Libro Matemática 1 (1)

8/9/2019 Libro Matemtica 1 (1)

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Ing. Luis Ernesto AguilarMatemtica 1

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ContenidoLGICA PROPOSICIONAL .............................................................................................................. 5

Lgica matemtica ............................................................................................................................ 5

Enunciado ......................................................................................................................................... 5

Valor de verdad ................................................................................................................................ 5

Proposicin ....................................................................................................................................... 5

Clasificacin de las proposiciones ................................................................................................... 5

Proposiciones cerradas ................................................................................................................. 5

Proposiciones abiertas .................................................................................................................. 5

Proposiciones Simples .................................................................................................................. 5

Proposiciones Compuestas ........................................................................................................... 6

Valor de verdad de una proposicin compuesta .............................................................................. 7

Tabla de Verdad ............................................................................................................................... 8Caractersticas de las tablas de verdad ........................................................................................... 12

Tautologa ................................................................................................................................... 12

Contradiccin ............................................................................................................................. 12

Contingencia ............................................................................................................................... 12

Proposiciones lgicamente equivalentes ........................................................................................ 12

Construccin de una estructura lgicamente equivalente .............................................................. 14

Circuitos lgicos ............................................................................................................................. 16

Circuito en paralelo-disyuncin incluyente ............................................................................... 16

Circuito en serie-conjuncin ...................................................................................................... 17TAREA DE LA SECCIN 1 ............................................................................................................. 21

Conceptos y definiciones ................................................................................................................ 21

Ejercicios ........................................................................................................................................ 21

CONJUNTOS ..................................................................................................................................... 25

Conjunto ......................................................................................................................................... 25

Elemento de un conjunto ............................................................................................................ 25

Cardinalidad de un conjunto....................................................................................................... 25

Relacin de pertenencia de un conjunto ..................................................................................... 25

Relacin de contencin de dos conjuntos .................................................................................. 25

Relacin de equivalencia de conjuntos ...................................................................................... 26

Relacin de igualdad .................................................................................................................. 26

Tipos de conjuntos .......................................................................................................................... 26

Conjuntos Ordenados ................................................................................................................. 26

Conjuntos no ordenados ............................................................................................................. 26


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4 formas de representar un conjunto .............................................................................................. 26

Forma Enumerativa .................................................................................................................... 26

Forma descriptiva ....................................................................................................................... 26

Forma grfica .............................................................................................................................. 27Forma nominal ............................................................................................................................ 27

Cambio en la representacin de un conjunto ............................................................................. 27

Los conjuntos numricos ................................................................................................................ 28

Conjunto de los nmeros dgitos( .......................................................................................... 29Conjunto de los nmeros Naturales() ...................................................................................... 29Conjunto de los nmeros enteros( .......................................................................................... 29Conjuntos de los nmeros racionales() ................................................................................... 29Conjunto de los nmeros irracionales ........................................................................................ 30

Conjunto de los nmeros reales () ........................................................................................... 30Conjunto de los nmeros imaginarios() ................................................................................... 30Conjunto de los nmeros complejos () .................................................................................... 30Conjunto vaco ............................................................................................................................ 30

Operaciones con conjuntos ............................................................................................................. 30

Unin entre conjuntos ................................................................................................................ 31

Interseccin entre conjuntos ....................................................................................................... 31

Diferencia entre conjuntos .......................................................................................................... 32

Diferencia simtrica.................................................................................................................... 32

Complemento de un conjunto..................................................................................................... 33

Conjunto universo () ....................................................................................................... 33Producto cartesiano .................................................................................................................... 34Conjunto Potencia ...................................................................................................................... 34

Operaciones compuestas con conjuntos ..................................................................................... 34

Operaciones con conjuntos de forma grfica ................................................................................. 36

Representacin grfica de la unin de dos conjuntos ................................................................ 36

Representacin grfica de la interseccin de dos conjuntos ...................................................... 36

Representacin grfica de la diferencia de dos conjuntos ......................................................... 36

Representacin grfica de la diferencia simtrica de dos conjuntos .......................................... 37

Representacin grfica del complemento de un conjunto ......................................................... 37Aplicaciones de las operaciones con conjuntos ............................................................................. 40

Ejercicios para la seccin 2 ................................................................................................................ 43


Ejercicios: ....................................................................................................................................... 43


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GEOMETRA ELEMENTAL ........................................................................................................... 48

Geometra ....................................................................................................................................... 48

El punto........................................................................................................................................... 48

La lnea ........................................................................................................................................... 48El rea ............................................................................................................................................. 48

Permetro ........................................................................................................................................ 48

Formulas bsicas para reas, Permetros, Volmenes y reas superficiales .................................. 48

ngulos ........................................................................................................................................... 50

Tringulos ....................................................................................................................................... 50

Tringulos rectngulos ................................................................................................................... 50

El teorema de Pitgoras .............................................................................................................. 51

Las funciones trigonomtricas.................................................................................................... 51

Semejanza de tringulos ............................................................................................................. 53Ejercicios para la seccin 3 ................................................................................................................ 56


ejercicios ......................................................................................................................................... 56

OPERACIONES BINARIAS Y LAS LEYES DE LOS EXPONENTES ......................................... 58

El campo Real ................................................................................................................................. 58

Propiedades de las operaciones binarias ........................................................................................ 58

Propiedad conmutativa ............................................................................................................... 58

Propiedad asociativa ................................................................................................................... 58

Propiedad distributiva ................................................................................................................. 59

Propiedad de un neutro ............................................................................................................... 59

Propiedad de un simtrico .......................................................................................................... 59

Jerarqua de las operaciones ........................................................................................................... 59

Potencias ......................................................................................................................................... 60

Leyes de exponentes ....................................................................................................................... 61

Radicales ..................................................................................................................................... 62

Racionalizacin .............................................................................................................................. 63


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LGICA PROPOSICIONAL

Lgica matemtica: la lgica es una de las ramas de la matemtica que se encarga de estudiar elrazonamiento humano basndose en expresiones para formar luego demostraciones.

Enunciado: Es una expresin del pensamiento humano transmitido mediante forma textual, visual,artstico, sonoro etc.

Valor de verdad: El valor de verdad se utiliza para denotar si algo es verdadero o falso, sin importarlas circunstancias, por lo tanto, el valor de verdad de un enunciado puede ser nicamente Verdaderoo Falso

Proposicin: Es un enunciado en el cual se afirma o se niega alguna cosa, a la cual se le puede asignarun valor de verdad. Toda proposicin es una oracin hablando lingsticamente, pero debe ser unaoracin en la cual se de una afirmacin o una negacin y pueda drsele un valor de verdad

Ejemplos

Expresin FormaLa luna es un satlite de la tierra proposicin

Mara es una chica linda Enunciado

El escritorio es de madera Enunciado

Guatemala es un pas de Centroamrica Proposicin

Recuerde: si a una expresin se le puede asignar un valor de verdad (verdadero o falso)independientemente de gustos o circunstancias entonces es una proposicin.

Clasificacin de las proposiciones: Las proposiciones se clasifican segn su forma en abiertas ycerradas, y segn su tipo ensimplesy compuestas.

Proposiciones cerradas:Las proposiciones cerradas son todas aquellas proposiciones en la cuales elsujeto se encuentra a la vista o es identificable, es decir que se puede saber de quin o qu se estafirmando o negando alguna cosa.

Proposiciones abiertas: Las proposiciones abiertas son aquellas en las cuales el sujeto es unavariable, es decir que puede ocuparse por cualquier elemento, existiendo un vaco en el valor deverdad hasta que la variable sea sustituida.

En la primera proposicin, el smbolo puede ser reemplazado por cualquier palabra quepueda darle un valor de verdad a la proposicin.En la segunda proposicin, el smbolo podr ser reemplazado por todo elemento que haga que la

proposicin tenga un valor de verdad.

Proposiciones Simples: Las proposiciones simples son aquellas que estn formadas nicamente porun sujeto y un predicado.


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Proposiciones Compuestas: Son las proposiciones que estn formadas por 2 o ms proposiciones

simples unidas mediante los conectivos lgicos, estos elementos se encargan de darle coherencia a launin de las proposiciones simples, estos son:

Conjuncin. Disyuncin incluyente. Disyuncin excluyente. Implicacin. Doble Implicacin.

Existe otro elemento que no puede ser llamado conectivo lgico, pues no enlaza a dosproposiciones, este es la negacin, se encarga nicamente de cambiar el valor de verdad de unaproposicin.

Ejemplo

Sean:py qdos proposiciones simples tales que:

Guatemala es un pas de Centroamrica La luna es un satlite de la tierra

Una tabla en donde puede apreciarse el uso de cada conectivo lgico al enlazar las proposicionesdadas es entonces:

Nombre delconectivo

Formaescrita

Formasimblica

Forma escrita enproposicin

Formasimblica

Forma correctade lectura

Conjuncin Y Guatemala es un pas deCentroamrica yla lunaes un satlite de la tierra.

La conjuncin dedosproposiciones.

Disyuncinincluyente

O Guatemala es un pas deCentroamrica ola lunaes un satlite de la tierra.

