UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS FSICAS Y

MATEMTICA

INGENIERA INFORMTICA

Teora de la Conabilidad

Integrantes

Luis Carcelen

Lenin Padilla

Wagner Santos

Alexis Tacuri

04 de Junio del 2015

ii Modelos en Investigacin de Operaciones.

ndice general

Prefacio V

I Teora de la Conabilidad 1

1. Conceptos Generales 3

1.1. Necesidad de la Conabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Conabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2. Disponibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3. Seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.4. Mantenibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Tipos de anlisis estudios en conabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1. Cualitativo cuantitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2. Analtico o de simulacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.3. Histrico o predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Tipos de Componentes y Sistemas 7

2.1. Clasicacin de componentes y sistemas por tipo de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1. Orientado a una misin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2. Continuamente Operados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.3. Reparables y no Reparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

iii

iv

2.2. Tipos de modelos probabilsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1. Interno o Externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2. Dos Estados o Multiestados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3. Tasa de fallas durante la vida de un componente o sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4. Diagrama de Red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5. Modelo de dos estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.1. El modelo no reparable se dene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.2. Tasa de fallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5.3. Indices Estadsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Componentes Reparables 15

3.1. Modelo de dos estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. Modelo de dos estados como una cadena de markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.1. Deduccin del modelo matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3. Modelos multiestado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Anxos 19

4.1. Deberes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1.1. Tabla de resumen de funciones de distribucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5. Bibliografa 21

5.1. Libros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2. Referencias de Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.3. Otras Fuentes: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Abstract

Prefacio

v

vi

Parte I

Teora de la Conabilidad

1

Captulo 1

Conceptos Generales

1.1. Necesidad de la Conabilidad

En la vida diaria de las sociedades modernas se utilizan muchos productos y servicios:

Productos Servicios

Bombilla elctrica

Televisor

Bicicleta

Software

Diodo

Electricidad

Televisin

Telefona

Correo

Agua Potable

Los productos pueden ser simples o complejos, dependiendo de la cantidad de subcomponentes o partes

que los conformen. En realidad, un componente puede ser un sistema de muchos subcomponentes. Los

subcomponentes pueden ser clasicados funcionalmente por subsistemas. Sin embargo, sin importar la cantidad

de subcomponentes, usualmente el producto se considera exteriormente un solo componente.

Los servicios son suministrados por sistemas conformados por muchos componentes ms las personas encargadas

de su operacin. Dado el gran tamao y complejidad de algunos sistemas, stos suelen subdividirse por zonas

funcionales o subsistemas.

Se denomina fallaa la situacin en que:

1. El componente o sistema deja cumplir parcialmente o totalmente su funcin

2. Existe una diferencia inaceptable entre el desempeo esperado y el observado

Las fallas pueden ocurrir debido a:

3

41. Defectos tcnicos o fsicos: Incluye el diseo, materiales, manufactura, construccin, ensamblaje y

mantenimiento

2. Errores operativos o procedimentales: Administracin y control de calidad, lo cuales estn

relacionados con factores humanos.

Las fallas tambin pueden llevar a situaciones potencialmente peligrosas o de riesgo para los usuarios o el

medio ambiente, diferentes a las aceptadas o permitidas. Por lo tanto, se requiere que todo componente o

sistema ofrezca calidad, seguridad y conabilidad:

Calidad: Se reere a su desempeo respecto a unas normas tcnicas. Ejemplo: Calidad del agua, calidad

de la imagen de televisin, calidad de la recepcin de la una seal de audio, calidad del material.

Seguridad: Que su uso no implique potenciales peligros o riesgospara los usuarios o el medio ambiente

diferentes a los aceptados o permitidos.

Conabilidad: Que cumpla su funcin durante el tiempo requerido bajo unas condiciones operativas

especicadas.

1.2. Deniciones

1.2.1. Conabilidad

Es la probabilidad de que un componente o sistema pueda cumplir su funcin en las condiciones operativas

especicadas durante un intervalo de tiempo dado

Esta es la denicin general de conabilidad. Aplica a los componentes o sistemas orientados a una misin y se

designa por la letra R (Reliability)

1.2.2. Disponibilidad

Es la probabilidad de que un componente o sistema pueda cumplir su funcin en las condiciones operativas

especicadas en un instante de tiempo dado

Se designa por la letra A (Availability). El complemento de la disponibilidad se denomina indisponibilidad y se

designa por la letra U (Unavailability).

