librodeintroducciónalgebra1
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5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
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1. 1. La Historia de lgebra
2000 A.C. 300 A.C. 100 A.C.
Los babilonos
- Ecuaciones
(Completando cuadrado)
Egipcios : Usaban ideas
bsicas algebraicas para
hacer calculos :
agricultura, comercio etc.
Los griegos : Usaron
ideas de babilonios y
griegos
Aparece el libro "Los
Elementos" (Euclides)
Este se uso por ms
de 2000 aos en
accidente.
Los chinos :
- Resolvan ecuaciones
lineales y sistems de
ecuaciones usando
tcnicas modernas
matriciales
Hindes :
- Introdujeron el uso de
letras para representar
cantidades
- Resolvan ecuaciones
cbicas, curticas y ecuac.
lineales (5 incgnitas)
300 D.C. 628 D.C. 847 D.C.
Los griegos :
Diofanto escribe el libro
"Aritmetica"
Ej) : representaba el
cuadrado de una cantidad
: El cubo de una
cantidad
: La cuarta
potencia de una cantidad
*manej de exponentes
negativos.
Los hindes:
- Aparece el tratado
"Brahma Spnta
Siddhanta" qu
proporciona reglas
para resolver
ecuaciones lineales y
cuadrticas.
- Encuentran qu las
cuadrticas tienen 2
races.
En Uzbekistn
- Muhammad ibn musa
Al khuwarazmi escribi
el libro. "Kitab
al-mukhasar fi hisab
al-jabr wl muqabala" ( trataba sobre cculos
transposiciones y
reducciones)
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1072 D.C. 1454 D.C.
Persia (irk. Iran)
Omar Khayyan
escribe
"Demostracin y
problems de
Algebra"
(Usa ideas,
geomtricas para
deducir formulas
algebraicas)
Los trabajos de los hindes y los griegos llegaron a Europa :
Por medio de los rabes
- Cardano, Tartaglia, Ferrari, Bombelli
desarrollaron el Algebra de frma ms estructurada
Ej) Se encontraron formulas para resolver ecuaciones
cbicas
- Robert Record (Ingls) introdujo el uso del signo "=" en la
solucin de ecuaciones (sistematizo la notacion)
- Widmam introdujo los simboles "+", "-"
- William Oughtred (1631)
us la letra x para el signo de multiplicacin y para
representar incgnitas. tambin introdujo la notacin de sin, cos para seno,
coseno y uso el simbolo para representar el cociente
(c: d: )
-
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Gua 2000 A.C. 300 A.C. 100 A.C.
Los babilonos
-Ecuaciones
(_____________________ )
Egipcios : Usaban
ideas bsicas
algebraicas para
hacer calculos ,
__________________________
____________etc.
Los griegos :
Usaron ideas de
babilonios y griegos
Aparece "____________
_______________________
___" (Euclides) Este
libro se uso por ms
de 2000 aos en
accidente.
Los chinos
- Resolvan
________________________________ y sistems
de ecuaciones usando tcnicas modernas
matriciales
Hindes :
- Introdujeron el uso de ______________ para
representar cantidades
-Resolvan ____________________________,
curticas y ecuac. lineales.
300 D.C. 628 D.C. 847 D.C.
Los griegos :
Diofanto escribe el libro
"___________________________"
Ej) _____: representaba el
cuadrado de una cantidad
_____ : El cubo de una cantid
_____ : La cuarta potencia de
una cantidad
Los hindes:
- Aparece el tratado
"Brahma Spnta Siddhanta"
qu da regls para
resolver ecuaciones
lineales y cuadrticas.
- Encuentran qu las_______________________________
_______ .
En Uzbekistn
- Muhammad ibn
musa Al khuwarizmi
escribi el libro.
"Kitab al-mukhasarfi
hisab al-jabr wl
muqabala"
1072 D.C. 1454 D.C.
Persia (irk. Iran)
Omar Khayyan escribe
"____________________________
_______
_____________________________
_____
____________________"
(Usa ideas
geomtricas para
deducir frmulas
algebraicas)
Trabajos de hindes y griegos llegaron a Europa :
_________________________________________________________________________
__
- Cardano, Tartaglia, Ferrari, Bombelli desarrollaron el Algebra de forma ms estructurada
- Robert Record (Ingls) introdujo el uso del signo "_____" en la
solucin de ecuaciones.
- Widmam introdujo los simboles "_____", "_____"
- William Oughtred (1631)
us la letra x para el signo de multiplicacin y para
representar incgnitas.
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D
escanso
Ren Descartes
Es tambin conocido como Cartesius, que era
la forma latinizada en la cual escriba su
nombre, nombre del que deriva la palabra "
cartesiano".
Hizo famoso el clebre principio "cogito ergo
sum", ("pienso, luego existo"),
la otra en francs. En fsica est considerado
como el creador del mecanicismo, y en
matemtica, de la geometra analtica. Se lo
asocia con los ejes cartesianos en geometra, con
la iatromecnica y la fisiologa mecanicista en
medicina, con el principio de inercia en
elemento esencial del
racionalismo occidental, y
formul el conocido como
"Mtodo cartesiano", Sin
delmbargo "cogito" ya
existan formulaciones
anteriores, algunas tan exacta
a la suya como la de Gmez
Pereira (1554), y del Mtodo
consta la formulacin previa
que hizo Francisco Snchez
en 1576.
fsica, con el dualismo
filosfico (mente/cuerpo) y el
dualismo metafsico
(materia/espritu).
No obstante parte de susteoras han sido rebatidas
-teora del animal -mquina-
o incluso abandonadas-
teora de los vrtices-. Su
pensamiento pudo
aproximarse a la pintura de
Poussin por su estilo claro y
ordenado.
Todo ello con antecedentes en Agustn de
Hipona y Avicena, por lo que ya en su siglo
fue acusado de plagio, entre otros, por Pierre
Daniel Huet. El Escribi una parte de sus
obras en latn, que era la lengua internacional
del conocimiento y
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2. 1. Los Patrones, las Relaciones y las Funcionescomo Recurso para Introducir laRepresentaci
n Simb
lica de los N
meros.
Patrones y regularidades para deducir expresiones
- Nmeros figurados ( Los griegos los nombraron as)
Nmeros Cbicos
Figura
nmero depunto 1
8 = 27=
posicion 1 2 3 4
Expresion
Cul es nmero de puntos qu forman al cubo de la posicion n?
Cuntos puntos se ha usado si se construyo una secuencia de cubos desde hasta ?
Cuntos puntos se ha usado si se construyo una secuencia de cubos desde hasta ?
Cuntos puntos se ha usado si se construyo una secuencia de cubos desde hasta ?
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Fecha : / / 2014
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Sobre una recta construimos cuadrados como se indica
Calcular el rea del cuadrado 2014 (Denotando con el rea del n-simo cuadrado)
Ara
del
cuadrado
1
2
3
7
En general el rea del cuadrado n-simo es :
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Fecha : / / 2014
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Nmeros Triangulares
Denotemos por el nmero de puntos de
Denotemos por el nmero de puntos de
Denotemos por el nmero de puntos de
Denotemos por el nmero de puntos de
Cmo pasamos a partir de un tringulo al siguiente?
De a : agregamos 2 puntos.
De a : agregamos puntos.
De a : agregamos puntos.
De a : agregamos puntos.
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Fecha : / / 2014
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Deducir la suma de Gauss de las figuras
Que manera Gauss utilizo cuando el era nio?
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Fecha : / / 2014
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Otra Generalizacin ( Para recordar el teorema de Pitgoras)
A partir del segmento construimos el rectangulo tringulo en
con longitud .
A partir del segmento construimos el rectangulo tringulo en
con longitud .
Asi sucesivamente construimos una secuencia de tringulos rectngulos.
Encuntrese el cuadrado de la longitud del segmento ; es decir hllar
Calculamos los cuadrados de las longitudes
Cul es la longitud del segmento
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Generalizacin en frmulas de reas de polgonos
De modo anlogo se encuentra el rea de cualquier polgono de n lados.
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Gua Nmeros Cuadrados
Denotemos por el nmero de puntos de
Denotemos por el nmeros de puntos de
Cantos puntos agregamos para pasar de a ?
Expresar en trminos de ?
Para pasar de a : 3
Para pasar de a :
Para pasar de a :
Para pasar de a :
Para pasar de a :
Calcule
Podemos ver qu en el cuadrado n-simo hay puntos, lo cual tambin es la suma
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Fecha : / / 2014
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Nmeros pentagonales
nmero de
Puntos1 5 12
1 1+4
Cuntos puntos hay en unpoligono de 2014 lados ?
Comparemos trminos consecutivos
y
: diferente en 4 puntos.
Comparemos trminos consecutivos y : diferente en puntos.
Comparemos trminos consecutivos y : diferente en puntos.
Comparemos trminos consecutivos y : diferente en puntos.
Comparemos trminos consecutivos y : diferente en puntos.
denota al nmero de puntos de
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Fecha : / / 2014
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Cuntos cudrados grises y cuntos blancos se necesitan para hacer la figura siguiente?
