Libro Tomo i

Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria

Creaciones Neper 17

Es bueno saber que…..

HIPARCO DE NICEA fue el observador más grande de la antigüedad, tanto que su catálogo estelar, que contenía posiciones y brillos de unas 850 estrellas, fue superado en precisión solamente en el siglo XVI.

Por otro lado, inventó la trigonometría esférica que incrementó el potencial del cálculo; renovó las matemáticas, herramienta esencial de la cosmología, astrofísica y astronomía, a la que perfeccionó con nuevos instrumentos. Conocedor de la distancia y de los movimientos de la Luna y en posesión de una teoría mejor que la de sus predecesores acerca de la órbita solar, Hiparco pudo conseguir satisfacer una de las principales exigencias de la astronomía antigua: la predicción de eclipses, cuestión que para los griegos, antes de Hiparco, constituía un serio problema, ya que tan sólo contaban para desarrollar sus predicciones sobre eclipses con el método del saros de los babilonios.

Los sucesores de Hiparco trataron de representar los movimientos planetarios mediante complejos movimientos circulares, y fue mucho más tarde, en tiempo de Claudio Ptolomeo (alrededor del año 150 d.c) cuando la teoría planetaria de la antigüedad adquirió su forma definitiva. Según ella, la Tierra descansa en el centro del universo; los movimientos del Sol y la Luna en el cielo se pueden representar bastante bien por trayectorias circulares. Hacia fines del siglo XV Cristóbal Colón descubrió América, y pocos años más tarde Copérnico planteó el punto de vista heliocéntrico del movimiento de la Tierra.


Trigonometría Plana

ANGULO TRIGONOMÉTRICO

a visión que se tiene en geometría acerca del ángulo, es de a aquélla que se forma por la

unión de dos rayos fijos, que comparten un punto en común llamado vértice.LEn trigonometría plana un ángulo trigonométrico es aquel que se genera por un rayo móvil,

cuando este realiza una rotación sobre un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial

(lado inicial), hasta una posición final (lado final). La amplitud de la rotación es la medida del

ángulo trigonométrico.

Recordemos que en trigonometría plana si el giro de realiza en sentido horario , el ángulo

generado es considerado negativo, en cambio si el giro es en sentido anti horario el

ángulo generado es considerado positivo; además un ángulo trigonométrico puede

tomar cualquier valor

Creaciones Neper 18

ricotrigonométángulo

O


Observaciones:

Si a un ángulo trigonométrico se

le invierte su sentido, su signo

cambia.

Para sumar ángulos trigonométricos en un

gráfico, estos deben tener el mismo signo.

La magnitud de un ángulo trigonométrico es

ilimitada

EJERCICIOS RESUELTOS

1. De la figura mostrada, evaluar el ángulo

“x”.

a) 40° b) 20° c) -20°

d) -50° e) -10°

Resolución:

Observamos que los ángulos no tienen el

mismo sentido de giro. Entonces

cambiamos a todos los ángulos en

sentido horario al sentido anti horario(+)

Luego se cumple:

10º

-5x-1040º

2. Según la figura, expresar x en términos

de

x

A

B C

Da) 180º-+ b) --180°

c) 180º-- d) 180º+-

e) --180º

Resolución:

Del grafico observamos que:

Cambiados el sentido al ángulo

Xº

-

A

BC

DVemos que:

Creaciones Neper 19


Se cumple que:

Reemplazando:

EJERCICIOS PROPUESTOS

NIVEL I

1. Del gráfico, calcule “X”

a) 10º b) 20º c) 30º

d) 40º e) 50º

2. Del gráfico, hallar X

9º-3x36º

a) 15º b) 20º c)25º

d) 130º e) 35º

3. De la figura determina “x”.

a) 90º - b) - 90º c) 90 + d) -90º - e) 180º-

4. Del gráfico mostrado, calcular “x”

a) 25 b) -25 c) 27

d) -27 e) -36

5. Del gráfico mostrado, calcula “ + ”

a) 270º b) -270º c) 180º

d) –180º e) 90º

6. Del gráfico, hallar “X”.

(11-13X)º (17X-19)º

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

7. De la figura que se muestra, determinar

el valor del ángulo x.

Creaciones Neper 20


a) 15º b) 20º c) 25º

d) -30º e) 30º

8. A partir del gráfico mostrado, calcular el

valor de “x”.

a) 150º b) 290º c) -290º

d) -300º e) 30º

9. A partir del gráfico, calcular el valor de

“x”

a) 18 b) 15 c) 12

d) 10 e) 19,2

10. Del gráfico, hallar :

a) 630º b) 700º c) 660º

d) 600º e) -420º

11. Indicar si los ángulos dados son o no

coterminales

c)

d)

e)

f)

g)

h)

I)

12. Averiguar si los ángulos indicados son o

no coterminales

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Creaciones Neper 21


NIVEL II

1. Del gráfico mostrado, calcula “x”

a) 180º-+ b) 180º++c) 180º-- d) 180º+-

e) --180º

2. Determina el valor de x, en términos de

“”

a) - 480º- b) 480º+ c) 480º-d) -480º e) -240º+

3. En la figura mostrada, calcula “x” en

términos de “” y “”

a) 130º+- b) 130º--

c) 230º-+ d) 230º--

e) 230º+-

4. En la figura se cumple que:

. Hallar

a) -9º b) 0º c) 9º

d) 18º e) 36º

5. De la figura mostrada determine: “x+y”

en radianes

a) b) c)

d) e)

6. De la figura, calcular el valor positivo

que toma “x”.

a) 5º b) 7º c) 9º

d) 18º e) 36º

7. De la figura, indicar qué relación existe

entre

a)

Creaciones Neper 22


b)

c)

d)

e)

8. De la figura, hallar: “x” en término de

X

a)

b)

c)

d)

e)

9. En la figura, calcular el valor que toma

“x”.

