto a: X11+ X21+ Y11+Y21s5 X12+ X22 + Y12 + Y22s5 X11+X12s2 X21+X22s3 10. Pararealizarunaencuestaportelfono,ungrupodeinvestigacindemercadonecesita comunicarporlomenosa150esposas,120maridos,100varonesadultossolterosy110 mujeres adultas solteras. Cuestan 2 dlares realizar una llamada telefnica durante el da, y 5 dlaresdurantelanoche(debidoamayorescostoslaborales).Estos resultadossemuestran la tabla sgte. Se pueden realizar a lo ms la mitad de estas llamadas en la noche, por disponer de un nmero limitado de empleados. Formule un PL que minimice los costos para completar la encuesta. Persona que Contesto % de llamadas diurnas % de llamadas nocturnas Esposa3030 Marido1030 Soltero1015 Soltera1020 Nadie4005 Solucin Xi = Cantidad de llamadas realizadas en el da o en la noche i (i =1,2) Min z = 2X1 + 5X2 Sujeto a: 0.30X1+ 0.30X2>150 0.10X1+0.30X2>120 0.10X1 + 0.15X2>100 0.10X1 + 0.20X2>110 0.4X1+0.05X2>0 2X2sX1 26 11. CSLesunacadenadetiendasdeservicioparacomputadoras.Elnmerodehorasde reparacinespecializadaquerequiereCSLdurantelosprximoscincomeses,sedana continuacin: Mes 1 (enero) =6000 horas Mes 2 (febrero)=7000 horas Mes 3 (marzo)=8000 horas Mes 4 (abril)=9500 horas Mes 5 (mayo) =11000 horas Alprincipiodeenero,50tcnicosespecializadostrabajanparaCSL.Cadatcnico especializado puede trabajar hasta 160 horas al mes. Para satisfacer futuras demandas hay que capacitar a nuevos tcnicos. La capacitacin de un nuevo tcnico dura dos meses. Cada aprendizrequierede50horasdeltiempodeuntcnicoespecializadoelprimermesy10 horas del tiempo de un tcnico experimentado durante el segundo mes de entrenamiento. A cadatcnico experimentado se le pagan mensualmente 2000 dlares (aunque no trabaje las 160horas).Duranteelmesdeentrenamiento,sepagaalaprendiz1000dlaresalmes.Al final de cada mes, 5% de los tcnicos experimentados de CSL, cambian de trabajo, para irse conPlumComputers.FormuleunPLcuyasolucinpermitiraCSLminimizarloscostosde trabajoquesepresentanalcumplirconlosrequerimientosdeserviciodurantelosprximos meses. Solucin Xi = Nmero de tcnicos capacitados en el mes i (i = 1, 2, 3, 4, 5) Yi = Nmero de tcnicos especializados alinicio del mes i (i =1, 2, 3, 4, 5) Min z = 2000X1+ 2000X2 + 2000X3 + 2000X4 + 2000X5 + 2000Y1 + 2000Y2 + 2000Y3 + 2000Y4 + 2000Y5 Sujeto a: Y1 = 50 160Y1 - 50X1>6000 160Y2 - 50X2 - 10X1>7000 160Y3 - 50X3- 10X2> 8000 160Y4- 50X4 - 10X3>9500 60Y5- 50X5 -10X4>11000 Y2 - 0.95Y1 = 0 Y3 - 0.95Y2-X1=0 Y4- 0.95Y3-X2=0 Y5-0.95Y3-X3 = 0 27 12. Fumco fabrica mesas y sillas. Hay que fabricar cada mesa y cada silla completamente de roble o de pino. Se dispone de un total de 150 pies de tabla (p.t)de roble y de 210 p.t. de pino. Una mesa requiere 17 p.t. de roble, o bien 30 p.t. de pino, una silla necesita 5 p.t. de roble, o bien, 13 p.t. de pino. Se puede vender cada mesa a 40 dlares, y cada silla a 15 dlares. Formule un PL que se puede usar para maximizar los ingresos. Solucin Roble (p.t.)Pino (p.t.) Preciode Venta (US$) Mesas173040 Sillas051315 Disponibilidad150210 Xij = Cantidad de i (i = M, S) fabricadas con madera de j (j = R, P) Max Z = 40 (XMR +XMP) + 15 (XSR + XSP) Sujeto a: 17 X MR + 5 XSRs150 30 X MP+ 13 XSPs210 X MR, X SR, X MP, X SP>0 13. LacorporacinBradyproducearmarios.Necesitasemanalmente90000pie3demadera procesada.Puedeconseguirmaderaprocesadadedosmaneras.Primero,puedecomprar maderadeunproveedorexterno,ydespussecarlaensupropiohorno.Segundo,puede cortartroncosensuspropiosterrenos,yconvertirlosenmaderaensupropioaserraderoy, finalmente, secar la madera en su propio horno. Brady puede comprar madera clase 1 o clase 2. La madera clase 1 cuesta 3 dlares/pie3 y produce 0.7 pie3 de madera til luego de secarla. Lamaderaclase2cuesta7dlares/pie3yproduce0.9pie3demaderatilyaseca.Le cuestan3dlaresalacompaacortaruntronco.Despusdecortarloysecarlo,untronco produce0.8pie3demadera.Bradyincurreenuncostode4dlares/pie3demaderaseca. Cuesta 2.50 dlares/pie3 procesar troncos en el aserradero.El aserradero puede procesar semanalmente hasta 35000 pie3 de madera. Se puede comprar cada semana hasta 40000 pie3 de madera de clase 1, y hasta 60000 pie3 de madera de clase 2. Semanalmente, se disponen de 40 horas para secar madera.El tiempo necesario para secar 1 pie3 de madera de clase 1, madera de clase 2, o troncos, es el siguiente: clase1, 2 segundos; clase 2, 0.8 segundos; tronco, 1.3 segundos. 28 FormuleunPLparaayudaraBradyaminimizarloscostossemanalesparasatisfacerlas demandas de madera procesada. Solucin Necesidad semanal = 90000 pie3 madera procesada Costo de secar madera = 4 dlar / pie3 Costo de procesar tronco en aserradero = 2.5 dlar / pie3 Limite proceso del aserradero (semana) = 35000 pie3 Se pueden comprar a la semana: 40000 pie3madera tipo 1 60000 pie3madera tipo 2 Se disponen de 40 horas para secar madera Tiempos de secadoTipo de madera 2 seg. 0.8 seg. 1.3 seg. Tipo1 Tipo2 Tronco Solucin X1 = madera tipo 1 costo (3 + 4 dlares/pie3) = 07 dlar/pie3 X2 = madera tipo 2 costo (7 + 4 dlares/pie3) = 11 dlar/pie3 X3 = tronco costo (3 + 4 dlares/pie3) = 9.5 dlar/pie3 Min Z = 7X1 + 11X2 + 9.5X3 Comprar a externosMadera ProcesadaProducir el mismoMadera tipo 2Madera tipo 1 29 Sujeto a: 0.7X1 + 0.9X2 + 0.8X3>90000 X3s35000 X1s40000 X2s60000 2X1+ 0.8X2+ 1.3X3s40 (3600) X1, X2, X3> 0 Donde: X1: madera tipo 1 costo (3 + 4 dlares/pie3) = 7 dlar/pie3 X2: madera tipo 2 costo (7 + 4 dlares/pie3) = 11 dlar/pie3 X3: tronco costo (3 + 4 dlares/pie3) = 9.5 dlar/pie3 14. LaChandlerEnterprisesproducedosproductosquecompitenenelmercado:AyB.La compaa quiere venderestos productos a dos grupos de clientes: 1 y 2. El valor que da cada clienteaunaunidaddeAyBsemuestraenlatablasiguiente.Cadaclientecomprar cualquiera de los dos productos A B, pero no ambos.Un cliente est dispuesto a comprarel producto A si cree que: Valor del Producto A -Precio del Producto A>Valor del Producto B-Precio del Producto B Valor del Producto A-Precio del Producto A>0 Un cliente est dispuesto a comprar el producto B si cree que: Valor del Producto B-Precio del Producto B>Valor del Producto A-Precio del Producto A Valor del Producto B-Precio del Producto B>0 El grupo 1 consta de 1000 personas, y el grupo B de 1500 personas. Chandler quiere fijar el precio de cada producto para asegurar que las personas del grupo 1 compren el producto A y laspersonasdelgrupo2comprenelgrupoB.FormeunPLqueayudeaChandlera maximizar los ingresos. Grupo 1 de Clientes Grupo 2 de Clientes Valor de A para(dlares) 1012 Valor de B para(dlares) 815 30 Solucin Sea Xi el precio del Producto i (i =1, 2) Max Z = 1000X1+ 1500X2 Sujeto a: X1X2s2 X1s10 X1 - X2>-3 X2s15 X1, X2>0 15. Una compaa produce un ensamblado que consiste de un bastidor, una barra y un cojinete. Lacompaafabricalasbarrasylosbastidoresperotienequecomprarloscojinetesaotro fabricante. Cada barra debe procesarse en una mquina de forja, un torno y un esmeril. Estasoperacionesrequierende0.5horas,0.2horasy0.3horasporbarrarespectivamente, cadabastidorrequierede0.8horasdetrabajodeforja,01horasdetaladro,0.3horasenla fresadoray0.5horasenelesmeril.Lacompaatienecincotornos,diezesmeriles,veinte mquinasdeforja,trestaladrosyseisfresadoras,supngasequecadamquinaoperaun mximo de 2,400 horas por ao.Formular como un programa lineal el problema de encontrar el nmero Max. de componentes ensamblados que se pueden producir. Solucin X1 = Nmero de barras X2 = Nmero de bastidores X3 = Nmero de componentes ensamblados ProductoForjaTornoEsmeril Taladro Fresadora Barra Bastidor 0.5 0.8 0.2 -- 0.3 0.5 --- 0.1 --- 0.3 Horas Disponibles 48,000 12,000 24,000 7,200 14,400 31 Max. Z = X3 Sujeto a: 0.5X1 + 0.8X2s48,000 0.2X1s12,000 0.3X1 + 0.5X2s24,000 0.1X2s7,200 0.3X2s14,400 X1>X3 X2>X3 X1, X2, X3>0 16. ConrubesyzafiroszalesJewelersproducendostiposdeanillos.Unanillotipo1requiere2 rubes, 3 zafiros, y 1 h de trabajo de un joyero. Un anillo tipo 2 requiere 3 rubes, 2 zafiros, y 2 h de trabajo de un joyero. Cada anillo tipo 1 se vende a 400 dlares, y cada anillo tipo 2, a 500 dlares. Se pueden vender todos los anillos producidos por zales. Actualmente zales dispone de 100 rubes, 120 zafiros y 70 horas de trabajo de un joyero. Se puede comprar ms rubes a un costo de 100 dlares el rub. La demanda del mercado requiere una produccin de por lo menos20anillostipo1,yporlomenos25anillostipo2.Paramaximizarlaganancia,zales tendr que resolver el PL siguiente: X1 = anillos tipo 1 producidos X2 = anillos tipo 2 producidos R= nmero de rubes comprados Solucin MaxZ = 400X1 +500X2 - 100R Sujeto a: 2X1 + 3X2 Rs100 3X1 + 2X2s120 X1 + 2X2s70 X1>20 X2>25 X1, X2>0 32 Producto 3Producto 2Producto 1Planta San LuisPlanta MontereyPlanta MonclovaVentasVentas17. SupongaquelaplantaenSanLuisfabricaalproducto1,quesirvecomocomponente (insumo)paralafabricacindeunproductofinal2,enMonterreyyotroproductofinal3en Monclova. As mismo el producto 3 requiere como insumo adicional el producto 2. La siguiente figura muestra el flujo de fabricacin. La capacidad mensual de produccin de cada ao es: Fabrica Capacidad de Produccin (miles de unidades ) San Luis Monterrey Monclova 200 120 100 Lacantidaddeunidadesrequeridasparafabricarunaunidaddecadaproductoylaventa nacional mensual es: Producto Insumo Producto 1Producto 2 --- 24- 321 Producto Venta Nacional por mes MnimaMxima 11000030000 22500050000 34000060000 33 Ademspordisposicingubernamentalsedebeexportarel10%delaventanacional mensual. Loscostosunitariosdeproduccinsonde$3,$5yde$10,respectivamenteparalos productos1,2y3loscualessevendenenelmercadonacionala$6,$10y$15;enel extranjeroun20%mscaro,respectivamente.FormuleelModeloLinealquedeterminala produccin mensual de cada producto, que satisfaga a la vez todas las condiciones descritas antes y que optimice los ingresos por ventas. Solucin Xi= Unidades producidas del producto y (y = 1, 2, 3) Yij=Unidadesvendidasdelproductoyenelmercadoj(j=nacional,extranjero)(i=1,2,3) (j=1:Nacional,2: Extranjero, 3: Insumos) Funcin Objetivo: Max. Z=6Y11+10Y21+15Y31+7.2Y12 +12Y22+18Y32-3X1-5X2-10X3 Restricciones de: PRODUCCIN X1s200,000 X2s120,000 X3s100,000 VENTA DE PRODUCTO 1 Laventaeselresultadodeladiferenciaentrelaproduccinyelrequerimientodeunidades que participan como insumo para la produccin de otros productos. X1 = Y11 + Y12 Y11>10,000 Y11s30,000 Y12 = 0.10 * Y11 Y11 =4X2 + X3+Y12 34 VENTA DEL PRODUCTO 2 X2 = Y21 + Y22 Y21>25,000 Y21s50,000 Y22 = 0.10 * Y21 Y21 =X3 + Y21 VENTA DEL PRODUCTO 3 X3 = Y31 + Y32 Y31>40,000 Y31s60,000 Y32 = 0.10 Y31 X1,......, Y32>0 CASO: MODELOS DE PROCESOS DE MEZCLAS 1.Unalimentoparaperrossehacemezclandodosproductosdesoya. Enla figurasedanlos datos para los dos productos.Los perros deben recibir al menos cinco onzas de protenas y 2 onzas de grasa diariamente, Cul ser la mezcla de costo mnimo de los dos productos? Producto de soya Costo por Onza Protena (%) Grasa (%) 10.054015 20.021518 Solucin X1 = Cantidad de onzas del producto de soya tipo 1. X2 = Cantidad de onzas del producto de soya tipo 2. MinZ = 0.05X1+0.02X2 Sujeto a: 0.40X1 + 0.15X2>5 0.15X1 + 0.18X2>2 X1, X2>0 35 2.Unfabricantedeplsticosplaneaobtenerunnuevoproductomezclando4compuestos qumicos.Estoscompuestosconsistenprincipalmentede3elementosqumicosA,ByC.A continuacin se muestra la composicin y el costo por unidad de estos compuestos. Compuesto Qumico 1234 Porcentaje de A30204020 Porcentaje de B20603040 Porcentaje de C40152530 Porcentaje de D20302015 El nuevo producto consiste del 20% del elemento A, al menos 30% del elemento B y al menos 20% del elemento C.Debido a los efectos laterales de los compuestos 1 y 2, estos no deben de exceder del 30% y 40% del contenido del nuevo producto. Formular como programa lineal el problema de encontrar la forma menos costosa de obtener un nuevo producto. Solucin Xi = Cantidad del compuesto qumico i(i = 1,2,3,4) MinZ= 20X1+30X2+20X3+15X4 Un kilogramo del nuevo producto tiene las siguientes caractersticas: 0.3X1 + 0.20X2 + 0.40X3 +0.2X4=0.2 0.2X1 + 0.60X2 + 0.30X3+0.4X4>0.3 0.4X1 + 0.15X2 + 0.25X3 + 0.3X4>0.2 X1s0.3 X2s0.4 X1+ X2 + X3 + X4= 1 X1, X2, X3, X4>0 3.Unacompaaproducedossalsasparacarne,laaromticaDiabloylasuaveBarnRojo. EstassalsasseobtienenmezclandodosingredientesAyB.Sepermiteciertonivelde flexibilidad en la frmula de estos productos. De hecho las restricciones son: La Barn debe contener un mximo del 75% del ingrediente A;La Diablo debe contener por lo menos 25% de A y por lo menos 50% de B. 36 Se pueden vender ms de 40 cuartos de A y 30 cuartos de B.La compaa puede vender la salsa que produzca al precio por cuarto de $ 3.35 La Diablo y $ 2.85 la Barn Rojo. A y B cuestan $ 1.60 y $ 2.95 por cuarto respectivamente se desea maximizar el ingreso neto por venta de las salsas. Formule el problema como programa lineal. Solucin X1 = Produccin en cuartos de salsa Diablo X11 = Cantidad de ingredientes A para la salsa Diablo X12 = Cantidad de ingredientes B para la salsa Diablo X2 = Produccin en cuartos de salsa Barn Rojo X21 = Cantidad de ingredientes A para la salsa Barn Rojo X22 = Cantidad de ingredientes B para la salsa Barn Rojo La funcin objetivo es: Max.Z=3.35X1 +2.85X2- 1.60 [X11 + X21]-2.95 [X12+X22] Las restricciones (1) y (2) son: X2s0.75X21 X1>0.25X11 X1>0.50X12 Otras restricciones: X11 + X21>40 X12 + X22>30 X11 + X12 = X1 X21 + X22 = X2 X1, X11........, X22>0 4.La Universidad de Chicago est planeando poner fertilizantes al pasto en el rea de patios a la entradadelaprimavera.Elpastonecesitanitrgeno,fsforoypotasaalmenosenlas cantidades dadas en la fig. Estn disponibles tres clases de fertilizantes comerciales;en la fig. 2sedaelanlisisylospreciosdeellos.Formuleunmodelodeprogramacinlinealpara determinar cunto de cada fertilizante deben comprar para satisfacer los requerimientos a un costo mnimo Requerimientos de Pasto 37 MineralPeso mnimo (lb) Nitrgeno Fsforo Potasio 10 7 5 Caractersticas de los fertilizantes Fertilizantes Contenido de Nitrgeno (lb.) Contenido de Fosforo (lb.) Contenido de Potasio (lb.) Precio ($/lb.) I2510510 II105108 III51057 Solucin Xi= Cantidad de fertilizantes i (i = 1,2,3) dado en fraccin de unidad. Min Z=10X1 + 8X2 + 7X3 Sujeto a: 25X1 + 10X2 + 5X3>10 10X1 + 5X2 + 10X3>7 5X1 + 10X2 + 5X3>5 X1 + X2 + X3 = 1 X1, X2, X3>0 5.Un vinatero desea mezclar vinos de 5 aos diferentes i= (1,.., 5) para hacer tres tipos de vinos mezclados.La oferta disponible (en galones) de vino del ao i es Si, i = 1,2,....,5.La mezcla 1 se considera especial, por lo que no se producirn ms de 100 galones.En la figura se dan las restricciones de cada una de las mezclas.Se pide formular un programa lineal. Datos Para La Mezcla De Vinos 38 MezclaRestriccin Beneficio (P/Galn) 1 Porlomenosel60%debe provenirdelosaos1y2y no ms del 10% de losaos 4 y 5. C1 2 Almenosel50%debe provenir de losaos 1,2 y 3 C2 3No ms del 50% del ao 3C3 Solucin Xj=Cantidad de galones de vino de la mezcla j (j = 1,2,3) Xij =Cantidad de galones de vino del ao i y de la mezcla j (i = 1.....5) Max.Z= C1 X1+C2 X2+C3 X3 Sujeto a: Restricciones debidas a las mezclas (ver figura) X11 + X21>0.6X1 X41 + X51s0.1X1 X12 + X22 + X32>0.5X2 X33s0.5X3 Restricciones debido a la oferta disponible y los componentes de las mezclas: X11+ X12 + X13sS1 X21+ X22 + X23sS2 X31+ X32 + X33sS3 X41+ X42 + X43sS4 X51+ X52 + X53sS5 X1s100 Finalmente las restricciones debido a las componentes de las mezclas: 39 X11+ X21+ X31+ X41+ X51= X1 X12+ X22+ X32+ X42+ X52= X2 X13+ X23+ X33+ X43+ X53= X3 X11, X12,..............., X1, X2, X3>0 6.Un fraccionador de whisky importa el licor en tres distintas graduaciones A, B, y C. Mediante la mezcladeestosdeacuerdoasusfrmulas,seobtieneloswhiskysdecalidades comercializablesESCOCS,KILTyTARTAN.Lascitadas frmulasespecificanlassiguientes relaciones entre los elementos a mezclar. MARCA ESPECIFICACIONES PRECIODE VENTA ESCOCS Nomenosdel60% de A Nomsdel20%de C 680 KILT Nomsdel60%de C Nomenosdel15% de A. 570 TARTAN Nomsdel50%de C 450 Se conocen asimismo, las disponibilidades y precios de los licores A, B, y C. TIPO LITROS DISPONIBLES PRECIO DE COSTO $/LITRO A B C 2000 2500 1200 700 500 400 Se desea definir la composicin de cada marca maximizar el beneficio. 40 Solucin Xi= Cantidad de litros de whisky de calidad ESCOCS, KILT, TARTAN, (i=1, 2, 3) Xij =Cantidad de litros del licor j (j = A, B, C) que intervienen en preparar whisky. Max z = 680X1 + 570X2 + 450X3 - 700(X11 + X21 + X31) - 500(X12 + X22 + X32) - 400(X13 + X23 + X33) ESCOCS X11>0.60X1 X13s0.20X1 X11 + X21 + X13 = X1 KILT X23s0.60X2 X51>0.15X2 X21 + X22 + X23 = X2 TARTAN X33s0.5X3 X31 + X32 + X33 = X3 Disponibilidad de los licores A, B, C. X11 + X21 + X31s2,000 X12 + X22 + X32s2,500 X13 + X23 + X33s1,200 X1, X11,, X33>0 7.Unacompaapetroleraproducedostiposdegasolinaquevendea18y21centavosde dlar por galn. La refinera puede comprar cuatro diferentes crudos con los siguientes anlisis y costos: CrudoABCD 10.800.100.100.14 20.300.300.400.10 30.700.100.200.15 40.400.500.100.12 41 La gasolina cuyo precio de venta es 21 centavos de dlar por galn debe tener cuando menos 60% de A y no ms de 35% de B. La de 18 centavos de dlar por galn no debe tener ms de 30% de C. En el proceso de mezclado se pierde, por evaporacin 2% de A y 1% de B y C. Demustrese como se determinan las cantidades relativas de crudo que se deben utilizar. Solucin