La Disyuncinincluyente de dosproposiciones.

Disyuncinexcluyente

O Guatemala es un pas deCentroamrica ola lunaes un satlite de la tierra.

p q La Disyuncinexcluyente de

dosproposiciones.

Implicacin SiEntonces

SiGuatemala es un pasde Centroamrica

entoncesla luna es un

satlite de la tierra.

La implicacinde dos

proposiciones

Dobleimplicacin

S y solos

Guatemala es un pas deCentroamrica s y solo sla luna es un satlite de la

tierra.

La dobleimplicacin de

dosproposiciones.

**negacin No - Ni Guatemala noes un pasde Centroamrica.

La negacin deuna proposicin


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**recuerde que no debe tomarse como un conectivo lgico, en esta tabla se incluye para visualizar laforma de uso.

Valor de verdad de una proposicin compuesta:Dado que las proposiciones compuestas estn

formadas por proposiciones simples, parece lgico afirmar que debe tener tambin un valor de verdad,pero este depender de los valores de verdad de las proposiciones que la formen, as por ejemplo,suponga que se tiene la proposicin compuesta:

Est claro que se tiene la conjuncin de dos proposiciones, pero la pregunta es Qu valor de verdadtendr toda la proposicin?, al construir una tabla en los cuales se visualice los valores de verdad dela proposicin, note que:

La luna es un satlite de la tierra Y frica es un pas de Centroamrica ? Observe que cada uno de las proposiciones tiene un valor de verdad propio, pero hay un elementoque carece de valor de verdad para esta proposicin compuesta , ste es el conectivo, dado queeste elemento es el encargado de enlazar dos proposiciones ser el encargado de dar el valor concretode dos proposiciones, as entonces se presenta a continuacin el valor de verdad de cada conectivolgico:

Sean:py qdos proposiciones simples, entonces si las proposiciones se enlazan con los conectivoslgicos se tiene que el valor de verdad de la proposicin ser:

Proposiciones Conectivo lgico V V V V F V V FV F F V V F F F

F V F V V V F VF F F F F V V V

De acuerdo a la tabla anterior, la proposicin por ser ambasproposiciones verdaderas entonces toda la proposicin ser verdadera.

Note muy bien que se han utilizado todas las posibles combinaciones de las proposicionesdadas, esto es muy importante, pues deben tomarse siempre todas las posibles combinaciones de las

proposiciones dadas.Ejemplo:

1. Construya una simbologa para la proposicin compuesta y determine el valor de verdad que

posee:

a. Pablo es un personaje Bblico y los pinginos habitan en el polo norte

Si se denota con a la proposicin: y con la letra a la proposicin: , entonces la proposicin compuesta puede escribirsecomo:


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Dado que es la conjuncin de dos proposiciones, en donde la proposicin simple Pablo es

un personaje Bblico tiene un valor de verdad VERDADERO, mientras que la proposicin simplelos pinginos habitan en el polo norte tiene un valor de verdad FALSO, entonces de la informacinanterior se sabe que la conjuncin de dos proposiciones es verdadera nicamente cuando ambas

proposiciones son verdaderas por lo tanto la proposicin compuesta dada es FALSA.

b. Si Pablo es un personaje Bblico entonces los pinginos habitan en el polo norte

Para determinar el valor de verdad de esta proposicin es necesario saber el valor de verdad

de las proposiciones simples que la forman: Pablo es un personaje Bblico tiene un valor de verdadVERDADERO y los pinginos habitan en el polo norte tiene un valor de verdad FALSO, por lotanto de la informacin anterior se sabe que la implicacin de dos proposiciones es falsa nicamente

cuando la primera proposicin es verdadera y la segunda es falsa, por lo tanto la proposicincompuesta dada es FALSA.

Tabla de Verdad:una tabla de verdad es una tabla que se realiza en una proposicin compuesta enla cual se muestran todos los posibles valores de verdad de las proposiciones simples que la formany de los conectivos lgicos que las enlazan, esta es muy til cuando se desconoce cules son las

proposiciones simples que le dan origen, esta recibe el nombre de estructura lgica, toda estructuralgica es una proposicin compuesta en la cual las proposiciones simples que le dan origen sondesconocidas, por ejemplo:

Es una proposicin compuesta formada por las proposiciones simples p, q y r, al desconocerlas

entonces afirmamos que es una estructura lgica.

Para construir una tabla de verdad de cualquier estructura lgica es necesario realizar lo siguiente:1. Determinar el nmero de proposiciones simples que la forman: esto para poder identificar el

nmero de combinaciones que podran existir.a. Las combinaciones de valores de verdad se determinan utilizando el resultado de

en donde es el nmero de proposiciones simples que tiene la estructura lgica2. Visualizar claramente los conectivos lgicos que las enlazan.3. Identificar claramente la forma en que estn conectados: esta quizs es la parte ms

importante, pues la construccin de las tablas de verdad siempre iniciar con la proposicinque se encuentra ms internamente (refirindose a la que se encuentre ms internamente enlos signos de agrupacin)

4. Iniciar la construccin de la tabla de verdad de la proposicin que se encuentre ms

internamente.5. Ilustrar un resumen de la tabla de verdad

Algo importante en las tablas de verdad es la simbologa que se utiliza para asignar el valor deverdad a una proposicin, comnmente la inicial V y F representa al VERDADERO y FALSOrespectivamente, pero para evitar confusiones se utilizar el 0 para un valor de verdad FALSO y el1 para VERDADERO.


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Ejemplo:Construya la tabla de verdad para la siguiente estructura lgica:

Las proposiciones que se tienen son y , en donde p se encuentra repetida, entonces elnmero de filas que la tabla de verdad tendr se determina con la expresin en donde para estecaso es de 2 (porque se tienen dos proposiciones):

De este resultado, los valores de verdad de las proposiciones simples son:

1 11 0

0 10 0

Observe que los valores de son 2 falsos y 2 verdaderos, mientras que los de son uno decada valor, esta informacin se traslada a la estructura lgica:

( ) 1 1 01 0 00 1 10 0 1

Los valores de fueron cambiados por ser una negacin, ahora se enlaza el conectivo dobleimplicacin:( )

1 1 1 01 0 0 00 0 1 10 1 0 1

Este resultado en conjunto con la de la negacin de p se utiliza para llenar la columna de la conjuncin:

(

)

1 1 1 0 01 0 0 0 00 0 1 0 10 1 0 1 1

El resultado final se presenta en un resumen:


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1 1 0

1 0 0

0 1 00 0 1Ahora una con 3 proposiciones:

Ejemplo:

Determinar todos los valores de verdad de la siguiente estructura lgica:

La estructura simple cuenta con 3 proposiciones simples ( y , no se toman en cuenta

si estn repetidas) por lo tanto el nmero de filas que la tabla de verdad contendr se puededeterminar con el resultado de:

De esto entonces se construir una tabla con 8 filas con cada proposicin simple con lossiguientes valores de verdad:

m n r1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 0

0 0 10 0 0

Se puede ver por columna que los valores de se toman 4 falsos y 4 verdaderos, mientrasque los de se toman 2 verdaderos, 2 falsos, 2 verdaderos y 2 falsos y los de se toma uno verdaderoy uno falso alternando los valores.

Esta informacin se traslada inmediatamente a la estructura lgica de la siguiente manera:

( ) ( )0 1 0 0

0 1 1 0

0 0 0 10 0 1 11 1 0 01 1 1 01 0 0 11 0 1 1


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Debe notar que los valores de hizo que cambiaran los valores de verdad de , lo mismoque con y mientras que la de permanecen igual. Inmediatamente de esto se enlazan losconectivos: implicacin y conjuncin, estos se enlazan con los valores de verdad de las proposiciones

que la forman, note lo siguiente:

( ) ( )0 1 1 0 0 00 1 1 1 0 00 1 0 0 0 10 1 0 1 1 11 1 1 0 0 01 1 1 1 0 01 0 0 0 0 11 0 0 1 1 1

La ubicacin de los valores de verdad de la columna implicacin y la columna conjuncindependen de los dos valores de verdad que tienen, seguido de esto se enlaza el conectivo disyuncinque se obtiene de las dos columnas en rojo:

( ) ( )0 1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 0 00 1 0 1 0 0 10 1 0 0 1 1 11 1 1 1 0 0 01 1 1 1 1 0 0

1 0 0 0 0 0 11 0 0 1 1 1 1

De esta manera se puede visualizar todos los valores de verdad de la estructura lgica, la cualse observa que ser falso en dos circunstancias (observe la fila 4 y 7), y ser cuando m sea verdaderay n y r falsas o cuando m y n sean falsas y r sea verdadera.

