Libro MAT 04c

4.5 CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

4.5.1. Circunferencia

La circunferencia se define como un lugar geométrico, es decir, un conjunto de puntos que cumplen una condición. Esta condición es estar dichos puntos a una misma distancia r, llamada radio, de un punto fijo O del plano, llamado centro.

Entre dos radios cualesquiera de una circunferencia se forma una abertura llamada ángulo del centro (figura 4.5.2), el que a su vez subtiende una porción de ésta llamada arco de circunferencia y que se simboliza, siendo A y B los puntos que limitan el arco.

Otros elementos en la circunferencia son:

a) Cuerda: Es el trazo que une dos puntos de la circunferencia.

b) Diámetro: Es la cuerda de mayor longitud que se puede trazar en una circunferencia, pasa por el centro de ella y por lo tanto es equivalente al doble del radio.

c) Secante: Es la recta o trazo que pasa por dos puntos de la circunferencia.

PREUNIVERSITARIO FECH - MAT 111

A, B, C, D son puntos de la circunferencia de centro OFig. 4.5.1

r r

r r O

B

A

D

C

arco de circunferencia

ángulo del centro

cuerda AB

Fig. 4.5.4

diámetro d

d) Tangente: Es la recta que “toca” a la circunferencia en un sólo punto. La tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

e) Ángulo inscrito en la circunferencia: Es el ángulo formado por dos cuerdas y cuyo vértice es un punto de la circunferencia.

4.5.2. Perímetro de la Circunferencia

Al igual que en los polígonos, el perímetro de una circunferencia corresponde a la medida de su contorno, es decir, si se pudiera "cortar" la circunferencia en un punto y estirarla, el perímetro será la longitud del segmento resultante (figura 4.5.8).

La medida del perímetro se determina a través de la fórmula:

siendo π el número irracional 3,1415926....., y r el radio de la circunferencia.

Ejemplos:

1. El perímetro de una circunferencia de radio 5 cm es

P = 2 π 5 cm

P = 10π cm

2. ¿Cuál es el perímetro de una circunferencia de radio 0,2 cm?

PREUNIVERSITARIO FECH - MAT112

secante AB

Fig. 4.5.6

Fig. 4.5.7 ángulo inscrito

Fig. 4.5.8

P

O r

B A

B A

P = 2 π 0,2 m

P = 0,4π m

3. ¿Cuál es el radio de una circunferencia cuyo perímetro es 14π m?

4. ¿Cuál es el perímetro de una circunferencia de 10 cm de diámetro?

diámetro = d = 10 cm = 2r

P = 2πr = π 2r = π d

P = 10π cm

5. Determinar el perímetro de una circunferencia de radio r = .

P =

4.5.3. Semicircunferencia

Una semicircunferencia es una figura cerrada determinada por el diámetro de una circunferencia y por el arco que éste subtiende (figura 4.5.9).

El perímetro de la semicircunferencia es:

4.5.4. Longitud del arco de circunferencia.

Para determinar longitudes de arcos de circunferencia, se plantea una proporción directa en función del ángulo del centro que subtiende el arco en cuestión: "a mayor ángulo, mayor es el arco que subtiende" y por lo tanto se plantea la razón constante entre el ángulo y la longitud del arco (figura 4.5.10).


Fig. 4.5.9 A BO

Fig. 4.5.10

l = P = 2r

l

360° rr

r

O

O

B

A

Si se mide el arco de la circunferencia en unidades de ángulo, su medida es igual a la del ángulo central que lo subtiende, independiente de cual sea la medida del radio de la circunferencia y a esta medida se le conoce como la medida angular del arco.

Ejemplos:

1. Determinar la longitud l del arco, de la figura si r = 2 m y α = 60°

Aplicamos la proporción

y despejamos l

Ahora, en unidades de ángulo, l mide 60°

2. ¿Cuánto mide el arco de la figura si α = 120° y r = 10 cm?

En unidades de ángulo, l mide 120°

3. Determinar el diámetro de la circunferencia de la figura si el arco mide 4π cm y el ángulo del centro mide 80°.

despejando r

pero d = 2r, luego d = 2 9 cm = 18 cm

4.5.5. Círculo

Se llama círculo a la región interior a la circunferencia, en otras palabras, corresponde al área o superficie comprendida por la circunferencia (figura 4.5.11).