=Cantidad de crudo i (i=1, 2, 3) que intervienen en la gasolina j(j=1, 2) La funcin objetivo es: Min. Z = 0.14(X11 + X12)+ 0.10(X21 + X22) + 0.15(X31 + X32) + 0.12(X41+X42) Paradeterminarlas cantidadesdecrudoautilizarsepartedelaproduccindeungalnde gasolina de cada tipo. Como en el proceso de mezclado se pierde por evaporacin parte de los elementos A, B, C; seregistraacontinuacinlosporcentajesquequedandecadaelementoylasumatotalde estos componentes. CrudoABCD 10.7840.0990.0990.982 20.2940.2970.3960.987 30.6860.0990.1980.983 40.3920.4950.0990.986 Porejemplo:elcrudo1antesdelprocesotieneel80&delelementoA,enelprocesode mezclado pierde el 2% de A por evaporacin, entonces queda slo: 0.80 x 0.98 = 0.784% de A. Finalmente sumando los porcentajes da como resultado 0.982. 0.982X11 + 0.987X21 + 0.983X31 + 0.986X41 = 1 0.982X12 + 0.987X22 + 0.983X32 + 0.986X42 = 1 Caractersticas de la gasolina tipo 2: 0.784X12 + 0.294X22 + 0.686X32 + 0.392X42> 0.60 (0.982X12 + 0.987X22 + 0.983X32 + 0.986X42) 0.099X12 + 0.297X22 + 0.099X32 + 0.495X42s 0.35 (0.982X12 + 0.987X22 + 0.983X32 + 0.986X42) 42 Caractersticas de la gasolina tipo 1: 0.099X11 + 0.396X21 + 0.198X31 + 0.099X41s 0.30 (0.982X11 + 0.987X21 + 0.983X31 + 0.986X41) 8.Una fbrica de vidrio produce dos tipos de vidrio para uso industrial que se hacen a base de Borosilicato de Plomo y, la mayor parte de las veces, a base de sustitutos. La empresa tiene almacenado Slice, Plomo, Brax y pedecerade vidrio,y dispone dedos mezcladoras y dos hornosparaprepararsusproductos,cadatipodevidrioseprocesaencualquieradelas mezcladorasyencualquierhorno.Todoelvidrioplanoselaminaenlamismamquinade modoquenoesnecesarioconsiderarestaoperacin.Losproductosylosfactoresde produccin estn relacionados como se muestra en lassiguientes tablas: Materia Composicin (Tn)Abastecimiento (Ton) Costo (Ton)Vidrio 1Vidrio 2 Brax (A)0.10.225000100 Plomo (B)0.10.235000300 Silice (C)0.80.55000060 Pedecera (D) 0.00.11500030 Mquina Composicin (Tn) Capacidad (Hor) Costo Variable (Ton) Vidrio 1Vidrio 2 Mezcladora L 0.40.2200030 Mezcladora M 0.10.2100050 Horno X0.20.4200040 Horno Y0.50.2180030 Los tipos de vidrio no se pueden sustituir uno con otro, por lo que es necesario producir cuando menos 100 toneladas de cada tipo para pedidos especiales. Si el precio de venta del vidrio 1 es de $ 200 la tonelada y el vidrio 2 es de $ 300 la tonelada. Formule el problema como un modelo de programacin lineal para programar la produccin de los tipos de vidrios. Solucin 43 Xi= Toneladas del vidrio tipo i (i = 1,2)Xij = Toneladas de vidrio tipo y que procesa la mezcladora L o M (j=L,M) Xijk=Toneladasdelvidriotipoyqueluegodeprocesarenlamezcladorajpasaa continuacin al horno K (K= X, Y). Restricciones de la Materia Prima: 0.1X1+0.2X2s25,000 0.1X1+ 0.2X2s35,000 0.8X1+ 0.5X2s50,000 0.1X2s15,000 Del grfico se desprender las siguientes restricciones: X1= X1L+X1M X1L= X1LX+ X1LY X1M= X1MX+ X1MY X2= X2L +X2M X2L= X2LX+ X2LY X2X= X2MX+ X2MY Restricciones del proceso de las mezcladoras: 0.4X1L+0.2X2Ls2,000 0.1X1M+0.2X2Ms1,000 Restricciones del proceso de los hornos: 0.2[X1LX + X1MX] + 0.4 [X2LX + X2MX]s2,000 0.5[X1LY + X1MY] + 0.2 [X2LY + X2MY]s1,800 Condiciones deProduccin: X1>100 X2>100 X1, X2,......, X2LM, X2MY>0 La produccin ptima se logro con la siguiente funcin objetivo: 44 HarinaCal Maiz CarnePollo Max Z = 200 X1 + 300 X2 - 100[0.1 X1 + 0.2 X2] - 300[0.1 X1 + 0.2 X2] - 60[0.8 X1 + 0.5 X2] - 30[0.1 X2]-30[0.4X1L+0.2X2L]-50[0.1X1M+0.2X2M]-40[0.2(X1LX+X1MX)+0.4(X2XL+X2MX)]- 30[0.5(X1LY + X1MY) + 0.2 (X2LY + X2MY)] 9.Un molino agrcola produce alimento para ganado y alimento para pollos.Estos productos se componende3ingredientesprincipales,asaber:maz,calyharinadepescado.Los ingredientes contienen dos tipos principales de nutrientes por libra de cada ingrediente. NUTRIENTESINGREDIENTES Protenas de calcio MazCalHarina 251525 153020 El contenido de protena en el alimento para ganado debe estar en el intervalo [18- 22] por libra, el contenido de calcio en el mismo alimento debe ser mayor o igual que 20por libra.De igualmanera,enelalimentoparapolloselcontenidodeprotenasyelcontenidodecalcio debenestarenlosintervalos[20-23]y[20-25],respectivamente.Supngasequese dispone de 3000, 2500 y 100 libras de maz, cal y harina de pescado es, respectivamente.El precio por libras de maz, de cal y la harina de pescado es, respectivamente de $0.10, $0.10 y $0.80. El ganado requiere de 4000 lb. de alimento, mientras que los pollos requieren 2000 lb. Formlese el problema de mezclado con el objeto de minimizar el costo. Solucin Elproblemaesvisualizadoenlafigurasiguiente,dedondeaxij,comolacantidaddelibras del ingrediente i, (i= 1,2,3),asignadas al alimento j, (j=1,2). Se tiene las siguientes restricciones: Disponibilidad de ingredientes 45 X11+ X12=3000 X21+ X22=2500 X31+ X32=100 Requerimientos de alimentos: X11+ X21+ X31s4000 X12+ X22+ X32s2000 Contenido de Nutrientes: 2225 15 251831 21 1131 21 11s+ ++ +sX X XX X X 2320 30 152031 21 1131 21 11s+ ++ +sX X XX X X 31 21 1131 21 1125 15 2520X X XX X X+ ++ +s 2520 30 152031 21 1131 21 11s+ ++ +sX X XX X X La funcin objetiva es expresada como: Min Z = 0.10X11 + 0.10X12 + 0.10X21 + 0.10X22 + 0.8X31 + 0.8X32 El programa lineal puede quedar como: Min Z = 0.10X11 + 0.10X12+ 0.10X21 + 0.10X22 + 0.8X31 + 0.8X32 Sujeto a: X11+ X12=3000 X21 + X22=2500 X31 + X32=100 X11 + X21+ X31s4000 X12 +X22+X32s2000 46 3X11 - 7X21+3X31s0 7X11 - 3X21 + 7X31>0 -5X11+10X21>0 2X128X22+2X32s0 5X125X22+5X32>0 -10X12 +5X225X32s0 -5X12+10X22s0 Xij> 0 Comolasumadedisponibilidadesmenorquelasumaderequerimientos(esdecir,nose puede cumplir con la produccin deseada), se ha forzado las restricciones de disponibilidad a ser de igualdad ( en vez de menor igual) y las de requerimiento a menor o igual ( en vez de mayor igual). 10. Todo el acero producido por Steelco tiene que cumplir con las siguientes especificaciones: 3.2% a 3.5% de carbono, 1.8 a 2.5% de Silicio, 0.9 a 1.2% de nquel, Resistencia a la traccin de por lo menos 45 000 lb/pulg2. Steelco produce acero mezclando dos aleaciones. El costo y las propiedades de cada aleacin se dan en la Tabla mostrada. Supngase que se puede determinar la resistencia a la traccin de una mezcla promediando las resistencias de las aleaciones que se mezclan. Por ejemplo, una mezcla de una tonelada que se compone de 40% de la aleacin 1 y de 60% de la aleacin 2,tieneunaresistenciaalatraccinde0.4(420000)+0.6(50000).Utilicelaprogramacin lineal para determinar cmo minimizar los costos de produccin de una tonelada de acero. Aleacin 1Aleacin 2 Costo por tonelada ($)190200 Porcentaje de Silicio2 %2.5 % Porcentaje de Nquel1 %1.5 % Porcentaje de Carbono3 %4 % Resistenciaala Traccin(lb/pulg2) 4200050000 Solucin 47