O

11x+50º

560º

a) 5º b) 7º c) 10º

d) 18º e) 36º

10. A partir del gráfico, hallar el suplemento

de “x”.

a) b)

c)

d)

e)

10. Señalar si los ángulos indicados son o

no coterminales

a)

b)

c)

d)

e)

f)

NIVEL III

1. De la figura, hallar el máximo valor que

puede tomar

a) 180° b) 160° c) 150°

d) 135° e) 120°

2. De la figura mostrada, calcular “x”

Creaciones Neper 23


a) -2 b) -1 c) 5

d) 4 e) 3

3. Del gráfico mostrado a qué es igual:

10x-9y

a) 1 100 b) 360 c) 280

d) 2 400 e) 1 800

4. En la figura, expresar en términos

de .

a) b)

c) d)

e)

5. Del gráfico mostrado, ¿a cuántas

vueltas equivalen: + 2 - ?

a) 1 vuelta b) 2 vueltas

c) 3 vueltas d) 4 vueltas

e) 5 vueltas

6. En la figura mostrada, calcular (en rad)

el valor de ángulo para que el

ángulo sea máximo.

a) 3,34 b) 2,6 c) 4,2832

d) 1,7431 e) 2,1406

7. En la figura mostrada, si OB y OC

trisecan al ángulo AOD entonces la

expresión correcta es:

a) b)

c) d)

e)

8. Dos ángulos coterminales son entre sí

como 1 es a 5. Hallar la medida del

mayor de ellos, si el menor está

comprendido entre 100º y 200º

a) 180º b) 360º c) 540º

d) 720º e) 900º

Creaciones Neper 24


9. Sean ángulos

coterminales, tal que . Hallar el

mínimo valor que puede tomar

a) 1009º b) 757º c) 505º

d) 253º e) 107º

10. La suma de dos ángulos coterminales

es 600º. Hallar la medida del menor de

ellos, si el mayor está comprendido

entre 400º y 600º.

a) 80º b) 100º c) 120º

d) 140º e) 160º

TAREA DOMICILIARIA

1. De la figura mostrada, hallar “x”

a) 9º b) 10º c) 12º

d) 11º e) 16º

2. De la figura mostrada, determinar “x”

a) 15º b) 20º c) 25º

d) 30º e) 45º

3. Del gráfico, calcular x.

a) 5º b) 8º c) 10º

d) 12º e) 15º

4. Del gráfico mostrado, calcular los

valores de ”x”

a) 8 y -5 b) 6 y -5 c)5 y -6

d) 2 y -2 e) 5 y -5

5. De la figura mostrada, expresar x en

términos de

x

a) b) c)

d) e)

6. De la figura, determina la mAOC, si es

obtuso.

a) 130º b) 135º c) 140º

d) 145º e) 150º

7. Del gráfico mostrado, calcular “x”

Creaciones Neper 25


a) + b) -- c) -d) - e) 2-

8. Indica en orden creciente la medida de

los ángulos mostrados.

a) ; ; b) ; ; c) ;; d) ; ; e) ; ;

9. De la figura mostrada, indicar qué

relación cumplen los ángulos

a)

b)

c)

d)

e)

10. De los siguientes ángulos, indicar

cuáles son coterminales:

a) b)

c) d) todos

e) ninguno

Creaciones Neper 26

SOLUCIONARIO

NIVEL I1.d 2.a 3.c

4.d 5.a6.c

7.d 8.c 9.e10.a

NIVEL II1.d 2.a 3.d

4.b 5.a6.a

7.a 8.d 9.c10.b

NIVEL III1.b 2.c 3.d

4.c 5.b6.c

7.c 8.e 9.d10.c

TAREA DOMICILIARIA1.a 2.a 3.c

4.b 5.a6.d

7.c 8.e 9.a10.a


Creaciones Neper 27


Sistemas De

Medición Angular

ara medir un ángulo trigonométrico existen

infinidad de sistemas, ya que la unidad

angular de medida se puede considerar de

manera arbitraria. Los sistemas de medición más

usados son tres: sexagesimal, centesimal y radial.

P1. SISTEMA SEXAGESIMAL O

INGLES ( S )

En este sistema, la unidad de

medida es

el “GRADO SEXAGESIMAL”

( 1º ) , el

cual se define como la

parte de la medida del ángulo de

una

vuelta ( 360º ).

SUB UNIDADES:

Minuto sexagesimal : 1’

Segundo sexagesimal: 1”

EQUIVALENCIAS

Creaciones Neper 28

Es bueno saber que……

El Origen del término Seno inicia por el año 500, después de N.E., los matemáticos de la India empezaron a considerar el movimiento de una recta que gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj alrededor de un punto fijo, y a medir las longitudes de las semicuerdas o perpendiculares trazadas desde el extremo de la recta (en diversas posiciones de su movimiento) a la posición inicial de ella. Esa recta se conoce hoy en día como radio vector o “radio movimiento” (del latín: vector, “portador”, de vehor, “muevo”; compárese con “vehículo”.Por esta razón la longitud de la semicuerda se asoció a un ángulo, el ángulo determinado por el giro de la recta.

Los indios dieron el nombre de jva a dicha semicuerda, nombre que en hindú significa cuerda. La palabra pasó al árabe como jiba y más tarde se confundió con la palabra árabe jaib debido probablemente a que las palabras en árabe se escribían frecuentemente sin vocales y por ser iguales las consonantes de ambas jiba y jaib, es decir jb. Sin embargo, la palabra jaib no tiene relación alguna con la longitud de la semicuerda ya que significa la abertura en el cuello de una prenda de vestir. Pese a ello, los árabes tomaron la costumbre de designar a la semicuerda por medio de dicha palabra jaib sin sentido, que hacía referencia a un “doblez” o “curva”. Por este tiempo, los maemáticos europeos se familiarizaron con la palabra árabe referente a semicuerda y tradujeron jaib por la palabra sinus que significa “doblez” o “curva”. Dicho error se ha perpetuado en nuestra palabra seno. Así pues, originalmente el seno de un ángulo representaba la longitud de la semicuerda de una circunferencia de un radio uno. En nuestros días, como pronto veremos, cuando hablamos del seno de un ángulo, no hablamos de una longitud.