1.2.3. Seguridad

Es la probabilidad de evitar un evento peligroso

5Se designa por la letra S (Security) e incluye:

1. La probabilidad de que ocurra el evento peligroso

2. La gravedad del evento, es decir, su grado de peligro potencial

1.2.4. Mantenibilidad

Es la probabilidad de que una operacin dada de mantenimiento pueda ser realizada en un intervalo de tiempo

dado

Se designa por la letra M (Maintainability). El mantenimiento puede ser correctivo (Salidas no planeadas) o

preventivo (Salida planeada)

1.3. Tipos de anlisis estudios en conabilidad

1.3.1. Cualitativo cuantitativo

1. Cualitativo.- Es una valoracin subjetiva. No se establecen ndices numricos.

Ejemplo 1 Ejemplo 2 "No fallara"

2. Cuantitativo.- Es una valoracin objetiva. Se establecen ndices numricos, que pueden ser determinsticos

o probabilsticos.

Ejemplo 3 Probabilidad de falla del 50%

Determinstico o probabilstico

1. Determinstico.- Las variables se consideran jas o con funciones que determinan su valor para cualquier

instante del tiempo.

Ejemplo 4 P = 100[MW ]

2. Probabilstico.- Las variables se consideran aleatorias, es decir no tienen un valor jo ni existe una funcin

que permita determinar su valor en un instante de tiempo dado. La ocurrencia de determinados valores

de la variable se expresa en trminos de probabilidad.

Ejemplo 5 Potencia disponible en un generador

61.3.2. Analtico o de simulacin

1. Analtico.- Se representa el componente o sistema bajo estudio por medio de un modelo matemtico

(ecuacin o conjunto de ecuaciones) y se evalan los ndices de conabilidad por medio de soluciones

matemticas directas.

Ejemplo 6 Diagramas de bloques

2. Simulacin.- Se simula el comportamiento aleatorio del componente o sistema y se evalan los ndices de

conabilidad en forma indirecta por medio de tcnicas numricas.

Ejemplo 7 Simulacin de Montecarlo

1.3.3. Histrico o predictivo

1. Histrico.- Se estudia el componente o sistema basado en los datos de su comportamiento operativo

pasado. Con estos datos se establecen ndices histricos o medidas de desempeo que generalmente son

estadsticas

Ejemplo 8 Tiempo promedio por interrupcin: 4 horas

2. Predictivo.- Mediante un estudio se predicen u obtienen los ndices del componente o sistema para un

instante de tiempo o periodo de tiempo futuro. Se determinan los valores esperados de los ndices de

conabilidad o las funciones de probabilidad.

Ejemplo 9 Tiempo esperado por interrupcin: 3 horas

Captulo 2

Tipos de Componentes y Sistemas

gura 2.1

En la Figura 2.1 se presenta un ejemplo de un tem que es tratado como componente y como sistema.

La conabilidad de un tem dado depende de la conabilidad de los componentes que lo conforman y de su

conguracin operativa, es decir, de sus modos de falla

TIPOS DE ANLISIS O ESTUDIOS EN LA CONFIABILIDAD

Cualitativo Valoracin subjetiva que no contiene ndices numricos

Cuantitativo Valoracin objetiva con ndices numricos

7

82.1. Clasicacin de componentes y sistemas por tipo de funcionamien-

to

2.1.1. Orientado a una misin

Deben operar sin falla durante un tiempo estipulado que se denomina tiempo de misin. Se aceptan fallas de

algunos de los subcomponentes siempre y cuando el componente o sistema contine cumpliendo su funcin.

Existen dos formas operativas

2.1.2. Continuamente Operados

Operan en forma continua. Se toleran los estados de indisponibilidad siempre y cuando estos no sean muy

frecuentes o muy prolongados

2.1.3. Reparables y no Reparables

Aquel que se descarta la primera vez que deja de operar satisfactoriamente (falla).

Un sistema no reparable puede ser considerado como una partede un sistema mayor no reparable o reparable;

a su vez, el sistema no reparable tambin puede tener trayectorias reparables.