Cul es el rea de cada torre de cubos (incluida la base) a medida que las torres se
hacen ms altas? Como cambia el rea?
Se colocan chocolates y caramelos en cajas, alineados de manera que siempre quede un
caramelo rodeado por cuatro chocolates, tal como se muestra en las figuras. Busque un
mtodo para calcular el nmero de caramelos que irn en una caja de 1719. Explique y
justifique el mtodo mediante palabras, diagramas o expresiones.
Ramn y Julio se reparten una bolsa de caramelos con el siguiente procedimiento:
Ramn saca uno, Julio saca dos, Ramn saca tres, Julio saca cuatro, y asi sucesivamente;
cada uno en su turno saca uno ms que los que saco el otro en el turno anterior. Cuando
uno de ellos no puede cumplir la regla porque no hay sucientes caramelos, se lleva todo lo
que queda, y concluye la reparticion. Si Ramon saco en total 2009 caramelos, Cuntos
caramelos haba inicialmente en la bolsa?
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2. 2. El Uso de la Geometra Elemental para Introducirlas Propiedades Algebraicas de los N
meros Reales.
Generalizaci
n a partir de patrones n
mericos.
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1 1 1 2
2 1 2 1 4
3 1 1
4 1 1
5 1 1 32
n
Sumas de Cubos
Ejercicio Deducir una expresin para la suma
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Gua Si la suma de los cuadrados de dos nmeros es 34, y el producto es 15,
Cul es la suma de los nmeros ?
Encuentre todos los nmeros naturales cuya diferencia de cuadrados es igual a 39.
Hay seis asientos entre ellos hay sillas y taburetes. Las sillas tienen cuatro patas y los
taburetes tres. En total, hay veinte patas. Cuntas sillas y cuntos taburetes hay?
Cunto suman los ngulos interiores en un polgono de n lados? Queremos cercar con
alambre un jardn de forma cuadrada. Cunto alambre es necesario si el lado del jardin
mide 12m? Y si mide 7m, o 335m? Construya una tabla con los datos anteriores y aada otros.
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El coste de una ventana cuadrada depende de su tamao. El precio del cristal es de 5
dolares por y el marco 10 dolares por .
Cunto costar una ventana de 7dm de lado, de 1m y de 1.5m?
Construya una tabla, con los datos anteriores y otros qu elija, obteniendo el costo
segun la longitud del lado de la ventana.
Site los valores de la tabla anterior en una grafica cartesiana.
Conocida la longitud del lado, escriba una frmula que exprese el costo,
Suma aritmtica
Cul es el trmino 2014 de la se cuencia 1, 7, 13, 19, 25, 31, ?
Entonces la suma desde el r-simo trmino al 2014
Cul es el n-simo trmino?
Y la suma hasta el n-simo?
Considere la siguiente secuencia de nmeros
8, 98, 998, 9998, Encuentre la suma de los primeros 2014 trminos
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D
escanso
Hay 4 prisioneros ubicabos como en la figura
Tres estn separados por una pared que impide que vean al prisionero restante.
Hay 2 prisioneros con gorras blancas y 2 prisioneros con gorras negras.
Cada prisionero solo puede ver el color de la gorra de los prisioneros que tenga adelante de l, pero
no puede ver para atrs.
Puede cada prisionero averiguar el color de su gorra, sabiendo que hay 2 gorras blancas y 2 negras?
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3. 1. Representaci
n Geom
trica de
Expresiones Algebraicas (Cuadrado)
Desarollar y fatorizar
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La Politabla de dreyfous
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El uso dinmico de los smbolos matematicos abstracto.
Este tema, tiene como objetivo evidenciar las diferentes forms de expresar una frmula
matemtica. A continuacion se muestran pruebas visuales de identidades algebraicas:
`
=
La Suma de Cuadrados de Diofanto de Alejandra
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Gua Representar usando Algeblocks
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Se construye una piscina rectangular, como muestra la figura:
Exprese en funcin de el rea de la supercie de la piscina.
Exprese en funcin de el rea de los azulejos.
Desarrolle la expresin obtenida y pruebe que el rea de los azulejos es
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La siguiente figura est compuesta por un tringulo y un rectngulo, cuyas
longitudes estn expresadas en las mismas unidades, y .
Deduczca el rea de la figura en funcin de x.
Desarrolle la expresin del rea.
Factorice la expresin del
rea.
Encuentre el rea si
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Exprese el rea de las siguientes figuras de dos formas diferentes:
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una empresa construye estructuras predise
adas para Canchas y Pupuser
as. Si x representa el n
mero
de estructuras y los costos de produccin son: para las Pupuseras y
para Canchas. Cul es el costo total de produccin de la empresa?
Observa el siguiente plano de distribuci
n de una casa, la cual se proyecta en un terreno rectangular
De acuerdo con l, calcula la superficie que abarca la construccin, excepto el corredor y el bao
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3. 2. Representacin Geomtrica de
Expresiones Algebraicas (Cubos)
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Fecha : / / 2014
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Gua Representar usando reas o volumenes segn sea el caso.
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3. 3. Frmula
Gua sobre Jerarquia en Operaciones Artimticas Algebraicas
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Fecha : / / 2014
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Ejemplo
calcule sin calculadora
Ejercicios
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5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
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Fecha : / / 2014
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Gua Desarolle
Descomponga en factores
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5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
32/210
Fecha : / / 2014
- 32 -
Cul de estas formulas no representa a este cubo?
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5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
33/210
Fecha : / / 2014
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Encuentre el volumen de este cubo
Hay un tringulo qu tiene lado . Supongamos qu tienen lasiguiente relacin
Que tipo de tringulo es?
Calcule sin calculadora
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5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
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Fecha : / / 2014
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Calcule
Si , Calcule =
Si
, Calcule
=
Simplifique
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5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
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Fecha : / / 2014
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D
escanso
Dnde se ve uno cuadrado?
Qu hora es en el tercer reloj?
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4. 1. Los Nmeros
Nmeros para contar, nmeros para medir
Nmeros para contar ; El nmero natural
Como ya se ha dicho, el hombre primitivo posea ya la idea del nmero qu llamamos
natural (1, 2, 3, 4, ), pero hasta la Edad de Bronce no aparecen sistemas de numeracin
potentes para manejar nmeros grandes y realizar, con soltura, operaciones entre ellos.
Nmeros para medir
El nmero fraccionario
Los egipcios, hacia el ao 2000 a, de C., comienzan a manejar, con acierto, algunas
fracciones sencillas tales como
Aparicin del nmero irracional
En el siglo a. de. C., los griegos pitagricos descubrieron con gran sorpresa qu,
adems del natural y el fraccionario, exist
a otro tipo de n
mero : el irracional.
Hasta entonces pensaban qu todo en el universo se rega por nmeros naturales y las
fracciones entre ellos (proporciones), pero se dieron cuenta de qu hay pares de
segmentos, como la diagonal y el lado de un pentgono regular o la diagonal y el lado de
un cuadrado, cuyo cociente de longitudes no es una fraccin.
Les pareci qu el caos se asomaba a su mundo y llamaron a tal relacin alogos o irracional.
El nmero negativo
Aunqu la solucin de educaciones algebraicas condujo, en el siglo cuandose les da un
sentido especial: lo negavivo en Geometra, indica un retroceso; lo posivivo un avance.
El difcil camino hacia los complejos
El nmero complejo fue el qu cero ms qubraderos de cabeza a los matamticos, pues su
fundamentacin moderna definitiva no lleg hasta mediados del siglo . En el ,
al tratar de resolver ecuaciones de segundo grado tales como y otras de
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grado mayor, se empezaron a encontrar expresiones como qu no sabian interpretar.
El cero
Notacin
Los smbolos
Signo de conjunto
Las letras maysculas denotan usualmente conjuntos y usaremos los smbolos usuales para
relacionar elementos a conjuntos:
:
: :
:
:
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Fecha : / / 2014
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Smbolos Lgicos
: (indica qu ocurre una cosa u otra)
Ej) Un nmero real es positivo o es negativo
Un nmero natural es par o impar
: (indica qu ocurren dos cosas a la vez)
Ej) Un nmero es positivo y es par
Smbolos usados en relaciones de orden
> :
< :
:
:
:
Ej) Un nmero es a lo sumo 100 :
Un nmero es por lo menos 25 :
Ejercicios
Encontrar una expresin algebraica que represente la situacin planteada
La suma de dos nmeros es 106 y el mayor excede al menor en 8
La suma de 2 nmeros es 540 y su diferencia es 32
Entre A y B tienen 1154 y B tiene 506 menos qu A
Dividir el 106 en 2 partes tales que el mayor supera al menor en 24.