S em icuerda

S em icuerda


1 circunferencia 360º < > 1 vuelta

1 circunferencia < > 4 cuadrantes

1 cuadrante < > 90º

1º < > 60’

1’ < > 60”

1º < > 3600”

Observaciones:

aº b’ c” = aº + b’ + c”

2. SISTEMA CENTESIMAL O FRANCES ( C )

En este sistema, la unidad de medida es el “GRADO

CENTESIMAL” ( ), el cual se define como la parte de la medida del Angulo de una

vuelta ( )

SUB UNIDADES:

Minuto sexagesimal:

Segundo sexagesimal:

EQUIVALENCIAS

1 circunferencia < > 1 vuelta

1 circunferencia < > 4 cuadrantes

1 cuadrante < >

< >

< >

< >

Observaciones:

Creaciones Neper 29

NotaEn el Sistema Internacional (S.I), los ángulos se miden en radianes ( rad)

1 rad < > 57º 17’ 44”1 rad > 1º >


3. SISTEMA RADIAL, CIRCULAR O INTERNACIONAL ( R )

En este sistema, la unidad de medida es el “UN RADIAN” (1 rad). Un radián es la

medida del Angulo central en una circunferencia que genera un arco cuya longitud es igual

que la medida del radio de dicha circunferencia.

Este sistema es el más utilizado en la matemática, física, ingeniería, astronomía, etc.

EQUIVALENCIAS

1 Vuelta <>

1 circunferencia <> 4 cuadrantes

1 cuadrante <>

Para los cálculos se puede considerar como valor aproximado de

= 3,14159265....= 3,1416

o también:

; ;

EQUIVALENCIAS ENTRE LOS TRES SISTEMAS

1 VUELTA < > 360º < > < >

180º < > < >

De esta relación se deduce:

< > 180º

< >

9º < >

Creaciones Neper 30


RELACION NUMÉRICA ENTRE LOS TRES SISTEMAS

FORMULA DE CONVERSIÓN

Se utiliza solo cuando las medidas del ángulo estén expresadas en las unidades principales de

medición angular, es decir grados y radianes.

En la figura se muestra un ángulo trigonométrico positivo “ ” m, tal que sus medidas en los

tres sistemas estudiados son Sº , y R rad , los cuales al representar la medida de un

mismo ángulo, resultan ser equivalentes.

Estos tres valores numéricos verifican la siguiente relación:

.... simplificando:

Para “S” y “C:

RELACION SIMPLIFICADA :

1 ) = k

.... o también

Creaciones Neper 31


2) = k Dividiendo entre 20, obtendremos:

Creaciones Neper 32


RELACION DE ORDEN:

FACTOR DE CONVERSION

Muy usualmente para convertir un ángulo de un sistema a otro se utilizan Factores de

Conversión (F.D.C), que no son valores que al ser multiplicados por el ángulo dado dan como

resultado el nuevo valor en el sistema deseado.

A continuación detallamos los factores de conversión:SISTEMA

INICIAL

SISTEMA

FINALF.D.C

SEXAGESIMAL CENTESIMAL

CENTESIMAL SEXAGESIMAL

SEXAGESIMAL RADIAL

CENTESIMAL RADIAL

RADIAL SEXAGESIMAL

RADIAL CENTESIMAL


1. Convertir: 36° al sistema centesimal.

Resolución:

Creaciones Neper 33


Observamos que deseamos convertir un ángulo del Sistema Sexagesimal al Sistema

Centesimal.

Entonces nuestro F.D.C será:

Aplicamos:

2. Convertir:

Resolución:

Observamos que deseamos convertir un ángulo del Sistema Radial al Sistema

Centesimal.

Entonces nuestro F.D.C será:

Aplicamos:

3. Sabiendo que:

Calcular:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

Resolución:

Convertimos:

Reemplazando:

Creaciones Neper 34


Entonces:

Reemplazando en:

4. Hallar “n”:

S = 3n + 3

C =4n – 2 , si S y C son lo convencional.

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

Resolución:

Recordemos:

Reemplazando:

5. Simplificar:

Creaciones Neper 35


a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

Resolución:

De la relación simplificada:

Reemplazando:

6. Hallar la medida de un ángulo expresado en radianes, tal que se cumpla la siguiente

condición:

Siendo S,C y R lo convencional.

a) b) c)

d) e)

Resolución:


Reemplazando en la condición:

Creaciones Neper 36


Reemplazamos en R:

7. Hallar el ángulo que verifique:

a) 60º b) 135º c) 72º

d) 18º e) 30º

Resolución:


Reemplazando:

Creaciones Neper 37


Como las alternativas están en el Sistema Sexagesimal, reemplazamos en “S”

APLICACIONES

1. Expresar cada medida en los

sistemas señalados que faltan:

2. Convertir 30º18´ a grados sexagesimales

3. Convertir 84º45´36´´ a grados

sexagesimales.

Creaciones Neper 38



sexagesimales


sexagesimales

6. Convertir 10,5125º a grados, minutos y

segundos sexagesimales.



