Marcos Vílchez Macurí

Tercer Grado de Primaria

Libro de Teoria

MATEMÁTICA

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

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Ari

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ica

Este libro pertenece a:

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Isla Flotante Orus - Lago TiticacaPuno - Perú

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Aritm

ética

Divertinúmeros es una obra del área de Matemática, cuya pro-puesta esta dirigida al desarrollo de hábitos de pensamiento, de la capacidad creativa y del descubrimiento de los conceptos del "orden" y la "medida". Su contenido tiene la finalidad de elevar el nivel mate-mático de los estudiantes de primaria y brindar al profesor una buena guía pedagógica para el arte de enseñar matemática.

Es preciso mencionar que en esta serie se ha seguido el orden del programa oficial; sin embargo, se han agregado otros componentes del área como proposiciones (lógica), álgebra, geometría, estadística , probabilidades y trigonometría, quinto y sexto grado desarrollados en forma secuencial y considerando la capacidad mental de los alumnos de los diferentes grados de estudio.

Respecto al contenido, cada unidad se inicia con una portada referente al tema a tratar, la misma que el niño deberá observar e interpretar para respon-der a las preguntas propuestas.

En las obras de esta serie nos hemos propuesto brindar al profesor y pa-dres de familia las herramientas necesarias para que el niño o niña puedan entender la matemática y cultiven "el arte de ver con los ojos de la mente", poniendo así en juego lo mejor de sus recursos mentales, su espíritu de obser-vación y su imaginación.

Finalmente, expreso a los profesores mi gratitud por utilizar esta obra que, con el aporte de su creatividad, aspira a convertirse en un elemento di-dáctico que les permita alcanzar satisfacciones en su vida profesional.

El autor

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1.1 Proposiciones ............................................................ 8

1.2 Conjuntos .................................................................10

Determinación de conjuntos ............................11

Clases de conjuntos ..............................................12

1.3 Relaciones entre conjuntos ................................13

1.4 Operaciones con conjuntos, intersección ....14

Unión de conjuntos ..............................................15

Diferencia de conjuntos ......................................16

Cuantificadores y conectivos lógicos .............17

3.1 Multiplicación de números naturales.............34

Multiplicar un número natural por otro de dos cifras hasta 9999 .............................36

Propiedades de la multiplicación ....................37

5.1 Escritura y lectura de fracciones .......................56

Fracciones propias, impropias y decimales ..................................................................57

Fracciones homogeneas, heterogeneas y equivalentes .........................................................58

5.2 Comparación de fracciones ...............................59

Comparando fracciones heterogéneas .........60

5.3 Adición de fracciones homogéneas ...............61

Adición de fracciones heterogéneas ..............62

Sustracción de fracciones homogéneas........63

Sustracción de fracciones heterogéneas ......64

2.1 La unidad de millar ...............................................20

2.2 Lectura y escritura y valor de posición...........21

Forma desarrollada de un número de 4 cifras ...........................................................................22

2.3 Compara y ordena números naturales ..........23

2.4 Sucesiones................................................................24

2.5 Aproximación de números naturales .............25

2.6 Adición de números naturales de cuatros cifras .......................................................................... 26

Propiedad de la adición .......................................27

Sustracción de números naturales de 4 cifras ........................................................................28

Relaciónes entre los elementos de la sustracción ...............................................................29

Operaciones combinada .....................................30

Problemas resueltos .............................................31

Multiplicación por 10, 100, 1000 y potencia ....................................................................38

3.2 División de números naturales menores que 10 000 ................................................................39

Cuando el dividendo tiene 3 o 4 cifras entre otro de 1 cifras.............................................40

Cuando el dividendo tiene 3 o 4 cifras entre otro de 2 cifras.............................................41

División de un número natural entre un multiplo de 10 ..................................................42