= cantidad de aleacin i, (i = 1,2) Componentes Tipo de AleacinEspecificacin Aleacin 1Aleacin 2% Silicio22.51.8 2.5 Nquel11.50.9 1.2 Carbono343.2 3.5 Costo($)/ Ton 190200 Min Z = 190X1 + 200X2 Sujeto a: 0.02 X1+0.025 X2s 0.025 0.02 X1+ 0.025 X2> 0.018 0.01 X1+ 0.015 X2s0.012 X1+ X2=1 0.01 X1+0.015 X2>0.009 0.03 X1+ 0.04 X2s0.035 0.03 X1+ 0.04 X2>0.032 [X1/(X1 + X2)] (42000) + [X2/(X1 + X2)] (50000)>450000(*) Simplificando (*) 3000 X1- 5000 X2 = 0 X1, X2>011. Feedcoproducedostiposdealimentosparaganado.Ambosproductosestnhechos completamente de trigo y de alfalfa. El alimento 1 debe contener por lo menos 80% de trigo, y el alimento 2 por lo menos 60% de alfalfa. El alimento 1 se vende a 1.50 U$ / lb, y el alimento 2 a 1.30 U$ / lb. Feedco puede comprar hasta 1000 lb de trigo a 0.50 U$ / lb y hasta 80 lb de alfalfa, a 0.40 U$ / lb. La demanda de ambos tipos de alimento no tiene lmite. Formule un P.L. para maximizar las ganancias de Feedco. 48 Solucin Insumos Alimento 1 Alimento 2 Compra max (lb) Precio($ / lb) Trigo>= 80%>= 40%10000.50 Alfalfa 0.8 X21 X22> 0.6 (X12 + X22)0.4X22> 0.6 X12 Max Z = 1.5(X11 + X21) + 1.30(X12 + X22) - 0.5(X11 + X12) - 0.4(X21 + X22) Sujeto a: X11+X12s1000 X21+X22s800 0.2X11-0.8X21>0 0.4X22-0.6X12>0 12. Feedco decidi otorgar a su cliente (supngase que hay solamente un cliente) un descuento, dependiente de la cantidad comprada. Si el cliente compra ms de 300 lb del producto 1, se le vendercadalibraquerebaselasprimeras300lb,asolo1,25dlares.Similarmente,siel cliente compra ms de 300 lb del producto 2, se le vender cada libra que rebase las primeras 300lb,aslo1,00dlar.ModifiqueelPLdelproblema11paratomarencuentalos descuentos por la cantidad comprada. (Sugerencia: defina variables para el alimento vendido a cada precio). Solucin 49 Si la compra es mayor de 300 lbPrecio de venta ($ / lb) Alimento 11.25 Alimento 21.00 Xij: Cantidad de j (j =T, A) en el alimento i (i= 1, 2) Yi: Cantidad producida de alimento i (i = 1, 2) Yij: Cantidad vendida de alimento i (i = 1, 2) con precio j (j = 1, 2) T: Cantidad comprada de Trigo A: Cantidad comprada de Alfalfa MaxZ =1.5Y11 + 1.25 Y12 + 1.30Y21 +Y22 - 0.5 T - 0.4 A Sujeto a: X1T+X1A=Y1 X2T+X2A=Y2 X1T>0.8 Y1 X2A>0.6 Y2 Ts1000 As800 X1T+X2T=T X1A+X2A=A Y11+Y12=Y1 Y21+Y22=Y2 Y11s300 Y21s300 X1T, X1A,......., Y11, Y22>0 13. Feedcodecidiotorgarasucliente(supngasequehaysolouncliente)undescuento, dependiente de la cantidad comprada. Si el cliente compra ms de 300 lb del producto 1, se le vendercadalibraquerebaselasprimeras300lb,asolo1.25dlares.Similarmente,siel cliente compra ms de 300 lb del producto 2, se le vender cada libra que rebase las primeras 300lb,asolo1.00dlar.ModifiqueelPLdelproblema11paratomarencuentalos descuentos por la cantidad comprada. (Sugerencia: defina variablespara el alimento vendido a cada precio. Solucin(Verificar con el Problema anterior) 50 Sean:i: alimento1, alimento2j: trigo, alfalfa Xij =librasdel alimento i(i=1,2) que contiene el componentej(j =1, 2) Xi =libras de alimento 1 producidos Xj =libras de alimento 2 producidos Y11 = libras de alimento 1 menor a 300 libras Y12 = libras de alimento 1 mayor a 300 libras Y21 = libras de alimento 2 menor a 300 libras Y22 = libras de alimento 2 mayor a 300 libras MaxZ = 1.5Y11+1.25Y12+1.3Y22 - 0.5X11-0.5X21-0.4X12-0.4X22 Sujeto a: X1-X11-X12=0 X2-X21-X22=0 X1-Y11-Y12=0 X2-Y21-Y22=0 Y11s300 Y21s300 Y12>300 Y22>300 X11 -0.8X1>0 X22-0.6X2>0 X11+X21s1000 X12+X22s800 14. Unfabricantedegasolinaparaaviacinvendedosclasesdecombustibles:AyB.El combustible A tiene 25% de gasolina de grado 1, 25% de gasolina de grado 2 y 50% de grado 3.El combustible B tiene 50% de gasolina de grado 2 y 50% de grado 3.. Hay 500 gln/hr. De grado 1 y 200 gln./hrde los grados 2 y3, disponible para su produccin.Los costos son de 30 ctvs. ($0.30) por gln de grado 1, $0.60 por gln de grado 2 y $0.50 por gln. de grado 3.La clase A puede venderse a $0.75 por gln., mientras que la clase B alcanza $0.90/gln. Qu cantidad puede producirse de cada combustible? Solucin 51 La informacin se resume en el siguiente cuadro: Gasolina CombustibleCosto ($ / gl.) Disponibilidad (gl. / hr.)AB Grado 10.25-0.30500 Grado 20.250.500.60200 Grado 30.500.500.50200 Precio ($ / gl) 0.750.90 Sea: X1 =La cantidad de galones a producirse del combustible A X2 =La cantidad de galones a producirse del combustible B La cantidad de gasolina de cada grado a usarse ser: Para el grado 1:0.25X1 Para el grado 2:0.25X1+ 0.50X2 Para el grado 3:0.50X1+0.50X2 Siendo el Costo Total: 0.3(0.25X1) + (0.6)(0.25X1 + 0.5X2) + (0.5)(0.5)(X1 + X2) Y su expresin simplificada: 0475X1 + 0.55X2 Por otro lado, el Ingreso por concepto de las ventas ser: 0.75X1 + 0.90X2 Luego, la funcin Objetivo ser la suma de las contribuciones (utilidad) de cada producto. Max Z = 0.275X1 +0.35X2 Lasrestriccionescorrespondenalalimitacin quesetieneenelusodecada gradode gasolina con respecto a la cantidad disponible, es decir: 52 0.25X1s500 0.25X1+ 0.50X2s200 0.50X1+ 0.50X2s200 X1,......, X2>0 CASO: MODELOS DE TIEMPOS 1.Una cafetera trabaja las 24 horas del da y requiere de contratar una cierta cantidad de mozos para los servicios.Cada mozo trabaja 8 horas consecutivas.Se desea determinar el menor nmero de mozos que debe contratarse para satisfacer los siguientes requisitos. Turno de horas al da Nmero mnimo de mozos 102 1004 206 1408 310 1810 414 2207 518 0212 622 0604 Solucin