A tiene 14 aos menos que B y ambas edades suman 56 aos
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Gua Llene y escriba los ejemplos
El nmero real
ej) ,
El nmero real
El nmero negativo
ej) 1, 2, 3, 100, 1000
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4. 2. Cantidades Positivas y Negativas
Positivas y negativasEn lgebra, cuando se estudian cantidades qu pueden tomar dos sentidos opuestos o que son de
condicin o de modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condicin o modo de ser (valor relativo)
de cantidades tomadas en un sentido determinado (cantidad positivas) y anteponiendo el signo - a las
cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior (cantidades negativas).
Ejemplos
Traducir a lenguaje algebraico(Representa de manera algebraica)
Pedro debia 60,000 bolvares y recibi 320,000. Expresar su estado econmico.
Tena $200. Cobr $56 y pagu deudas por $189. Cunto tengo?
A las 8 a.m. el termmetro marca -1. De las 6 a.m. a las 11a.m. baja a razn de 2 por
hora y de 11a.m. a 2 p.m. sube a razn de 3 por hora. Expresar la tempratura a las 10
a.m., a las 11a.m., a las 12 a.m. y a las 2 p.m.
Una ciudad fundada el ao 75 a. C. fue destruida 135 aos despus. Expresar la fecha de
su destruccin.
Un mvil recorre 72m a la derecha de A entonces empieza a rectoceder en la misma
direccin, a razn de 30. Expresar su distancia del punto A la cado del 1er, 2o, 3er
y 4os.
Un mvil recorre 55m a la derecha de A luego en la misma direccin retrocede 53m. A
qu distancia se halla de A?
Anlysis de Relaciones cuantitativas y construccin de Modelos matemticos traduccin de
lenguaje verbal a lenguaje Algebraico.
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Ejercicios
Traducir a lenguaje algebraico.
El rea de un tringulo es el producto de la mitad de la base por la altura del mismo.
El rea de un tringulo es el semiproducto de las longitudes de su base y altura.
La suma de los cuadrados de dos nmeros.
El cuadrado de la suma de dos nmeros.
Un nmero sumado con el cuadrado de otro.
OBS : (Sobre notaciones de conjuntos y signos lgicos)
Para representar incgnitas se suele usar las ltimos letras del alfabeto :
Ejercicios
Traducir a lenguaje algebraico.
Representemos al entero con n :
(Si el cuadrado de un entero es par entonces el entero mismo es par. )
Un nmero aumentado en el triplo del nmero :
La diferencia de los cuadrados de dos nmero :
El cuadrado de la diferencia de los dos nmeros :
El cuadrado de la diferencia de los 100 primeros nmeros naturales :
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5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
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Fecha : / / 2014
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Comentario hist
rico
Los griegos descubieron los nmeros "amigos" : 220 y 284 son nmeros amigos
Divisores de 220 : 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 (suman 284)
Divisores de 284 : 1, 2, 4, 71, 142 (suman 220)
Fermat hall otro par 17,294 y 18,416
Descartes hall 9,363,584 y 9,437,056 "quizas hall una frmula?"
Euler (1, 7, ) hall 122,265, 137,815 y hallo 59 parejas ms
(de las Cules una estaba mal)
Generalizaci
n ("Los n
meros amigos")
Sean :
son nmeros amigos
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5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
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Fecha : / / 2014
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Gua Encontrar una expresin algebraica qu represente la situacin planteada
El recproco de un nmero.
El recproco del cuadrado de un nmero.
La suma de 3 nmeros naturales consecutivos es 15.
La suma de los cubos de 2 nmeros es el cubo de otro nmero.
La edad de un padre del estudiante es la edad del estudiante triplicada y aumentada en 1.
Repartir 1080 nuevos soles entre A y B de modo qu A reciba 1019 ms qu B
Cuatro nmeros enteros consecutivos suman 74
Tres cestos contienen 575 manzanas el cesto tiene 10 manzanas ms que el y 15
ms qu el
La suma de las edades de 3 personas es 88 aos la mayor tiene 20 aos ms que el
menor y la del medio 18 aos menos qu la mayor.
-
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Fecha : / / 2014
- 44 -
La suma de 3 nmeros da 238. El primero excede al doble del en 8 y al tercero en 18.
Hallar los nmeros.
Cunto suman los ngulos interiores en un polgono regular de n lados?
y si no es regular?
Se tiene el producto de tres nmeros naturales consecutivos, sumado con el nmero
intermedio. Qu resultado obtiene? Demuestre qu es cierto para cualquier caso.
Encuentre todos los nmeros naturales cuya diferencia de cuadrados es igual a 39.
Si un nmero ms su recproco es 3, Cul es el valor de la potencia cuarta del nmero
ms la potencia cuarta del recproco del nmero?
-
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Fecha : / / 2014
- 45 -
Una alumna se golpe en una rodilla jugando futbol, su medico prescribi un
anti-inflamatorio para reducir la hinchazon. Tena que tomar dos tabletas de 220mg cada 8
horas durante 10 dias. Si sus riones filtraban de su cuerpo un 60% del medicamento
cada 8 horas, qu cantidad quedar en su sistema circulatorio al cabo de los 10 dis?
y si hubiera tomado la medicina durante un ao?
Encuentre todos los nmeros naturales de dos cifras, tales que el producto de sus dgitos
ms el doble de la suma de sus dgitos sea igual al mismo nmero.
-
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Fecha : / / 2014
- 46 -
4. 3. Expresin Decimal y Fraccionariade los Nmeros Reales
Expresin decimal de los nmeros reales.
Ejemplos
Todos los nmeros reales tienen una representacin del tipo.
Las cuales pueden ser finitas o infinitas
Ejemplos
OBS
-
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Fecha : / / 2014
- 47 -
Conversi
n de notaci
n decimal a fraccionaria.
Ejemplos
Covertir los nmeros
en notacin fraccionaria
-
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Fecha : / / 2014
- 48 -
Conversi
n de notaci
n fraccionaria a decimal.
Ejemplos
Covertir los nmeros
en notacin decimal.
-
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Fecha : / / 2014
- 49 -
En comparaci
n con el caso de fraccional
Ejemplo
Cul de es las dos fracciones es mayor
o
?
Ejercicio
De los numeros
y
Indica cules son
menores que cero
mayores que cero y menores que 1
mayores que 1
-
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Fecha : / / 2014
- 50 -
Gua Covertir el nmero en notacin fraccionaria.
Tres recipientes contienen agua : el primero
de litro, el segundo
de litro y el
trecero
de litro. Qu recipiente contiene menos agua y cul ms?
Cunto valen los
de un terreno que mide 11,084 a razn de 1,275 pesetas el ?
Repart 75,250 pesetas entre tres personas de modo que la primera persona recibi el doble
que la segunda y, sta, el doble que la tercera. Canto recibi cada una?
-
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Fecha : / / 2014
- 51 -
4. 4. Operaciones con Signos de Agrupacin
(Jerarqua de las Operaciones)
Operaciones con signos de agrupacin
Potencias y races
Productos y cocientes
Sumar y restas
Ejemplo
Calcule
Ejercicios
Calcule las siguientes expresiones
-
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Fecha : / / 2014
- 52 -
Encuentre el valor de a,b,c,d
Encuentre el valor de
-
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Fecha : / / 2014
- 53 -
Gua Calcule
-
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Fecha : / / 2014
- 54 -
Encuentre el valor de x,y,z
Simplifique la siguiente expresion
Ordene a A,B,C por signo de desigualidad
-
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Fecha : / / 2014
- 55 -
4. 5. lgebra de los Nmeros Reales
En general la nmeros racionales tienen una representacion decimal qu puede ser finita
o infinita. Todo nmero irracional tiene una representacin decimal infinita no peridica.
(base de los logartmos naturales)
Esto caracteriza los nmeros irracionales!!
Potencias y ra
ces
potencias :
races:
Si
Propiedades de la potencias
,
-
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Fecha : / / 2014
- 56 -
Ejemplo
Simplifique las siguientes expresines
-
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Fecha : / / 2014
- 57 -
Gua Coloca V de verdadero o F de falso segun sea el caso.
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Simplifique
-
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Fecha : / / 2014
- 58 -
-
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Fecha : / / 2014
- 59 -
4. 6. Los Radicales
Propiedades de las races
,
Ejercicios
Simplifique
-
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Fecha : / / 2014
- 60 -
Elimina las races del denominador y simpliifica (Racionalizar)
-
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61/210
Fecha : / / 2014
- 61 -
Si , encuentre el valor de
-
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62/210
Fecha : / / 2014
- 62 -
Gua Simplifique
-
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63/210
Fecha : / / 2014
- 63 -
Si
,
encuentre el valor de
-
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Fecha : / / 2014
- 64 -
Simplifique
-
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Fecha : / / 2014
- 65 -
Simplifique
Si
, encuentre el valor de
-
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Fecha : / / 2014
- 66 -
4. 7. Los Nmeros Reales
Segmento conmesurables e inconmesurables
- Sea A, B un segmento dirigido
Para medir es necesario definir una unidad de medida (patrn). Renotamos por al segmento unitario
de medida 1.