Ejemplos: Pastilla de frenos, empaque plstico, aislador elctrico

Un sistema reparable

9Aquel que una vez falla en cumplir al menos una de sus funciones puede ser restaurado

para que cumpla todas sus funciones mediante cualquier mtodo (reparacin, ajuste,

etc.)

Un sistema reparable puede tener partes o subsistemas reparables y no reparables

Ejemplos: Plancha elctrica, sistema elctrico de potencia

2.2. Tipos de modelos probabilsticos

2.2.1. Interno o Externo

Modelo interno

Se plantea un modelo probabilstico en trminos de las variables que describen el fenmeno fsico es decir se

estudia lo que pasa dentro del componente.

Modelo externo

Se plantea un modelo probabilstico nicamente en trminos del tiempo de transicin del estado bueno al

estado fallado.

Este modelo es externopues no se ocupa de lo que sucede internamente en el componente para que pase del

estado buenoal estado fallado.

Este tipo de modelo es completamente estadstico.

2.2.2. Dos Estados o Multiestados

Modelo de dos estados

En este modelo solo existen dos estados operativos de inters: el estado de operacin satisfactoria y el estado de

falla.

Modelo multiestado

En este modelo se denen varios estados operativos de inters.

10

2.3. Tasa de fallas durante la vida de un componente o sistema

Es la relacin entre el nmero de fallas que experimenta el componente por unidad de tiempo en que se esta

operando.

Infantil: La tasa de fallas decrece con el tiempo.

Vida til: La tasa de fallas es constante y tiene el valor ms bajo.

Obsolescencia: La tasa de fallas crece con el tiempo

2.4. Diagrama de Red

Un diagrama de red indica cules combinaciones de fallas de los componentes resultarn en la falla del sistema.

Si un componente falla, se quita del diagrama de red.

Para modelar un sistema como un diagrama de red, se divide los componentes y se conectan entre si segn la

conguracin operativa del sistema para conectar en serie o paralelo.

Tipos bsicos de conexin de los bloques de un diagrama de red:

Conexin en serie: Ambos componentes deben operar para que el sistema opere. Si uno falla, el sistema falla.

Conexion en paralelo: Unicamente un componente debe operar para que el sistema opere. Todos los componentes

deben fallar para que el sistema falle.

Tener en cuenta:

El diagrama de red y el sistema real no tienen necesariamente la misma topologa.

La topologa fsica indica cmo estn conectados entre s los componentes en el sistema real

La topologa del diagrama de bloques representa la conguracin operativa del sistema, es decir, sus modos

de falla.

11

2.5. Modelo de dos estados

La transicin del estado bueno al estado fallado ocurre en un tiempo aleatorio ttf (time to failure). Este tiempo

indica cunto vive o dura el componente.

Sin embargo, no es posible medir ni modelar la conabilidad de un solo componente no reparable; para esto, se

requiere una muestra representativa de tiempos para falla tomada de una poblacin con N componentes idnticos

al que interesa estudiar y en la cual n componentes fallaron.

No reparable: Aquel que se descarta la primera vez que falla. Ejemplos: aislador elctrico, diodo, transistor,

circuito integrado, empaque plstico, etc.

Un componente es no reparable porque:

Su reparacin implica su re-manufactura

Es fabricado como un producto desechable

Su reparacin es tan compleja que no se garantiza el retorno al estado operativo cumpliendo todos los

requisitos de calidad y seguridad

2.5.1. El modelo no reparable se dene

12

2.5.2. Tasa de fallas

2.5.3. Indices Estadsticos

Tasa promedio de fallas

tiempo T

fallaron n componentes

poblacin

lambda=n/(N*T)

13

Tiempo promedio para falla

muestra de tiempos

falla.

14

Captulo 3

Componentes Reparables

Tomado del libro Conabilidad en Ingeniera Carlos J. Zapata.

Reparable: Aquel que una vez falla puede ser restaurado al estado operativo mediante cualquier mtodo

(reparacin, ajuste, etc.) excepto su reemplazo completo.

Ejemplos: sistema elctrico de potencia, sistema de acueducto, computador, refrigerador, etc.