= Nmero de mozos contratados en el turno i, (i= 1,..,6) Trminos2610141822 1 2X1 3X2 4X3 5X4 6X6X5 MinZ = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 Sujeto a: 53 Restricciones de personal de mozos en el turno X1 + X6>4 X1 + X2>8 X2 + X3>10 X3+X4>7 X4 + X5>12 X5 + X6>4 Restricciones de signo: X1,X2, X3, X4, X5, X6> 0 2.Una aerolnea desea asignar dos tipos de aviones a tres rutas. Cada avin puede hacer a lo msdosvueltasdiarias.Adems,sedisponedetresavionesdeltipoAy4deltipoB.La capacidad de los aviones del tipo Aes de 140 pasajeros y la de los aviones del tipo B es de 100 pasajeros. Elnmeroesperadodepasajerospordaenlastresrutasesde300,700y220 respectivamente. A continuacin se resumen los costos de operacin por viaje en las diferentes rutas: Tipo de avin Costo de operaciones de una ruta dada 123 A300025002000 B240020001800 Sepideformularelproblemacomounprogramalinealafindeminimizarloscostosde operacin. Solucin XAi=Cantidad de vuelos por da en la ruta i(i= 1, 2, 3) de los aviones tipo A. XBi=Cantidad de vuelos por da en la ruta i(i= 1, 2, 3) de los aviones tipo B. Min. Z =3000XA1 + 2500XA2 + 200XA3 + 2400XB1 + 2000XB2 + 1800XB3 Sujeto a: 54 XA1+ XA2+ XA3s6 XB1+ XB2+ XB3s8 140XA1+100XB1>300 140XA2+ 100XB2>700 140XA3+ 100XB3>220 XA1, XA2,.,XB3>0 3.ElGhotamCityNationalBankabredelunesaviernes,delas9a.m.hastalas5p.m.De experiencias anteriores, el banco sabe que necesita el nmero de cajeras, indicado en la tabla A. El banco contrata dos tipos de cajeras. Las cajeras de tiempo completo trabajan de 9 a 5, loscincodasdelasemana,ytienen1horadedescansoparacomer.( Elbancodetermina cuandounaempleadadetiempocompletopuedecomer,perocadacajeratienequecomer entremediodayla1p.m.oentrela1ylas2p.m.)Selespaga8dlares(incluyendo prestaciones complementarias) por hora (incluyendo la hora de la comida) a las empleadas de tiempo completo. El banco tambin contrata cajeras de tiempo parcial. Cada cajera de tiempo parcialdebetrabajarexactamente3horasconsecutivascadada.Selespaga5dlares/ha unacajeradetiempoparcial(ynorecibenbeneficioscomplementarios).Paraconservaruna calidad adecuada del servicio, el banco ha decidido que se pueden contratar a lo sumo cinco cajeras de tiempo parcial. Formule un PL para cumplir con los requerimientos de las cajeras a un costo mnimo. Resuelve el PL en una computadora. Juegue con las respuestas del PL para determinar una poltica de contratacin que ste cerca de minimizar los costos laborales. TABLA A PERIODO DE TIEMPO CAJERAS REQUERIDAS 09 104 10 113 11 MEDIODIA4 MEDIODIA 016 01 025 02 036 03 048 04 058 Solucin Xi = Nmero de Cajeras a tiempo completo en el turno i (i = 1,4, 5) Yi = Nmero de Cajeras a tiempo parcial en el turno i (i = 1,2, 3, 4, 5, 6) 55 Turnos Cajeras Requeridas en cada periodo de tiempo Periodo de tiempo T1 9 -10 T2 10 11 T3 11 -12 T4 12 -1 T5 1 - 2 T6 2 - 3 T7 3 - 4 T8 4 - 5 Tipo de cajera Tiempo Completo X1X1X1X4X5X1X1X1 Tiempo Parcial Y1Y1Y1 Y2Y2Y2 Y3Y3Y3 Y4Y4Y4 Y5Y5Y5 Y6Y6Y6 Requerimiento 43465688 Min Z = 64X1 + 15Y1 + 15Y2 + 15Y3 + 15Y4 + 15Y5 + 15Y6 Sujeto a: X1 + Y1>4 X1 + Y1 + Y2> 3X1 + Y1 +Y2 + Y3> 4X4 + Y2 + Y3 + Y4> 6 X5 + Y3 + Y4 + Y5> 5X1 + Y4 + Y5 + Y6> 6X1 + Y5 + Y6> 8 X1 + Y6> 8X4 + X5 X1= 0Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5 + Y6s 5 X1, X4, X5, Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6> 0 CASO: PROBLEMAS DE METAS DE TRABAJO 56 1.Un agente vendedor maneja 2 productos. Dicho agente no puede vender ms de 10 unid/mes del producto 1 39 unid/mes del producto 2. Para evitar una multa, el debe vender al menos 24unidadesdelproducto2.Elrecibeunacomisindel10%sobretodaslasventasydebe pagarsuspropiosgastos,lacualseestimaen$1,50porhoragastadaenhacervisitas.El trabajaun mximode80hrs/mes.Elproducto 1sevendeen$150porunidadyrequiereun promediode1,5horasporcadavisita;laprobabilidaddehacerunaventaesde0,5.El producto2sevendeen$70porunidadyrequiereuntiempode30minutosporcadavisita, siendo la probabilidad de hacer una venta de 0,6. Cuntas visitas mensuales debe hacer a los clientes de cada producto? Solucin Xi = Nmero de visitas para vender el producto i. (i = 1,2) LIMITES DE VENTAS: 0.5X1 s10 0.6X2 s39 0.6X2 >24 Tiempo Total de Visitas = Tiempo Disponible: 1.5X1+0.5X2s80 X1, X2>0 Se pide optimizar el nmero de visitas: Max Z = 0.1 [150(0.5) X1 + 70(0.6) X2] - 1.5 [1,5X1+0,5X2] 2.AldenEnterprisesproducedosproductos.Sepuedefabricarcadaproductoencualquierade dosmquinas.EnlatablaA,sedanlostiemposnecesarios(enhoras)paraproducircada producto en cada mquina.Cada mes los clientes estn dispuestos a comprar los productos hastalascantidadesyalospreciosindicadosenlatablaB.Lametadelacompaaes maximizarlosingresosobtenidosmediantelaventadelosproductosdurantelosprximos dos meses.Formule un PL para ayudar alcanzar esta meta. TABLA A 57 MAQUINA 1 MAQUINA 2 Producto 143 Producto 274 TABLA B DEMANDASPRECIO(Dlares) Mes 1 Mes 2Mes 1Mes 2 Producto 11001905512 Producto 21401306532 Solucin Sea: Xijk= Cantidad de producto i, fabricado en maquina j, en el mes k (i,j, k =1, 2) Mes 1: 4X111+7X211s500 3X121+4X221s500 Mes 2: 4X112+7X212s500 3X122+4X222s500 Sea: Cik = La cantidad de producto i, vendida en el mes k (i, k= 1, 2) Nik = La cantidad de producto i, que no se vende en el mes k(i, k =1, 2) Est sujeta a las siguientes restricciones: X111 + X121 = C1 +N11 C11s 100 X211 + X22 = C21 + N21 C21s 140 58 X112 + X122 + N11 = C12 + N12 C12s 190 X212 + X222 + N21 = C22 + N22 C22s 130 Luegola funcinobjetivovieneaserlamaximizacindelaventadelosproductosdurante los prximos dos meses. Max z = 55C11 + 65C21 + 12C12 + 32C22 CASO: PROBLEMAS DE DISTRIBUCIN DE TIERRAS 1.Unaempresaagrcolaexplotaunafincade200Ha.,deregado,quepuedededicarseen principioadoscultivosC1yC2.Losingresosycostosvariablesporhectreasparacada cultivo figuran en la siguiente tabla: ElcultivoC1puederepetirseindefinidamentetodoslosaosenlamismaparcela;encambioel cultivo C2 ha de implementarse en parcelas que el ao anterior llevaron otro cultivo; pues sino se sigue esta norma tcnica (rotacin de cosechas), disminuirn apreciablemente los rendimientos. El agua para riego es de 1 lt/seg. y por hectrea, es decir 610,000 m2 al mes para toda la finca. Las necesidades de agua de los cultivos en el mes prximo: Cultivo C1 = 3.000 m3/Ha. Cultivo C2 = 4.000 m3/Ha. LacosechaC2solotienesalidaenelmercadolocal,quepuedeabsorbercomomximola produccin de 60 Ha. de dicho cultivo. Cultivo Ingresos(S/. / Ha) Costos Variables (S/. / Ha) Cultivo C114.0006.000 Cultivo C215.0006.000 59 El fin de la programacin es, en este caso, determinar la superficie, que deben cultivarse C1 y C2 para que el beneficio sea mximo. Solucin Xi = Nmero de hectreas para el cultivo i (y =1,2) Max Z = 14000X1 + 15000X2 6000X1 6000X2 Sujeto a: X1 + X2 = 200 X2s X1 3000X1 + 4000X2s 610000 X2< 60X1, X2> 0 2.La CanadianParksComission vigila dos terrenos. El terreno 1 est formado de 300 acres y el terreno 2 por 100 acres. Se puede utilizar cada acre del terreno 1 para abetos, la caza o para ambascosas.Sepuedeutilizarcadaacredelterreno2paraabetos,paraacamparopara ambascosas.Enlatabla,sedaelcapital,(encientosdedlares)Ylamanodeobra(das hombre)quesenecesitanparamantenerunacredecadaterreno,ylaganancia(milesde dlares)poracre,paracadausoposibledelsuelo.Sedisponeuncapitalde150000y200 das-hombredetrabajo.Cmosetienequeasignarelsueloalosusosdiferentes,para maximizar la ganancia recibida de los dos terrenos? Capital Mano de obra Ganancia Terreno 1 Abetos Terreno 1 Caza Terreno 1 Ambas cosas Terreno 2 Abetos Terreno 2 Acampar Terreno 2 Ambas cosas 3 3 4 1 30 10 0.1 0.2 0.2 0.05 5 1.01 0.2 0.4 0.5 0.06 0.09 1.1 60 Solucin Xij = # de acres del terreno i (1 ,2) para la actividad j (1, 2, 3) Max Z = 0.2X11 + 0.4X12 + 0.5X13 + 0.06X21 + 0.09X22 + 1.1X23 Sujeto a: X11 + X12 + X13 = 300 X21 + X22 + X23 = 100 300X11 + 300X12 + 400X13 + 100X21 + 3000X22 + 1000X23s 1500000.1X11 + 0.2X12 + 0.2X13 + 0.05X21 +5X22 + 1.01X23s 200 CASO: PROBLEMAS DE TRANSPORTE 1.Una empresa empaca frutas envueltas para regalo de aniversario. Los paquetes son envueltos endostiendasdiferentesdesdelascualessonenviadasacincovendedorasdiferentes.El costo de empacar los productos en las tiendas 1 y 2 es de $ 5.25y$ 5.70respectivamente, las predicciones de la empresa sobre la demanda indica que los embarques deben ser como se indica en la Tabla 1. La capacidad de empaque de la tienda 1 es de 20,000 paquetes y la tienda2de12,000.LoscostosdedistribucindesdelasdostiendassedanenlaTabla2, formuleunmodelodeprogramacinlinealparadeterminarcuntospaquetesdebeenviarla empresa desde cada tienda a cada vendedor. DEMANDA DE LOS MAYORISTAS Vendedor Mayorista 12345 Embarques requeridos 4,0006,0002,00010,0008,000 COSTOS DE DISTRIBUCION De la tienda Al vendedor mayorista 12345 10.060.040.120.120.05 20.150.090.050.080.08 61 Solucin Xij=Cantidad de paquetes entregados por la tienda i al vendedor j (i = 1,2) (j = 1,2,3,4,5 ). Se debe minimizar el costo del paquete y distribucin de las tiendas a los vendedores. MinZ = 5.31X1 1 + 5.29X12 + 5.37X13 + 5.37X14 + 5.3X15 + 5.85X21 + 5.79X22 + 5.75X23 + 5.78X24 + 5.78X25 Sujeto a: X11 + X12 + X13 + X14+ X15 s 20,000 X21 + X22 + X23 + X24 + X25s 12,000 X11 + X21> 4,000 X12 + X22>6,000 X13 + X23> 2,000 X14 + X24> 10,000 X15 + X25> 8,000 X11............X25>0 CASO: PROBLEMA DE POLTICAS Y PRSTAMOS BANCARIOS 1.Tengoahora$100.Durantelosprximos3aossetieneproyectadorealizarlas