3.3 Operaciones combinadas ...................................43

PROPOSICIONES Y CONJUNTOS

NÚMEROS NATURALES MENORES QUE 10 000

Í N D I C E

A R I T M É T I C A

1

2

NÚMEROS NATURALES MENORES QUE 100 0004

FRACCIONES5

MULTIPLICACIÓN Y DIVICIÓN DE NÚMEROS NATURALES MENORES

QUE 10 0003

4.1 Decena de millar ....................................................46

Escribe y lee números naturales menores a 100 000 ...................................................................47

Compara y oredena números naturales menores a 100 000 ................................................48

4.2 Adición de números naturales menores a 100 000 ...................................................................49

Sustracción de números naturales de 5 cifras ........................................................................50

4.3 Multiplicación de números naturales menores que 100 000 ..........................................51

División de un número natural entre otro de una, dos, o tres cifras .............................52

Operaciones combinadas ...................................53

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6.1 Fraccion decimal como números decimales ..................................................................70

6.2 Escritura y lectura de decimales .......................71

6.3 Comparación de decimales ...............................72

6.4 Adición de números decimales ........................73

Sustraccion de números decimales ................74

6.5 Operaciones combinadas y problemas .........75

9.1 Punto, recta, plano, y rayo .................................969.2 Plano cartesiano .....................................................979.3 Construcción de figuras geométricas

en el plano cartesiano ..........................................98 Grafica polígonos...................................................999.4 Traslación y ampliación de figuras

geométricas en el plano cartesiano ............. 100 Traslada triángulos y cuadriláteros .............. 1019.5 Simetría de figuras planas ............................... 1029.6 Segmentos, suma y resta ................................. 1039.7 Rectas paralelas y perpendiculares .............. 1049.8 Ángulos .................................................................. 105 Ángulos complementarios y suplementarios ... 1069.9 Polígonos ............................................................... 107 Perímetro de figuras geométricas ................ 1089.10 Triágulos y cuadriláteros .................................. 109 Identifica los elementos de un

cuadrilátero .......................................................... 110 Área del triángulo y cuadrilátero .................. 111 Circunferencia y círculo .................................... 1139.11 Cuerpos geométricos ........................................ 1149.12 Cuerpos redondos y volumen ........................ 115

10.1 Expresiones algebraicas. Grado de un monomio y polinomio ..................................... 118

10.2 Términos semejantes y valor numéricos de una expresión algebraica ......................... 119

10.3 Operaciones con monomios, suma y resta .... 120

10.4 Operaciones con polonomios, suma y resta .. 121

10.5 Ecuaciones ........................................................... 122

Ecuaciones de forma fraccionaria ............... 123

10.6 Valor númerico de polinomios usando números naturales y fracciones ................... 124

10.7 Ecuaciones con decimales y valor numérico de polinomios con decimales ... 125

10.8 Inecuaciones ....................................................... 126

10.9 Problemas con ecuaciones e inecuaciones ....................................................... 127

7.1 Unidades de longitud ..........................................78

Conversiones con unidades de longitud .....................................................................79

Unidad de masa .....................................................80

Conversiones con las unidades de masa ...........................................................................81

7.2 Unidades de volumen y capacidad .................82

7.3 Unidades de tiempo .............................................83

7.4 Monedas y billetes ................................................84

Problemas resueltos de monedas y billetes .......................................................................85

8.1 Recolección e interpretación de datos ....................................................................88

Tablas de doble entrada ......................................89

8.2 Elaboración e interpretación de gráficas ......90 Elaborar e interpretar polígonos de frecuencia .................................................................91

Pictogramas .............................................................92

8.3 Ocurrencia de un suceso. Probabilidad o cuestión de suerte .............................................93

ÁLGEBRA

5.4 Números mixtos .....................................................65

Operaciones combinadas con fracciones .....66

Problemas con fracciones ...................................67

NÚMEROS DECIMALES6

MEDICIONES7

GEOMETRÍA

TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

9

ESTADÍSTICA

GEOMETRÍA

8

ÁLGEBRA10.... d

E D 1 To R Es S . A.C.