La medida de la superficie del círculo se determina con la fórmula.

A = π r 2


r

60°

B

A

O r

O r

donde π = 3,1415926...., y r es el radio de la circunferencia.

Fig. 4.5.11

Ejemplos:

1. ¿Cuál es la superficie de un círculo de radio 3 mm?

Usando la fórmula para el área

A = π (3 mm)2

A = 9π mm2

2. ¿Cuál debe ser el radio de un círculo para que su área sea 72π cm2?

3. Determinar el área de un círculo cuyo perímetro es 36 cm.

4.

¿Cuál es el radio de un círculo cuya superficie es ?

5. ¿Cuál es el área de un semicírculo de radio m?

A =

A = 2a2π m2

Un semicírculo es la mitad del círculo, luego su área será

A = =

A = a2π m2

4.5.6. Sector circular


Un sector circular es el área comprendida entre dos radios y un arco de circunferencia y tiene asociado el ángulo del centro respectivo (figura 4.5.12).

Para determinar la medida del sector circular se plantea una proporción directa, del mismo modo como se hizo para el cálculo de la longitud del arco: "a mayor ángulo del centro, mayor es el sector circular asociado a él", lo que nos permite plantear la razón constante entre el área y el ángulo (figura 4.5.13).

Ejemplos:

1. ¿Cuánto mide el sector circular s de la figura si r = 30 cm y α = 60°?

Aplicamos la proporción

despejamos s

2. Determinar el área del círculo de la figura si el sector circular sombreado mide 1 m2 y lo subtiende un ángulo de 18°.A = πr2 s = 1 m2

3. ¿Qué parte del área del círculo de radio r es un sector circular subtendido por un ángulo de 120°?

Respuesta: El sector s es de π r 2, es decir, la tercera parte

del área del círculo.


Fig. 4.5.12 sector circular

Fig. 4.5.13

P

S = r2360°

s

O r

B

A120º

4. Determinar el perímetro de un sector circular de radio r = 10 cm y cuyo ángulo central mide 72°.

En este problema no se pide calcular el área del sector circular, sino su perímetro. Como el perímetro es la medida del contorno del sector, éste se determinará como:

Ps = r + r +

luego, lo que hay que determinar es la medida del arco .

Finalmente, Ps = 2 10 cm + 4π cm Ps = 20 cm + 4π cm

Ps = 4(5 + π) cm

4.5.7. Relaciones angulares en la circunferencia.

TEOREMA 4 "En una circunferencia de centro O, la medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del

ángulo del centro que subtiende el mismo arco."

En la figura 4.5.14, β es ángulo inscrito, α es el ángulo del centro, β subtiende el arco , α subtiende el mismo arco; entonces,

∡ ∡ α

Fig. 4.5.14COROLARIO: "Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto."

En la figura 4.5.15, O es el centro de la circunferencia, es diámetro, ∡ = 180° es ángulo del centro, β es ángulo inscrito. Por el teorema 4, se cumple que:

∡ ∡

∡ 180°

Fig. 4.5.15 ∡ β = 90°

TEOREMA 5 "En una circunferencia, a ángulos del centro iguales les corresponden arcos, cuerdas, sectores y segmentos circulares iguales."

En la figura 4.5.16, si ∡ AOB = ∡ COD, entonces también se cumple que

i) =

ii) iii) s = s' iv) seg = seg'

TEOREMA 6 "En una circunferencia de centro O, la medida del ángulo interior, formado por la intersección de dos cuerdas, es igual a la semisuma de las medidas angulares de los arcos que subtienden dichas cuerdas."


segseg’

ss’

A

BC

D

’O

O

r

B

A

r

72º

A

B

C O

O B A

En la figura 4.5.17, es un ángulo interior formado por las cuerdas y que, a su vez, subtienden los arcos y

; entonces,

∡ =

TEOREMA 7 "En una circunferencia de centro O, la medida del ángulo exterior, formado por la intersección de dos secantes, es igual a la semidiferencia de las medidas angulares de los arcos que subtienden dichas secantes."