siguientes inversiones: Inversin A:Cada dlar invertido ahora produce $0.10 dentro de 1 ao y $1.3 dentro de 3 aos. Inversin B: Cada dlar invertido ahora produce $0.2 dentro 1 ao y 1.1 dentro de 3 aos. Inversin C: Cada dlar invertido dentro de 1 ao, producir $1.5 dentro de 3 aos. Cada ao se puede colocar el dinero no invertido en fondos del mercado de dinero, lo que produce6%deintersanual.Sepuedecolocaraloms50%encadaunadelas inversiones A, B, C. Formule un P.L para maximizar efectivo en caja dentro de 3 aos. Solucin Xij= Inversin de tipo i en el ao j, (i = A, B, C; j = 1,2,3) Xi = Inversin de tipo i para 3 aos XFj = Cantidad no invertida en elao j. 62 AO 1 XA1 +XAs 50 XB1 + XB s 50 XA1 + XA + XB1 + XB + XF1 = 100 AO 2 Dinero disponible:1.1XA1+1.2XB1+1.06XF1 XA2 + XB2 + XC + XF2 = 1.1XA1 + 1.2XB1 + 1.06XF XA2s 0.5 (1.1XA1 + 1.2XB1 + 1.06XF1) XB2s 0.5 (1.1XA1 + 1.2XB1 + 1.06XF1) XCs 0.5 (1.1XA1 + 1.2XB1 + 1.06XF1) AO3 Dinero disponible: 1.1XA2 + 1.2XB2 + 1.06XF2 XA3 + XB3 + XF3 = 1.1XA2 + 1.2XB2 + 1.06XF2 XA3s 0.5 (1.1XA2 + 1.2XB2 + 1.06XF2) XB3s 0.5 (1.1XA2 + 1.2XB2 + 1.06XF2) Al final de tercer ao: Max Z = 2.3XA + 2.1XB + 2.5XC + 1.1XA3 + 1.2XB3 + 1.06XF3 CASO: PROBLEMAS DE RESIDUO DE CORTE 1.Un fabricante de lminas metlicas recibe un pedido para producir 2000 lminas de tamao 2 x4 y 1000 lminas de tamao 4 x 7. Se dispone de dos lminas estndar de tamaos 10 x3000y11x2000.ElpersonaldeldepartamentodeIngenieradecidequelostres siguientes patrones de corte son adecuados para satisfacer el pedido. Formularelproblemacmounprogramalinealparasatisfacerelpedidoyminimizarel desperdicio. 63 Solucin X = Nmero de lminas del patrn 1 extradas de la lmina de 11 x 2000. Y= Nmero de lminas del patrn 2 extradas de la lmina de 10 x 3000. Z1 = Nmero de lminas del patrn 3 extradas de la lmina de 10 x 3000. Z2 = Nmero de lminas del patrn 3 extradas de la lmina de 11 x 2000. Considerando que cada 4 se efecta un corte de cada una de las lminas estndar, se tiene: Patrones extrados de las lminas 11 x2000 y10 x3000 X + Z2s 500 Y + Z1s 750Lminas de 2 X 4 Y 4 X 7: 2X + Y + 5Z1 + 5Z2> 2000X + Y > 1000 X, Y, Z1, Z2> 0 Se entiende por desperdicios a los residuos que son generados a partir de la confeccin de los patrones 2 y 3. MaxZ = Y + Z2 2.Una papelera produce papel en bobinas de un ancho definido por las caractersticasde sus equiposdeproceso.Deacuerdoalapolticadeventasdelacompaa,adeterminados compradoresselespreparanbobinasdeunanchomenoraldelasbobinasestndar,porlo cual sta debe ser cortada para satisfacer la demanda. Laempresadeseahacerlacantidadtotalderecortesdesechablestanpequeacomosea posible. Elcasoenestudiopresentaunaproduccindebobinasde215cm.Deancho,debindose cumplir con los siguientes pedidos: LONGITUDDELPEDIDO (m) ANCHO (cm) 18,000 9,000 9,000 64 60 35 64 Seaclaraqueloscortesdebenefectuarseensentidolongitudinalyquelosmismosno necesitan estar formados por una sola tira. Solucin Se debe establecer los posibles patrones de corte, o sea las distintas maneras que se ha de cortar la bobina a fin de satisfacer los pedidos. = Longitud de la tira en metros del patrn i 646035 Ancho Del Recorte X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 3 2 2 1 1 1 - - - - 1 - 2 1 - 2 3 - - - 2 - 2 4 2 1 6 23 27 17 31 21 11 25 -- 5 Ejemplo Del Primer Patrn: X1 Tiras de 64 cm. de ancho: 3X1 + 2X2 + 2X3 + X4 + X5 + X6> 18000 Tiras de 60 cm. de ancho: X2 + 2X4 + X5 + 2X7 + 3X8> 9000 LONGITUD (m) ANCHO (cm) 65 Tiras de 35 cm. de ancho: 2X2 + 2X5 + 4X6 + 2X7 + X8 + 6X9> 9000 X1,.., X9> 0 66 1.3 PROBLEMAS DE PROGRAMACIN LINEAL PREPARADOS CON LINGO 1.UnacompaaelaboradosproductosP1yP2,cadaunorequiereecomponentesC1yC2,la disponibilidad de los componentes y precio de venta de muestra en el siguiente cuadro: ProductoComponentesPrecio de Venta (S/./Unidad)C1C2 P1124 P2313 Dispone1500010000 Se pide formular el problema y optimizar el ingreso de ventas: Solucin: !PROBLEMA N1; !PROD=TIPO DE PRODUCTOPV=PRECIO DE VENTA DE PRODUCTO; !COM=COMPONENTESDISP=DISPONIBILIDAD DE LOS COMPONENTES; !CANT=COMPONENTES PARA CADA PRODUCTOX=CANTIDAD DEL PRODUCTO(1,2); SETS: PROD/1..2/:PV,X; COM/1..2/:DISP; MATRIZ(PROD,COM):CANT; ENDSETS DATA: PV=4,3; DISP=15000,10000; CANT=1,2, 3,1; ENDDATA MAX=@SUM(PROD:PV*X); @FOR(COM(J):@SUM(PROD(I):CANT(I,J)*X(I))=10 Turno 4:X3 + X4>=7 Turno 5:X4 + X5>=12 Turno 6:X5 + X6>=4 !HORAS=TUENOX=CANTIDAD DE PERSONAL POR TURNO; !PERS=PERSONALMIN=PERSONAL MINIMO; !CANT=PERSONALPORTURNO(1=EXISTEPERSONALENELTURNO,0=NOEXISTE PERSONAL EN EL TURNO); SETS: HORAS/1..6/:X; PERS/1..6/:MIN; MATRIZ1(HORAS,PERS):CANT; ENDSETS DATA: MIN=4,8,10,7,12,4; CANT=1,1,0,0,0,0, 0,1,1,0,0,0, 0,0,1,1,0,0, 77 0,0,0,1,1,0, 0,0,0,0,1,1, 1,0,0,0,0,1; ENDDATA MIN=@SUM(HORAS:X); @FOR(PERS(J):@SUM(HORAS(I):CANT(I,J)*X(I))>=MIN(J)); END MIN X( 1) + X( 2) + X( 3) + X( 4) + X( 5) + X( 6) SUBJECT TO 2]X( 1) + X( 6) >= 4 3]X( 1) + X( 2) >= 8 4]X( 2) + X( 3) >= 10 5]X( 3) + X( 4) >= 7 6]X( 4) + X( 5) >= 12 7]X( 5) + X( 6) >= 4 END 13. Sedeseaninvertir2mildlaresen6tiposdeinversincuyascaractersticassonlas siguientes: Tipode Inversion Interes Anual (%) Factorde Riesgo Plazo promedio de inversion 18.50.028 290.012 38.50.385 414.30.456 56.70.072 6130.354 El factor de riesgo significa la probabilidad de que el rendimiento real sea inferior al esperado. Se considera ventajoso un perodo promedio ponderado de inversin de ciando menos 5 aos; pero el factor promedio ponderado de riesgo no debe ser superior a0.20. La ley prohbe que la suma de las inversiones de los tipos 4 y 6 sea mayor al 25% del total de la inversin. Con P.L formule un modelodeP.Lparadecidircmoinvertirparamaximizarelrendimientodelos2millonesde dlares. 78 !TIPO=TIPO DE INVERSIONINV= INVERSION SUJETA A FACTORES; !INT=INTERES ANUAL X=CANTIDAD DE DOLARES A INVERTIR EN LA INVERSION; !DAT= CARACTERISTICAS; SETS: TIPO/1..4/:INV; CAR/1..6/:INT,X; MATRIZ1(TIPO,CAR):DAT; ENDSETS DATA: INT=8.5,9,8.5,14.3,6.7,13; INV= 2000,400,10000,500; DAT= 1,1,1,1,1,1, 0.02,0.01,0.38,0.45,0.07,0.35, 8,2,5,6,2,4, 0,0,0,1,0,1; ENDDATA MIN=@SUM(CAR:0.01*INT*X); @FOR(TIPO(I):@SUM(CAR(J):DAT(I,J)*X(J))>=INV(I)); END 14. SalvajeOeste produce dos clases de sombrero vaquero. Un sombrero de la clase 1 requiere el doble de mano de obra que uno de la clase 2. Si toda la mano de obra se dedicara solo a la clase2,laempresapodraproducirdiariamente400deestossombreros.Loslmitesde mercado respectivos son 150 y 200 sombreros diarios para esas clases. La utilidad es $8 por cada sombrero de la clase 1, y $5 por cada uno de la clase 2. Solucin: !Rhs=Recursos U=Utilidad de cada sombrero; !Aij=Coeficientes de las variables X= Cantidad de sombreros a producir; SETS: VARI/1..3/:Rhs; VARJ/1..2/:U,X; ConsVar(VARI,VARJ):Aij; ENDSETS 79 DATA: Rhs=400,150,200; U=8,5; Aij= 2,1, 1,0, 0,1; ENDDATA MAX=@SUM(VARJ:U*X); @FOR(VARI(I):@SUM(VARJ(J):Aij(I,J)*X(J))= 400 4]X( C1, Z1) + X( C2, Z1) >= 400 5]X( C1, Z2) + X( C2, Z2) >= 300 6]X( C1, Z3) + X( C2, Z3) >= 200 END 20. (PROPUESTO)En una compaa se fabrican 2 productos S y T, los cuales tiene que pasar por 2 operaciones de manufactura. La primera operacin se realiza en el centro demaquinas 1 o 2;ylasegundaenelcentrodemaquinas3o4.lostiemposdeoperacinporcadaunidad producida,lascapacidadesdedichoscentrosdemaquinaysuscostosporminutose muestran en la tabla. Las necesidades diarias son de 600 unidades para el producto S y 300 unidadesparaelproductoT.Elobjetivoconsisteenencontrarunaprogramacindela produccin que minimice los costos totales. 86 Centrode maquinas 1234 Producto S1061612 Producto T2081210 Capacidad4800360060006000 Costo30503050 21. (PROPUESTO)ABCproducedostiposdeproductos.Sepuedefabricarcadaproductoen cualquieradedosmaquinas.Enlatabla1sedanlostiemposnecesarios(enhoras)para producir cada producto en cada mquina. Cadameshay500horasdetiempodisponibleparacadamaquina.Cadameslosclientes estn dispuestos a comprar los productos hasta las cantidades y a los precios indicados en la tabla 2. La compaa desea maximizar los ingresos obtenidos mediante la venta de productos durante los dos prximos meses y se ha propuesto adems para el mes 2, ofrecer al mercado un nuevo producto que resulta del ensamble de unidades del producto 1 con tres unidades del producto 2, el precio de venta de este nuevo producto es de 280 por unidad y se estima que la demandadeestenuevoproductoseade50unidades.FormuleunPLparamaximizarel ingreso. Tabla 1 Maquina 1Maquina 2 Producto 143 Producto 274 Tabla 2 Demandames 1 Demandames 2 Precio mes 1Precio mes 2 Producto 1100905542 Producto 2140706562 87 22. (PROPUESTO)LaempresaABCrequiereelserviciodecortedeFENIXparalossiguientes meses: MESUNIDADES ENERO840 FEBRERO760 MARZO670 ABRIL1030 El costo normal de corte por unidad es de 18S/. SilasolicituddecortepormesdeABC,bajaconrespectoalmesanteriorABCdeberpagara FENIX S/. 3 adicionales al costo de corte por cada unidad de diferencia y sila solicitud de corte aumenta al mes anterior, ABC deber pagar solo S/. 1 adicional al costo del corte por cada unidad de aumento. Determinar la funcin objetivo que optimice el costo de corte. 88 1.4ASPECTOS DEL ALGEBRA LINEAL Y ANLISIS CONVEXO 1.4.1VECTORES Un vector es un arreglo de n nmeros denotados por: a1 = (a11, a21,. . ., a n-1) llamado vector fila o llamado columna donde n es la dimensin del vector. Ejemplos: a.- (1, 3, -1, 5) es un vector fila de dimensinn = 4. b.- ||.|