6

Ari

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ica

¡Sí, bacán!

¡Qué bonita película!

El cine es grande.

Iván, ¿te gustó la película?

¿Pasaré con mi lonchera?

¿Me dejarán entrar con mis

mascotas?

Unidad

1Aritmética

Proposiciones yconjuntos

Proposiciones y conjuntos

Sofía

Óscar

RoloRomina

Beto

Iván

La película duró 2 horas.

Santiago

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Aritm

ética

Proposiciones.

Conjuntos.

Cuantificadores y conectivos lógicos.

Los muchachos están entrando y saliendo del cine y están hablando sobre la película y el cine. Vamos únete a ellos respondiendo las preguntas sobre las expresiones que dicen, llamadas enunciados.1. ¿Quiénes expresan una proposición? a Óscar y Sofía. a Rolo y Omar. a Todos. 2. La expresión de Beto es una expresión: a Informática. a Expresiva. a Directiva.

3. ¿A qué conjunto pertenece lo que hay en la lonchera de Romina? a Conjunto de frutas. a Conjunto de libros. a Conjunto de juguetes.3. Las mascotas de Beto es un conjunto con: a Un elemento. a Dos elementos. a No tiene elementos.

Aprenderé a ...Aprenderé a ...

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8

Ari

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Las expresiones que dicen los niños se llaman enunciados. De ellos, solo lo que dicen Mayra y Beto son proposiciones porque se pueden calificar como verdadero o falso. Lo que expresan Raúl y Vanesa solo son enunciados y no podemos decir si son verdaderos o falsos, por tanto no son proposiciones.

El valor de verdad de una proposición "p" se denota

por; V(p) y se lee: "el valor de verdad de la proposición p".

Si una proposición es verdadera se dice que su valor

de verdad es V y si es falsa se dice que su valor de verdad es F.

Una proposición se representa con una letra minúscula así tenemos:

p: Arequipa es la capital del Perú. r: 35 : 7 = 5

q: El cuy es mamífero. s: 10 – 3 > 9

¡Recuerda! Los enunciados interrogativos, exclamativos u órdenes no son

proposiciones.

A estos enunciados se les llama proposiciones simples, pues no tienen conectivo lógico.

PROPOSICIONES

¡Qué bonito!

¡Qué hora es!Las aves son

mamíferos.

¿Qué es una proposición?

n Observa la figura:

El zoológico es grande.

1.1

Mayra Raul Beto Vanesa

Proposición es un enunciado del cuál se puede afirmar verdadero o falso.

Ocho

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Aritm

ética

p: 6 es menor que 10 V(p) =

q: El año tiene 10 meses V(q) =

r: 5 es un número impar V(r) =

s: El hombre llegó a la luna V(s) =

t: 9 + 4 = 11 V(t) =

u: 9 : 3 = 6 V(u) =

w: 9 – 1 > 9 V(w) =

m: 111 < 101 V(m)=

Aplicación: Así en la proposición:p: Arequipa es la capital del Perú, su valor de verdad se simboliza: V(p) = F

q: El cuy es mamífero, su valor de verdad se simboliza: V(q) = V

r: 11 – 3 < 10 V(r) = V s: 22 – 1 = 2 V(s) = F

n Verifica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

n Verifica el cuadro:

n Verifica si las proposiciones son verdaderas o falsas.

ENUNCIADO¿Es

proposición?Valor de verdad

En una centena hay 99 unidades.

¿Nos vamos de paseo?

La división de 21 entre 7 es 3.

¿Cuántos lados tiene un trapecio?

La suma de 301 con 103 es 313.

¡Qué bonita música escuchas!

............

............

............

............

............

............

............

............

............

............

............

............

Venus es un planeta. Callao es la capital del Perú.

El pollo es mamífero.

7 es un número natural.