La ltima parte es presentar un resumen de la tabla de verdad, en la cual estn los valores deverdad de las proposiciones simples y los valores de verdad del ltimo conectivo que se trabaj:

1 1 1 11 1 0 11 0 1 11 0 0 00 1 1 10 1 0 10 0 1 00 0 0 1


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Caractersticas de las tablas de verdad: una tabla de verdad es un arreglo para visualizar todos losvalores de verdad de una estructura lgica, existen tres diversas formas en las que estas se presentan,estas son:

1. Tautologa.2. Contradiccin.3. Contingencia.

Tautologa: la tautologa de una tabla de verdad se obtiene cuando todos los valores de verdad deuna estructura lgica son verdaderos.Ejemplo:

Determine si la estructura lgica siguiente es tautologa:

( ( m n ) r ) ( ~ r ( ~ m ~ n ) )Realizando la tabla de verdad para esta tenemos que:

( ( ) ) ( ( ) ) 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0

1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0

0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 00 0 0 1 1 1 0 1 1 1 10 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1

Observe que el ltimo conectivo lgico que se encuentra en la proposicin es la doble

implicacin, se puede observar que los valores de verdad de toda la proposicin es siempre verdaderapara todo valor de las proposiciones que le dan origen, por lo tanto sta forma una tautologa.

Contradiccin: la negacin de una tabla de verdad se obtiene cuando todos los valores de verdad deuna estructura lgica son falsos.

Contingencia: la contingencia de una tabla de verdad se obtiene cuando los valores de verdad de unaestructura lgica contienen valores falsos y verdaderos.

Proposiciones lgicamente equivalentes: se dice que dos estructuras lgicas son lgicamenteequivalentes si y solo si los valores de verdad de ambas son los mismos bajo las mismascircunstancias, por ejemplo:Determinar si las siguientes estructuras lgicas, son lgicamente equivalentes:

( ~ m n ) r ~ r ( ~ n m )Construyendo las tablas de verdad de cada una de ellas:

( ) ( m ) 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1


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0 1 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 1 0 1 1 1 10 0 0 1 0 0 1 1 0 01 1 1 1 1 1 0 0 0 1

1 1 1 0 0 1 0 0 0 01 1 0 1 1 1 1 1 1 11 1 0 0 0 1 0 1 0 0

Al comparar los resmenes de ambas observe que:

resumen 1 resumen 2

m n r r n m 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 0 1 1 0 11 0 1 1 1 0 1 11 0 0 1 1 0 0 1

0 1 1 1 0 1 1 00 1 0 0 0 1 0 00 0 1 1 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 0

Al hacer una inspeccin minuciosa se observa que las proposiciones son lgicamenteequivalentes, pues para cada valor de las estructuras lgicas los valores de verdad de las proposicionesque las forman son iguales.

Otra forma de poder afirmar que dos estructuras son lgicamente equivalentes es enlazandoambas proposiciones mediante el conectivo lgico Doble implicacin si hacerlo se obtiene unatautologaentonces se afirmar que las tablas de verdad son lgicamente equivalentes, por ejemplo:

Determine si las siguientes estructuras lgicas, son lgicamente equivalentes, enlazndolas con unadoble implicacin:

( ~ m n ) r ~ r ( ~ n m )La construccin de la tabla de verdad queda mostrada a continuacin:

( ( ) ) ( ( ) )0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 10 1 1 0 0 1 1 0 0 0 10 0 0 1 1 1 0 1 1 1 10 0 0 1 0 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0

1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 01 1 0 1 1 1 0 1 1 0 01 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0

Observe el conectivo lgico doble implicacin enlazando ambas estructuras lgicas, observetambin el uso de los signos de agrupacin extra que se agreg para que la nueva estructura lgicatenga coherencia.


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Dado que en la tabla de verdad se obtuvo una Tautologa, entonces las proposiciones dadasson lgicamente equivalentes.

Construccin de una estructura lgicamente equivalente: Cualquier estructura puede tener una

estructura lgicamente equivalente, se mostrar a continuacin un mtodo para la construccin deestructuras lgicamente equivalente:

Suponga quePrepresenta a una estructura lgica, entonces la estructura lgicamente equivalentese construye mediante los siguientes pasos.

1) Construir una tabla de verdad de la estructura lgica dada y presentar un resumen.2) Determinar cules valores de verdad son los ms repetidos.3)

a) Si los valores menos repetidos son los verdaderos, entonces se elige el camino de la verdad.

i) Determinar los valores de verdad de las proposiciones simples en cada circunstancia quela estructura lgica es verdadera.

ii) Para cada circunstancia hacer que las proposiciones simples sean verdaderas (si son falsasusar la negacin) y unirlas mediante conjunciones, formando as proposicionescompuestas.

iii) Enlazar cada proposicin compuesta del paso anterior con disyunciones incluyentes(usando signos de agrupacin).

iv) Determine la tabla de verdad de la estructura lgica obtenida anteriormente paracorroborar el resultado.

b) Si los valores menos repetidos son los falsos, entonces se elige el camino de la falsedad.

i) Determinar los valores de verdad de las proposiciones simples en cada circunstancia quela estructura lgica es falsa.

ii) Para cada circunstancia hacer que las proposiciones simples sean falsas (si son falsas usarla negacin) y unirlas mediante disyunciones incluyentes, formando as proposicionescompuestas.

iii) Enlazar cada proposicin compuesta del paso anterior con conjunciones(usando signosde agrupacin)

iv) Determine la tabla de verdad de la estructura lgica obtenida anteriormente paracorroborar el resultado.

Ejemplo:

Construir una estructura lgicamente equivalente a ,utilizando los pasos anteriormente mostrados. (Puede visualizar tambin el diagrama de flujo al finalde documento). Segn los pasos entonces:


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1 0 1 11 0 0 10 1 1 10 1 0 0

0 0 1 10 0 0 0

Observe que tiene los mismos valores de verdad que los valores de verdad de la estructura lgicaoriginal, por lo tanto si es lgicamente equivalente.

Circuitos lgicos: los circuitos lgicos son elementos en los cuales las estructuras lgicas tienenmucha aplicacin; se puede generar una analoga entre los elementos de un circuito elctrico y unaestructura lgica para construir modelos de estas ltimas, mediante la siguiente condicin:

1. El paso de corriente en un circuito elctrico se define mediante el valor de verdad de unaestructura lgica: si pasa corriente entonces la estructura lgica es verdadera si no pasacorriente entonces la estructura lgica es falsa

2. El valor de verdad de una estructura lgica depende del valor de verdad de las proposicionesque la forma, en un circuito elctrico el paso de corriente depende de que interruptorespermitan o no el paso de la corriente: cada proposicin de una estructura lgica serrepresentado como un interruptor en un circuito elctrico

3. En un circuito lgico se podrn utilizar nicamente los circuitosparalelo y seriepara suconstruccin utilizando las analogas de: circuito en paralelo representar una disyuncinincluyente y circuito en serie representar una conjuncin

Circuito en paralelo-disyuncin incluyente:

El circuito en paralelo es un circuito elctrico en el cual se encuentran dos interruptores comose muestra en la figura 1, en esta se observa que ambos interruptores estn abiertos2 el paso decorriente del puntoAal puntoBser posible Ssi alguno de los elementos est cerrado, de lo contrariono pasar corriente, vea la siguiente analoga:

Circuito Paralelo Disyuncin Incluyenteinterruptor

paso de corrienteproposicin

valor de verdadp q p q

cerrado Cerrado si verdadera verdadera verdaderacerrado abierto si verdadera falsa verdaderaabierto cerrado si falsa verdadera verdadera

2En circuitos elctricos se dice que un interruptor est abierto si este se encuentra impidiendo el paso decorriente, es decir el interruptor est apagado

p

qFigura 1

A B


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abierto abierto no falsa falsa falsa

En el cuadro anterior se compara el circuito paralelo con la disyuncin incluyente.

Circuito en serie-conjuncin:

El circuito en serie es un circuito elctrico en el cual se encuentran dos interruptores como semuestra en la figura 2, en esta se observa que ambos interruptores estn abiertos y el paso de corrientedel puntoAal puntoBser posible Ssi ambos elementos estn cerrados, de lo contrario no pasarcorriente, vea la siguiente analoga:

Circuito Serie Conjuncin

interruptor paso de corriente proposicin valor de verdadp q p q

cerrado Cerrado Si verdadera verdadera Verdadera

cerrado abierto No verdadera falsa Falsa

abierto cerrado No falsa verdadera Falsa

abierto abierto No falsa falsa Falsa

En el cuadro anterior se compara el circuito serie con la conjuncin.

Construccin de circuitos lgicos: los circuitos lgicos se construyen en base a las condicionesanteriores, pero surge una pregunta, Qu ocurre si una estructura lgica tiene otro conectivo lgicodistinto a una disyuncin incluyente y conjuncin? Esta pregunta se responde al construir unaestructura lgicamente equivalentepara una estructura dada, de esta manera se tendr solamenteconjunciones y disyunciones incluyentes.