\|84es un vector columna de dimensinn = 2 c.-e3 = (0, 0, 1, 0) es un vector unitario de dimensin 4 donde el 1 se ubica en la tercera posicin. d.-0 = ||.|

\|00es un vector cero cuyas componentes son iguales a cero. 1.4.2OPERACIONES CON VECTORES -Suma De Vectores Los vectores de igual dimensin se pueden sumar, ejemplo: a1 =(3, 5, 7) a2 =(4, 2, 1) a3 = a1+ a2 = (7, 7, 8) -Multiplicacin Por Un Escalar Dado un vectora = (a1, a2,. . ., a n) y un escalar k el producto b es:b = a k = (a1k, a2 k..., an k) -Espacio Euclidiano Unespacioeuclidianondimensional,denotadopor nE ,eselconjuntodetodoslos vectores de dimensin n. -Combinacin Lineal 89 Se dice que un vector b en nE es una combinacin lineal de los vectores a1, a2,. . ., a k en nE, si: b ==kjja1, donde 1, 2,. . ., kson nmerosreales. -Vectores Linealmente Independientes Los vectores a1, a2,. . ., a k de dimensin n son linealmente independientes si: 01==kjj ja R ,implica que R j=0 para j = 1, 2,. . ., k Ejemplo: a1 = (3, 5)y a2 = (1, 7), estos vectores son linealmenteIndependientes puesto que: R1 (3, 5) + R2 (1, 7) = (0, 0) (3R1 + R2, 5R1 + 7R2) = (0, 0) 3R1 + R2 = 0 5R1 + 7R2 = 0 La solucin es R1 = R2 = 0 SiparaalgunaR j=R1,R2,...,R kdondenotodossoncerossedicequelosvectoresson linealmente dependientes. Ejemplo: a1 = (3, 5) y a2 = (6, 10) R1 (3,5) + R2 (6, 10) = (0, 0) 3R1 + 6R2 = (0, 0) (1) 5R1 + 10R2 = (0, 0).. (2) De(1)R1=-2R2,siR2=-1entoncesR1=2.Entonceslosvectoresa1ya2sonlinealmente dependientes. 90 BASE Unacoleccindevectoresa1,a2,...,a kformanunabasede nE (espaciondimensional)sise satisfacen las siguientes condiciones: 1.a1, a2,. . ., a kgeneran a nE . 2.Si se elimina cualquiera de estos vectores, la coleccin de vectores restantes no generan nE . 1.4.3MATRICES Una matriz es un arreglo rectangular de nmeros denotados por A =[a i j] mxn donde m = # de filas y n = # de columnas. -Matriz Cero Una matriz A = [a i j ] mxn se llama matriz cero si cada elementos cero.Es decir, a i j = 0. Ejemplo: ((