Definimos dos segmentos congruentes. Como aqullos qu tienen la misma medida. Si cabe n veces
en decimos que AB tiene medida n
Puede ocurrir que u qupa un exacto de veces en o no. En este ltimo caso la medida no ser
un natural.
As, hacemos lo siguiente
Conseguimos un segmento que quepa n veces en u y exactamente m veces en AB.
As, como cabe m veces en AB y su medida es
, la medida de AB es m veces
En este caso decimos que U y AB son segmentos conmesurables.
OBS : En algn momento de la historia se pens que todo segmento era conmensurable, lo
cul result falso. Esto dio origen a otro tipo de nmeros ; los irracionales.
-
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Fecha : / / 2014
- 67 -
Un segmento es inconmensurable si no lo podemos medir con la unidad que definimos.
Si, AC es conmesurable podemos construir la fraccin
que represente su medida
En aparece un nmero par de factores de 2 y a la derecha de la igualidad un nmero impar.
OBS : La existencia de segmentos inconmensurable implic qu los naturales y
los racionales no eran suficientes.
La solucin es ampliar el sistema nmerico a otro conjunto ms grande.
As tenemos que :
A los segmento conmesurables les asociamos racionales
A los segmento inconmesurable les asociamos los irracionales
La recta real
es la recta real, la cul contiene al segmento unitario .
Si, OA cabe un exacto de veces en el segmento, OX tiene medida n.
En ese caso llamamos la abscisa de X al valor natural n. Si, el punto X est a la izqurda se le agrega
" - ". Todos las abscisas que cumplen con esto forman
-
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Fecha : / / 2014
- 68 -
(Los nmeros enteros)
En otro caso en OX obtendremos todos las abscisas de la forma
Estos forman
( La recta Real)
Si, elegimos X de tal modo qu OX es inconmesurable obtenemos una abscisa que no se puede
expresar de la forma
. Estos forman los irrecionales.
Los nmeros reales son la reunin de y
Representacin de operaciones en la recta Real
se asocia a la medida del segmento que forma la unin de los segmento y
Producto
Representar a, b (a por b)
( por semejanza de tringulos )
Cmo representaria
El de Oro
-
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Fecha : / / 2014
- 69 -
Si, al rectngulo ABCD le quitamos el cuadrado ABGF obtenemos un nuevo rectngulo FGCD
semejante al inicial
ureo o nmero de oro)
Algunas propiedades
M
s ideas sobre los n
meros reales ubicaci
n en la recta
El nmero de oro
El segmento DB tiene longitud
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
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Fecha : / / 2014
- 70 -
Ubicacin en el eje real de
Raznes de Cuerpo de Humano
Los nmeros reales
Axioms en
Aceptaremos la existencia de un conjunto no vaco , que llamaremos conjunto de los nmeros reales.
Sobre el cual se ha definido una relacin de igualdad y dos operaciones algebraicas. La relacin de
igualdad " = " satisface las propiedades de:
Reflexividad
Simetra
-
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Fecha : / / 2014
- 71 -
Transitividad
Si y antonces
Los operacion " + " y " " son funciones
+ :
( a, b ) a+b
:
( a, b ) ab
" + " , " " son operaciones binarias.
Propiedades
Ley asociativa para la suma :
Existencia del elemento neutro :
Existencia del elemento opuestos :
Ley conmutativa para la suma :
Ley asociativa para el producto :
Existencia de la identidad multiplicativa :
Existencia de inversos para la multiplicacin:
Ley conmutativa para el producto:
Adems estas relaciones son compatibles con la relacin de igualdad.
Si y
Propiedades en qu se derivan de las ya mencionadas.
-
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Fecha : / / 2014
- 72 -
Teoremas
Dado cumple que
(Puede demostrarse usando algunas de las propiedades antes escritas)
Teorema
Dados , cumplen las siguientes propiedades.
: El opuesto de a
Segn la igualdad el opuesto de es , entonces debe verficarse qu
Teorema
Dados
Entonces
Donde denota
y
(cociente de 2 reales)
Ley Cancelativa
Sean , entonces
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
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Fecha : / / 2014
- 73 -
Definicin
Dados escribimos para representar
Teorema
Dados se cumple o
( En no hay divisores de cero)
Teorema
Dados se cumple
Propiedades relativas al cociente
Teorema
Dados se cumplen las siguientes propiedades.
Si
Si
Si
Si
Si
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
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Fecha : / / 2014
- 74 -
Gua Llene
La representacin nmero real Puntos
P( )
A( )
B( )
D( )
P( )
Q( )
A( )
B( )
C( )
D( )
-
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Fecha : / / 2014
- 75 -
Definicin
si y slo si
si y slo si
4. 8. Orden en
Propiedades
Aceptamos en la existencia de un subconjunto de , llamado el conjunto de los nmeros reales
positivos, denotado por .
(O1) es cerrado para la suma es decir si
(O2) es cerrado para la producto es decir si
(O3) Ley de Tricotoma
Para cada mmero real a se cumple una y slo una las siguientes propiedades.
Teorema
Dados las reales se cumple una y slo una de las siguientes afirmaciones.
-
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Fecha : / / 2014
- 76 -
Definicin
Llamaremos conjunto de los nmeros reales negativos al conjunto.
Definicin
1) si y slo si o ( : y / : o)
2) si y slo si o
Teorema
Dado se cumple una y slo una de las siguientes afirmaciones.
Propiedades de las relaciones de orden.
Teorema
La relacin " < " tiene las siguientes propiedades.
No es reflexiva ( es falso)
Es asimtrica (Si es falso qu )
Transitiva : Si y
Teorema
La relacion "" satisface:
Reflexiva :
Antisimetrica : si y
Transitividad : si
-
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Fecha : / / 2014
- 77 -
Teorema
Teorema
y es un nmero positivo ____________________
y es un nmero positivo ____________________
Teorema
si
si
si
Teorema
si y slo si
( y ) o ( y )
si y slo si( y ) o ( y )
Teorema
Teorema
Sean
si
(Densidad de los nmeros reales)
-
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Fecha : / / 2014
- 78 -
D
escanso
Cual figura sigue?
-
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Fecha : / / 2014
- 79 -
5. 1. Resolucin de Ecuaciones
Resoluci
n de ecuaciones lineales.
Dada la ecuacion
tiene como solucin al valor
Ejemplo
Diofanto fue un famoso matemtico greigo del siglo D.C. De su vida no se sabe mucho,
pero el epitafio de su tumbra proprociona algunos detalles sobre ella. Est secrito como
problema algebraico.
-
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Fecha : / / 2014
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Ejercicios
Resuelva
Resolucin de ecucaciones cuadraticas.
se tiene que
Si
Si
Si
: se llama discriminante
-
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Fecha : / / 2014
- 81 -
Ejemplo
Hallar las races de
De aqu se deduce que
si no hay races y
si hay una sla raiz
Adems si hay 2 races
Ejemplo
Dados los nmeros reales demostrar que
si y slo si
* si y slo si
Prueba () Hipotesis :
Como
Si
De la misma forma si hacemos
(*)
tambin (**)
-
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Fecha : / / 2014
- 82 -
Al resolver (*) y (**)
()
Ejemplo
Dados los nmeros reales
Demostrar qu
si y slo si
()
-
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Fecha : / / 2014
- 83 -
Gua La suma de tres nmeros enteros consecutivos es . Cunto vale cada nmero?
De un depsito lleno de lquido se saca la mitad del contenido ; despus la tercera parte
del resto y quedan an 1,600 litros. Calcula la capacidad del depsito.
Tres amigos juegan un dcimo de lotera que resulta premiado con un milln de pesetas.
Calcula cunto debe corresponerle a cada uno sabiendo que el primero juega el doble que
el segundo y ste el triple que el tercero. (Sugerencia : llama a la cantidad que
dorresponde al tercero).
A un chico le preguntan la edad de su padre y contesta : si al doble de mi edad se le
suman 6 veces mi misma edad y a la mitad de esa suma se le quitan 18, resulta la edad
de mi padre. El chico tiene ahora 15 aos. Cuntos aos tiene el padre?
-
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Fecha : / / 2014
- 84 -
5. 2. Resolucin de Inecuaciones
Inecuaciones lineales ;
Ejemplos
Inecuaciones cuadr
ticas
Hay que resolver la inecuacin
El procedimiento consiste en determinar el signo del trinomio
encontrando en qu valores de da positivo. Asi si factorizamos el trinomio es sencillo
determinar tal solucin.
- Determinar el conjunto
Resuelva la inecuacin
-
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Fecha : / / 2014
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Ejemplos
Resuelva
-3 2
signo
Conjunto solucin :
Conjunto solucin :
Ejercicios
Resuelva
-
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Fecha : / / 2014
- 86 -
Soluci
n de otras inecuaciones
Si una inecuacin tiene la forma (o se puede llevar algebraicamente a ella)
se resuelven de forma similar al caso cuadrtico :
Ejemplo
Resuelva
1 2 3
- + + +
- - + +
- - - +sgn - + - +
Resoluci
n de inecuaciones con expresiones racionales
Quremos resolver
hacemos un cuadro de variacin de los signos.
signo
Otra forma
Ahora resolvemos por el mtodo ya conocido.