Ejemplo:

Construya un circuito lgico para la siguiente estructura lgica:

Primeramente se construye la tabla de verdad de la estructura lgica

p q1 1 11 0 00 1 10 1 0

Observe que la estructura lgica es falsa nicamente en una circunstancia:

p q

Figura 2

A B


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Se construye la proposicin usando la disyuncin incluyente con las proposiciones simples, perohaciendo que tengan valor de verdad falso:

El circuito lgico ser entonces un circuito en paralelo (pues es una disyuncin incluyente) este ser:

Ejemplo:

Construya un circuito lgico para la siguiente estructura lgica:

Se construye la tabla de verdad:p ( q ~r ) p q r 1 0 1 0 0 1 1 1 01 1 1 1 1 1 1 0 11 1 0 1 0 1 0 1 11 1 0 1 1 1 0 0 10 1 1 0 0 0 1 1 10 0 1 1 1 0 1 0 00 0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 1 0 0 0 0

El resumen se muestra a la par de la tabla de verdad, obsrvese que se tiene 4 valores verdaderos y 4valores falsos, si se elige trabajar con las verdaderas, entonces las condiciones son:

Se obtiene un valor de verdad verdadero si:


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Para cada fila se construye una proposicin, haciendo que cada proposicin simple seaVERDADERA Se construye ahora una estructura lgica enlazando cada proposicin anterior con una disyuncinincluyente:

Debido a que el ltimo conectivo que se utiliz para enlazar las proposiciones fueron las disyunciones,entonces el circuito ser un circuito en paralelo contando con 4 ramas:

En cada rama del circuito en paralelo se utilizan entonces las proposiciones en serie (esto porqueestn enlazados con la conjuncin):


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De esta forma se tiene el circuito elctrico terminado, observe claramente que cada interruptor estrepresentado por la proposicin simple que est en la estructura lgicamente equivalente.


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TAREA DE LA SECCIN 1

Conceptos y definiciones

1-5Escriba una V o una F si la siguiente expresin es verdadera o falsa respectivamente, de ser falsa,escriba la definicin correcta:

1. Una proposicin es una oracin que puede ser verdadera o falsa sin importar lascircunstancias

2. Una tautologa es aquella estructura lgica que es falsa ante cualquier circunstancia.3. Una tabla de verdad es una forma clara para visualizar algunos valores de verdad de las

proposiciones simples que la forman.4. Los conectivos lgicos tienen por objetivo enlazar dos proposiciones simple y dar un valor

de verdad definitivo.5. La negacin es un conectivo lgico.

6-10Complete los espacios en blanco para que la oracin tenga sentido y coherencia:

6. En la conjuncin de dos proposiciones, si la primera proposicin es verdadera y la segundaproposicin es falsa, entonces la conjuncin es ________________.

7. En la implicacin de dos proposiciones cuando la primera proposicin es_______________y la segunda proposicin es _________________ entonces la implicacin es falsa.

8. ________________es aquella expresin que carece de un valor de verdad nico porquedepende de circunstancias o gustos.

9. x es un medio de transporte de dos ruedas es una proposicin ______________ en dondeel elemento ______ representa lo que debe ser sustituido para que sea una proposicin

___________.10. Un _____________ ______________ es la representacin fsica de una estructura lgica.

Ejercicios11-15Determine cules de los siguientes enunciados son proposiciones, si los son, determineel valor de verdad de cada una de ellas.

11. La casa es azul.12. Los gatos son mamferos.13. Cobn es un Departamento de Guatemala.14. Los osos polares habitan en el polo sur.15. Isaac Newton invent la gravedad.

16-20 Determine cual o cuales son los elementos que hacen cierta las siguientesproposiciones abiertas (si son varios mencione al menos 3)

16. X es vivparo.17. X present la teora de la relatividad.18. X desarrollo y present el clculo diferencial e integral.19. X es departamento de Guatemala que colinda con Honduras.20. X es una fruta ctrica.


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21-25 Se tienen las siguientes proposiciones: y , escriba que significado tienela siguiente simbologa:

21. 22. 23. 24. 25.

26-30Para cada una de las siguientes proposiciones compuesta mencione cuales son lasproposiciones simples que le dan origen, el valor de verdad de cada proposicin simple, elnombre del conectivo lgico que las enlaza y el valor de verdad que tiene el conectivo:

26. Si el calor es un tipo de energa entonces Phi es el nmero de oro.27.

28. Las vacas son rumiantes o las iguanas reptan.29. La Fsica es la ciencia que se encarga de estudiar los fenmenos de la naturaleza si ysolo si la trigonometra estudia lo relacionado a los tringulos.

30. La escala de Mercalli mide la energa liberada en un sismo la escala de Richter midela energa liberada en un sismo.

31-34Construya la tabla de verdad de cada una de las siguientes estructuras lgicas y definasi es tautologa, negacin o contradiccin.

31. 32.

33. 34. 35-37Determine si las estructuras lgicas dadas son lgicamente equivalente.

35. 36. 37.

38-40Determine una estructura lgicamente equivalente a las siguientes estructuras lgicas:

38.

39. 40. *41-43Utilice las tablas de verdad para responder lo que se le pide:


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Relacin de equivalencia de conjuntos: Dos conjuntos son equivalentes si tienen la mismacardinalidad, se utiliza el smbolo que se lee equivalente para denotar la equivalencia entre dosconjuntos. Dos conjuntos no son equivalentes si no tienen la misma cardinalidad, utilizando elsmbolo

para denotarlo.

Relacin de igualdad:Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, en igual cantidad,utilizando la simbologa . Dos conjuntos no son iguales si no tienen los mismos elementos, y sedicen no iguales (), y si dos conjuntos no tienen ningn elemento en comn se afirma que sonconjuntos disjuntos.

Tipos de conjuntos:los conjuntos estn divididos en dos grandes grupos, los conjuntos ordenadosylos conjuntos no ordenados

Conjuntos Ordenados:los conjuntos ordenados son agrupacin de elementos, que deben cumplirlas siguientes condiciones:

o Elementos agrupados entre parntesis.o Elementos separados por comas.o El orden de los elementos es importante.o Los elementos pueden repetirse.o Dos o ms elementos.

Ejemplos:

Conjuntos no ordenados:Los conjuntos no ordenados son agrupaciones de elementos que puedenrepresentarse de distinta forma, sin embargo para ser un conjunto no ordenado debe cumplir lassiguientes condiciones:

o Elementos agrupados entre llaves.o Elementos separados por comas.o El orden de los elementos no es importante.

o Los elementos no pueden repetirse.o 1 o ms elementos.

4 formas de representar un conjunto: Los conjuntos no ordenados pueden representarse de 4 formasdistintas, estas son:

Forma Enumerativa:Forma en la cual el conjunto no ordenado muestra la totalidad de los elementosenumerndolos. Ejemplo:

Forma descriptiva: Forma del conjunto no ordenado en la cual se da una descripcin de loselementos que lo conforman, haciendo uso de las proposiciones abiertas.

La forma correcta de la lectura del conjunto anterior es: el conjunto A es un conjunto no ordenadoque contiene elementos x de tal forma que x es planeta del sistema solar.


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Forma grfica:Modelo Grafico del conjunto en el cual se aprecia los elementos que lo conforman,generalmente se hace uso de los diagramas de Venn Euler.

Forma nominal:Este tipo de representacin de conjuntos est dada de acuerdo, existen nombres que

se les asign a cierto tipo de conjuntos (generalmente numricos), al reconocer el smbolo se sabeque representa a un conjunto.

Cambio en la representacin de un conjunto: En algunas ocasiones la forma de escritura de unconjunto no ordenado se debe llevar a otra forma, ya sea por comodidad, facilidad o manejo, por talrazn es importante que se pueda cambiar la representacin:

De forma Enumerativa a forma Descriptiva:o Definir las caractersticas de los elementos del conjunto.o Escribir una proposicin abierta (simple o compuesta) que describa las caractersticas

de definidas anteriormente. Si la proposicin es una proposicin compuesta, debe

enlazarlo con el conectivo lgico adecuado, generalmente se utiliza la conjuncin yen ocasiones la disyuncin incluyente.

De forma descriptiva a forma enumerativa:o Comprender la proposicin abierta que la forma.o Enumerar todos los elementos que hace cierta la proposicin abierta.

Ejemplos:

Traslade los siguientes conjuntos de forma descriptica a forma enumerativa o de forma enumerativaa forma descriptiva segn sea el caso:

50. 51.

52.

4Nombres de conjuntos numricos, que ms adelante se describirn mejor


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Solucin:

a. La caracterstica obvia del conjunto es que son nmeros, pero existe caractersticaparticulares de estos elementos: son nmeros primos, son nmeros naturales y sonmenores a 10, entonces las proposiciones abiertas son:

Observe muy bien que las tres deben cumplirse para que el elemento x forme parte delconjunto, entonces se enlaza con una conjuncin, y entonces el conjunto de forma descriptivaes:

b. Los elementos que hacen cierta la proposicin abierta son: Huehuetenango, San

Marcos, Santa Cruz del Quich, Quetzaltenango, Solol, Totonicapan, Retalhuleu, Cobn,

Salam, Guatemala, Antigua Guatemala, Chimaltenango, Mazatenango, Escuintla, Flores,Puerto Barrios, Guastatoya, Jalapa, Zacapa, Chiquimula, Cuilapa, Jutiapa.