En la figura 4.5.18, P es un punto exterior a la circunferencia, es un ángulo exterior formado por las secantes y

que, a su vez, subtienden los arcos

y ; entonces,

∡ =

Ejemplos:

1. En la circunferencia de centro O, mide 72° ¿Cuál es la medida del ∡ x?

Para encontrar la respuesta, basta aplicar el TEOREMA 4

2. En la circunferencia de centro O, β mide 32°. ¿Cuál es la medida del ∡ AOB?

Por TEOREMA 4, ∡ β = ∡ α ,

luego: 2 β = ∡ AOB2 · 32º = ∡ AOB 64º = ∡ AOB

3. Con los datos de la figura, determinar la medida en grados del arco

Recuerda que, en unidades de ángulo, un arco mide lo mismo que el ángulo del centro que lo subtiende. Entonces

mide 80°, pues el ángulo del

centro que lo subtiende (que no aparece en la figura) mide el doble del ∡ ADC que subtiende el mismo arco (teorema 4). Lo mismo ocurre


A

BC

D

O

Fig. 4.5.17

Fig. 7.19

A

BC

D

O

P

Fig. 4.5.18

O x

A

B

O

A

B

E

40ºCD

20º

entre el arco y el ∡ AEB , es decir, = 2 · 20º = 40º. Luego, la respuesta al problema la encontramos mediante la siguiente expresión:

= 80° 40°

= 40°

4. En la figura, es diámetro y el Δ OAB es equilátero. ¿Cuál es la medida del ∡ OBC?

Como es diámetro, el ∡ ABC es recto (por corolario del teorema 4). Como ∡ ABC = 90°, entonces el ∡ ABO y el ∡ OBC son complementarios. Como el Δ OAB es equilátero, entonces ∡ ABO = 60°. Luego,

∡ ABO + ∡ OBC = 90°∡ OBC = 90° ∡ ABO ∡ OBC = 90° 60°

∡ OBC = 30°

5. En la figura, . Si ∡ BOC = 25°, ¿cuál es la medida del ∡ AED?

BOC es ángulo del centro, luego = ∡ BOC = 25°

y como , entonces, por Teorema 5,∡ AOB = 25° y ∡ COD = 25°

luego, ∡ AOD = 75°, y por teorema 4

∡ AED = ∡ AOD = 37,5°

6. En la figura, = 70º y = 90º. ¿Cuál es la medida del ∡?

Como es un ángulo interior de la circunferencia, entonces aplicamos directamente el teorema 6.

7. En la circunferencia de centro O de la figura, = 70º y = 40º. ¿Cuánto mide el ángulo ?

Como es un ángulo exterior de la circunferencia, entonces aplicamos directamente el teorema 7.

ACTIVIDADES


A

BC

D

O

A

BC

D

OP

A O

B

C

A

B

E

C

D

O

1. En la circunferencia de centro O y radio de la figura, y son diámetros. ¿Cuánto mide la superficie sombreada?

2. En la circunferencia de centro O y radio r, es diámetro y es tangente a la circunferencia. ¿En qué razón están el

largo y el ancho del rectángulo?

3. Calcular el área y el perímetro de la circunferencia de la figura si es diámetro y el Δ ABC es rectángulo isósceles de 16 cm2 de superficie.

4. En la figura, el Δ ABC inscrito en la circunferencia de centro O es equilátero. ¿Cuánto mide el ∡ α?

5. En la circunferencia de centro O de la figura, ∡=70°. ¿Cuánto mide el ∡ β?

6. En la circunferencia de centro O de la figura, .

Si = 40° ¿Cuál es la medida del ∡ α?


7. En la figura, O es el centro de la circunferencia, ∡ ACP = 20º, = 110º. ¿Cuál es la medida del ∡ ?

8. En la figura, ABCD cuadrado de lado 3 cm y arco de circunferencia de centro en B. Calcular el área y el perímetro de la región sombreada.

9. Calcular el área y el perímetro de la semicircunferencia construida sobre la hipotenusa del Δ ABC rectángulo de catetos 6 m y 8 m.

10. Determinar el área y el perímetro del sector circular de la figura si = 240° y r = 5 m.

11. En la figura, ABCD rectángulo, O y O' son los centros de dos circunferencias congruentes de 4 cm de radio. ¿Cuánto mide la superficie sombreada?

12. En la figura, , y son semicircunferencias. Calcular el perímetro y la superficie total de la figura.


120ºA

B

C

D

O P

AO

PB

A B

CD

O O’

13. El diámetro de una circunferencia tiene la misma medida que la diagonal de un cuadrado. ¿Cuál de las dos figuras tiene mayor superficie? ¿Y cuál es la de mayor perímetro?


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