Creaciones Neper 39






10. Expresar en grados centesimales cada

uno de los ángulos indicados:

Creaciones Neper 40


11. Expresar en grados, minutos y

segundos centesimales lo siguiente

ángulos:


NIVEL I

Creaciones Neper 41


1. Reducir:

a) 4 b) 2 c) 3

d) 7 e) 1

2. Hallar:

a) 4 b) 2 c) 3

d) 7 e) 1

3. Hallar el valor de la expresión:

a) 4 b) 12 c) 3

d) 7 e) 11

4. Determine X en :

a) 7 b) 9 c) 14 d)16 e) 21

5. Del gráfico, hallar x

a) 80 b) 100 c) 50 d) 20 e) 6

Creaciones Neper 42


6. Hallar la medida de un ángulo tal que

se cumpla:

S = 2(n+1)

C = 3n-4

a) 36° b) 30° c) 18°

d) 15° e) 60°

7. Si calcular el valor de X.

a) 400 b) 200 c) 300

d) 700 e) 100

8. Hallar la medida de un ángulo expresado en radianes, si:

2S - C=16

a) b) c) d) e)

9. Hallar la medida del ángulo en el sistema radial, si cumple:

a) b) c) d) e)

10. Simplificar

a) -5 b) +5 y -5 c) 3

d) 1 e) 5

NIVEL II

1. Simplificar la expresión:

a) 4 b) 5 c) 3

d) 7 e) 1

2. Siendo S y C lo conocido, simplificar:

Creaciones Neper 43


a) 4 b) 5 c) 3

d) 7 e) 1

3. Simplificar:

a) 1 b) 5 c) 3 d) 2 e) 4

4. Dada la siguiente equivalencia:

Calcular: “ b – a “

a) 45 b) 56 c) 49 d) 47 e) 46

5. Si: .

Hallar: b-a-c

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 12

6. Calcular el valor de:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 5

7. Los ángulos internos de un cuadrilátero convexo miden:

Calcular el mayor valor de X de modo que sea obtuso.

a) 10 b) 12 c) 50 d) 20 e) 6

8. Si: S y C son lo convencional y:

Hallar la medida circular del ángulo, si es menor que una vuelta.

Creaciones Neper 44


a) b) c)

d) e)

9. Determinada la medida de un ángulo en radianes, tal que verifique la siguiente condición:

a) b) c)

d) e)

10. Halle el ángulo en radianes que cumpla:

a) b) c) d) e)

NIVEL III

1. Halle

Siendo S, C y R lo convencional para un mismo ángulo:

a) 3 b) -3 c) 5

d) -5 e) 2

2. Simplificar:

a) 1/3 b) 5/3 c) 3/5 d) 1/6 e) 21

3. Reducir la expresión:

Creaciones Neper 45


a) 245 b) 242 c) 425 d) 524 e) NA

4. Siendo S y C lo conocido para un mismo ángulo y además se cumple que:

Hallar la medida de dicho ángulo en radianes.

a) b) c)

d) e)

5. Siendo S , C y R lo conocido y se cumple que :

Determinar “R”

a) b) c)

d) e)

6. Se tiene que:

Calcular el valor de :

a) 10/9 b) 9/10 c) 3/10 d) 2 e) 1

7. Siendo S y C lo conocido, tal que:

Calcular:

a) 20/9 b) 9/10 c) 3/10 d) 2 e) 1

8. Determine la medida radial del ángulo que verifique la igualdad siguiente.

Creaciones Neper 46


a) b) c)

d) e)

9. Siendo S y C lo conocido, se cumple:

Calcule el valor de la expresión:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 20

10. Si S y C son lo conocido para un mismo ángulo, hallar su medida en sexagesimales.

a) 30º b) 45º c) 60º d) 53º e) 27º

TAREA DOMICILIARIA

1. Expresa cada ángulo en los sistemas señalados

SEXAGESIMAL CENTESIMAL RADIAL

310º

130º

81

Creaciones Neper 47


2. Calcular :

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

2. Cual de los siguientes ángulos es el mayor:

a) b) rad c) 45º

d) 180º/4 e) Todos iguales.

3. En un triangulo rectángulo, uno de los ángulos agudos mide rad. Hallar el otro ángulo

en el sistema sexagesimal.

a) 18º b) 36º c) 54º

d) 72º e) 63º

4. Si se verifica que :

Calcular el complemento de ( x + y - z)º

a) 15º b) 20º c) 25º

d) 130º e) 85º

5. En un triángulo las medidas de los ángulos internos son : x/2 rad , x/6 rad y x/3 rad .

Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos menores.

a) 150º b) 115º c) 135º

d) 120º e) 105º

6. Hallar x si se cumple:

a) 7 b) 9 c) 3

d) 11 e) 5

7. Calcular la medida radial del ángulo que verifique la siguiente relación.

Creaciones Neper 48


a) b) c)

d) e)

8. Simplificar:

a) 19/9 b) 19/20 c) 20/19

d) 1/10 e) 199/90

9. Hallar R si:

a) b) c)

d) e)

10. Halle la medida radial del ángulo que cumple con la igualdad:

a) b) c)

d) e)

Creaciones Neper 49

SOLUCIONARIO

NIVEL I1.e 2.a 3.b

4.c 5.a6.c

7.c 8.a 9.b10.b

NIVEL II1.b 2.c 3.c

4.a 5.b6.e

7.b 8.c 9.e10.b

NIVEL III1.a 2.b 3.c

4.d 5.a6.b

7.a 8.d 9.e10.e

TAREA DOMICILIARIA1.c 2.e 3.b

4.e 5.c6.a

7.e 8.e 9.a10.b

Longitud de Arco

Es bueno saber que ……

GALILEO GALILEI nació en Pisa en 1564, hijo de Vincezo Galilei, con grandes estudios en música, y Giulia Ammannati.

Estudió en Pisa, donde más tarde, ostentaría la cátedra de matemáticas desde 1589 hasta 1592.