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
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Fecha : / / 2014
- 87 -
Ejercicios
Resuelva
Resuelva
Resuelva
Resuelva
Resuelva
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
88/210
Fecha : / / 2014
- 88 -
Gua Resuelva
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
89/210
Fecha : / / 2014
- 89 -
Resuelva
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
90/210
Fecha : / / 2014
- 90 -
Resuelva
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
91/210
Fecha : / / 2014
- 91 -
Definicin
Sean subconjuntos de los nmeros reales.
El producto cartesiano de A y B es el conjunto.
Esto es el conjunto de todos los pares ordenados cuyos componentes pertenecen a y
5. 3. El Plano Cartesiano
Producto cartesiano
EjemploSi ,
Entonces y
Notemos que en este caso y en general podemos decir que se da la igualidad slo si
OBS : Si se denota por y en general
Ejercicios
Si podemos formar
Cunto elemento hay ?
En general si multiplicamos con n elementos.
Cuntos elementos tiene ?
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
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Fecha : / / 2014
- 92 -
Ejercicios
El plano cartesiano es
,
Qu conjunto es, es decir que porcin del plano ocupa?
De modo anlogo definimos el conjunto que es una recta horizontal que pasa
por pararela al eje
Ejercicios
Dibujar el producto cartesiano
,
-
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93/210
Fecha : / / 2014
- 93 -
Gua Un cuadriltero tiene vrtices en y . Encontrar el
rea en unidades cuadradas del cuadriltero
Dibujar en el plano
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
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Fecha : / / 2014
- 94 -
Dibuje las siguientes expresines
Resuelva
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
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Fecha : / / 2014
- 95 -
Definicin
Llamaremos valor absoluto del nmero
Denotado por al nmero
Otras definiciones equivalentes son
max
5. 4. El Valor Absoluto
Obs : se puede interpretar como la distancia entre y a
Propiedades del valor absoluto.
Teorema
Si,
Si,
(Especialmente se llama desigualidad triangular)
Demostracin
Si tenemos que ocurre alguna de las situaciones.
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
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Fecha : / / 2014
- 96 -
Si tenemos que ocurre alguna de las situaciones.
Caso (*)
Si este ocurre si
tenemos ambos positivos
Ahora si tenemos ambos negativos
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
97/210
Fecha : / / 2014
- 97 -
(Aplique )
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
98/210
Fecha : / / 2014
- 98 -
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Gua Coloca V de verdadero o F de falso segun sea el caso.
Calcule las siguientes expresines(Realiza los siguientes calculos)
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
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Fecha : / / 2014
- 99 -
5. 5. Las Ecuaciones e Inecuaciones con Valor Absoluto.
Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.
Ejercicios Resuelva
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
100/210
Fecha : / / 2014
- 100 -
Aplicaci
n
Ejercicios
Escriba sin que aparezcan signos de valor absoluto.
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
101/210
Fecha : / / 2014
- 101 -
Desigualdad absoluta
Desigualdad absoluta
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Si ,
( Cuando ,
)
Media geomtrica de la aritmtica
Demostracin
+
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
102/210
Fecha : / / 2014
- 102 -
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
103/210
Fecha : / / 2014
- 103 -
Gua
Simplifique
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
104/210
Fecha : / / 2014
- 104 -
Demuestre
( , )
Por eso ( Cuando )
Si , Calcule el mnimo de
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
105/210
Fecha : / / 2014
- 105 -
El costo de mantener una cuenta corriente en el banco A es $12 por mes ms $0.1 por
cheque girado. El banco B cobra $10 por mes ms $0.14 por cheque girado. A cules
clientes les conviene el banco A en terminos del costo total mensual?
Una compana de publicidad determina que el costo por ejemplar de cierta revista es de
$150. El ingreso recibido por los distribuidores es de $1.40 por revista. El ingreso por
publicidad es 10% de los ingresos recibidos por los distribuidores por todos los
ejemplares vendidos por arriba de 10,000. Cul es el nmero mnimo de revistas que
deben venderse de modo que la compaia obtenga ulilidades?
Un arquitecto desea delimitar un tereno retangular y tiene 450 metros de cerca disponible.
Encontrar los dimensiones del terreno si el rea delimitada debe ser al menos 3,150
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
106/210
Fecha : / / 2014
- 106 -
Una compaia desea ensamblar 1000 dispositivos electronicos en una semana gastando no
ms de $6000 por concepto de mano de obra. Si el costo de mano obra para ensamblar
una unidad durante las horas diurnas es de $5 y $7 en las horas nocturnas. Cul es el
nmero mnimo de dispositivos que deber ensamblar en las horas diurnas?
Para una compana que fabrica webcams el costo de mano de obra y material es de $21
por cada unidad producida y sus costos fijos son $70,000. Si el precio de venta de cada
webcam es de $35. Cuntas unidades deben venderse como mnimo para asegurarse que
la compaa tenga utilidades ?
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
107/210
Fecha : / / 2014
- 107 -
5. 6. Las Ecuaciones Fraccionarias
Ejemplo
Hallar de modo qu para todo
Ejercicio
propuestos:
Demuestre que
y exprese esta regla en palabras.
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
108/210
Fecha : / / 2014
- 108 -
Encuentre de modo que
Simplifique
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
109/210
Fecha : / / 2014
- 109 -
Gua Simplifique
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
110/210
Fecha : / / 2014
- 110 -
Simplifique
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
111/210
Fecha : / / 2014
- 111 -
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
112/210
Fecha : / / 2014
- 112 -
5. 7. Sustituciones Algebraicas
Ejercicios
Resuelva las ecuacines dada de forma cuadrtica
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
113/210
Fecha : / / 2014
- 113 -
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
114/210
Fecha : / / 2014
- 114 -
Gua Simplifique
-
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D
escanso
Agrega un segmento para que la igualdad sea vlida
ej)
Haz que la igualdad sea cierta moviendo slo un segmento de recta.
ej)
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117/210
Fecha : / / 2014
- 117 -
6. 1. Construccin de Modelos Matemticospara Anlisis Cuantitativos.
Variables
Las relaciones entre 2 variables ( ms) es expresada mediante una " funcin"
Por ejemplo el precio del transporte depende de otras variables : precio del combustible,
precio de vehculos, la distancia etc.
La temperatura ambiental, depende de variables como la altitud, el tiempo (la hora del da),
la epoca del ao, etc.
OBS
Las variables que se relacionan por medio de una funcin pueden ser numricas o no numricas.
Ejemplo
En el plano, si consideramos todos los tringulos que se pueden formar y calculamos sus respectivas
reas, tenemos un ejemplo de relacin entre una variable numrica y una no numrica.
Relaciones entre variables
Si A e son variables tales que es funcin de
Si la funcin se denota con se escribe y se lee es funcin de de f.
en general representa la regla de asignacin.
Origen del concepto de funcin.
Comenz en el XIV al estudiar cuerpos en movimiento (Nicole Oresme fu el en
representar en el plano la relacin entre variable independiente y otra dependiente)
El nombre de funcin proviene del matemtico Leibnitz, al estudiar puntos donde
ocurren mximos, mnimos, etc.
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5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
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Fecha : / / 2014
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La variable natural qu vara constantemente es el tiempo.
En economia la funcin qu relaciona el precio de un producto con su demanda en el
mercado se llama curva de "la oferta".
Con una lmina rectangular quremos construir una caja haciendo recortes en las
esquinas
V= rea base altura
De modo qu el volumen que queda en la caja sea mximo
V(x)=
Esta es la regla de asignacin de la funcin "Volumen" ; relaciona la dimensin del cuadrado
recortado y el volumen de la caja.
Representacin grafca
El "hombre bala"
La longitud o distancia del desplazamiento depende del ngulo de inclinacin.
Lalongitud "" qu alcanza depende dal ngulo del caon
(la regla de asignacin es desconocida an)
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Funciones : Primeras ideas, concepto
En una fotocopiadora hay un rtulo qu indica los precis.
copias () 1 2 3 4 5 6precios (p) 6 11 16 21 26 31
Tenemos el precio en funcin del nmero del copias
Regla de asignacin ___________________
Si tenemos la circunferencia de longitud C y diametro D
___________________
Es la regla de asignacin de la funcin qu asigna a cada "diametro " una longitud " "
Si ___________________
la regla de asignacin sera ___________________
Ejemplo
Funcin, conjuntos numerables, cardinalidad
Cuando se quiere enmerar los elementos de un conjunto se suele usar el conjunto de los
naturales.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5 3 1 0 2 4 6 8 10
Tenemos una funcin : a cada natural le hacemos corresponder un entero es, la regla de
asignacin es
Si
Cuando se puede construir una funcin "uno a uno" entre 2 conjuntos se dice que estos
tienen la misma cardinalidad.
OBS: En lo conjuntos finitos su cardinalidad es el nmero de elementos.