Entonces el conjunto en forma enumerativa es:

c. Los elementos que hacen cierta ambas proposiciones son:

entonces el conjunto de forma enumerativa es:

Los conjuntos numricos: Los conjuntos numricos son conjuntos que conformados por elementosque representan cantidades; estn divididos en varios grupos, estos son:

1. Conjunto de los nmeros Dgitos.2. Conjunto de los nmeros Naturales.3. Conjunto de los nmeros Enteros.4. Conjunto de los nmeros racionales.5. Conjunto de los nmeros irracionales.6. Conjunto de los nmeros Reales.7. Conjunto de los nmeros imaginarios.8. Conjunto de los nmeros complejos.

Los conjuntos estn numerados del ms simple hasta el ms extenso, dentro de la matemtica que semanejar se trabajar siempre dentro del conjunto de los nmeros reales, presentndose ms algunavez los nmeros imaginarios y los complejos, pero nunca se trabajaran completamente.

5Los puntos suspensivos se utilizan para indicar que hay muchos ms elementos que cumplen con la condicin.


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Conjunto de los nmeros irracionales: Este es el nico conjunto numrico que no poseerepresentacin de forma nominal, enumerativa o descriptiva, y solo puede darse una idea de loselementos que posee, de la siguiente manera: Todos los nmeros decimales que no posean un

periodo decimal son llamados nmeros irracionales algunos ejemplos de estos son:

Conjunto de los nmeros reales ():La unin del conjunto de los nmeros irracionales con elconjunto de los nmeros racionales da como resultado al llamado conjunto de los nmeros reales, enel cual se trabaja la mayora de las operaciones bsicas existentes.

Conjunto de los nmeros imaginarios():Este conjunto de nmeros surge de la idea de la existenciade cantidades que con los nmeros reales no se pueden obtener, por ejemplo, suponga que se debeobtener lo siguiente:

Esta cantidad no puede existir dentro de los nmeros reales, pues es necesario encontrar una

cantidad que al multiplicarse por s mismo de una cifra negativa, por lo tanto los grandes matemticosdefinieron la cantidad imaginaria, para el caso particular, se asume que el resultado es 3, pero un 3,imaginario, definindose de la siguiente manera:

Conjunto de los nmeros complejos ():El conjunto numrico ms grande se denomina conjuntode los nmeros complejos, se conoce como la unin de los nmeros Reales y los nmeros Imaginarios.Dentro de este campo numrico se desarrolla una gran rama de la matemtica encargada de aplicarlos nmeros complejos, dentro de las cuales se puede mencionar a la Hidrulica, Flujo Magntico,Circuitos electrnicos, Campos vectoriales y otras que son de mucha importancia en distintas ramasde la ingeniera.

Conjunto vaco:El conjunto vaco es un conjunto que tiene una cardinalidad 0, es decir, que carecede elementos, para su escritura se puede utilizar:

Es importante resaltar que se debe utilizar nicamente uno de ellos, y no una combinacin de ambos,la escritura del conjunto vaco de la forma no es una denotacin correcta.Operaciones con conjuntos: las operaciones con conjuntos son procesos que reducen dos conjuntosa un solo conjunto o un conjunto a otro conjunto, bajo ciertas condiciones, las operaciones conconjuntos son:

1. Unin

2. Interseccin3. Diferencia4. Diferencia Simtrica5. Complemento6. Conjunto Potencia7. Producto Cartesiano


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Unin entre conjuntos:la unin de dos conjuntos es una operacin que simblicamente se representamediante el signo que se lee unin unido a, si se denota a Ay Bcomo dos conjuntos novacos, entonces la unin entreAyB, queda definida como:

La forma descriptiva de la unin de dos conjuntos define que la unin contendr todos los elementosdeAy todos los elementos deB, y dado que son conjuntos no ordenados, los elementos no puedenrepetirse.

Ejemplo:

Sea: B

Determine el resultado del conjunto :Solucin

El conjunto unin requiere a los elementos que pertenezcan al conjuntoA oal conjuntoB, entoncesel resultado es:

Se Puede comprobar al verificar el valor de verdad de la proposicin abierta de la definicin de unin.

Interseccin entre conjuntos: La interseccin de dos conjuntos es una operacin quesimblicamente se representa mediante el signo que se lee interseccin intersectado a, sise denota a

yBcomo dos conjuntos no vacos, entonces la interseccin entreAyB, queda definida

como: La forma descriptiva de la interseccin de dos conjuntos define que la interseccin contendr todoslos elementos en comn de Ay B, porque la proposicin abierta ser verdadera nicamente si cadaelemento pertenezca a ambos conjuntos.

Ejemplo:

Sea: B

Determine el resultado del conjunto :SolucinEl conjunto interseccin requiere a los elementos que pertenezcan al conjunto A yal conjunto B,entonces el resultado es:


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Se puede comprobar al verificar el valor de verdad de la proposicin abierta de la definicin deinterseccin.

Diferencia entre conjuntos:La diferencia de dos conjuntos es una operacin que simblicamente serepresenta mediante el signo que se lee diferencia; si se denota ayBcomo dos conjuntos novacos, entonces la diferencia entreAyB, queda definida como:

La forma descriptiva de la diferencia de dos conjuntos define que la diferencia contendr todos loselementos del conjuntoAque no estn en el conjuntoB, porque la proposicin abierta ser verdaderanicamente si el elemento pertenece al primero, pero no pertenece al segundo conjunto.

Ejemplo:

Sea: B Determine el resultado del conjunto :Solucin

El conjunto diferencia requiere a los elementos que pertenezcan al conjuntoA yno pertenezcan alconjuntoB, entonces el resultado es:

Se puede comprobar al verificar el valor de verdad de la proposicin abierta de la definicin dediferencia.

Diferencia simtrica:La diferencia simtrica de dos conjuntos es una operacin que simblicamentese representa mediante el signo que se lee diferencia simtrica; si se denota ayBcomo dosconjuntos no vacos, entonces la interseccin entreAyB, queda definida como:

La forma descriptiva de la diferencia simtrica de dos conjuntos define que la diferencia simtricacontendr todos los elementos en que no son comunes a y B. Se puede afirmar que la diferenciasimtrica toma los elementos que la interseccin de los conjuntos no toma.

Ejemplo:

Sea: B

Determine el resultado del conjunto :


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Solucin

El conjunto diferencia simtrica requiere a los elementos que pertenezcan al conjunto A o quepertenezcan al conjuntoB, entonces el resultado es:

Se puede comprobarlo al verificar el valor de verdad de la proposicin abierta de la definicin dediferencia simtrica.

Complemento de un conjunto: Conjunto universo ():el conjunto universo es un conjunto que contiene como subconjunto

a un conjunto dado, por ejemplo, suponga que se tiene el siguiente conjunto:

Est claro que este conjunto est contenido en , por lo tanto es posible afirmar que elconjunto universo es , entonces . Sin embargo el conjuntoAtambin puede ser unsubconjunto de, de, de o incluso de, por lo tanto el conjunto Universo debe ser

plenamente identificado, pues de lo contrario se tomar al conjunto mximo que se puedaconstruir.

El complemento de un conjuntodenotado simblicamente comoest definido como:

La diferencia entre el conjunto universo y un conjunto dado, es el complemento de un conjunto.

Ejemplo:

Sea: Determine el resultado del conjunto:Solucin

El complemento de un conjunto qued definido como la diferencia entre el conjunto universo y elconjunto dado, es decir:

Puede comprobarlo al verificar el valor de verdad de la proposicin abierta de la definicin deinterseccin.


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Producto cartesiano: El producto cartesiano es otra de las operaciones entre conjuntos,simblicamente se denota con el signo que se lee, producto cartesiano si se denota a y Bcomo dos conjuntos no vacos, entonces el producto cartesiano entreAyB, queda definida como:

De esto entonces el conjunto producto cartesiano ser un conjunto que estar formado con parejasordenadas como elementos.

Ejemplo:

Sea: B

Determine el resultado del conjunto :Solucin

El conjunto producto cartesiano dar como resultado un conjunto de parejas ordenadas, al utilizar ladefinicin se puede encontrar que:

Puede comprobarlo al verificar el valor de verdad de la proposicin abierta de la definicin deinterseccin.

Conjunto Potencia:El conjunto potencia ser el conjunto que estar formado por todos los posiblessubconjuntos del conjunto dado, se denota con el smbolo

, que se lee Conjunto potencia de

Ejemplo:

Sea: Determine el resultado del conjunto :Solucin

El conjunto potencia contendr como elementos a todos y cada uno de los subconjuntos que se puedanobtener del conjunto, entonces, primeramente examinemos todos los posibles subconjuntos delconjuntoA:

Por lo tanto el conjunto potencia de A, queda como: Operaciones compuestas con conjuntos: las operaciones compuestas con conjuntos son lasoperaciones que se realizan con ms de 2 conjuntos, el orden para realizar estas operaciones debe


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seguirse a base de la forma de agrupacin, recordando que las operaciones son binarias siempre debenenlazar solamente 2 conjuntos.

Ejemplo:

Sean:

Determine el resultado de:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. Solucin:

Al utilizar la definicin como en los ejemplos anteriores las primeras 6 operaciones tienen comoresultado:

1. 2. 3. 4. 5.