Diseñó y fabricó un compás para uso geométrico y militar, con su propio manual de instrucciones. En 1594 obtuvo la patente para máquinas elevadoras de agua. Inventó el microscopio y construyó un telescopio, con el que hizo observaciones celestes, siendo la más destacada, el descubrimiento de los satélites de Júpiter. En 1612 empezó a encontrar seria oposición a su teoría sobre el movimiento de la Tierra desde el púlpito de Santa María Novella, juzgándolas de erróneas. Galileo se defendió en Roma de los cargos que habían hecho contra él, pero en 1616, fue amonestado por el Cardenal Bellarmino quien dijo que no debería defender la astronomía Copernicana porque iba en contra de la doctrina de la Iglesia. En 1622, Galileo escribió Saggiatore (El Ensayador), que fue aprobado y publicado el año siguiente. En Octubre del año 1630 fue llamado por el Santo Oficio a Roma. El tribunal aprobó una sentencia condenatoria y lo condenó a retractarse solemnemente de su teoría. Lo mandaron al exilio a Siena y finalmente, en diciembre de 1633, se le permitió retirarse a su casa de Acetri (el Gioiello). Su salud fue decayendo: en 1638 estaba completamente ciego, y se vio privado de su hija, la hermana Maria Celeleste, quien murió en 1634.

Galileo Galilei murió en Arcetri el 8 de Enero de 1642, a la edad de 77 años

de una Circunferencia

SECTOR Y TRAPECIO CIRCULAR

n sector circular viene a ser una porción de circulo limitada por los radios OA y OB y el

arco AB. U

LONGITUD DE ARCO DE LA CIRCUNFERENCIA ( L )

Del sector circular mostrado, la longitud del arco

“L” se calcula usando la formula:

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR

( S )

Es la medida de la superficie de un sector

del circulo, expresado en unidades

cuadradas ( )

RECUERDA ESTA PROPIEDAD

ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR ( )


1. Hallar la longitud de un arco en un

sector circular cuyo ángulo central mide

60º y el radio 12m.

a) 2 m b) 4 m c) 6 m

d) 8 m e) 12 m

Resolución:

60º

12m

12m

L

2. Si el área del sector circular POQ es

20m2, hallar P

x+ 2

2x+ 2O

Q

rad S

a) 8/5 b) 4/3 c) 5/3

d) 3/5 e) 2/3

Resolución:

Aplicamos:

Reemplazando en el grafico:

S

58

5

Para calcular , usamos:

3. Hallar el área S

S

85

4

A

B

C

D

E

a) 78 b) 78/5 c) 78/7

d) 78/9 e) 78/11

Resolución:

Sabemos que:

Primero calculamos el valor de

Luego utilizamos:

Reemplazamos en la ecuación (1)

4. Del gráfico, halle la longitud , si la

longitud = 4 m

a) 2 m b) 4 m c) /3 m

d) 1 m /e) 3 m

Resolución:

Del grafico observamos que:

OB=AB=OA

Entonces en el sector circular OCD

usamos:

En el sector circular AOB:

5. Del gráfico, halle el perímetro de la

región sombreada.

O1O2 O3

R

A

BC

a) b)

c) r d) 2r

e)

Resolución

Nos piden:

LAB AO1 BO1+L L+2p=

Realizando unos trazos auxiliares en la

figura.

O1O2 O3

R

rad3

A

BC

rad3

2

RR

Del nuevo grafico tenemos:

Reemplazando en “2p”

LAB AO1 BO1+L L+2p=

APLICACIONES

1.

4. Se tiene un sector circular donde el

ángulo central mide 60º; además la

longitud del arco.

Resolución:

5. Calcule “x” del gráfico mostrado.

Resolución:

8.

9.

12. Calcular el área de la región sombreada

Resolución:

13. Si el área del sector circular es

calcular la longitud del radio.


NIVEL I

1. Hallar la longitud de un arco en un

sector circular cuyo ángulo central mide

60º y el radio 12m.

a) 2 m b) 4 m c) 6 m

d) 8 m e) 12 m

2. Una circunferencia tiene un radio de

30m. ¿Cuántos radianes mide un

ángulo central subtendido por un arco

de 20 m?.

a) 1 rad b) 2/3 rad c) 7/4 rad

d) 5 rad e) N.A.

3. Calcular a partir de los

sectores circulares mostrados

a) b) c)

d) e)

4. Calcular:

a) b) 6 c)

d) e)

5. Si la longitud del arco de un sector

circular es 15 m y la del radio es 6m.

Calcular el área del sector.

a) 40 m2 b) 45 m2 c) 90 m2

d) 50 m2 e) 55 m2


a) b) c)

d) e)

7. Calcular:

a) 3/4 b) 4/3 c) 2/3

d) 3/2 e) 3/5

8. Calcule el área de la región sombreada

a) b) c)

d) e)

9. De la figura calcular el perímetro del

sector circular AOB

a) 16 b) 18 c) 20

d) 22 e) 24

10. Calcular el área del sector circular

sombreado

a) 36 b) 39 c) 42

d) 44 e) 49

NIVEL II

1. Determine el valor de “L” en el esquema

mostrado:

a) 5 b) 7 c) 9

d) 10 e) 12

2. A partir del gráfico, halle la longitud

recorrida por la esferita, hasta impactar

en . Si AB = BC = 4 m y la longitud

de la cuerda = 10 m

a) 5m b) 5/2 c) 2m

d) 3/2 e) 8m

3. Del gráfico, calcular: x-y

a) 3 b) 1 c) 2

d) 5 e) 6

4. Del gráfico, halle el área de la región

sombreada, si la longitud de la

circunferencia es 8cm.

a) b)

c) d)

e) N.A

5. Calcular si y

a) 1/2 b) 4/9 c) 4/5

d) 2/3 e) 3/5

6. En la figura mostrada determine el valor

de “L”; sabiendo que el trapecio circular

ABCD tiene 72 m2 de área.