6 : 3 = 3

10 – 1 = 10

7 < 9

El hombre llegó a la Marte.

Jauja es la capital de Junín.

El cañón del colca está en la región Moquegua. El mes tiene 40 días.

V

F

V

V

F

F

F

F

SÍ

No

SÍ

No

SÍ

No

F

V

F

¡Recuerda! El valor de verdad

de una proposición puede ser verdadero o falso pero nunca

ambas afirmaciones.

Nueve

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Ari

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n Observa las figuras:

CONJUNTOSIdea de conjunto

n Ahora observa el diagrama.

1.2

Los conjuntos que ha formado Luis se denotan así:

A = {zanahoria, lechuga, papa, tomate}

B = {l, m, p, q, r, s}

C = {0; 1; 2; 3; 4; 5 }

Verifica las relaciones de pertenencia del conjunto C.

1 Î C, 7 Î C, 8 Ï C ; 5 Î C ; 3 Î C ; 2 Ï C.

Se observa que: lechuga, papa, tomate, zanahoria son elementos del conjunto A; asimismo las letras: i, m, p, q, r, s y los números: 0; 1; 2; 3; 4; 5 son elementos del conjunto B y del conjunto C respectivamente. Como se ve que hay una relación de pertenencia entre elementos y conjuntos lo denotamos asi:

Tomate Î A, se lee: "tomate pertenece al conjunto A".

Lechuga Î A, se lee: "lechuga pertenece al conjunto A".

m Î B, se lee: "m pertenece al conjunto B".

3 Î C, se lee: "3 pertenece al conjunto C".

Pero uva no pertenece al conjunto A; se denota: uva Ï A.

¡Recuerda! Un conjunto se nombra con una letra mayúscula y sus elementos van entre l l a v e s s e p a r a d o s p o r comas, en el caso de ser letras, palabras o figuras y con punto y coma si los elementos son números.

Símbolos:Î se lee: pertenece

Ï se lee: no pertenece

C

•1 •3

•7 •9

•5

•2•4

•8

A B

Los elementos del conjunto ”C” están representados en el diagrama de "Venn Euler".

C

•0

•1 •3

•2 •4

•5•l

•m •q

•p •r

•s

Diez

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Aritm

ética

n Veamos ahora el conjunto A en el diagrama de Venn

n Observa:

Determinación de conjuntos por extensión y comprensión

n Observa por comprensión al conjunto: B ={1; 3; 5; 7; 9; 11}

Veamos; lo que menciona Óscar son la partes de una planta de acuerdo a ello veremos como se determina un conjunto.

Determinemos el conjunto por extensión.

A ={0; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}

Determinemos el conjunto por comprensión.

A ={números naturales menores que 10}

o también:

A ={x Î N / x < 10} es de mayor utilidad

Por EXTENSIÓN se lee: A es el conjunto cuyos elementos son raíz, tallo, hoja, flor, fruto.

Por COMPRENSIÓN se lee: A es el conjunto de las partes de una planta.

B ={x Î N / x es impar y x < 13}

¡Recuerda! En un conjunto determinado por extensión no debe repetirse los ele-mentos.

Son conjuntos iguales: A = {las partes de una planta son.} B = {raíz, tallo, hoja flor, fruto.}

tallo

raíz

hoja

fruto

flor

EXTENSIÓN COMPRENSIÓN

NOMBRANDO TODOS SUS ELEMENTOS NOMBRANDO LA CARACTERÍSTICA

A = {raíz, tallo, hoja, flor, fruto} A = {partes de una planta}

Esta determinado por extensión Esta determinado por comprensión

•0

•1 •3

•2 •4

•5•6

•7 •9

•8A

Once

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Ari

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ica n De la misma forma la Tierra tiene un satélite, entonces la Luna es un conjunto unitario.

n Observa

Clases de conjuntos

n Asimismo son conjuntos

Finitos: Infinitos:

Yo voy a formar un conjunto Q

con cada "grano" de arena.