6. Para realizar los siguientes ejercicios estos se realizarn mediante una secuencia, realizandoprimeramente las operaciones que se encuentra ms internamente en los signos de agrupacin:

7.

Con este resultado ya se puede realizar la siguiente operacin:

Y de la misma forma, se puede ahora proceder con la ltima operacin, el complemento:

8.


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Operaciones con conjuntos de forma grfica:La forma grfica es un mtodo rpido de determinarel resultado de las operaciones con conjuntos, utilizando los diagramas de Venn, para ello, se muestrala forma grfica de las operaciones bsicas entre conjuntos. Suponga que se tiene 2 conjuntos, quetienen algunos elementos en comn, entonces los diagramas se pueden representar como:

Representacin grfica de la unin de dos conjuntos: Los elementos contenidos en la unin de losconjuntos sern todos aquellos que queden coloreados, para este caso:

Representacin grfica de la interseccin de dos conjuntos: Los elementos contenidos en lainterseccin de dos conjuntos sern todos aquellos que queden coloreados, para este caso:

Representacin grfica de la diferencia de dos conjuntos: Los elementos contenidos en ladiferencia de dos conjuntos sern todos aquellos que queden coloreados, para este caso:


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Representacin grfica de la diferencia simtrica de dos conjuntos: Los elementos contenidos enla diferencia de dos conjuntos sern todos aquellos que queden coloreados, para este caso:

Representacin grfica del complemento de un conjunto: Dado que el complemento de unconjunto se define como la diferencia entre el conjunto universo y el conjunto dado, entonces se puederepresentar grficamente como:


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Ejemplo:

Resuelva utilizando diagramas de Venn las siguientes operaciones, con los conjuntos dados: Solucin:

Primeramente se traza los conjuntos dados en diagramas de Venn:

Ahora se ubican los elementos en el lugar correspondiente:


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Ahora puede determinarse la solucin de lo requerido con ayuda de las grficas mostradas en ladefinicin de operaciones con conjuntos de forma grfica:

Ejemplo:

Resuelva utilizando diagramas de Venn las siguientes operaciones, con los conjuntos dados:


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Solucin:

Se dibuja el diagrama de Venn con cada uno de los elementos, observe muy bien que los conjuntosquedan intercalados en los elementos en comn:

Entonces se puede determinar el resultado de lasoperaciones utilizando el grafico

Aplicaciones de las operaciones con conjuntos:Los conjuntos tienen muchas aplicaciones dentrode la matemtica, entre ellas estn las tcnicas de conteo, en los cuales se aplican los diagramas deven para su solucin.

Ejemplo:

Al pasar una encuesta sobre preferencia en tres medios de transporte (motocicleta, bicicleta yautomvil), la informacin es la siguiente:

Solamente motocicleta: 5 Motocicleta: 38 No le gusta el automvil: 9 Motocicleta y bicicleta, pero no automvil: 3 Motocicleta y automvil pero no bicicleta: 20 No les gusta la bicicleta: 72 Ninguna de las tres cosas: 1 No les gusta la motocicleta: 61

Determine lo siguiente:

1. Cuantas personas fueron entrevistadas?2. Cuantas personas les gusta solamente la bicicleta?3. Cuntas personas les gusta solamente el automvil?4. Cuntas personas les gustan las tres cosas?5. Cuntas personas les gusta la bicicleta y el automvil pero no la motocicleta?

Solucin:


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Primeramente interprete a los conjuntos A, B y C, como los grupos de personas que prefieren uncierto tipo de transporte, suponga que A, es el conjunto de las personas que les gusta la bicicleta, Bel conjunto de las personas que les gusta la Motocicleta y C el conjunto de personas que les gusta elautomvil, al dibujar esto en un diagrama de Venn, se tiene que:

El Diagrama se llenar, no con elementos, sino con lacardinalidad que posee cada espacio, con estodenotaremos la cantidad de personas que se encuentraen cada regin.

Observe la figura, y vea que se tienen 8 regionesdistintas, cada una de ellas representa un gustodiferente, por ejemplo:Rojo: personas que les gustan nicamente las

bicicletasMorado: Personas que les gusta la bicicleta y elautomvil, pero no la motocicleta

Negro: Personas que les gustan las 3 cosas.

Entonces con la informacin brindada se puede empezar a llenar los espacios: Solamente Motocicleta: 5, correspondiente a la regin amarilla. Motocicleta y bicicleta, pero no automvil: 3, correspondiente a la regin naranja. Motocicleta y automvil pero no bicicleta: 20, correspondiente a la regin verde. Ninguna de las tres cosas: 1, correspondiente a la regin blanca.

Ahora, es necesario descubrir cules son las cantidades que hacenfalta, la siguiente pista a utilizar es: Motocicleta: 38 vea que enel conjunto B, que corresponde a motocicleta ya se tienen a 28

personas, entonces hacen falta 10, lo cual nos hace afirmar que

esta cantidad debe ir en el espacio faltante.

La afirmacin No le gusta el automvil: 9 significa que lacantidad de personas que estarn fuera del conjunto C debe ser9, como ya todos estn llenos, el nico espacio el nico espacioque hace falta por llenar es el de color rojo, sin embargo lacantidad de personas que estn fuera del conjunto C, es de 9, por

lo tanto en este espacio rojo, no debe ir ninguna persona:


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No les gusta la bicicleta: 72 es decir, que 72 debe ser el totalde personas que estn fuera del conjunto A, dado que el total de

personas que estn fuera del conjunto A es de 26, hacen falta 46que tienen que estar ubicadas en la regin azul:

La ltima afirmacin es: No les gusta la motocicleta: 61 locual afirma que la cantidad fuera del conjunto B, es de 61,observe que ya se tienen 47 fuera, por lo tanto hacen falta 14,que deben ir en la regin faltante:

Por lo tanto al tener llena, se procede a contestar las preguntasdadas:

Cuantas personas fueron entrevistadas? Cuantas personas les gusta solamente la bicicleta? Cuntas personas les gustan solamente el automvil?

Cuntas personas les gustan las tres cosas? Cuntas personas les gustan la bicicleta y el automvil perono la motocicleta?


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Ejercicios para la seccin 2Conceptos y definiciones1-6De los siguientes conjuntos de elementos cual no parece encajar?

1. Martillo, alicate, pinza, toalla.

2. Lpiz, crayn, sacapuntas, lapicero.3. Factura, recibo, vale, peridico.4. Rojo, amarillo, pia, azul.5. Gallina, perro, ganso, pavo.6. Piano, tambor, marimba, xilfono

7-12Con el conjunto de letras dado forme una palabra, puede usar ms de una vez cada letra, guesedel ejemplo:

*a,b,d,o,r: borrador7. Z, i, p, a, l:8. P, m, l, a, r:9. A, t, l:10. C, s, a:

11. R, h, o, g, a:12. U, o, l, s, e:

13-19Llene los espacios en blanco para que el argumento sea verdadero:

13. ________________ es la reunin de elementos que tienen caractersticas en comn.14. Los conjuntos se clasifican en dos grandes grupos, los conjuntos ______________ y los

conjuntos ____________________15. Los conjuntos ordenados van encerrados entre _________________ y los elementos ____

pueden repetirse. En estos el orden _____ importa.16. Los conjuntos no ordenados van encerrados entre________________ los elementos ______

pueden repetirse. En estos el orden ______ importa.17. La ____________ de un conjunto define la cantidad de elementos que un conjunto posee.

18. Un conjunto no ordenado en forma descriptiva lleva una descripcin de los elementos queposee auxilindose de una _______________ _______________, sta siempre debeescribirse en _______________ para que su lectura tenga coherencia y as discriminarelemento por elemento.

19. Un conjunto puede representarse de 4 formas,_____________________,__________________,______________________ y ______________________.

Ejercicios:20-27Mencione el error de cada uno de los siguientes conjuntos no ordenados, seguidamente escribala forma correcta:

20. 21.

22. 23. 24. 25. 26. 27.


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28-33Cambie los conjuntos siguientes de forma descriptiva a forma enumerativa:

28.

29. 30. 31. 32. 33.

34-39Cambie los conjuntos siguientes de forma Enumerativa a forma descriptiva:

34.

35.

36. 37. 38. 39.

40-51 A cada elemento siguiente asgnele el menor conjunto numrico al que puedepertenecer, justifique:

40. 041. 0.33333.42. 2/343.

44. -1245. -12/446. 847.

48. (2.66666.)/349. -100000050.51.

52-56Reescriba cada cifra como un nmero racional:

52.53.54.55.56.

57-65Sean los siguientes conjuntos:

Determine el resultado de las siguientes operaciones asumiendo que el conjunto universo esel conjunto de los nmeros dgitos:


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57. 58.

59.

60. 61. 62. 63. 64. 65.

66-70Se tienen los siguientes conjuntos:

Utilizando las definiciones de operaciones con conjuntos determine el resultado de:66. 67. 68. 69. 70. 71. En una comunidad Guatemalteca, se ha realizado una encuesta sobre el consumo de

dos productos de limpieza que llamaremosAyB, se ha utilizado una muestra de 500personas. De la encuesta se sabe que 138 personas utilizanApero noB, 206 personas

consumenAyBy 44 personas no consumenAy tampocoB, determine lo siguiente:a. La cantidad de personas que utilizan A.b. La cantidad de personas que utilizan B.c. Cuantas personas utilizan B pero no Ad. Cuantas personas utilizan al menos un producto.