a) 1 m b) 2 m c) 3 m

d) 4 m e) 5 m

7. Del esquema mostrado determine el

valor de “”, si se tiene que la suma de

las áreas de los sectores sombreados

es /2 m2

a) (/3) rad b) (/4) rad

c) (/6) rad d) (/8) rad

e) (/12) rad

8. Del esquema mostrado, calcular el valor

de:

S: Área

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

9. Halle el perímetro de la región

sombreada a partir del gráfico, siendo

O, O1, O2, centros.

a) b) c)

d) e)

10. Calcular la relación entre las longitudes

de los arcos y (S: área)

a) b) c)

d) e)

NIVEL III

1. Determinar el área del sector

sombreado, si el trapecio circular ABCD

tiene un área de 48m2

a) 2 m2 b) 4 m2 c) 6 m2

d) 8 m2 e) 10 m2

2. Siendo O, O1 centros del sectores

circulares, halle el perímetro de la

región sombreada

a) b)

c) d)

e)

3. Del gráfico, halle el perímetro de la

región sombreada

a) b)

c) d)

e)

4. Del gráfico, hallar el perímetro de la

región sombreada

a) b) c)

d) e)


sombreada. ( )

a) b)

c) d)

e)


sombreada si OM = MB = 2 cm

a) b)

c)

d) e)

7. En la siguiente figura, determine el valor

de A/B

a) 54/37 b) 54/35 c) 54/31

d) 54/23 e) 54/43

8. Calcular en términos de “R”

(O: Centro)

a) b)

c) d)

e)

9. Se tiene un sector circular de radio “r” y

ángulo central rad. ¿Cuánto hay que

aumentar al ángulo central de dicho

sector para que su área no varíe, si su

radio disminuye en un cuarto del

anterior?.

a) b) c)

d) e)

10. Dado un sector cuyo ángulo central es

120° y su área es m2, dado también

otro sector de área igual a la mitad y

radio igual al doble del sector anterior,

se pide calcular la diferencia de las

longitudes de arcos que los subtienden.

a) b) 1, 2 m c) 2, 5 m

d) 0, 5 m e) m

TAREA DOMICILIARIA

1. Calcular el área del sector circular.

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10


a) 9 b) 3 c) 9

d) 18 e) 21

3. Del gráfico, calcule la longitud del arco

AB.

a) b) c)

d) e)

4. Encontrar el radio de una circunferencia

tal que un arco de 15m de longitud,

subtiende un ángulo central de 3 rad.

a) 8 m b) 7 m c) 6 m

d) 5 m e) N.A.

5. Calcular la longitud del arco, si el área

del sector circular mostrado es

a) m b) 2 m c) 3 m

d) 4 m e) 5 m

6. Calcule

a) 9/7 b) 7/9 c) 3/4

d) 9/16 e) 7/16

7. De la figura, calcular: ,

SI : OE=EC=CA

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 2,5

8. En la figura mostrada determine el valor

de “L”, si el trapecio circular ABCD tiene

20 m2 de área.

a) 1 m b) 3 m c) 5 m

d) 7 m e) 9 m

9. Calcule en el gráfico, S =3/2 2

a) 0,5 b) 0,8 c) 1

d) 1,5 e) 1,8

10. Hallar la longitud de una circunferencia

sabiendo que a un arco de 1m le

corresponde un ángulo central de 30º

a) 20m b) 24m c) 12m

d) 40m e) 36m

SOLUCIONARIO

NIVEL I1.b 2.b 3.a

4.b 5.b6.d

7.e 8.e 9.c10.e

NIVEL II1.d 2.a 3.a

4.c 5.d6.c

7.d 8.b 9.b10.c

NIVEL III1.c 2.b 3.c

4.a 5.a6.b

7.b 8.e 9.a10.a

TAREA DOMICILIARIA1.d 2.c 3.b

4.d 5.b6.a

7.b 8.d 9.c10.c

Aplicaciones de Longitud

de ArcoNUMERO DE VUELTAS (Nv) QUE DA UNA

RUEDA SIN RESBALAR.

uando una rueda rota, barre arcos cuya

longitud están en función de su radio y del

número de vueltas que da la rueda.C

ROTACION DE UNA RUEDA SOBRE UN PLANO

Donde:

Nv: Numero de vueltas que da la rueda al recorrer L

: Numero de radianes del ángulo que gira la rueda

L: Longitud que recorre la rueda ( o que se

desplaza el centro de la rueda)

ROTACION DE UNA RUEDA SOBRE UNA

SUPERFICIE CIRCULAR

Es bueno saber que……

TALES DE MILETONació en la ciudad jonica de Mileto a orillas del mar Egeo, hijo de Examio y de Cleobulina. Sus principales pasiones eran las matemáticas, la astronomía y la política.

Antes de Tales, los griegos explicaban el origen y naturaleza del cosmos con mitos de héroes y dioses antropomórficos. En contraste, Tales argumentaba que el agua es el origen y esencia de todas las cosas en, quizás, la primera explicación significativa del mundo físico sin hacer referencia explícita a lo sobrenatural. Sabía que la Tierra es una esfera y la Luna refleja la luz del Sol.

Herodoto lo menciona cuando predijo un eclipse solar en 585 a.C que pone fin a la lucha entre Lidios y Medos. Este eclipse marca el momento exacto en el que comienza la filosofía, según Aristóteles, y que astrónomos modernos calculan que fue el 28 de Mayo del año mencionado por Heródoto.