Karina, voy a escri-bir en la arena un

conjunto M con los meses del año.

Vamos a denotar los conjuntos que han formado Karina y Oscar:

M = {Enero, febrero,...., Diciembre}

entonces: M es un conjunto finito, porque se puede contar sus elementos.

A = {Regiones del Perú}

B = {x Î N / 9 < x < 11}

C = {Países del mundo}

Entonces A = {Luna}

A = {3}

B = {x Î N / 9 < x < 11}

C = {meses del año que tienen 33 días}

D = {los días de la semana que empiezan con la letra H}

Aplicación

Determinamos escribiendo "U" o "V" en el recuadro si los siguientes conjuntos son unitarios o vacio.

E = {Estrellas del Universo}

F = {Puntos en una recta}

G = {x Î N / x > 1}

Q = {Cada grano de arena}

Q es un conjunto infinito, porque no se va a poder contar sus elementos

n Asimismo un conjunto vacio es: S = {un gato con dos cabezas} H = {Los habitantes del planeta Venus}, K = {x Î N / 5 < x < 6}

¡Recuerda! Un conjunto es finito cuando se puede contar sus elementos.

¡Recuerda! Un conjunto es unitario cuando tiene un solo ele-mento y es vacio cuando no tiene elementos.

U

U

V

V

Doce

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Aritm

ética

Los días que no voy son sábado

y domingo.

Como se sabe los días de la semana son siete días y en el diagrama esta representado por el conjunto A, es decir:

A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

¿Que se observa? que los días que Karina no va al colegio son también elementos del conjunto A, entonces decimos que B esta incluido en A o B es subconjunto de A.

Inclusión o subconjunto e igualdad

n Observa:

1.3RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

BA

sábadolunes

martesmiércoles

juevesviernes

domingo

Karina, observa el diagrama y dime,

¿qué día de la semana no vas al

colegio.

Asimismo, la respuesta de Karina en el diagrama esta representado por el conjunto B, es decir:

B = {sábado, domingo}

Entonces denotamos así B Ì A se lee: B subconjunto de A.

Trece

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Ari

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A = {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10}

Se observa: B Ì A pero B no esta incluido en C.

Se denota B Ë C

Se lee B no es subconjunto de C.

C = {6 ; 12 ; 14}

B = {8 ; 10}

n Observa el conjunto de frutas y verifica Ì o Ë.

n Dado los conjuntos:

Ì ÌË ËQ ..... M P ..... Q M ..... P P ..... M

•2

•4

•6•8•10

•12

•14

C

A B

¡Recuerda! Ì se lee subconjunto

y Ë no es subconjunto.

M

PQ

Catorce

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Aritm

ética

n Aplicación

n Observa los conjuntos:

n De la misma manera:

A B A ∩ B

Intersección de conjuntos

Como se ve la intersección del conjunto A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos comunes del conjunto A y B y se denota:

A ∩ B. se lee: A intersección B

Se observa que ningún día se van a encontrar es decir, estos conjuntos son disjuntos y su intersección es vacio.

Oscar va al gimnasio los días martes, jueves y sábado, Ricardo va al mismo gimnasio los días lunes, miércoles y viernes. ¿Se encontraran algún día en el gimnasio?

Veamos: Sea A = {martes, jueves y sábado}, el conjunto de días que va Oscar. Sea B = {lunes, miércoles, viernes} el conjunto de días que va Ricardo.

Sea los conjuntos P = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}, Q = {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8}, hallar P ∩ Q. Solución: Veamos a P y Q en el diagrama de Venn.

Entonces:

Vemos que la intersección

P ∩ Q = {2 ; 4}

OPERACIONES CON CONJUNTOS

El símbolo "∩" se lee: intersección

∩

¡Recuerda! Dos conjuntos son dis-juntos cuando no tienen elementos comunes.