=0 0 00 0 0A Es una matriz cero de orden 2 x 3. -Suma de Matrices Si A = [ a i j ] y B [ b ij ]son matrices mxn, se llama suma de A y B a otra matrizC= [ c i j ]mxn tal que c i j = a i j + b i jparai = 1, 2, . . .,m yj = 1, 2,. . ., n. Ejemplo: ((

=3 41 3AY ((

=8 68 5B 91 ((

=6 82 62A((

= + =11 109 8B A C -Multiplicacin por un Escalar Sea A = [ a i j ] una matriz mxn y k un escalar entonces k A es una matriz m x n cuyo elemento i j es k x a ij. Ejemplo: 23 41 3=((

= K y A92 -Multiplicacin de Matrices Dos matrices A = [ a i k ] y B[ b k j ] pueden multiplicarse en el orden ABsi el numero de columnas deAesigualalnmerodefilasdeB,estoes, siAesdelorden(mxr) entoncesBesdelorden (rxn). Sea D = AB, entonces D = [d i j] es del orden (mxn) y sus elementos d ij estn dados por: d i j = a i k * b k jPara:i = 1, 2,. . ., m y j = 1, 2,. . ., n Ejemplo: ((((

=1 0 25 2 41 1 1A((((

=100135B ((((

+ ++ + + ++ + =1 1 0 0 0 21 5 0 2 0 41 1 0 1 0 11 1 3 0 5 21 5 3 2 5 41 1 3 1 5 1x x xx x xx x xx x xx x xx x xD ((((

=15111193D -Matriz Transpuesta La matriz AT se denomina transpuesta de A si el elemento a i j de A, es igual al elemento a j i de AT. Ejemplo: ((((

=765432A ((

=7 6 54 3 2TA 93 Para las matrices transpuestas se cumple: (AT)T = A (A + B)T = AT + BT; A Y B con igual nmero de filas ycolumnas. (AB)T = BTAT ( A )T = AT ( es un escalar). -Matriz Identidad SeaA=[a ij]unamatriznxn,sedicequeesunamatrizidentidad,denotadaporI,sitodoslos elementos de la diagonal son iguales auno y todos los dems elementos son iguales a cero. Ejemplo: ((((

=1 0 00 1 00 0 1I Matriz Identidad de orden 3 x 3 -Inversin de Matrices SeaA=[a ij]unamatrizcuadradanxn.SiB=[b ij]esunamatriznxntalqueAB=IyBA=I, entonces B se llama inversa de A. La matrizinversa, si existe, es nica y se denota por A-1. Si A tiene una inversa, entonces A se llama no singular; en caso contrario se llama singular. Una matriz dada A = [a i j] nxn tiene inversa, si y solo si, las filas de A son linealmente independientes o, de manera equivalente, si las columnas de A son linealmente independientes. -Rango de una Matriz Elrangodeunamatrizesigualalnmeromximodefilas(ocolumnas)linealmente independientes. Sea A = [a i j ] mxn una matriz m x n,el rango (A) mnimo (m, n). Si rango (A) = min (m, n) se dice entonces que A es rango completo. 94 METODO DE GAUSS JORDAN PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ Sea la matriz particionada (A | I) donde A = [a i j] es no singular. Remultiplicandoesta matriz por A-1 se obtiene: A-1( A | I ) = ( A-1A | A-1I ) = ( I |A-1 ) Por consiguiente aplicando una sucesinde transformaciones con filas solamente, la matriz A se cambia a I e I se cambia a A-1. Ejemplo: Sea el siguiente sistema de ecuaciones 3x1 +x2= 9 5x1 2x2 = 4 Este es un sistema de la forma AX= b ((

=((

((

492 51 321XX La solucin de X y la inversa de la matriz base pueden obtenerse directamente considerando: (A | I)(x) = b y omitiendo (x) (A | I | b) Multiplicando por A-1 (A-1) (A | I | b) Obteniendo finalmente (I | A-1 | A-1b)Porconsiguiente,aplicandounaoperacindetransformacindefilas,seobtienelassiguientes iteraciones: Para el sistema A x = b, le damos la forma (A | I | b) ((

491 00 12 51 3b I A Iteracin 1: (se divide la primera fila entre 3, al resultado se multiplica por(-5) y se suma a la segunda fila) 1101 3 / 50 3 / 13 / 11 03 / 1 1 95 Iteracin 2: (la segunda fila se divide entre -11/3, al resultado se multiplica por (-1/3) y se suma a la primera fila) 3211 / 3 33 / 1511 / 1 11 / 20 00 1 Esto da X1 = 2yX2 = 3, la inversa de A es: ((

=11 / 3 33 / 1511 / 1 11 / 21A Es til conocer los siguientes hechos sobre inversin de matrices: Si A = [a i j] es no singular, entonces AT = [a i j] tambin es no singular y (AT)-1 = (A-1)T Si A = [a i j] y B = [b i j] son matrices no singulares nxn, entonces AB es no singular y(AB)-1 = B-1A-1. 1.4.4ECUACIONES LINEALES SIMULTNEAS Sean A = [a i j] una matriz m x n y sea el sistema AX = by la matriz aumentada (A, b) con m filas y (n+1) columnas. Si el rango de (A, b) es mayor que el rango de A, entonces b no se puede representar como una combinacin de (A, b) es mayor que el rango de A, entonces b no se puede representar como una combinacinlinealdea1,a2,...,a n,yporlotantoelsistemaAX=bnotienesolucin(yen particular, el sistema AX = b, X 0 no tiene solucin). Si K es el nmero de ecuaciones y n el nmero de incgnitas, entonces: Los casos posibles que pueden ocurrir son: 1.Rango (A, b) >Rango (A). Por lo tanto, AX = b no tiene solucin.2.Rango (A, b) = Rango (A) con k = n, entonces solo existe una solucin para el sistema. 3. Rango (A, b) = Rango (A) con k < n, en consecuencia existe un nmero infinito de soluciones al sistema AX =b Ejemplos: 96 Caso 1: X1 + X2 = 8 2X1 +X2 = 13 3X1 + 2X2 = 15 |||.|

\|15138211321 Restando la tercera fila con la suma de las dos primeras se tiene: |||.|

\| 6138011021 La tercera fila de A es linealmente independiente de las dos primeras, por consiguiente: Rango de (A) = 2 Rango de (A, b) = 3 y AX = b no tiene solucin Caso 2: X1 + X2 = 8 2X1 + X2 = 13 ||.|

\|1381 21 1 Rediciendo filas se tiene: ||.|

\|351 00 1 Por consiguienteX1 = 5YX2 = 3 Caso 3: 97 X1 + X2 + X3= 8 2X1 + X2 = 13 ||.|

\|1380 1 21 1 1 Reduciendo filas se tiene: ||.|

\| 352 1 01 0 1 Sea X3 equivalente a un valor arbitrario, entonces: X1 = 5 + yX2 = 3 - 2. Dado que puede adquirir cualquier valor, se tiene que el nmero de soluciones es infinito. Si se asume que el valor de una de las variables, de lasecuaciones simultneas delcaso 3, es cero se tiene que las soluciones bsicas se reducen a las siguientes: En general, para un sistema de m ecuaciones simultaneas y de n variables, si sehace igual a cero las (n-m) variables se tiene que el nmero de soluciones bsicas es: ( )! !!m n mnCnm= Del ejemplo anterior, m=2 y n=3 el nmero de soluciones es: ( )! 2 3 ! 2! 332= C 1.4.5CONJUNTOS CONVEXOS 98 Un conjunto X en E n se llama convexo, si dados 2 puntos X1 y X2, en X, se cumple que X1 + ( 1- )X2 X, donde 0 1, a esta expresin se le denomina combinacin convexa de X1 y X2. Dichodeotramanera,unaconjuntoXesconvexosiysolosielsegmentodeterminadopor cualquier par de puntos de X est incluido en X. En la siguiente figura se muestra un ejemplo de conjunto convexo y de un conjunto no convexo. Ejemplo: CONJUNTO CONVEXOCONJUNTO NO CONVEXO -Puntos Extremos SeaunconjuntoXen nE ,sedicequelospuntosextremossonaquellosquenopuedenser representados como una combinacin convexa estricta de dos puntos distintos en X. Ejemplo: -Hiperplano Esaquelquedividea nE endosregionesllamadassemiespaciosyademsesunconjunto convexo. -Conjunto Polidrico Es la interseccin de unnmero finito de semiespacios. 99 2.1MTODO GRFICO Consisteenpresentarlarestriccionessobrelosejesdecoordenadas,paradelimitarlaregin donde se encuentran las soluciones factibles (x > 0). Lassolucionesptimasseencontrarnenelpermetrodelconjuntopolidricoformadoporplanos. 2.1.1TIPOS DE SOLUCIONES Regin factible acotada Solucin nica.nico mximo y mnimo. 100 Regin factible no acotada Solucin nica. No puede tener mximo.Un slo mnimo. Solucin mltiple Puntos del segmento AD. Sea el siguiente problema 101 Max Z = 2X1 + 3X2 Sujeto a: 2X1 + X2s 6................. (1) X1 -X2 s 1................. (2) X1, X2>0 Si por el momento se considera a estas desigualdades como igualdades, se obtienen puntos que luego los llevaremos a una grfica, que se muestra en la siguiente pgina. 2X1 + X2 = 6 SiX1 = 0 X2 = 6 SiX2 = 0X1 = 3 X1 -X2= 1 SiX1 = 0 X2 =-1 SiX2= 0 X1= 0 Laorientacindelosplanos,selograasumiendoqueX1=X2=0paracadainecuacin,elvalor ptimodelafuncinobjetivoseobtienereemplazandolosvaloresaceptablesdeX1yX2.Los nmeros en parntesis son las restricciones en la formulacin. X1X2 06 30 X1X2 0-1 10 102 La regin factible, es el rea delimitada por los planos (1) y (2). Ahora interceptamos las ecuaciones (1) y (2), para obtener los valores deX1, X2,convirtiendo las inecuaciones en igualdades. 2X1 + X2 = 6......... (1) X1 - X2 = 1......... (2) X1 = 7/3 X2 = 4/3 ReemplazandolosvaloresaceptablesdeX1yX2,obtenemoselvalordelafuncinobjetivo. Decimosvaloresaceptablesporquestostienenquesatisfacerlascondicionesdelas inecuaciones. Z = 2(7/ 3) + 3(4/ 3) = 26/3 Este valor encontrado es el valor ptimo de la funcin objetivo, que en este ejemplo se presenta como maximizacin. A continuacin veremos otro mtodo para encontrar la solucin de este tipo de problemas. 2.2MTODOSIMPLEX Optimizar: Z = CX Sujeto a: AX = b X0 CB: Coeficientes de las variables bsicas CN: Coeficientes de las variables no bsicas 103 XB: Variables bsicas XN: Variables No bsicas B: Matriz bsica N: Matriz No bsica Entonces si reemplazamos, quedara de la siguiente forma: ||.|