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- 120 -
Definicin
Dados 2 conjunto una funcin (qu se lee una funcin de A en B) es
una regla ( o conjunto de instrucciones) que dice como asociar a cada elemento de A un
elemento de B es decir asocia a cada un elemento
6. 2. La Funcin
OBS
El conjunto A se llama
Al conjunto A se llama dominio de la funcin f, y B es el rango (contra dominio) de la
funcin .
Para cada un elemento se llama imagen de por
Como vemos hay 3 ingredientes para definir una funcin
Dominio
Rango Deben estar claramente Especificados
Regla de asignacin
OBS : a la definicin de funcin : "Ingredientes" para definir una funcin :
- Dominio
- Conjunto de llegada (Contra dominio, codominio)
- Regla de formacin o ley de corresponecia
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Fecha : / / 2014
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Ejemplos
Cul es el dominio "natural" (esto es los valores que pueden evaluarse en la frmula) de
la funcin qu corresponde a la regla de asignacin dada?
Definimos la funcin en cuestin as :
"El dominio natural de una funcin es el mayor conjunto de en que la regla de
asignacin puede evaluarse"
es una regla de asignacin de una funcin qu tiene como dominio natural a
__________
En el ejemplo anterior de la numerabilidad de
Aqui : dominio de :__________
conjunto de llegada : __________
La regla de asignacin es
Ms ejemplor de funciones:
funcin Identidad
funcin constante
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Fecha : / / 2014
- 122 -
correspondencia
funcin o no
por qu
Notacin importante
Para definir una funcin se debe cumplir las 2 situaciones siguientes :
No hay elementos sin imagen
No puede haber ambiguedades, es decir, no hay elementos en A con :
dos imgenes distintas.
Generalidades sobre funciones
Igualdad de funciones
Dadas 2 funcin
se dice qu es igual a si y
Funcin Inyectiva
Una funcin
se llama inyectiva cuando a elementos diferentes en les corresponde elementos diferentes en .
Es decir ( )
Conjunto imagen de una funcin (Rango)
Si
El conjunto imagen es el conjunto de todos los posibles valores con . Denotamos este
conjunto por
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Fecha : / / 2014
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graf
funcin
injectiva
sobrejectiva
Funcin Sobreyectiva
Una funcin es sobreyectiva. Si para cada existe una preimagen, es decir.
tal qu
Ejemplos
Sea el conjunto de tringulos del plano (qu llamamos ) y el conjunto de los
nmeros regalos. Si a cada (t=tringulo) hacemos corresponder su rea
rea de t
no es injectiva ni sobrejectiva.
Por qu?
es injectiva. no es sobreyectiva.
Por qu?
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124/210
Fecha : / / 2014
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6. 3. Sistema Coordenado Rectangular en el PlanoCartesiano
Segmentos dirigidos ;
Si, el punto inicio en A y se nueve hacia B ; decimos que el segmento AB tiene longitud d.
Si, por otro lado el punto inicio en B y se nueve hacia A decimos que el segmento AB tiene longitud
d. En Geometra Analitica consideramos segmentos "dirigidos", es decir, agregamos la nocin de sentido
direccin.
En el or caso A es punto de inicio y B es el punto final del segmento AB y en el otro caso B es
punto de inicio y A el final.
Asi si
F
rmula de Chasles
Si, A, B, C son tres puntos en una misma recta entonces
Para dotar al plano de un sistema coordenado que permita ubicar un punto arbitrario en cualquier
posicin necesitamos 2 rectas dirigidas y ubicadas perpendicularmente.
: abscisa del punto P
: ordenada del punto P
La recta se llama eje de las abscisas.
La recta se llama eje de las ordenadas.
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Fecha : / / 2014
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OBS : es importante resaltar el hecho qu cada punto P del plano es representado por
el Cul es ordenado y por lo tanto si
Igualdad de pares Ordenados
Decimos que dos pares ordenados
son iguales si y slo si
Distancia entre puntos del plano
frmula de la entre
Ejemplo
Para verificar que si los puntos y son los vrtices de un
tringulo equiltero basta calcular las distancias
sol)
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Fecha : / / 2014
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Divisi
n de un segmento en una raz
n dada
Ubicamos el segmento en el sistema de ejes coordenado.
El punto es tal que divide al segmento en la razn
Cuales son las coordenadas del punto ?
Observamos que las rectas paralelas dividen
los segmentos y de forma proprocional
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Fecha : / / 2014
- 127 -
De la misma forma encontramos que
,
OBS : Si , las coordenadas del punto P.
son
La coordenados del punto medio
Ejemplo
Dados los puntos
las coordenadas de los puntos que cortan
a una razn
de
Hacer lo mismo con los puntos ,
caso 1;
caso 2;
caso 3;
caso 1;
caso 2;
caso 3;
-
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Fecha : / / 2014
- 128 -
Gua Calcule la distancia de A a B.
En un sistema coordenado lineal y son los puntos extremos de un segmento
dirigido. Demostrar qu la coordenada un punto que divide a en la razn
dada
Un cuadrado de lado igual a tiene su centro en el origen y sus lados son paralelos a
los ejes coordenados. Hallar las coordenadas de sus cuatro vrtices.
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Fecha : / / 2014
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6. 4. La Funcin Afn
Funci
n de propocionalidad directa.
Se llama funcin de propocionalidad directa o simplemente funcin lineal a cualquier funcin que
relacione dos magnitudes e . directamente proporcionales. Su regla de asignacin es o
OBS :Dos magnitudes y son directamente proporcionales cuando su cociente es
constante. Algunas caractersticas de la funcin de proporcionalidad son:
Pasa por el origen, es decir en
Describe una recta en el plano
Para graficarla slo necesitamos un punto adicional
Si x=1, , por tanto , representa la variacin de la por cada unidad de
es la pondiente de la funcin de proporcionalidad.
Ejercicios
Determinar si las relaciones entre las parejas de magnitudes son lineales o no
(directamente proporcionales)
Relacin entre el precio inicial y precio rebajado con un .
precio rebajado precio inicial.
Relacin entre el peso y el volumen de un material en condiciones constante de presin
y temperatura.
Un banco ofrece un deposito annual al con una comisin fija de $20.
(Relacin entre la cantidad invertida e interes recibidas)
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Fecha : / / 2014
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Definicin
Si a dos magnitudes directamente proporcionales se les aplica una condicion inicial, la
funcin que las relaciones ya no es directamente proporcional. Se dice qu es una funcin
afin. Su forma es
Relacin entre el rea de un cuadrado y su lado ( no es directamente proprocional
la relacin entre y. )
OBS : La pendiente , sigue siendo la constante de proporcionalidad y el termino n se
llama ordenada en el origen por qu es el valor qu toma cuando
La forma de la funcin afin se llama pendiente ordenada en el origen.
El cociente entre y ya no es constante por lo que la funcin no es de
proporcionalidad.
Para graficar la recta que describe la funcin afin basta tener 2 puntos la pendiente y
un punto.
Recordemos que dados 2 puntos sobre una recta, la pendiente se obtiene haciendo un cociente de
diferencias.
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5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
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Si tenemos un punto y conocemos la pendiente
entonces
ecuacin punto-pendiente.
Ejercicios
Calcular la ecuacin de la recta que pasa por y cuya pendiente es
Sol)
Consideremos 2 puntos sobre la recta.
Caculamos la pendiente
Ahora con y puede cacularse de nuevo:
ecuacin de 2 puntos
Ecuacin General de la Recta
La manera ms usual de expresar la ecuacin de una recta es
La cul es llamada forma general de la ecuacin de una recta.
La pendiente es
-
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Fecha : / / 2014
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Ejemplo
Graficar
De la cuacin general
(Ecuacin simtrica de la recta)
OBS : si
si
La recta pasa por y
Posiciones Relativas de 2 Rectas. Dadas 2 rectas
-
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Fecha : / / 2014
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Si so pendientes de dos las rectas se cortan en un punto cuyas coordenadas se obtienen
resolviendo el sistema.
Se dice que las rectas son secantes. Si las rectas son paralelas. Si adems de que
tambin las rectas son coincidentes.
Observacin : Vale la pena razonar los casos particulares en las que y no es definida.
Pendiente infinita
Ejercicios
Halle la ecuacin de la recta que pasa por y cuya pendiente es
Halle la ecuacin de la recta que pasa por y . Escrbola en todas las
forms vistas.
Determine la ecuacin de la recta que pasa por y cuya pendiente es
.
Psela a la forma general.
Determine la ecuacin de la recta que pasa por y cuya pendiente es 0.
Psela a la forma general.
Cul es la posicin relativa de las rectas. ? Se cortan?
Si, se cortan, dnde se cortan?
-
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Fecha : / / 2014
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ngulos entre rectas
Consideremos dos rectas dirigitos en el plano
Llamaremos ngulo qu forman las rectas y al ngulo formado por los lados qu se alejan del
vrtice. En la figura nos referimos al angulo .