72. En un colegio se tienen 3 secciones (A, B y C) para tomar un curso de msica para200 estudiantes, sin embargo este curso se ha convertido en un caos, pues ha sido untotal xito que muchos alumnos entran ms de una vez al curso, se sabe la siguienteinformacin: 85 personas ingresan a la seccin B, 103 personas ingresan a la seccinC, 10 personas ingresan a la seccin A y C, pero no a la B, 13 personas ingresan a laseccin A y C, 18 personas ingresan a la seccin B y C, 5 personas ingresan a laseccin A y B, pero no a la C. Determine lo siguiente:

a. La cantidad de personas que no ingresan a ninguna seccinb. La cantidad de personas que ingresan a las tres seccionesc. La cantidad de personas que ingresan a la seccin A, pero no a la B ni C.d. La Cantidad de personas que no ingresan a la seccin Ae. La cantidad de personas que ingresan a al menos una seccin.


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73. En una pequea empresa cuenta con 300 trabajadores entre hombres y mujeres,algunos recibieron una capacitacin para mejorar los procesos dentro de la empresa,entre ellos algunos estn casados, ayude usted a determinar lo que se le pide si se sabeque: 1880 son hombres, 1600 son personas casadas, 380 recibieron capacitacin, 150recibieron la capacitacin y estn casados, 120 personas de las que recibieroncapacitacin son hombres casados, en total se tienen 1260 hombres casados y 260hombres recibieron capacitacin

a. Qu cantidad de mujeres no casadas trabajan en la empresa?b. Qu cantidad de mujeres capacitadas trabajan en la empresa?c. Qu cantidad de mujeres capacitadas y casadas trabajan en la empresa?d. Qu cantidad total de mujeres trabajan en la empresa?

74. Durante el mes de abril, una empresa ha fabricado diariamente productos del tipo Ao del tipo B (o ambos), excepto 4 domingos durante los cuales no ha fabricado nada.Sabiendo que 15 das del mes ha fabricado A, y 20 das ha fabricado B, a) cuntosdas del mes ha fabricado ambos productos? b) cuntos das del mes ha fabricadoslo productos del tipo A? c) cuntos das del mes ha fabricado slo productos deltipo B?

PROBLEMAS PARA PENSAR:75. De diez amigos seis de ellos desean pasar sus vacaciones y deciden, cada dos, utilizar

diferentes medios de transporte; sabemos que Alejandro no utiliza el coche ya queeste acompaa a Benito que no va en avin. Andrs viaja en avin. Si Carlos no vaacompaado de Daro ni hace uso del avin; puedes decirnos en qu medio detransporte llega a su destino Toms.

76. Cecilia, Diego, Fabio, Gloria y Mario tienen diferentes cantidades de dinero.Ni Gloria ni Cecilia tienen tanto dinero como Fabio. Tanto Cecilia como Diegotienen ms dinero que Mario. Gloria tiene ms dinero que Mario, pero menosque Cecilia. quin tiene la menor cantidad de dinero?

77. En un condominio V.I.P hay 5 casas de cinco colores diferentes y en cada una de ellas viveuna persona de una nacionalidad diferente. Cada uno de los dueos bebe una bebida diferente,fuma una marca de cigarrillos diferente y tiene una mascota diferente. La nica informacinque se tiene es la siguiente:

a. El britnico vive en la casa roja.b. El sueco tiene un perro.c. El dans toma t.d. La casa verde est a la izquierda de la blanca.e. El dueo de la casa verde toma caf.f. La persona que fuma Pall Mall tiene un pjaro.g. El dueo de la casa amarilla fuma Dunhill.h. El que vive en la casa del centro toma leche.i. El noruego vive en la primera casa.

j. La persona que fuma Brends vive junto a la que tiene un gato.k. La persona que tiene un caballo vive junto a la que fuma Dunhill.l. El que fuma Bluemasters bebe cerveza.m. El alemn fuma prince.n. El noruego vive junto a la casa azul.o. El que fuma Brends tiene un vecino que toma agua.p. Quin es el dueo del pececito?


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GEOMETRA ELEMENTAL

Geometra:es la rama de la matemtica encargada del clculo de toda figura en un plano o en elespacio

El punto:el punto es la figura geomtrica ms simple que existe, esta figura existente, carece delongitud.

La lnea:La lnea es la figura compuesta por una sucesin de puntos, esta puede ser lnea recta(rectilnea) o lnea curva (curvilnea):

El rea:El rea es la cantidad de superficie de cualquier figura plana, generalmente formada poruna serie de lneas rectas o curvilneas cerradas:

En las figuras anteriores se muestra que segmentos de lnea generaron distintas superficies cerradas,la cantidad de superficie encerrada se denota rea, siempre con dimensionales de longitud al cuadrado[], pudiendo utilizar, como longitud los cm, m, pulg, pie, km, Hectreas, cuerdas, varas, etc. engeneral cualquier dimensional de longitud.

Permetro:el permetro es la longitud total de una lnea que encierra un rea, en las figuras dereas, el permetro ser la suma de los segmentos de lnea que encierran la superficie.

Formulas bsicas para reas, Permetros, Volmenes y reas superficiales

Superficies de figuras geomtricas bsicasNombre Permetro reaCuadrado

Segmento de lnea recta Segmento de lnea curva

rea generada por launin de 10segmentos rectos.Contorno de un

pentagrama

rea generada porla unin de 4

segmentos rectos.Contorno de uncuadriltero,trapecio

rea generada por la unin de

1 curvilnea. Contorno de unaelipse


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Rectngulo Trapecio

Triangulo cualquiera Tringulo equiltero

Polgono regular

Circulo Elipse

Segmento circular

Ejemplo 1:

Determine el rea de la siguiente figura si se sabe que , y Observe que la figura est formada por 5 figuras elementales, 3tringulos y 2 rectngulos, entonces el rea se encontrarsumando las reas unitarias, dado que los tringulos tienen lasmismas longitudes, tendrn las mismas reas, pero no sucede lomismo con los rectngulos. La altura de los tringulos es de , la base es de , el triangulo BCEI tiene una alturade y una base de , el triangulo DEGF una altura de

y una base de

, entonces el rea de la figura es:

Ejemplo 2:

Determine el rea de la regin sombreada


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Note muy bien que la figura es un cuadrado cubierto por cuatrosegmentos de crculo, para obtener el rea sombreada, al rea delcuadrado debe restarse el rea de los cuartos de crculo:

ngulos:Los ngulos son las medidas que definen la abertura entre dos lneas que parten de unmismo punto en comn llamado vrtice. Existen distintas formas de medir los ngulos, sin embargolas ms utilizadas son:

El grado sexagesimal:Medida angular que divide una circunferencia completa en 360 partes

iguales, llamados grados. El grado Centesimal:Medida angular que divide una circunferencia completa en 400 partes

iguales, llamados grados. El radian: Medida angular, la ms utilizada en las matemticas avanzadas, tiene la

caracterstica de dividir una circunferencia en partes iguales.Existen ngulos que son de mucha utilidad, el cual ha hecho que se particularicen:

ngulo agudo: ngulo mayor a 0 y menor a 90 ngulo recto: ngulo que tiene 90 ngulo obtuso: ngulo mayor a 90 y menor a 180 ngulo llano: ngulo que tiene 180

Tringulos:Un tringulo es una figura formada por tres segmentos de recta, que forman 3 vrtices,cada uno conteniendo un ngulo cada uno. Si se llama a estos lados a, by c, siendo cel lado msgrande, entonces , es decir, que el lado de mayor longitud debe ser menor que la suma delos otros dos lados, de lo contrario no existir triangulo. La rama de la matemtica encargada de todoel estudio de los tringulos se denomina trigonometra. Los tringulos estn divididosgeomtricamente en tringulos equilteros, issceles y escalenos, que son, los de tres lados iguales,los de dos lados iguales y uno desigual y el de tres lados desiguales respectivamente, cada unosubdividido en varias formas.

Tringulos rectngulos:Los tringulos rectngulos son los tringulos que poseen un ngulorecto. Los tringulos rectngulos poseen un lado que posee mayor longitud, a este lado se le conocecomo Hipotenusa, mientras que los otros dos lados se denominan catetos

Hipotenusa

Cateto

Cateto


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El teorema de Pitgoras:El teorema de Pitgoras es un modelo geomtrico que deriva su nombreen honor al matemticoPitgoras de Samos (580 a.C.-495 a.C.). El modelo geomtrico aplicado

para tringulos rectngulo y para tringulos generales con una pequea modificacin afirma que: Elcuadrado de la hipotenusa equivale a la suma de los cuadrados de los catetos, en lenguaje matemtico

puede ser escrito mediante: En la cual c representa a la hipotenusa y a y b los catetos, una manera de expresar el valor dela hipotenusa es:

Si se necesita encontrar el valor de una hipotenusa, se puede expresar como:

Si lo que se requiere es un cateto, independientemente del que se requiera. Un error muy comn alutilizar el teorema de Pitgoras es afirmar lo siguiente:

Lo cual es incorrecto, se puede comprobar sustituyendo valores que lo anterior es completamentefalso.