Tales vivió en la ciudad de Mileto en Jonia. Los jonios poseían un tráfico de comercio entre Egipto y Babilonia, y por esta razón es probable que visitara Egipto cuando era joven. Fue educado en mitología egipcia, astronomía y matemática y sobre otras culturas exentas de las tradiciones homéricas de Grecia. Por este motivo, su pensamiento no se derivó exclusivamente de la mitología griega sino que tiene ciertas reminiscencias de Egipto. La idea de que la tierra flota sobre el agua podría haberse desprendido de ciertas ideas cosmogónicas del Oriente próximo, lo mismo que la idea del agua como principio de todas las cosas.

Cuando la rueda (aro, disco,...) gira o va rodando sobre una superficie circular, se presentan

dos casos:

CASO I

CASO II

POLEAS Y ENGRANAJES

A) Unidos mediante una faja tangencial o cuando están en contacto

Entonces se cumple:

B) Unidos por sus centros.

Entonces se cumple:


1. Determine el número de vueltas que da una rueda de radio 10cm al recorrer una distancia

de longitud 20m

a) 35 b) 45 c) 100

d) 1 e) 17

Resolución:

Tenemos que tener cuidado, las unidades deben ser las mismas:

Aplicando:

2. En el sistema mostrado, la rueda de radio r1 da 100 vueltas, ¿cuántas vueltas da la rueda

de radio r3=?

r2 3r1r

a) 50 b) 45 c) 100

d) 1 e) 17

Resolución:

Entre las ruedas que están en contacto se cumple que:

Luego entre las ruedas conectadas por la faja se cumple:

3. Calcular el número de vueltas que realiza la rueda de radio r=1cm para ir desde A hasta C

pasando por B.

B

C

9cm

7cm

r

a) 6 b) 45 c) 12

d) 8 e) 17

Resolución:

Para el tramo desde A hasta B, usamos:

Para el tramo desde B hasta C, usamos.

Por lo tanto el numero de vueltas que da para llegar desde A hasta C es:

Rpta: A


NIVEL I

1. Calcular el número de vueltas que da la rueda de radio “R”, al trasladarse desde “P” hasta

chocar con la pared.

a) D/2R b) D/R

c) D-R/2R d) D-R/R

e) D-2R/2R

2. ¿Cuántas vueltas da la rueda, si el bloque desciende hasta llegar al piso?, siendo h =

120cm

a) 5 b) 10 c) 12

d) 18 e) 24

3. De la figura mostrada determinar cuántas vueltas da la rueda de radio “r” sobre la pista

circular de centro “O”, al recorrer el tramo AB (R = 9r)

a) 1 b) 1,5 c) 2

d) 2,5 e) 3

4. Se tiene dos ruedas en contacto, cuyos radios se encuentran en la relación de 5 a 2.

Determine cuantas vueltas dará la rueda menor, cuando la mayor de 4/5 dé vuelta.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

5. Se tiene dos ruedas que están en contacto en un punto, si la primera tiene radio 3 cm y

gira ° entonces, la segunda de radio 5 cm, gira °. Hallar la relación entre “” y “”.

a) 5/3 b) 2/3 c) 1/3

d) 3/2 e) 2

6. Una rueda de radio “r” gira sin resbalar por un camino circular de radio “R”, como se

muestra en la figura. Calcular cuántas vueltas dará hasta que llegue a su posición inicial (R

= 5r)

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

7. Calcular el número de vueltas que da la rueda de radio “r” al recorrer el circuito desde A

hasta B

a) 2r/R b) r/4R c) R/2r

d) 2R/r e) R/r

8. En el siguiente engranaje el engranaje de radio 2 gira 120°. ¿Qué ángulo gira en el

engranaje de radio 4?.

2

4

a) /6 rad b) / 3 rad c) / 4 rad

d) / 8 rad e) N.A.

9. Los radios de las ruedas de una bicicleta miden 5cm y 4 cm ; si la rueda menor da 50

vueltas más que la rueda mayor, ¿Cuántas vuelta ha dado la rueda mayor?

a) 85 b) 170 c) 160

d) 50 e) 200

10. La rueda mostrada da 20 vueltas para recorrer la distancia L , si el radio de la rueda mide

3,5cm ,hallar L (=22/7)

a) 6,28m b) 400m c) 400cm

d) 12m e) 4,4m

NIVEL II

1. Del sistema mostrado determinar el número de vueltas que da la rueda A, si la rueda B da

30 vueltas.

a) 25 b) 32 c) 36

d) 40 e) 45

2. En el siguiente sistema si la rueda de radio igual a 4 , gira un ángulo de 30°, ¿Qué ángulo

gira la rueda de radio 1?.

a) 4 /9 rad b) / 3 rad

c) / 4 rad d) / 8 rad

e) N.A.

3. Calcular la altura del punto “P”, luego que la rueda da 2/3 de vuelta.

a) 8 b) 7 c) 6

d) 5 e) 4

4. Calcular el espacio que recorre una bicicleta, si la suma del número de vueltas que dan

sus ruedas es 80. Se sabe que los radios de las mismas miden 3u y 5u.

a) 100 b) 200 c) 250d) 300 e) 500

5. La rueda de radio 1m se desplaza desde A hacia B, dando 12 vueltas. Determinar el valor

de “d”.

a) 46 b) 47 c) 48

d) 49 e) 50

6. Se tiene dos ruedas conectadas por una faja. Si hacemos girar la faja, se observa que las

ruedas giran ángulos que suman 144º. Determine la diferencia de los números de vueltas

que dan estas ruedas, si sus radios miden 3m y 5m.

a) 1/3 b) 1/5 c) 1/7

d) 1/6 e) 1/10

7. De la figura mostrada calcular la distancia AB

a) 4+52 b) 6+52

c) 8+52 d) 4+26e) 2+26

8. En el sistema de poleas calcular el ángulo que gira la rueda D, si a la rueda A le damos

una vuelta completa (RB= 8RA; y RD =5RC)

a) 9º b) 10º c) 18º

d) 20º e) 90º

9. Al recorrer el espacio que mide 2R una rueda de radio r gira 500º. Calcular el ángulo que

gira una rueda de radio R al recorrer un espacio que mide 2r

a) 259º12´ b) 236º20´

c) 225º45´ d) 335º16´

e) 148º40´

10. Si el número de vueltas que gira la rueda de radio “r” al ir de A a B es 3. Hallar el ángulo

generado en la pista circular.

a) 4 /9 rad b) / 3 rad

c) / 4 rad d) 6/ 7 rad

e) N.A.