OBS Si le cambiamos el sentido a por ejemplo el ngulo entre y seria .
Si los rectas son paralelos el ngulo entre y puede ser .
-
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6. 5. La Pendiente
La pendiente
Llamaremos ngulo de inclinacin al ngulo formado por la recta y la parte positiva del eje .
OBS : puede tomar cualquier valor e ntre .
Podemos definir la pedienete o coeficiente angular de una recta a la tangente del ngulo de inclinacin,
ya que si entonces.
tan
Para calcular
efectuamos tan arctan
Ejemplo
Si es una recta qu pasa por , hallar el ngulo de inclinacin de
arctan
-
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Fecha : / / 2014
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pendienete
Ejercicios
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
137/210
Fecha : / / 2014
- 137 -
C
lculo del
ngulo entre 2 rectas
Sean dos rectas con pendiente y respectivamente. El ngulo formado por y esta
dado por
tan
Donde es la pendiente de la recta inicial y
la pendiente de la recta final correspondiente a
OBS Si entonces tan y asi o
Si la tangente no est definida, lo cual significa que
(Condicin de perpendicularidad)
-
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Fecha : / / 2014
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Gua Escribir la zona de pendiente ""
Encuentre la pendiente
pendiente ; pendiente pendiente
pendiente ; pendiente ; pendiente ;
-
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139/210
Fecha : / / 2014
- 139 -
Oredene de mayor a menor haciendo uso de la pendiente
Si , Cul recta es
Si ,
, Que es el rea de =
-
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Fecha : / / 2014
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Estas tablas son de .Llene las tablas.
x 4 5 6
y -28 -49
x -2 6
y -1 2 5
Calcule tan de
-
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141/210
Fecha : / / 2014
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6. 6. Intercepto Eje de
Intercepto del eje
Descubimos la regla
Relacion de
3 7
4 9
5 11
6 13
Relacion de
-1 5
0
1 11
( la constante)
intercepto del eje :
intercepto del eje :
-
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Fecha : / / 2014
- 142 -
Gua Llene la tabla.
Grafica pendiente intercepto del eje intercepto del eje Punto
-
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143/210
Fecha : / / 2014
- 143 -
Si ,
Si
y
Llene
Forma pendiente intercepto eje de Grafica
-
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144/210
Fecha : / / 2014
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6. 7. Aplicaciones
Ejemplo
Antonio va a jugar una partida de bolos con sus amigos. Sale de su casa y tiene queesperar a sus amigos en un parque. Por fin, van a la bolera y, despus de la partida,
vuelven a casa, pero antes, se paran a tomar un refresco.
Qu distancia hay entre la casa de Antonio y el parque ? Y entre la casa y la bolera?
Cunto tiempo est esperando a sus amigos?
Cunto tardan en tomarse el refresco?
Cunto tiempo estn jugando a los bolos?
Si entran en la bolera a las 6 de la tarde, Dnde se encuentra Antonio
a las 5h 30min ; 5h 46min ; 7h 35min y a las 8h 12min?
A qu hora sale de casa? A qu hora vuelve?
Invntate una historia parecida y construye una grfica con el recorrido.
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
145/210
Fecha : / / 2014
- 145 -
Ejercicios
Piensa ahora en los tringulos issceles de de permetro. Busca la funcin que
relacione el lado desigual o base con cualquiera de los otros dos . Represntala.
Es una recta?
Dos motoristas parten, simultneamente, de y . El primero se dirige a con una
velocidad de y el segundo se dirige a con una velocidad de . Si y
distan entre si , a qu distancia de se encuentran? Cunto tardan en
encontrarse?
Un cuerpo, en cada libre, adquiere una velocidad que aumenta 9.8 metros por segundo
cada segundo. Si dejamos caer un objeto desde lo alto de una torre.
Qu velocidad llevar al cabo de 3 segundos? Y al cabo de 10 ? Llama a los
segundos transcurridos desde que dejamos caer el objeto y construye una tabla dando a
los valores entros desde hasta .
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
146/210
Fecha : / / 2014
- 146 -
6. 8. La Funcin Cuadrtica
-4 1 -1
0 0
4 1 -1
-1 1 -1
0 0
1 -1
-1 4 4
0 0
1 4 4
Graf.
a0 : figuracin como forma de
a0 : figuracin como forma de
:
Vrtice :
Rango :
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
147/210
Fecha : / / 2014
- 147 -
La funcin Cuadrtica se define por la regla de asignacin
La grfica de una funcin cuadrtica tiene alguna de estas formas.
Algunas caractersticas importantes
Si la grafica corresponde a una parbola abierta hacia arriba como ( ) y
Si la grafica que resulta es invertida y abierta hacia abajo.
Ambas parbolas, caso y cumplen con tener a una recta paralela al eje y que pasa
por el punto V (que llamaremos vrtice) , tal recta se llama eje de simetra.
Ven la grfica y se llama vrtice y es el punto ubicado ms hacia arriba ms hacia
abajo de la parbola.
Ejercicios
Llene
Grafico
Dominio
Conjunto (Rango) Imagen
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
148/210
Fecha : / / 2014
- 148 -
-4 2 0
0 1 -1
4 2 0
-1 2 0
0 1 1
1 2 0
-1 6 -2
0 2 2
1 6 -2
Graf. a0 : figuracin como forma de
a0 : figuracin como forma de
:
Vrtice : ( , )
Rango :
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
149/210
Fecha : / / 2014
- 149 -
La funcin Cuadrtica se define por la regla de asignacin
La grfica de una funcin cuadrtica tiene alguna de estas forms.
Algunas caractersticas importantes
Si , la grafica corresponde a una parbola que pasa del origen.
Si , la grafica corresponde a una parbola que pasa del origen.
Ejercicios
Llene
Grafico
Dominio
Conjunto (Rango) Imagen
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
150/210
Fecha : / / 2014
- 150 -
-3 1 -1
1 0
5 1 -1
-2 1 -1
-1 0
0 -1
0 4 -1
1 0
2 4 -1
Graf.
: figuracin como forma de
: figuracin como forma de
:
Vrtice :
Rango :
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
151/210
Fecha : / / 2014
- 151 -
La funcin Cuadrtica se define por la regla de asignacin
La grfica de una funcin cuadrtica tiene alguna de estas forms.
son llamadas parablas.
Algunas caractersticas importantes
Si , la grafica corresponde a una parbola qu pasa del origen.
Si , la grafica corresponde a una parbola qu pasa del origen.
Ejercicios
Llene
Grafico
Dominio
Conjunto (Rango) Imagen
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
152/210
Fecha : / / 2014
- 152 -
0 7 -1
1 4 2
2 3 3
-1 -1 -1
0 3 -5
1 15 -17
3 3 1
1 2 2
-1 3 1
Graf.
: figuracin como forma de
: figuracin como forma de
:
Vrtice :
Rango :
-
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153/210
Fecha : / / 2014
- 153 -
Al variar el coeficente "a" hace qu la parbola se cierre
(Si a se incrementa) o se abra (Si a se disminuye)
OBS : Lo qu ocurre al variar
El efecto de variar es
se mueve hacia arriba la parbola si
se mueve hacia abajo la parbola si ________________
Ahora si variamos en lo qu hacemos a la parbola es desplazarla a la izquierda o
a la derecha.
Ejercicios
Si se mueve a la derecha.
se mueve a la ________________ .
Resumen
origina cambios sobre la abertura de la parbola.
origina desplazamiento a la iaquierda o a la derecha.
origina desplazamientos hacia arriba o hacia abajo.
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
154/210
Fecha : / / 2014
- 154 -
Gua Llene
Graf. vrtice intercepto eje de Rango Forma
-
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155/210
Fecha : / / 2014
- 155 -
6. 9. La Funcin Cuadrtica
-2
0
2
-3
0
3
-1
0
1
Vrtice :
Rango :
Mximo o mnimo
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
156/210
Fecha : / / 2014
- 156 -
-2
0
2
-3
0
3
-1
0
1
Vrtice :
Rango :
Mximo o mnimo
-
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157/210
Fecha : / / 2014
- 157 -
Podemos hallar las coordenadas del vrtice.
Primer Caso
Si, la funcin
No tiene mximo ya qu el valor de y crece indifinidamente cuando x, valores muy grandes.
mnimo de y si hay ocurre cuando y en el valor es
.
Luego las coordenadas del vrtice son ( , )
Ejemplo
Hallar el vrtice de la parbola qu describe la funcin definida por
Dnde ocurre el valor mnimo de la ?, Cal es ese valor?
sol)
Segundo Caso
Si, la funcin
No tiene _________________ ya qu y crece indifinadamente al tomar x valores muy grande.
_________________ de y si hay y occurre cuando
y en el valor es
.
Luego las coordenadas del vrtice son ( , )
La regla de asignacin de la funcin cuadrtica hemos visto qu es que tambin la
llevamos a la forma
o
(
) Frma connica de la funcin cuadrtica.