Las funciones trigonomtricas: las funciones trigonomtricas son los elementos matemticosencargados de relacionar los lados y los ngulos de los tringulos. En el momento en que en untringulo se introduce los ngulos los catetos toman un nombre particular dependiendo del ngulo

que se trabaje, los catetos son llamados Cateto Opuesto y Cateto Adyacente, suponga que se tiene untringulo rectngulo de la siguiente manera con los ngulos mostrados:

Se puede elegir trabajar con cualquiera de los ngulos o , entonces: Referente al ngulo : El cateto b recibe el nombre de cateto opuesto, por encontrarseopuesto al ngulo de trabajo. El cateto a recibe el nombre de cateto adyacente, porencontrarse a la par del ngulo de trabajo.

Referente al ngulo : El cateto a recibe el nombre de cateto opuesto, por encontrarseopuesto al ngulo de trabajo. El cateto b recibe el nombre de cateto adyacente, porencontrarse a la par del ngulo de trabajo.


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Las funciones trigonomtricas dependen del ngulo de trabajo, las funciones son 6: Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante

Cada una de ellas representa la relacin de dos lados de un tringulo siendo estas:

La funcin trigonomtrica de un ngulo queda definida como la relacin de dos lados de un tringulo,de acuerdo a la ubicacin del ngulo.

Ejemplo 3:

Se tiene la siguiente relacin trigonomtrica, con esta informacin determine las siguientes funcionestrigonomtricas:

Al observar la relacin de la funcin trigonomtrica cotangente, se aprecia que los lados que seinvolucran son los de Adyacente y opuesto, al notar los valores se puede deducir que:

Por lo tanto se necesita encontrar el siguiente lado del tringulo rectngulo, es decir, se requiere delvalor de la hipotenusa, para ello se utiliza el teorema de Pitgoras:

Si el valor de la hipotenusa es de 5, entonces ya se pueden determinar las siguientes funcionestrigonomtricas


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Semejanza de tringulos:la semejanza de tringulos es una relacin que existe entre dos tringulosque tiene un ngulo en comn, por ejemplo:

La figura anterior est formada por 2 tringulos, uno grande y uno pequeo, sin embargo amboscomparten un vrtice, y por lo tanto el ngulo en este vrtice es el mismo, de esto entonces es correctoafirmar queSi tienen un ngulo en comn, entonces las funciones trigonomtricas de este ngulodeben ser las mismas para ambos tringulos. Observe la siguiente figura, est formada por 2tringulos, uno inscrito en otro, cada una de las medidas est dada:

Al obtener las 6 funciones trigonomtricas de ambos tringulos observe lo siguiente:


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Tringulo grande

Tringulo pequeo

Ambos tringulos poseen los mismos valores para cada funcin trigonomtrica, lo cual en ocasioneses til si se desea conocer algn lado desconocido de dos tringulos que se encu

entren en semejanza:Ejemplo 4:

En la siguiente figura, determine el lado que se desconoce utilizando la semejanza de tringulos:

Observe que por ser tringulos semejantes, entoncestodas las funciones trigonomtricas que se obtengan de ambos deben ser los mismos valores, si seutiliza la funcin tangente entonces:

Por lo tanto el valor del lado desconocido es de 24.

Ejemplo 5:

Una escalera se utiliza para subir a la ventana de un edificio, sin embargo el edificio est bordeadopor una cerca de 2.5 metros de alto a 3 metros de la base del edificio, si para poder llegar a la ventana,


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la escalera se coloca a 1.5 metros de la base de la cerca y esta toca apenas la parte superior de la cerca,Qu tan alto se encuentra la ventana? Cul es la longitud de la escalera?

Observe que el problema se resuelve al utilizar la semejanza de tringulos, note muy bien que setienen 2 tringulos, el menor posee lados 2.5 y 1.5 mientras que el tringulo mayor posee lados de hy 4.5 metros(esto porque es la longitud total), si se utiliza la relacin trigonomtrica tangente,entonces:

Entonces la altura hde la ventana es de 7.5 metros, para calcular la longitud de la escalera se utilizael teorema de Pitgoras:

La escalera tiene una longitud aproximada de 10.6 metros de longitud.


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OPERACIONES BINARIAS Y LAS LEYES DE LOS EXPONENTES

El campo Real: Cuando se inicia a estudiar alguna de las tantas ramas de la matemtica, esnecesario saber en qu campo se trabajara, un campo es un conjunto numrico en el cual existenoperaciones que cumplen con propiedades especficas. El desarrollo de los temas de este y lossiguientes cursos se realizara en el campo real de adicin y productoque se denota de la siguiente

manera: Esto significa que se desarrollaran todos los temas usando los nmeros Reales y basados nicamentecon las operaciones binarias7producto (ms conocido con el termino de multiplicacin) y adicin(suma).

Note muy bien que en el campo real de adicin y producto no se hace mencin de la operacindiferencia (resta) y cociente (divisin), esto debido a que la diferencia est definida como la suma deun numero positivo y un nmero negativo y un cociente est definido como el producto de un numeroentero con un numero racional.

Propiedades de las operaciones binarias: Las propiedades que se manejan en losnmeros reales son 5:

Propiedad conmutativa:Esta propiedad se basa en que se puede cambiar el orden de una operacin,sin afectar el resultado. Tanto en la adicin como en el producto esto es vlido:

Propiedad asociativa: Propiedad que afirma que se pueden agrupar de distinta manera los elementos

sin modificar un resultado, lo que es vlido para la adicin y el producto: 7Se denomina operacin binara, dado que se requiere de 2 elementos para poder utilizarla.8Smbolo que se lee en consecuencia o por lo tanto


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El resultado de esto variar segn el orden en que se realicen las operaciones, pero solo se requiereel resultado correcto, as pues, la jerarqua de las operaciones nos indica cmo deben realizarse,primeramente deben realizarse los productos y los cocientes (iniciando por los cocientes) y luegolas adiciones y diferencias (iniciando por cualquiera de las dos). Realizando este ejemplo con la

regla dada, y realizando primeramente los productos se tiene que:

Se resalt los resultados obtenidos de los cocientes (obsrvese que se dej una fraccin, indicando elresultado del cociente ), procediendo ahora a realizar los productos:

El nmero 1 se obtiene debido a que se est realizando el producto de un nmero con su simtrico,dando como resultado el neutro multiplicativo. Ahora al realizar las operaciones de suma y resta seobtiene el resultado final:

Potencias: Dentro de la matemtica siempre se ha querido simplificar las operaciones que serealizan, un ejemplo bastante utilizado es la multiplicacin, obsrvese que en:

Puede escribirse de una forma simplificada como una multiplicacin:

Esto indica que el numero 2 esta ocho veces como un sumando y el signo + esta 7 veces. De esta

misma manera, existe una forma simplificada de escribir un producto repetido, utilizando laspotencias. Una potencia indica la cantidad de veces que un nmero esta como factor, as en:

El numero 3 esta cinco veces como factor, y el signo se encuentra solamente cuatro veces. Paradenotar esto se utiliza la siguiente simbologa:

En sta el exponente(5) nos indica la cantidad de veces que la base(3) se encuentra como un factor.Un error muy comn es afirmar que el exponente es la cantidad de veces que se va a multiplicar, algoque es completamente equivoco.

Una potencia es en conjunto un exponente y base, no debe confundir el exponente con la palabrapotencia.

Base

Exponente

Potencia


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Leyes de exponentes: Las leyes de exponentes son un conjunto de condiciones que se utilizanpara realizar operaciones con potencias de una manera sencilla. Estas pueden visualizarse en la

siguiente tabla:

No. Ley Descripcin ejemplos

1 El producto de dos potenciasque tengan una misma base, dacomo resultado otra potenciaque tiene como base, la base encomn y como exponente lasuma de los exponentes de las

potencias dadas.

2 El cociente de dos potencias quetengan una misma base, dacomo resultado otra potenciaque tiene como base, la base encomn y como exponente ladiferencia de los exponentes delas potencias dadas

3

Un exponente negativo puedehacerse positivo al intercambiarla potencia entre numerador ydenominador o viceversa.

4

El producto de dos potenciasque tengan un mismoexponente, da como resultado

otra potencia que tiene comobase el producto de las basesdadas y como exponente elexponente en comn.

5

El cociente de dos potencias quetengan un mismo exponente, dacomo resultado otra potenciaque tiene como base el cocientede las bases dadas y comoexponente el exponente encomn.

6 Una potencia que tenga como

base otra potencia, da comoresultado una potencia que tienecomo base la base original ycomo el exponente el productode los exponentes dados.

7

Una potencia que tenga comoexponente un nmerofraccionario da como resultadouna raz que tiene como ndice el


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Ejemplo 3

Utilice las leyes de exponentes para simp

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