NIVEL III

1. ¿Cuántas vueltas da la ruedita en ir desde “A” hasta “C”?, sabiendo que AB = 13m

a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5

d) 4,5 e) 4,25

2. Dadas tres ruedas de radios 3m; 4m y 5m las cuales recorren un mismo espacio;

determine el radio de una cuarta rueda, tal que para recorrer un espacio igual a 47 veces el

espacio que recorren las tres ruedas iniciales juntas, da un número de vueltas que es la

suma de los números de vueltas dadas por las tres ruedas iniciales.

a) 100 m b) 120 m

c) 140 m d) 160 m

e) 180 m

3. En el sistema adjunto cuando el engranaje de menor radio gira 1,25 vueltas, ¿cuál será la

distancia entre los puntos “A” y “B”, si inicialmente están diametralmente opuestos? (No

existe traslación)

a) 4 b) 6 c) 2

d) 2 e) 2

4. En la figura, las ruedas pequeñas giran alrededor de la rueda grande (fija) en sentidos

opuestos y con la misma velocidad. Calcule la relación entre el número de vueltas de las

ruedas pequeñas hasta el momento que chocan por primera vez.

(Las ruedas pequeñas no resbalan)

2

3

1

a) 2 b) 5 /c) 3

d) 8 e) 9

5. Si las ruedas están en movimiento de rototraslación, determinar el número de vueltas que

dará la rueda de centro “A” hasta encontrar a la rueda de centro “B”, si hasta dicho instante

ésta última dio dos vueltas.

rr

2

3

AB

621

a) 4 b) 6

c) d)

e)

6. Calcular la distancia entre los puntos “M” y “N” cuando la rueda de radio “r” gire una vuelta

alrededor de la rueda de radio “R” desde la posición inicial mostrada.

R= 4u ; r=2u

Rr

M N

a) 2 b) 5 c) 3

d) 8 e) 6

7. De la figura mostrada determinar el valor del ángulo , si estando la rueda mayor fija, la

rueda menor gira de manera que P y Q coinciden.

a) 45º b) 80º c) 60º

d) 72º e) 74º

8. Determine el número de vueltas que da la rueda en ir de A hacia B. Si AC = CE = , R

= 9r.

a) 6 b) 5 c) 3

d) 8 e) 9

9. Del esquema mostrado si el bloque “A” desciende hasta el suelo y el bloque “B” sube el

triple de lo que recorre “A”, calcule:

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

10. Un automóvil se desplaza en una pista circular con una velocidad de 20 al cabo de un

tiempo “t” el auto ha recorrido un ángulo de 0,3 radianes, y sus ruedas barren un ángulo

de 600 radianes. Si la media armónica de los radios de la pista y la rueda es: . Hallar

“t” en segundos.

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

1. La rueda mostrada da 5 vueltas para recorrer la distancia L, si el radio de la rueda mide

10cm ,hallar L (=3,14)

a) 6,28m b) 3,14m c) 314m

d) 12m e) 100cm

2. Determine el número de vueltas que da una rueda de radio 20cm al recorrer una distancia

de longitud 18m

a) 35 b) 45 c) 10

d) 12 e) 17

3. En la figura, se muestran dos ruedas fijas A y B; cuando A gira (2n-4) vueltas, B gira

(3n+4) vueltas. Calcular “n”.

a) 5 b) 7 c) 10

d) 12 e) 17

4. Se tiene dos poleas concéntricas de radio 1m y 2m ¿Cuánto deben girar para que la

esferitas estén al mismo nivel?

a) 6 rad b) 2 rad c)

d) e)

5. Los radios de las ruedas de una bicicleta, son entre sí como 3 es a 4. Calcular el número

de vueltas que da la rueda mayor cuando la rueda menor gire 8 radianes.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 6 e) 8

6. Los engranajes están unidos mediante una faja tangencial, tal como se muestra en la

figura. Si el engranaje menor da “n” vueltas cuando el mayor da “n – 4” vueltas, calcular el

valor de “n”.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 6 e) 8

7. Calcular la longitud de arco recorrido por “A”, si la longitud de arco recorrido por “C” es

12. (RA = 1; RB = 4; RC = 3)

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

8. Calcular el número total de vueltas que da la

rueda en ir desde A hasta C, sin resbalar

sobre la pista sabiendo que mide 13m

a) 2,5 b) 3,5 c) 4,25

d) 4,5 e) 5,25

9. Del sistema determinar cuántas vueltas gira

la rueda C, cuando la rueda A da 12 vueltas.

a) 15 b) 25 c) 30

d) 42 e) 45

10. Los radios de la rueda de un bicicleta son (x+1)m y (x-1)m. Si la rueda mayor da (x-2)

vueltas y la menor (x-1) vueltas, ¿cuántas vueltas en total darán las dos ruedas?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

SOLUCIONARIO

NIVEL I1.c 2.c 3.a

4.b 5.a6.b

7.c 8.b 9.e10.e

NIVEL II1.c 2.a 3.c

4.d 5.b6.e

7.a 8.a 9.a10.d

NIVEL III1.d 2e 3.d

4.a 5.c6.e

7.b 8.a 9.a10.e

TAREA DOMICILIARIA1.b 2.b 3.b

4.a 5.b6.d

7.e 8.d 9.c10.c

Libro Tomo i

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