En este caso recordemos qu el vrtice es
valor donde ocurre el maxmo o mnimo.
valor mximo o mnimo de la funcin.
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
158/210
Fecha : / / 2014
- 158 -
Ejercicios
Es este caso
Para distinguir el vrtice es necesario llevar la expresin a la forma connica.
Relacin del Discriminante de la ecuacin cuadratica y la funcin cuadratica.
OBS : Llos puntos de corte de la parabla con los ejes pueden hallarse al resolver la
ecuacin.
Recordemos que el discriinante de criterios para saber si hay o no races
: hay una unicaraiz real.
:
:
Asi si la ecuacin slo tiene una raiz, lo que significa que la parabla
slo corta al eje en un punto (tangente al eje )
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
159/210
Fecha : / / 2014
- 159 -
y adems
y fundamente
Ejemplo
- Problema de aplicacin en Fisica -
Se lanza verticalmente una piedra desde el piso hacia arriba con una velocidad inicial de
. Si la distancia de la piedra al punto de partida a los t segundos de haber sido
lanzada esta dada por . Hallar
A qu altura sube ?
Cuntos segundos tardar en caer al suelo ?
Cunto tordar en alcanza la altura mximo ?
Qu altura alcanza a los segs ?
Hacer un grafica que describa el movimiento. Hallar dominio y rango de la funcin de
posicin.
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160/210
Fecha : / / 2014
- 160 -
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
Vrtice :
Rango :
Mximo o mnimo
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161/210
Fecha : / / 2014
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Forma factorizada de la funcin cuadratca.
es coeficiente de termino cuatrtico, son las abscisas de los puntos donde occurren los cortes
de la parabla con el eje
Ejemplo
Hallar el valor mximo o mnimo de la funcin dada
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162/210
Fecha : / / 2014
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Gua Llene
Frmula Vrtice Interceptoeje
Mximoo mnimo
Graf.
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163/210
Fecha : / / 2014
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Graficar las funciones
Hallar la frmula para la funcin cuadrtica que pasa por y cuyo vrtice es
. tambin la funcin cuadrtica cuya grafica corta al eje en , vrtice
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5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
164/210
Fecha : / / 2014
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Hallar los posibles valores de m para que se cumpla la condicin pedida.
: Corta al eje en 2 puntos
: No corta al eje
; La grfica es tangente al eje
Los registros de temperatura tomados en la zona rural se ajustan a la funcin
, con la temperatura en grados centgrados y la hora del
da. Responder las preguntas.
Cul fu la temperatura mxima?
A qu horas se registro este mximo?
Cundo la temperatura fu de cero grados?
Qu temperatura habr a las 3:00 pm?
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5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
165/210
Fecha : / / 2014
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Se arroja una pelota de tenis hacia arriba imprimindole una velocidad de su altura
en metros sobre el suelo. segundos, despus de haber sido lanzada est dada por
Desde qu altura la lanzaron?
En qu instante ocurre la altura mxima y cul fue dicha altura?
Para qu valores de , aumenta y para cules disminuye?
Cunto tarda en llegar al suelo?
Encuentre las partes del dominio en la cul la funcin dada es positiva, negativa o cero.
Hallar mximo, mnimo, segn sea el caso.
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166/210
Fecha : / / 2014
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La suma de las longitudes de los catetos de un tringulo es .
Hallar las longitudes de los catetos si el rea del tringulo debe ser mxima.
Encuentre el nmero que excede a su cuadrado en un nmero mximo.
Ungranjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 320m de alambre,
Qu dimensiones debe tener el terreno para que su rea sea mxima?
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167/210
Fecha : / / 2014
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6. 10. Caracterizacin de Funcin
Cuadrticas por segundas diferencias
Supongamos que tenemos un conjunto de datos obtenidos alguna manera.
Supongamos que la representacin de los puntos en el punto es
Los puntos parecen corresponder a puntos qu describen una funcin cuadratica. Esto puede
verificarse.
Ejemplo
1 2 3 4 5
Sucesin 3 9 17 27 39
6 8
2
El resultado de las diferencias indica que los datos iniciales de la sucesin corresponden a una
funcin cuadrtica de la forma .
Ahora la pregunta es A cul funcin cuadrtica corresponden los datos?
Segn los datos del inicio.
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168/210
Fecha : / / 2014
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es un sistema de la ecuacin lineal cuya solucin es (Luego veremos como hallarla)
Luego la funcin cuadrtica es
Esta funcina de manera general. Si se quiere saber si un conjunto de datos corresponden a una funcin
cuadrtica basta calcular las
diferencias y estas deben ser constantes. (Si salen valores muy parecidos,los datos se juntan de manera aproximada a una funcin cuadrtica)
Ejercicios
Supongamos qu la temperatura en una cuidad en un cierto dia en un instante .
est dado por
Graficar la funcin
Cul fu la temperatura a los 2:00 am ?
Cul fu la mxima temperatura alcanzada y a qu horas ocurri?
Se arroja vericalmente un objeto hacia arriba desde el piso. Su altura en funcin del
tiempo es
Graficar la funcin
Cunto tiempo dura el movimiento decreciente?
Cul fu la altura mxima alcanzada y en que instante se logra?
Responder las mismas preguntas si la altura est dada por y
el objecto es lanzado a 5mts de altura,
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169/210
Fecha : / / 2014
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7. 1. Las Matrices
Determinantes
Con elementos de el conjunto de los nmeros reales formamos arreglos rectangulares qu
denotaremos con letras mayusculas y encerramos entre coschetes o parentesis
Asi
A se llamada una matriz de m filas y n columnas.
(Decimos qu A es una Matriz )
El elemento es la "entrada" de la Matriz en la fila y columna .Las entradas de la Matriz son sus componentes. indica una Matriz de filas y columnas.
Notacin
La Matriz
, se puede denotar por
Ejemplos
es una Matriz
es una Matriz _____________
Escribir una Matriz de orden tal qu
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170/210
Fecha : / / 2014
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Al conjunto de todos las matrices de orden lo representamos por .
Un caso especial importante ocurre si , es el conjunto de las materices cuadradas.
Algunas matrices especiales
La matriz
o matruz nula.
La matriz identidad
OBS : Esta tiene sentido slo para matrices cuadradas
Vector fila : Es una Matriz de 1 fila y n "columnas"
Vector columna es una Matriz de n "filas" y columna.
Operaciones con Matrices
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171/210
Fecha : / / 2014
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Suma Si son Matrices es .
Se define la suma de las materies de y a la Matriz que resulta de sumar las respectivas
componentes si y .
entonces
Producto escalar Si definimos el producto escalor de por como
Ejemplos
Calcule si
Calcule si
Algunos propiedades de
P1 : es cerrada bajo la suma y producto por escalar es decir.
si y , y
P2 :La suma es
P3 : Asociatividad
P4 : Existencia del elemento neutro talque
P5 : Existencia del elemento
si existe tal qu
P6 : Propiedad distributiva
)
)
P7 :
P8 :
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172/210
Fecha : / / 2014
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Demostracin :
P2 :
La tabla - Propiedades de las matrices
Sean las matrices A,B,C de orden , O la matriz nula de , I la matriz identidad y r,sescalares
Propiedades
Conmutativa de la suma
Asociativa de la suma
Identidad de la suma
Distributiva izquierda
Distributiva derecha
Inverso aditivo
Asociativa de la multiplicacin de escalares
Asociativa de la multiplicacin
Identidad de la multiplicacin
Distributiva por la izquierda
Distributiva por la derecha
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173/210
Fecha : / / 2014
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Gua Determine la Matriz que cumpla las siguientes condiciones
( , )
( )
Si ,
Si ,
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174/210
Fecha : / / 2014
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Determine la Matriz que cumpla las siguientes condiciones:
, ,
Si
Si
Si
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5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
175/210
Fecha : / / 2014
- 175 -
Calcule el valor de que cumpla las siguientes condiciones
Si
Si
Si
, =
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
176/210
Fecha : / / 2014
- 176 -
Calcule el valor de que cumpla las siguientes condiciones
Dadas las matrices ,
, = ( )Calcule el valor de
Dadas las matrices
,
Calcule =
-
5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
177/210
Fecha : / / 2014
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7. 2. Producto Interior (Producto de un vector fila por un vector columna)
Sea
Definimos el producto de y al nmero real dado por
Efectuar el producto (Si se puede)
No est bien definido
Producto Matricial
Sean y dos Matrices de orden y respectivamente definimos la matriz producto
de y a la que denotamos por con fila columna
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5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
178/210
Fecha : / / 2014
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Ejemplos
Sea ,
OBS : El produto matricial no es _________________________________________
Propiedades del producto
Ley Asociativa para el producto
Existencia del elemento identidad para el producto
Ejercicios
Efectuar el producto si
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5/19/2018 librodeintroducci nalgebra1
179/210
Fecha : / / 2014
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Traza y transpuesta
Traza : Sea una matriz cuadrada. Definimos la traza de ,
denotanda por tr al nmero
( La suma de los elementos de la diagonal )
Matriz tran