\|=NBN BXXC C Z ) ( Sujeto a: bXXN BNB=||.|

\|) ( -Luego: Z = CB XB + CN XN1 Sujeto a: BXB + NXN = b AcontinuacinmultiplicamosporB-1tantoenlapartederechacomoenlaparteizquierdadela restriccin: B-1(BXB + NXN) = B-1b Resolviendo el siguiente producto: B-1BXB + B-1NXN = B-1b XB = B-1b - B-1NXN.. 2 Sabemos que:XN = 0 Reemplazamos 2 en 1 Z = CB (B-1b - B-1NXN) + CN XN Z = CBB-1b (CBB-1NXN - CN XN) Z = CBB-1b (CBB-1N - CN) XN.3 104 Para un Xj XNse tiene: Z= CBB-1b (CBB-1AN - CN) XN Z=Z0-(

)Xj Sea XK XN Z=Z0-(ZK-CK)XK ZJ=CBB-1AJ Caso 1: Maximizacin ZK-CK=min);Por consiguiente XK es una variable de entrada a la base Caso 2: Minimizacin ZK-CK=max); Variable que sale de la dase (2) XB = B-1b - B-1NXN Para Xk: XB = B-1b - B-1AKXK XB = - YKXK XB1 = - Y1KXK XB2 =2- Y2KXK XBr =r- YrKXK . . XBm = m- YmKXK XK=Min (

) 105 De 3 : Z = CBB-1b (CBB-1N - CN) XN 1Z + 0 XB+ (CBB-1N - CN) XN =CBB-1b 4 De 2: XB = B-1b - B-1NXN 0 Z + 1XB + (B-1N)XN = B-1b......5 De4y 5 : ||.|

\|=|||.|

\|||.|

\| b Bb B CXXZN BC N B CBNBN B1111 00 11 ZXBXNLD Z10CBB-1N - CNCBB-1b XB01B-1NB-1b METODO DE SOLUCION PARA UN ALGORITMO SIMPLEX PararesolverunproblemaLinealserequierepartirdeunasolucinbsicafactible(IXB=b).La matrizidentidad(I)seobtieneagregandovariablesartificialesalasrestricciones,estasvariables formarn la primera base del sistema (XB) y por consiguiente se tendr la primera solucin bsica. VARIABLES DE HOLGURA Es una variable positiva que representa la diferencia entre los dos lados de una restriccin. VARIABLES ARTIFICIALES 106 Despus de introducir las variables de holgura y observar que no existe una submatriz identidad para tener una solucin bsica factible inicial, entonces se introducir variables denominadas como Variables Artificiales para obtener la submatriz identidad. Se va ilustrar con un ejemplo los pasos a dar para la resolucin de un problema. Max Z = 3X1 + 10X2 Sujeto a:2X1 + 3X2s 88X1 + 3X2s 20 X 1,X2> 0 a)Setienequetransformarlasinecuacionesenecuaciones,paralocualintroducimossolo las variables de holgura ya que las restricciones son del tipos. As se tiene: Max Z = 3X1 + 10X2 + 0X3 + 0X4 Sujeto a:2X1 + 3X2 + X3= 8 8X1 + 3X2+ X4 = 20 X 1,X2, X3, X4> 0 X3 y X4 son las variables bsicas, siendo X1 y X2 las variables no bsicas. Se construye la siguiente tabla: ZX1X2X3X4LD Z1-3-10000 X3023108 X40830120 b)Identificacindelavariabledeentradaalabase:Seleccionarlavariablenobsicaque mejore el valor de Z ms rpidamente. -Para la maximizacin se elige la de coeficiente ms negativo (ZJ CJ< 0) -Para la minimizacin se elige la de coeficiente ms positivo (ZJ CJ> 0) -Enelcasodequenoexistanvariablesconcoeficientesnegativosenla maximizacin y positivos en la minimizacin se habr alcanzado la solucin ptima.107 En el ejemplo, la variable X2 es la que tiene el coeficiente ms negativo (-10), por lo tanto se convertira en la variable de entrada. c)Identificacin de la variable de salida de la base: Se denomina variable de salida a aquella variable,cuyovalorseaproximemsrpidamenteoceroamedidaqueelvalordela variabledeentradavayacreciendo,estosehacemedianteelsiguienteprocedimiento algebraico. |||.|

\|> = 0 , minrKrKrKYYbX En el ejemplo: XK = mnimo (8/3 , 20/3) = 8/3 Este resultado indica que la variable de salida es X3 y este lugar es ocupado por la variable X2. ZX1X2X3X4LD Z1-3-10000 X2023108 X40830120 d)Determinacin de la nueva solucin factible bsica: En la tabla, la columna encabezada por la variable de entrada, debe ser un vector unitario, esto se logr mediante operaciones de filas. En el ejemplo: X2Sehadeconvertir en X2 -100 31 30 La transformacin se logr de la manera siguiente: -Se divide la segunda fila entre 3 ( 023108 )x 1/3 108 -Al resultado de la segunda fila se le multiplica por 10 y se suma a la primera fila. ( 02/311/308/3 )x 10 +( 1-3-10 000 ) 111/3 010/3080/3 -Al resultado de la segunda fila se multiplica por (-3) y se suma a la tercera fila ( 02/311/308/3 )x(-3) +( 0 8 3 0120 ) 0 6 0 -1112 Entonces la tabla resultante es como sigue: ZX1X2X3X4LD Z111/3010/3080/3 X202/311/308/3 X4060-1112 Como se puede apreciar en el tablero, no existen variables con coeficientes negativos esto indica que se ha llegado a la solucin ptima. Si hubiese alguna variable con coeficiente negativo se contina con el paso (b) hasta llegar a una solucin ptima. Cuandoexistendesigualdadesdelsentidomayoroigualytambinigualdadesentoncesse preparaelprograma,introduciendovariablesdeholgurayartificialesafindeobteneruna submatriz identidad. Acontinuacinsepresentandosmtodospararesolverproblemasdelascaractersticas precedentes. 2.3 MTODO DE PENALIZACION Para resolver un problema, los pasos que se siguen son: 109 -Obtencin de la submatriz identidad. -Leadicionantambinlasvariablesartificialesenlafuncinobjetivo.ConelcoeficienteM para el caso de maximizacin y +M para el caso de minimizacin. -Se procede a solucionar el problema. Ejemplo: Min Z = 3X1 + 8X2 Sujeto a: X1 + X2 = 200 X1 s 80 X2 > 60 Adicionando las variables de holgura X4 y X5 y las variables artificiales X3 y X6 se tiene: Min Z = 3X1 + 8X2 + MX3 +0X4+0X5+ MX6 Sujeto a: X1 + X2 + X3 = 200 X1 + X4 = 80 X2 - X5 + X6 = 60 X1, X2, X3, X4, X5, X6> 0 ZX1X2X3X4X5X6LD Z1-3-8-M00-M0 X30111000200 X4010010080 X600100-1160

Z1M-3 2M-8 00-M0260M X30111000200 X4010010080 X600100-1160 Z1M-3000M-8 8-2M 140M+480 X3010101-1140 X4010010080 X200100-1160 110 Z10003-MM-8 8-2M 60M+720 X30001-11-160 X1010010080 X200100-1160 Z1008-M-50-M1200 X50001-11-160 X1010010080 X20011-100120 Enelprimer tablerose multiplicaporMlas filas2y3ysesumanala fila1para quese tenga vectores unitarios para las variables X3 y X6. Losresultadossemuestranenelsegundotablero,deallelprocedimientoeseldescrito anteriormente. Comoeneltableronoexistenvariablesconcoeficientespositivos,recordarqueMesunvalor muy grande por tratarse de una minimizacin, se dice que se ha llegado a su solucin ptima. X1 = 80, X2 = 120, ZMIN = 1200 2.4 MTODO DE LAS DOS FASES Para resolver un problema, los pasos que se siguen son: -Obtencin de la submatriz identidad. -Laprimerafaseconsisteenminimizarlafuncinobjetivocompuestadevariablesartificiales has lograr que sean igual a cero. -Lasegundafaseconsisteenlaoptimizacindelafuncinobjetivooriginalenbaseala solucin obtenida en la fase uno. Ejemplo: Con el ejemplo utilizado en el Mtodo de Penalizacin. 111 FASE I:Se tiene que la funcin objetivo para la primera fase es: Min = X3 + X6 Y los tableros correspondientes son: ZX1X2X3X4X5X6LD Z100-100-10 X30111000200 X4010010080 X600100-1160 Z11200-10260 X30111000200 X4010010080 X600100-1160 Z110001-2140 X3010101-1140 X4010010080 X200100-1160 Z1000-11-260 X30001-11-160 X1010010080 X200100-1160 Z100-100-10 X50001-11-160 X1010010080 X20011-100120 Como se observa en ltimo tablero las variables artificiales tienen valor cero lo cual significa que el problema tiene solucin. FASE II:Por consiguiente la segunda fase comprende de la funcin objetivo inicial y la informacin de las variables bsicas del ltimo tablero de la primera fase donde, si se desea, se puede omitir la informacin referente a las variables artificiales. 112 ZX1X2X3X4X5X6LD Z1-3-8 00 0 X5000-1160 X10101080 X2001 -10 120 Z100 -50 1200 X5000 -11 60 X10101080 X2001 -10 120 Del tablero se observa que: X1 = 80,X2 = 120,ZMIN = 1200 3.1DUALIDAD: UN ENFOQUE CONCEPTUAL Cuando se asocia un Problema Lineal (PL), con otro Problema Lineal se llama Dualidad. Conocer esta relacin existente es muy importante para el entendimiento de temas de programacin lineal y no lineal, as como las interpretaciones econmicas y por supuesto las perspectivas del anlisis de sensibilidad. Cuando hallamos el dual de un PL, nos referimos al PLdado como el primal; as, si elproblema dado es un problema de maximizacin, el dual ser uno de minimizacin o viceversa. -Forma cannica de dualidad 113 Supngase que el programa lineal primal est dado en la forma: P: Minimizar cx Sujeto a: Ax> b x > 0 Entonces el programa lineal dual est definido por: D: Maximizar wb Sujeto a: wAs c w > 0 Ntese que existe exactamente una variable dual por cada restriccin primal, y exactamente una restriccin dual por cada variable primal. Despus se dir ms sobre esto. Considrese el siguiente programa lineal y su dual: P: Minimizar 6x1 + 8x2 Sujeto a: 3x1 +x2>4 5x1 + 2x2>7 x1 , x2 >0 Su dual ser: D: Maximizar 4w1 + 7w2 Sujeto a: 3w1 + 5w2s 6 w1 + 2w2s 8 w1, w2> 0 Enteoraparaaplicarladefinicincannicadedualidadprimerosedebeconvertirelprograma lineal primal al formato anterior. Sin embargo, en la prctica es posible escribir inmediatamente el dual de cualquier programa lineal. 114 -Forma estndar de dualidad . Otradefinicinequivalenteseaplicacuandolasrestriccionessonigualdades.Supngase queel programa lineal primal est dado en la forma: P: Minimizar Cx Sujeto a: Ax = b x = 0 Entonces el programa lineal dual est definido por: D: Maximizar Wb Sujeto a: wA= c w no restringida Considrese el siguiente programa lineal y su d