3.1. Modelo de dos estados

reparable

numero de fallas y reparaciones es

aleatorio

modelamiento

tiempos para falla

tiempos para reparacin

15

16

muestras

el componente a modelar

una poblacin de componentes idnticos

3.2. Modelo de dos estados como una cadena de markov

cadena de markov

tasa de fallas

tasa de reparaciones

3.2.1. Deduccin del modelo matemtico

intervalo de tiempo dt

probabilidad de una falla en t

probabilidad de una reparacin en t

matriz h

Cmo obtener y resolver este modelo

anlisis de tendencia

anlisis de independencia de

las muestras de tiempos de falla y

de tiempos de tiempos para reparacin

Interpretacin de la solucin

disponibilidad a

17

indisponibilidad u

Cadenas de markov homogneas

procesos de fallas y de reparaciones

del componente reparable

estacionarios, independientes

ajustan a distribuciones de probabilidad

3.3. Modelos multiestado

Modelo matemtico

vector siguiente estado

matriz de transicion

vector de estado inicial

18

Captulo 4

Anxos

4.1. Deberes

4.1.1. Tabla de resumen de funciones de distribucin

DISTRIBUCION PARAMETROS F DE DENSIDAD ESPERANZA VARIANZA

Bernoulli 0 p 1 pk(1 p)1k p p(1 p)

Binomial0 p 1n = 1; 2; ::; n

nk

pk(1 p)nk

k = 0; 1; ::::; nnp np(1 p)

Poisson > 0e

k

k!

k = 0; 1; 2; ::::

Multinomial

0 p1; :::; pr 1(p1 + :::+ pr = 1)

r = 1; 2; :::

n!k1!k2!:::kn!

pk11 pk22 ::p

knnPr

i=1 ki= n

0BBBBBB@np1

np2

::

npr

1CCCCCCAii = npi(1 pi)ij = npipj ;

i 6= j

Uniforme Discreta n = 1; 2; :::1n

k = 1; 2; :::

n+12

(n+1)[2(2n+1)3(n+1)]12

Pascal 0 p 1 p(1 p)k

k = 1; 2; ::::

1pp

1pp2

19

20

Captulo 5

Bibliografa

5.1. Libros

21

22

Bibliografa

[1] Ing. Vctor Calle Vivanco Investigacin Operativa (Curso A Distancia de la Universidad Peruana los Andes)

Primera Edicin 2005.Rao lecca Investigacin de Operaciones Primera Edicin Lima-Per 1997

[2] Formulacin y Resolucin de Modelosde Programacin Matemtica en Ingeniera y Ciencia.- Enrique Castillo,

Antonio J. Conejo, Pablo Pedregal, Ricardo Garca y Natalia Alguacil.

[3] Teora de la Decisin. PERT/CPM. GB ALFREDO CARNEIRO C.

[4] Investigacin de Operaciones Hillier-Lieberman

[5] SPSS para Windows: Programacin y Anlisis Estadstico Magdalena Ferrs

[6] Taha, Hamdy A. (2004). Investigacin de Operaciones. Mxico: Pearson Educacin de Mxico. Mxico, p.571.

ISBN 9702-60-498-2

[7] HILLIER, F.S Y LIEBERMAN. (1997) Introduccin a la investigacin de Operaciones. 6 Ed. Mc Graw Hill.

[8] Enrique Castillo, A. Conejo, P. (2002) Formulacion y Resolucion de Modelos de Programacion Matematica

en Ingeniera y Ciencia.

[9] Chediak Pinzn. (2004). Investigacin De Operaciones. Segunda Edicin. Len Grcas. Ibagu - Colombia.

ISBN: 958-8028-21-3

5.2. Referencias de Internet

23

24

Bibliografa

[1] http:xoxominas.unalmed.edu.coxoxocursosxoxos4040xos4040.html

[2] http://ediciones.uniandes.edu.co

[3] http://www.monograas.com

[4] http://www.buenastareas.com

[5] http://www.investigacion-operaciones.com

[6] http://enlaweb.com.mx/io2/programacion-no-lineal.php

[7] http://karenbandala.wordpress.com/unidad-iii/3-1-problemas-de-programacion-no-lineal/

5.3. Otras Fuentes:

25

26

Bibliografa

[1] Diapositivas, articulos recibidos en clases.

27