A B•martes •lunes•jueves •miércoles

•sábado •viernesA ∩ B = ∅

•2•4 •6

•8•0•1

•3•5

Q

P

"Propiedades"

A ∩ A = A A ∩ ∅ = ∅A ∩ B = B ∩ A

1.4

Quince

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Ari

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ica n Veamos otro ejemplo.

n Observa los conjuntos:

Expresado por extensión será:

M U P = {mango, fresa, pera, naranja, manzana, plátano}

¡Recuerda!Las propiedades.

A U A = A

A U ∅ = AA U B = B U A

El símbolo "U" se lee: unión

La unión del conjunto A y B es un nuevo conjunto formado por todos los elementos de ambos conjuntos y se denota A U B. se lee: A unión B

B A U B

U

A

U =

MM U P

P

Dieciséis

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Aritm

ética

Esto implica que: R U S ≠ R ∩ S Porque en la intersección solo se toma los elementos comunes

P U Q = { }

P ∩ Q =

Además:

¿Es P = Q ? No es igual

n De la misma manera, dado los conjuntos:

n Dado los conjuntos; P = {a ; e ; i} y Q = {d ; f ; g}, verifica.

¡Recuerda! Dos conjuntos

disjuntos no son iguales.

P U Q

•a

•e

•i

•f

•d

•g

a ; e ; i ; d ; f ; g

∅

R = {4 ; 5 ; 6 ; 7} y S = {4 ; 7}, luego la unión de estos conjuntos es

R U S = {4 ; 5 ; 6 ; 7}, como se ve S está incluido en R S Ì R

•4

•5

•6

•7S

R

R U S

Diecisiete

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Ari

tmét

ica

Diferencia de conjuntos

n Asimismo, dado los conjuntos.

n Aplicación:

n Observa los conjuntos:A mi me gustan los animales del

conjunto "B"

Entonces la diferencia del conjunto A y B es otro conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto A pero no al conjunto B.Es decir:

A – B = También B – A =

Sean los conjuntos

A = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}

B = {3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7}

Luego:

A – B = {0 ; 1 ; 2} y B – A = {6 ; 7}

M = {1 ; 2 ; 3 ; 4} P = {2 ; 3} Q = {3 ; 7} y R = {4 ; 5 ; 6}

Entonces tenemos:

M – P = {1 ; 4} M – Q = {1 ; 2 ; 4} Q – R = {3 ; 7}

En diagrama:

¡Recuerda! La diferencia de dos con-juntos A y B es el conjunto A – B formado por todos los elementos que perte-necen a A pero no a B.Además la diferencia no es conmutativa.

•3

•3

•5

•3 •4

•3 •7

•6

•7

•7•6•5

•1

•1

•1

•4

•0 •4

•4 •2

•2

•2

Q

B

B

Q RP

M

A

A

M

Mayra, los animales que me gustan son

del conjunto "A"

Dieciocho

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Aritm

ética

Cuantificadores y conectivos lógicos

Recuerda

n Observa.

n Verifica las proposiciones.

n Observa. Karina a ido a un cumpleaños y le han regalado varios globos, ella se pone a contar sus globos y observa los colores, según se muestra en la figura; del cual escribimos V si la proposición es verdadera o F si es falsa.

Entonces vemos que en la proposición q el conectivo lógico es "y" y en la propo-sición p el conectivo lógico es "o".

Las partículas de enlace "y" ; "o" se llaman conectivos lógicos tal es asi que en la intersección de conjuntos se usa el conectivo "y" y en la unión al conectivo lógico "o".

Algunos globos con amarillos .............

Ningún globo es rojo ...........................

Todos los globos son anaranjados ......

Algunos triángulos son de color verde

Ningún cuadrado es rojo

Todos los rectángulos son amarillos

q: Raquel va a la playa y Karina va al parque

p: Samantha compra un pantalón o una zapatilla.

V

F

F

Diecinueve

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